Тесты по алгебре для 9 класса онлайн

Системы уравнений Прогрессия Теория вероятности

• Свойства функций

  14.05.2020 2841

  «Свойства функций». Данный тест предназначен для проверки знаний учащися 9-10 кл. по данной теме. Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. 

• Алгебра 9 класс.

  27.04.2017 23526

  Тест предназначен для учеников девятых классов общеобразовательных школ для самоконтроля.

• Задания 1-5 ОГЭ «Бумага»

  04.01.2021 6062 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

• Системы линейных неравенств с одной переменной

  04.10.2022 43 0

  Образовательный тест «Системы линейных неравенств с одной переменной» призван проверить знания обучающихся по теме. Уровень сложности: средний. 

• Корень п-степени

  12. 11.2020 2260 0

  Данный тест по теме «Корень п-степени» предназначен для учащихся 9 классов. 

• Классическое определение теории вероятности

  01.04.2020 2115 0

  Данный тест ориентирован на проверку знаний по теме «Теория вероятности», в нем встречаются задачи, взятые из банка ОГЭ

• Решение квадратных неравенств

  22.12.2020 4313 0

  Тест по теме «Решение квадратных неравенств» для 9 класса. Тест состоит из 10 вопросов с выбором одного правильного овета из предложенных четырех. Тест имеет ограничение по времени прохождения — 5 минут.

• Свойства функций, заданных графически.

  24.10.2021 1105 0

  Тест для проверки умения читать графики функций и указывать их свойства. Для 9-10 классов.

• Входной тест Алгебра 9

  24.07.2020 449 0

  Тест по Алгебре 9 класса направленный на выявление остаточных знаний учащихся.По времени не ограничен. Не торопитесь.

• Задания 1-5 ОГЭ «План квартиры»

  01. 01.2021 3726 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

• Тест по теме «Прогрессия»

  07.12.2021 63 0

  Интересный тест для всех желающих проверить свои знания по теме Прогрессия

• Прогрессии (арифметическая и геометрическая)

  01.04.2019 875

  Данный тест состоит из 8 вопросов по теме «Прогрессии». Можно использовать при закреплении темы. Вопросы представлены и с одиночным ответом, и с множественными ответами.

• Задания 1-5 ОГЭ «Маршрут»

  01.01.2021 1652 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста. 

• Комбинаторика: Перестановки

  12.04.2020 1350 0

  В тесте проверяются знания, умения и навыки по теме «Перестановки»

• Алгебра 9 класс

  08. 01.2019

  15135

  Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 9 класса.

• Тест для подготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике

  21.02.2019 3274

  Тест предназначен для самоподготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике

• Степень с целым показателем

  05.04.2020 20889 0

  Тест по теме «Степень с целым показателем». Для учащихся 8 класса. Содержит 17 вопросов

• Итоговый тест по алгебре для 9 класса.

  

  30.05.2020 705

  Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. В тесте 10 задач из Открытого банка задач ОГЭ .

• Простейшие текстовые задачи

  26.09.2022 31 0

  Данный тест предназначен для оценки знаний учащихся. Состоит из 5 вопросов базового уровня. Целесообразно тестировать учащихся для закрепления или при повторении изученного материала

• Геометрическая прогрессия

  15.04.2020 6491 0

  Геометрическая прогрессия тест для учащихся 9 класса по предмету «Алгебра»

• Функции и графики

  25. 10.2020 1697 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса. Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, умением соотнести функцию с ее значениями.

• Комбинаторика: Размещения

  12.04.2020 1271 0

  Тест для учащихся 9 класса по теме «Комбинаторика: Размещения». 

• 9 класс. Теория вероятностей на ОГЭ

  03.03.2021 4334 0

  Тест составлен из задач открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ, раздел «Статистика и теория вероятностей», предназначен для подготовки к ОГЭ. 7 заданий (каждое генерируется в 6 вариантах). Время прохождения — 20 минут.

• Парабола и ее график

  20.10.2020

  1903 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Парабола и ееграфик». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. 

• Метод интервалов при решении рациональных неравенств

  28.02.2021 213 0

  Тест предназначен для первичного закрепления знаний по теме. Разрешается 1 попытка прохождения теста

• ОГЭ математика 1 часть 2020

  12. 04.2020 255 0

  В тесте предствалены задания первой части ОГЭ по математике 2020 для учащихся 9 классов.

• ОГЭ Задания № 1-5. Печки

  11.12.2020 2549 0

  Тест содержит задачи о печках (№ 1-5 ОГЭ 2021). Генерируется 2 варианта. Время на прохождение – 20 минут.

• Решите неравенство

  12.11.2019 4074

  Решение  квадратных неравенств  и неравенств высших степеней методом интервалов.

• Тест по алгебре для подготовки к ОГЭ

  20. 02.2019 2507

  В тесте предствалены задания первой части ОГЭ по математике для учащихся 9 класса 

• Уравнение прямой и окружности.

  09.04.2020 1669 0

  Проверка знаний и умений по теме. Учебник авторов Ю.М. Колягин и др.

• Простые и сложные проценты

  20.04.2020 367 0

  Решение задач по алгебре 9 класса  по теме «Простые и сложные проценты»

• 9 класс.

  Математика. Итоговое повторение. 1 вариант.

  23.04.2020 395 0

  Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.

• Итоговый тест за курс алгебры 9 класс

  20.05.2020 771

  Годовой тест предназначен для проверки знаний учащихся 9 класса за курс основной школы по алгебре

• 9 класс. Рациональные неравенства.

  06.12.2020 1158 0

  Контрорльный тест по алгебре, 9 класс по теме «Рациональные неравенства». Содержит 8 заданий. 

• Алгебра 9 класс, Часть 1

  04.06.2017 11787

  Тест предназначен для закрепления материала по алгебре 7-9 класса и для повышения общего уровня эрудиции

• Арифметическая прогрессия

  14.11.2018 7664 0

  Итоговый тест по теме «Арифметическая прогрессия», 9 класс, учебник Ю.Н. Макарычев и др.

• Тест по математике 9 класс

  22.03.2020 9461

  Тест по математике. 9 класс. В тесте 5 вопросов. В каждом вопросе только один правильный вариант ответа. 

• 9_Итоговое_повторение_действия с числами

  19.04.2020 158 0

  Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 20 вопросов по теме: «Действия с действительными числами», предполагает знания и умения вычислять корни n-ой степени, проводить вычисления с обыкновенными и десятичными дробями, вычисления степеней с целыми показателями, вычисления тригонометрических функций (табличные значения). Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.

