Решебник по алгебре 8 класс мордкович задачник мишустина тульчинская: ГДЗ по Алгебре за 8 класс Задачник Мордкович А.Г., Александрова Л.А. Базовый уровень — Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 1" п. Пуровск Пуровского района

Содержание

ГДЗ Алгебра 8 класс Мордкович

Алгебра весьма непростой предмет, который не терпит халатного отношения. В восьмом классе серьезность дисциплины обусловлена и ждущим в ближайшем будущем всех учеников экзаменационным испытанием. Больше всего проблем в этом учебном году ждет подростков с решениями квадратных неравенств, иррациональными уравнениями и квадратичными функциями. Помочь преодолеть эти барьеры ребятам поможет решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 8 класс» Мордкович.

Что в него включено.

В пособие включено шесть глав, поделенных на параграфы. В конце каждой части есть контрольные вопросы и задания. Так же вся шестая глава посвящена повторению пройденного материала. Подробные решения по всем упражнениям в ГДЗ по алгебре 8 класс помогут школьникам увидеть и понять суть ошибок, которые могут возникнуть по ходу решения.

Нужен ли решебник.

Не всем решение задач дается достаточно легко. Особенно, если упущен какой-то важный пункт из пройденной днем темы. И по сути совершенно не важно, по какой причине это произошло: подросток проявил нерасторопность и невнимательность, или учитель схалтурил. Предъявлять д/з придется в любом случае, независимо от знаний учащихся. Но вполне естественно, что получать хорошие оценки хочется всем. А для этой цели решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 8 класс» Мордкович

— самое подходящее средство, так как может помочь разобраться в самых мельчайших недочетах в познаниях школьников.

«Мнемозина», 2010 г.

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 1. Основные понятия:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 2. Основное свойство алгебраической дроби:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 6. Преобразование рациональных выражений:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 7. Первые представления о рациональных уравнениях:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

Глава 1. Алгебраические дроби
§ 8. Степень с отрицательным целым показателем:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Глава 2.

Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 9. Рациональные числа:

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 11. Иррациональные числа:

1234567891011121314151617

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 12. Множество действительных чисел:

12345678910111213141516171819202122

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 13. Функция y=√x, её свойства и график:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 14. Свойства квадратных корней:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 15. Преобразование выраженй, содержащих операцию извлечения квадратного корня:

Глава 2. Функция y=√x. Свойства квадратного корня
§ 16. Модуль действительного числа:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344

Глава 3. Квадратичная функция
§ 17. Функция y=kx2, её свойства и график:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566

Глава 3. Квадратичная функция
§ 18. Функция, её свойства и график:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Глава 3. Квадратичная функция
§ 19. Как построить график функции y=f(x+l):

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758

Глава 3. Квадратичная функция
§ 20. Как построить график функции y=f(x)+m:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142

Глава 3. Квадратичная функция
§ 21. Как построить график функции y=f(x+l)+m:

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 3. Квадратичная функция
§ 22. Функция y=ax2+bx+c:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Глава 3. Квадратичная функция
§ 23. Графическое решение квадратных уравнений:

123456789101112131415161718192021222324

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 24. Основные понятия:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 25. Формулы корней квадратных уравнений :

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 26. Рациональные уравнения:

12345678910111213141516171819202122232425262728

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения:

12345678910111213141516171819202122232425262728

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 29. Теорема Виета:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Глава 4. Квадратные уравнения
§ 30. Иррациональные уравнения:

123456789101112131415161718192021222324

Глава 5. Неравенства
§ 31. Свойства числовых неравенств:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Глава 5. Неравенства
§ 32. Исследование функций на монотонность:

1234567891011121314

Глава 5. Неравенства
§ 33. Решение линейных неравенств:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Глава 5. Неравенства
§ 34. Решение квадратных неравенств:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Глава 5. Неравенства
§ 35. Приближенные значения действительных чисел:

1234567891011

Глава 5. Неравенства
§ 36. Стандартный вид чесла:

12345678910111213141516171819

Глава 6. Итоговое повторение:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158

Приложение:

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

Домашняя контрольная работа №1 Вариант 1:

12345678910

Домашняя контрольная работа №1 Вариант 2:

12345678910

Домашняя контрольная работа №2 Вариант 1:

123456789

Домашняя контрольная работа №2 Вариант 2:

123456789

Домашняя контрольная работа №3 Вариант 1:

12345678910

Домашняя контрольная работа №3 Вариант 2:

12345678910

Домашняя контрольная работа №4 Вариант 1:

12345678

Домашняя контрольная работа №4 Вариант 2:

12345678

Домашняя контрольная работа №5 Вариант 1:

12345678

Домашняя контрольная работа №5 Вариант 2:

12345678

Условие

Решебник №1

Решебник №2

Решебник №3

по алгебре 8 класс Мордкович

Алгебра 8 класс мордковича

Подробный решебник по алгебре к учебнику 8 класса, авторов Мордкович А, Г. , Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., издательство Мнемозина от 2014 г.

к задачнику Алгебра: углубленный (профильный) уровень 2 часть авторы Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н. издательства «Мнемозина» содержит как задания на повторение ранее изученного, так и более двухсот подробных расчетных задач на дроби, квадратный корень и его свойства, квадратичные функции, многочлены, рациональные и иррациональные уравнения, неравенства, делимость чисел и многое другое. Аналогичные упражнения входят в обязательную программу единого государственного экзамена, поэтому, безусловно, важно усвоить учебный материал и восполнить пробелы. Некоторые восьмиклассники задаются вопросом: «Что делать, если пропущен урок, но необходимо выполнить домашнюю работу»? Самый простой, но не самый лучший способ – списать у одноклассника, который может допустить множество ошибок. С resheba. me вполне осуществимо провести самостоятельное занятие и тщательно разобрать научные данные, ведь для этого в решебнике прописаны последовательности действий к каждому ответу. Со онлайн сборником можно быть уверенным в том, что учитель оценит решение на хорошую оценку. Все номера соответствуют основному изданию, а использовать решебу. ми так просто, выбрав предмет название учебника.

В восьмом классе по алгебре изучают далеко не простые темы. Родители же, как правило, все забыли, или просто не имеют свободного времени, что бы разбираться заново с функциями, корнями и переменными-неизвестными. Решебник по алгебре 8 класс Мордкович поможет преодолеть трудности в освоении программы.

Конечно, не нужно использовать пособие для бездумного списывания – сперва проанализируйте весь ход выполнения упражнения. Сборник по алгебре 8 класс Мордкович способен и родителям упростить жизнь, можно быстро проверить или разобрать сложную задачу.

Решебник по алгебре 8 класс Мордкович поможет преодолеть трудности в освоении программы.

Resheba. me

29.08.2020 2:45:46

2020-08-29 02:45:46

Источники:

Https://resheba. me/gdz/algebra/8-klass/mordkovich

по алгебре 8 класс Мордкович А. Г, Семенов П. В, Александрова Л. А, Мардахаева Е. Л. » /> » /> .keyword { color: red; }

Алгебра 8 класс мордковича

по алгебре за 8 класс Мордкович были разработаны высококвалифицированными специалистами, которые придерживались современной методики обучения, чтобы создать полезный решебник для школьников. Этот справочник поможет не только быстро и качественно выполнить домашнее задание, но и блистательно подготовиться ко всем видам проверок.

