Математика 6 бунимович: ГДЗ по Математике 6 класс Бунимович — Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 1" п. Пуровск Пуровского района

Содержание

ГДЗ по Математике 6 класс Бунимович

Авторы:Бунимович

Изд-во:Просвещение

Вид УМК:учебник

Серия:Сферы

Найди ответ по номеру задания

Итоговые задания

Неверно

1617181920212223242526272829303132333435

3637383940414243444546474849505152535455

5657585960616263646566676869707172737475

7677787980818283848586878889909192939495

96979899100101102103104105106107108109110111112113114115

116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135

136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155

156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175

176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195

196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215

216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235

236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255

256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275

276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295

296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315

316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335

336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355

356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375

376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395

396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415

416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435

436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455

456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475

476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495

496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515

516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535

536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555

556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575

576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595

596597598599600601602603604605606607608609610611612613614615

616617618619620621622623624625626627628629630631632633634635

636637638639640641642643644645646647648649650651652653654655

656657658659660661662663664665666667668669670671672673674675

676677678679680681682683684685686687688689690691692693694695

696697698699700701702703704705706707708709710711712713714715

716717718719720721722723724725726727728729730731732733734735

736737738739740741742743744745746747748749750751752753754755

756757758759760761762763764765766767768769770771772773774775

776777

Подробные решения по математике за 6 класс авторы Бунимович

Шестиклассники, отмечая трудности в усвоении программы, выделяют, прежде всего, большое количество новых терминов и определений, с которыми они не встречались в предыдущие года учебы. Преодолеть сложности можно, дополнив подготовку самостоятельной работой. Освоить полезный навык самообучения поможет гдз по математике за 6 класс Бунимович — сборник, составленный для учеников общеобразовательных учебных заведений. Специалисты подчеркивают тот факт, что все темы изучаемого курса рассматриваются в подробном, понятном и доступном виде. Кроме того, комплект материалов позволяет развивать навыки, опираясь на полученные в младших классах знания, изучая такую науку, как математика.

Для кого предназначены онлайн решебники?

Среди тех, кто намеренно и часто использует правильные ответы по математике для 6 класса Бунимовича встречаются:

шестиклассники, серьезно заинтересованные в приобретении основательных знаний по дисциплине, участвующие в научных и конкурсных мероприятиях по ней и желающие получить конкурентные преимущества перед другими участниками. Особенно, если тема изучалась в школе по другим учебникам;
школьники, выбравшие этот предмет, чтобы написать выпускной экзамен в девятом классе или использовать его в одиннадцатом классе. Ресурс позволит повторить материал курса для 5 класса, а решебник станет площадкой для систематизации знаний и развития вашей подготовительной программы.
дети, пропускающие школу по тем или иным причинам. Для них платформа является альтернативой или дополнением к объяснению учителя, которое помогает понять сложные моменты материала, хорошо подготовиться к следующему ответу на уроке или написать важную проверочную работу;

родители учеников шестых классов, которым нужно систематически проверять домашние задания детей, следить за успеваемостью и уровнем знания.

Доводы в защиту учебно-практических пособий

На сегодняшний день не все родители и учителя понимают полезность и необходимость занятий со справочными материалами по математике 6 класс автор Бунимович для школьников. Некоторые до сих пор считают, что это просто площадка для списания готовых решений, что противоречит самостоятельному усвоению знаний. Те, кто оценил пользу и эффективность решебников, отмечают следующие достоинства:

минимальное количество времени, которое необходимо потратить, чтобы найти и применить желаемый ответ;
постоянная доступность ресурса для всех заинтересованных пользователей в любое время;
возможность существенно сэкономить семейный бюджет, отказавшись от дорогостоящих репетиторов, платных курсов или клубов, либо значительно снизив стоимость этих предметов;

все материалы составлены в соответствии с положением об образовательных стандартах, что важно при написании ВПР, прохождении олимпиад и конкурсов, сдаче экзаменов.

Грамотные и подробные математические решения на еуроки ГДЗ являются важным ресурсом для развития способностей учащихся, если они применяются правильно и систематически. Например, чтобы сверить свои ответы со справочными ответами, сначала проверьте решения задачи, прежде чем передать работу учителю, что снижает риск получения плохих оценок.

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович, Кузнецова, Минаева

1глава

Дроби и проценты. (Задачи с 1 по 75)

§1. Что мы знаем о дробях

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

§2. Вычисления с дробями

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

§3. Основные задачи на дроби

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

§4. Что такое процент

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

§5. Столбчатые и круговые диаграммы

69 70 71 72 73 74 75

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;

2глава

Прямые на плоскости в пространстве. (Задачи с 76 по 111)

§6. Пересекающиеся прямые

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

§7. Параллельные прямые

86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

§8. Расстояние

99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;

3глава

Десятичные дроби. (Задачи с 112 по 160)

§9. Какие дроби называют десятичными

112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127

§10. Перевод обыкновенной дроби в десятичную

128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141

§11. Сравнение десятичных дробей

142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;

4глава

Действия с десятичными дробями. (Задачи с 161 по 272)

§12. Сложение и вычитание десятичных дробей

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179

§13. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197

§14. Умножение десятичных дробей

198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217

§15. Деление десятичных дробей

218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257

§16. Округление десятичных дробей

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;

5глава

Окружность. (Задачи с 273 по 321)

§17. Прямая и окружность

273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285

§18. Две окружности на плоскости

286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297

§19. Построение треугольника

298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310

§20. Круглые тела

311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;

6глава

Отношения и проценты. (Задачи с 322 по 399)

§21. Что такое отношение

322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339

§22. Отношение величин. Масштаб

340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354

§23. Проценты и десятичные дроби

355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369

§24. «Главная» задача на проценты

370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384

§25. Выражение отношения в процентах

385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;

7глава

Выражения, формулы, уравнения. (Задачи с 400 по 472)

§26. О математическом языке

400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414

§27. Буквенные выражения и числовые подстановки

415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430

§28. Составление формул и вычисление по формулам

431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443

§29.

Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара

444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456

§30. Что такое уравнение

457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;

8глава

Симметрия. (Задачи с 473 по 512)

§31. Осевая симметрия

473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484

§32. Ось симметрии фигуры

485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498

§33. Центральная симметрия

499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;

9глава

Целые числа. (Задачи с 513 по 598)

§34. Какие числа называют целыми

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527

§35. Сравнение целых чисел

528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544

§36. Сложение целых чисел

545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563

§37. Вычитание целых чисел

564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581

§38. Умножение и деление целых чисел

582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;

10глава

Рациональные числа. (Задачи с 559 по 684)

§39. Какие числа называют рациональными

599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614

§40. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа

615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629

§41. Сложение и вычитание рациональных чисел

630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646

§42. Умножение и деление рациональных чисел

647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669

§43. Координаты

670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;

11глава

Многоугольники и многогранники. (Задачи с 685 по 736)

§44. Параллелограмм

685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700

§45. Правильные многоугольники

701 702 703 704 705 706 707 708 709 710

§46. Площади

711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723

§47. Призма

724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;

12глава

Множества, комбинаторика. (Задачи с 737 по 777)

§48. Понятие множества

737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750

§49. Операции над множествами

751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763

§50. Решение комбинаторных задач

764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777

Подведем итоги:

1;2;3;4;5;6;7;

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович, Кузнецова — учебник

1. Что мы знаем о дробях

Вопросы и задания

Упражнения

2.

Вычисления с дробями

Вопросы и задания

Упражнения

3. Основные задачи на дроби

Вопросы и задания

Упражнения

4. Что такое процент

Вопросы и задания

Упражнения

5.

Столбчатые и круговые диаграммы

Вопросы и задания

Упражнения

Подведём итоги

6. Пересекающиеся прямые

Вопросы и задания

7. Параллельные прямые

Вопросы и задания

8.

Расстояние

Вопросы и задания
Неверно стр.41

Подведём итоги

9. Какие дроби называют десятичными

Вопросы и задания
Неверно стр.49

10. Перевод обыкновенной дроби на десятичную

Вопросы и задания

11.

Сравнение десятичных дробей

Вопросы и задания

Подведём итоги

12. Сложение и вычитание десятичных дробей

Вопросы и задания

13.

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Вопросы и задания

14. Умножение десятичных дробей

Вопросы и задания
Неверно стр.71

15. Деление десятичных дробей

Вопросы и задания

16.