• ОГЭ 8 класс математика

  29. 04.2020 590 0

  Вариант ОГЭ математика 2020 год. Содержит 25 демонстрационных вариантов из сборника подготовки к ОГЭ, адаптированных к программе 8 класса.

• Тест по алгебре за 9 класс

  02.07.2020 148 0

  С помощью этого теста можно проверить знания по алгебре за 9 класс.

• Д/З по алгебре 7 класс. Урок 1

  11.08.2020 493 0

  домашнее задание по алгебре для 7-8 класса. Внимательно читай условие задание прежде чем его выполнить.  

• 9 класс.

  Алгебра

  21.11.2017 8762

  Тест составлен в соответствии с моделью ОГЭ 2018 года по математике, модуль «Алгебра» (1 часть). Он позволит вам оценить собственный уровень подготовки по алгебре к сдаче экзамена, выявить возможные пробелы, которые необходимо устранить.

• ОГЭ 2019 Математика Демонстрационный вариант. Модуль «Алгебра»

  21.10.2018 3774 0

  При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2019 году. Данный тест представляет собой модуль «Алгебра»: один из двух модулей ОГЭ по математике. Модуль «Алгебра» содержит четырнадцать заданий части первой.

• Тренировочные задания по алгебре для подготовки к ОГЭ

  19.02.2019 1093 0

  Задачи 1 части ОГЭ по математике на проценты, на составление уравнения

• Арифметическая прогрессия

  19.02.2019 1689 0

  Алгебра 9. Тест по теме «Арифметическая прогрессия» предназначен для самопроверки учащихся

• «Проверь себя»

  19.12.2019 157 0

  Тест по алгебре  для учащихся 9 класса.   Тема «Квадратный трехчлен, квадратичная функция».

• ОГЭ математика (№2)

  15.04.2020 386 0

  Вариант ОГЭ математика 2020 год. Содержит 25 демонстрационных вариантов из сборника подготовки к ОГЭ.

• Практико-ориентированные задачи (про печь)

  27.04.2020 744 0

  Практико-ориентированные задачи (про печь). Основной Государственный Экзамен 9 класс

• Подготовка к ОГЭ модуль «Алгебра»

  29. 04.2020 3547

  Все задания очень похожи на те, что используются на ОГЭ.По окончании работы система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку по пятибалльной  шкале.

• ОГЭ математика (№3)

  04.05.2020 53 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• ОГЭ математика №4

  11.05.2020 17 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• контрольная работа, вар 1, по теории вероятностей

  13.05.2020 8 0

  Контрольная работа для 9 класса по главе «Элементы статистики и теории вероятностей». Вариант 1.

• Арифметическая прогрессия

  15.05.2020 67 0

  Тест создан для определения уровня усвоения знаний по теме «Арифметическая прогрессия».

• Геометрическая прогрессия

  19. 05.2020 315

  Тест предназначен для проверки знаний по теме «Геометрическая прогрессия». По материалам к учебнику А.Г.Мерзляк и др. «Геометрия 9».

• 9 кл Алгебра. Підсумкова контрольна робота

  20.05.2020 33 0

  тест включає в себе завдання з усіх розділів курсу алгебри 9 кл: нерівності, квадратична функція, числові послідовності, основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

• ОГЭ математика (№5)

  21.05.2020 81 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• Тест по алгебре. Подготовка к ОГЭ.

  30.05.2020 31 0

  Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. В тесте 11 задач из Открытого банка задач ОГЭ .

• Тест по алгебре. Подготовка к ОГЭ.

  31.05.2020 415 0

  Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. п и ее графики

  16.11.2020 599 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса. Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, умением соотнести функцию с ее значениями.

• Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичная функция и ее график»

  19.11.2020 533 0

  Данный тест состоит из различного рода заданий и следующих тем «Квадратичная функция», «Корень т-степени» и «Степень с рациональным показателем». Читайте внимательно задания и решайте задания

• Целое уравнение и его корни

  23. 11.2020 732 0

  Данный тест «Целое уравнение и его корни» содержит вопросы с вводом ответов с клавиатуры.  Для разделения десятичной части используйте запятую. 

• Уравнения ( введение новой переменной)

  23.11.2020 539 0

  Тест предназначен для решения уравнений способом замены. Вам необходимо ввести новую переменную, и решить уравнения. Ответы записываем через точку с запятой, начиная с меньшего корня НАПРИМЕР -2; 4; 6 

• Образовательный тест

  23.11.2020 203 0

  Предлагаю Вам пройти данный тест для проверки знаний учащихся 9 классов (задание №6 и задание №19). Тест онлайн, 9 класс, который вы можете использовать в своей работе для проверки знаний или тренировки навыков по различным темам. Данный тест бесплатный и не требуют регистрации на сайте. Вы также можете использовать этот сервис для создания своих тестов и получения результатов их выполнения в виде удобной таблицы. 

• Дробно — рациональные уравнения

  27.11.2020 1643 0

  В данном тесте содержатся вопросы разного уровня. При выполнении зданий следуйте коментариям предложенным к этим заданиям.

• Элементы статистики и теории вероятностей 9 класс

  09.02.2021 817 0

  Примерный вариант контрольной работы для общеобразовательного класса

• 9 класс.

  Прогрессии на ОГЭ

  24.02.2021 912 0

  Тест составлен из прототипов задания № 14 ОГЭ из открытого банка ФИПИ раздела «Числовые проследовательности». Всего 8 заданий (генерируется 4 варианта). Количество попыток — 3.

• 9 класс. Неравенства на ОГЭ. Задание №13.

  11.04.2021 1585 0

  Тест составлен из задач открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ, раздел «Уравнения и неравенства», предназначен для подготовки к ОГЭ. 17 заданий (каждое генерируется в 10 вариантах)

• Числовые последовательности для ОГЭ (версия 2021)

  11. 04.2021 152 0

  Тест составлен по материалам ФИПИ, предоставленным в свободный доступ. Включает 10 разнообразных заданий по арифметической и геометрической прогрессиям. 

• Задачи на смеси и сплавы

  23.11.2021 78 0

  Данный тест предназначен  для самопроверки учеников 8-11 классов, по теме: «Задачи на смеси, сплавы и растворы»

• 9 класс Итоговый тест

  06.01.2022 173 0

  Данный тест может быть использован как обычная контрольная работа, как подготовительные к контрольным и как тренировочная работа. Также отест полезен для самоподготовки и самоконтроля. Тест содержит задания по всем основным темам курса алгебры 9 класс. Может быть использован при работе с любым УМК.

