Решебник по задачнику по алгебре 8 класс мордкович: ГДЗ по Алгебре за 8 класс Задачник Мордкович А.Г., Александрова Л.А. Базовый уровень — Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 1" п. Пуровск Пуровского района

Содержание

ГДЗ Решебник Алгебра 8 класс Задачник (Углубленный уровень) «Мнемозина» Мордкович, Александрова, Мишустина.

Алгебра 8 классЗадачник (Углубленный уровень)Мордкович, Александрова, Мишустина«Мнемозина»

Зачастую обучение в школе проходит не так гладко, как хотелось бы большинству родителей. Да это и не удивительно, учитывая сложность учебной программы. Поэтому учащимся может весьма пригодится решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Задачник (Углубленный уровень), авторы: Мордкович, Александрова, Мишустина» от издательства Мнемозина, которое входит в серии УМК «». В сборнике подробно приводятся решения всех заданий, которые так же сопровождаются условиями.

ГДЗ «Алгебра 8 класс Задачник (Углубленный уровень), авторы: Мордкович, Александрова, Мишустина» поможет преодолеть множество трудностей в ходе обучения:

дополнить и углубить свои познания;
разобраться в мельчайших аспектах предмета Алгебра;
исправить допущенные ошибки;

повысить успеваемость.

Делитесь решением с друзьями, оставляйте комментарии — они помогают нам становится лучше!

Повторение

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768

Параграф 1

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041

Параграф 2

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Параграф 3

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Параграф 4

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556

Параграф 5

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Параграф 6

123456789101112131415161718192021222324

Параграф 7

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

Параграф 8

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Параграф 9

1234567

Параграф 10

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Параграф 11

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

Параграф 12

1234567891011121314151617

Параграф 13

12345678910111213141516171819202122

Параграф 14

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Параграф 15

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Параграф 16

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Параграф 17

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344

Параграф 18

1234567

Параграф 19

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566

Параграф 20

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Параграф 21

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758

Параграф 22

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142

Параграф 23

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Параграф 24

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Параграф 25

123456789101112131415161718192021222324

Параграф 26

1234567

Параграф 27

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Параграф 28

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Параграф 29

12345678910111213141516171819202122232425262728

Параграф 30

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Параграф 31

12345678910111213141516171819202122232425262728

Параграф 32

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Параграф 33

123456789101112131415161718192021222324

Параграф 34

1234567

Параграф 35

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Параграф 36

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637

Параграф 37

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Параграф 38

1234567891011

Параграф 39

12345678910111213141516171819

Параграф 40

1234567

Контрольная работа №1

Вариант 112345678910

Контрольная работа №1

Вариант 212345678910

Контрольная работа №2

Вариант 112345678910

Контрольная работа №2

Вариант 212345678910

Контрольная работа №3

Вариант 11234567891011

Контрольная работа №3

Вариант 21234567891011

Контрольная работа №4

Вариант 1123456789

Контрольная работа №4

Вариант 2123456789

Контрольная работа №5

Вариант 1123456789

Контрольная работа №5

Вариант 2123456789

Итоговое повторение

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158

Повторение: 1

Предыдущее

Следующее

Условие

Решение

Предыдущее

Следующее

закрыть

ГДЗ и решебники

Решебник Учебник, Задачник по алгебре 8 класс Мордкович А.

Г, Александрова Л. А. Базовый уровень ФГОС

Рубрики

Алгебра

Решебник по алгебре 8 мордкович онлайн

Тип: Задачник. Базовый уровень. 2015-2019 год.

к контрольным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л. А. (базовый уровень) можно скачать здесь.

к самостоятельным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л. А. (базовый уровень) можно скачать здесь.

к тестам по алгебре за 7-9 классы Мордкович А. Г. (базовый уровень) можно скачать здесь.

к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс Попов М. А. можно скачать здесь.

к контрольным и самостоятельным работам по алгебре за 8 класс Попов М. А. можно скачать здесь.

к рабочей тетради по алгебре за 8 класс Зубарева И. И. можно скачать здесь.

к учебнику по алгебре за 8 класс Мордкович А. Г. можно скачать здесь.

к рабочей тетради по алгебре за 8 класс Ключникова Е. М. можно скачать здесь.

к тестам по алгебре за 8 класс Ключникова Е. М. можно скачать здесь.

к тематическим проверочным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л. А. можно скачать здесь.

