05, Июл, 2025
629880, Ямало-Ненецкий автономный округ, Пуровский район, п. Пуровск, ул. Новая, д. 9

Задачник по алгебре 7 класс макарычев: ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович (Решебник задачника)

Добавленно , обновлено автор: alexxlab

Содержание

ГДЗ по Алгебре 7 класс Макарычев, Миндюк, Суворова Учебник

ГДЗ по Алгебре для 7 класса Макарычева, Миндюка, Нешкова, Суворовой – нужная вещь, как для школьника, так и его родителей. Ведь на первый взгляд математика — один из самых сложных предметов. И в данной ситуации, когда школьник не способен самостоятельно справиться, на помощь придет этот сборник.

Решебник по алгебре 7 класс к учебнику Макарычева выручит мам и пап семиклассников в ситуации, когда ребенок пропустил урок или не так понял его. Также он будет полезен и начинающим педагогам, так как в первые годы трудовой деятельности в школе трудно проверять большой объем домашних заданий быстро.

Упражнения

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771781791801811821831841851861871881891901911921931941951961971981992002012022032042052062072082092102112122132142152162172182192202212222232242252262272282292302312322332342352362372382392402412422432442452462472482492502512522532542552562572582592602612622632642652662672682692702712722732742752762772782792802812822832842852862872882892902912922932942952962972982993003013023033043053063073083093103113123133143153163173183193203213223233243253263273283293303313323333343353363373383393403413423433443453463473483493503513523533543553563573583593603613623633643653663673683693703713723733743753763773783793803813823833843853863873883893903913923933943953963973983994004014024034044054064074084094104114124134144154164174184194204214224234244254264274284294304314324334344354364374384394404414424434444454464474484494504514524534544554564574584594604614624634644654664674684694704714724734744754764774784794804814824834844854864874884894904914924934944954964974984995005015025035045055065075085095105115125135145155165175185195205215225235245255265275285295305315325335345355365375385395405415425435445455465475485495505515525535545555565575585595605615625635645655665675685695705715725735745755765775785795805815825835845855865875885895905915925935945955965975985996006016026036046056066076086096106116126136146156166176186196206216226236246256266276286296306316326336346356366376386396406416426436446456466476486496506516526536546556566576586596606616626636646656666676686696706716726736746756766776786796806816826836846856866876886896906916926936946956966976986997007017027037047057067077087097107117127137147157167177187197207217227237247257267277287297307317327337347357367377387397407417427437447457467477487497507517527537547557567577587597607617627637647657667677687697707717727737747757767777787797807817827837847857867877887897907917927937947957967977987998008018028038048058068078088098108118128138148158168178188198208218228238248258268278288298308318328338348358368378388398408418428438448458468478488498508518528538548558568578588598608618628638648658668678688698708718728738748758768778788798808818828838848858868878888898908918928938948958968978988999009019029039049059069079089099109119129139149159169179189199209219229239249259269279289299309319329339349359369379389399409419429439449459469479489499509519529539549559569579589599609619629639649659669679689699709719729739749759769779789799809819829839849859869879889899909919929939949959969979989991000100110021003100410051006100710081009101010111012101310141015101610171018101910201021102210231024102510261027102810291030103110321033103410351036103710381039104010411042104310441045104610471048104910501051105210531054105510561057105810591060106110621063106410651066106710681069107010711072107310741075107610771078107910801081108210831084108510861087108810891090109110921093109410951096109710981099110011011102110311041105110611071108110911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113011311132113311341135113611371138113911401141114211431144114511461147114811491150115111521153115411551156115711581159116011611162116311641165116611671168116911701171117211731174117511761177117811791180118111821183118411851186118711881189119011911192119311941195119611971198119912001201120212031204120512061207120812091210121112121213121412151216121712181219122012211222122312241225122612271228122912301231

Контрольные вопросы и задания

§ 1§ 2§ 3§ 4§ 5§ 6§ 7§ 8§ 9§ 10§ 11§ 12§ 13§ 14§ 15§ 16

ГДЗ по математике к учебнику от издательства Просвещение очень удобны в использовании. Ответы по алгебре можно смотреть как с компьютера, так и с телефона. Каждая страница соответствует номеру упражнения в книге. Поэтому любой семиклассник без труда найдет правильный ответ и сможет сделать алгебру 7 класс без помощи взрослых. Представленные решения соответствуют изданию последнего года.

Решебник для седьмого класса автора Макарычева составлен квалифицированными специалистами. Когда все материалы с решениями собраны в одном месте, делать домашнюю работу становится легко и быстро. Теперь ребенок сможет разобраться со всеми темами, необходимыми для усвоения в учебном году:

  1. Выражения, тождества, уравнения.
  2. Функции.
  3. Степень с натуральным показателем.
  4. Многочлены.
  5. Формулы сокращенного умножения.
  6. Системы линейных уравнений.

Самостоятельный разбор заданий пойдет на пользу каждому ученику. Главное тщательно выполнять упражнения, которые задаются на дом, тогда в дневнике будут стоять только отличные оценки!

Содержание учебников по алгебре 7 класс

  1. Алгебра. 7 класс. Учебник.  Алимов Ш.А.
  2. Алгебра. 7 класс.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б.
  3. Алгебра. 7 класс.  Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.
  4. Алгебра. 7 класс. Учебник.  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
  5. Алгебра. 7 класс. Учебник.  Никольский С.М., Потапов М.К. и др.

1. Алгебра. 7 класс. Учебник.  Алимов Ш.А.

18-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 224 с.

 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Алгебраические выражения
§ 1. Числовые выражения 3
§ 2. Алгебраические выражения 8
§ 3. Алгебраические равенства. Формулы 10
§ 4. Свойства арифметических действий 14
§ 5. Правила раскрытия скобок 19
Упражнения к главе I 23
Глава II. Уравнения с одним неизвестным
§ 6. Уравнение и его корни 27

§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным 30
§ 8. Решение задач с помощью уравнений 35
Упражнения к главе II 41
Глава III. Одночлены и многочлены
§ 9. Степень с натуральным показателем 44
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем 48
§11. Одночлен. Стандартный вид одночлена 55
§ 12. Умножение одночленов 58
§ 13. Многочлены 61
§ 14. Приведение подобных членов 63
§ 15. Сложение и вычитание многочленов 67
§ 16. Умножение многочлена на одночлен 69
§17. Умножение многочлена на многочлен 71
§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен 75
Упражнения к главе III 78
Глава IV. Разложение многочленов на множители
§ 19. Вынесение общего множителя за скобки 81
§ 20. Способ группировки 85
§21. Формула разности квадратов 88
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности 90
§ 23. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители 94
Упражнения к главе IV 97
Глава V. Алгебраические дроби
§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей 99
§25. Приведение дробей к общему знаменателю 104
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей 108
§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей 112
§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями …. 114
Упражнения к главе V 118
Глава VI. Линейная функция и ее график
§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости 121
§ 30. Функция 124
§ 31. Функция y = kx и ее график 132
§32. Линейная функция и ее график 138
Упражнения к главе VI 143
Глава VII. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
§ 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений 147
§34. Способ подстановки 152
§ 35. Способ сложения 156
§ 36. Графический способ решения систем уравнений 160
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений 165
Упражнения к главе VII 170
Глава VIII. Элементы комбинаторики
§38. Различные комбинации из трех элементов 173
§39. Таблица вариантов и правило произведения 177
§ 40. Подсчет вариантов с помощью графов 181
Упражнения к главе VIII 187
Упражнения для повторения курса алгебры VII класса 188
Задачи для внеклассной работы 198
Краткое содержание курса алгебры VII класса . . . 202
Ответы 209
Предметный указатель 222