Округление десятичных дробей

Вопросы и задания
Неверно стр.83

Подведём итоги

17. Прямая и окружность

Вопросы и задания

18. Две окружности на плоскости

Вопросы и задания

19.

Построение треугольника

Вопросы и задания

20. Круглые тела

Вопросы и задания

Подведём итоги

21. Прямая и окружность

Вопросы и задания

22.

Отношение величин. Масштаб

Вопросы и задания
Неверно стр.110
Вопросы и задания §21 (2019)

23. Проценты и десятичные дроби

Вопросы и задания

24. «Главная» задача на проценты

Вопросы и задания

25.

Выражение отношения в процентах

Вопросы и задания

Подведём итоги

26. О математическом языке

Вопросы и задания

27. Буквенные выражения и числовые подстановки

Вопросы и задания

28.

Составление формул и вычисление по формулам

Вопросы и задания

29. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара

Вопросы и задания

30. Что такое уравнение

Вопросы и задания

Подведём итоги

31.

Осевая симметрия

Вопросы и задания

32. Ось симметрии фигуры

Вопросы и задания

33. Центральная симметрия

Вопросы и задания

Подведём итоги

34.

Какие числа называют целыми

Вопросы и задания

35. Сравнение целых чисел

Вопросы и задания

36. Сложение целых чисел

Вопросы и задания

37.

Вычитание целых чисел

Вопросы и задания

38. Умножение и деление целых чисел

Вопросы и задания
Неверно стр.183

Подведём итоги

39. Какие числа называют рациональными

Вопросы и задания

40.

Сравнение рациональных чисел. Модуль числа

Вопросы и задания

41. Сложение и вычитание рациональных чисел

Вопросы и задания

42. Умножение и деление рациональных чисел

Вопросы и задания

43.

Координаты

Вопросы и задания

Подведём итоги

44. Параллелограмм

Вопросы и задания

45. Правильные многоугольники

Вопросы и задания

46.

Площади

Вопросы и задания

47. Призма

Вопросы и задания

Подведём итоги

48. Понятие множества

Вопросы и задания

49.

Операции над множествами

Вопросы и задания

50. Решение комбинаторных задач

Вопросы и задания

Подведём итоги

Описание

ГДЗ к учебнику Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецовой, С. С. Минаевой «Математика 6 класс» предлагают ответы к заданиям по основным изучаемым разделам.

Материал удобно структурирован. Решения разбиты на 12 глав, внутри которых перечислены темы. После каждого урока (темы) находится от 1 до 30 упражнений. Они делятся на два вида контроля: «Вопросы и задания», «Подведём итоги». Поиск по документу занимает несколько секунд.

Пособие оказывает помощь в изучении разделов «Отношения и проценты», «Десятичные дроби», «Окружность», «Симметрия», «Множества. Комбинаторика» и др.

Ответы представляют собой отсканированный лист клетчатой тетради. Записи сделаны чёрной гелиевой ручкой. Почерк аккуратный, разборчивый. Необходимые пояснения к задачам имеются.

Госдума по русскому языку 6 Бунимович

Чаще всего возникают проблемы с таким запутанным школьным предметом, как математика, и дети начинают искать помощников для его изучения. Надежными партнерами при выполнении заданий и усвоении материала являются готовые домашние задания. Эти книги появились всего несколько лет назад, но уже завоевали огромную популярность среди школьников любого возраста.

Одним из самых популярных ГДЗ по математике является пособие, написанное Е. Бунимовичем.

Из чего состоят математики Бунимовича?

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович, как и любой другой учебник, состоит из нескольких обязательных компонентов. Прежде всего, выбирая эту книгу на нашем портале ВИПГДЗ, мы знакомимся с содержанием. Этот небольшой компонент помогает в кратчайшие сроки найти нужный номер задания и быстро переключиться на него.

Далее идет один из основных компонентов, которым могут похвастаться резолверы — процессы выполнения задач. Эти части справочников такого типа специально созданы для того, чтобы в поэтапной форме продемонстрировать ученику 6-го класса, как применять новое правило на практике. Это поможет надолго закрепить полученные знания.

Конечно, ГДЗ Бунимович не может обойтись без правильных ответов, которые задействованы в процессе проверки домашних упражнений и исправления ошибок. Благодаря этим частям пособия ученик всегда будет уверен в собственных силах. Не беспокойтесь о поиске поставщиков газа и сотрудничестве с ними, просто зайдите на наш сайт. На нашем портале ВИПГДЗ каждый сможет работать онлайн с резольверами, ведь это очень просто.

Качественно правильные решения на ВИПГДЗ — залог успеха в обучении

Мы знаем, что математика достаточно сложная дисциплина, поэтому сделали все возможное, чтобы вам было проще работать с ГДЗ на нашем сайте для комфортного обучения. Все ответы по математике, принадлежащие такому автору, как Бунимович Э.А.

Заботясь о наших посетителях, мы сделали абсолютно бесплатный доступ ко всем книгам на портале. Вы можете легко просматривать решенные румы на наших страницах бесплатно, даже не регистрируясь при этом. Такой процесс сотрудничества с учебниками сэкономит не только финансы, но и драгоценное время.

Ученики 6-го класса смогут использовать необходимые им решатели где угодно. Теперь вам совершенно не нужно переживать, что решения сложных упражнений и задач не окажутся под рукой в нужный момент.

Шестиклассники могут найти правильные ответы на ГДЗ Бунимовича для ВИПГДЗ без посторонней помощи. Все это возможно благодаря тому, что мы сделали интерфейс нашего портала очень простым и удобным.

Для приобретения и приобретения важных знаний нужны надежные помощники, что гарантировано Государственной Стоматологической Школой по математике.!

3-е изд. – М.: 2014. – 240 с. + CD

Учебник продолжает линейку обучающих наборов «Сферы» по математике. Издание подготовлено в соответствии с новым образовательным стандартом и охватывает вопросы курса математики 6 класса. Материал учебника направлен на продолжение формирования центральных математических понятий (число, величина, геометрическая фигура), обеспечивающих преемственность и перспективность математического образования школьников. При его создании были использованы концептуальные идеи учебника «Математика, 6» под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Основными особенностями данного учебника являются: фиксированный формат в тематических разворотах, лаконичность и жесткая структурированность текста, разнообразный иллюстративный ряд. Использование электронного приложения к учебнику позволит значительно расширить информацию (текстовую и наглядную) и научиться использовать ее при решении разнообразных математических задач.

Формат: pdf

Размер: 64, 4 Мб

Смотреть, скачать: ноябрь

CD-приложение для электронного учебника

Формат: exe/zip

Размер: 299 Mb

Скачать: ноябрь .2019, ссылки удалены по просьбе издательства Просвещение (см. примечание)

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава 1. Дроби и проценты
1. Что мы знаем о дробях 8
2. Вычисления с дробями 12
3. Основные задачи для дробей 16
4. Что такое процент от 20
5. Столбчатая и круговая диаграммы 24
Подвести итоги 28
Глава 2. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В КОСМОСЕ
6. Пересекающиеся прямые 30
7. Параллельные прямые 34
8. Расстояние 38
Подвести итоги 42
Десятичные Дроби Глава 93. 0330062 9. Какие дроби называются десятичными? 60
13. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, 64
14. Умножение десятичной дроби 68
15. Деление десятичной дроби 72
16. Округление десятичной дроби 80
Подвести итоги 84
Глава 5. СРЕДА
17. Прямая и окружность 86
18. Две окружности на плоскости 90
19. Построение треугольника 94
20. Круглые тела 98 3 90 9060 2 Подвести итоги 98 90 60 2 Подвести итоги 6. ОТНОШЕНИЯ И ИНТЕРЕСЫ
21. Какое отношение 104
22. Соотношение величин. Шкала 108
23. Проценты и десятичные дроби 112
24. «Основная» задача на проценты 116
25. Выражение отношения в процентах 120
Подводя итоги 124
Глава 7. ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ
26. О математическом языке 126
27. Буквенные выражения и числовые подстановки 130
28. Составление и вычисление формул 134
Формулы, окружности для окружностей 29. , и объем шара 138
30. Что такое уравнение 142
Подвести итоги 146
Глава 8. СИММЕТРИЯ
31. Осевая симметрия 148
32. Ось симметрии фигуры 152
33. Центральная симметрия 156
, чтобы суммировать 160
Глава 9. Целые числа
34. Какие числа называются целыми числами 162
35. Сравнение целых чисел 166
36. Умножение и деление целых чисел 178
Подведем итоги 182
Глава 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
39. Какие числа называются рациональными 184
40. Сравнение рациональных чисел. Номер 188 модуль
41. Добавление и вычитание рациональных чисел 192
42. Умножение и разделение рациональных чисел 196
43. Координаты 200
, чтобы суммировать 204
Глава 11. Полигоны и полигоды
44. Параллелограмма 206
45. Регулярные полигоны 21096224444. Параллелограмма 206
45. 2109622 44. Параллелограмма 206
45. 46. Квадрат 214
47. Призма 218
Подводя итоги 222
Глава 12. НАБОРЫ. COMBINATORY
48. Понятие множества 224
49. Операции над множествами 228
50. Решение комбинаторных задач 232
Подвести итог 236
ОТВЕТЫ 237

