Математика 5 Класс Виленкин Гдз Ответы – Telegraph

>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

Математика 5 Класс Виленкин Гдз Ответы

Гдз 2 Часть

8 Математик Решебник

Решебник По Русскому Быстровой

Гдз По Русскому Языку Тетрадь

Гдз По Русскому 5 Класс Учебник Баранов

Гдз 10 Класс Литература Коровина 1 Часть
Гдз Окруж Мир 2 Рабочая Тетрадь
Гдз 4 Класс Окружающий Мир 2020
Русский Язык 8 Класс Ладыженская Гдз 2020
Решебник Мерзляк 10 Класс Алгебра База
Гдз По Англ 8 Класс Эванс
Гдз По Немецкому 8 Вундеркинд
Гдз Упр 35
Гдз Онлайн 11 Класс Физика
Гдз Алгебра 7 Класс Никольский Учебник Ответы
Решебник Башмакова
Гдз Математика Страница 74 Номер 4
Гдз Босова 6 Класс Рабочая
Готовое Домашнее Задание По Миру
Английский Язык 3 Класс Кузовлев Учебник Гдз
Гдз 6 Класс Виленкин Упр
Гдз По Русскому Языку 8к Бархударов
Гдз По Алгебре 8 Класс Мерзляк Тетрадь
Гдз Русский Язык 7 Класс Рыбченкова 2020
Канакина Горецкий Решебник 4 Класс 2
Гдз По Алгебре Зубарева Мордкович
Решебник По Русскому Языку 8 Класс Мурина
Гдз По Алгебре Просвещение 9
Гдз По Русскому 7 Класс Номер 29
Гдз Тренажер Языку 2 Класс
Гдз По Математике 3 Класса Истомин
Гдз Рейнбоу Рабочая Тетрадь 2 Класс
Гдз По Чтению 3 Класс Ответы
Гдз По Алгебре 8 Класс Номер 43
Гдз По Информатике Шестой Класс Босова
Гдз Матем 4 Кл Учебник
Гдз З Математики 11 Клас Істер 2020
Гдз Макарычев 7 Клаас
Решебник По Самостоятельным По Физике
Решебник По Английскому 6 Класс Баранова Учебник
Решебник По Химии 9 Класс Автор Габриелян
Решебник По 8 Класс Ваулина
Решебник 3 Класс Демидова Козлова
Гдз По Математике 3 Класс Ефросинина
Моро 4 Класс Учебник Решебник Ответы
Гдз По Русскому Языку 2 Бунеева
Гдз По Биологии 1
Гдз По Русскому 9 Класс Гунина
Гдз По Немецкому 7 Класс Горизонты Рт
Гдз По Окружающему Потапов
Решебник По Математике Класса 2 Часть
Гдз По Алгебре Седьмой Класс Номер Семь
Гдз 2 Класс Фгос
Гдз По Русскому 4 Класс Бунеев 1
Гдз По Русскому 5 Класс Ответы Учебник

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Виленкина , Жохова, Чеснокова . Бесплатное ГДЗ для учеников и их родителей .  Решебник, ответы и решения к учебнику . 

ГДЗ по математике для 5 класса Виленкин – это не база для бездумного списывания . Это пошаговый алгоритм выполнения расчетов и  В таблице номера ответов соответствуют нумерации заданий в 31-м издании учебника для 5 класса Виленкина Н .Я . Он был издан в . . 

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Виленкин, Жохов, Чесноков  наличие правильных ответов ко всем заданиям; простая и быстрая навигация по сайту  Содержание учебно-методического комплекса по математике для 5 класса от Виленкина . 

Решебник по математике за 5 класс включает в себя все ответы с подробным разбором упражнений . ГДЗ идеально подходит для самостоятельного обучения . Ученик сможет с легкостью вникнуть в процессе . 

ГДЗ решебник и ответы 5 класс , Математика , Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И ., Учебник, год, 2019 год, 2019 год, 2019 год, 2020 год, 2020 год . Готовые домашние задания с подробными ответами .  

ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс , решебник Виленкин, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU .  Пособие «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Виленкин Н . Я . Мнемозина» станет лучшим другом-помощником, так как верные ответы подкреплены развернутыми . . 

Математика 5 класс . Учебник . Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд .  Все задания снабжены подробными и понятными ответами , графиками и чертежами . Изучив любое решение внимательно, ученик сможет уверенно выполнять аналогичные задания на любых контрольных . . 

