Консультация для преподавателей 6 класса (декабрь)

Тема консультации : «ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ».

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» для 6 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…» (ДСДМ). Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход не только обеспечивает высокий уровень их математической подготовки, но и развивает их мышление, способности, интерес к изучению математики, личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 6 класса в декабре заканчивается работа со второй главой «Арифметика». Учащиеся изучают четвертый параграф этой главы – «Пропорциональные величины». В этот параграф входит пять пунктов: «Зависимости между величинами», «Прямая и обратная пропорциональности», «Графики прямой и обратной пропорциональности», «Решение задач с помощью пропорции», «Пропорциональное деление». Эти темы продолжают развитие двух содержательно-методических линий курса: функциональной и линии текстовых задач (моделирование).

В соответствии с подходом, принятым в данном курсе, на каждом этапе его изучения параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы (для первых трех пунктов ведущей является функциональная линия, а для четвертого и пятого пунктов – линия моделирования) закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным линиям курса.

По планированию в декабре начинается изучение третьей главы «Рациональные числа». Опыт показывает, что изучение такой важной темы перед новогодними праздниками не всегда оправдано и возможно, поэтому содержанию и методике изучения этой главы будет посвящена наша следующая консультация.

Основные содержательные цели:

• сформировать понятия прямой и обратной пропорциональностей;
• научиться строить графики прямой и обратной пропорциональности;
• сформировать умение решать задачи методом пропорции и задачи на пропорциональное деление.

Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…», организовать работу по учебнику 6 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю дополнительные часы используются на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся глубже и сознательнее усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000.

..» и работающих на базовом уровне реализации ДСДМ , и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000…» и работающих на технологическом уровне реализации ДСДМ.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на II четверть (5 ч в неделю)

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 2. «Арифметика»

§ 4. Пропорциональные величины. П. 1. Зависимости между величинами

1) В п. 2.4.1. рассматривается одно из фундаментальных понятий математики — зависимость между величинами. Функциональная линия курса математики «Учусь учиться» начинает развиваться еще в начальной школе, уже тогда учащиеся выполняют задания на поиск закономерностей и учатся выражать их в речи, устанавливают зависимость между компонентами и результатами арифметических действий и задают их с помощью таблиц, работают с величинами (длина, масса, площадь, объем, скорость, время и др.

), знакомятся с понятием переменной, с координатным лучом и углом, с графиками движения. В пятом классе эта работа продолжается, в шестом в п. 1.2.1 учащиеся уточняют понятия переменной, приобретают опыт построения графиков по формулам и таблицам. Они вспоминают, что с помощью переменных можно составлять зависимости между величинами, фиксировать их с помощью формул, таблиц и графиков, выражать значения различных переменных из заданных формул.

2) В пункте «Зависимости между величинами» учащиеся возвращаются к этим вопросам. В первой главе эти вопросы рассматривались с целью приобретения опыта наблюдать и фиксировать зависимость между величинами и возможности сильным ученикам «не стоять на месте», т. е. освоение данными понятиями каждым учащимся не являлось необходимым. Теперь же понятие зависимости, представление о способах ее задания уточняется и формируется у основной части класса. Это связано с тем, что решение задач методом пропорций, которое является основным навыком, приобретаемым шестиклассниками, непосредственно связано с понятием зависимости между величинами и умение решать задачи с помощью пропорций не может быть сформировано без освоения учащимися понятия зависимости.

3) Основным понятием данного пункта является — формула зависимости. Необходимо сформировать новое понятие о формуле – как о способе задания зависимости между величинами. В ходе выполнения заданий этого пункта у учащихся должен появиться новый взгляд на известные им формулы: формулы не только помогают решить конкретную практическую задачу, но и показывают, как при изменении одной величины меняется другая, связанная с ней этой формулой величина. В этом пункте учащиеся рассматривают зависимости, в которых одна из величин является произведением двух других (при этом опора идет на уже известное им понятие формулы произведения, как обобщенной записи известных им частных случаев: формула пути, стоимости, массы вещества в растворе и пр.). Понятие формула зависимости формируется и закрепляется при выполнении следующих заданий: 132, 133, 136 – 138. Наряду с формулами произведения рассматриваются и другие – при этом реализуются две цели: возможность для сильных учащихся развиваться в «зоне своего ближайшего развития» и формирование целостного представления о зависимостях (№№ 139, 145).