Согласно библейской легенде, люди не успели достроить Вавилонскую башню, потому что говорили на разных языках и не понимали друг друга Другой. А сегодня в мире тысячи разных языков, и люди часто не могут понять друг друга, найти общий язык. Но есть один особый язык, на котором должны говорить все люди в любой стране, который преподается во всех школах мира, — это язык математики.

Математика из года в год преследует школьников. Хорошо, если у вас с ней крепкие и удовлетворительные отношения, но что делать тем, кто от природы не склонен к примерам, уравнениям и анализу геометрических фигур? В последнем случае некоторую помощь все же можно получить от резольвера Е.А. Бунимович и соавторы (Кузнецова Л.В., Минаев С.С.) для 6 класса. Учебное пособие распространяется издательством «Просвещение» с 2014 года. Актуальная редакция 2019 года.версия.

Как использовать ГДЗ Бунимовича, чтобы лучше успевать по математике?

Хорошее образование немыслимо без прилежания, работы на уроке и регулярной добросовестной домашней работы. Систематические занятия являются основой отличной успеваемости и предотвращают появление у ученика нежелательных проблем в будущем. Так как вся необходимая информация теперь собрана в одном месте, разобраться с помощью резолвера стало легко. ГДЗ также помогают мотивировать себя и постоянно контролировать реальный прогресс. Это можно сделать благодаря наличию большого количества задач самопроверки. Книга полностью соответствует федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС). Наши онлайн-материалы имеют следующие преимущества:

много направлений к решению, полезные ссылки на справочные материалы;
наличие нескольких видов упражнений на повторение после каждого важного абзаца;
сайт всегда работает с телефонами, смартфонами и ноутбуками и персональными компьютерами;
индексная таблица позволяет быстро найти полезную информацию.

С пособием для шестиклассников Бунимович, Кузнецова, Минаева удобно готовиться к проверочной работе, а также выполнять всевозможные контрольные работы. Он подходит для внеклассных занятий математически одаренных подростков, которые хотели бы опережать текущую рабочую программу и получить больше знаний по предмету.

Чем математика, решатель 6 класса автор: Бунимович лучше учебника?

Готовая домашняя работа вполне может заменить старшего члена семьи или даже репетитора при подготовке к урокам. Конечно, простое переписывание данных правильных ответов не имеет никакого дидактического значения. Должно пройти время на понимание алгоритмов принятия решений и дополнительное освоение необходимых навыков. Ключевые темы в шестом классе:

делители и кратность;
принципов разложения составных чисел на простые;
приведение к общему знаменателю. Методы сравнения чисел посредством преобразования тождества;
дроби: сложение, вычитание, умножение, деление, выделение целой части.

Пособие рекомендовано учащимся общеобразовательных школ, а также тем родителям, которые предпочитают участвовать в образовательном процессе, отслеживая успеваемость своего ребенка. Ресечник хорошо подходит для тех детей, которые по тем или иным причинам лишены возможности регулярно посещать школу. Девятиклассники могут использовать пособие для повторения некоторых важных разделов, задания к которым присутствуют в ОГЭ.

Стадион Бунимовича | Visual Insight

Стадион Бунимовича – Филипп Ру

Стадион Бунимовича представляет собой прямоугольник, окруженный полукругами, в котором точечная частица движется с постоянной скоростью по прямым линиям, отражаясь от границы таким образом, что угол падения равен углу отражения. Эта анимация, сделанная Филиппом Ру, показывает набор таких частиц, изначально движущихся в одном направлении. С каждым отскоком их траектории расходятся, а через какое-то время распределяются почти равномерно по всему стадиону, хотя какое-то время еще видна волна плотности, движущаяся туда-сюда.

Стадион Бунимовича фигурирует в работе Леонида Бунимовича 1979 г.:

• Леонид А. Бунимович, Об эргодических свойствах нигде не рассеивающихся бильярдов, Комм. Мат. физ. 65 (1979), 295–312.

Он показал, что движение бильярда на этом стадионе «эргодично». Это способ уточнить интуитивное предположение о том, что для бильярда со случайно выбранными начальным положением и скоростью со временем его положение почти наверняка станет равномерно распределенным по всему стадиону.

Точнее, мы можем определить фазовое пространство $\Омега$ для стадиона Бунимовича как пространство пар положение-скорость, где скорость является единичным вектором. (Поскольку скорость бильярда не меняется, можно считать, что она нормирована на 1.) На $\Omega$ существует вероятностная мера, для которой временная эволюция определяет сохраняющую меру динамическую систему:

$$ T_t : \Omega \to \Omega , \qquad \qquad t \in \mathbb{R}. $$

Для динамической системы, сохраняющей меру, мы говорим, что измеримое подмножество $A \subseteq \Omega$ равно инвариант , если для всех $t \in \mathbb{R}$ множества $T_t(A)$ и $A$ отличаются только нулевым множеством, что означает, что симметричная разность $T_t( А) \треугольник А$ имеет нулевую меру. Динамическая система, сохраняющая меру, является эргодической , если единственными инвариантными измеримыми подмножествами $A \subseteq \Omega$ являются нулевые множества и дополнения нулевых множеств.

Значение этого поясняется «эргодической теоремой». Предположим, что $T_t : \Omega \to \Omega$ является сохраняющей меру динамической системой на пространстве вероятностных мер $\Omega,\mu$, и предположим, что $f \colon \Omega \to \mathbb{R }$ — интегрируемая функция. Затем мы можем определить два средних значения $f$, «среднее по времени» и «среднее по фазовому пространству». 9t f(T_s x) \, ds .$$

Среднее по фазовому пространству: Это интеграл от $f$ по фазовому пространству:

$$ \bar{f} = \int_\Omega f \ , д \мю(х). $$

В общем случае среднее по времени и среднее по фазовому пространству может быть разницей, а среднее по времени может не существовать. Но если $T_t$ эргодично, то эргодическая теорема Биркгофа говорит, что

$$ \widehat{f}(x) = \bar{f} $$

почти для каждого \(x \in \Omega\ ).

Доказать, что сохраняющая меру динамическая система является эргодичной, может быть сложно. Научный руководитель Бунимовича Яков Г. Синай показал, что бильярд, движущийся по квадратному столу с отражающим диском внутри, эргодичен.

Синайский бильярд – Джордж Стаматиу

Кривизна диска увеличивает угол между слегка отличающимися траекториями. Стадион Бунимовича тоньше, потому что в нем отсутствует эта особенность: поскольку его закругленные концы выпуклые, они имеют тенденцию фокусировать отскакивающие от них бильярды. Прямоугольная часть таблицы противодействует этому эффекту фокусировки, и в течение достаточно длительного времени наблюдается экспоненциальное увеличение расстояния между изначально близкими траекториями.

Стадион Бунимович Траектории – Якоб Шольбах

Как пишет Буминович:

Более того, более тщательный анализ этих биллиардов выявил новый механизм хаотического поведения консервативных динамических систем, названный механизмом расфокусировки . Ключевое наблюдение состоит в том, что узкий параллельный пучок лучей после фокусировки за счет отражения от границы фокусировки может пройти точку фокусировки (в линейном приближении) и стать расходящимся при условии, что свободный пробег между двумя последовательными отражениями от границы достаточно велик. . Механизм расфокусировки работает при условии, что дивергенция преобладает над конвергенцией.

Это из:

• Леонид Буминович, Динамический бильярд, Scholarpedia .