ГДЗ (решебник) по математике за 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд — ответы онлайн . Работа с натуральными числами дается легко, а вот изучение дробных величин у многих вызывает  Решебник по математике за 5 класс Виленкин охватывает все разделы учебника 

ГДЗ по математике ( автор: Виленкин Н .Я .) представлено в онлайн-доступе, для использования вам понадобится только электронное устройство с выходом в интернет .  ГДЗ к рабочей тетради Универсальные учебные действия по математике за 5 класс Ерина Т . М . можно посмотреть тут . 

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Н .Я . Тип: Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбурд С .И . Издательство: Мнемозина . Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда . 

ГДЗ математика 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина . Школьные домашние задания – это проблемы не только для детей, но и для их родителей, особенно если дети учатся в 5-м классе . В этот период родители в большинстве случаев делают уроки вместе . . 

Онлайн решебник (гдз ) по математике за 5 класс Виленкин, Жохов — Решатор! Вам больше не придется много времени проводить за  На решаторе вы найдете решебник по математике за 5 класс Виленкин , где представлены не просто ответы, а приведено подробное объяснение . 

Авторы этого учебника математики — Н .Я .Виленкин, В .И .Жохов, А .С .Чесноков и С .И .Шварцбур Учебник существует и переиздается уже давно, состоит в списке рекомендованных  Список материалов в категории ГДЗ Математика учебник 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков ✍ .  

Здесь вы можете бесплатно пользоваться решебником (ГДЗ ) для учебника по математике Виленкин за 5 -й класс . Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия . 

Математика 5 класса Виленкина лидирует в России в качестве основного учебника . Наша команда пытается научить понимать математику . Математика — очень интересный предмет . Некоторые считают, что он сложный, на самом деле развивает логическое мышление, учит . . 

5 класс . Учебник . Виленкин Н . Я ., Жохов В . И ., Чесноков А . С ., Шварцбурд С . И Ответы к стр . 6 Ответы к стр . 7 Ответы к стр . 8 Ответы к стр . 

ГДЗ . Онлайн . Готовые домашние задания .  ГДЗ :Математика . Автор:Виленкин Н .Я . Класс:5 класс . Год издания: . Математика .  Ответы по Математике за 5 класс . Виленкин Н .Я .  

Готовые домашние задания по математике за 5 класс Виленкин Н .Я . – онлайн-решебники с ответами и  Решебник по математике для 5 класса Виленкин – важное практическое дополнение одноименного учебника по арифметике, которое представляет собой совокупность . . 

Наши ответы математика 5 класс Виленкин разобраны по действиям, что позволяет рассмотреть решение каждого номера наглядно .  Вам не придется тратить свои силы и время . ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Жохов Чесноков Шварцбурд — это те люди которые . . 

Видео решебник ГДЗ по Математике 5 класс (Виленкин Н .Я) создан с целью помочь ученикам правильно решать задачи и понимать материал . 

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Виленкина , Жохова, Чеснокова . Бесплатное ГДЗ для учеников и их родителей .  Решебник, ответы и решения к учебнику . 

ГДЗ по математике для 5 класса Виленкин – это не база для бездумного списывания . Это пошаговый алгоритм выполнения расчетов и  В таблице номера ответов соответствуют нумерации заданий в 31-м издании учебника для 5 класса Виленкина Н .Я . Он был издан в . . 

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Виленкин, Жохов, Чесноков  наличие правильных ответов ко всем заданиям; простая и быстрая навигация по сайту  Содержание учебно-методического комплекса по математике для 5 класса от Виленкина .  

Решебник по математике за 5 класс включает в себя все ответы с подробным разбором упражнений . ГДЗ идеально подходит для самостоятельного обучения . Ученик сможет с легкостью вникнуть в процессе . 

ГДЗ решебник и ответы 5 класс , Математика , Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И ., Учебник, год, 2019 год, 2019 год, 2019 год, 2020 год, 2020 год . Готовые домашние задания с подробными ответами . 

ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс , решебник Виленкин, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU .  Пособие «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Виленкин Н . Я . Мнемозина» станет лучшим другом-помощником, так как верные ответы подкреплены развернутыми . . 

Математика 5 класс . Учебник . Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд .  Все задания снабжены подробными и понятными ответами , графиками и чертежами . Изучив любое решение внимательно, ученик сможет уверенно выполнять аналогичные задания на любых контрольных . . 

