ГДЗ решебник по алгебре 7 класс Макарычев углубленное изучение

Здесь представлены ответы к учебнику для углубленного изучения по алгебре 7 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. 2013 . Вы можете смотреть и читать онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.

Выберите номер задания

1-300 »

1б 1вг 2 4абв 4гд 5аб 5вг 6аб 7 8 9абв 10.. 10абв 11аб 22аб 23абв 25аб 35(33)аб 35(33)в 37(34)а 41(36) 42(37) (43)аб 43(38) 44(39) 45(40)абвг 46(41)аб 47(42)а 48(44)аб 49(45)абв 50(46)абвг (62)абвг 77(68)абвг 78(69)абвг 79(55)ав 79(55)бг 83(58)а 83(58)в 89(63)абвг 93(64)абвг, 93(64)абвг 98(71)абвгде 100(73)абвг 100(73)бг 103(76)абвг 104(77)абвг 105(78)абвг 107(81)абвг 113(85)абв 114(86) 116(88)абв 117(89) 118(90)аб 119(91)абвг 142(109)аб 14аб 157(118)абв 157(118)где 158(119)абв 159(120)ге 160(121)абвг 163(124)аб 164(125)абвг 167(128)где 168(129)вг 169(130)а 169(130)б 170(131)б 174(135)а 174(135)бв 175(137)аб 176(137) 177(138)абв 177(138)где 178(140) 180(141)абв 181(142)абвг 183(143)абвгде 184(144)абвг 186(146)аб 187(147)абвг 188(148)аб 189(149)абв 189(149)где 190(150)абв 190(150)где 191(151)аб 191(151)вг 192(152) 194(154)вг 197(157)абв 197(157)вгде 199(158)абв 199(158)где 200(159)аб 200(159)вг 201(160)вг 202(161)аб 202(161)вг 203(162)аб 203(162)вг 209(167)абвг 212(170)абвгд 212(170)е 213(171)абвг 214(172)а 214(172)бвг 215(173)абвг 216(174)абвг 216(174)де 217(175)абвг 218(176)абв 218(176)г 219(177)абвг 223(181)абвгде 229(187)абвг 229(187)дежз 230(188)абвгдеж 230(188)з 231(189)в 231(189)г 234(192)абвгде 237(195)абв 238(196)вг 240(198)вг 241(199)бв 246(200)бв 253(206)абвг 255(207)абвг 256(208)аб 257(210)абв 258(211)абвг 259(212)абвг 261(214)ав 262(215)ав 263(216)ав 268(221)аб 268(221)вг 269(222)аб 269(222)вг 270(223) 270(223)аб 271(224) 272(225) 282(232)а 282(232)б 286(236)абвг 287(237)абвг 292(242)абв 294(244)бг 295(245)абв 297(247)вг 298(248)вг 299(249)вг

301-600 »

301(251)б 302(252)б 303(253)в 304(254) 304аб 305абвгде 306 308 309 310 311абвг 312абв, 312абв 313абв 313в 314аб 315абвг 316а 316абвг 316бвг 317абвг 318аб 319аб 320аб, 320аб 321аб 322, 322 326(277)аб 326(277)вг 330абв 331 331(278)абв 332(279)абв 333(280) 333абвг 334абвгде 335абвг 335де 336абвг 337абв 337г 338(285)аб 338абвг 339(286)аб 339абвгде 34(32)аб 34(32)вг 340аб 340вг 341аб 342 342(288)аб 342(288)вг 342аб 343 343(289)аб 344 344(290) 344(290)а 345(291)а 345абвгд 345ежз 346(292)а 346(292)б 346абвг 347(293)аб 347(293)вг 348(294)абе 348(294)вгд 348аб 349 350аб 351а 357абв 357где 358(297)а 358(297)б 358аб 358в 359абв 359е 360аг 361абв 361г 362абвг 363аб 367абв 368абв 369абв 370абв 371б 372абв 372г 373аб 374 391аб 400аб 402 403dult 403аб 404аб 405аб 410абвг 410вг 413аб 413вг 414в 415 416а 416б 419аб 420 422аб 423аб 423б 423в 423вг 424а 424вг 425а 425б 426 427 428абвгде 432абвг 433абвгде 434аб 435абв 436аб 437аб 438абвг 439абвжзи 440а 441аб 442абв 443абв 444аб 444вг 445аб 445бвг 453ежзи 454вг 455абв 455в 455г 456абв 457а 457б 458а 459в 460б 461вг 462д 463абв 464а 464б 465аб