2.  Алгебра. 7 класс.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Дроби и проценты
1.1. Сравнение дробей 5
1.2. Вычисления с рациональными числами 10
1.3. Степень с натуральным показателем 14
1.4. Задачи на проценты 21
1.5. Статистические характеристики 30
1.6. Последняя цифра степени (Для тех, кому интересно) 36
Дополнительные задания 37
Чему вы научились 40
Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность
2.1. Зависимости и формулы 44
2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность 50
2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций 57
2.4. Пропорциональное деление 64
2.5. Задачи на «сложные» пропорции (Для тех, кому интересно) . 66
Дополнительные задания 68
Чему вы научились 70
Глава 3. Введение в алгебру
3.1. Буквенная запись свойств действий над числами 73
3. 2. Преобразование буквенных выражений 78
3.3. Раскрытие скобок 85
3.4. Приведение подобных слагаемых 89
3.5. Ещё раз о законах алгебры (Для тех, кому интересно) 95
Дополнительные задания 98
Чему вы научились 100
Глава 4. Уравнения
4.1. Алгебраический способ решения задач 103
4.2. Корни уравнения 107
4.3. Решение уравнений 109
4.4. Решение задач с помощью уравнений 115
4.5. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений (Для тех, кому интересно) 121
Дополнительные задания 123
Чему вы научились 124
Глава 5. Координаты и графики
5.1. Множества точек на координатной прямой 127
5.2. Расстояние между точками координатной прямой 131
5.3. Множества точек на координатной плоскости 134
5.4. Графики 139
5.5. Ещё несколько важных графиков 143
5.6. Графики вокруг нас 148
5.7. Графики зависимостей, заданных равенствами с модулями (Для тех, кому интересно) 156
Дополнительные задания —
Чему вы научились 160
Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем
6.1. Произведение и частное степеней 163
6.2. Степень степени, произведения и дроби 168
6.3. Решение комбинаторных задач 174
6.4. Перестановки 177
6.5. Круговые перестановки (Для тех, кому интересно) 181
Дополнительные задания 182
Чему вы научились 185
Глава 7. Многочлены
7.1. Одночлены и многочлены 188
7.2. Сложение и вычитание многочленов 193
7.3. Умножение одночлена на многочлен 197
7.4. Умножение многочлена на многочлен 201
7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности 205
7.6. Решение задач с помощью уравнений 211
7.7. Деление с остатком (Для тех, кому интересно) 218
Дополнительные задания 219
Чему вы научились 222
Глава 8. Разложение многочленов на множители
8.1. Вынесение общего множителя за скобки 226
8.2. Способ группировки 231
8.3. Формула разности квадратов 233
8.4. Формулы разности и суммы кубов 237
8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов 240
8. 6. Решение уравнений с помощью разложения на множители 243
8.7. Несколько более сложных примеров (Для тех, кому интересно) 245
Дополнительные задания 247
Чему вы научились 250
Глава 9. Частота и вероятность
9.1. Случайные события 253
9.2. Частота случайного события 260
9.3. Вероятность случайного события 266
9.4. Сложение вероятностей (Для тех, кому интересно) 270
Дополнительные задания 271
Чему вы научились 272
Ответы 275
Справочный материал 282
Предметный указатель 283

3.  Алгебра. 7 класс.  Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 5
§ 1. Числовые выражения 6
§ 2. Алгебраические выражения 13
§ 3. Алгебраические равенства. Формулы 18
§ 4. Свойства арифметических действий 23
§ 5. Правила раскрытия скобок 29
Упражнения к главе I 34
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 41
§ 6. Уравнение и его корни 42
§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным 46
§ 8. Решение задач с помощью уравнений 53
Упражнения к главе II 59
ГЛАВА III. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ 65
§ 9. Степень с натуральным показателем 66
§ 10. Свойства степени с натуральным показателем 73
§ 11. Одночлен. Стандартный вид одночлена 82
§ 12. Умножение одночленов 86
§ 13. Многочлены 89
§ 14. Приведение подобных членов 93
§ 15. Сложение и вычитание многочленов 97
§ 16. Умножение многочлена на одночлен 101
§ 17. Умножение многочлена на многочлен 104
§ 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен 109
Упражнения к главе III 113
ГЛАВА IV. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 119
§ 19. Вынесение общего множителя за скобки 120
§ 20. Способ группировки 124
§ 21. Формула разности квадратов 128
§ 22. Квадрат суммы. Квадрат разности 132
§ 23. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители 138
Упражнения к главе IV 143
ГЛАВА V. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ 147
§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей 148
§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю 154
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей 158
§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей 164
§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями 168
Упражнения к главе V 171
ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК 177
§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости 178
§ 30. Функция 182
§ 31. Функция у = kx и её график 192
§ 32. Линейная функция и её график 200
Упражнения к главе VI 205
ГЛАВА VII. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 213
§ 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений 214
§ 34. Способ подстановки 220
§ 35. Способ сложения 225
§ 36. Графический способ решения систем уравнений 230
§ 37. Решение задач с помощью систем уравнений 236
Упражнения к главе VII 243
ГЛАВА VIII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 249
§ 38. Различные комбинации из трёх элементов 250
§ 39. Таблица вариантов и правило произведения 257
§ 40. Подсчёт вариантов с помощью графов 262
Упражнения к главе VIII 272
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ VII КЛАССА 277
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ 287
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 291
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ V—VI КЛАССОВ 293
ОТВЕТЫ 302
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 317

4.  Алгебра. 7 класс. Учебник.  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

ОГЛАВЛЕНИЕ  (2013г.)
ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ
§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ 5
1. Числовые выражения —
2. Выражения с переменными 8
3. Сравнение значений выражений 12
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 17
4. Свойства действий над числами —
5. Тождества. Тождественные преобразования выражений 20
§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 25
6. Уравнение и его корни —
7. Линейное уравнение с одной переменной 28
8. Решение задач с помощью уравнений 32
§ 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 36
9. Среднее арифметическое, размах и мода —
10. Медиана как статистическая характеристика 42
Для тех, кто хочет знать больше
11. Формулы 46
Дополнительные упражнения к главе I 49
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ
§ 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 55
12. Что такое функция —
13. Вычисление значений функции по формуле 59
14. График функции 62
§ 6. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 69
15. Прямая пропорциональность и её график —
16. Линейная функция и её график 75
Для тех, кто хочет знать больше
17. Задание функции несколькими формулами 84
Дополнительные упражнения к главе II 88
ГЛАВА III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 7. СТЕПЕНЬ И ЕЁ СВОЙСТВА 93
18. Определение степени с натуральным показателем —
19. Умножение и деление степеней 99
20. Возведение в степень произведения и степени 103
§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ 108
21. Одночлен и его стандартный вид —
22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 110
23. Функции у = х2 и у = х3 и их графики 112
Для тех, кто хочет знать больше
24. О простых и составных числах 119
Дополнительные упражнения к главе III 121
ГЛАВА IV. МНОГОЧЛЕНЫ
§ 9. СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ 127
25. Многочлен и его стандартный вид —
26. Сложение и вычитание многочленов 130
§ 10. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА 135
27. Умножение одночлена на многочлен —
28. Вынесение общего множителя за скобки 140
§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 145
29. Умножение многочлена на многочлен —
30. Разложение многочлена на множители способом группировки 150
Для тех, кто хочет знать больше
31. Деление с остатком 152
Дополнительные упражнения к главе IV 155
ГЛАВА V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
§ 12. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ 163
32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений —
33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности 169
§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ 172
34. Умножение разности двух выражений на их сумму —
35. Разложение разности квадратов на множители 177
36. Разложение на множители суммы и разности кубов 180
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 183
37. Преобразование целого выражения в многочлен —
38. Применение различных способов для разложения на множители 186
Для тех, кто хочет знать больше
39. Возведение двучлена в степень 190
Дополнительные упражнения к главе V 193
ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 15. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ 199
40. Линейное уравнение с двумя переменными —
41. График линейного уравнения с двумя переменными 204
42. Системы линейных уравнений с двумя переменными 207
§ 16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 211
43. Способ подстановки —
44. Способ сложения 215
45. Решение задач с помощью систем уравнений 219
Для тех, кто хочет знать больше
46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы 223
Дополнительные упражнения к главе VI 226
Задачи повышенной трудности 232
Исторические сведения 236
Сведения из курса математики 5—6 классов 240
Список дополнительной литературы 245
Предметный указатель 246
Ответы 247