ГДЗ (решебник) по математике за 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд — ответы онлайн . Работа с натуральными числами дается легко, а вот изучение дробных величин у многих вызывает  Решебник по математике за 5 класс Виленкин охватывает все разделы учебника 

ГДЗ по математике ( автор: Виленкин Н .Я .) представлено в онлайн-доступе, для использования вам понадобится только электронное устройство с выходом в интернет .  ГДЗ к рабочей тетради Универсальные учебные действия по математике за 5 класс Ерина Т .М . можно посмотреть тут . 

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Н .Я . Тип: Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбурд С .И . Издательство: Мнемозина . Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда . 

ГДЗ математика 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина . Школьные домашние задания – это проблемы не только для детей, но и для их родителей, особенно если дети учатся в 5-м классе . В этот период родители в большинстве случаев делают уроки вместе . . 

Онлайн решебник (гдз ) по математике за 5 класс Виленкин, Жохов — Решатор! Вам больше не придется много времени проводить за  На решаторе вы найдете решебник по математике за 5 класс Виленкин , где представлены не просто ответы, а приведено подробное объяснение . 

Авторы этого учебника математики — Н .Я .Виленкин, В .И .Жохов, А .С .Чесноков и С .И .Шварцбур Учебник существует и переиздается уже давно, состоит в списке рекомендованных  Список материалов в категории ГДЗ Математика учебник 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков ✍ . 

Здесь вы можете бесплатно пользоваться решебником (ГДЗ ) для учебника по математике Виленкин за 5 -й класс . Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия . 

Математика 5 класса Виленкина лидирует в России в качестве основного учебника . Наша команда пытается научить понимать математику . Математика — очень интересный предмет . Некоторые считают, что он сложный, на самом деле развивает логическое мышление, учит . . 

5 класс . Учебник . Виленкин Н . Я ., Жохов В . И ., Чесноков А . С ., Шварцбурд С . И Ответы к стр . 6 Ответы к стр . 7 Ответы к стр . 8 Ответы к стр . 

ГДЗ . Онлайн . Готовые домашние задания .  ГДЗ :Математика . Автор:Виленкин Н .Я . Класс:5 класс . Год издания: . Математика .  Ответы по Математике за 5 класс . Виленкин Н .Я .  

Готовые домашние задания по математике за 5 класс Виленкин Н .Я . – онлайн-решебники с ответами и  Решебник по математике для 5 класса Виленкин – важное практическое дополнение одноименного учебника по арифметике, которое представляет собой совокупность . . 

Наши ответы математика 5 класс Виленкин разобраны по действиям, что позволяет рассмотреть решение каждого номера наглядно .  Вам не придется тратить свои силы и время . ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Жохов Чесноков Шварцбурд — это те люди которые . . 

Видео решебник ГДЗ по Математике 5 класс (Виленкин Н .Я) создан с целью помочь ученикам правильно решать задачи и понимать материал .  

вопросы и ответы – Рамблер/класс

4829 вопросов

4947 ответов

Построить математическую модель задач.Математические модели.ГДЗ.Математика 5 класс.Дорофеев Г.В.Часть.1.Глава 1.Параграф 2.Задание 86

Решали такое?
Составь схему и построй математическую модель задачи:
1)     Квартира состоит из 3 комнат общей площадью (Подробнее…)

ГДЗДорофеев Г. В.Математика5 класс

Вычислить.Степень числа..ГДЗ.Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 44..Задание 774

Кто знает как?
  Вычислите значения выражений. Укажите выражения, значе-
ния которых равны: (Подробнее. ..)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Сравнить числа.Среднее арифметическое.Деление десятичной дроби на число..ГДЗ.Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 45..Задание 803.