4) С учащимися фиксируется важнейшая особенность формул: формулу можно использовать только в том случае, когда единицы измерения входящих в неё величин согласованы между собой. Кроме того, отмечается, что единицы измерения величин обладают такой же арифметической связью, как и сами величины – в связи с чем, единицы измерения перемножаются и делятся по тем же правилам, что числовые дроби. Здесь же можно обосновать использование единиц измерения площади и объема (с опорой на понятие степени, знакомое учащимся с 5 класса), обосновать единицу измерения скорости и т.п. Тем самым учащиеся на осознанном уровне воспринимают известные им с начальной школы единицы измерения, уточняют их смысл, эта работа поможет им в дальнейшем не допускать ошибок при использовании единиц измерения величин. Умение работать с единицами измерения является межпредметным и понадобится учащимся на уроках физики – оно отрабатывается при выполнении № 134.

5) Здесь же учащиеся вспоминают и другие известные им способы задания зависимостей (таблица, график), знания о способах задания зависимости систематизируются и закрепляются при выполнении №№ 140 – 144.

§ 4. Пропорциональные величины. П. 2. Прямая и обратная пропорциональности

6) Особенностью данного курса является то, что прямая и обратная пропорциональные зависимости рассматриваются как частные случаи зависимости a = b ∙ c: прямая пропорциональность – при постоянном множителе, а обратная пропорциональность – при постоянном произведении.

7) В связи с этим у учащихся появляется два способа определения, какой является данная зависимость – прямой или обратной пропорциональностью. Первый способ – опираясь на определение, второй – опираясь на формулу (для этого зависимость записывается в виде формулы произведения, по ней определяется, что является постоянным, если постоянен множитель – прямо пропорциональная зависимость, если произведение – обратная. Если же формула зависимости не является формулой произведения, то и зависимость не будет ни прямой, ни обратной пропорциональностью). Для того чтобы учащиеся познакомились с обоими способами, можно построить работу по учебнику следующим образом.

Выполнить № 162 с опорой на определение прямой и обратной пропорциональности, затем выполнить № 164, при выполнении которого построить с учащимися алгоритм определения вида зависимости с использованием формулы произведения, а затем вернуться к № 162 и определить вид зависимости уже по новому алгоритму. Опыт показывает, что принцип вариативности, который реализуется в данном случае, помогает слабым учащимся, которые обычно испытывают затруднения при определении вида зависимости с опорой на определение, справиться с этим заданием через запись формулы.

§ 4. Пропорциональные величины. П. 3. Графики прямой и обратной пропорциональности

8) Основной задачей данного пункта является формирование представления о целесообразности обобщенного исследования зависимостей реальных величин, на примере прямой и обратной пропорциональности. (№ 173, №176).

9) Учащиеся приобретают опыт построения графиков прямо и обратно пропорциональной зависимостей. В связи с тем, что в 6 классе прямая и обратная пропорциональность рассматривается для решения практических задач и учащиеся пока не знакомы с отрицательными числами, эти графики строятся в первом координатном угле.

10) В процессе выполнения №175 (178) с учащимися фиксируется алгоритм получения формулы прямой пропорциональности (обратной пропорциональности) по соответствующему графику. При этом формируется опыт перехода от одного способа задания зависимости к другой.

11) При выполнении № 174 (177) учащиеся помимо формирования умения строить графики получают возможность исследовать их расположение и сформулировать гипотезу о зависимости расположения графика от коэффициентов пропорциональности.

§ 4. Пропорциональные величины. П. 4. Решение задач с помощью пропорций

12) В пункте 2. 4. 4 учащиеся знакомятся с решением задач способом пропорций. Этот способ является универсальным для решения задач, которые раньше решались учащимися различными методами (задачи на проценты, на масштаб, метод приведения к единице при решении задач на формулу произведения).

При знакомстве с методом решения задач с помощью пропорций это важно подчеркнуть.