467г, 467г 468г 469, 469 470г 471ав 471г 472а 472б 472г 474аб 475а 476г 477г 478г 480г 481аб 482б 482в 482г 483б 483в 483г 484аб 485в 485г 491 492 494 495 497, 497 501 502 503 505а 505б 506, 506 508 51(47)абвгде 511 513 521 538а 538вг 539а 539вг 540а 540б 540вг 543 545вг 546 547абв 549, 549 550 554 555 562абжзи 562где 563абд 563вг 564абвгде 565где 567вг 568дежз 570абв 570г 571абв 572абв 578аб 578вг 579абвг 579дежз 580а 580де 580ежз 581в 582вг 583абвг 584аб 585абвг 588ав 589а 590 591а 591б 592ав 593 594гд 595бг 596абвг 598, 598 599, 599

601-1126 »

602г 603б 605авд 605бге 606абвг 606дежз 617дежз 618дежз 619вг 620абвг 621абв 622абв 623аб 623вг 624аб 625абвг 636дежз 637вг 638абв 638где 639абв 639где 640аб 640вг 641где 642аб 642вг 643аб 644аб 659абв 659где 661абв 661гдежз 662абвг 662дежз 664а 665абв 666абвгде 667где 668где 669жзиклм 670абв 670гд 671абв 672аб 677аб 678а 680а 685абв 685гдежз 686абвгд 686ежз 687аб 688абвг 688дежз 689абв 689где 690где 691абв 691где 692аб 692в 694аб 695абв 695г 695ежз 696 697абв 697где 698д 713абв 713где 714абвг 714дежз 715аб 715в 731абв 731в 732абв 733г 734а 742без 742гж 743а 743б 744ав 744б 753еждз 754вг 755где 756где 757аб 758аб 759аб 760а 760б 761аб 762аб 768аб 768вг 769аб 769вг 770аб 770вг 771аб 771вг 772абвг 773абв 774абв 774где 775абв 775где 776аб 776в 777абв 778абв 779а 783 784абв 784где 785в 786абв 790абвгдежз 790иклм 791абвгде 791жзи 792 793абвгде 793жзи 794абвг 794де 795 796вг 797абв 797где 798аб 799а 800где 801вг 802аб 803абв 804аб 805аб 806аб 815абвг 817абвг 817ж 817з 818абв 818д 818е 819д 819е 820а 820б 821в 821г 822ж 822з 823ж 823з 824а 825абв 827 830ж 830л 831д 831е 832в 832г 833в 833г 834а 834б 835 839в 839г 840 866а 866бвг 868абвг 870абвг 871 872 873 874где 875аб 889 890а 890б 891аб 892абвг 894а 894б 895б 900абвг 910а 910бвг 911аб 912аб 913абвг 914аб 914в 915, 915 916а 916б 921а 929аб 930в 930ед 931е 932а 932в 933, 933 934бге 934вд 935а 936а 936б 939а 939б 940в 940г 941в 941г 943аб 944а 944б 945а 945б 945в 946 946б 946в 947б 947в 948 954 955а 955абв 959абвг 960абвг 961абвг 970 972аб 973а 973б 974абвгде 975абвг 976абвг 977абвг 980абв 983абв 984 999 1000а 1001 1004 1007де 1012а 1012б 1022 1028 1029вг 1037а 1039а 1040аб 1041аб 1042а 1042б 1043аб 1044абв 1045абвг 1046абв 1047аб 1052а 1053аб 1054аб 1055 1056аг 1056е 1057а 1057в 1057е 1058д 1060 1061 1077а 1077б 1078а 1078б 1080а 1080б 1080где 1082аб 1082вг 1083аб 1084аб 1085аб 1086а 1086б 1089абв 1089где 1090бде 1091аб 1092а 1093а 1094а 1095а 1096а 1097а 1104аб 1104вг 1105абв 1105гд 1106а 1106б 1106вг 1107аб 1107вг 1108 1111вг 1112а 1112б 1113а 1113в 1114а 1114б 1114вг 1115а 1115б 1124 1126