Решали?
Используя рисунок 138, сравните числа а и b.
  (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Виленкин 5 класс математика Помогите решить задачку плиз № 532 Заполните таблицу

№ 532

  (Подробнее…)

ГДЗМатематикаВиленкин Н.Я.5 класс

Запиши выражения периметра.Математический язык. Математические выражения.ГДЗ.Математика 5 класс.Дорофеев Г.В.Глава 1.Параграф 1.Задание 7

Запиши выражения для периметра фигур, изображенных на рисунке:
  (Подробнее…)

ГДЗДорофеев Г. В.Математика5 класс

Найти решение.Деление десятичной дроби на десятичную дробь.ГДЗ.Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 46.Задание 842

Что-то я затрудняюсь с решением. Кто поможет ?
    Ширина садового участка — 30 м, а длина — 37,5 м. Сколько
столбов (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Пользуясь формулой одновременного движения реши задачи. ГДЗ. Математика. 5 класс. Дорофеев. Часть 1. Гл.2 § 3 п. 1 Вопр. 556

Займемся математикой. Пользуясь формулой одновременного движения реши задачи
  (Подробнее…)

ГДЗШкола5 классМатематикаДорофеев Г. В.

Вычисления.Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное чсло.Математика 5 класс. Зубарева И.И. Параграф 26.Контрольное Задание

Как решить?
  (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Выручите с решением задания № 566 Найдите значение выражения: Готовое Домашнее Задангие Виленкин 5 класс математика

566
  Найдите значение выражения:
а) 38а + 62а при а = 238; 489; б) 375b — 175b при b = 48; 517. (Подробнее…)

ГДЗМатематикаВиленкин Н. Я.5 класс

Выручите с решением задания № 912 Ответьте на те же вопросы для окружности ГДЗ Виленкин 5 класс математика

Выручите с решением задания № 912
Имеется круг, диаметр которого 10 см. Найдутся ли две точки этого
круга, расстояние между (Подробнее…)

ГДЗ5 классВиленкин Н.Я.Математика

СОС надо срочно решить пример !! ХЕЛП 236 219. Найдите периметр треугольника КМР Математика 5 класс Виленкин

Привет, срочно надо решить пример плиз! 
236 
 Найдите периметр треугольника КМР, если длина стороны КМ (Подробнее…)

ГДЗМатематикаВиленкин Н.Я.5 класс

Задачи..Математический язык. Математические выражения.ГДЗ.Математика 5 класс.Дорофеев Г.В.Глава 1.Параграф 1.Задание 25

Решите задачки ?
1)  Одна сторона треугольника равна 16 см, вторая — на 2 дм больше первой, а третья — в 2 раза меньше суммы (Подробнее…)

ГДЗДорофеев Г. В.Математика5 класс

Необходимо решить задание № 718 Чему равна площадь каждого из треугольников Виленкин математика 5 класс

 
Необходимо решить задание
№ 718 (Подробнее. ..)

ГДЗМатематикаВиленкин Н.Я.5 класс

Не могу разобраться № 722 Найдите ширину второго прямоугольника. Виленкин математика 5 класс ГДЗ

Не могу разобраться
№ 722
 Два прямоугольника имеют равные площади. Длина первого пря- (Подробнее…)

ГДЗМатематикаВиленкин Н.Я.5 класс

Задачи.Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 14 задание 240.

Дочка просит решить, как ?
В булочную завезли одинаковое количество батонов хлеба трёх
сортов. Когда было продано по 30 (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Длина отрезка.Серединный перпендикуляр..ГДЗ.Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 36.Задание 619..

     Какой из отрезков — АВ или ВС — длиннее (рис. 130)? Про-
верьте свои предположения с помощью прозрачной плёнки, (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

№ 1029 ГДЗ Математика 5 класс Дорофеев, Петерсон Часть 2. Сколько кубических метров дров наколол каждый из братьев?

Помогите решить!
Три брата на даче заготавливали дрова. Средний брат заготовил в 2 раза больше дров, чем младший, а старший — в (Подробнее…)

ГДЗМатематика5 классДорофеев Г. В.

Свойство дроби. Математика 5 класс.Зубарева И.И.Параграф 21.Задание 373

.Кто решит задачку?
       В семьях Юли и Артёма одинаковый доход. Родители Юли от-
дают 1/4, а Артёма — 1/18 часть дохода в (Подробнее…)

ГДЗЗубарева И.И.Математика5 класс

Помогите начертить угол и отметить точки . Математика. 5 класс. Пар.№8. Упр.№1638. Учебник Виленкин Н.Я. ГДЗ.

  Здравствуйте! Поиогмте начертить угол ВАС и отметить по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.
  (Подробнее…)

ГДЗ5 классМатематикаВиленкин Н.Я.

Мне нужна услуга № 510 Сколькими способами Борис может доехать Виленкин математика 5 класс ГДЗ

Мне нужна услуга
№ 510
  У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил (Подробнее. ..)