5.  Алгебра. 7 класс. Учебник.  Никольский С.М., Потапов М.К. и др.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. Действительные числа
§ 1. Натуральные числа 5
1.1. Натуральные числа и действия с ними —
1.2. Степень числа 7
1.3. Простые и составные числа 9
1.4. Разложение натуральных чисел на множители 11
§ 2. Рациональные числа 14
2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби —
2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь 17
2.3. Периодические десятичные дроби 19
2.4*. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби 22
2.5. Десятичное разложение рациональных чисел 26
§ 3. Действительные числа 29
3.1. Иррациональные числа —
3.2. Понятие действительного числа 30
3.3. Сравнение действительных чисел 32
3.4. Основные свойства действительных чисел 34
3.5. Приближения чисел 38
3.6. Длина отрезка 42
3.7. Координатная ось 45
Дополнения к главе 1 47
1. Делимость чисел —
2. Исторические сведения 54
ГЛАВА 2. Алгебраические выражения
§ 4. Одночлены 59
4.1. Числовые выражения —
4.2. Буквенные выражения 63
4.3. Понятие одночлена 66
4.4. Произведение одночленов 68
4.5. Стандартный вид одночлена 72
4.6. Подобные одночлены 74
§ 5. Многочлены 76
5.1. Понятие многочлена —
5.2. Свойства многочленов 78
5.3. Многочлены стандартного вида 79
5.4. Сумма и разность многочленов 82
5.5. Произведение одночлена и многочлена 85
5.6. Произведение многочленов 87
5.7. Целые выражения 92
5.8. Числовое значение целого выражения 94
5. 9. Тождественное равенство целых выражений 97
§ 6. Формулы сокращённого умножения 100
6.1. Квадрат суммы —
6.2. Квадрат разности 102
6.3. Выделение полного квадрата 104
6.4. Разность квадратов 107
6.5. Сумма кубов 109
6.6. Разность кубов 111
6.7*. Куб суммы 113
6.8*. Куб разности 114
6.9. Применение формул сокращённого умножения 115
6.10. Разложение многочлена на множители 118
§ 7. Алгебраические дроби 124
7.1. Алгебраические дроби и их свойства —
7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю 128
7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями 130
7.4. Рациональные выражения 136
7.5. Числовое значение рационального выражения 139
7.6. Тождественное равенство рациональных выражений 144
§ 8. Степень с целым показателем 148
8.1. Понятие степени с целым показателем —
8.2. Свойства степени с целым показателем 152
8.3. Стандартный вид числа 155
8. 4. Преобразование рациональных выражений 157
Дополнения к главе 2 161
1. Делимость многочленов —
2. Исторические сведения 168
ГЛАВА 3. Линейные уравнения
§ 9. Линейные уравнения с одним неизвестным 171
9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным —
9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным 174
9.3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным 177
9.4. Решение задач с помощью линейных уравнений 180
§ 10. Системы линейных уравнений 182
10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными —
10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 186
10.3. Способ подстановки 189
10.4. Способ уравнивания коэффициентов 192
10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений 195
10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными 200
10.7*. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 203
10.8*. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными 206
10. 9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени 208
Дополнения к главе 3 216
1. Линейные диофантовы уравнения
2. Метод Гаусса 220
3. Исторические сведения 223
Задания для повторения 225
Задания на исследование 269
Задания для самоконтроля 271
Список дополнительной литературы 273
Предметный указатель 275
Ответы 276

все статьи по математике

 

Поиск материала «Алгебра, 7 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.И., Суворова С.Б., 1976» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

  1. Алгебра 7 КЛАСС (Макарычев, Миндюк, Муравин, Суворова)…

    Старые учебники СССР Учебное пособие для 7 класса средней школы 5-е издание Москва «Просвещение» 1976 Ю.

    Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин, С.Б. Суворова С О Д Е Р Ж А Н И Е: 1. Дроби 2. Неравенства и их применение к приближенным вычислениям 3. Квадратные корни 4. Квадратные уравнения Ответы КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ? СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ window.yaContextCb.push(() … }) Скачать учебник Алгебра 7 класс 1976 года (формат…

    sovietime.ru

  2. Алгебра. 7 класс. Учебник — Макарычев Ю.Н., Миндюк…

    Учебник — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования.

    В задачный материал включены новые по форме задания: задания для работы в парах и задачи-исследования.

    11klasov.net

  3. Купить эту книгу

  4. Канцтовары

    Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.

    my-shop.ru

  6. Скачать бесплатно Алгебра. 7 класс. Учебник — Макарычев…

    7 класс. Учебник — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. cкачать в PDF. Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано.

    Автор: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Год: 2014. Язык учебника: Русский.

    fizikadlyvas.net

  7. Миндюк Н. Г., Муравин К.С., Макарычев Ю.Н., Юрий Николаевич…

    — 5-е изд. — Москва : Просвещение, 1976 Учебник от прославленных педагогов и математиков. Начала Алгебры даются доходчиво и понятно. Учебник издается до сих пор. Доступно к распечатке в типографии группы.

    Советские учебники, это для фото всех пересадили…вышло так что с первого класса и до выпуска просидел за одной партой с девочкой с косой ..В школе никогда не расстраивался ни о чём…хорошёё было время.Всех помню.

    vk.com

  8. Учебник Алгебра 7 класс Макарычев скачать
    , читать онлайн

    Все учебники представлены в нескольких форматах PDF и DJVU, а ссылки на книги расположенны сразу под описанием учебника. Большая часть учебников имеет также и онлайн версию. Для устройств с ОС Android используйте читалку EBookDroid — PDF & DJVU Reader ее бесплатно можно скачать в Play Маркет. Как читать DJVU на iPad: с помощью бесплатной программы Book Reader Lite или Stanza. Для обычных компьютеров Windows используйте программу для чтения WinDjView 2.0.

    11book.ru

  9. Алгебра. 7 класс. Учебник — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

    Учебник — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано.

    Рубрика: Алгебра / 7 класс. Автор: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Год: 2009, 2013, 2014. Для учеников: 7 класс. Язык учебника: Русский. Формат: PDF.

    11klasov.net

  10. Алгебра 7 класс Учебник Макарычев Миндюк

    Учебник содержит большое количество тренировочных упражнений и нестандартных заданий творческого характера. Главы 1, 5, 7 написаны Ю. Н. Макарьшевым; главы 2, 3, 4 — Н. Г. Миндюк; главы 6, 8 — К. И. Пешковым, п. 4, 36 — И. Е. Феоктистовым. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я72И-22.14я721.6 Учебное издание Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Феоктистов Илья Евгеньевич АЛГЕБРА 7 класс УЧЕБНИК для учащихся общеобразовательных учреждений Формат 60×90 V,fi.

    uchebnik-skachatj-besplatno.com

  11. Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк Учебник

    Алгебра 7 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Учебник. Учебник является первой частью трехлетнего курса алгебры для общеобразовательной школы. Математическое содержание учебника позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС основного общего образования. Скачать бесплатно Учебник алгебры 7 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк (38,19 МБ). После загрузки файла в правом верхнем углу страницы нажмите значок для скачивания файла на свой компьютер. 3-е издание.

    www.math-express.ru

  12. Алгебра 7 КЛАСС (Макарычев, Миндюк, Муравин,
    Суворова    )…

    Учебное пособие для 7 класса средней школы. 5-е издание. Москва «Просвещение» 1976. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин, С.Б. Суворова.

    Скачать учебник Алгебра 7 класс 1976 года (формат DjVu, 2.68 Mb)

    ussrvopros.ru

  13. Алгебра 7 класс Учебник Макарычев Миндюк

    Учебник содержит большое количество тренировочных упражнений и нестандартных заданий творческого характера. Главы 1, 5, 7 написаны Ю. Н. Макарьшевым; главы 2, 3, 4 — Н. Г. Миндюк; главы 6, 8 — К. И. Пешковым, п. 4, 36 — И. Е. Феоктистовым. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я72И-22.14я721.6 Учебное издание Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Феоктистов Илья Евгеньевич АЛГЕБРА 7 класс УЧЕБНИК для учащихся общеобразовательных учреждений Формат 60×90 V,fi.

    uchebniki-shkola.com

  14. Алгебра. Учебник для 7 класса. Ю.Н.Макарычев и др. (1978-83)

    FREMUS учебники Алгебра 7 класс 1978-83 Макарычев Миндюк Муравин Суворова образование ссср Soviet USSR PUPILS BOOK algebra math.