На восьмой ступени обучения в школе ребятам предстоит поближе познакомиться со следующими разделами учебника:

Упрощение рациональных выражений. Свойства квадратного корня. Простейшие неравенства. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Модуль действительного числа. Квадратная функция.

Для чего пригодятся по алгебре за 8 класс Мордкович

Первый год изучения этой дисциплины уже позади. У кого-то скопился достаточно ценный багаж знаний, а у других ребят — много пробелов. Их необходимо обязательно найти и заполнить, ведь если запустить ситуацию, могут не только ухудшиться оценки по предмету, но и пострадает средняя успеваемость. В этом деле необходим надежный помощник. Отлично справится со своей ролью данное учебно-методическое пособие.

Заглядывать на страницы по алгебре за 8 класс Мордкович А. Г., Семёнов П. В., Александрова Л. А., Мардахаева Е. Л. ученик может как регулярно, так и по мере необходимости. В основном школьники используют это пособие, чтобы разобраться в условии задания, подсмотреть верный ответ на тот или иной вопрос, внимательно изучить алгоритм решения сложных задач. Справочник пригодится как и отличникам, так и серьезно отстающим от программы ученикам. С его помощью можно добиться положительных результатов за короткий срок.

Специалисты рекомендуют восьмиклассникам всегда держать материалы решебника под рукой. Но это не проблема, так как находится в электронном доступе. Зайти на его страницы можно с ноутбука, планшета, смартфона или любого другого гаджета. Если подростку непонятно решение того или иного номера, то благодаря развернутым авторским комментариям, которые он тоже найдет в пособии, он сумеет во всем разобраться. А схемы, рисунки, таблицы помогут значительно облегчить процесс запоминания важной информации.

На восьмой ступени обучения в школе ребятам предстоит поближе познакомиться со следующими разделами учебника.

Gdz. fm

25.06.2017 13:42:59

2017-06-25 13:42:59

Источники:

Https://gdz. fm/algebra/8-klass/mordkovich-mardahaeva

Алгебра 8 класс Мордкович — Задачник «Мнемозина» » /> » /> .keyword { color: red; }

Алгебра 8 класс мордковича

Алгебра весьма непростой предмет, который не терпит халатного отношения. В восьмом классе серьезность дисциплины обусловлена и ждущим в ближайшем будущем всех учеников экзаменационным испытанием. Больше всего проблем в этом учебном году ждет подростков с решениями квадратных неравенств, иррациональными уравнениями и квадратичными функциями. Помочь преодолеть эти барьеры ребятам поможет Решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 8 класс» Мордкович.

Что в него включено.

В пособие включено шесть глав, поделенных на параграфы. В конце каждой части есть контрольные вопросы и задания. Так же вся шестая глава посвящена повторению пройденного материала. Подробные решения по всем упражнениям в по алгебре 8 класс помогут школьникам увидеть и понять суть ошибок, которые могут возникнуть по ходу решения.

Нужен ли решебник.

Что в него включено.

В пособие включено шесть глав, поделенных на параграфы. В конце каждой части есть контрольные вопросы и задания. Так же вся шестая глава посвящена повторению пройденного материала. Подробные решения по всем упражнениям в по алгебре 8 класс помогут школьникам увидеть и понять суть ошибок, которые могут возникнуть по ходу решения.

Задачник 8 класс Мордкович.

Gdz. ltd

03.04.2018 0:40:11

2018-04-03 00:40:11

Источники:

Https://gdz. ltd/8-class/algebra/Mordkowich/

ГДЗ Алгебра 8 класс Мордкович, Александрова, Мишустина

Алгебра 8 класс
Тип пособия: Сборник задач
Авторы: Мордкович, Александрова, Мишустина
Издательство: «Мнемозина»

Глава 1. Алгебраические дроби. §1. Основные понятия

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041

Глава 1. Алгебраические дроби. Домашняя контрольная работа №1

Вариант 1Вариант 2

Глава 1. Алгебраические дроби. §2. Основное свойство алгебраической дроби

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Глава 1. Алгебраические дроби. §3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 1. Алгебраические дроби. §4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556

Глава 1.

Алгебраические дроби. §5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Глава 1. Алгебраические дроби. §6. Преобразование рациональных выражений

123456789101112131415161718192021222324

Глава 1. Алгебраические дроби. §7. Первые представления о рациональных уравнениях

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

Глава 1. Алгебраические дроби. §8. Степень с отрицательным целым показателем

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. Домашняя контрольная работа №2

Вариант 1Вариант 2

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §9. Рациональные числа

1234567

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 2.

Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §11. Иррациональные числа12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §12. Множество действительных чисел

1234567891011121314151617

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §13. Функция y = √x, её свойства и график

12345678910111213141516171819202122

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §14. Свойства квадратных корней

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §15. Преобразование выражений, содержащих операции извлечения квадратного корня

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §16. Модуль действительного числа

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Глава 3.

2, её свойства и график1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §18. Функция у = к:х, её свойства и график

1234567

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §19. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х)

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §20. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х)

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §21. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции у = f(х)

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график.

2 + bx + c, её свойства и график123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142

Глава 4. Квадратные уравнения. Домашняя контрольная работа №4

Вариант1Вариант2

Глава 4. Квадратные уравнения. §23. Графическое решение квадратных уравнений

1234567891011121314151617181920212223242526272829

Глава 4. Квадратные уравнения. §24. Основные понятия

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Глава 4. Квадратные уравнения. §25. Формулы корней квадратных уравнений

123456789101112131415161718192021222324

Глава 4. Квадратные уравнения. §26. Рациональные уравнения

1234567

Глава 4. Квадратные уравнения. §27. Рациональные уравнения, как математические модели реальных ситуаций

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Глава 4. Квадратные уравнения. §28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

Глава 4.

Квадратные уравнения. §29. Теорема Виета12345678910111213141516171819202122232425262728

Глава 4. Квадратные уравнения. §30. Иррациональные уравнения

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445

Глава 5. Неравенства. Домашняя контрольная работа №5

Вариант1Вариант2

Глава 5. Неравенства. §31. Свойства числовых неравенств

12345678910111213141516171819202122232425262728

Глава 5. Неравенства. §32. Исследование функций на монотонность

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Глава 5. Неравенства. §33. Решение линейных неравенств

123456789101112131415161718192021222324

Глава 5. Неравенства. §34. Решение квадратных неравенств

1234567

Глава 5. Неравенства. §35. Приближенные значения действительных чисел

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Глава 5.

Неравенства. §36. Стандартный вид числа12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637

Глава 6. §37

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546

Глава 6. §38

1234567891011

Глава 6. §39

12345678910111213141516171819

Глава 6. §40

1234567

Глава 6. Итоговое повторение

Задачи на повторение

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768

Глава 1.

Алгебраические дроби. §1. Основные понятия: 1

Условие

Решение

Алгебра не бывает легкой

Порой кажется, что алгебра относится к тем предметам, которые просто невозможно понять. Но не стоит так отчаиваться. Не бывает недостижимых целей, иногда просто приложено недостаточно усилий. Поэтому даже эти уроки можно полюбить, если в достаточной степени разобраться с алгоритмом решения уравнений и с основными понятиями формул. Помимо этого требуется непрестанная практика в работе с примерами. Поэтому непременными условиями успешного обучения являются:

Внимательность.
Трудолюбие.
Усердие.