• Вычислить без программ и калькулятора

  12.01.2022 9 0

  Тест предназначен для учеников 9-11 классов для проверки  умения нестандартных вычислений. Тест требует следующих знаний и умений: 1) введение новой(-ых) переменной (-ых) 2) разложения многочлена на множители 3) свойств квадратичного трехчлена 4) нахождение целых корней многочлена   Дан пример решения вначале каждого вопроса

• Вычислить без программ и калькулятора Часть 2

  16. 01.2022 19 0

  Тест предназначен для учеников 9-11 классов для проверки  умения нестандартных вычислений. Тест требует следующих знаний и умений: 1) введение новой(-ых) переменной (-ых) 2) разложения многочлена на множители 3) свойств квадратичного трехчлена 4) нахождение целых корней многочлена   Дан пример решения вначале каждого вопроса

• теория вероятности 9 класс

  09.02.2022 94 0

  Тест по теме «Теория вероятности» для проверки знатий по теме для учащихся 9 класса.

• ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

  07.04.2022 83 0

  Тест по теории вероятности. Содержит 6 заданий, может использоваться для подготовки к ОГЭ  по математике. 

• Тригонометрические выражения

  02.10.2022 1 0

  Тест состоит из 13 заданий. На выполнение теста отводится 15 минут. Максимальный балл — 22. В соответствии с набранным количеством баллов выставляется отметка от «1» до «9», где «9» — высшая оценка.  

Алгебра. 9 класс. Поурочные планы по учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюк

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Примерное поурочное планирование по алгебре в 9 классе 4
Глава I КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ 6
§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Тема (п. 1): Функция. Область определения и область значении функции 6
Урок I 6
Урок 2 9
Урок З 11
Тема (и. 2): Свойства функции 12
Урок 4 13
Урок 5 14
Урок 6 18
Тема (п. 3): Квадратный трехчлен и его корни 21
Урок 7 21
Тема (и. 4): Разложение квадратного трехчлена на множители 26
Урок 8 27
Урок 9 31
Урок 10 34
§ 3 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Тема (п. 5): Функция >’ = ах2, ее график и свойства 40
Урок 11 40
Урок 12 43
Тема (п. 6): Графики функций \’ = алг + п пу = а(х-т)г 45
Урок 13 45
Урок 14 48
Тема (и. 7): Построение графика квадратичной функции 49
Урок 15 50
Урок 16 52
Урок 17 55
Урок 18. Контрольная работа № 1 56
§ 4. НЕРАВЕНСТВО С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Тема (п. 8): Решение неравенств второй степени с одной переменной 66
Урок 19 66
Урок 20 68
Урок 21 70
Тема (и. 9): Решение неравенств методом интервалов 74
Урок 22 74
Урок 23 76
Урок 24 77
Решение задач 80
Урок 25 (итоговый) 80
Глава II. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 84
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Тема (п. 10): Целое уравнение и его корни 84
Урок 26 84
Урок 27 86
Тема (п. 11): Уравнения, приводимые к квадратным 87
Урок 28 87
Урок 29 88
Урок 30 90
Урок 31. Контрольная работа Лг 2 91
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Тема (п. 12): Графический способ решения систем уравнении 101
Урок 32 102
Урок 33 ЮЗ
Урок 34 104
Урок 35 108
Тема (п. 13): Решение систем уравнений второй степени 110
Урок 36 110
Урок 37 112
Урок 38 113
Урок 39 115
Тема (п. 14): Решение задач с помощью систем уравнений второй степени 116
Урок 40 116
Урок 41 119
Урок 42 120
Урок 43 122
Урок 44. Контрольная работа № 3 122
ПОВТОРЕНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 126
Урок 45 126
Урок 46 128
Урок 47 131
Глава III. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 132
§ 7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Тема (п. 15): Последовательности 132
Урок 48 132
Тема (п. 16): Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии 134
Урок 49 134
Урок 50 135
Урок 51 138
Тема (п. = д* 183
Урок 64 183
§ 10. КОРЕНЬ л-й СТЕПЕНИ
Тема (п. 23): Определение корня н-й степени 184
Урок 65 185
Урок 66 188
Урок 67. Контрольная работа №6 189
Глава V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 194
§ 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА
Тема (п. 28): Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса 194
Урок 68 195
Урок 69 197
Тема (и. 29): Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса 200
Урок 70 » 201
Урок 71 205
Тема (п. 30): Радианная мера угла 209
Урок 72 «. 210
§ 13. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 
Тема (п. 31): Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 213
Урок 73 213
Урок 74 216
Урок 75 219
Урок 76 221
Тема (п. 32): Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений 223
Урок 77 223
Урок 78 225
Урок 79 229
Урок 80 230
Урок 81. Контрольная работа Л» 7 234
ПОВТОРЕНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 239
Урок 82 239
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ 240
ПОВТОРЕНИЕ: АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 241
Урок 83 241
Урок 84 244
Урок 85 248
Урок 86 252
ПОВТОРЕНИЕ: УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 256
Урок 87 256
Урок 88 259
ПОВТОРЕНИЕ: ЗАДАЧИ 262
Урок 89 262
Урок 90 265
Урок 91 267
ПОВТОРЕНИЕ: НЕРАВЕНСТВА 268
Урок 92 268
Урок 93 270
Урок 94 273
ПОВТОРЕНИЕ: ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 275
Урок 95 275
Урок 96 277
Урок 97 278
Итоговая контрольная работа
Уроки 98-99 279
Анализ контрольной работы
Урок 100 287
ПОВТОРЕНИЕ: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 288
Урок 101 288
Урок 102 (заключительный). Подведение итогов года 291
Приложения 291
Литература 312

Скачать 2008 г.

В данном пособии представлено примерное поурочное планирование, составленное в соответствии с учебником: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Ллгебра-9 М: Просвещение, 2005. В разработках планов уроков содержится теоретический материал курса алгебры 9 класса, даются примеры, задачи и рассматриваются способы их решения, предлагаются задания для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся, а также контрольные работы, тесты. Дополнительно приводятся начальные сведения из теории вероятностей, решения комбинаторных задач.

Пособие предназначено учителям-предметникам в помощь при подготовке и проведении уроков математики в 9 классе общеобразовательной школы. Может быть полезно студентам педагогических вузов, слушателям ИПК.

Контрольные работы по алгебре ( 9 класс)

ВВОДНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО АЛГЕБРЕ 9 КЛАСС

1 уровень

1. Упростите выражение: : .