Однако этого анализа недостаточно для понимания эргодичности стадиона Бунимовича, поскольку в 1973 г. Лазуткин показал, что выпуклый бильярдный стол с бесконечно дифференцируемой границей не может быть эргодичным. На самом деле он показал это для выпуклой таблицы, граница которой имеет 553 непрерывных производных! В 1982 году Дуади показал, что 6 непрерывных производных достаточно, и предположил, что достаточно 4. Ссылки см.:

• Николай Чернов и Роберто Макарян, Введение в эргодическую теорию хаотического бильярда , 2-е изд. , Импа, Рио-де-Жанейро, 2003.

О квантовых аспектах стадиона Бунимовича см.:

• Теренс Тао, Open вопрос: шрамы на стадионе Бунимовича, Что нового , 28 марта 2007 г.

Это объясняет интересный вопрос, который был рассмотрен в более поздней работе:

• Теренс Тао, Хасселл доказал наличие шрамов на стадионе Бунимовича, What’s New , 7 июля 2008 г.

Также посетите замечательную веб-страницу Карлоса Шайдеггера, на которой можно поиграть с бильярдом на стадионе Бунимовича, а также с эллиптическим столом, где их движение полностью интегрируемо:

• Карлос Шайдеггер, Бунимович
стадион.

Филипп Ру разместил свою анимацию стадиона Бунимовича в Google Фото под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International. Джордж Стаматиу разместил свое изображение бильярда на Синае на Wikicommons под лицензией Creative Commons Attribution 2.5 Generic. Якоб Шольбах разместил свое изображение бильярдных траекторий на стадионе Бунимовича на Викикоммонсе под лицензией Attribution-ShareAlike 3. 0 Unported.

Visual Insight — это место, где можно поделиться яркими изображениями, помогающими объяснить сложные темы математики. Я всегда ищу по-настоящему красивые изображения, поэтому, если вы знаете о них, пожалуйста, оставьте комментарий здесь и дайте мне знать!

Взаимодействие между роботом и бильярдом стадиона Бунимович

Введение

Хаос — это теория, имеющая разветвления во всей науке ^1,2,3 . Работа Лоренца по метеорологии ⁴ является краеугольным камнем современной теории хаоса. Влияние теории хаоса распространяется не только на физику и математику, но и на биологию, химию, связь, инженерию, криптографию и робототехнику 9.0312 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 . Он предоставляет набор концепций и методов для анализа нового поведения, возникающего в широком диапазоне дисциплин ¹ . Отличительной чертой хаоса является сверхчувствительность нелинейной системы к своим начальным условиям, что делает классическую динамику непредсказуемой в течение длительных периодов времени ³ .

Динамика бильярда, пожалуй, самая простая система, в которой возникает хаос ^10,15 . Эта система имеет две оси симметрии, которые также можно использовать для увеличения числа траекторий в ней. Движение в бильярде состоит из последовательности прямых полетов, прерываемых зеркальными отражениями. Например, на круглом стадионе бильярд ¹⁶ (CSB) эволюция частицы нечувствительна к начальным условиям. В этом случае последовательность прямых полетов и углов отражения дает регулярный временной ряд. Следовательно, частица совершает периодические орбиты, посещая только часть внутренней площади стадиона. Однако, когда граница имеет форму, как в бильярде стадиона Бунимовича ¹⁷ (БСБ), как показано на рис. 1а, или в бильярде стадиона Синай ¹⁸ (ССБ), последовательность прямых полетов и углов является нетривиальной. Временные ряды. Это означает, что динамика чувствительна к начальным условиям, является непериодической, и поэтому частица получает доступ ко всем областям стадиона. Таким образом, BSB и SSB являются примерами эргодической динамики ¹⁹ , утверждающих, что при определенных условиях временное среднее функции вдоль траекторий существует почти всюду и связано с пространственным средним. Помимо эргодических свойств, BSB также является перемешивающей системой со свойством Колмогорова ¹⁹ и свойством Бернулли ²⁰ , что означает сосуществование регулярной и хаотической динамики.

Рисунок 1

( a ) Панорама стадиона. Стены имеют высоту 25 см, а фиксированная площадь в эксперименте равна 92\). ( b ) Геометрические параметры бильярда стадиона Бунимовича. Красные пунктирные вертикальные линии отделяют полуокружности радиуса r от центрального прямоугольника со стороной 2 a . Общая длина равна $L=2(r+a)$. ( c ) Робот Arduino, использованный в эксперименте. Размеры робота ( l , w , h ) составляют 14 см, 12,5 см и 16 см соответственно. ( d ) Координаты стадиона в Биркгоф ( p , s ), где $p\in [-2a-\pi r,+2a+\pi r]$ лежит на границе, а параметр скорости проекции $s= \sin \theta _{i }\in [-1,+1]$, где $\theta _i$ — угол падения.

Изображение полного размера

Показатель Ляпунова (LE), исторически обозначаемый $\lambda$, является объективным измерением хаоса. Эта величина связана с линейной устойчивостью траектории. Когда $\lambda > 0$, существует по крайней мере одно направление в фазовом пространстве, в котором динамика неустойчива, что подразумевает хаотическое поведение. Стандартным методом расчета $\лямбда$ является так называемый метод касательного пространства, заключающийся в интегрировании уравнения движения системы с его линеаризованными вариантами, рассматриваемыми на последовательных шагах по времени ²¹ . Исходя из этого и общего начального возмущения, мы надлежащим образом оцениваем наиболее расширяющееся направление отклонений.

В некоторых ситуациях линеаризованная версия уравнений состояния недоступна из-за наличия разрывов. В таких случаях можно использовать метод динамики клонирования ²². Кроме того, когда имеется только временной ряд наблюдений, алгоритм, предложенный Wolf et al. ²³ — альтернатива; их метод основан на методах реконструкции фазового пространства с использованием координат задержки. К сожалению, при использовании методов клона и Вольфа происходит потеря точности, так как получают якобиан приближенными реконструкциями. 92+4ra\), LE равен нулю, когда $a=0$ и быстро увеличивается с $\gamma =a/r$, достигая максимального значения $\lambda \приблизительно 0,43$ при $\ гамма = 1$. После этого он медленно затухает как $\gamma \rightarrow \infty$. Обратите внимание, что когда $\gamma = 0$ бильярд является идеальным CSB, а для $\gamma \rightarrow \infty$ идеальный BSB ведет себя как совершенная прямоугольная граница, оба случая нехаотичны. Эти результаты были подтверждены численно ^10,24 , но нам не известно ни о какой прямой экспериментальной реализации такой идеализированной системы.

Мы можем имитировать классическую динамику частиц в бильярде, используя, например, микроволновые резонаторы ²⁵ , оптические системы ⁵ и робототехнику ^14,26,27 . Оптические системы являются общей темой исследований в фундаментальных науках, тогда как эксперименты с роботами и окружающей средой в основном рассматриваются в прикладных науках и технике ^28,29,30 . Здесь мы стремимся показать, что взаимодействие робота и окружающей среды может быть подходящей платформой для изучения фундаментальной науки классической динамики.

В этой работе мы экспериментально имитируем классическую динамику одиночной частицы в стандартных границах CSB и BSB как взаимодействие робота и окружающей среды. Робот Arduino, использованный в эксперименте, показан на рис. 1в. Наша экспериментальная установка может обеспечить все измерения, необходимые для записи якобиана для идеального BSB. В результате мы получаем LE с использованием метода касательных для шести различных значений $\gamma$ для BSB, сохраняя его площадь фиксированной в установке длиной 3,38 метра, см. Таблицу 1. Мы сопоставляем наши экспериментальные результаты с прогнозами Benettin и Стрельцин ⁹ , которые полностью совместимы. В качестве контроля на нашей экспериментальной установке мы определяем поверхность Пуанкаре сечения (SOS) ^31,32,33 для стандартных CSB и BSB с использованием координат Биркгофа ³⁴ , как показано на рис. 1d. SOS характеризует все функции системы в фазовом пространстве. Геометрические симметрии бильярда стадиона и динамики частицы внутренне связаны и проявляются как симметрии в SOS Пуанкаре. Симметрия отражения BSB, горизонтальной и вертикальной осей, создает лево-правые симметричные узоры в SOS Пуанкаре, в то время как симметрия обращения времени ³⁵ динамика делает симметричные узоры верх-низ в Ponicaré SOS. Даже неправильные границы с шероховатостью приводят к симметричным рисункам сверху вниз благодаря симметрии обращения времени. Эти симметрии представлены на рис. 3, что будет обсуждаться позже. Несмотря на геометрическую симметрию и симметрию обращения времени, замкнутые траектории ведут себя по-разному. Они производят отдельные точки в SOS Пуанкаре, обычно окруженные пустыми областями. Кроме того, чтобы полностью описать динамику бильярда, мы также представляем эволюцию во времени траекторий робота в фазовом пространстве в SOS Пуанкаре для траекторий робота. 94\) столкновения с границей стадиона оказалось достаточно для сходимости ЛЭ. Каждая числовая точка данных соответствует среднему значению ста различных начальных условий. Наши численные результаты согласуются с теми, о которых впервые сообщили Бенеттин и Стрельцин, см. рис. 4 в [1]. ⁹ .