К данному предмету стоит подходить очень серьезно, если ребята стремятся добиться по-настоящему отличных результатов. Но довольно часто на пути к хорошим оценкам возникают довольно серьезные препятствия. И чаще всего они связаны с элементарным недопониманием тематики. А этого допускать нельзя, ведь очень скоро школьникам придется доказывать свои знания во время экзаменов. Помочь ученику разобраться со сложной для него наукой поможет решебник «Алгебра 8 класс Сборник задач Мордкович».

Что можно найти в ГДЗ

Пособие разделено на шесть глав, причем в последней из них даются итоговые задания для повторения материала. «ГДЗ по Алгебре 8 класс Мордкович (Мнемозина)» имеет подробные примеры решений для всех задач из школьного курса. Авторы предусмотрительно внесли по несколько путей нахождения ответа, которые содержат различные алгоритмы, чтобы ученики сами определились с нужным.

Что дает использование решебника

Первое, что необходимо сделать учащимся, если они хотят получить полноценные знания, а не разрозненную информацию — это вникнуть в суть изучаемого материала. Только это поможет разобраться в алгоритме решений, а также применять его в дальнейшем на практике. Но вместо того, чтобы справляться с возникающими затруднениями, многие подростки предпочитают:

отложить все на потом;
списать д/з;
заняться чем-нибудь более интересным.

При таком подходе совсем не удивительно, что в дневниках не сияют пятерки, а учителя все время ругают и норовят сделать замечание. Поэтому ребятам очень пригодиться ГДЗ, при помощи которых они могут ознакомиться с разнообразием способов решений примеров. Решебник «Алгебра 8 класс Мордкович (Мнемозина)» поможет подготовиться к самостоятельным работам, научит не бояться отвечать у доски и даст чувство уверенности.

Стоит ли применять решебники в учебе

Восьмиклассникам в наше время приходится весьма непросто, ведь на них постоянно давят со всех сторон. И родители, и учителя в унисон твердят о предстоящих в следующем году экзаменах, об ответственности, о том, как важно тщательно все учить. Но у ребят порой не хватает времени на то, чтобы полноценно выполнить все задаваемые на день д/з. Помимо этого приходится посещать дополнительные обязательные факультативы, кроме того, многие подростки посещают какие-то секции и кружки. Не сидеть же над уроками до поздней ночи? А ведь делать что-то нужно, ведь успеваемость по многим предметам, в том числе и по алгебре начинает стремительно падать.

Многое в это время зависит от преподавателей — насколько грамотно они смогут подать учебный материал. Но, к сожалению, в большинстве случаев школьникам предстоит самостоятельно разбирать каждую тему. Естественно, при этом может возникнуть много недопониманий. Спросить же разъяснений ребятам зачастую не у кого. Вот и получается, что вместо знаний они приобретают одни вопросы. Однако не стоит отчаиваться, есть вполне реальный способ преодолеть все недопонимания и проработать слабые моменты.

Некоторые взрослые упорно придерживаются версии, что исправить все ошибки учащихся способен только репетитор. Но это далеко не так, ведь при таком подходе ребята постоянно ждут подсказки и порой ленятся до такой степени, что это лишь ухудшает их результаты на уроках. Как же помочь подросткам лучше разобраться в материале? Ответ очень прост — использовать сборники ГДЗ. Конечно, не обойдется и без случаев списывания, но очень скоро ученики убедятся, что такой подход не принесет им ощутимой пользы и начнут использовать пособия по назначению.

Как именно нужно использовать ГДЗ

Родители зачастую не верят в пользу решебников, считая это очередной прихотью и блажью ленивых ребят. Для них ГДЗ — это просто шпаргалка. Но даже специалисты в области образования сейчас признают, что именно эти пособия позволяют многим ученикам полноценно разобрать все премудрости учебного материала на наглядных примерах. Так что не стоит запрещать школьникам пользоваться сборниками, нужно просто объяснить, как делать это правильно:

Не стоит игнорировать изучение теории.
Все задания необходимо выполнять самостоятельно.
При проверке ответов нужно использовать ГДЗ.
Всегда следует внимательно изучать обнаруженные ошибки.
Если требуется, надо закрепить материал.

Алгебра совсем непростой предмет, поэтому к ее изучению стоит подходить предельно внимательно. Но есть ребята, которые просто не понимают эту дисциплину, так как имеют гуманитарный склад ума. Это, конечно же, не избавляет их от необходимости писать контрольные, тесты или экзамены. Поэтому иметь твердые знания алгебраических законов должны все школьники. Использование ГДЗ по алгебре 8 класс Сборник задач Мордкович (Мнемозина) поможет им в этом.

Если подходить к работе с решебником правильно, то можно:

тщательно вникнуть в суть теоретического материала;
запомнить все необходимые алгоритмы;
проработать имеющиеся слабые моменты;
повторить информацию перед предстоящей проверкой знаний, и т.д.

Замечено, что систематическое применение ГДЗ приводит не только к улучшению оценок по предмету, но и к стабилизации психологического состояния учащихся. Они перестают нервничать из-за предстоящих уроков или переживать, что что-то не успеют. С представленным пособием время на выполнение д/з существенно сокращается, что позволит ребятам больше уделять его своим личным делам или отдыху. Кроме того, их родители увидят, что дети самостоятельно преодолевают трудности и перестанут постоянно давить на них.

Что такое определение алгебраической дроби. Основные понятия

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью является выражение

, где P и Q — многочлены; P — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот несколько примеров алгебраических дробей:

Любой многочлен является частным случаем алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать как

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, посчитаем значение дроби

В первом случае получаем:

Обратите внимание, что эту дробь можно уменьшить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Давайте воспользуемся этим.

Во втором случае получаем:

Как видите, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = -1 недопустимо для этой дроби, так как знаменатель дроби при таком значении x обращается в нуль. При таком значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Давайте решим несколько примеров.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем числитель нашей дроби к нулю и найдем корни полученного уравнения:

Таким образом, при x = 0 и x = 3 эта алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке вы узнали основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14 ч. Часть 1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 9-е изд., испр. — М.: Мнемосина, 2007. — 215 с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14 ч. Часть 2 Сборник задач для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. — 8-е изд., — М.: Мнемосина, 2006 — 239с.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для студентов общеобразовательных учреждений Александров Л.А., изд. Мордкович А.Г. 2-е изд., Стер. — М.: Мнемосина 2009. — 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова, изд. А. Г. Мордкович. 9изд., стер. — М.: Мнемосина 2013. — 112с.

В этом уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. Человек встречается с дробями в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждый получит свой кусок пирога. В данном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, но возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на х. В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целочисленными выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимые значения переменных.

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение. Рациональная дробь — дробное выражение вида, где многочлены. — знаменатель числителя.

Примеры рациональных выражений: — дробные выражения; — целые выражения. Например, в первом выражении он действует как числитель и знаменатель.

Значение алгебраическая дробь как и любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной.

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби для различных значений входящих в нее переменных.

Пример 1. Рассчитайте значение дроби при а), б), в)

Раствор. Подставить в указанную дробь значения переменных: а), б), в) — не существует (так как на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видите, для любой дроби есть две типичных задачи: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных — значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Совокупность всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или домен .

Значение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби для этих значений равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, так как дробь можно вычислить.

Пример 2.