: Онлайн готовые домашние задания Учебник, Задачник по алгебре Базовый уровень ФГОС за 8 класс, автор Мордкович А. Г., Александрова Л. А., спиши решения и ответы на gdzguru. com

Тип Задачник.

Gdzguru. com

17.06.2017 10:46:25

2017-06-17 10:46:25

Источники:

Https://gdzguru. com/reshebniki/8-klass/algebra/mordkovich/

по алгебре 8 класс Мордкович — онлайн решебник » /> » /> .keyword { color: red; }

Решебник по алгебре 8 мордкович онлайн

Тут можно абсолютно бесплатно использовать решебник () для учебника по алгебре Мордкович за 8-й класс. Пособие предназначено для родителей. Всегда помните, что нужно не бездумно списывать, это не прибавляет знаний, а стоит пытаться решать задачи самостоятельно (спиши, только когда не получается сделать достаточно долгое время). Авторы: А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е.Тульчинская. Мнемозина. Издание поделено на параграфы.

, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.6г, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.28, 1.29, 1.30, 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41

, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26, 2.27, 2.28, 2.29, 2.30, 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.39, 2.40, 2.41, 2.42, 2.43, 2.44, 2.45, 2.46

, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24, 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29

, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23, 5.24, 5.25, 5.26, 5.27, 5.28, 5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.33, 5.34, 5.35, 5.36, 5.37, 5.38, 5.39, 5.40, 5.41, 5.42, 5.43, 5.44, 5.45, 5.46

, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14, 6.15, 6.16, 6.17, 6.18, 6.19, 6.20, 6.21, 6.22, 6.23, 6.24

, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15, 7.16, 7.17, 7.18, 7.19, 7.20, 7.21, 7.22, 7.27, 7.28, 7.29, 7.30, 7.31, 7.32, 7.33, 7.34, 7.35, 7.36, 7.37, 7.38, 7.39, 7.40

, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.7, 8.8, 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23, 8.24, 8.25, 8.26, 8.27, 8.28, 8.29, 8.30, 8.31, 8.32

Вариант 1

, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15, 10.16, 10.17, 10.18, 10.19, 10.20, 10.21, 10.22, 10.23, 10.24, 10.25, 10.26, 10.27, 10.28, 10.29, 10.30, 10.31, 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.36, 10.37, 10.38, 10.39, 10.40, 10.41, 10.42, 10.43

, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5, 13.6, 13.7, 13.8, 13.9, 13.10, 13.11, 13.12, 13.13, 13.14, 13.15, 13.16, 13.17, 13.18, 13.19, 13.20, 13.21, 13.22, 13.23, 13.24, 13.25, 13.26, 13.27, 13.28, 13.29, 13.30, 13.31, 13.32

, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5, 14.6, 14.7, 14.8, 14.9, 14.10, 14.11, 14.12, 14.13, 14.14, 14.15, 14.16, 14.17, 14.18, 14.19, 14.20, 14.21, 14.22, 14.23, 14.24, 14.25, 14.26, 14.27, 14.28, 14.29, 14.30, 14.31, 14.32, 14.33, 14.34, 14.35, 14.36

, 17.2, 17.3, 17.4, 17.5, 17.6, 17.7, 17.8, 17.9, 17.10, 17.11, 17.12, 17.13, 17.14, 17.15, 17.16, 17.17, 17.18, 17.19, 17.20, 17.21, 17.22, 17.23, 17.25, 17.26, 17.27, 17.28, 17.29, 17.30, 17.31, 17.32, 17.33, 17.34, 17.35, 17.36, 17.37, 17.38, 17.39, 17.40, 17.41, 17.42, 17.43, 17.44, 17.45, 17.46, 17.47, 17.48, 17.49, 17.50, 17.51, 17.52, 17.53, 17.54, 17.55, 17.56, 17.57, 17.58, 17.59, 17.60, 17.61, 17.62, 17.63, 17.64, 17.65, 17.66

, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, 18.6, 18.7, 18.8, 18.9, 18.10, 18.11, 18.12, 18.13, 18.14, 18.15, 18.16, 18.17, 18.18, 18.19, 18.20, 18.21, 18.22, 18.23, 18.24, 18.25, 18.26, 18.27, 18.28, 18.29, 18.30, 18.31, 18.32, 18.33, 18.34, 18.35, 18.36, 18.37, 18.38