Быстрый поиск

ГДЗ по Алгебре 7 класс Макарычев, Миндюк, Суворова Учебник

ГДЗ » 7 класс » Алгебра для 7 класса

Курс подготовки к ОГЭ

Курс подготовки к ЕГЭ

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Издательство: Просвещение

Тип: Учебник

ГДЗ по Алгебре для 7 класса авторов Макарычева, Миндюка, Нешкова, Суворовой облегчат выполнение домашних работ учениками и выручат их родителей. Сборник ответов пригодится в ситуациях, когда ребенок не понял объяснений учителя на уроке либо пропустил занятие.

Решебник по алгебре 7 класс Макарычев содержит в себе точные и правильные ответы по математике, которые можно найти по номеру упражнения в учебнике по алгебре для 7 класса Макарычева. Он достаточно удобен в использовании. Благодаря нему ученикам алгебра покажется легким и занимательным предметом.

Упражнения

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771781791801811821831841851861871881891901911921931941951961971981992002012022032042052062072082092102112122132142152162172182192202212222232242252262272282292302312322332342352362372382392402412422432442452462472482492502512522532542552562572582592602612622632642652662672682692702712722732742752762772782792802812822832842852862872882892902912922932942952962972982993003013023033043053063073083093103113123133143153163173183193203213223233243253263273283293303313323333343353363373383393403413423433443453463473483493503513523533543553563573583593603613623633643653663673683693703713723733743753763773783793803813823833843853863873883893903913923933943953963973983994004014024034044054064074084094104114124134144154164174184194204214224234244254264274284294304314324334344354364374384394404414424434444454464474484494504514524534544554564574584594604614624634644654664674684694704714724734744754764774784794804814824834844854864874884894904914924934944954964974984995005015025035045055065075085095105115125135145155165175185195205215225235245255265275285295305315325335345355365375385395405415425435445455465475485495505515525535545555565575585595605615625635645655665675685695705715725735745755765775785795805815825835845855865875885895905915925935945955965975985996006016026036046056066076086096106116126136146156166176186196206216226236246256266276286296306316326336346356366376386396406416426436446456466476486496506516526536546556566576586596606616626636646656666676686696706716726736746756766776786796806816826836846856866876886896906916926936946956966976986997007017027037047057067077087097107117127137147157167177187197207217227237247257267277287297307317327337347357367377387397407417427437447457467477487497507517527537547557567577587597607617627637647657667677687697707717727737747757767777787797807817827837847857867877887897907917927937947957967987998008018028038048058068078088098108118128138148158168178188198208218228238248258268278288298308318328338348358368378388398408418428438448458468478488498508518528538548558568578588598608618628638648658668678688698708718728738748758768778788798808818828838848858868878888898908918928938948958968978988999009019029039049059069079089099109119129139149159169179189199209219229239249259269279289299309319329339349359369379389399409419429439449459469479489499509519529539549559569579589599609619629639649659669679689699709719729739749759769779789799809819829839849859869879889899909919929939949959969979981000100110021003100410051006100710081009101010111012101310141015101610171018101910201021102210231024102510261027102810291030103110321033103410351036103710381039104010411042104310441045104610471048104910501051105210531054105510561057105810591060106110621063106410651066106710681069107010711072107310741075107610771078107910801081108210831084108510861087108810891090109110921093109410951096109710981099110011011102110311041105110611071108110911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113011311132113311341135113611371138113911401141114211431144114511461147114811491150115111521153115411551156115711581159116011611162116311641165116611671168116911701171117211731174117511761177117811791180118111821183118411851186118711881189119011911192119311941195119611971198119912001201120212031204120512061207120812091210121112121213121412151216121712181219122012211222122312241225122612271228122912301231

Контрольные вопросы и задания

§ 1§ 2§ 3§ 4§ 5§ 6§ 7§ 8§ 9§ 10§ 11§ 12§ 13§ 14§ 15§ 16

ГДЗ по математике подготовлены к самой последней версии учебника, но подходят и к большинству старых заданий. Достаточно просто выбрать нужный номер упражнения, и вы получите итоговые ответы по алгебре для 7 класса на задание со всеми необходимыми комментариями.