Раствор. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю. Таким образом, недействительными будут только те значения переменной, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби, значит решим линейное уравнение:

Поэтому при значении переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера следует правило нахождения недопустимых значений переменных — знаменатель дроби равен нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько подобных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла .

Раствор. .

Ответ. .

Пример 4. Устанавливать, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Есть и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) … Это значит — найти все допустимые значения переменных. В нашем примере это все значения, кроме. Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого выколем на нем точку, как указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, доменом дроби будут все числа кроме 3.

Ответ. .

Пример 5. Устанавливать, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Нарисуем полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6.

Раствор. … Получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т.д.

Постройте это решение в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функций

Координаты любой точки на этом графике не входят в диапазон допустимых значений дроби.

Ответ. .

В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда произошло деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с разделением типов.

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Получается, что дробь не имеет смысла. Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 at, то и исходное тоже можно вычислить, а значит, оно имеет смысл at. Однако если мы подставим его в исходное выражение, то получим — смысла нет.

Ответ. .

Чтобы подробнее разобраться в этом примере, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

Но тогда мы сформулировали его в «упрощенном» виде, удобном и достаточном для работы с обыкновенными дробями. В этой статье мы рассмотрим основное свойство дроби по отношению к алгебраическим дробям (то есть к дробям, у которых числитель и знаменатель многочлены, в некоторых учебниках по алгебре такие дроби называются не алгебраическими, а рациональными дробями). Сначала сформулируем основное свойство алгебраической дроби , обоснуем его, а после этого перечислим основные области его применения.

Навигация по страницам.

Формулировка и обоснование

Для начала вспомним, как было сформулировано основное свойство дроби для обыкновенных дробей: если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить одновременно на какое-либо натуральное число, то значение дроби не будет сдача. На это утверждение отвечают равенства и (верные и с переставленными частями в форме и), где a, b и m — некоторые.

На самом деле о делении числителя и знаменателя на число говорить не приходится — этот случай покрывается равенством вида. Например, равенство можно обосновать через деление, используя равенство как , а можно обосновать и на основании равенства как . .. Поэтому в дальнейшем основное свойство дроби будем связывать с равенством (и), а будем не останавливаться на равенстве (и).

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется и на дроби, числитель и знаменатель которых равны. Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Другими словами, мы докажем, что равенство справедливо для любых действительных чисел a, b и m, причем b и m отличны от нуля (иначе мы столкнемся с делением на ноль).

Пусть дробь a/b будет записью числа z, то есть. Докажем, что дробь также соответствует числу z, то есть докажем это. Это докажет равенство.

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя не на определенное число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. Например,… А правила смены знаков членов алгебраической дроби основаны на умножении числителя и знаменателя на минус единицу.

Второй по значимости областью применения основного свойства дроби является приведение алгебраических дробей. В общем случае сокращение осуществляется в два этапа: сначала числитель и знаменатель разлагаются на множители, что позволяет найти общий множитель m, а затем на основании равенства осуществляется переход к дроби форма а/б без этого общего множителя осуществляется. Например, алгебраическая дробь после факторизации числителя и знаменателя принимает вид www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, не может быть воспроизведена в какой-либо форме или использована без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Когда ученик поступает в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задачи все сложнее. Некоторые с трудом воспринимают дроби. Пропустил первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражение P/Q, где P – числитель, а Q – знаменатель. Алфавитная запись может скрывать число, числовое выражение, числово-алфавитное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решить алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.

Обычно целое равно 1. Число в знаменателе указывает, на сколько частей была разделена единица измерения. Числитель нужен, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В данном случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся изучают эту тему в школе, им даются примеры для закрепления. Чтобы правильно их решать и находить различные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (не ноль), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является деление обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, умножать, делить и сокращать дроби.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, вы всегда должны следовать правилам.

Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то этот пункт необходимо опустить. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Сложите или вычтите числители. Но! Следует помнить, что если перед дробью стоит знак «-», все знаки в числителе меняются местами. Иногда не стоит делать никаких подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто употребляется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаково для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше предыдущих, но в силу основного правила дробей остаются равными исходному примеру.

Целью этой операции является получение нового неприводимого выражения. Эту задачу можно решить, сократив числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Алгоритм работы состоит из двух пунктов:

Нахождение НОД обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.

Ниже приведена таблица со списком формул. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникло затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Приведенные в статье примеры помогут вам лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и рассмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя произвести целиком, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель — знаменателем.

Примеры дробных выражений:

Числитель и знаменатель дробного выражения сами могут быть дробными выражениями, например:

Из дробных алгебраических выражений чаще всего приходится иметь дело с такими, в которых числитель и знаменатель являются полиномами (в частности, и мономами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.

Определение. Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами, называется алгебраической дробью.

Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.

В будущем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем преобразовать любое дробное выражение в алгебраическую дробь с помощью идентичных преобразований.

Примеры алгебраических дробей:

Обратите внимание, что целочисленное выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно в числителе этого выражения записать, а в знаменателе 1. Например:

2. Разрешено значения букв.

Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если по условию задачи не вводятся дополнительные ограничения).

Для букв, входящих в знаменатель, допускаются только те значения, которые не обращаются в нуль знаменателя. Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

Найдите значение выражения алгебраической дроби. Видеоурок «Алгебраические дроби. Основные понятия. Разные задачи и выводы

В этом уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек сталкивается в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, каждый получит кусок пирога. В данном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда предмет делится на неизвестное количество частей, например, х. В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимые значения переменных.

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение Рациональная дробь представляет собой дробное выражение вида, где — многочлены. — знаменатель числителя.

Примеры рациональные выражения: — дробные выражения; — целые выражения. В первом выражении, например, он выступает и числителем, и знаменателем.

Значение алгебраическая дробь , как и любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной.

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби для различных значений входящих в него переменных.

Пример 1 Рассчитайте значение дроби для a), b), c)

Решение. Подставляем значения переменных в указанную дробь: а), б), в) — не существует (так как на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видите, для любой дроби есть две типичные проблемы: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение Допустимые значения переменных — значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Набор всех допустимых значений переменных называется DLD или домен .

Значение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, потому что дробь может быть вычислена.

Пример 2

Решение. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю. Таким образом, недействительными будут только те значения переменных, у которых знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби, следовательно, решаем линейное уравнение:

Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Рассмотрим несколько подобных примеров.

Пример 3 Устанавливать при каких значениях переменной дробь не имеет смысла .

Решение. .

Ответ. .

Пример 4 Устанавливать при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение. .

Существуют и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это означает нахождение всех допустимых значений для переменных. В нашем примере это все значения, кроме . Область определения удобно представлена на числовой оси.

Для этого выставляем на нем точку, как указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, область определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5 Устанавливать при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение. .

Отобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6

Решение. . Получили равенство двух переменных, приводим численные примеры: или и т.д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции

Координаты любой точки, лежащие на этом графике, не попадают в диапазон допустимых дробей.

Ответ. .

В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда произошло деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типов.

Пример 7 Устанавливать при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Решение. .

Получается, что дробь не имеет смысла. Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 for, то исходное тоже можно вычислить, а значит, имеет смысл for. Однако если мы подставим его в исходное выражение, то получим — смысла нет.

Ответ. .