ГДЗМатематикаВиленкин Н.Я.5 класс

похожие темы

Экскурсии

Мякишев Г.Я.

Досуг

Кузнецова Л. В.

мягкий вопрос — Есть ли отличный математический пример для 12-летнего?

спросил 9 лет, 9 месяцев назад

Изменено 6 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

Я только что работал со своей 12-летней дочерью над диагональным аргументом Кантора, а также над исчисляемыми и неисчисляемыми множествами.

Почему? Потому что факультет математики в ее школе невероятно хорош, и она поставила перед ней задачу исследовать математику и понять некоторые математические работы, которыми они занимались — настоящая вещь.

Что еще мы могли сделать, думая, что знаем нашу таблицу умножения и дроби, но еще не совсем уверены в уравнениях, в которых есть буквы для неизвестных чисел?

Я думал доказать, что существует бесконечно много простых чисел — мы можем следовать аргументу — другие предложения приветствуются.

И кстати, скажите вашей местной средней школе сделать это…

• мягкий вопрос
• история математики
• большой список
• образование

$\endgroup$

15

$\begingroup$

Шести человек на званом ужине достаточно, чтобы убедиться, что есть либо три общих незнакомца, либо три общих знакомых. На самом деле шесть это наименьшее число , обеспечивающее это явление. Это диагональное число Рамсея $R(3,3)$, и доказательство можно продемонстрировать с помощью пары рисунков и простого тире из принципа сортировки.

После понимания $R(3,3)$ она могла бы двигаться во множестве направлений (хотя в основном это не заслуга Рэмси).

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Несмотря на то, что это парадоксально, мне нравится гостиница «Гильберт». Это можно объяснить каждому, независимо от возраста. Он имеет дело с концепцией бесконечности, количество элементов можно легко объяснить, если все комнаты заняты и все клиенты находятся в комнате, то «мощность» равна. И так далее.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я бы предложил Эйлера и его характеристику — например, использовать ее, чтобы показать, что правильных многогранников всего пять. Одним из преимуществ этого предмета является то, что приходится работать только с картинками и целыми числами.

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Если мы говорим о кардиналах, то есть две похожие, но важные вещи, которые можно попробовать и понять (которые, я думаю, доступны 12-летнему ребенку):

1. Между целыми и рациональными числами существует биекция .
2. Между рациональными и действительными числами нет биекции.

Так же прекрасно, теорема Кантора.

---

Вне теории множеств существование иррациональных чисел, включая иррациональность $\sqrt2$. 9\sqrt2.$$

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Одной из тем, которые могут быть доступны и интересны для изучения, являются конструкции линейки и компаса. На самом деле «доказательство» некоторых вещей, таких как невозможность деления угла на три части, вероятно, было бы слишком продвинутым. Конечно, есть много интересных вещей, которые можно сделать, например, разделить угол пополам, построить квадратный корень из целого числа или существование иррациональных чисел. Кроме того, это то, что было бы весьма практичным. После изложения основных правил и нескольких основных техник вы можете просто позволить своей дочери исследовать и возиться, и посмотреть, что она может придумать.

Хотя это не обязательно связано с одним математиком, вы можете связать это с тем, как математики, особенно древние греки, на самом деле рассматривали числа.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вполне подойдет ряд комбинаторных игр.

1. Свернуть горы. Начните с любой перестановки $[n]$. Допустимый ход состоит в перемещении любого числа, являющегося локальным максимумом, в начало перестановки. Например, допустимый ход от 214365$ до 421365$ и до 621435$. Первый игрок, у которого нет разрешенного хода, проигрывает. (Нетрудно заметить, что это происходит именно тогда, когда достигается позиция $n(n-1)\dots21$.) Это хорошая игра для понимания $\mathscr{N}$ и $\mathscr{ P}$ позиций: ключевой вывод заключается в том, что если вы можете переместить $n$ вперед, либо вы сразу выиграете, либо ваш противник должен сделать ход, который позволит вам снова переместить $n$ вперед на следующем ходу.

2. Еда на вынос. Начните с кучи из $n$ счетчиков и конечного множества $T$ натуральных чисел. На каждом ходу игрок, чей сейчас ход, должен взять из кучи $t$ жетонов на некоторое количество $t\in T$. Первый игрок, который не может двигаться, проигрывает. Если $T=\{1,\dots,m\}$ для некоторого $m$, игру довольно просто полностью проанализировать, и для любого $T$ она естественным образом приводит к классам эквивалентности модульной арифметики.