, 20.2, 20.3, 20.4, 20.5, 20.6, 20.7, 20.8, 20.9, 20.10, 20.11, 20.12, 20.13, 20.14, 20.15, 20.16, 20.17, 20.18, 20.19, 20.20, 20.21, 20.22, 20.23, 20.24, 20.25, 20.26, 20.27, 20.28, 20.29, 20.30, 20.31, 20.32, 20.33, 20.34, 20.35, 20.36, 20.37, 20.38, 20.39, 20.40, 20.41, 20.42

, 21.2, 21.3, 21.4, 21.5, 21.6, 21.7, 21.8, 21.9, 21.10, 21.11, 21.12, 21.13, 21.14, 21.15, 21.16, 21.17, 21.18, 21.19, 21.20, 21.21, 21.22, 21.23, 21.24, 21.25, 21.26, 21.27, 21.28, 21.29

, 22.2, 22.3, 22.4, 22.5, 22.6, 22.7, 22.8, 22.9, 22.10, 22.11, 22.12, 22.13, 22.14, 22.15, 22.16, 22.17, 22.18, 22.19, 22.20, 22.21, 22.22, 22.23, 22.24, 22.25, 22.26, 22.27, 22.28, 22.29, 22.30, 22.31, 22.32, 22.33, 22.34, 22.35, 22.36, 22.37, 22.38, 22.39, 22.40, 22.41, 22.42, 22.43, 22.44, 22.45, 22.46, 22.47, 22.48, 22.49, 22.50, 22.51, 22.52, 22.53, 22.54, 22.55

Вариант 1

, 25.2, 25.3, 25.4, 25.5, 25.6, 25.7, 25.8, 25.9, 25.10, 25.11, 25.12, 25.13, 25.14, 25.15, 25.16, 25.17, 25.18, 25.19, 25.20, 25.21, 25.22, 25.23, 25.24, 25.25, 25.26, 25.27, 25.28, 25.29, 25.30, 25.31, 25.32, 25.33, 25.35, 25.36, 25.37, 25.38, 25.39, 25.40, 25.41, 25.42, 25.43, 25.44, 25.45, 25.46, 25.47, 25.48

, 26.2, 26.3, 26.4, 26.5, 26.6, 26.7, 26.8, 26.9, 26.10, 26.11, 26.12, 26.13, 26.14, 26.15, 26.16, 26.17, 26.18, 26.19, 26.20, 26.21, 26.22, 26.23, 26.24, 26.25, 26.26, 26.27, 26.28a>

, 28.2, 28.3, 28.4, 28.5, 28.6, 28.7, 28.8, 28.9, 28.10, 28.11, 28.12, 28.13, 28.14, 28.15, 28.16, 28.17, 28.18, 28.19, 28.20, 28.21, 28.22, 28.23, 28.24, 28.25, 28.26, 28.27, 28.28

, 29.2, 29.3, 29.4, 29.5, 29.6, 29.7, 29.8, 29.9, 29.10, 29.11, 29.12, 29.13, 29.14, 29.15, 29.16, 29.17, 29.18, 29.19, 29.20, 29.21, 29.22, 29.23, 29.24, 29.25, 29.26, 29.27, 29.28, 29.29, 29.30, 29.31, 29.32, 29.33, 29.34, 29.35, 29.36, 29.37, 29.38, 29.39, 29.40, 29.41, 29.42, 29.43, 29.44, 29.45, 29.46, 29.47, 29.48, 29.49, 29.50, 29.51, 29.52, 29.53, 29.54, 29.55

, 30.2, 30.3, 30.4, 30.5, 30.6, 30.7, 30.8, 30.9, 30.10, 30.11, 30.12, 30.13, 30.14, 30.15, 30.16, 30.17, 30.18, 30.19, 30.20, 30.21, 30.22, 30.23, 30.24

Вариант 1

, 33.2, 33.3, 33.4, 33.5, 33.6, 33.7, 33.8, 33.9, 33.10, 33.11, 33.12, 33.13, 33.14, 33.15, 33.16, 33.17, 33.18, 33.19, 33.20, 33.21, 33.22, 33.23, 33.24, 33.25, 33.26, 33.27, 33.28, 33.29, 33.30, 33.31, 33.32, 33.33, 33.34, 33.35, 33.36, 33.37, 33.38

, 34.2, 34.3, 34.4, 34.5, 34.6, 34.7, 34.8, 34.9, 34.10, 34.11, 34.12, 34.13, 34.14, 34.15, 34.16, 34.17, 34.18, 34.19, 34.20, 34.21, 34.22, 34.23, 34.24, 34.25, 34.26, 34.27, 34.28, 34.29, 34.30, 34.31, 34.32, 34.33, 34.34, 34.35, 34.36, 34.37, 34.38, 34.39, 34.40, 34.41, 34.42, 34.43, 34.44, 34.45, 34.46

Вариант 1

Если готовые онлайн ответы вам подошли, сохраните ссылку на страницу.