    — М.: , 1978-1983. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.С.Муравин, С.Б.Суворова. Под ред. А.И. Маркушевича.

    fremus.narod.ru

  15. Алгебра. Учебник для 7 класса средней школы. Ю.Н.Макарычев…

    FREMUS советские учебники Алгебра 7 класс Макарычев Миндюк Муравин Нешков Суворова 1985 образование СССР Soviet USSR PUPILS BOOK russian grammar.

    Ю.Н.Макарычев и др.

    fremus.narod.ru

  16. Алгебра 7 класс Макарычев Ю.Н. скачать бесплатно PDF

    Название учебника: Алгебра Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред. Теляковского С.А. Класс: 7 класс Издательство: Просвещение Предмет: Математика Тип учебника: Рекомендуемый Стандарт: ФГОС ООО.

    Бесплатно скачать учебник Алгебра 7 класс Макарычев Ю.Н. и другие электронные школьные учебники на планшет в формате PDF.

    shcolara.ru

  17. Алгебра 7 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.

    Главная Учебники 7 класс Алгебра 7 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.

    Теперь, вы сможете решать текстовые задачи, используя не только уравнения с одной переменной, но и системы уравнений с двумя переменными. Вы познакомитесь со свойствами которых. На уроках алгебры в 7 классе, помогут вам при изучении многих школьных предметов: геометрии, информатики, физики, химии и др.

    znayka.win

  18. Алгебра. Учебник для 7 класса. Ю.Н.Макарычев и др. (1981)

    FREMUS советские учебники Алгебра 7 класс 1981 Макарычев Миндюк Муравин Суворова образование ссср Soviet USSR PUPILS BOOK algebra math.

    fremus.narod.ru

  19. Алгебра. 7 класс. Учебник. Углубленный уровень — Макарычев…

    Данное учебное пособие предназначено для углублённого изучения алгебры в 7 классе. Это первое пособие завершённой линии учебных пособий по алгебре для 7—9 классов, подготовленных в соответствии со всеми требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования. Особенностями этого пособия являются расширение и углубление традиционных учебных тем за счёт теоретико-множественной, вероятностно-статистической и историко-культурной линий.

    11klasov.net

  20. Алгебра 7 класс Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.

    Читать учебники онлайн, в электронном виде по классам, предметам. Школьные учебники, рабочие тетради, пособия с 1 по 11 класс. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, ВПР, контрольным работам, скачать школьные учебники.

    Теперь, вы сможете решать текстовые задачи, используя не только уравнения с одной переменной, но и системы уравнений с двумя переменными. Вы познакомитесь со свойствами которых. На уроках алгебры в 7 классе, помогут вам при изучении многих школьных предметов: геометрии, информатики, физики, химии и др.

    uchebniksonline.ru

  21. Макарычев Ю.Н., Юрий Николаевич Алгебра : Учеб. для 7-го кл….

    Мне тут видео попалось, в тему сравнения образования с американским. Мальчик в 7 классе рассказывает про хомскул.

    Снежана, да да в 7 классе 4 предмета, слегка побольше чем завещал Гитлер для унтерменшей или Победоносцев для быдла в Российской империи. Для сравнения: первый курс в МФТИ и в Массачусетском технологическом, найдите производную функции.

    vk.com

  22. Алгебра. 7 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

    Смотреть, скачать: Купить в MyShop или Book24. ОГЛАВЛЕНИЕ (2013г.) ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ § 1. ВЫРАЖЕНИЯ 5 1. Числовые выражения — 2. Выражения с переменными 8 3. Сравнение значений выражений 12 § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 17 4. Свойства действий над числами — 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений 20 § 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 25 6. Уравнение и его корни — 7. Линейное уравнение с одной переменной 28 8. Решение задач с помощью уравнений 32 § 4…

    www.at.alleng.org

  23. Ю. Н. Макарычев H. I. Миндюк К. И. Нешков АЛГЕБРА У

    Ю. Н. Макарычев. H. I. Миндюк. К. И. Нешков. АЛГЕБРА Учебник. Ю. Н. Макарычев. Н. Г. Миндюк. К. И. Нешков. И. Е. Феоктистов. Алгебра Учебник. для учащихся общеобразовательных учреждений. 73-е издание, стереотипное.

    учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, Феоктистов. стер. Мнемозина, 2013. ISBN 978-5-346-02329-6. Данный учебник предназначен для углублённого изучения алгебры в 7-м классе и входит в комплект из трёх книг. Ero содержание полностью соответствует современным образовательным стандартам

    ege-ok.ru

  24. Алгебра. 7 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

    — М.: 2014. — 256 с. Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования.

    См. также: Все домашние работы к учебнику Ю.Н. Макарычева «Алгебра. 7 класс».

    uchebniki.alleng.me

  25. Макарычев и др. Алгебра 7 класс. 2009 (Изд. Просвещение)

    Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов — Алгебра: учебник для 7 класса 2008 год. Данный учебник предназначен для углубленного изучения алгебры в 7 классе и входит в комплект из трех книг: «Алгебра-7», «Алгебра-8» и «Алгебра-9». Его содержание полностью соответствует современным образовательным стандартам, а особенностями являются расширение и углубление традиционных учебных тем за счет теоретико-множественной, вероятностно

    www.studmed.ru

  26. Алгебра. 7 класс. Углубленный уровень. Макарычев…

    Читать учебники онлайн, в электронном виде по классам, предметам. Школьные учебники, рабочие тетради, пособия с 1 по 11 класс. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, ВПР, контрольным работам, скачать школьные учебники.

    Проверочные работы по истории России 8 класс Соловьев. Учебник Алгебра 10 класс Пратусевич. Starlight 2 (Звездный английский 2 класс) Книга для родителей, Мильруд Р.П., Суханова О.Н. Литература 5 класс 2 часть из 3-х Бунеев Р.Н, Бунеева Е.В.

    uchebniksonline.ru

  27. Алгебра. 7 класс (Ю.Н. Макарычев) — 1976 год — Всё для чайников

    7 класс (Ю.Н. Макарычев) — 1976 год. Подробности. Категория: Математика. Год: 1976 Автор: Ю.Н. Макарычев Жанр: Учебная литература Издательство: «Просвещение» ISBN: Язык: Русский Формат: DjVu Количество страниц: 131. Скачать.

    forkettle.ru

  28. Читать онлайн учебник по алгебре за 7 класс Макарычев Миндюк

    Читать онлайн учебник по алгебре за 7 класс Макарычев Миндюк. В данной книге содержится бесплатный учебный материал, необходимый для изучения предмета в школе. Для просмотра нажмите по нужным номерам страниц.

    uchebnik-i-tetrad.com

  29. Читать Алгебра 7 класс Макарычев онлайн

    Вот и прочти Алгебра 7 класс Макарычев здесь: это интересно: Категория: Учебники 7 класс бесплатно Она показыв.

    Вы прочитали Алгебра 7 класс Макарычев отличной Вам учебы! Самые популярные статьи: Мерзляк, Полонский дидактические материалы 7 класс алгебра 2018. учебник Петерсона все три части алгебра 7 класс. Читать алгебра задачник 7 класс Мордкович онлайн.

    gdz-online.ws

  30. Онлайн Алгебра 7 класс Учебник Макарычев Миндюк бесплатно…

    Чтобы читать и смотреть Алгебра 7 класс Учебник Макарычев Миндюк, нажмите на нужные страницы. Появятся изображения с бесплатными учебными материалами.

    rabochaya-tetrad-i-uchebnik.com

  31. Алгебра 7 Контрольные Макарычев — КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

    Алгебра 7 Контрольные Макарычев (ДМ Звавич) — это контрольные работы (цитаты) в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, 2012». Цитаты из указанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат , что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании…

    algeomath.ru

  32. ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев

    Представляем вам бесплатное ГДЗ для учебника по алгебре за 7 класс (авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и Суворова С. Б.). Рекомендуем использовать его родителям для проверки домашнего задания. Если вы школьник, то не рекомендуем списывать, т.к. это снизит вашу успеваемость.

    uchim.org

  33. Учебник по алгебре 7 класс / Макарычев

    Алгебра 7 класс. Оглавление. Глава I. Выражения, тождества, уравнения.