2. Решите уравнение: 2х²+3х – 5 = 0.

3. Р ешите систему неравенств: х – 1

11х + 13 х + 3.

1. Упростите выражение: 2 .

2. Р ешите систему уравнений: 2х – 3у = 1,

3х + у = 7.

2 уровень.

1. Упростите выражение: .

2. Решите уравнение: 6(10-х)(3х+4) = 0.

3. Р ешите систему неравенств: 5х + 12 ≤ 3х + 7,

х

2х + 7 ≥ 0.

1. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной: а⁷(а^-5)² . а = .

2. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению, затратив на весь путь 14ч. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

3. * Найдите значение выражения: а² — 6 а – 1 при а = + 4.

4. * При каких значениях х не имеет смысла выражение: .

Контрольная работа №1

Функции и их свойства

Вариант 1

А1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

А2. Найдите нули функции .

А3. Разложите на множители квадратный трехчлен:

А 4. Сократите дробь: .

__________________________________________

В1. Область определения функции , график которой изображен на рисунке, – отрезок [-5;4]. Найдите нули функции, промежутки убывания и возрастания, Область значений функции.

______________________________________________________________________

Контрольная работа №1

Функции и их свойства

Вариант 2

А1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

А2. Найдите нули функции .

А3. Разложите на множители квадратный трехчлен:

А 4. Сократите дробь: .

___________________________________________

В1. Область определения функции , график которой изображен на рисунке, – отрезок

[-5;4]. Найдите нули функции, промежутки убывания и возрастания, область значений функции.

Контрольная работа №2

Квадратичная функция

Вариант 1

А1. Найдите значение квадратичной функции

А2. Найдите наименьшее значение функции

А3. Постройте график функции .

Определите:

а) значения х, при которых функция возрастает; убывает;

б) нули функции;

г) значения х, при которых функция отрицательна; положительна.

________________________________________

В1. Найдите область значений функции , где .

В2. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

______________________________________________________________________

Контрольная работа №2

Квадратичная функция

Вариант 2

А1. Найдите значение квадратичной функции

А2. Найдите наибольшее значение функции

А3. Постройте график функции .

Определите:

а) значения х, при которых функция возрастает; убывает;

б) нули функции;

г) значения х, при которых функция отрицательна; положительна.

________________________________________

В1. Найдите область значений функции , где .

В2. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Контрольная работа №3

Уравнения и неравенства с одной переменной

Вариант 1

А1. Решите уравнение:

.

А2. Решите неравенства:

_______________________________________________________________

В1. Решите уравнение .

В2. Решите уравнение

________________________________________________________________

C1. Решить уравнение .

Нормы оценок: «3»- любые 3А(из 6 заданий), 4» — 2А + 1В, «5» — 2А + 2В или 2А + 1С.

Контрольная работа №3

Уравнения и неравенства с одной переменной

Вариант 1

А1. Решите уравнение:

.

А2. Решите неравенства:

.

_______________________________________________________________

В1. Решите уравнение .

В2. Решите уравнение

________________________________________________________________

C1. Решить уравнение .

Нормы оценок: «3»- любые 3А(из 6 заданий), 4» — 2А + 1В, «5» — 2А + 2В или 2А + 1С.

Контрольная работа №4

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Вариант 1

А1. Решите систему уравнений: а) б)

А2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40м². Найдите стороны прямоугольника.

А3. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства .

А4. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства

_________________________________________

В1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы и прямой .

Нормы оценок: «3»- любые 3А(из 5 заданий), 4» — 5А, «5» — 4А + 1В.

Контрольная работа №4

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Вариант 1

А1. Решите систему уравнений: а) б)

А2. Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см².

А3. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства .

А4. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства

_________________________________________

В1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы и прямой .

Нормы оценок: «3»- любые 3А(из 5 заданий), 4» — 5А, «5» — 4А + 1В.

Контрольная работа №5

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Вариант 1

А1. Выпишите три следующих члена арифметической прогрессии:

а) 13; 10; …; б) 2х; 3х + 2; …

А2. Найдите четвертый член геометрической прогрессии,

если b₁ = 8, q = 0,5.

A3. Найдите сумму 29 первых членов арифметической прогрессии (а_n),

если а₁ = 18,7; а₂₉ = -19,6.

А4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии -32; 64; …

_______________________________________________________________

В1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

-40; 30; -22,5; …

________________________________________________________________

C1. Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую прогрессию

Нормы оценок:

«3»- любые 4А(из 5 заданий), 4» — 3А + 1В, «5» — 5А + 1В или 2А + 1В + 1С.

Контрольная работа №5

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Вариант 2

А1. Выпишите три следующих члена геометрической прогрессии:

а) 4; -6; …; б) .

А2. Найдите 18-тый член арифметической прогрессии,

если а₁ =5,6, d = 0,6.

A3. Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (b_n),

если b₁ = 5; b₃ = 80.

А4. Найдите разность арифметической прогрессии -12; -14; …

_______________________________________________________________

В1. Найдите сумму всех нечетных натуральных чисел от 37 до 113 включительно.

________________________________________________________________

C1. Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую прогрессию

Нормы оценок:

«3»- любые 4А(из 5 заданий), 4» — 3А + 1В, «5» — 5А + 1В или 2А + 1В + 1С.

Контрольная работа №6

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Вариант 1

А1. Сколькими способами можно разместить 5 различных книг на полке?

А2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

А3. В классе 20 учеников. Нужно выбрать 8 человек для участия в школьных конкурсах. Сколькими способами это можно сделать?

А4. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет менее 2 очков?

_________________________________

В1. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Нормы оценок: «3»- любые 3А, 4» — 4А, «5» — 4А + 1В.

_____________________________________________________________________________

Контрольная работа №6

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Вариант 2

А1. Сколькими шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторения цифр?

А2. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9?

А3. В классе 15 учеников. Нужно выбрать 2 дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать?

А4. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет 6 очков?

_________________________________

В1. Из 9 ручек и 6 карандашей надо выбрать 2 ручки и 3 карандаша. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Нормы оценок: «3»- любые 3А, 4» — 4А, «5» — 4А + 1В.

Контрольная работа №7

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

А1. Решите уравнение: .

А2. Вычислите:

А3. Решите систему уравнений:

А4. Найдите область определения функции

А5. Решите неравенство:

_______________________________________________________________

В1. Решите уравнение .

________________________________________________________________

C1. Решите систему уравнений: .