Всё для учебы » бесплатно » по алгебре 8 класс Мордкович — онлайн решебник

9 Рациональные числа.

Uchim. org

25.08.2019 7:15:06

2019-08-25 07:15:06

Источники:

Https://uchim. org/gdz/po-algebre-8-klass-mordkovich

Решебник по алгебре за 8 класс Мордкович А. Г, Семенов П. В. ФГОС » /> » /> .keyword { color: red; }

к рабочей тетради по алгебре 8 класс Шуркова М. В. можно скачать здесь.

к контрольным работам по алгебре за 8 класс Шуркова М. В. можно скачать здесь.

к практикуму по алгебре за 8 класс Левитас Г. Г. можно скачать здесь.

к учебнику по алгебре за 8 класс Мордкович А. Г. (базовый уровень) можно скачать здесь.

к задачнику по алгебре за 8 класс Мордкович А. Г. можно скачать здесь.

: Онлайн готовые домашние задания по алгебре ФГОС за 8 класс, автор Мордкович А. Г., Семенов П. В., спиши решения и ответы на gdzguru. com

Можно скачать здесь.

Gdzguru. com

01.06.2020 18:12:18

2020-06-01 18:12:18

Источники:

Https://gdzguru. com/reshebniki/8-klass/algebra/mordkovich-mardahaeva/

(!LANG:Преобразование выражений. Подробная теория (2020). Видеоурок «Преобразование рациональных выражений Умножение и деление дробей преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений

В этом уроке мы будем работать с рациональными выражениями. Использование На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательства связанных с ними тождеств

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел, литеральных переменных, арифметических действий, возведения в натуральную степень и знаков последовательности этих действий (скобки).Вместе с выражением «рациональное выражение» в алгебре иногда употребляются термины «целое» или «дробное».

Например, выражения

являются как рациональными, так и целыми числами.

Выражения

являются как рациональными, так и дробными, так как в знаменателе стоит выражение с переменной.

Не забывайте, что дробь теряет смысл, если знаменатель стремится к нулю.

Основной целью занятия будет получение опыта решения задач на упрощение рациональных выражений.

Упрощение рациональных выражений — это применение тождественных преобразований с целью упрощения выражения выражения (сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).

Для преобразования рациональных выражений нужны правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия выполняются по тем же правилам, что и операции с обыкновенными дробями:

А также формулы сокращенного умножения:

При решении примеров преобразования рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление (или возведение в степень), и затем сложение/вычитание.

Итак, рассмотрим пример 1:

необходимо упростить выражение

Сначала выполняем действия в скобках.

Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и складываем (вычитаем) дроби с одинаковыми знаменателями по правилам, написанным выше.

Используя сокращенную формулу (а именно, квадрат разности), получаем выражение:

Во-вторых, согласно правилам умножения алгебраических дробей, умножаем числители и отдельно знаменатели:

А затем сократим полученное выражение:

В результате преобразований получим простое выражение

Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество :

Доказать тождество — это установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.

Доказательство:

Чтобы доказать это тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого соблюдайте порядок действий, изложенный выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем сложение.

Итак, шаг 1:

выполняем сложение/вычитание выражения в скобках.

Для этого выносим выражения в знаменателях дробей на множители и приводим эти дроби к общему знаменателю.

Значит в знаменателе первой дроби выносим скобку 3, в знаменателе второй — выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения разлагаем на два множителя, а в знаменателе третьей дроби выносим за скобку x.

Общий знаменатель этих трех дробей равен

Действие 2:

выполнить умножение дроби

Для этого сначала разложите числитель первой дроби и возведите эту дробь в степень 2.

А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение.