    Дополнительные упражнения к главе VI. Задачи повышенной трудности. Как появилась алгебра. Сведения из курса математики 5-6 классов. Ответы к упражнениям.

    tepka.ru

  34. ГДЗ (решебник) Алгебра 7 класс Макарычев

    На помощь им могут прийти ГДЗ по Алгебре 7 класс Макарычев, который содержит полноценную информацию по курсу этого года. Что включено в решебники по алгебре. Все справочники, которые размещены на нашем сайте, снабжены

    Кроме того, для вашего удобства мы объединили на сервере несколько ГДЗ по Алгебре 7 класс Макарычев, чтобы была возможность выбрать подходящее оформление и сравнить ответы. В особо сложных случаях приведены авторские пояснения, что призвано облегчить восприятие информации.

    megashpora.com

  35. ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев — Решебник с подробными…

    Решебник алгебры седьмого класса к учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова. Решения с пояснениями по алгебре за 7 класс составлены на основе учебника Макарычева 2013 года, который соответствует Федеральным государственным образовательным стандартам. Номера в пособии с готовыми домашними заданиями соответствуют нумерации учебника. Алгебра седьмого класса содержит 5 глав, состоящих из 16 параграфов, которые в свою очередь в общей сложности разбиты на 46 подпунктов.

    otvetkin.info


На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Алгебра, 7 класс, Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.И., Суворова С.Б., 1976»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 19 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы:

Спектральное исчисление и расширение Липшица для Барицентрические метрические пространства

Ключевые слова: марковский котип; расширение Липшица; CAT(0) метрические пространства; нелинейные спектральные лакуны

[1] А. Андони, А. Наор, О. Нейман. Снежинкообразная универсальность пространств Вассерштейна. Препринт, (2010). Поиск в Google Scholar

[2] А. Андони, А. Наор и О. Нейман. Об изоморфном уменьшении размерности в ` 1. Препринт, (2011). Поиск в Google Scholar

[3] К. Болл. Цепи Маркова, преобразования Рисса и отображения Липшица. геом. Функц. Анал., 2(2):137-172, (1992).10.1007/BF01896971Поиск в Google Scholar

[4] К. Болл. Программа Рибе. Séminaire Bourbaki, exposé 1047, (2012). Поиск в Google Scholar

[5] К. Болл, Э. А. Карлен и Э. Х. Либ. Точные неравенства равномерной выпуклости и гладкости для норм следов. Изобретать. Math., 115(3):463-482, (1994).10.1007/BF01231769Поиск в Google Scholar

[6] W. Ballmann. Лекции о пространствах неположительной кривизны, том 25 из DMV Seminar . Биркхойзер Ферлаг, Базель, 1995. С приложением Миши Брина. Геометрический нелинейный функциональный анализ. Том. 1, том 48 коллоквиума Американского математического общества. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, (2000). Поиск в Google Scholar

[8] Дж. Бургейн. Контрпример к проблеме комплементарности. Compositio Math., 43(1):133-144, (1981).Поиск в Google Scholar

[9] M.R. Bridson and A. Haefliger. Метрические пространства неположительной кривизны, том 319of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] . Springer-Verlag, Berlin, (1999).10.1007/978-3-662-12494-9_18Поиск в Google Scholar

[10] Б. Бринкман, А. Карагиозова и Дж. Р. Ли. Разрезы вершин, случайные блуждания и уменьшение размерности в последовательно-параллельных графах. В STOC’07-Материалы 39-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений, страницы 621-630. ACM, Нью-Йорк, (2007).10.1145/1250790.1250882Поиск в Google Scholar

[11] А. Брудный и Ю. Брудный. Методы геометрического анализа в задачах о продолжении и следах. Том 2, том 103 Математических монографий. Birkhäuser/Springer Basel AG, Базель, (2012).10.1007/978-3-0348-0209-3Поиск в Google Scholar

[12] Т. Кристиансен и К. Т. Штурм. Ожидания и мартингалы в метрических пространствах. Stochastics, 80(1):1-17, (2008).10.1080/17442500701433640Поиск в Google Scholar

[13] J. Ding, J. R. Lee, and Y. Peres. Марковский тип и пороговые вложения. Препринт доступен на http://arxiv.org/abs/1208.6088, (2012). Поиск в Google Scholar

[14] С. Досс. Moyennes conditionnelles et martingales dans un espace métrique. CR Acad. науч. Paris, 254:3630-3632, (1962). Поиск в Google Scholar

[15] А. Дворецкий. Некоторые результаты о выпуклых телах и банаховых пространствах. В проц. междунар. Симпозиумы Линейные пространства (Иерусалим, 1960), страницы 123-160. Иерусалимское академическое издательство, Иерусалим, (1961). Поиск в Google Scholar

[16] М. Эмери. Стохастическое исчисление в многообразиях. Университекст. Springer-Verlag, Berlin, 1989. С приложением П.-А. Мейер.10.1007/978-3-642-75051-9Поиск в Google Scholar

[17] А. Эс-Сахиб и Х. Хайнич. Barycentre canonique pour un espace métrique à courbure négative. В Séminaire de Probabilités, XXXIII, том 1709 Lecture Notes in Math., стр. 355–370. Springer, Berlin, (1999).10.1007/BFb0096526Search in Google Scholar

[18] T. Figiel. О модулях выпуклости и гладкости. Studia Math., 56:121-155, (1976).10.4064/sm-56-2-121-155Поиск в Google Scholar

[19] T. Figiel, W. B. Johnson, and G. Schechtman. Факторизации естественных вложений Лр р в Лр . I. Studia Math., 89(1):79-103, (1988).10.4064/sm-89-1-79-103Search in Google Scholar

[20] М. Громов. Случайное блуждание в случайных группах. геом. Функц. Anal., 13(1):73-146, (2003).10.1007/s0003002Search in Google Scholar

[21] А. Гротендик. Резюме метрической теории тензорных топологических продуктов. Бол. соц. Мат. Сан-Паулу, 8:1-79, (1953). Поиск в Google Scholar

[22] С. Генрих. Ультрапроизведения в теории банаховых пространств. Дж. Рейн Ангью. Матем., 313:72-104, (1980).10.1515/crll.1980.313.72Поиск в Google Scholar

[23] В. Б. Джонсон и Дж. Линденштраус. Расширения липшицевых отображений в гильбертово пространство. В конференции по современному анализу и вероятности (Нью-Хейвен, Коннектикут, 1982), том 26 журнала Contemp. Матем., стр. 189-206. амер. Мат. Soc., Providence, RI, (1984).10.1090/conm/026/737400 Поиск в Google Scholar

[24] W. B. Johnson, J. Lindenstrauss, and G. Schechtman. Расширения липшицевых отображений в банаховы пространства. Израиль J. Math., 54 (2): 129-138, (1986).10.1007/BF02764938Поиск в Google Scholar

[25] В. Б. Джонсон, Х. П. Розенталь и М. Циппин. О базисах, конечномерных разложениях и более слабых структурах в банаховых пространствах. Israel J. Math., 9:488-506, (1971).10.1007/BF02771464Поиск в Google Scholar

[26] J. Jost. Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты. Лекции по математике ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, (1997). Поиск в Google Scholar

[27] NJ Kalton. Пространства функций Липшица и Гельдера и их приложения. Собирать. Math., 55(2):171-217, (2004). Поиск в Google Scholar

[28] Н. Дж. Калтон. Липшицевы и равномерные вложения в `1 . Фонд. Math., 212(1):53-69, (2011).10.4064/fm212-1-4Search in Google Scholar

[29] NJ Kalton. Равномерная структура банаховых пространств. Мат. Ann., 354(4):1247-1288, (2012). 10.1007/s00208-011-0743-3Поиск в Google Scholar

[30] М. Капович и Б. Лееб. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрий фундаментальных групп трехмерных многообразий. геом. Функц. Анал., 5(3):582-603, (1995).10.1007/BF01895833Поиск в Google Scholar

[31] M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Фундамент. Math., 22:77-108, (1934).10.4064/fm-22-1-77-108Search in Google Scholar