Нормы оценок:

«3»- любые 3А, 4» — 3А + 1В, «5» — 5А + 1В или 3А + 1В + 1С.

Контрольная работа №7

Итоговая контрольная работа

Вариант 2

А1. Решите уравнение: .

А2. Упростите выражение:

А3. Решите систему уравнений:

А4. Найдите область определения функции

А5. Решите неравенство:

_______________________________________________________________

В1. Решите уравнение .

________________________________________________________________

C1. Решите систему уравнений: .

Нормы оценок:

«3»- любые 3А, 4» — 3А + 1В, «5» — 5А + 1В или 3А + 1В + 1С.

Как найти диапазон — Алгебра 1

Все ресурсы Алгебры 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 12 13 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Статистика и вероятность » Как найти диапазон

Мы хотим создать трехзначный код для кодового замка. Допускаются только цифры от 0 до 9, и цифры могут повторяться. Сколько таких кодов можно сгенерировать?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Первая позиция может быть заполнена 10 способами, и, поскольку разрешено повторение, 2-я позиция может быть заполнена 10 способами, и точно так же третья позиция может быть заполнена 10 способами, что дает нам правильный ответ

Сообщить об ошибке

Вам дан следующий набор номеров:

2, 8, 3, 6, 9, 10, 5

Найти диапазон.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диапазон представляет собой разницу между самым низким и самым высоким числом в наборе чисел.

Наименьшее число в наборе чисел равно 2, а наибольшее число равно 10. Таким образом, диапазон вычисляется как

Таким образом, диапазон равен 8.

Сообщить об ошибке

Оценка:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Это комбинированная проблема. Все, что нам нужно для решения этой задачи, — это формула комбинации:

Теперь

и

Вместо того, чтобы искать ответы для всех этих факториалов, обратите внимание, что они имеют много одинаковых членов и поэтому могут быть отменены.

 

Сообщить об ошибке

Учитель оценивает тесты и записывает результаты в свои записи. Очки записываются следующим образом: 81, 91, 83, 88, 74, 98, 81, 94, 68, 92, 77, 79, 83, 91, 81, 84, 85, 81, 85, 79, 83, 81. , 83.

Какой диапазон?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диапазон статистики — это просто разница между наибольшим и наименьшим значением.

Наибольшее число в наборе — 98, а наименьшее — 68.

Вычтите, чтобы найти диапазон:

Сообщить об ошибке

Учитывая набор тестов, каков диапазон?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диапазон — это разница между наименьшим и наибольшим числом. Наименьшее значение — 77, а наибольшее — 9.8.

98 – 77 = 21

Сообщить об ошибке

Диапазон следующего набора данных – 18. Какое возможное значение для ?

Возможные ответы:

Нельзя определить

Правильный ответ:

Объяснение:

Расположите известные значения в наборе в числовом порядке: {–5, –2, 1, 3, 5, 7, 7, 10}. Диапазон — это разница между наибольшим значением и наименьшим значением.

x должно быть либо наибольшим, либо наименьшим значением в наборе.

диапазон = x – наименьшее значение

18 = x – (–5)

18 = x + 5

13 = x

ИЛИ

диапазон = наибольшее значение – x

–50 x

18 = 8 = –x

–8 = x

Сообщить об ошибке

На приведенной выше диаграмме показана конкретная неделя работы в рекламной фирме. Каков диапазон почасовых ставок рабочих?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диапазон представляет собой разницу между наибольшим и наименьшим значением.

Сообщить об ошибке

Каков диапазон набора?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диапазон определяется как разница между наибольшим и наименьшим числом в наборе. Здесь наибольшее число – , а наименьшее – .

Таким образом, диапазон равен

 

 – мода,  – среднее значение, а 6 – медиана.

Сообщить об ошибке

В наборе чисел какой диапазон?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы определить диапазон этого набора данных, возьмите наибольшее число и вычтите из него наименьшее число.

Самое большое число в наборе — десять.

Наименьшее число в наборе .

Вычесть оба числа.

Сообщить об ошибке

Найдите диапазон следующего набора чисел.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вычтите наименьшее число (4) из наибольшего (52), чтобы получить 48.

 

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 12 13 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Использование перестановок для расчета вероятностей

Перестановки в теории вероятностей и других разделах математики относятся к последовательностям результатов, порядок которых имеет значение. Например, 9-6-8-4 — это перестановка четырехзначного PIN-кода, потому что порядок цифр имеет решающее значение. При расчете вероятностей часто необходимо вычислить количество возможных перестановок, чтобы определить вероятность события.

В этом посте я объясняю перестановки и показываю, как рассчитать количество перестановок как с повторением, так и без повторения. Наконец, мы рассмотрим пошаговый пример задачи, в которой используются перестановки для вычисления вероятности.

Определение перестановок по сравнению с комбинациями

Перестановки и комбинации могут звучать как синонимы. Однако в теории вероятностей они имеют разные определения.

• Комбинации : Порядок исходов не имеет значения.
• Перестановки : Порядок результатов имеет значение.

Например, пицца может состоять из трех начинок: пепперони, ветчины и грибов. Порядок не имеет значения. Например, используя буквы для начинки, вы можете получить PHM, PMH, HPM и так далее. Для человека, который ест пиццу, это не имеет значения, потому что у вас есть одна и та же комбинация трех начинок. Другими словами, порядок этих трех букв не имеет значения, и они образуют одну комбинацию.

Этот тип блокировки следует называть блокировкой перестановки, потому что порядок цифр имеет значение!

Однако представьте, что мы используем эти буквы для слабого пароля. В этом случае порядок имеет решающее значение, что делает их перестановками. PHM, PMH, HPM и т. д. являются различными перестановками. Если пароль PHM, войти в HPM не получится. Когда у вас есть как минимум две перестановки, количество перестановок больше, чем количество комбинаций. Узнайте больше о различиях между перестановкой и комбинацией.

В этом посте я работаю только с перестановками. Чтобы узнать о комбинациях, прочитайте мой пост «Использование комбинаций для расчета вероятностей».

Перестановки с повторением

Когда результаты перестановки могут повторяться, статистики называют это перестановкой с повторением. Например, в четырехзначном PIN-коде можно повторять такие значения, как 1-1-1-1. Аналитики также называют это перестановками с заменой.

Чтобы вычислить количество перестановок, возьмите количество возможностей для каждого события, а затем умножьте это число на себя X раз, где X равно количеству событий в последовательности. Например, в четырехзначном PIN-коде каждая цифра может находиться в диапазоне от 0 до 9., что дает нам 10 вариантов для каждой цифры. У нас есть четыре цифры. Следовательно, количество перестановок с повторением для этих ПИНов = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Математически мы запишем это как n ^r .