Но тогда мы его сформулировали в «упрощенном» виде, удобном и достаточном для работы с обыкновенными дробями. В этой статье мы рассмотрим основное свойство дроби применительно к алгебраическим дробям (то есть к дробям, у которых числитель и знаменатель многочлены, в некоторых учебниках по алгебре такие дроби называются не алгебраическими, а рациональными дробями). Сначала мы констатируем основное свойство алгебраической дроби , обоснуем его, а после этого перечислим основные области его применения.

Навигация по страницам.

Формулировка и обоснование

Для начала вспомним, как было сформулировано основное свойство дроби для обыкновенных дробей: если и числитель, и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на некоторое натуральное число, то значение дробь не изменится. Этому утверждению соответствуют равенства и (справедливые и с переставленными частями в форме и), где a, b и m — некоторые.

На самом деле нельзя сказать о делении числителя и знаменателя на число — этот случай покрывается равенством вида. Например, равенство можно обосновать через деление с использованием равенства как , а можно обосновать и с помощью равенства как . Поэтому в дальнейшем основное свойство дроби мы будем связывать с равенством (ями), а на равенстве (ях) останавливаться не будем.

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется на дроби, числитель и знаменатель которых равны. Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Другими словами, мы доказываем, что равенство справедливо для любых действительных чисел a, b и m, причем b и m отличны от нуля (иначе мы столкнемся с делением на ноль).

Пусть дробь a/b будет записью числа z, т.е. Докажем, что дробь также соответствует числу z, то есть докажем это. Это докажет равенство.

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя не на определенное число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. Например, . А на умножении числителя и знаменателя на минус единицу основаны правила смены знаков членов алгебраической дроби.

Второй по значимости областью применения основного свойства дроби является приведение алгебраических дробей. Приведение в общем случае проводится в два этапа: сначала факторизуются числитель и знаменатель, что позволяет найти общий множитель m, а затем на основании равенства переходят к дроби вида а/ b без этого общего множителя. Например, алгебраическая дробь после разложения и знаменателя на множители принимает вид www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, не может быть воспроизведена в какой-либо форме или использована без предварительного письменного разрешения правообладателя.

В § 42 было сказано, что если деление многочленов не может быть проведено целиком, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель — знаменателем.

Примеры дробных выражений:

Числитель и знаменатель дробного выражения сами могут быть дробными выражениями, например:

Из дробных алгебраических выражений чаще всего приходится иметь дело с теми, в которых числитель и знаменатель являются полиномами (в частности, мономами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.

Определение Алгебраическая дробь, представляющая собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами, называется алгебраической дробью.

Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.

Далее, изучив действия над алгебраическими дробями, мы можем любое дробное выражение с помощью идентичных преобразований преобразовать в алгебраическую дробь.

Примеры алгебраических дробей:

Обратите внимание, что все выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно в числителе этого выражения написать, а в знаменателе 1. Например:

2. Действительная буква ценности.

Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если никакие дополнительные ограничения не наложены условием задачи).

Для букв, входящих в знаменатель, допустимы только те значения, у которых знаменатель не равен нулю. Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

Когда ученик идет в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задач все больше и больше. Некоторые с трудом воспринимают дроби. Мы пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимаются выражения P/Q, где P — числитель, а Q — знаменатель. Под буквенной записью может быть скрыто число, числовое выражение, цифро-буквенное выражение.

Прежде чем задаться вопросом, как решать алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.

Как правило, целое число равно 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей была разделена единица. Числитель нужен для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В этом случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят эту тему в школе, им даются примеры подкрепления. Чтобы правильно их решать и находить разные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличное от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические действия с дробями

Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, всегда нужно придерживаться правил.

Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то этот пункт следует опустить. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Вам нужно добавить или вычесть числители. Но! Необходимо помнить, что если перед дробью стоит знак «-», все знаки в числителе меняются местами. Иногда не следует производить никаких подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дроби . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаковое для обеих частей), получится новая дробь. Делимое и делитель меньше предыдущих, но по основному правилу дробей остаются равными исходному примеру.

Нахождение НОД обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.

В таблице ниже показаны формулы. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникало затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.

Некоторые примеры решений

С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Примеры в этой статье помогут вам лучше понять материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и изучения практической части вопросов больше возникнуть не должно.

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраическая дробь — это выражение

где P и Q — многочлены; P — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменные.

Например, вычисляем значение дроби

В первом случае получаем:

Обратите внимание, что эту дробь можно уменьшить: алгебраической дроби упрощается. Воспользуйтесь этим.

Во втором случае получаем:

Как видите, при изменении значений переменных значение алгебраической дроби изменилось.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение х = -1 недопустимо для этой дроби, так как знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При таком значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Давайте решим несколько примеров.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби равен нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравниваем числитель нашей дроби к нулю и находим корни полученного уравнения:

Таким образом, при х = 0 и х = 3 эта алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч. 1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 9-е изд., перераб. — М.: Мнемозин, 2007. — 215 с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч. 2, Задание для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. — 8-е изд., — М.: Мнемозина, 2006. — 239с.
Алгебра. 8 класс. Экзамен для студентов общеобразовательных учреждений Александрова Л.А., изд. Мордкович А.Г. 2-е изд., Стер. — М.: Мнемозина 2009. — 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, изд. А. Г. Мордкович. 9изд. — М.: Мнемозина 2013. — 112с.

Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях. Видеоурок «Преобразование рациональных выражений Преобразование дробно-рациональных алгебраических выражений

В статье рассказывается о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразование, группировку, скобки общего множителя. Будем учиться представлять дробно-рациональные выражения выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Определение 1

Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием тире дроби, называются рациональными выражения.

Например, имеем, что 5, 2 3 x — 5, — 3 a b 3 — 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 — b), (x + 1) (y — 2) х 5 — 5 х у 2 — 1 11 х 3.

То есть это выражения, которые нельзя разделить на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где они называются дробно-рациональными выражениями, с особым вниманием к дробям в числителе, которые преобразуются с помощью правил преобразования.

Это позволяет перейти к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение можно рассматривать как выражение с рациональными дробями и целыми выражениями со знаками действия.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения служат для выполнения тождественных преобразований, группировок, приведения подобных, выполнения других действий с числами. Цель таких выражений — упростить.

Пример 1

Преобразование рационального выражения 3 x x y — 1 — 2 x x y — 1.

Решение

Видно, что таким рациональным выражением является разность 3 x x y — 1 и 2 x x y — 1. Обратите внимание, что их знаменатель идентичен. Это означает, что приведение таких слагаемых принимает вид

3 x x y — 1 — 2 x x y — 1 = x x y — 1 3 — 2 = x x y — 1

Ответ: 3 x x y — 1 — 2 x x y — 1 = x x y — 1.

Пример 2

Выполните преобразование 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x — x).

Раствор

Вначале выполняем действия в скобках 3 х — х = 2 х. Представим это выражение в виде 2 х у 4 (- 4) х 2: (3 х — х) = 2 х у 4 (- 4) х 2 : 2 х. Приходим к выражению, которое содержит действия с одним шагом, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавьтесь от круглых скобок, применив свойство деления. Тогда получаем, что 2 х у 4 (- 4) х 2: 2 х = 2 х у 4 (- 4) х 2: 2: х.

Группируем числовые множители с переменной x, после чего можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

2 х у 4 (- 4) х 2: 2: х = (2 (- 4): 2) (х х 2: х) у 4 = — 4 х 2 у 4

Ответ: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x — x) = — 4 x 2 y 4.