[32] U. Lang. Расширяемость крупномасштабных липшицевых карт. Транс. амер. Мат. Soc., 351(10):3975-3988, (1999).10.1090/S0002-9947-99-02265-5Поиск в Google Scholar

[33] У. Ланг, Б. Павлович и В. Шредер. Расширения липшицевых отображений в пространства Адамара. геом. Функц. Anal., 10(6):1527-1553, (2000).10.1007/PL00001660Поиск в Google Scholar

[34] У. Ланг и Т. Шлихенмайер. Размерность Нагаты, квазисимметричные вложения и липшицевы расширения. Междунар. Мат. Рез. Not., (58):3625-3655, (2005).10.1155/IMRN.2005.3625Поиск в Google Scholar

[35] У. Ланг и В. Шредер. Теорема Киршбрауна и метрические пространства ограниченной кривизны. геом. Функц. Anal., 7(3):535-560, (1997).10.1007/s0003018Поиск в Google Scholar

[36] Дж. Р. Ли и А. Наор. Расширение липшицевых функций через случайные метрические разбиения. Изобретать. Матем., 160(1):59-95, (2005).10.1007/s00222-004-0400-5Поиск в Google Scholar

[37] Дж. Линденштраус и А. Пелчински. Абсолютно суммирующие операторы в Lp -пространствах и их приложения. Studia Math., 29: 275-326, (1968). L p мест. Israel J. Math., 7:325-349, (1969).10.1007/BF02788865Search in Google Scholar

[39] К. Макарычев и Ю. Макарычев. Операторы метрического расширения, разрыхлители вершин и липшицева расширяемость. На 51-м ежегодном симпозиуме IEEE по основам компьютерных наук, стр. 255–264, (2010 г.).10.1109/FOCS.2010.31Поиск в Google Scholar

[40] Б. Морей. Теоремы факторизации для линейных операторов по стоимости в космических пространствах Lp . Société Mathématique de France, Paris, 1974. С резюме на английском языке, Astérisque, No. 11. Поиск в Google Scholar

[41] B. Maurey. Тип, котип и К -выпуклость. В Справочнике по геометрии банаховых пространств, Vol. 2, страницы 1299-1332. Северная Голландия, Амстердам, (2003).10.1016/S1874-5849(03)80037-2Поиск в Google Scholar

[42] М. Мендель и А. Наор. Метрический котип. Анна. математики. (2), 168(1):247-298, (2008).10.4007/annals.2008.168.247Поиск в Google Scholar

[43] М. Мендель и А. Наор. Нелинейное спектральное исчисление и суперрасширители. Чтобы появиться в Inst. Высшие научные исследования. Опубл. Math., доступно на http://arxiv.org/abs/1207.4705, (2012). Поиск в Google Scholar

[44] М. Мендель и А. Наор. Расширители относительно пространств Адамара и случайных графов. Препринт, (2013).10.1145/2554797.2554829Поиск в Google Scholar

[45] М. Мендель и А. Наор. Марковская выпуклость и локальная жесткость искаженных метрик. Дж. Евр. Мат. соц. (JEMS), 15(1):287-337, (2013).10.4171/JEMS/362Search in Google Scholar

[46] В. Д. Мильман и Г. Шехтман. Асимптотическая теория конечномерных нормированных пространств, том 1200 лекций по математике. Springer-Verlag, Berlin, 1986. С приложением М. Громова. Поиск в Google Scholar

[47] GJ Minty. О продолжении липшицевых, липшицево-гёльдеровых и монотонных функций. Бык. амер. Мат. Соц., 76:334-339, (1970).10.1090/S0002-9904-1970-12466-1Поиск в Google Scholar

[48] А. Наор. Явление фазового перехода между изометрической и изоморфной задачами продолжения для функций Гёльдера между Lp пространствами. Mathematika, 48(1-2):253-271 (2003), (2001).10.1112/S0025579300014480Search in Google Scholar

[49] А. Наор. Введение в программу Рибе. Япония. J. Math., 7(2):167-233, (2012).10.1007/s11537-012-1222-7Поиск в Google Scholar

[50] А. Наор, Ю. Перес, О. Шрамм и С. Шеффилд. Цепи Маркова в гладких банаховых пространствах и гиперболических по Громову метрических пространствах. Герцог Математика. Дж., 134(1):165-197, (2006). 10.1215/S0012-7094-06-13415-4Поиск в Google Scholar

[51] А. Наор и Г. Шехтман. Замечания о нелинейном типе и неравенстве Пизье. Дж. Рейн Ангью. Math., 552:213-236, (2002).10.1515/crll.2002.092Search in Google Scholar

[52] А. Наор и Л. Зильберман. Неравенства Пуанкаре, вложения и дикие группы. Композиции Math., 147(5):1546-1572, (2011).10.1112/S0010437X11005343Search in Google Scholar

[53] А. Навас. L 1 эргодическая теорема со значениями в пространстве неположительной кривизны через каноническую карту центра масс. Эргодическая теория динам. Системы, FirstView:1-15.Поиск в Google Scholar

[54] С.-и. Охта. Расширение отображений Липшица и Гельдера между метрическими пространствами. Positivity, 13(2):407-425, (2009).10.1007/s11117-008-2202-2Поиск в Google Scholar

[55] S.-i. Охта. Марковский тип пространств Александрова неотрицательной кривизны. Mathematika, 55(1-2):177-189, (2009).10.1112/S0025579300001005Search in Google Scholar

[56] A. Pietsch. Absolut p -summierende Abbildungen в нормальных условиях Räumen. Studia Math., 28:333-353, (1966/1967).10.4064/sm-28-3-333-353Поиск в Google Scholar

[57] Г. Пизье. Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах. Israel J. Math., 20(3-4):326-350, (1975).10.1007/BF02760337Поиск в Google Scholar

[58] Г. Шехтман. Подробнее о вложении подпространств Lp в ln r . Compositio Math., 61(2):159-169, (1987). Поиск в Google Scholar

[59] К.-Т. Штурм. Нелинейная мартингальная теория процессов со значениями в метрических пространствах неположительной кривизны. Анна. Probab., 30(3):1195-1222, (2002).10.1214/аоп/1029867125Искать в Google Scholar

[60] К.-Т. Штурм. Вероятностные меры на метрических пространствах неположительной кривизны. В книге «Тепловые ядра и анализ многообразий, графов и метрических пространств» (Париж, 2002 г.), том 338 журнала Contemp. Матем., стр. 357-390. амер. Мат. Soc., Providence, RI, (2003). 10.1090/conm/338/06080Поиск в Google Scholar

[61] М. Талагранд. Вложение подпространств L 1 в lN 1 . проц. амер. Мат. Soc., 108(2):363-369, (1990).10.2307/2048283Поиск в Google Scholar

По вопросу Н.Т. Варопулос и константа $C_2(n)$

[1] Алон, Нога; Наор, Ассаф Аппроксимация нормы сечения с помощью неравенства Гротендика, SIAM J. Comput., Volume 35 (2006) no. 4, стр. 787-803 | DOI | Г-Н | Збл

[2] Андо, Тадао О паре коммутативных сокращений, Acta Sci. Math., Volume 24 (1963), стр. 88-90. | Г-Н | Збл

[3] Багчи, Бхаскар; Мишра, Гададхар Сжимающие гомоморфизмы и нормы тензорного произведения, Интегральные уравнения, опер. Теория, Том 21 (1995) нет. 3, стр. 255-269. | DOI | Г-Н | Збл

[4] Багчи, Бхаскар; Мишра, Гададхар о константах Гротендика (2008 г. ) (www.math.iisc.ac.in/gm/gmhomefiles/papers/kgc2.pdf)

[5] Браверман, Марк; Макарычев, Константин; Макарычев, Юрий; Наор, Ассаф Постоянная Гротендика строго меньше границы Кривина, Forum Math. Пи, том 1 (2013), 4, 42 стр. (ст. ID. 4, 42 стр.) | Г-Н | Збл

[6] Crabb, MJ; Дэви, Неравенство Александра М. фон Неймана для операторов гильбертова пространства, Bull. Лонд. Мат. Soc., Том 7 (1975), стр. 49-50. | Г-Н | Збл