Где:

• n = количество возможных исходов для каждого события. Например, n = 10 для примера PIN.
• r = размер каждой перестановки. Например, r = 4 для четырехзначного вывода.

Представьте, что класс с 15 детьми может выбрать одно печенье из пяти видов: имбирное, сахарное, шоколадное, мятное и арахисовое. Куки-файлов достаточно, чтобы они могли свободно выбирать любой тип. Сколько возможных перестановок файлов cookie существует?

В этом примере

• n = 5, поскольку существует пять возможных вариантов файлов cookie.
• r = 15, потому что в классе 15 учеников, что составляет размер перестановки.

Следовательно, 5 ¹⁵ = 30 517 578 125 перестановок с повторением. Это более 30 миллиардов перестановок!

Если бы вы сделали случайные предположения о выборе печенья всеми 15 детьми, у вас была бы вероятность 1/30 517 578 125 правильно угадать выбор для всего класса! Это предполагает, что у вас нет инсайдерской информации о предпочтениях каждого ребенка в отношении файлов cookie! Я думаю, тебе больше повезет в лотерее!

Связанный пост : Основы вероятности

Перестановки без повторения

Когда результаты не могут повторяться, статистики называют их перестановками без повторения. Такая ситуация часто возникает, когда вы работаете с уникальными физическими объектами, которые могут встречаться только один раз в перестановке. Представьте, что у вас есть 10 разных книг, и вы хотите посчитать, сколькими возможными способами вы можете расположить их на книжной полке. После того, как вы поместите первую книгу, вторая книга должна быть другой книгой. Следовательно, это пример перестановок без повторения. Аналитики также называют это перестановками без замены.

Для первой книги у вас есть 10 книг на выбор. Для второй книги у вас есть девять. Есть восемь вариантов третьей книги и так далее. Как и раньше, этот процесс включает в себя умножение количества возможных результатов. Однако мы должны уменьшать количество исходов для каждого последующего события.

Математически мы рассчитали бы перестановки для примера с книгой, используя следующий метод:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800

Существует 3 628 800 комбинаций для заказа 10 книг на полке без повторения книг.

Ух ты! Бьюсь об заклад, вы не понимали, что у нас так много возможностей с 10 книгами. Я буду придерживаться алфавитного порядка!

Использование факториалов для перестановок

Когда вы умножаете все числа от 1 до n, получается факториал. В примере с книгой мы умножали все числа от 1 до 10. Вместо того, чтобы использовать длинную строку умножения, вы можете записать ее как 10! и прочитайте его как 10 факториал.

В общем, н! равно произведению всех чисел до n. Например, 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Исключение 0! = 1, что упрощает уравнения.

Факториалы являются ключевыми понятиями для перестановок без повторения. Количество перестановок для n уникальных объектов равно n!. Это число растет как снежный ком по мере увеличения количества элементов, как показано в таблице ниже.

Частичные перестановки без повторения

В некоторых случаях требуется рассмотреть только часть возможных перестановок. В примере с книжной полкой мы хотели узнать общее количество книг для 10. Но что, если бы мы могли разместить только пять из 10 книг на полке? Сколько перестановок пяти книг возможно, используя наши 10 книг?

Используйте следующую формулу для расчета количества комбинаций r элементов из n предметов. Есть несколько стандартных методов, которые статистики используют для обозначения перестановок без повторений, которые я покажу ниже с помощью формулы.

Где:

• n = количество уникальных предметов. Например, n = 10 для примера с книгой, потому что книг 10.
• r = размер перестановки. Например, r = 5 для пяти книг, которые мы хотим разместить на полке.

Это уравнение работает как для полных, так и для частичных наборов перестановок без повторений, в зависимости от значений, которые вы вводите в уравнение. Для полных комплектов n = r. Кроме того, r не может быть больше n, поскольку повторений нет.

Например, у нас есть 10 книг, но мы можем поставить на полку только пять. В первой книге по-прежнему 10 вариантов. Однако для размещения второй книги у нас есть только девять вариантов, потому что мы уже разместили одну. У нас есть восемь вариантов для третьей книги и так далее, пока мы не разместим пятую книгу. Математически мы запишем это следующим образом для пяти книг:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30 240

Существует 30 240 вариантов размещения пяти книг из наших 10 на полке.

Использование уравнения для расчета количества перестановок

Теперь мы будем использовать формулу для расчета этого примера. Опять же, мы будем использовать n=10 и r=5.

Обратите внимание, как 5! гасит себя в дроби? Это оставляет нас с 10 * 9 * 8 * 7 * 6, которые у нас были раньше.

Вот как работает уравнение. Числитель вычисляет полное количество перестановок для всех уникальных элементов. Знаменатель отменяет перестановки, которые нас не интересуют. В примере с книгой знаменатель отменяет перестановки с более чем пятью книгами.

Используя одну форму записи, мы запишем эту задачу как P (10, 5) = 30 240.

Рабочий пример использования перестановок для расчета вероятностей

Если вам дали задачу вероятности, в которой используются перестановки, вам необходимо выполнить следующие шаги, чтобы решить эту проблему.

1. Установите коэффициент для определения вероятности.
2. Определите, требуют ли числитель и знаменатель комбинации, перестановки или смесь? В этом посте мы будем придерживаться перестановок.
3. Это перестановки с повторениями, без или смешанные?
4. Оба типа повторения требуют, чтобы вы определили n и r, чтобы войти в уравнения.

Задача : Какова вероятность того, что четырехзначный PIN-код не содержит повторяющихся цифр?

Этот вопрос основан на нескольких примерах в этом посте.

Давайте настроим наше соотношение для вероятности. В этом примере мы можем использовать следующее соотношение интересующих событий и общего количества событий.

Числитель

Давайте займемся числителем. Нам нужно найти количество четырехзначных PIN-кодов, которые не имеют повторяющихся цифр. Это перестановка, потому что важен порядок, и она не повторяется, потому что у нас не может быть повторов. Давайте отождествим n и r. Мы будем использовать n=10, потому что для первого элемента доступно 10 цифр, и r=4, потому что мы обсуждаем четырехзначные PIN-коды.