Освоить выражения, тождества, уравнения, функции, степени, многочлены, формулы сокращенного умножения и системы линейных уравнений теперь сможет каждый ученик, даже если он не любит и не понимает алгебру. Если внимательно разобраться с заданием, в дальнейшем решение похожих упражнений даже начнет приносить удовольствие. Ведь всегда приятно, когда что-то получается. Особенно если вы начнете обгонять в смекалке своих одноклассников. Родители будут удивлены вашим успехам. Главное не списывайте бездумно — тогда вы не просто получите хорошую отметку в школе, но и полезные знания, которые пригодятся вам в будущем!

Учебник для 7 класса Миндюка, Макарычева, Нешкова, Суворовой отличается наличием сложных заданий. Чтобы не ломать голову часами над непонятной задачей, рациональнее просто заглянуть в ГДЗ и быстро разобраться с ней, оставив свое время на более интересные и важные задачи. Семиклассникам полезно научиться правильно управлять своим временем, ведь это пригодится во взрослой жизни, особенно в университете. Задача родителей – объяснить своему ребенку, что просто бездумно списывать неправильно, и нужно вдумываться в каждое решение. Эти навыки помогут при выполнении самостоятельных и контрольных работ, когда не будет возможности списать.

Наши решебники по алгебре за 7 класс отличаются от других подробными объяснениями. Теперь выполнять домашние задания в седьмом классе можно с удовольствием. А получать хорошие отметки еще более приятно!

Где синус положительный, а где отрицательный. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Позволяет установить ряд характерных результатов — свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. В первом из них указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, в какой координатной четверти угла находится α. Далее рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает связь между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α.

Если вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи.

Навигация по страницам.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях

Ниже в этом абзаце встречается словосочетание «угол I, II, III и IV координатной четверти». Поясним, что это за углы.

Возьмем единичную окружность, отметим на ней начальную точку A(1, 0) и повернем ее вокруг точки O на угол α, при этом будем считать, что попали в точку A 1 (x, y) .

Говорят, что угол α есть угол I, II, III, IV координатной четверти , если точка А 1 лежит соответственно в I, II, III, IV четвертях; если угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На рисунках ниже показаны углы поворота 30, -210, 585 и -45 градусов, которые являются углами I, II, III и IV координатных четвертей соответственно.

углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, какая четверть угла равна α.

Для синуса и косинуса это легко сделать.

По определению, синус угла α является ординатой точки A 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус в III и VI четвертях.

В свою очередь, косинус угла α является абсциссой точки A 1 . В I и IV четвертях он положительный, а во II и III четвертях отрицательный. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях отрицательны.

Для определения знаков по четвертям тангенса и котангенса нужно запомнить их определения: тангенс — отношение ординаты точки А 1 к абсциссе, а котангенс — отношение абсциссы точки А 1 к ординате. Тогда с правил деления числа с одинаковыми и разными знаками, следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсцисс и ординаты точки А 1 совпадают, и имеют знак минус, когда знаки абсцисс и ординаты точки А 1 разные. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, а знак минус во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x, и ордината y точки A 1 положительны, то и частное x/y, и частное y/x положительны, следовательно, тангенс и котангенс имеют + признаки. А во второй четверти абсцисса х отрицательна, а ордината у положительна, поэтому и х/у, и у/х отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

Перейдем к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Теперь разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Он заключается в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы всегда попадем из начальной точки А в точку А 1 на единичной окружности, поэтому значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются без изменений, так как координаты точки A 1 неизменны.

Используя формулы, рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать следующим образом: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z)=tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , где α — угол поворота в радианах, z — любое , абсолютное значение которого указывает на число полных оборотов, на которое изменяется угол α, а Знак числа z указывает направление поворота.