3. Ним. Начать с двух кучи Ним; она, вероятно, может найти выигрышную стратегию самостоятельно, практически без посторонней помощи. Она вполне могла бы следовать аргументам в пользу общей стратегии для любого количества куч, что является хорошим применением двоичного представления. 9к-1)$. Это естественным образом приводит к сбалансированной троичной нотации, с которой довольно весело играть. Например, вычитание — это просто инвертирование с последующим сложением, поэтому для него не требуется изучение отдельной таблицы вычитания.

$\endgroup$

$\begingroup$

Группа студентов стоимостью $500$ с нетерпением ждала своего профессора в лекционном зале университета. Выйдя на сцену, профессор задал вопрос студентам.

Сколько студентов здесь сегодня отмечают день рождения с другим студентом в этом лекционном зале?

А) Менее 10%

Б) Менее 25%

В) Более 25%

Профессор отсчитал поднятие рук. Явное большинство студентов выбрали Б. «Нет!», — заявил профессор; «С — правильный ответ». Затем профессор заявил, что может доказать это, не зная дня рождения ни одного студента. Озадаченные студенты посмотрели друг на друга и задались вопросом, не нужно ли затянуть несколько винтов.

Просто примените принцип сортировки , объяснил профессор. В крайнем случае, будет 366 долларов студентов, у каждого из которых будет свой день рождения. Остальные студенты стоимостью $134$ будут праздновать день рождения с другим студентом. Таким образом, по крайней мере $135=134+1$ студентов делят день рождения с другим студентом. Студенты взорвались аплодисментами!

$\endgroup$

3

$\begingroup$

История о пшеничных зернах на шахматной доске (иногда называемая рисом) предлагает несколько возможных кандидатов на роль математика или, по крайней мере, математически понимающего поэта!

Эта история ведет к нескольким интересным местам, включая Закон Больших Чисел, который больше относится к экономике, чем к математике.

$\endgroup$

$\begingroup$

Перетасуйте стандартную покерную колоду из 52 карт и разложите карты на тринадцать стопок по четыре карты в каждой. Согласно теореме Холла о браке, всегда можно взять по одной карте из каждой стопки таким образом, чтобы тринадцать выбранных карт представляли каждый номинал.

Чтобы понять почему, создадим двудольный граф на множестве вершин $U \cup V$, где

• $U$ — множество всех тринадцати номиналов,
• $V$ — это набор из всех тринадцати стопок, а
• $uv$ является ребром тогда и только тогда, когда в стопке $v$ можно найти номинал $u$.

Можно показать, что этот граф удовлетворяет условию брака, требующему, чтобы число вершин в любом подмножестве $S$ графа $U$ не превышало числа вершин в его открытой окрестности. Согласно теореме Холла, в графе есть совершенное паросочетание, соответствующее способу выбора номиналов из каждой стопки.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я сразу подумал о формуле суммы арифметической прогрессии . Это легко понять, это действительно практично, и я думаю, что где-то читал, что это доказал Гаусс, когда он был в 3-м классе.

$\endgroup$

$\begingroup$

Быстрая сортировка может быть забавным упражнением, если вам нравятся информационные технологии. Покажите ей, как упорядочить десять карточек, используя рекурсивную стратегию быстрой сортировки. Довольно просто показать, что это самый быстрый алгоритм, просто потому, что его операции представляют собой сравнение с некоторой арифметикой внутри.

Это прагматично, потому что вы часто играете в карты, и это золотое кольцо, действительно очень элегантно соединяющее глубокую математику с информационными технологиями.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы слышали об Эрике Демейне? Он математик из Массачусетского технологического института, занимающийся математическим оригами. Некоторые вещи, которые он делает, могут быть более интересны 12-летнему ребенку.

$\endgroup$

$\begingroup$

Еще одно интересное занятие — это замощение сферы правильными многоугольниками. Вы характеризуете все мозаики плоскости сначала внутренними углами, а затем показываете, что то же самое можно сделать и на сфере. Это отличный способ показать, что евклидова геометрия — не единственный способ заниматься геометрией!