Таблица 1 Геометрические параметры, использованные для идеального и стандартного BSB, рис. 1б.

Полная таблица

Рис. 2

Показатель Ляпунова ($\lambda$) как функция управляющего параметра $\gamma =a/r$. Черные открытые кружки — это численные результаты для $\лямбда$ для идеального BSB. Красные открытые квадраты — это экспериментальные результаты для $\lambda$ в стандартном BSB. 92\). Как видно из рис. 2, ЛВ идеального и стандартного ОСП в зависимости от $\gamma$ имеют одинаковое поведение, они быстро возрастают, достигая максимума при $\gamma =1,0$ и медленно уменьшаются при \ (\gamma \rightarrow \infty\), что делает этот результат первой экспериментальной реализацией, показывающей правильность теоретического предсказания Бенеттина и Стрельчина ⁹ . Все интересующие величины, такие как траектория, углы рассеяния и время столкновения, получаются непосредственно из видеозаписи робота и служат входными данными для метода касательных 9.0312 22 , такой же, как и в численной процедуре. Каждое экспериментальное значение, приведенное на рис. 2, представляет собой среднее значение пяти измерений, каждое из которых рассчитано на основе разных временных рядов, записанных в 15-минутном временном окне. Значения LE приведены в таблице 1. Характерные длины BSB приведены на рис. 1b. Экспериментальные и численные результаты согласуются, как видно из таблицы 1.