Действие 3:

Суммируйте первую дробь исходного выражения и результирующую дробь

Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим:

Теперь осталось только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями:

Таким образом, в результате 3-х действий и упрощения левой части тождества, мы получили выражение из его правой части, а значит, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо только для допустимых значений переменной x. Таковыми в данном примере являются любые значения x, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в ноль. Следовательно, допустимы любые значения x, кроме тех, для которых выполняется хотя бы одно из равенств:

Недопустимыми будут следующие значения:

Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразование рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 кл. В 14:00 Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. — 9-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2007. — 215 с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14:00 Часть 2. Задание для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустин, Е.Е. Тульчинская.. — 8-е изд., — М.: Мнемозина, 2006 — 239с.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для студентов общеобразовательных учреждений Александрова Л. А., изд. А.Г. Мордкович 2-е изд., ст. — М.: Мнемозина, 2009. — 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой, изд. А. Г. Мордкович. 9изд., стер. — М.: Мнемозина, 2013. — 112 с.

Урок и презентация на тему: «Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, предложения. Все материалы проверяются антивирусной программой.

Учебные пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К. Руководство к учебнику Макарычев Ю.Н.

Понятие рационального выражения

Понятие «рациональное выражение» аналогично понятию «рациональная дробь». Выражение также представлено в виде дроби. Только в наших числителях не числа, а разного рода выражения. Чаще всего это многочлен. Алгебраическая дробь — это дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических действий мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы получим алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, вам нужно максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Нужно получить наименьшую возможную степень; одинаковые выражения в числителях и знаменателях следует сокращать; с выражениями, которые можно свернуть, вы должны это сделать. То есть после выполнения ряда действий у нас должна получиться максимально простая алгебраическая дробь.

Порядок операций с рациональными выражениями

Порядок выполнения операций с рациональными выражениями такой же, как и для арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, возведение в степень и, наконец, сложение и вычитание.

Доказать тождество означает показать, что для всех значений переменных правая и левая части равны. Примеров с подтверждением личности очень много.

Основные методы решения тождеств:

Преобразовать левую часть в равенство с правой.
Преобразовать правую часть в равенство с левой.
Преобразуйте левую и правую части по отдельности, пока не получите одинаковое выражение.
Правая часть вычитается из левой, и результат должен быть равен нулю.

Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач

Пример 1 92)$.

Рациональные выражения и дроби являются краеугольным камнем всего курса алгебры. Тот, кто научится работать с такими выражениями, упрощать их и факторизовать, по сути, сможет решить любую задачу, поскольку преобразование выражений является неотъемлемой частью любого серьезного уравнения, неравенства и даже задачи со словами.

В этом видеоуроке мы увидим, как правильно применять формулы сокращенного умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Давайте научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. При этом повторяем такой простой прием, как разложение квадратного трехчлена на множители через дискриминант. 9(2) ) \right)$ — разность кубов.

Еще хотелось бы отметить, что наша система школьного образования устроена таким образом, что именно с изучением данной темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учащихся возникает одна и та же проблема, о которой я теперь объясните.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это про 8 класс) учителя говорят примерно так: «Если вам что-то непонятно, то не не волнуйтесь, мы еще не раз вернемся к этой теме, в старших классах точно. Потом разберемся.» Ну а потом на рубеже 9 классов-10 те же учителя объясняют тем же ученикам, которые еще не умеют решать рациональные дроби, примерно так: «Где вы были предыдущие два года? То же самое изучали по алгебре в 8-м классе! Что тут может быть непонятного? Это так очевидно!»

Однако для обычных школьников такие объяснения ничуть не проще: у них в голове еще была каша, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основе которых увидим, как выбирать эти выражения в реальных задачах, которые приведут нас к кратким формулам умножения и тому, как их применять позже для преобразования сложных рациональных выражений. 9(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\ frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left(x-y \right)\left( x+6y \right)\]

Итого, если вернуться к исходному выражению и переписать его с учетом изменений, то получим следующее:

\[\frac(8)(\left(x-y \right )\left(x+6y \right))\]

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его нельзя уменьшить, ни на что не умножить и не разделить. Однако, как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, такое разложение пригодится. Поэтому, как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными опциями или нет), всегда старайтесь его разложить на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

Все знаменатели и числители необходимо разложить либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, в первую очередь, пытаемся перевести все в максимально возможную степень. После этого выносим общую степень за скобки.
Очень часто будут выражения с параметром: другие переменные появятся как коэффициенты. Находим их по формуле квадратичного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать, это разложить и числитель, и знаменатель на множители (в линейные выражения), при этом пользуемся формулами сокращенного умножения или дискриминантом.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить. 9(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right) )(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Ответ: $ \frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюансы решения