$\endgroup$

$\begingroup$

Проблема Монти Холла поставила умных людей в тупик: это весело и можно проводить эксперименты.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я собираюсь добавить Парадокс Рассела в список просто потому, что последствия его рассмотрения приводят к некоторым интересным местам.

$\endgroup$

$\begingroup$

Покажи ей книгу узлов Колина Адама! Серьезно интересно и доступно в первой части.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пытаясь научить кого-то «уравнениям, в которых есть буквы для неизвестных чисел», я предпочитаю отказываться от символов и вместо этого сосредотачиваться на понятиях, которые они представляют. Вот так: http://worrydream.com/LadderOfAbstraction/

Взгляните на некоторые другие удивительные работы, которые выполняются по адресу: http://worrydream.com/KillMath/

$\endgroup$

$\begingroup$

Если она увлекается шахматами, исследуйте различные верхние границы количества игр, которые можно сыграть, ограничиваясь правилом, согласно которому, если доска достигает одной и той же конфигурации три раза, игра заканчивается вничью. (В реальных шахматах, если это происходит, игрок должен сделать 9{32})!$, взяв силовой набор возможных конфигураций платы и назначив заказ. Но затем начните думать о таких вещах, как запрет на размещение двух фигур на одном поле и фактические ограничения на то, где фигурам могут быть даны правила игры, и в каком порядке можно делать ходы…

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Некоторые вещи, которые могут захватить причудливое воображение в более молодом возрасте, чтобы поддерживать энтузиазм позже: 9{2 \pi n i} = 1? $

5) При изгибании тонкого пластикового шарика произведение радиусов кривизны не может измениться, так же как в газе не может измениться произведение давления на объем (изометрия, изотермические расширения).

6) Вечно странная связь между физикой и математикой.

7) Просмотр хорошо иллюстрированных популярных книг по математике среднего уровня предложит вам несколько графических тем.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я добавляю еще одну — 17 групп обоев, ссылка на которые здесь говорит

» Доказательство того, что существует только 17 возможных рисунков, было впервые проведено Евграфом Федоровым в 1891 году, а затем получено независимо Джорджем Полиа в 1924 году. »

Потому что в книге «Симметрии вещей» Джона Х. Конвея, Хайди Бургил и Хаима Гудман-Штрауса есть очень хорошая экспозиция. В книге есть отличные иллюстрации.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

1. Подойдет что угодно из «В поисках бесконечности» Н.Виленкина: (задачи, связанные с бесконечностью, как космический отель с бесконечным количеством номеров).
2. Задача «Замена слов»: имеется 3 слова A,B,C, любое подслово B в слове A можно заменить словом C. Когда этот процесс (B->C) можно повторять бесконечно для заданных A,B ,С? Я не уверен, что существует известное решение в целом, но даже найти любые A, B, C, которые дают бесконечный пример, интересно.
3. Задачи теории графов (задача Кенигсбергского моста,…).

$\endgroup$

$\begingroup$

Почему бы не перейти к некоторым другим интересным диагональным аргументам? Я считаю, что доказательство проблемы остановки может быть вполне доступным. Если вы чувствуете себя более смелым, вы можете попробовать Неполнота Гёделя.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я думаю, что лучше всего будет комбинаторная задача. На мой взгляд, проблема должна быть очень простой для понимания, не очень простой для решения и может иметь много потенциальных «связанных проблем» или обобщений. Но я думаю, что это не должно быть проблемой там, где нет разрешения (простой вариант).

Это наводит на мысль о путях на графе (кенигсбергский мост). Другое дело теория Рамсея. Их обоих легко понять, но не так легко приблизиться к ним, и для обоих требуется определенный вид математического мышления.

$\endgroup$

$\begingroup$

Как насчет крутого сита? В этом вопросе указано простое для объяснения и, на мой взгляд, увлекательное решето для , генерирующее степени натуральных чисел . Вы можете показать связи с треугольником Паскаля и можете говорить об алгоритмах. И, может быть, самое главное, вы можете поощрять свою дочь к сама обнаружит интересных соединений натуральных чисел! 🙂

$\endgroup$

$\begingroup$

Вот математический «фокус», который я узнал из телевизора, когда мне было около 8 лет:

• Выберите любое число
• Добавьте 5 к числу
• Умножить на 2
• Вычесть 8
• Разделить на 2
• Вычтите исходное число, которое вы выбрали

Результат равен 1. Это похоже на магический трюк, который представляет собой легкое введение в алгебру.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Как насчет того, чтобы научить ее вводной групповой теории? Его связь с симметрией делает его очень доступным на геометрических примерах.