Пример 3

Преобразование выражения вида x (x + 3) — (3 x + 1) 1 2 х 4 + 2.

Решение

Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Тогда получим выражение вида (х · (х + 3) — (3 · х + 1)): 1 2 · х · 4 + 2, причем сначала выполняются действия в скобках. В числителе выполняются действия и группируются множители. Тогда получим выражение вида х (х + 3) — (3 х + 1) 1 2 х 4 + 2 = х 2 + 3 х — 3 х — 1 1 2 4 х + 2 = х 2 — 1 2 х + 2,

Преобразуем формулу разности квадратов в числитель, тогда получим, что

х 2 — 1 2 х + 2 = (х — 1) (х + 1) 2 (х + 1) = х — 1 2

Ответ : x (x + 3) — (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x — 1 2.

Представление рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего упрощается при решении. Каждое рациональное доводится до этого по-разному. Необходимо произвести все необходимые действия с полиномами, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Пример 4

Представим в виде рациональной дроби а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а.

Раствор

Это выражение можно представить как 2 — 25 а + 3 · 1 а 2 + 5 · а. Умножение делается в основном по правилам.

Начнем с умножения, тогда получим, что

а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а = а — 5 (а + 5) а + 3 1 а (а + 5) = а — 5 (а + 5) 1 ( а + 3) а (а + 5) = а — 5 (а + 3) а

Делаем презентацию результата, полученного с исходным. Получаем, что

а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 а = а + 5 а а — 3 — а — 5 а + 3 а

Теперь делаем вычитание :

а + 5 а а — 3 — а — 5 а + 3 а = а + 5 а + 3 а (а — 3) (а + 3) — (а — 5) (а — 3) (а + 3 ) а (а — 3) = = а + 5 а + 3 — (а — 5) (а — 3) а (а — 3) (а + 3) = а 2 + 3 а + 5 а + 15 — ( а 2 — 3 а — 5 а + 15) а (а — 3) (а + 3) = = 16 аа (а — 3) (а + 3) = 16 а — 3 (а + 3) = 16 а 2 — 9

После этого очевидно, что исходное выражение примет вид 16 а 2 — 9.

Ответ: а + 5 а (а — 3) — а 2 — 25 а + 3 1 а 2 + 5 a = 16 a 2 — 9.

Пример 5

Рациональная дробь x x + 1 2 x — 1 1 + x.

Раствор

Данное выражение записывается в виде дроби, в числителе которой x x + 1 + 1, а в знаменателе 2 · x — 1 1 + x. Необходимо сделать преобразования х х + 1 + 1. Для этого нужно сложить дробь и число. Получаем, что хх + 1 + 1 = хх + 1 + 1 1 = хх + 1 + 1 (х + 1) 1 (х + 1) = хх + 1 + х + 1 х + 1 = х + х + 1 х + 1 = 2 х + 1 х + 1

Отсюда следует, что х х + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 х + 1 2 х — 1 1 + х

Полученную дробь можно записать как 2 х + 1 х + 1: 2 х — 1 1 + х.

После деления получим рациональную дробь вида

2 х + 1 х + 1: 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 х + 1 1 + х 2 х — 1 = 2 х + 1 (1 + х) (х + 1) (2х — 1) = 2х + 1 2х — 1

Можно решить по-другому.

Вместо деления на 2 х — 1 1 + х умножить на обратное 1 + х 2 х — 1. Применим свойство распределения и получим, что

хх + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = хх + 1 + 1: 2 х — 1 1 + х = хх + 1 + 1 1 + х 2 х — 1 = = хх + 1 1 + х 2 х — 1 + 1 1 + х 2 х — 1 = х 1 + х (х + 1) 2 х — 1 + 1 + х 2 х — 1 = = х 2 х — 1 + 1 + х 2 х — 1 = х + 1 + х 2 х — 1 = 2 х + 1 2 х — 1

Ответ: х х + 1 + 1 2 х — 1 1 + х = 2 х + 1 2 х — 1.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Преобразование рациональных выражений

В этом уроке мы будем работать с рациональными выражениями. На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразование рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, состоящее из чисел, литеральных переменных, арифметических операций, возведения в натуральную степень и знаков последовательности этих действий (скобки). Вместе с фразой «рациональное выражение» в алгебре иногда употребляются термины «целое» или «дробное».

Например, выражения

являются как рациональными, так и целыми.

Выражения

являются как рациональными, так и дробными, так как в знаменателе стоит выражение с переменной.

Не забывайте, что дробь теряет смысл, если знаменатель равен нулю.

Основной целью занятия будет приобретение опыта решения задач на упрощение рациональных выражений.

Упрощение рациональных выражений — это использование тождественных преобразований с целью упрощения записи выражения (сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).

Для преобразования рациональных выражений нужны правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия выполняются по тем же правилам, что и действия с обыкновенными дробями:

А также формулы сокращенного умножения:

При решении примеров преобразования рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление ( или возведение в степень), а затем действия сложения/вычитания.

Итак, рассмотрим пример 1:

необходимо упростить выражение

Сначала выполняем действия в скобках.

Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и выполняем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями по правилам, написанным выше.

Используя формулу сокращенного выражения (а именно квадрата разности), полученное выражение принимает вид:

Во-вторых, согласно правилам умножения алгебраических дробей, умножаем числители и отдельно, знаменатели:

А затем сократим полученное выражение:

В результате проведенных преобразований получим простое выражение

Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество:

Доказать тождество означает установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.

Доказательство:

Чтобы доказать это тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого следуйте процедуре, изложенной выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем сложение.

Итак, действие 1:

выполнить сложение/вычитание выражения в скобках.

Для этого разложим выражения в знаменателях дробей и приведем эти дроби к общему знаменателю.

Итак, в знаменателе первой дроби выносим за скобку 3, в знаменателе второй выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения разлагаем на два множителя, и в знаменателе третьей дроби выносим x за скобки.

Общим знаменателем этих трех дробей является выражение

Шаг 2:

умножить дробь на

Для этого сначала нужно разложить числитель первой дроби на множители и возвести эту дробь к степень числа 2.

А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение.

Шаг 3:

Суммируем первую дробь исходного выражения и полученную дробь

Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим:

Теперь осталось только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями:

Таким образом, в результате 3-х действий и упрощением левой части тождества, мы получили выражение из его правой части, а значит, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо только для допустимых значений переменной x. В данном примере это любые значения х, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в ноль. Это означает, что допустимы любые значения x, кроме тех, для которых выполняется хотя бы одно из равенств:

Недопустимыми значениями будут:

Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразование рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 9-е изд., испр. — М.: Мнемосина, 2007. — 215с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 часа, часть 2. Сборник задач для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. — 8-е изд., — М.: Мнемозина, 2006 — 239п.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для студентов общеобразовательных учреждений Александров Л. А., изд. Мордкович А.Г. 2-е изд., Стер. – М.: Мнемосина, 2009. – 40 с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова, изд. А. Г. Мордкович. 9-е изд., стерт. — М.: Мнемосина 2013. — 112с.

Рациональные выражения и дроби являются краеугольным камнем всего курса алгебры. Те, кто научится работать с такими выражениями, упрощать их и факторизовать, по сути, смогут решить любую задачу, так как преобразование выражений является неотъемлемой частью любого серьезного уравнения, неравенства и даже задачи со словами.