Рис.0034 ) BSB и стандартные ( c ) CSB и ( d ) BSB. Мы использовали координаты Биркгофа ( p , s ), где p — длина дуги на границе и $s={\hat{v}}\cdot {\hat{n}}=\ sin {\ theta _i} $ — проекция скорости. Область определения этих переменных: $p\in [-2a-\pi r,+2a+\pi r]$ и $s\in [-1,1]$, геометрические детали см. на рис. 1. . Геометрические параметры, используемые для фиксирования площади: $r=1,51$ для CSB и $r=a=1$ для BSB.
Полноразмерное изображение
Экспериментальные данные на рис. 2 обладают выдающимися характеристиками, на которые следует обратить внимание. Хотя мы знаем, что динамика частиц в идеальном CSB имеет нулевое LE, взаимодействие робота с окружающей средой в стандартном CSB имеет ненулевое LE, $\lambda = 0,03$, см. Таблицу 1. Это означает, что стандартный CSB используемая в эксперименте, отклоняется от геометрии идеального ЦСБ, что согласуется с основанием теоремы Колмогорова–Арнольда–Мозера ^5,36 . Это отклонение проявляется и в максимальном ЛЭ ЧБС, что происходит при $\gamma=1.0$. Для идеального BSB LE составляет $\lambda =0,43$, а для взаимодействия робота с окружающей средой в стандартном BSB $\lambda = 0,47$. Аналогичное отклонение между идеальной и стандартной полугрибовидной полостью также было зарегистрировано в оптическом хаосе 9.0312 5 . Кроме того, как будет видно, расхождение более заметно в SOS Пуанкаре.
Бильярд, например, BSB, SSB, CSB и эллиптический бильярд, среди прочего, имеет очень богатый SOS Пуанкаре ^31,32,33 . Хорошо известно, что SOS Пуанкаре является умной формой для уменьшения размерности динамических систем ³⁷ . Бильярд имеет фазовое пространство с четырьмя измерениями, состоящее из двух пространственных степеней свободы и двух сопряженных импульсов. Кроме того, фазовое пространство этих систем имеет островки устойчивости: орбиты с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением. Однако из-за сохранения энергии частицы движение фактически происходит по трехмерной поверхности, что может быть достигнуто с помощью SOS Пуанкаре ³⁷ . В этом случае удобно ввести координаты Биркгофа ³⁴ ( p , s ), где $p\in [-2a-\pi r,+2a+\pi r]$ лежит на границе, и параметр скорости проекции $s={\hat{v}} \cdot {\hat{n}} = \sin \theta _{i}\in [-1,+1]$, где $\ theta _i$ – это угол падения, как показано на рис. 1d. SOS представляет собой набор ( p , s ) точки столкновения на границе ³⁷. Поскольку координаты Биркгофа сохраняют площадь, а соответствующий гамильтониан сохраняет энергию, эффективная размерность фазового пространства для SOS Пуанкаре может быть уменьшена ^37,38 . Мы определяем SOS Пуанкаре для стандартных CSB и BSB, чтобы сопоставить совершенный CSB, который не является хаотичным, с BSB, который является хаотичным.
Кроме того, классическая динамика частицы в бильярде имеет две симметрии: одна связана с симметрией обращения времени, а другая связана с симметрией бильярда стадиона. Первый утверждает, что частица следует по тому же пути, если мы инвертируем течение времени, что приводит к идентичной последовательности длин полетов и времени. С другой стороны, углы падения меняют знак, потому что мы определяем $\theta _i$ как положительное для вращения по часовой стрелке и отрицательное для против часовой стрелки. Это определение угла падения подразумевает, что для каждой точки ( p , s ) в SOS Пуанкаре есть еще одна точка $(p,-s)$. Последнее является следствием геометрии системы. BSB имеет отражательную симметрию по каждой из двух своих главных осей. Любое начальное состояние во 2-м, 3-м и 4-м квадранте можно сопоставить с 1-м квадрантом и наоборот. Эти две симметрии позволяют преобразовать один временной ряд координат Биркгофа в фактически четыре временных ряда. Следовательно, множество точек столкновения на границе биллиарда x , y можно представить в виде четырех временных рядов: $(p,s)\стрелка вправо (p,-s)\стрелка вправо (-p,s)\стрелка вправо (-p,-s)$. В экспериментах с использованием микроволн ³⁷ и оптических резонаторов ⁵ количество столкновений очень велико, и нет необходимости использовать симметрию SOS Пуанкаре, поскольку она возникает спонтанно из измеренных данных. В нашем случае стандартный BSB имеет только 200 столкновений, и эти симметрии полезны для заполнения экспериментального ( p , s ) фазовое пространство.
Рис. 4
Динамика КНС Пуанкаре для первых 8 столкновений со стенкой для двух близких начальных условий (красное и черное). Графики ( a ) и ( c ) относятся к CSB, а графики ( b ) и ( d ) — к BSB. Красные и черные точки в ( a ) и ( c ) всегда близки друг к другу, тогда как в ( b ) и ( d ) они расходятся. В ( и ) и ( f ) мы показываем SOS Пуанкаре для стандартных CSB и BSB с теми же 8 точками, где мы добавляем стрелки, чтобы указать последовательность столкновений
Полноразмерное изображение
gamma =0\), который имеет регулярный режим, где набор точек ( p , s ) представляет собой горизонтальную линию, как и ожидалось ³² . Это означает, что угол падения при каждом столкновении один и тот же, что дает постоянное значение с . {3}\) столкновений.
На рис. 3c и d представлены графики SOS Пуанкаре для стандартных CSB ($\gamma = 0$) и BSB ($\gamma = 1$), соответственно. SOS также рассчитываются из 5 немного разных начальных условий, каждое из которых включает 200 столкновений. На рис. 3с показан нерегулярный режим с множеством точек, распределенных вокруг двух горизонтальных прямых, что контрастирует с регулярным поведением идеального CSB, рис. 3а. Поведение стандартного CSB показывает, что угол падения различен при каждом столкновении, что приводит к плавающему s , что оправдывает ненулевое значение для LE. Однако мы не можем классифицировать это как хаотическую динамику, потому что эти точки не распределены по всей SOS, а значит, робот никогда не будет подчиняться эргодической динамике. Большие различия между SOS Пуанкаре идеального и стандартного КСБ, рис. 3а и в, доказывают, что стандартный биллиард явно отклоняется от геометрии идеального биллиарда, что делает первый более чувствительным к начальным условиям, чем второй, в соответствии с Теорема Колмогорова–Арнольда-Мозера 92\), что составляет примерно $1\%$ от общей площади A . Хотя эта область мала, она занимает физическую часть стадиона, что имеет определенные последствия. Эта ненулевая область накладывает ограничение в фазовом пространстве. С другой стороны, в идеальном BSB точечная частица имеет свободный доступ ко всему фазовому пространству. Естественно, условие ( p , s )=$(a+ \pi /2 r,1)$ и другие симметричные точки запрещены для стандартного BSB. На рис. 3d мы можем наблюдать четыре малонаселенные области SOS для стандартного BSB около $p=\pm (1+\pi /2)$ и $s=\pm 1$. В центре рис. 3d есть еще одна интересная область SOS Пуанкаре. Эта пустая центральная область описывает нехаотическое особое поведение, также известное как периодическое решение, поскольку траектории в этой области являются замкнутыми путями. Островок устойчивости в центре ОНС для идеального и стандартного ЗБС обусловлен решениями с начальными положениями в прямоугольной области рис. 1б со скоростью, направленной вверх, т. е. ${\hat{v}}= {\шляпа{у}}$. Траектории представляют собой прямые с углом падения $\theta _i=0$. То же самое верно и на экваторе стадиона, что приводит к двум островам в точках $p=\pm (a+\pi /2r)$ и $s=0$.
Для системы в регулярном режиме две реализации с бесконечно малыми начальными условиями остаются близкими с течением времени. С другой стороны, если система хаотична, небольшая разница между траекториями быстро расходится. Экспериментальное наблюдение этих утверждений, естественно, затруднено из-за отсутствия контроля в установке. Хотя при наличии набора экспериментальных данных можно извлечь распределение времени возвращения Пуанкаре. Сравнение фазового пространства Пуанкаре SOS с временным фазовым пространством Пуанкаре SOS может выявить эффективные свойства ⁵ бильярд. Чтобы исследовать такое поведение, мы строим временные ряды двух траекторий с близкими начальными условиями для идеального и стандартного CSB через SOS Пуанкаре на рис. 4a и c соответственно. Каждая точка получается только тогда, когда частица пересекает плоскость сечения в петле фазового пространства, что требует уникального количества столкновений и собственного времени для каждой реализации. По этой причине график соответствует временному ряду SOS Пуанкаре. Однако два временных ряда остаются близкими с течением времени, гарантируя, что CSB не является хаотичным для идеального бильярда, а также для стандартного бильярда. Кроме того, на рис. 4b и d показаны временные ряды с точками разброса для идеального и стандартного BSB, $\gamma =1$ соответственно. В обоих случаях две траектории вначале почти совпадают, но начинают существенно расходиться, что является явным признаком того, что BSB хаотичен для идеального и стандартного бильярда. Из рис. 4d видно, что всего после 4 столкновений две траектории совершенно разные, что подтверждает высокую чувствительность к начальным условиям стандартного бильярда. Наконец, на рис. 4e и f показано, как две траектории распространяются в фазовом пространстве для стандартных CSB и BSB соответственно. В первом случае p — значения двух траекторий остаются почти постоянными во времени, а значит, они не расходятся друг от друга. В последнем значения p показывают большие изменения во времени, что является типичным поведением хаотической динамики.
Рисунок 5
Черно-белое изображение бильярда стадиона Бунимовича для контрольного параметра $\gamma _{\mathrm{eff}}=0,52$, таблица 1. Красным цветом показана траектория движения робота за 15 минут, записанная при 30 кадров в секунду. Синим цветом показаны эффективные полукруглые границы, а желтым — центральный прямоугольник со стороной 2 и .
Полноразмерное изображение
Экспериментальная установка