Чтобы сделать его более привлекательным, вы можете использовать:

Кубик Рубика (2x2x2, 3x3x3 и т. д.).

Кристаллография . Может быть, отвезти ее в какой-нибудь музей или на геологический факультет посмотреть на кристаллы.

Музыка ! Некоторым нравится смешивать музыку с математикой и смотреть, что получится, я не знаком с этой работой, но вы могли бы немного покопаться.

Некоторые западные символы , такие как мандалы или исламское искусство.

Я не могу придумать другие примеры банкоматов, но эта довольно крутая ссылка MO может быть полезной.

$\endgroup$

$\begingroup$

Теорема Пифагора!

Доказательство с использованием повернутого квадрата внутри квадрата.

Это прямой путь к сути математики!

$\endgroup$

$\begingroup$

1. Покажите ей, что 2 + 2 может не равняться 4, но, например, может равняться 12, и изучите вместе с ней значение этого факта! Вычитая из каждой стороны 2, а затем снова 2, вы получите 0 = 8, и это будет отличным введением в модульную арифметику .

Более того, это отличный пример ситуации, в которой игнорирование того, что известно, и допущение кажущегося неправильным ответа может открыть новые двери. И это также способ показать, что в математике нет неправильных путей (если вы, конечно, не противоречите сами себе), а есть только дороги, которые могут никуда не привести (но которые стоит исследовать).

2. Введение в частное с простыми и конкретными примерами, я думаю, тоже было бы сногсшибательным. Пусть она придумает свой собственный ответ на то, что произойдет, если на отрезке [0, 1] мы сделаем 1 и 0 одним и тем же элементом (мы получим круг!). Затем вы можете перейти к более сложным примерам и построить цилиндр, тор и струну Мебиуса из единичного квадрата! Как ни странно, модульная арифметика основана на частных!

3. Показать, что свойство коммутативности может не выполняться в бесконечных случаях. 9n$ и спросите ее, что, по ее мнению, это может означать. Эта сумма колеблется вверх и вниз, никогда ни к чему не приближаясь, но, переставляя ее члены, ее можно сделать расходящейся.

Это отличный пример того, как в более сложных случаях не всегда может быть правдой, даже если они и в более простых.

$\endgroup$

1

среднее образование — Учебники по алгебре для одаренных школьников

Примечание. Я задал вопрос ниже на Math Stack Exchange (ссылка), но не получил действительно удовлетворительного ответа, поэтому я публикую его и здесь.

Я ищу учебники по алгебре/математике для старших классов, предназначенные для талантливых учащихся, в качестве подготовки к полностью строгому исчислению а-ля Спивак. Меня интересуют лучшие материалы, доступные на английском, французском, немецком или иврите.

В идеале книга(и) должна давать всестороннее введение в алгебру на этом уровне, начиная с самых основных операций над многочленами. Он должен включать необходимую теорию (например, теорему Безу об остатках для многочленов, доказательство основной теоремы арифметики, алгоритм Евклида, более честное обсуждение действительных чисел, чем обычно, доказательства свойств рациональных показателей и т. что все утверждения должны быть доказаны, за немногими исключениями). В нем также должны быть задачи, которые варьируются от упражнений, знакомящих учащихся с основными алгебраическими манипуляциями с многочленами, до гораздо более сложных. 92 — 5x + 2|$.

А вот и названия глав учебников для 8 и 9 класса.

8 класс: Дроби. Полиномы. Делимость; простые и составные числа. Вещественные числа. Квадратные уравнения; системы нелинейных уравнений; разрешение неравенств.

9 класс: Элементы теории множеств. Функции. Силы и корни. Уравнения и неравенства и их системы. Последовательности. Элементы тригонометрии. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Во многом похожие вопросы задавались в других местах, однако высказанные там предложения не удовлетворяют мои цели.

1. Английские переводы книг Гельфанда хорошие; однако они не являются достаточно широким введением в алгебру средней школы и не содержат достаточно материала по вычислительной технике. Они больше носят характер дополнений к обычному учебнику.

2. Были предложены некоторые книги 19-го века, такие как Холл и Найт. На концептуальном материале они, как правило, слишком стары по языку и мировоззрению.