Итак, что мы только что узнали:

Не каждый квадратный трехчлен разлагается на множители, в частности, это касается неполного квадрата суммы или разности, которые очень часто встречаются как части суммы или разностные кубы.
Константы, т.е. обычные числа, не имеющие с собой переменных, также могут выступать в качестве активных элементов в процессе декомпозиции. Во-первых, их можно вынести за скобки, а во-вторых, сами константы можно представить в виде степеней.
Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции. Сокращать эти дроби нужно очень осторожно, потому что при их зачеркивании либо сверху, либо снизу появляется дополнительный множитель $-1$ — это как раз следствие того, что они противоположны. 9(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Ответ: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Нюансы решения
Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы или неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, тем не менее их не пугают, так как после трансформацию каждого элемента они почти всегда отменяют. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших построений в итоговом ответе — вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно если все учитывать), а автор задумал такой ответ. 9(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Ответ: $\frac( 1)(х+2)$.
Нюансы решения
Как видите, ответ оказался вполне вменяемым. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная стоит только в знаменателе, учащиеся забывают, что это знаменатель и он должен стоять внизу дроби и в числителе записывают это выражение — это является грубой ошибкой.
Кроме того, хочу обратить особое внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных расчетах все действия выполняются поэтапно: сначала считаем отдельно первую скобку, затем отдельно вторую скобку, и только в конце объединяем все части и вычисляем результат. Таким образом, мы страхуем себя от глупых ошибок, тщательно записываем все расчеты и при этом не тратим лишнее время, как может показаться на первый взгляд.
В процессе преобразований используются рациональные выражения. Преобразование рациональных выражений
Преобразование рациональных выражений
В этом уроке мы будем работать с рациональными выражениями. На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательства связанных с ними тождеств.
Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, состоящее из чисел, буквенных переменных, арифметических действий, возведения в натуральную степень и знаков последовательности этих действий (скобки). Вместе с фразой «рациональное выражение» в алгебре иногда используются термины «целое» или «дробное».
Например, выражения
являются как рациональными, так и целыми числами.
Выражения
являются как рациональными, так и дробными, так как в знаменателе стоит выражение с переменной.
Не забывайте, что дробь теряет смысл, если знаменатель стремится к нулю.
Основной целью занятия будет получение опыта решения задач на упрощение рациональных выражений.
Упрощение рациональных выражений — это применение тождественных преобразований с целью упрощения выражения выражения (сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).
Для преобразования рациональных выражений нужны правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия выполняются по тем же правилам, что и операции с обыкновенными дробями:
А также формулы сокращенного умножения:
При решении примеров преобразования рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление (или возведение в степень), и затем сложение/вычитание.
Итак, рассмотрим пример 1:
необходимо упростить выражение
Сначала выполняем действия в скобках.
Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и складываем (вычитаем) дроби с одинаковыми знаменателями по правилам, написанным выше.
Используя сокращенную формулу (а именно, квадрат разности), получаем выражение:
Во-вторых, согласно правилам умножения алгебраических дробей, умножаем числители и отдельно знаменатели:
И тогда сокращаем полученное выражение:
В результате преобразований получаем простое выражение
Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество:
Доказать тождество — это установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Доказательство:
Чтобы доказать это тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого соблюдайте порядок действий, изложенный выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем сложение.
Итак, шаг 1:
выполняем сложение/вычитание выражения в скобках.
Для этого выносим выражения в знаменателях дробей на множители и приводим эти дроби к общему знаменателю.
Значит в знаменателе первой дроби выносим скобку 3, в знаменателе второй — выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения разлагаем на два множителя, а в знаменателе третьей дроби выносим за скобку x.
Общий знаменатель этих трех дробей равен
Действие 2:
выполнить умножение дроби
Для этого сначала разложите числитель первой дроби и возведите эту дробь в степень 2.
А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение.
Действие 3:
Суммируйте первую дробь исходного выражения и результирующую дробь
Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим:
Теперь осталось только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями:
Таким образом, в результате 3-х действий и упрощения левой части тождества, мы получили выражение из его правой части, а значит, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо только для допустимых значений переменной x. Таковыми в данном примере являются любые значения x, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в ноль. Следовательно, допустимы любые значения x, кроме тех, для которых выполняется хотя бы одно из равенств:
Недопустимыми будут следующие значения:
Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразование рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.
Список использованной литературы:
1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 кл. В 14:00 Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. — 9-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2007. — 215 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14:00 Часть 2. Задание для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустин, Е.Е. Тульчинская.. — 8-е изд., — М.: Мнемозина, 2006 — 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для студентов общеобразовательных учреждений Александрова Л.А., изд. А.Г. Мордкович 2-е изд., ст. — М.: Мнемозина, 2009. — 40с.
4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой, изд. А. Г. Мордкович. 9изд., стер. — М.: Мнемозина, 2013. — 112 с.
Урок и презентация на тему: «Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, предложения. Все материалы проверяются антивирусной программой.
Учебные пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К. Руководство к учебнику Макарычев Ю.Н.
Понятие рационального выражения
Понятие «рациональное выражение» аналогично понятию «рациональная дробь». Выражение также представлено в виде дроби. Только в наших числителях не числа, а разного рода выражения. Чаще всего это многочлен. Алгебраическая дробь — это дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.
При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических действий мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы получим алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, вам нужно максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Нужно получить наименьшую возможную степень; одинаковые выражения в числителях и знаменателях следует сокращать; с выражениями, которые можно свернуть, вы должны это сделать. То есть после выполнения ряда действий у нас должна получиться максимально простая алгебраическая дробь.
Порядок операций с рациональными выражениями
Порядок выполнения операций с рациональными выражениями такой же, как и для арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, возведение в степень и, наконец, сложение и вычитание.
Доказать тождество означает показать, что для всех значений переменных правая и левая части равны. Примеров с подтверждением личности очень много.
Основные методы решения тождеств:
- Преобразовать левую часть в равенство с правой.
- Преобразовать правую часть в равенство с левой.
- Преобразуйте левую и правую части по отдельности, пока не получите одинаковое выражение.
- Правая часть вычитается из левой, и результат должен быть равен нулю.
Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач
Пример 1 92)$.
В статье рассказывается о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировку скобок, общий множитель. Давайте научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Яндекс.РТБ Р-А-339285-1
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1
Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличие дроби называется рациональных выражений.
Например, имеем, что 5 , 2 3 x — 5 , — 3 a b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 — b) , (x + 1) (y — 2) х 5 — 5 х у 2 — 1 11 х 3 .
То есть это выражения, не имеющие деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где они называются дробно-рациональными выражениями. Особое внимание уделяется дробям в числителе, которые преобразуются с помощью правил преобразования.
Это позволяет перейти к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение можно рассматривать как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действия.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения служат для выполнения тождественных преобразований, группировок, приведения подобных, выполнения других операций с числами. Цель таких выражений — упростить.
Пример 1
Преобразование рационального выражения 3 · x x · y — 1 — 2 · x x · y — 1 .
Раствор
Видно, что таким рациональным выражением является разность 3 · x x · y — 1 и 2 · x x · y — 1 . Обратите внимание, что у них один и тот же знаменатель. Это означает, что приведение подобных членов принимает вид
3 x x y — 1 — 2 x x y — 1 = x x y — 1 3 — 2 = x x y — 1
Ответ: 3 x x y — 1 — 2 x x y — 1 = x x y — 1 .
Пример 2
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x — x) .
Раствор