Подставим это в уравнение для перестановок без повторений, чтобы вычислить числитель:

Знаменатель

Для знаменателя нам нужно вычислить все возможные перестановки для четырехзначных PIN-кодов с повторами. Нам нужно ввести наши n и r в уравнение для перестановок с повторами.

n ^r = 10 ⁴ = 10 000

Следовательно, вероятность четырехзначного PIN-кода без повторяющихся цифр равна следующему:

Чуть более половины всех четырехзначных PIN-кодов имеют повторяющиеся значения.

Задача о днях рождения — классическая вероятностная задача. Какая наименьшая по размеру группа имеет более 50% вероятности того, что люди имеют общий день рождения? Для решения этой задачи используются аналогичные методы. Прочитайте мой пост о решении проблемы с днем ​​​​рождения, чтобы узнать!

Свободное владение языком без страха — YouCubed

Скачать PDF

Джо Боалер, профессор математического образования, соучредитель youcubed

С помощью Кэти Уильямс, соучредителя youcubed, и Аманды Конфер, Стэнфордский университет

Обновлено 28 января 2015 г.

Введение

Несколько лет назад британский политик Стивен Байерс допустил в интервью безобидную ошибку. Достопочтенного министра попросили дать ответ на 7 x 8, и он дал ответ 54 вместо правильных 56. Его ошибка вызвала широкомасштабные насмешки в национальных СМИ, сопровождаемые призывами к усилению акцента на «таблице умножения». заучивание в школах. В сентябре прошлого года консервативный министр образования Англии, человек без опыта образования, настоял на том, чтобы все учащиеся в Англии выучили все свои таблицы умножения до 12 x 12 к 9 годам.. Это требование теперь включено в учебную программу по математике в Великобритании и, как я предсказываю, приведет к повышению уровня беспокойства по поводу математики и к рекордному количеству учащихся, отказывающихся от математики. США движутся в противоположном направлении, поскольку новые стандарты Common Core State Standards (CCSS) принижают значение механического запоминания математических фактов. К сожалению, неправильное толкование значения слова «беглость» в CCSS является обычным явлением, и издатели продолжают делать упор на механическое заучивание, поощряя сохранение вредной практики в классе в Соединенных Штатах.

Математические факты важны, но запоминание математических фактов с помощью повторения таблицы умножения, практики и тестирования на время не нужно и вредно. Ошибка английского министра, когда его спросили 7 x 8, вызвала призывы к большему запоминанию. Это было иронично, поскольку его ошибка выявила ограничения запоминания без «чувства числа». Люди с чувством числа — это те, кто может гибко использовать числа. Когда кого-то с чувством числа просят решить 7 x 8, он может запомнить 56, но он также сможет понять, что 7 x 7 равно 49.а затем добавить 7, чтобы получить 56, или они могут получить десять семерок и вычесть две семерки (70-14). Им не придется полагаться на далекие воспоминания. Математические факты сами по себе являются небольшой частью математики, и лучше всего их усваивают, используя числа в разных ситуациях и в различных ситуациях. К сожалению, многие классы сосредотачиваются на математических фактах непродуктивным образом, создавая у учащихся впечатление, что математические факты – это суть математики, и, что еще хуже, быстрое запоминание математических фактов – это то, что значит быть сильным студентом-математиком. Обе эти идеи неверны, и очень важно, чтобы мы удалили их из классных комнат, поскольку они играют большую роль в появлении тревожных и недовольных математикой учащихся.

Полезно запомнить некоторые математические факты. Я не останавливаюсь и не думаю об ответе на 8 плюс 4, потому что знаю этот математический факт. Но я изучал математические факты, используя их в различных математических ситуациях, а не практикуя их и проверяя их. Я вырос в прогрессивную эпоху Англии, когда начальные школы были ориентированы на «всего ребенка», и мне не давали таблицы сложения, вычитания или умножения фактов для запоминания в школе. Это никогда не останавливало меня ни в какое время и ни в каком месте моей жизни, даже несмотря на то, что я профессор математического образования. Это потому, что у меня есть чувство числа, что гораздо важнее для учащихся, и это включает в себя изучение математических фактов наряду с глубоким пониманием чисел и того, как они связаны друг с другом.

Чувство числа

В рамках критического исследовательского проекта исследователи изучали студентов, решивших числовые задачи (Gray & Tall, 1994). Учащиеся в возрасте от 7 до 13 лет были определены учителями как учащиеся с низкой, средней или высокой успеваемостью. Исследователи обнаружили важную разницу между учащимися с низкой и высокой успеваемостью: учащиеся с высокой успеваемостью использовали чувство числа, а учащиеся с низкой успеваемостью — нет. Успешные учащиеся подошли к таким задачам, как 19 + 7, изменив задачу, например, на 20 + 6. Ни один ученик, который был номинирован как слабоуспевающий, не использовал чувство числа. Когда учащимся с низкой успеваемостью давали задачи на вычитание, такие как 21–16, они считали в обратном порядке, начиная с 21 и заканчивая обратным отсчетом, что чрезвычайно сложно сделать. Учащиеся с высокими показателями использовали такие стратегии, как изменение чисел на 20–15, что намного проще. Исследователи пришли к выводу, что малоуспевающие часто являются малоуспешными не потому, что они меньше знают, а потому, что они не используют числа гибко — они были поставлены на неверный путь, часто с раннего возраста, пытаясь запомнить методы вместо того, чтобы взаимодействовать с числами. гибко (Боалер, 2009 г.). Этот неправильный путь означает, что они часто изучают сложную математику и, к сожалению, часто сталкиваются с математическими проблемами всю жизнь.

Чувство чисел лежит в основе всей математики более высокого уровня (Feikes & Schwingendorf, 2008). Когда студенты терпят неудачу по алгебре, это часто происходит потому, что у них нет чувства числа. Когда учащиеся работают над сложными математическими задачами, такими как те, которые мы приводим в конце этой статьи, у них развивается чувство числа, а также они изучают и запоминают математические факты. Когда учащиеся сосредотачиваются на запоминании таблицы умножения, они часто запоминают факты, не имея представления о числах, а это означает, что они очень ограничены в своих возможностях и склонны совершать ошибки, например ту, которая вызвала общенациональные насмешки над британским политиком. Отсутствие чувства числа привело к более катастрофическим ошибкам, например, к тому, что телескоп Хаббл пропустил звезды, которые он должен был сфотографировать в космосе. Телескоп искал звезды в определенном скоплении, но потерпел неудачу из-за того, что кто-то допустил арифметическую ошибку в программировании телескопа (LA Times, 1990). Чувство чисел, критически важное для математического развития учащихся, подавляется чрезмерным упором на запоминание математических фактов в классе и дома. Чем больше мы делаем упор на запоминание учащихся, тем меньше у них желания думать о числах и их отношениях, а также использовать и развивать чувство чисел (Boaler, 2009).