Если угол поворота α задан в градусах, то эти формулы перепишутся как sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)= tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например, как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А 1 — точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки О на угол α, а точка А 2 — результат поворота точки А на угол −α, противоположный углу α.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов основано на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1 и А 2 либо совпадают (при), либо расположены симметрично относительно оси Ох. То есть, если точка A 1 имеет координаты (x, y), то точка A 2 будет иметь координаты (x, −y). Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса запишем равенства и .
Сравнивая их, приходим к соотношениям синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов α и −α вида .
Это рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, равенства и .

Остается только отметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Библиография.

• Алгебра: Учеб. на 9 кл. среднее школа / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Эд. С. А. Теляковский.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Алгебра и начало анализа: Учеб. на 10-11 кл. общеобразовательные учреждения / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.В. П. Дудницын и др.; Эд. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Башмаков М.И. Алгебра и начало анализа: Учеб. на 10-11 кл. среднее школа — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для абитуриентов техникумов): Учеб. пособие.- М.; Высшая школа, 1984.-351 с., ил.

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были разработаны астрономами для создания точного календаря и ориентирования по звездам. Эти расчеты относятся к сферической тригонометрии, а в школьном курсе изучают отношения сторон и углов плоского треугольника.

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций и отношения между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки в I тысячелетии нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но главные открытия тригонометрии — заслуга мужчин Арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса ввели индийские ученые. Много внимания уделено тригонометрии в трудах таких великих деятелей древности, как Евклид, Архимед и Эратосфен.

Основные тригонометрические величины

Основными тригонометрическими функциями числового аргумента являются синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулы для расчета значений этих величин основаны на теореме Пифагора. Школьникам оно более известно в формулировке: «Пифагорейские штаны, равные во всех направлениях», так как доказательство приведено на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы расчета этих величин для угла А и проследим связь тригонометрических функций:

Как видите, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы c, а катет b как cos A*c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

тригонометрическая окружность

Графически соотношение указанных величин можно представить следующим образом:

Окружность в данном случае представляет все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четвертям окружности, то есть находится в диапазоне от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательной величиной.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и выяснить значение величин.

Значения α, равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее, называются частными случаями. Значения тригонометрических функций для них рассчитываются и представляются в виде специальных таблиц.

Эти ракурсы выбраны не случайно. Обозначение π в таблицах относится к радианам. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Это значение было введено для того, чтобы установить универсальное отношение; при расчете в радианах фактическая длина радиуса в см значения не имеет.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям в радианах:

Итак, нетрудно догадаться, что 2π — это полный круг или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо нарисовать их функции. Это можно сделать в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотрим сравнительную таблицу свойств синусоиды и косинуса:

синусоида	косинусоид
у = sin x	y = cos x
ОДЗ[-1; один]	ОДЗ [-1; один]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, для x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, для x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. нечетная функция	cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период 2π
sin x › 0, где x принадлежит четвертям I и II или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, где x принадлежит четвертям I и IV или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, где x принадлежит четвертям III и IV или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, где x принадлежит четвертям II и III или из 90 ° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на интервале [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на интервале [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить, является функция четной или нет, очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси ОХ. Если знаки одинаковые, функция четная; в противном случае это странно.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинуса позволяют вывести следующую закономерность:

Проверить правильность формулы очень легко. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверка может быть выполнена путем просмотра таблиц или отслеживания кривых функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса существенно отличаются от синусоиды и косинуса. Значения tg и ctg обратны друг другу.

1. Y = tgx.
2. Тангенс стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда их не достигает.
3. Наименьший положительный период тангеноида равен π.
4. Tg(-x)=-tgx, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, для x = πk.
6. Функция увеличивается.
7. Tg x › 0, для x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, для x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое представление котангенсоида ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоида:

1. Y = ctgx.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангеноиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоид стремится к значениям y при x = πk, но никогда их не достигает.
4. Наименьший положительный период котангенсоида равен π.
5. Ctg(- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, для x = π/2 + πk.
7. Функция уменьшается.
8. Ctg x › 0, для x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, для x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Fix

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного лица или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои Персональные данные. Мы также можем раскрывать информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим причинам, представляющим общественный интерес.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Обеспечение конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Первым свойством является знак функции, зависящий от того, какой четверти единичной окружности принадлежит угол α. Второе свойство – периодичность. Согласно этому свойству тигонометрическая функция не меняет своего значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойство определяет, как изменяются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и – α.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это?