Мы провели измерения в шести различных стандартных BSB, записав движение робота в течение пятнадцати минут. Для каждой установки мы провели пять различных видеозаписей с одинаковыми начальными условиями. Длина стадиона колеблется от 1,80 м у ЦСБ до 3,38 м у самого удлиненного БСБ. Геометрические параметры, использованные в экспериментах, описаны в таблице 1 и проиллюстрированы на рис. 1b. Для изготовления стен стадионов мы использовали промышленные деревянные листы МДФ высотой 25 см.
Робот представляет собой плату управления Arduino, питаемую от USB-кабеля и интегрированную с двумя шаговыми двигателями и тремя инфракрасными (ИК) датчиками, рис. 1c. Размеры робота: длина 14 см, ширина 12,5 см, высота 16 см. Видеозаписи были сделаны камерой с разрешением Full HD со скоростью 30 кадров в секунду, расположенной на высоте 2,80 м над центром стадиона. Мы собрали около 27 000 изображений робота за одну запись. Это количество точек траектории робота в ( x , и )-самолет. Для сбора данных о траектории мы использовали специальный код Matlab с использованием алгоритма отслеживания. На рис. 5 показана черно-белая картина эксперимента для стандартного BSB с траекторией движения робота в плоскости ( x , y ) (красная линия), полученная алгоритмом слежения. Кроме того, мы можем видеть стадион в его реальном размере (деревянная стена) и эффективном размере (синие и желтые линии). Код простой, но с высокой эффективностью, потому что у нас нет окклюзий или нескольких целевых объектов в сценарии. Таким образом, никакие кадры, полученные в экспериментальных кадрах, не теряются, а временной ряд положения робота не имеет пропусков. Средняя скорость робота составила 14,2 см/с, что означает 2 кадра/см, а точнее, пространственную ошибку $\pm 5$ мм.
Существует зазор между ИК-датчиками и центральным светодиодным пятном, из-за чего алгоритм отслеживания обнаруживает только эффективную зону стадиона. Таким образом, для учета реальных размеров стадиона необходимы определенные корректировки в собранных данных о траектории. На рис. 5 показано изображение стадиона с его фактическими и эффективными размерами. Чтобы принять во внимание эту длину смещения, составляющую примерно 5 см, мы напрямую измерили соотношение между эффективным радиусом r и длиной стороны и от траектории робота. Эта процедура верна только в том случае, если количество столкновений между роботом и границами достаточно велико. Количество столкновений пропорционально времени записи. В нашей процедуре это число всегда больше ста. Мы также заметили, что эффективная $\gamma _{\mathrm{eff}}$ всегда примерно на $5\%$ больше, чем построенная $\gamma$, см. Таблицу 1.
Как показано на На рис. 5 эффективная площадь должна быть наименьшей BSB, охватывающей экспериментальные данные. Расчет эффективного $\gamma _{\mathrm{eff}}$ зависит от выбора трех свободных параметров. Естественно, у нас есть эффективный радиус r и длину стороны a необходимо определить. В эксперименте появляется дополнительный параметр — угол поворота между стадионом и выравниванием камеры. Чтобы найти эти три параметра, мы использовали алгоритмы минимальной ограничивающей рамки ³⁹ . Они могут соединять длины прямоугольника с радиусом и длиной стороны стадиона, что дает $\gamma _{\mathrm{eff}}$, см. Таблицу 1.
Теоретический подход
В этом разделе мы кратко представляем метод касательного пространства, используемый для расчета LE, показанного на рис. 2. LE измеряет степень расхождения между соседними орбитами в пространстве состояний ⁴⁰ . Рассмотрим ${\mathbf {x}}\equiv (x_1, x_2, \dots , x_\nu )$ как координаты в $\nu$-мерном фазовом пространстве. {(2)}(t) \equiv (\delta x_1, \delta x_2, \dots , \delta x_\nu )\). В бесконечно малом режиме уравнения для этого вектора отклонения являются линейными, определяемыми первым вариационным уравнением
$ $ \ begin {align} \ frac {d {\ mathbf {w}} (t)} {dt} = {\ mathbf {J}} ({\ mathbf {x}} (t)) {\ mathbf {w}}(t), \end{aligned}$$
(2)
, где ${\mathbf {J}}$ является $\nu \times \nu$ матрицей Якоби относительно векторному полю ${\mathbf {F}}({\mathbf {x}}(t))$. Поскольку элементы ${\mathbf {J}}$, обеспечиваемые (1), являются непрерывной ограниченной функцией от t для $t\rightarrow \infty$, решения линеаризованного уравнения. (2) расти не более чем по экспоненциальной функции. Для любого начального возмущения ${\mathbf {w}}(0)$ скорость роста
$ $ \ begin {align} \ lambda = {\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} \ ln \ frac {| {\ mathbf {w}} (t) |} {| {\ mathbf {w }}(0)|}} \end{aligned}$$
(3)
определяется как LE. В терминах определения (3) можно охарактеризовать каждое собственное направление системы. Набор всех полученных показателей, называемый спектром Ляпунова, обычно упорядочивается как $\lambda _1 \ge \lambda _2 \ge \dots \ge \lambda _\nu$ ²¹ . Обозначаемый $\lambda _1$, наибольший LE указывает, стабилизируется ли ${\mathbf {x}}(t)$ при существовании предела (3). На наличие расходящихся (сходящихся) траекторий и, следовательно, хаотического (регулярного) режима указывают положительные (отрицательные) показатели. Эта теоретическая основа представляет собой введение в мощный инструмент для обнаружения и количественной оценки хаоса. Аналитически с использованием дифференциально-геометрического подхода имеются исследования, в которых ЛЭ определяется из свойств кривизны риманова многообразия ^41,42 . Из долговременного среднего (3) и аргументов эргодичности его также можно получить вычислительным путем путем численного интегрирования отклонений ${\mathbf {w}}(t)$, оцененных вдоль траектории ${ \mathbf {x}}(t)$ ^21,43 .
В контексте экспериментальных данных дискретных измерений методы реконструкции фазового пространства с координатами запаздывания позволяют получить значения ЛЭ, сравнимые со значениями исходного аттрактора ²³ . Линеаризованная версия системы не определена для этого экспериментального подхода, в котором отклонения рассчитываются прямым вычитанием между близкими орбитами в восстановленном фазовом пространстве. Таким образом, предполагается, что отклонения достаточно малы, сохраняя свойства величины и направления измерений, генерируемых из касательного пространства.
В настоящей работе наша экспериментальная установка была сконструирована так, чтобы обеспечить все измерения, требуемые якобианом (2). Как следствие, ЛЭ получается из касательного пространства без необходимости реконструкции фазового пространства, а также без аппроксимаций для определения вектора отклонения. Для робота векторы отклонения эволюционируют согласно двум различным случаям линеаризованных уравнений. Один из них, когда нет столкновений, указанный якобианом:
$$\begin{align} {\mathbf {J}}_0= \begin{bmatrix} &{}1 &{} &{}\tau &{}\\ &{}0 &{} &{} 1&{} \end{bmatrix}, \end{aligned}$$
(4)
, где $\tau$ представляет время между двумя столкновениями. Другой задает поведение отклонений при столкновениях, в которых имеем
$$\begin{aligned} {\mathbf {J}}_c= -\begin{bmatrix} &{}1 &{} &{ } 0 &{}\\ &{}{\displaystyle \frac{2\kappa }{\cos {\varphi }}} &{} &{}1&{} \end{bmatrix}, \end{aligned}$ $
(5)
где $\каппа$ — кривизна граничной точки, в которой происходит столкновение, а $\варфи$ — угол падения частицы по отношению к границе. Для стадиона кривизна принимает два разных значения. У нас есть $\каппа = 0$, когда столкновение происходит в прямоугольной области, а в противном случае $\каппа = 1/r$, кривизна круглой части. В качестве ограничения наш метод расчета LE из экспериментальных временных рядов требует линеаризованных уравнений, связанных с динамикой, которые имитируют экспериментальную установку.
Выводы
В этой статье мы имитировали динамику частицы в идеальном бильярде на стадионе Бунимовича (BSB) с помощью взаимодействия робота и окружающей среды в стандартном BSB. Было проведено шесть различных экспериментов со стандартными БСП фиксированной площади и определены значения показателя Ляпунова (ЛЭ) методом касательного пространства. LE из наших экспериментальных данных противопоставлены хорошо установленным теоретическим результатам Benettin и Strelcyn ⁹ с удовлетворительным согласием.
Мы также определили SOS Пуанкаре бильярда, который указывает на отклонение между геометрией идеальной и стандартной BSB. Наконец, чтобы показать чувствительность к начальным условиям и в качестве экспериментального контроля, мы построили SOS Пуанкаре как функцию времени, рис. 4.
модель путем программирования ответов робота, максимально приближенных к условиям применимости модели. Однако взаимодействие робота с окружающей средой происходит в гораздо более широких сценариях, таких как жестовое общение между человеком и роботом 9.0312 44 , распознавание речевых эмоций ⁴⁵, поиск паттернов, скрытых в наборах данных ^46,47, и идентификация пола по речи ⁴⁸, и это лишь некоторые из них.
Эта работа прокладывает путь к предложениям идеализированных моделей для этих более сложных ситуаций. Идеализированные модели помогают нам углубить наше понимание сложных реальностей и проливают свет на механизмы, скрытые в основе тонкого поведения.
В заключение, наши результаты показывают, что взаимодействие робота и окружающей среды является отличной платформой для экспериментального изучения хаотической динамики, что позволяет проверить другие теоретические предсказания.
Ссылки
Моттер, А. Э. и Кэмпбелл, Д. К. Хаосу пятьдесят. Физ. Сегодня 66 , 27–33. https://doi.org/10.1063/PT.3.1977 (2013 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый
Хикихара Т., Холмс П., Камбе Т. и Рега Г. Введение в основной выпуск: Пятьдесят лет хаоса: прикладное и теоретическое. Хаос 22 , 047501. https://doi.org/10.1063/1.4769035 (2012).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья пабмед Google ученый
«>
Сюй, Х.-Ю., Хуанг, Л. и Лай, Ю.-К. Релятивистский квантовый хаос в графене. Физ. Сегодня 74 , 44–49. https://doi.org/10.1063/PT.3.4679 (2021 г.).
КАС Статья Google ученый
Лоренц Э. Н. Детерминированный непериодический поток. Дж Атмос. науч. 20 , 130–141 (1963).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google ученый