[7] Фишбёрн, Питер С. ; Ридс, Неравенства Джеймса А. Белла, константа Гротендика и корень два, SIAM J. Discrete Math., Volume 7 (1994) no. 1, стр. 48-56 | DOI | Г-Н | Збл

[8] Гупта, Раджив Интерполяционные проблемы Каратеодори-Фейера и неравенство фон Неймана (2015) (https://arxiv.org/abs/1508.07199)

[9] Гупта, Раджив Улучшение оценки для C2(n), Acta Sci. Матем., Том 83 (2017) нет. 1-2, стр. 263-269 | Збл

[10] Холбрук, Нормы Джона А. Шура и многомерное неравенство фон Неймана, Последние достижения в теории операторов и смежных темах (Сегед, 1999) (Теория операторов: достижения и приложения), том 127, Биркхойзер, 2001, стр. 375- 386 | Г-Н | Збл

[11] Холбрук, Джон А.; Шох, Жан-Пьер Теория против эксперимента: мультипликативные неравенства для числового радиуса коммутирующих матриц, Вопросы теории операторов. Том 1. Операторы, матрицы и аналитические функции (Теория операторов: достижения и приложения), том 202, Биркхойзер, 2010 г., стр. 273-284. | DOI | Г-Н | Збл

[12] Кривин, Жан-Луи Сюр ла Константе де Гротендик, C.R. Acad. науч. Париж, сер. А, том 284 (1977) нет. 8, стр. 445-446 | Г-Н | Збл

[13] Кривин, Жан-Луи Константес де Гротендик и функции положительного типа для сфер, Adv. Матем., Том 31 (1979), нет. 1, стр. 16-30 | DOI | Г-Н | Збл

[14] Ли, Чи-Квонг; Тэм, Бит-Шун. Заметка о матрицах экстремальной корреляции, SIAM J. Matrix Anal. Appl., Том 15 (1994) нет. 3, стр. 903-908 | DOI | Г-Н | Збл

[15] фон Нейман, Иоганн Eine Spectraltheorie für allgemeine Operatoren eines unitären Raumes, Math. Нахр., Том 4 (1951), стр. 258-281. | Г-Н | Збл

[16] Никулеску, Константин; Перссон, Ларс-Эрик Выпуклые функции и их приложения. Современный подход, CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, 23, Springer, 2006, xvi+255 страниц. | DOI | Г-Н | Збл

[17] Пизье, Неравенство Жиля Гротендика, случайные матрицы и квантовые расширители (на основе специальных лекций SGU в Киотском университете с 12 по 18 марта 2015 г. , записанных Кей Хасэгава, https://ktgu.math.kyoto-u.ac .jp/sites/default/files/Pisier_lecturenote.pdf)

[18] Пизье, Жиль Факторизация линейных операторов и геометрия банаховых пространств, Серия региональных конференций по математике, 60, Американское математическое общество, 1986, x+154 страницы. | DOI | Г-Н | Збл

[19] Pisier, Gilles Проблемы подобия и полностью ограниченные отображения. Включает решение «Проблемы Халмоша», Lecture Notes in Mathematics, 1618, Springer, 2001, viii+198 страниц. | DOI | Г-Н | Збл

[20] Pisier, Теорема Жиля Гротендика, прошлое и настоящее, Bull. Являюсь. Мат. Soc., Том 49 (2012) нет. 2, стр. 237-323 | DOI | Г-Н

[21] Рэй, Самья Кумар о многомерной гипотезе Мацаева (2017) (https://arxiv. org/abs/1703.00733)

[22] Варопулос Об одном неравенстве фон Неймана и применении метрической теории тензорных произведений к теории операторов, J. Funct. Анал., Том 16 (1974), стр. 83-100. | Г-Н | Збл

[23] Варопулос О коммутирующем семействе сжатий в гильбертовом пространстве, Rev. Roum. Мат. Pures Appl., Том 21 (1976), нет. 9, стр. 1283-1285. | Г-Н | Збл

Лапласиан

w3.org/1999/xhtml» cellspacing=»0″>

Шанг-Хуа Дэн и я написали большую статью о проблеме решения систем линейных уравнений в лапласовых матрицах графов. В этой статье потребовалось много алгоритмов теории графов, большинство из которых были значительно улучшены. На этой странице мы попытаемся отслеживать основные разработки и приложения этих идей.

Содержание

  1. 1 Обзоры, классы и пояснительные статьи
  2. 2 Combinatorial Preconditioning
  3. 3 The Spielman-Teng Papers
  4. 4 Improved Solvers
  5. 5 Solvers for Directed (non-symmetric) Laplacians
  6. 6 Code
  7. 7 Local Graph Clustering
  8. 8 Низкопротяженные остовные деревья
  9. 9 Разреженность
  10. 10 Использование лапласианских решателей в методах внутренних точек
  11. 11 Некоторые другие алгоритмы, основанные на теории поддержки
  12. 12 Математические основы комбинаторной предварительной обработки

Обзоры, классы и пояснительные статьи

  • Network Solutions, relaricha Klaricha. Новости науки Саймонса. Фонд Саймонса.
  • Быстрый решатель для класса линейных систем, созданный Иоаннисом Кутисом, Гэри Миллером и Ричардом Пэном. Сообщения ACM, том 55, выпуск 10, октябрь 2012 г..
  • Lx = b, книга Нишит Вишной.
  • Sivan Toledo’s Support-Preconditioning Page

Комбинаторное предварительное обусловливание

Комбинаторный подход к предварительному обусловливанию, также называемый теорией поддержки, был представлен Вайдья в неопубликованной статье. Для получения дополнительной информации об истории этого поля я рекомендую страницу Брюса Хендриксона «Теория поддержки для предварительной обработки».

Ниже приведены некоторые основополагающие документы в этой области:

  • Предобуславливатели опорных графов Берна, Гилберта, Хендриксона, Нгуена и Толедо. СИАМ Дж. Матричный анал. и приложение 2006.
  • Теория поддержки для предварительного кондиционирования, Боман и Хендриксон. СИАМ Дж. Матричный анал. и приложение 2003.
  • Предобуславливатели с максимальным весом, Боман, Чен, Хендриксон и Толедо, Численная линейная алгебра и приложения, 2004.

Документы Шпильмана-Тэна -Алгоритмы линейного времени для разбиения графов, разрежения графов и решения линейных систем» (предварительная версия в STOC ’04, расширенная версия в arxiv), в которой мы показали, как решать симметричные, диагонально преобладающие линейные системы почти за линейное время. С тех пор мы разбили эту статью на три статьи, каждую из которых можно читать отдельно и которые были представлены в журналы по отдельности.


  1. «Алгоритм локальной кластеризации для массивных графов и его применение для почти линейного разделения временных графов» (SICOMP 2013)
  2. «Спектральная разреженность графов» (SICOMP 2011) и
  3. «Алгоритмы почти линейного времени для предварительной обработки и решения симметричных диагонально доминирующих линейных систем». (СИМАКС 2014)

Изложение содержания этих статей можно найти в руководстве, которое я давал на IPCO05 (вот слайды), и в некоторых лекциях моих занятий Теория спектральных графов и ее приложения. и Теория спектральных графов

Улучшенные решатели

Асимптотически самый быстрый известный решатель появляется в следующих двух статьях

  • Preconditioning in Expectation (STOC 2014) Майкла Б. Коэна, Расмуса Кинга, Якуба В. Пахоки, Ричарда Пенга и Анупа Рао.
  • Растяжка Растяжка, Майкл Б. Коэн, Гэри Л. Миллер, Якуб В. Пахоки, Ричард Пэн и Шен Чен Сюй.

Простейший быстрый решатель появляется в статье:

  • «Приближенное исключение Гаусса для лапласианов: быстро, разреженно и просто», Кинг и Сачдева (arXiv 2016). Это простейший решатель Лапласа с почти линейным временем.

Это можно рассматривать как улучшение решателя в статье:

  • «Разреженные решатели Холецкого и многосеточные решатели для лапласиана соединений», совместно с Кингом, Ли, Пэном и Сачдевой (STOC 2016).