Давайте посмотрим на единичный круг. Он разделен на четыре квартала. Отмечаем на окружности начальную точку A 0 (1, 0) и, повернув ее вокруг точки O на угол α, попадаем в точку A 1 (x, y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x, y), угол α будем называть соответственно углом первого, второго, третьего и четвертого квадрантов.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30° лежит в первой четверти. Угол — 210° это вторая четверть угла. Угол 585° — это угол третьей четверти. Угол — 45° это угол четвертой четверти.

При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на осях координат.

Теперь рассмотрим знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса в четвертях, вспомним определение. Синус – это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

Косинус – это абсцисса точки A 1 (x, y) . В соответствии с этим определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен во второй и третьей четвертях.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям напомним также определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Это означает, что по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак касательной на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки, он будет отрицательным . Аналогично определяются знаки котангенса в четвертях.

Важно помнить!

1. Синус угла α имеет знак плюс в 1-й и 2-й четвертях, знак минус в 3-й и 4-й четвертях.
2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1-й и 4-й четвертях, знак минус во 2-й и 3-й четвертях.
3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1-й и 3-й четвертях, знак минус во 2-й и 4-й четвертях.
4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1-й и 3-й четвертях, знак минус во 2-й и 4-й четвертях.

Свойство периодичности

Свойство периодичности является одним из наиболее очевидных свойств тригонометрических функций.

Свойство периодичности

При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда попадем из начальной точки А на единичной окружности в точку А 1 с теми же координатами. Соответственно значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменятся.

Математически это свойство записывается следующим образом:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Каково практическое применение этого свойства? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используют для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.

Приведем примеры.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689°) = t g (31° + 360° (- 2)) = t g 31° t g (- 689°) = t g (- 329° + 360° (- 1)) = t g (- 329°)

Посмотрим снова на единичном круге.

Точка A 1 (x, y) является результатом поворота начальной точки A 0 (1, 0) вокруг центра окружности на угол α. Точка A 2 (x, — y) является результатом поворота начальной точки на угол — α.

Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси x. В случае, когда α = 0°, ±180°, ±360° точки А1 и А2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x, y), а вторая — (x, — y). Вспомните определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишите:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin — α = — y , cos — α = x , t g — α = — y x , c t g — α = x — y

Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin — α = — sin α cos — α = cos α t g — α = — t g α c t g — α = — c t g α равенства

sin — 48° = — sin 48°, c t g π 9= — c t g — π 9 , cos 18° = cos — 18°

Рассматриваемое свойство часто используется при решении практических задач в тех случаях, когда необходимо избавиться от отрицательных знаков углов в аргументах тригонометрических функций.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Heroes of Might & Magic III– HD Edition (Heroes of Might and Magic III) v1

Настольная игра «Уно»: увлекательно и интересно !

Преобразование личности

Преобразования тождеств

Рассмотрим два равенства:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Это равенство будет выполняться для любого значения переменной a. Диапазоном допустимых значений для этого равенства будет весь набор действительных чисел.

2. а 12: а 3 = а 2 * а 7 .

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Диапазоном допустимых значений этого неравенства будет весь набор действительных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верным при любых допустимых значениях переменных а. Такие уравнения в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество – это равенство, истинное при любых допустимых значениях переменных. Если в это равенство вместо переменных подставить какие-либо допустимые значения, то должно получиться правильное числовое равенство.

Стоит отметить, что истинные числовые равенства также являются тождествами. Тождества, например, будут свойствами действий над числами. 92*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет тождественной трансформацией.

