Как найти допустимые значения алгебраической дроби. Видеоурок «Алгебраические дроби. Базовые концепты. Математические операции с дробями

Но в то время мы сформулировали ее в «упрощенной» форме, удобной и достаточной для работы с обыкновенными дробями. В этой статье мы рассмотрим основное свойство дроби по отношению к алгебраическим дробям (то есть к дробям, у которых числитель и знаменатель многочлены, в некоторых учебниках по алгебре такие дроби называются не алгебраическими, а рациональными дробями). Сначала сформулируем основное свойство алгебраической дроби , мы его обоснуем, а после этого перечислим основные области его применения.

Навигация по страницам.

Формулировка и обоснование

Для начала вспомним, как было сформулировано основное свойство дроби для обыкновенных дробей: если числитель и знаменатель обыкновенной дроби одновременно умножить или разделить на какое-либо натуральное число, то значение дробь не изменится. Этому утверждению соответствуют равенства и (верные и с переставленными частями в форме и), где a, b и m — некоторые.

На самом деле о делении числителя и знаменателя на число говорить не приходится — этот случай покрывается равенством вида. Например, равенство можно обосновать через деление, используя равенство как , а можно обосновать и на основании равенства как … Поэтому в дальнейшем основное свойство дроби будем связывать с равенством (и), а будем не останавливаться на равенстве (и).

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется и на дроби, числитель и знаменатель которых равны. Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Другими словами, мы докажем, что равенство верно для любых действительных чисел a, b и m, причем b и m отличны от нуля (иначе нас ждет деление на ноль).

Пусть дробь a/b будет записью числа z, т.е. Докажем, что дробь также соответствует числу z, то есть докажем это. Это докажет равенство.

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя на не определенное число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. Например,… А правила смены знаков членов алгебраической дроби основаны на умножении числителя и знаменателя на минус единицу.

Второй по значимости областью применения основного свойства дроби является приведение алгебраических дробей. В общем случае сокращение осуществляется в два этапа: сначала факторизуются числитель и знаменатель, что позволяет найти общий множитель m, а затем на основании равенства осуществляется переход к дроби вида a/b без этого общего множителя. Например, алгебраическая дробь после факторизации числителя и знаменателя принимает вид www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, не может быть воспроизведена в какой-либо форме или использована без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Этот урок знакомит с понятием алгебраической дроби. Человек встречается с дробями в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждый получит свой кусок пирога. В данном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, но возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на х. В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целочисленными выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимые значения переменных.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические действия над алгебраическими дробями

Урок: Основные понятия

1. Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целых и дробных выражений.

Определение. Рациональная дробь — дробное выражение вида, где многочлены. — знаменатель числителя.

Примеры рациональных выражений: — дробные выражения; — целые выражения. Например, в первом выражении он действует как числитель и знаменатель.

Значение алгебраическая дробь как и любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной.

2. Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дробь

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби при а), б), в)

Решение. Подставьте в указанную дробь значения переменных: а), б), в) — не существует (так как на ноль делить нельзя).

Ответ: 3; 1; не существует.

Как видите, для любой дроби возникают две типовые задачи: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных — значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Совокупность всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или домен .

3. Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

Значение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби для этих значений равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, так как дробь можно вычислить.

Пример 2. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю. Таким образом, недействительными будут только те значения переменной, у которых знаменатель равен нулю. Знаменатель дроби, значит решим линейное уравнение:

Поэтому при значении переменной дробь не имеет смысла.

Из решения примера следует правило нахождения недопустимых значений переменных — знаменатель дроби равен нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Давайте рассмотрим несколько подобных примеров.

Пример 3. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение. …

Ответ. …

Пример 4. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение..

Есть и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) … Это значит — найти все допустимые значения переменных. В нашем примере это все значения, кроме . Область определения удобно откладывать на числовой оси.

Для этого выколем на нем точку, как указано на рисунке:

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ..

Пример 5. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Решение..

Нанесем полученное решение на числовую ось:

Ответ..

4. Графическое представление области допустимых переменных (ОДВ) и недопустимых значений в дробях

Пример 6. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Решение.. Получили равенство двух переменных, приводим числовые примеры: или, и т.д.