13) Навык решения задач способом пропорций, является ключевым в курсе математики, поэтому, несмотря на то, что по планированию на него отводится 3 часа, нужно понимать, что для его формирования ведется мощная подготовительная работа, уже начиная с начальной школы. У учащихся сформировано представление о зависимости, понятие формулы зависимости между величинами, понятия прямой и обратной пропорциональности, они умеют определять вид зависимости двумя способами (этим вопросам следует уделять должное внимание, на этапе их изучения).

14) Рассматривая задачи, которые решаются методом пропорций, учащиеся знакомятся с ещё одним обобщённым методом решения задач на проценты (№ 200). С этого времени они могут решать задачи на проценты тремя способами: 1) по правилам нахождения процента от числа, числа по его проценту и процентного отношения чисел; 2) по формуле процентов; 3) методом пропорций.

Каждый из этих способов имеет свои преимущества и недостатки. Право выбора способа решения остаётся за учащимися, что подчеркивается в формулировке задания № 209: «Какой из способов ты находишь более удобным?».

§ 4. Пропорциональные величины. П. 5. Пропорциональное деление

15) Для решения задач на пропорциональное деление используется понятие прямой пропорциональности. В связи с этим оформление решения задачи «на части» меняется, вводится коэффициент пропорциональности k.

16) При выполнении заданий № 237 – 239 учащиеся учатся делить число в заданном отношении, и только затем применяют это умение при решении текстовых задач. При этом рассматриваются отношения вида

а :b : с, с учащимися оговаривается, что эти «длинные» отношения нельзя понимать как частное – это условные записи. При выполнении № 239 учащиеся предварительно упрощают данные отношения, при этом нужно подчеркнуть с учащимися, как важно применить умение упрощать отношения для рационализации вычислений.

17) Наряду с простейшими задачами на пропорциональное деление рассматриваются и задачи более высокого уровня сложности: составные задачи, этапом решения которых является решение задач на пропорциональное деление (№№ 250 – 254), задачи, где нужно разделить величину в отношении вида

а : b: с, при этом указывается только отношения пар (№ 255 – 257) и другие. При решении этих задач учитель должен реализовывать принцип минимакса.

18) В этом пункте, как и в предыдущих, предшествующих главе «Рациональные числа», рассматриваются задания, которые готовят учащихся к введению понятия отрицательного числа и арифметике рациональных чисел. Такие задания можно найти в разделе, помеченных буквой «П» (№ 273 – 274), которая для заданий подобного рода означает «пропедевтика».

ЭТАЛОНЫ

19) После изучения данных тем учащиеся должны знать определения понятий: «прямая пропорциональность», «обратная пропорциональность». Учащиеся знают условие верности формулы, способы определения вида зависимости, построения графиков зависимостей. Они умеют применять алгоритм решения задач способом пропорций, решать задач на пропорциональное деление. Указанные понятия, правила и алгоритмы приведены в форме эталонов в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем несколько примеров эталонов из указанного пособия:

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствие с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.

Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

С примерами организации уроков по изучению темы «Язык и логика» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5−6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемой теме, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000. ..».

Урок 63

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Графики прямой и обратной пропорциональности».

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением a = b · c;

2) формировать умение строить график зависимости величин, пользуясь таблицей и формулой, и наоборот, составлять таблицу и формулу по графику зависимости величин;

3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, понятия пропорции, основное свойство и преобразование пропорций, решение уравнений методом пропорций.

Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как. ..»)

Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами, предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.

Версия для печати

Задачи по математике 5-6 класс

Задачи по математике 5-6 класс

Рассказываем о требованиях программы по текстовым задачам. Показываем типовые задачи по математике 5-6 класс и алгоритмы их решения.

1 Содержание учебной деятельности по текстовым задачам

2 Типы задач по математике 5-6 класс и алгоритмы их решения

3 Результаты освоения программы по решению задач

Содержание учебной деятельности по текстовым задачам

Программа 5 класса по математике предусматривает следующие учебные действия:

• Решение текстовых задач арифметическим способом.
• Решение логических задач. Решение задач перебором всех возможных вариантов. Использование при решении задач таблиц и схем.
• Решение задач, содержащих зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость. Единицы измерения: массы, объёма, цены; расстояния, времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
• Решение основных задач на дроби. Представление данных в виде таблиц, столбчатых диаграмм.