Алгоритм из последней статьи асимптотически быстрее, но слишком сложен для реальной реализации.

Другой простой подход к решению этих систем появляется в статьях: 92″ Кутиса, Миллера и Пенга.   
Улучшение предыдущей статьи.

В этих статьях найдены эффективные (и невероятно простые) способы создания прекондиционеров, существование которых впервые было доказано в: , Колла, Макарычев, Сабери и Тенг (STOC 2010).

Эффективные параллельные алгоритмы, которые зависят только от разреженности, можно найти в следующих статьях:

  • «Эффективный параллельный решатель для линейных систем SDD», совместно с Пенгом ( СТОЦ 2014)
  • «Разреженные решатели Холецкого для линейных систем SDD» с Ли и Пенгом (arXiv 2015) (это было включено в статью о лапласианах соединений)

Решатели для направленных (несимметричных) лапласианов

Недавний прорыв в решении несимметричных систем в лапласовских матрицах ориентированных графов появляется в следующих двух статьях (еще больше будет в будущем):

  • Более быстрые алгоритмы для вычисления стационарного распределения, моделирования случайных блужданий и др. (FOCS ’16), Коэн , Келнер, Пиблз, Пэн, Сидфорд и Владу.
  • Алгоритмы почти линейного времени для цепей Маркова и новые спектральные примитивы для ориентированных графов (STOC ’17), Коэн, Келнер, Пиблз, Пенг, Рао, Сидфорд и Владу.

Код

Laplacians.jl — это пакет, который реализует многие алгоритмы, обсуждаемые в этих статьях.

Яннис Кутис написал код, который реализует версию комбинаторного предобусловливания. Вы можете найти это здесь.

Реализация оригинального подхода Вайдьи реализована в пакете TAUCS , написанном Дороном Ченом, Владимиром Роткиным и Сиваном Толедо.

Если вам нужно решить диагонально-преобладающие линейные системы, я также предлагаю попробовать Алгебраический многосеточный алгоритм.
Вы можете найти реализацию в пакете LAMG, написанном Ореном Ливне.

Кластеризация локального графа

Проблема кластеризации локального графа была представлена ​​в статье № 1 выше.

Для заданного массивного графа и интересующей его вершины задача состоит в том, чтобы найти в графе кластер вокруг заданной вершины. Причем мы стараемся сделать это за время, пропорциональное размеру возвращаемого кластера. Алгоритмы для этой задачи полезны по двум причинам. Во-первых, они очень эффективны, поскольку могут игнорировать большую часть графика. Во-вторых, они предоставляют один из немногих способов выявления небольших кластеров в определенных регионах.

Наша статья была существенно улучшена в следующих статьях:

  • Разбиение локального графа с использованием векторов PageRank Андерсена, Чанга и Ланга. FOCS ’08, появится в Internet Mathematics (улучшено в статье 1 выше) 
    В следующей статье появится гораздо более четкое доказательство правильности этого алгоритма.
  • Обнаружение резкого падения рейтинга страниц и упрощенный алгоритм локального разделения, Андерсен и Чанг. Теория и приложения моделей вычислений , Труды TAMC 2007, LNCS 4484, Springer, (2007), 1–12.
  • Локальный поиск разреженных разрезов с использованием эволюционирующих наборов, Андерсен и Перес. Появился в STOC ’09.
  • Аппроксимация профиля расширения и почти оптимальная кластеризация локального графа, Шаян Овейс Гаран и Лука Тревизан. (ФОКС ’12).
  • Случайные блуждания с несколькими агентами для локальной кластеризации на графах, авторы Мортеза Аламгир и Ульрике фон Люксбург. (ICDM ’10).
  • Случайные блуждания и развивающиеся множества: более быстрая сходимость и ограничения Сиу Он Чан, Цз Чиу Квок и Лап Чи Лау.

Алгоритмы из этих статей использовались в большом количестве приложений кластеризации. Вот несколько примеров.

  • Статистические свойства структуры сообщества в крупных социальных и информационных сетях, Андерсен, Ланг, Дасгупта и Махони, (WWW ’08)
  • IsoRankN: спектральные методы глобального выравнивания множественных белковых сетей, Ляо, Лу, Байм, Сингх и Бергер (Биоинформатика, 2009)
  • Поиск локальных сообществ в белковых сетях, Воеводски, Тенг и Ся (BMC Bioinformatics, 2009 г. ).)
  • Алгоритмы для обнаружения многобелковой модульности, сохраняющейся в процессе эволюции, Ходжкинсон и Карп (БИОИНФОРМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ, 2011 г.) вычисл. 2008 г. (требуется в документе 3 выше)
  • Почти узкие пролетные деревья с низкой растяжкой от Авраама, Бартала и Неймана. (ФОКС 2008)
  • Использование лепестковой декомпозиции для построения остовного дерева с малым растяжением Авраама и Неймана (STOC 2012).
    Лучшие низкорослые деревья на данный момент.
  • См. также статью Абрахама и Неймана «Освязные деревья с низким средним растяжением».

Разрежение

Усовершенствования в спектральном разрежении матриц Лапласа можно найти в следующих статьях.

  • Разрежение графика по эффективному сопротивлению (совместно со Шриваставой, опубликовано в STOC ’08).
    Алгоритм в этой статье может быть реализован на практике с помощью решателей Коутиса, Миллера и Пенга, упомянутых выше.
  • Twice-Ramanujan Sparsifiers (с Бэтсоном и Шриваставой, появилось в STOC ’09).
    Это доказывает существование и имеет полиномиальный алгоритм времени. Но это недостаточно быстро.
  • Усовершенствованная спектральная разреженность и численные алгоритмы для SDD-матриц Кутиса, Левина и Пенга (STACS 2012).
    В этой статье представлены более быстрые алгоритмы для вычисления разрыхлителей со сверхлинейным числом ребер. Он исправляет многие вещи, которые мы грубо сделали в Spielman-Srivastava.
  • Алгоритм матричного гиперболического косинуса и приложения Анастасия Зузиаса (ICALP 2012).
  • Спектральное разрежение линейного размера за почти квадратичное время и минимизация сожалений за пределами обновлений матричного мультипликативного веса, авторы Zeyuan Allen-Zhu, Zhenyu Liao и Lorenzo Orecchia. (STOC ’15)
    В этой статье были самые быстрые алгоритмы для вычисления разрежителей линейного размера.
  • Основанный на SDP алгоритм линейной спектральной разреженности. (STOC ’17) Инь Тат Ли и Хе Сун. Это дает алгоритм почти линейного времени, который создает разрежители линейного размера.

Подходы к спектральному разрежению произвольных матриц представлены в следующих двух статьях:

  • Разреженные суммы положительно-полуопределенных матриц де Карли Сильва, Харви и Сато (2011).
    Это улучшает метод Бэтсона-Шпильмана-Шриваставы за счет разреживания сумм матриц низкого ранга.
  • Равномерная выборка для матричной аппроксимации, Коэн, Ли, Маско, Муско, Пэн и Сидфорд (ITCS 2015).

Использование решателей Лапласа в методах внутренних точек

  • Более быстрый приближенный обобщенный поток с потерями с помощью алгоритмов внутренних точек (с Daitch, появился в STOC ’08)
    В этой более поздней статье показано, как решать линейные системы в симметричных М-матрицах с помощью сведение их к лапласовским системам. Он получил самые быстрые алгоритмы для задач потока с минимальной стоимостью.
  • Алгоритмы липшицевого обучения на графиках, с Расмусом Кингом, Анупом Рао и Сушантом Сачдевой. (КОЛТ ’15)
    Это использует лапласовские решатели внутри методов внутренних точек для регуляризации задачи интерполяции на графах.
  • Быстрые, доказуемые алгоритмы изотонической регрессии во всех Lp-нормах, Расмус Кинг, Ануп Рао и Сушант Сачдева.
    Здесь используются алгоритмы Лапласа для построения самых быстрых алгоритмов изотонической регрессии.

Некоторые другие алгоритмы, основанные на теории поддержки

  • Предварительные условия графа поддержки для двумерных ферм (с Daitch)
    • 9{1/6}) алгоритм параллельного времени для решения планарных лапласианов Кутиса и Миллера. SPAA 2008.