Примеры тождеств

Пример 1: Имеют ли место следующие равенства тождеств:

1. а + 5 = 5 + а;

2. а*(-б) = -а*б;

3. 3*а*3*б = 9*а*б;

Не все приведенные выше выражения будут тождествами. Из этих равенств только 1,2 и 3 равенства являются тождествами. Какие бы числа мы в них не подставляли, вместо переменных a и b мы все равно получаем правильные числовые равенства.

Но 4 равенство больше не тождество. Потому что не для всех допустимых значений это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 вы получите следующий результат:

Это равенство неверно, так как число 3 не равно числу -3.

Получив представление об идентичностях, логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения тождественно равны, а какие нет.

Навигация по страницам.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроке алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автор Ю. Н. Макарычев дает следующую формулировку:

Определение.

— это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, на которые отвечают одинаковые значения, также называются тождественно равными.

Это определение используется до класса 8, оно справедливо для целочисленных выражений, так как они имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных. А в 8 классе уточняется определение тождественно равных выражений. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целочисленных выражений, могут не иметь смысла для некоторых значений переменных. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также диапазона допустимых значений ОДВ переменной и, как следствие, уточнить определение тождественно равных выражений.

Определение.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях их переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковое значение, также называются тождественно равными.

В этом определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «для всех допустимых значений входящих в них переменных». Под ним подразумеваются все такие значения переменных, для которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эта идея будет разъяснена в следующем разделе на примерах.

Определение тождественно равных выражений в учебнике А. Г. Мордковича дано несколько иначе:

Определение.

Идентичные равные выражения — это выражения слева и справа от тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Определения, введенные в предыдущем подразделе, позволяют привести примера тождественно равных выражений .

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 тождественно равны, потому что они соответствуют равным значениям 3 и 3. Выражения 5 и 30:6 также тождественно равны, как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны благодаря ). Но числовые выражения 3+2 и 3−2 не тождественно равны, так как они соответствуют значениям 5 и 1 соответственно, но они не равны.

Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Это выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одни и те же значения (что следует из цифр). Например, с a=1 и b=2 мы имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 также тождественно равны при любых значениях переменных x, y и z. Но выражения 2 х и 3 х не тождественно равны, так как, например, при х=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2 x равно 2 1=2 , а выражение 3 x равно 3 1=3 .

Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях а+1 и 1+а , или а б 0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны равны для всех значений переменных из этих областей, то здесь все ясно — эти выражения тождественно равны для всех допустимых значений переменных, входящих в них. Итак, a+1≡1+a для любого a , выражения a b 0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ИСБН 978-5-09-019315-3.

Алгебра: учебник на 8 кл. общеобразовательные учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордкович А. Г. Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Разобравшись с понятием тождеств, можно перейти к изучению тождественно равных выражений. Цель этой статьи — объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равны другим.

Яндекс.РТБ Р-А-339285-1

Тождественно равные выражения: Определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Вот основное определение, взятое из одного учебника:

Определение 1

тождественно равны друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковыми при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которые будут соответствовать одним и тем же значениям.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целочисленных выражений, смысл которых не меняется при изменении значений переменных. Однако позже возникает необходимость уточнить это определение, поскольку существуют и другие виды выражений, помимо целых чисел, которые не будут иметь смысла с некоторыми переменными. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определения диапазона допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Определение 2

Идентичные равные выражения — это такие выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равны друг другу при условии, что значения совпадают.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Мы поясним это положение позже, когда приведем примеры тождественно равных выражений.

Можно также указать следующее определение:

Определение 3

Идентичные равные выражения — это выражения, расположенные в одном и том же идентификаторе слева и справа.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Начнем с числовых выражений.

Пример 1

Таким образом, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равны друг другу, так как их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10 , (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражения нужно знать свойства степени).

Пример 3

А вот выражения 4 — 2 и 9 — 1 не будут равны, так как их значения различны.

Перейдем к примерам литеральных выражений. a + b и b + a будут тождественно равны, и это не зависит от значений переменных (равенство выражений в данном случае определяется коммутативным свойством сложения).

Пример 4

Например, если a равно 4, а b равно 5, результаты останутся теми же.