Фан, Л., Ян, X., Ванганд, Х. и Ван, Л.В. Наблюдение и контроль оптического хаоса в реальном времени. науч. Доп. 7 , eabc8448. https://doi.org/10.1126/sciadv.abc8448 (2021 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья пабмед ПабМед Центральный Google ученый
Иванович, А.З., Чупич, Ж.Д., Янкович, М.М., Колар-Анич, Л.З. и Анич, С.Р. Хаотические последовательности в реакции Брея-Либхафского в открытом реакторе. Физ. хим. хим. физ. 10 , 5848–5858. https://doi.org/10.1039/B804580A (2008 г.).
Артикул пабмед Google ученый
Де Леон, Н. и Берн, Б. Динамика реакции в эргодической системе: бильярд на сиамском стадионе. Хим. физ. лат. 93 , 162–168. https://doi.org/10.1016/0009-2614(82)83685-3 (1982).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый
Занг Х., Икбал С., Чжу Ю., Лю Х. и Чжао Дж. Применение хаотической динамики в робототехнике. Междунар. Дж. Адв. Робот. Сист. 13 , 60. https://doi.org/10.5772/62796 (2016).
Артикул Google ученый
Бенеттин Г. и Стрелкин Дж. М. Численные эксперименты по свободному движению точечной массы, движущейся в плоской выпуклой области: стохастический переход и энтропия. Физ. Ред. A 17 , 773–785. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.17.773 (1978).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый
Деллаго, К. и Пош, Х. А. Показатели Ляпунова для систем с упругими жесткими столкновениями. Физ. Ред. E 52 , 2401–2406. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.52.2401 (1995).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet КАС Статья Google ученый
Деллаго, К. и Пош, Х. Колмогоров-Синая энтропия и ляпуновские спектры газа твердых сфер. Physica A 240 , 68–83. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(97)00131-3 (1997).
ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый
Канцлер, В., Дункель, Дж., Полин, М. и Гольдштейн, Р. Э. Ресничные контактные взаимодействия преобладают над поверхностным рассеянием плавающих эукариот. ПНАС 110 , 1187–1192. https://doi.org/10.1073/pnas.1210548110 (2013 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья пабмед ПабМед Центральный Google ученый
Yu, X. & Zhang, Y. Лучевой хаос в архитектурной акустической системе полустадиона. Хаос 23 , 013107. https://doi.org/10.1063/1.4772969 (2013).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья пабмед Google ученый
Гараттони, Л. и Бираттари, М. Автономная последовательность задач в рое роботов. науч. Робот. 3 , eaat0430. https://doi.org/10.1126/scirobotics.aat0430 (2018 г.).
Артикул пабмед Google ученый
Деттманн, С. П. и Джорджиу, О. Вероятность выживания для бильярда стадиона. Physica D 238 , 2395–2403. https://doi.org/10. 1016/j.physd.2009.09.019 (2009 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Дрекслер М. и Гандер М. Дж. Круговой бильярд. SIAM Ред. 40 , 315–323. https://doi.org/10.1137/s0036144596310872 (1998 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Бунимович Л. А. Об эргодических свойствах некоторых биллиардов. Функц. Анальный. заявл. 8 , 254–255. https://doi.org/10.1007/BF01075700 (1974 г.).
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Синай Ю. Г. Динамические системы с упругими отражениями. Рус. Мат. Surv. 25 , 137–189. https://doi.org/10.1070/rm1970v025n02abeh003794 (1970).
Артикул МАТЕМАТИКА Google ученый
«>
Бунимович Л. А. Об эргодических свойствах нигде не расходящихся биллиардов. Комм. Мат. физ. 65 , 295–312. https://doi.org/10.1007/BF01197884 (1979 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Чернов Н. И., Хаскелл К. Неравномерно гиперболические k-системы являются бернуллиевскими. Эргод. Теория Дин. Сист. 16 , 19–44. https://doi.org/10.1017/S0143385700008695 (1996).
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Пиковский А. и Полити А. Показатели Ляпунова: инструмент для изучения сложной динамики (Cambridge University Press, 2016).
Книга Google ученый
Сориано, округ Колумбия и др. Метод оценки спектра Ляпунова с использованием клонированной динамики и его применение к модели ФитцХью-Нагумо с прерывистым возбуждением. Нелинейная динам. 67 , 413–424. https://doi.org/10.1007/s11071-011-9989-2 (2012 г.).
Артикул МАТЕМАТИКА Google ученый
Вольф А., Свифт Дж. Б., Суинни Х. Л. и Вастано Дж. А. Определение показателей Ляпунова по временному ряду. Physica D 16 , 285–317. https://doi.org/10.1016/0167-2789(85)
-9 (1985).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Бихам, О. и Квале, М. Нестабильные периодические орбиты в бильярде стадиона. Физ. Ред. A 46 , 6334–6339. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.46.6334 (1992).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet КАС Статья пабмед Google ученый
Штокманн, Х.-Й. & Stein, J. «Квантовый» хаос в бильярде, изученный с помощью микроволнового поглощения. Физ. Преподобный Летт. 64 , 2215–2218. https://doi.org/10.1103/physrevlett.64.2215 (1990).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья пабмед Google ученый
Nehmzow, U. & Walker, K. Количественное описание взаимодействия робота и окружающей среды с использованием теории хаоса. Робот. Автон. Сист. 53 , 177–193. https://doi.org/10.1016/j.robot.2005.09.009 (2005 г.).
Артикул Google ученый
Волос, К., Киприанидис, И. и Стоубулос, И. Генератор хаотического планирования пути для автономных мобильных роботов. Робот. Автон. Сист. 60 , 651–656. https://doi.org/10.1016/j.robot.2012.01.001 (2012 г.).
Артикул Google ученый
Хуанг, Л. и др. Совместная сетевая обработка изображений: многозадачная семантическая сегментация изображения внутренней сцены на основе CNN. Процесс обработки изображений IET. 14 , 3689–3697. https://doi.org/10.1049/iet-ipr.2020.0088 (2020 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый
Gao, Q., Liu, J., Ju, Z. & Zhang, X. Обнаружение двух рук для взаимодействия человека и робота с помощью параллельной сети на основе обнаружения рук и оценки позы тела. IEEE Trans. Инд. Электрон. 66 , 9663–9672. https://doi.org/10.1109/tie.2019.2898624 (2019 г.).
Артикул Google ученый
Цзян Д. и др. Семантическая сегментация для многомасштабной цели на основе распознавания объектов с использованием улучшенной модели более быстрой RCNN. Генератор будущего. вычисл. Сист. 123 , 94–104. https://doi.org/10.1016/j.future.2021.04.019 (2021 г.).
Артикул Google ученый
«>
Таннер Г. Насколько хаотичен бильярд на стадионе? Полуклассический анализ. J. Phys. А 30 , 2863–2888. https://doi.org/10.1088/0305-4470/30/8/028 (1997 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Лопац В., Мрконич И., Павин Н. и Радич Д. Хаотическая динамика бильярда эллиптического стадиона в пространстве полных параметров. Физика D 217 , 88–101. https://doi.org/10.1016/j.physd.2006.03.014 (2006 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Albahaca, J. C. Аналитическое и численное исследование теории Пуанкаре; Карта с приложениями по вычислению периодических орбит . Кандидат наук. диссертация, Уппсальский университет, прикладная математика и статистика (2015).
Биркгоф Г. Д. О периодических движениях динамических систем. Акта Мат. 50 , 359–379. https://doi.org/10.1007/bf02421325 (1927 г.).
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Робертс, Дж. Хаос и симметрия обращения времени. Порядок и хаос в обратимых динамических системах. Физ. 216 , 63–177 (1992).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google ученый
Некель, Дж. У. и Стоун, А. Д. Лучевой и волновой хаос в асимметричных резонансных оптических резонаторах. Природа 385 , 45–47. https://doi.org/10.1038/385045a0 (1997 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google ученый
Цао, Х. и Вирзиг, Дж. Диэлектрические микрорезонаторы: модельные системы для волнового хаоса и неэрмитовой физики. Ред. Мод. физ. 87 , 61–111. https://doi.org/10.1103/revmodphys.87.61 (2015 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google ученый
Берри М. В. Регулярность и хаос в классической механике на примере трех деформаций круглого «бильярда». евро. Дж. Физ. 2 , 91–102. https://doi.org/10.1088/0143-0807/2/2/006 (1981).
MathSciNet Статья Google ученый
Freeman, H. & Shapira, R. Определение прямоугольника с минимальной площадью для произвольной замкнутой кривой. Комм. ACM 18 , 409–413. https://doi.org/10.1145/360881.360919 (1975 г.).
MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Вульпиани, А., Чеккони, Ф. и Ченчини, М. Хаос: от простых моделей к сложным системам (World Scientific Publishing Company, 2009).
МАТЕМАТИКА Google ученый
Кайани Л., Казетти Л., Клементи К. и Петтини М. Геометрия динамики, показатели Ляпунова и фазовые переходы. Физ. Преподобный Летт. 79 , 4361–4364. https://doi.org/10.1103/physrevlett.79.4361 (1997).
ОБЪЯВЛЕНИЕ КАС Статья Google ученый
Араужо, Р., Филью, Л.Х.М., Сантос, Ф.А.Н. и Коутиньо-Фильо, М.Д. Геометрия и молекулярная динамика гамильтоновой модели среднего поля в магнитном поле. Физ. Ред. E 103 , 012203. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.103.012203 (2021).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья пабмед Google ученый
Миранда Филью, Л., Амато, М., Элскенс, Ю. и Роча Филью, Т. Вклад отдельных степеней свободы в векторы Ляпунова в системах многих тел. Комм. Нелинейная наука. Число. Симул. 74 , 236–247. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2019.03.011 (2019 г.).
ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый
Цзян Д., Ли Г., Сун Ю., Конг Дж. и Тао Б. Распознавание жестов на основе алгоритма скелетирования и cnn с базой данных asl. Мультимед. Инструменты. заявл. 78 , 29953–29970 (2019).
Артикул Google ученый
Шойынбек А., Кожахмет К., Султанова Н. и Жумалиева Р. Надежные спектральные аудиофункции для распознавания речевых эмоций. Заяв. Мат. Инф. науч. 13 , 867–870. https://doi.org/10.18576/amis/130521 (2019 г.).
Артикул Google ученый
Мохаммед, М. Х. и Абдель-Разек, А. Стеганография на основе ДНК с использованием генетического алгоритма.