Программа 6 класса по математике предусматривает следующие учебные действия:

• Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение логических задач. Решение задач перебором всех возможных вариантов.
• Решение задач, содержащих зависимости, связывающих величины: скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность, время, объём работы. Единицы измерения: массы, стоимости; расстояния, времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
• Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин, процентами; решение основных задач на дроби и проценты. Оценка и прикидка, округление результата.
• Составление буквенных выражений по условию задачи. Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Столбчатые диаграммы: чтение и построение. Чтение круговых диаграмм.

Типы задач по математике 5-6 класс и алгоритмы их решения

Задачи по математике 5-6 класс:

На соответствующих страницах раскрывается алгоритм и способы решения задач. А также приводятся примеры задач для самостоятельного решения.

Результаты освоения программы по решению задач

К концу обучения в 5 классе обучающейся должны научиться:

1. Решать текстовые задачи арифметическим способом и с помощью организованного конечного перебора всех возможных вариантов.
2. Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость.
3. Использовать краткие записи, схемы, таблицы, обозначения при решении задач.
4. Пользоваться основными единицами измерения: цены, массы; расстояния, времени, скорости; выражать одни единицы величины через другие.
5. Извлекать, анализировать, оценивать информацию, представленную в таблице, на столбчатой диаграмме, интерпретировать представленные данные, использовать данные при решении задач.

К концу обучения в 6 классе обучающейся должны научиться:

1. Решать многошаговые текстовые задачи арифметическим способом.
2. Решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, процентами; решать три основные задачи на дроби и проценты.
3. Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость; производительность, время, объёма работы, используя арифметические действия, оценку, прикидку; пользоваться единицами измерения соответствующих величин.
4. Составлять буквенные выражения по условию задачи.
5. Извлекать информацию, представленную в таблицах, на линейной, столбчатой или круговой диаграммах, интерпретировать представленные данные; использовать данные при решении задач. Представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой диаграмм.

Задания по математике для 6 класса с ответами

Задача 1 :

Поезд едет со скоростью 18 км/ч. Сколько метров он проедет за 12 минут?

(a) 3600 (b) 4200 (c) 5100

Ответ:

Скорость поезда = 18 км/час

Скорость поезда в м/с = 18 ⋅ (5/18)

= 5 м/с

12 минут = 12 (60)

= 720 секунд

Расстояние, пройденное за 720 секунд = затраченное время (скорость)

  =  720(5)

  =  3600 м

Итак, пройденное расстояние равно 3600 м.

Задача 2 :

Средний возраст 30 детей 9 лет. Если включить возраст учителя, средний возраст становится 10 лет. Какой возраст учителя?

(A) 26            (B) 58            (C) 40

Ответ:

количество возрастов

9 = сумма возрастов 30 детей/30 (270 + х)/31

10 = (270 + х)/31

10 (31) = 270 + х

310 = 270 + х

х = 310 — 5

х

4 , требуемый возраст 40 лет.

Задача 3 :

Если высота цилиндра 7 см, а радиус 3 см, то площадь поверхности цилиндра ?

(a) 150 (b) 132 (b) 143

Ответ:

Высота цилиндра = 7 см

Радиус цилиндра = 3 см

Площадь изгибной поверхности цилиндра = 2 π r

= 2 ⋅ (22/7) ⋅ 7 ⋅ 3

= 2 ⋅ 22 ⋅ 3

= 44 ⋅ 3

= 132 см ²

С. Задача 4 :

Джек покупает калькулятор за 350 долларов и продает за 420 долларов. Тогда процент прибыли равен 9.0005

(a) 10%(b) 20%(c) 50%

Решение:

Затрат на калькулятор = 350 долл. США

Цена продажи калькулятора = 420 долл.

= 420 — 350

= 70

Процент прибыли = (прибыль/стоимость) ⋅ 100

= (70/350) ⋅ 100

= (1/5) ⋅ 100

= 20%

Итак, ответ 20%

Задача 5 :

Среднее 6 чисел равно 8. Каково 7-е число, чтобы его среднее число стало 10 ?