Постройте это решение в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции.

Координаты любой точки на этом графике не входят в диапазон допустимых значений дроби.

Ответ. …

5. Случай «деления на ноль»

В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда имело место деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с разделением типов.

Пример 7. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Решение..

Получается, что дробь не имеет смысла для. Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 at, то исходное тоже можно вычислить, а значит, имеет смысл at. Однако если мы подставим его в исходное выражение, то получим — смысла нет.

Ответ..

Чтобы более подробно разобраться в этом примере, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

(дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю)… Но решать исходное уравнение нужно с дробью, а при этом нет смысла, т.к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Следовательно, это уравнение имеет только один корень.

6. Правило нахождения ДЛД

Таким образом, можно сформулировать точное правило нахождения диапазона допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять его знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби для заданных значений переменных и нахождение диапазона допустимых значений дроби .

Теперь рассмотрим еще несколько проблем, которые могут возникнуть при работе с дробями.

7. Разные цели и выводы

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь.

Доказательства. Числитель — положительное число. … В результате и числитель, и знаменатель — положительные числа, следовательно, и дробь — положительное число.

Доказано.

Пример 9. Известно, что найти.

Решение. Разделите дробь член на член. Мы вправе уменьшить на, учитывая, что для данной дроби значение переменной является недопустимым.

Ответ..

В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби .

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей.

2. Старая школа.

3. Интернет-портал lib2.podelise. RU.

Домашнее задание

1. № 4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра 8. — 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является: а) множество, б) множество, в) вся числовая ось.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби неотрицательно.

4. Найдите область действия выражения. Подсказка: рассмотрим отдельно два случая: когда знаменатель младшей дроби равен нулю и когда знаменатель исходной дроби равен нулю.

Когда ученик поступает в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задачи все сложнее. Некоторые люди с трудом понимают дроби. Пропустил первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражение P/Q, где P – числитель, а Q – знаменатель. Алфавитная запись может скрывать число, числовое выражение, числово-алфавитное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решить алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.

Обычно целое равно 1. Число в знаменателе указывает, на сколько частей была разделена единица измерения. Числитель нужен, чтобы знать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В данном случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся изучают эту тему в школе, им даются примеры для закрепления. Чтобы правильно их решать и находить разные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (не ноль), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является деление обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, умножать, делить и сокращать дроби.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, вы всегда должны следовать правилам.

Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то этот пункт следует опустить. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Сложите или вычтите числители. Но! Следует помнить, что если перед дробью стоит знак «-», все знаки в числителе меняются местами. Иногда не стоит делать никаких подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто употребляется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаково для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше предыдущих, но благодаря основному правилу дробей остаются равными исходному примеру.

Целью этой операции является получение нового неприводимого выражения. Эту задачу можно решить, сократив числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Алгоритм работы состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.

Ниже приведена таблица со списком формул. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникло затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Приведенные в статье примеры помогут вам лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и рассмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью называется выражение

, где P и Q — многочлены; P — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот несколько примеров алгебраических дробей:

Любой многочлен является частным случаем алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать как

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменные.

Например, посчитаем значение дроби

1)

2)

В первом случае получим:

Обратите внимание, что эту дробь можно сократить: значение алгебраической дроби упрощается. Давайте воспользуемся этим.

Во втором случае получаем:

Как видите, значение алгебраической дроби изменилось с изменением значений переменных.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение х = -1 недопустимо для этой дроби, так как знаменатель дроби при этом значении х обращается в нуль. При таком значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Давайте решим несколько примеров.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения .

При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем числитель нашей дроби к нулю и найдем корни полученного уравнения:

Таким образом, при х = 0 и х = 3 эта алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке вы узнали основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14 ч. Часть 1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 9-е изд., испр. — М.: Мнемосина, 2007. — 215 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14 ч. Часть 2 Сборник задач для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. — 8-е изд., — М.: Мнемосина, 2006 — 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для студентов общеобразовательных учреждений Под редакцией Александрова Л.А. Мордкович А.Г. 2-е изд., Стер. — М.: Мнемосина 2009.