Другой пример тождественно равных выражений с буквами: 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, при умножении на 0 они дадут 0. Неравные выражения — это 6 x и 8 x, потому что они не будут равны ни для какого x.

В том случае, если диапазоны допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях а + 6 и 6 + а или а b 0 и 0, или х 4 и х, и значения сами выражения будут равны для любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Итак, a + 8 = 8 + a для любого значения a, и a · b · 0 тоже = 0, так как при умножении любого числа на 0 получается 0. Выражения x 4 и x будут тождественно равны для любого x из интервал [ 0 , + ∞) .

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области действия другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: x — 1 и x — 1 · x x . Для первого из них диапазоном допустимых значений х будет все множество действительных чисел, а для второго множество всех действительных чисел, кроме нуля, потому что тогда в знаменателе мы получим 0, а такое деление не определено. Эти два выражения имеют общий диапазон, образованный пересечением двух отдельных диапазонов. Можно сделать вывод, что оба выражения x — 1 · x x и x — 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, кроме 0 .

Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x-1 x x и x-1 будут равны для любого x, отличного от 0. Это означает, что эти выражения будут тождественно равны друг другу в общем диапазоне допустимых значений, и при любом вещественном x нельзя говорить об одинаковом равенстве.

Если заменить одно выражение другим, тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и мы подробно поговорим о нем в отдельной статье.

Если Вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Тема « Удостоверения личности » 7 класс (КРО)

Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.0.

Цели урока

Образовательные:

познакомить и первоначально закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;

рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать развитию умений и навыков удостоверение личности;

для проверки усвоения учащимися пройденного материала, формирования навыков применения изученного для восприятия нового.

Развивающая:

Развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),

развивать мышление,

Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.

Тип урока: изучение нового материала

Во время занятий

1 . Организация времени.

Проверка домашнего задания.

Вопросы по домашнему заданию.

Разбор полетов на доске.

Математика нужна
Без нее нельзя
Учим, учим, друзья,
Что вспоминаем с утра?

2 . Давайте сделаем разминку.

Результат сложения. (Сумма)

Сколько чисел вы знаете? (Десять)

Сотая часть числа. (в процентах)

результат деления? (Частный)

Наименьшее натуральное число? (один)

Можно ли получить ноль при делении натуральных чисел? (Нет)

Какое наибольшее отрицательное целое число? (-один)

На какое число нельзя разделить? (0)

Результат умножения? (Работа)

Результат вычитания. (Разность)

Коммутативное свойство сложения. (Сумма не меняется от перестановки местами слагаемых)

Переместительное свойство умножения. (Произведение не меняется от перестановки мест множителей)

Изучение новой темы(определение с записью в тетради)

Найдите значение выражений при x=5 и y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4 =27

Мы получили тот же результат. Из дистрибутивного свойства следует, что, вообще говоря, при любых значениях переменных значения выражений 3(x + y) и 3x + 3y равны.

Теперь рассмотрим выражения 2x + y и 2xy. Для x=1 и y=2 они принимают равные значения:

Однако можно указать значения x и y так, что значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то

Определение : Два выражения, значения которых равны для любых значений переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(x+y) и 3x+3y тождественно равны, но выражения 2x+y и 2xy не тождественно равны.

Равенство 3(x + y) и 3x + 3y верно для любых значений x и y. Такие равенства называются тождествами.

Определение: Равенство, истинное для любых значений переменных, называется тождеством.

Истинные числовые равенства также считаются тождествами. Мы уже встречались с тождествами. Тождества – это равенства, выражающие основные свойства действий над числами (учащиеся комментируют каждое свойство, произнося его).

а + б = б + а
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Приведите другие примеры тождеств

Определение : Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Идентичные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств операций над числами.

Тождественные преобразования выражений широко используются при вычислении значений выражений и решении других задач. Вам уже приходилось производить некоторые одинаковые преобразования, например, сокращение однотипных терминов, раскрытие скобок.

5 . № 691, № 692 (с произношением правил раскрытия скобок, умножения отрицательных и положительных чисел)

Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)

6 . Подведение итогов урока.

Учитель задает вопросы, а ученики отвечают на них по своему желанию.