В этом видеоуроке мы увидим, как правильно применять формулы сокращенного умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Мы научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой простой прием, как разложение квадратного трехчлена на множители по дискриминанту.

Как вы, наверное, уже догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, вернее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем перейти к решению примеров, давайте познакомимся поближе с этими формулами или вспомним их: 9(2) ) \ right) $ — разность кубов.

Еще хотелось бы отметить, что наша система школьного образования устроена таким образом, что именно с изучением данной темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учащихся возникает одна и та же проблема, о которой я объясните сейчас.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это примерно 8 класс) учителя говорят примерно так: «Если ты чего-то не понимаешь, то не волнуйся , мы еще не раз вернемся к этой теме, в старших классах, так что точно. Разберемся позже. «Ну, тогда на рубеже 9-10 класс те же учителя объясняют тем же ученикам, которые еще не умеют решать рациональные дроби, примерно так: «Где вы были предыдущие два года? То же самое изучали по алгебре в 8-м классе! Что тут может быть непонятного? Это так очевидно!

Впрочем, обычным школьникам такие объяснения совсем не легче: у обоих в голове была каша, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основе которых увидим, как выделить эти выражения в реале проблемы, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и тому, как затем применять их для преобразования сложных рациональных выражений. (2)) \]

\ [((x) _ (1)) = \ frac (-5y + 7y) (2) = y \]

\ [((x) _ (2)) = \ frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=- 6y\]

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left(x-y\right)\left( x + 6y\right)\]

Итак, если вернуться к исходному выражению и переписать его с изменениями, то получим следующее:

\[\frac(8)(\left(x-y\right)\ влево(х+6у\вправо))\]

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что оно не может быть уменьшено, ни на что не умножено и не разделено. Однако, как только эта дробь окажется частью более сложного выражения, такое разложение пригодится. Поэтому, как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

Все знаменатели и числители необходимо разложить на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
Работать нужно по следующему алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим общую степень за скобки.
Часто будут встречаться выражения с параметром: другие переменные будут отображаться как коэффициенты. Находим их по формуле квадратного разложения.

Таким образом, когда вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать, это разложить как числитель, так и знаменатель (в линейные выражения), используя формулу сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить.

Решение более сложных примеров 9(2))\вправо))(\влево(2х-1\вправо)\влево(2х+1\вправо))=\]

\[=\frac(3\cdot\влево(-1\вправо) )(2\cdot\left(x-2\right)\cdot\left(-1\right))=\frac(3)(2\left(x-2\right))\]

Ответ: $ \ frac(3)(2\left(x-2\right))$.

Нюансы решения

Итак, что мы только что узнали:

Не каждый квадратный трехчлен разлагается на множители, в частности, это относится к неполному квадрату суммы или разности, которые очень часто встречаются как части кубов суммы или разница.
Константы, т.е. обычные числа, не имеющие с собой переменных, также могут выступать в качестве активных элементов в процессе декомпозиции. Во-первых, их можно вынести за скобки, во-вторых, сами константы можно представить в виде степеней.
Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции. Сокращать эти дроби нужно очень осторожно, потому что при их зачеркивании, то ли сверху, то ли снизу, возникает дополнительный множитель $-1$ — это как раз следствие того, что они противоположны. 9(2))) = \]
\ [= \ frac (\ влево (3a-4b \ вправо) \ влево (b + 2 \ вправо)) (\ влево (b-2 \ вправо)) \]
Ответ: $\frac(\left(3a-4b\right)\left(b+2\right))(\left(b-2\right))$.
Нюансы решения
Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы или неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, но не стоит их бояться, так как после преобразования каждого элемента они почти всегда отменяют. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших построений в итоговом ответе — вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно если все факторизовано), а именно автор задумал такой ответ. 9(2)) + 2x + 4) (\ влево (x-2 \ вправо) \ влево (x + 2 \ вправо)) = \ frac (1) (x + 2) \]
Ответ: $ \ frac ( 1) (х+2)$.
Нюансы решения
Как видите, ответ оказался вполне вменяемым. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная фигурирует только в знаменателе, учащиеся забывают, что это знаменатель и он должен стоять внизу дроби и в числителе записывают это выражение — это грубая ошибка.
Кроме того, хочу обратить особое внимание на то, как формализуются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно вычисляем первую скобку, затем отдельно вторую, и только в конце объединяем все части и вычисляем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, тщательно записываем все расчеты и при этом не тратим лишнее время, как может показаться на первый взгляд.
Арифметическая операция, которая выполняется последней при вычислении значения выражения, является «основной».
То есть, если вместо букв подставить любые (любые) числа, и попытаться вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение, то мы имеем произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием является сложение или вычитание, это означает, что выражение не разложено на множители (и, следовательно, не может быть отменено).
Чтобы исправить решение самостоятельно, возьмите несколько примеров:
Примеры:
Решения:
1. Надеюсь, вы не спешили резать вас сразу? Еще недостаточно было «вырезать» единицы вот так:
Первым действием должно быть разложение на множители:
4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей — очень знакомая операция: ищем общий знаменатель, умножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Запомним:
Ответы:
1. Знаменатели и взаимно просты, то есть не имеют общих делителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это будет общий знаменатель:
2. Здесь общий знаменатель:
3. Здесь сначала смешанные дроби превращаем в неправильные, а потом — по обычной схеме:
Совсем другое имеет значение, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
а) Знаменатели не содержат букв
Здесь все так же, как и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, умножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
теперь в числителе можно привести похожие, если они есть, и разложить на множители:
Попробуйте сами:
Ответы:
б) Знаменатели содержат буквы
Вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
· В первую очередь определяем общие множители;
· Затем запишите все общие множители один раз;
· И умножьте их на все другие не общие коэффициенты.
Для определения общих множителей знаменателей сначала разложим их на простые множители:
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем один раз общие множители и прибавим к ним все необщие (не подчеркнутые) факторы:
Это общий знаменатель.
Вернемся к письмам. Точно так же показаны знаменатели:
· Разложим знаменатели на множители;
· Определить общие (идентичные) факторы;
· Выпишите все общие множители один раз;
· Умножаем их на все остальные коэффициенты, не общие.
Итак, по порядку:
1) разложим знаменатели на множители:
2) определим общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители один раз и умножаем их на все остальные (безударные) множители:
Итак, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно умножить на, вторую на:
Кстати, есть одна хитрость:
Например: .
В знаменателях мы видим одни и те же множители, только все с разными показателями. Общий знаменатель будет:
до степени
до степени
до степени
в градусах.
Усложним задачу:
Как сделать так, чтобы у дробей был одинаковый знаменатель?
Вспомним основное свойство дроби:
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычесть (или прибавить) одно и то же число. Потому что это неправда!
Смотрите сами: возьмите любую дробь, например, и прибавьте какое-нибудь число к числителю и знаменателю, например. Чему научились?
Итак, еще одно незыблемое правило:
При приведении дробей к общему знаменателю используйте только умножение!
Но на что надо умножить, чтобы получить?
Вот дальше и умножай. И умножить на:
Выражения, которые нельзя разложить на множители, будем называть «элементарными множителями».
Например, это элементарный множитель. — слишком. Но — нет: оно факторизовано.
Что вы думаете о самовыражении? Это элементарно?
Нет, так как можно факторизовать:
(о факторизации вы уже читали в теме «»).
Итак, элементарные множители, в которые вы разлагаете выражение буквами, аналогичны простым множителям, в которые вы разлагаете числа. И мы поступим с ними так же.
Мы видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет к общему знаменателю в силе (помните почему?).
Множитель элементарный, и он у них не общий, а значит первую дробь надо будет просто на него умножить:
Другой пример:
Решение:
Прежде чем в панике перемножать эти знаменатели, нужно подумать, как их разложить на множители? Они оба представляют:
Прекрасно! Тогда:
Другой пример:
Решение:
Как обычно, разложите знаменатели на множители. В первом знаменателе мы просто выносим его за скобки; во втором — разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то они так похожи… И правда :
Так и напишем:
То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами члены, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Обратите внимание, вам придется делать это часто.
Теперь приведем к общему знаменателю:
Понял? Давайте проверим это сейчас.
Задания для самостоятельного решения:
Ответы:
Тут надо вспомнить еще одно — разница между кубиками:
Обратите внимание, что знаменатель второй дроби не является формулой «квадрат суммы»! Квадрат суммы будет выглядеть так:.
А есть так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем есть произведение первого и последнего, а не их удвоенное произведение. Неполный квадрат суммы является одним из факторов разложения разности кубов:
Что делать, если дробей уже три?
Да, тот самый! Прежде всего, убедимся, что максимальное количество множителей в знаменателях одинаково:
Обратите внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью изменится на противоположный. Когда мы меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общем знаменателе выпишите первый знаменатель полностью, а затем прибавьте к нему все еще не записанные множители из второго, а затем из третьего (и так далее, если дробей больше) . То есть получается так:
Хм… С дробями понятно что делать. А как же двойка?
Все просто: можно складывать дроби, верно? Это значит, что нам нужно сделать так, чтобы двойка стала дробью! Помните: дробь — это операция деления (числитель делится на знаменатель, если вы вдруг забыли). И нет ничего проще, чем разделить число на . При этом само число не изменится, а превратится в дробь:
Именно то, что нужно!
5. Умножение и деление дробей.
Что ж, самое сложное позади. А впереди нас ждет самое простое, но в то же время самое важное:
Процедура
Какова процедура вычисления числового выражения? Помните, считая значение такого выражения:
Вы считали?
Должно работать.
Итак, напомню.
Первым шагом является вычисление степени.
Второй — умножение и деление. Если имеется несколько умножений и делений одновременно, их можно делать в любом порядке.
И, наконец, делаем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется не по порядку!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, то сначала вычисляем выражение в каждой из скобок, а затем умножаем или делим их.
Что делать, если внутри скобок больше скобок? Что ж, давайте подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения, что нужно сделать в первую очередь? Правильно, вычислить скобки. Ну вот мы и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше следующий (красным выделено текущее действие, то есть действие, которое я совершаю прямо сейчас):
Ладно, тут все просто.
А это не то же самое, что и выражение с буквами?
Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий нужно делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственное отличие заключается в эффекте факторизации многочленов (мы часто используем его при работе с дробями). Чаще всего для факторинга нужно использовать i или просто вынести общий множитель за скобки.
Обычно наша цель состоит в том, чтобы представить выражение в форме произведения или в частности.
Например:
Упростим выражение.
1) Во-первых, упростить выражение в скобках. Там у нас есть разность дробей, и наша цель — представить ее в виде произведения или частного. Итак, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Упрощать это выражение уже нельзя, все множители здесь элементарные (вы еще помните, что это значит?).
2) Получаем:
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно сократить:
Вот и все. Ничего сложного, правда?
Другой пример:
Упростите выражение.
Сначала попробуй решить сам, а уж потом смотри решение.
Решение:
Прежде всего определим порядок действий.