Сначала выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Это выражение представляется как 2 х у 4 (- 4) х 2: (3 х — х) = 2 х у 4 (- 4) х 2: 2 х. Приходим к выражению, которое содержит действия с одним этапом, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавьтесь от круглых скобок, применив свойство деления. Тогда мы получаем, что 2 х у 4 (- 4) х 2: 2 х = 2 х у 4 (- 4) х 2: 2: х .
Группируем числовые множители с переменной x, после чего можем производить операции со степенями. Получаем, что
2 х у 4 (- 4) х 2: 2: х = (2 (- 4) : 2) (х х 2: х) у 4 = — 4 х 2 у 4
Ответ: 2 х у 4 (- 4) х 2: (3 х — х) = — 4 х 2 у 4 .
Пример 3
Преобразование выражения вида x · (x + 3) — (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Раствор
Сначала переведем числитель и знаменатель. Тогда мы получим выражение вида (x (x + 3) — (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, причем сначала выполняются действия в скобках. В числителе выполняются действия и группируются факторы. Тогда получим выражение вида х (х + 3) — (3 х + 1) 1 2 х 4 + 2 = х 2 + 3 х — 3 х — 1 1 2 4 х + 2 = х 2 — 1 2 х + 2 .
Преобразуем формулу разности квадратов в числитель, тогда получим, что
х 2 — 1 2 х + 2 = (х — 1) (х + 1) 2 (х + 1) = х — 1 2
Ответ : х (х + 3) — (3 х + 1) 1 2 х 4 + 2 = х — 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное доводится до этого по-разному. Необходимо произвести все необходимые операции с многочленами, чтобы рациональное выражение могло в итоге дать рациональную дробь.
Пример 4
Представить в виде рациональной дроби а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а.
Раствор
Это выражение можно представить как 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Начнем с умножения, тогда получим, что
а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а = а — 5 (а + 5) а + 3 1 а (а + 5) = а — 5 (а + 5) 1 ( а + 3) а (а + 5) = а — 5 (а + 3) а
Производим представление результата, полученного с оригиналом. Получаем, что
а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а = а + 5 а а — 3 — а — 5 а + 3 а
Теперь сделаем вычитание :
а + 5 а а — 3 — а — 5 а + 3 а = а + 5 а + 3 а (а — 3) (а + 3) — (а — 5) (а — 3) (а + 3 ) а (а — 3) = = а + 5 а + 3 — (а — 5) (а — 3) а (а — 3) (а + 3) = а 2 + 3 а + 5 а + 15 — ( а 2 — 3 а — 5 а + 15) а (а — 3) (а + 3) = = 16 а а (а — 3) (а + 3) = 16 а — 3 (а + 3) = 16 а 2 — 9
После этого очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 — 9 .
Ответ: а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а = 16 а 2 — 9 .
Пример 5
Выразите x x + 1 + 1 2 x — 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Раствор
Данное выражение записывается в виде дроби, в числителе которой х х + 1 + 1, а в знаменателе 2 х — 1 1 + х. Необходимо сделать преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно сложить дробь и число. Получаем, что х х + 1 + 1 = х х + 1 + 1 1 = х х + 1 + 1 (х + 1) 1 (х + 1) = х х + 1 + х + 1 х + 1 = х + х + 1 х + 1 = 2 х + 1 х + 1
Отсюда следует, что х х + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 х + 1 2 х — 1 1 + х
Полученную дробь можно записать как 2 х + 1 х + 1: 2 х — 1 1 + х .
После деления получим рациональную дробь вида
2 х + 1 х + 1: 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 х + 1 1 + х 2 х — 1 = 2 х + 1 (1 + х) (х + 1) (2 х — 1) = 2 х + 1 2 х — 1
Можно решить по-другому.
Вместо деления на 2 x — 1 1 + x мы умножаем на обратную величину 1 + x 2 x — 1 . Применяя свойство распределения, получаем, что
х х + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = х х + 1 + 1: 2 х — 1 1 + х = х х + 1 + 1 1 + х 2 х — 1 = = х х + 1 1 + х 2 х — 1 + 1 1 + х 2 х — 1 = х 1 + х (х + 1) 2 х — 1 + 1 + х 2 х — 1 = = х 2 х — 1 + 1 + х 2 х — 1 = х + 1 + х 2 х — 1 = 2 х + 1 2 х — 1
Ответ: х х + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 2 х — 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter
В этом уроке будут даны основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также приведены примеры преобразования рациональных выражений. Эта тема обобщает темы, которые мы изучали до сих пор. Преобразования рациональных выражений включают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, факторизацию и т. д. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберем примеры их преобразования .
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях
Определение
рациональных переменных и арифметических операций , состоящих из рациональных выражений, состоящих из операций , состоящих из рациональных выражений.
Рассмотрим пример рационального выражения:
Частные случаи рациональных выражений:
1-я степень: ;
2. одночлен: ;
3. дробь: .
Преобразование рационального выражения — это упрощение рационального выражения. Порядок операций при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем операции сложения (вычитания).
Рассмотрим несколько примеров преобразования рациональных выражений.
Пример 1
Решение:
Давайте решим этот пример шаг за шагом. Действие в скобках выполняется первым.
Ответ:
Пример 2
Решение:
Ответ:
Пример 3
Решение:
Ответ: .
Примечание: возможно, при виде этого примера вам пришла в голову мысль: сокращать дробь перед приведением к общему знаменателю.