(A) 15        (B) 22        (C) 12

Ответ:

Среднее 6 чисел равно 8

6(8)  =  Сумма 6 чисел

Сумма 6 чисел  =  48

Если к этой сумме добавить 7-й член, его среднее значение станет 10

Let x — 7 -е семестр

(48 + x)/7 = 10

48 + x = 70

x = 70 — 48

x = 22

Итак, ответ 22.

Проблема 6:

Найдите количество основных факторов 6 ¹⁰ × 7 ¹⁷ × 55 ²⁷

(а) 100 (b) 91 (c) 64

Ответ:

5555.

 = 6 ¹⁰  × 7  ¹⁷  × 55 ²⁷

  =  (2 x 3)  ¹⁰  × 7  ¹⁷  × (5 x 11) ²⁷

  =  2 ¹⁰  x 3 ¹⁰  × 7  ¹⁷  × 5 ²⁷  x 11 ²⁷

Общее количество простых множителей = 10 + 10 + 17 + 27 + 27

  =  91

Итак, ответ равен 91.

Задача 7 : 10005 900 работы за 36 дней. За сколько дней эту же работу могут выполнить 18 человек?

(A) 27        (B) 24          (C) 22

Ответ:

Выполненная работа = Количество дней ⋅ количество человек

 =  36 ⋅ 12

  =  432  —(1)

Выполненная работа =(2) ⋅ Количество дней 8 )

432 = Количество дней ⋅ 18

Количество дней = 432 /18

Количество дней = 24

Таким образом, требуемое количество дней составляет 24.

Проблема 8:

Человек. ехал из села на почту со скоростью 25 км/ч, обратно шел со скоростью 4 км/ч. Если весь путь занял 5 часов 48 минут, определите расстояние от этого населенного пункта до почтового отделения.

(A) 20           (B) 13         (C) 20

Ответ:

Пройденное расстояние в обоих случаях одинаково.

Время = расстояние / скорость

T ₁ = расстояние / 25

T ₂ = расстояние / 4

5 часов 48 минут = 5 4/5 часов

29/5 = (расстояние / 25) + (Расстояние / 4)

29/5  =  (4 Расстояние + 25 Расстояние) / 100

  (29/5) ⋅ (100/29)  =  Расстояние 

Расстояние = 20 км

Проблема 9:

Сумма обратной (3/2) и взаимного из 3 равен

(а) 2 (b) 1 (c) 5

Ответ:

Обратное число 3/2 равно 2/3

Обратное число 3 равно 1/3

Сумма этих двух чисел = (2/3) + (1/3)

 = (2 + 1) /3

  =  3/3

  =  1

Итак, правильный ответ на этот вопрос: 1

Задача 10 :

Сейчас 9 часов в 12-часовом формате. Сколько будет времени через 18 часов?

(A) 2           (B) 4          (C) 3

Ответ:

Теперь время составляет 9 часов. Мы хотим знать время после 18 часов.

Чтобы получить ответ на наш вопрос, мы должны сделать следующие шаги.

Шаг 1:

Прибавьте 18 к 9

Шаг 2:

Разделите результат на делитель 12

Шаг 3 :

Возьмите остаток

9 + 18 =  27

Когда 27 разделить на 12, остаток времени будет равен 3

2. Итак, ответ 3 часа.

Помимо материала, указанного в этом разделе, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Практическое решение задач, 6 класс

Перейти к содержимому Перейти к меню Перейти к поиску Перейти к нижнему колонтитулу

Дженнифер Э. Лоусон
Вклад Леанны Кроушоу, Дайанн Солтесс, Миган Матчмор, Тины Джагдео и Лары Дженсен
Категории: образование, Математика, Элементарный 9Серия 0035: Практическое решение проблем
Выходные данные: Portage & Main Press

Показать сведения о выпуске

Мягкая обложка, в рулонах : 9781553793649, 260 страниц, Октябрь 2013

Просмотр содержания Прочитать отрывок Скачать цифровые ресурсы

Практическое решение задач необходим для изучения математики.