ГДЗ Алгебра 8 класс Мордкович

Что в него включено.

Нужен ли решебник.

Название

Условие

Решебник №1

Решебник №2

Решебник №3

по алгебре 8 класс Мордкович

Источники:

Для чего пригодятся по алгебре за 8 класс Мордкович

Источники:

Что в него включено.

Нужен ли решебник.

Что в него включено.

Источники:

ГДЗ Алгебра 8 класс Мордкович, Александрова, Мишустина

Глава 1. Алгебраические дроби. §1. Основные понятия

Глава 1. Алгебраические дроби. Домашняя контрольная работа №1

Глава 1. Алгебраические дроби. §2. Основное свойство алгебраической дроби

Глава 1. Алгебраические дроби. §3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Глава 1. Алгебраические дроби. §4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Глава 1.

Глава 1. Алгебраические дроби. §6. Преобразование рациональных выражений

Глава 1. Алгебраические дроби. §7. Первые представления о рациональных уравнениях

Глава 1. Алгебраические дроби. §8. Степень с отрицательным целым показателем

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. Домашняя контрольная работа №2

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §9. Рациональные числа

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Глава 2.

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §12. Множество действительных чисел

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §13. Функция y = √x, её свойства и график

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §14. Свойства квадратных корней

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §15. Преобразование выражений, содержащих операции извлечения квадратного корня

Глава 2. Функция y = √x. Свойства квадратного корня. §16. Модуль действительного числа

Глава 3.

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §18. Функция у = к:х, её свойства и график

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §19. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х)

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §20. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х)

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график. §21. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции у = f(х)

Глава 3. Функция у = к:х, её свойства и график.

Глава 4. Квадратные уравнения. Домашняя контрольная работа №4

Глава 4. Квадратные уравнения. §23. Графическое решение квадратных уравнений

Глава 4. Квадратные уравнения. §24. Основные понятия

Глава 4. Квадратные уравнения. §25. Формулы корней квадратных уравнений

Глава 4. Квадратные уравнения. §26. Рациональные уравнения

Глава 4. Квадратные уравнения. §27. Рациональные уравнения, как математические модели реальных ситуаций

Глава 4. Квадратные уравнения. §28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения

Глава 4.

Глава 4. Квадратные уравнения. §30. Иррациональные уравнения

Глава 5. Неравенства. Домашняя контрольная работа №5

Глава 5. Неравенства. §31. Свойства числовых неравенств

Глава 5. Неравенства. §32. Исследование функций на монотонность

Глава 5. Неравенства. §33. Решение линейных неравенств

Глава 5. Неравенства. §34. Решение квадратных неравенств

Глава 5. Неравенства. §35. Приближенные значения действительных чисел

Глава 5.

Глава 6. §37

Глава 6. §38

Глава 6. §39

Глава 6. §40

Глава 6. Итоговое повторение

Задачи на повторение

Похожие ГДЗ Алгебра 8 класс

Глава 1.

Условие

Решение

Алгебра не бывает легкой

Что можно найти в ГДЗ

Что дает использование решебника

Стоит ли применять решебники в учебе

Как именно нужно использовать ГДЗ

Что такое определение алгебраической дроби. Основные понятия

Формулировка и обоснование

Понятие алгебраической дроби

Основное правило обыкновенных дробей

Математические операции с дробями

Несколько примеров с решениями

2. Разрешено значения букв.

Найдите значение выражения алгебраической дроби. Видеоурок «Алгебраические дроби. Основные понятия. Разные задачи и выводы