Мозг и чувство числа

Некоторые учащиеся не так хорошо запоминают математические факты, как другие. Это то, что нужно праздновать, это часть прекрасного разнообразия жизни и людей. Представьте, как скучно и скучно было бы, если бы учителя давали тесты по математике и все отвечали бы на них одинаково и с одинаковой скоростью, как если бы все они были роботами. В недавнем исследовании мозга ученые исследовали мозг учащихся, когда их учили запоминать математические факты. Они увидели, что некоторые ученики запоминают их гораздо легче, чем другие. Это не будет сюрпризом для читателей, и многие из нас, вероятно, предположили бы, что те, кто запоминал лучше, были более успешными или «более умными» учениками. Но исследователи обнаружили, что учащиеся, которые лучше запоминали, не имели более высоких достижений, у них не было того, что исследователи назвали более «математическими способностями», и у них не было более высоких показателей IQ (Supekar et al, 2013). Единственные различия, которые обнаружили исследователи, заключались в области мозга, называемой гиппокампом, которая является областью мозга, отвечающей за запоминание фактов (Supekar et al, 2013). Некоторые учащиеся будут медленнее запоминать, но у них все еще есть исключительный математический потенциал. Математические факты составляют очень небольшую часть математики, но, к сожалению, учащиеся, которые плохо запоминают математические факты, часто приходят к выводу, что они никогда не смогут добиться успеха в математике, и отворачиваются от предмета.

Учителя в США и Великобритании просят учащихся запоминать факты умножения, а иногда и факты сложения и вычитания, обычно потому, что в учебных стандартах указано, что учащиеся должны «свободно обращаться с числами». Пэриш, опираясь на Фоснот и Долк (2001), определяет беглость как «знание того, как число может быть составлено и разложено, и использование этой информации для гибкого и эффективного решения проблем» (Пэриш, 2014, стр. 159). Независимо от того, верим мы или нет, что беглость требует большего, чем простое запоминание математических фактов, данные исследований указывают в одном направлении: лучший способ развить беглость с числами — это развить чувство числа и работать с числами по-разному, а не слепо запоминать без смысл числа.

Когда учителя делают упор на запоминание фактов и дают тесты для измерения числа фактов, учащиеся страдают двумя важными способами. Примерно для трети учащихся начало тестирования на время является началом математической тревожности (Boaler, 2014). Сиан Бейлок и ее коллеги изучали мозг людей с помощью МРТ и обнаружили, что математические факты хранятся в области рабочей памяти мозга. Но когда учащиеся испытывают стресс, например, когда они отвечают на математические вопросы в условиях дефицита времени, рабочая память блокируется, и учащиеся не могут получить доступ к известным им математическим фактам (Beilock, 2011; Ramirez, et al, 2013). Когда учащиеся понимают, что они не могут хорошо выполнять тесты на время, у них начинает развиваться беспокойство, и их уверенность в математике ослабевает. Блокирование рабочей памяти и связанное с ним беспокойство особенно характерны для учащихся с более высокими показателями успеваемости и девочек. По самым скромным оценкам, по крайней мере треть учащихся испытывают сильный стресс в связи с контрольными работами на время, и это не учащиеся, принадлежащие к определенной группе успеваемости или экономическому происхождению. Когда мы подвергаем учащихся этому вызывающему тревогу опыту, мы теряем учащихся из математики.

В настоящее время тревожность по поводу математики регистрируется у учащихся в возрасте от 5 лет (Рамирез и др., 2013), и контрольные работы на время являются основной причиной этого изнурительного состояния, часто сохраняющегося на всю жизнь. Но есть и вторая, не менее важная причина, по которой нельзя использовать временные тесты — они побуждают многих учащихся отворачиваться от математики. На моих занятиях в Стэнфордском университете я сталкиваюсь со многими студентами, травмированными по математике, хотя они являются одними из самых успевающих студентов в стране. Когда я спрашиваю их, что случилось, что привело к их отвращению к математике, многие ученики говорят о тестах на время во втором или третьем классе как о главном поворотном моменте для них, когда они решили, что математика не для них. Некоторые учащиеся, особенно женщины, говорят о необходимости глубокого понимания, что является очень полезной целью, и о том, что глубокое понимание не ценится и не предлагается, когда тесты на время стали частью урока математики. Возможно, на уроках математики они выполняли другую, более полезную работу, сосредоточившись на осмыслении и понимании, но тесты на время вызывают такие сильные эмоции, что учащиеся могут поверить, что умение быстро справляться с математическими фактами и есть суть математики. Это крайне неудачно. Мы видим результат ошибочного упора школы на заучивание и тестирование в цифрах, выпадающих из математики, и в математическом кризисе, с которым мы сталкиваемся в настоящее время (см. www.youcubed.org). Когда моя собственная дочь начала запоминать таблицу умножения и тестировать ее в возрасте 5 лет в Англии, она начала приходить домой и плакать из-за математики. Это не та эмоция, которую мы хотим, чтобы учащиеся ассоциировали с математикой, и пока мы продолжаем заставлять учащихся быстро вспоминать факты, мы не сможем избавиться от широко распространенного беспокойства и неприязни к математике, которые пронизывают США и Великобританию (Silva & White, 2013). ; National Numeracy, 2014).

. В последние годы исследователи мозга обнаружили, что учащиеся, которые наиболее успешно справляются с задачами на числа, используют разные мозговые пути: один связан с числами и символами, а другой связан с более интуитивным и пространственным мышлением (Park & ​​Brannon, 2013). . В конце этой статьи мы даем множество упражнений, которые способствуют визуальному пониманию числовых фактов, чтобы задействовать важные мозговые связи. Кроме того, исследователи мозга изучали студентов, изучающих математические факты двумя способами — с помощью стратегий или запоминания. Они обнаружили, что два подхода (стратегии или запоминание) задействуют два различных пути в мозге и что оба пути идеально подходят для использования на протяжении всей жизни. Важно отметить, что исследование также показало, что те, кто учился с помощью стратегий, достигли «превосходной производительности» по сравнению с теми, кто запоминал, они решали задачи с той же скоростью и лучше переносили новые задачи. Исследователи мозга пришли к выводу, что автоматизм должен быть достигнут через понимание числовых отношений, достигаемое посредством размышлений о числовых стратегиях (Делазер и др. , 2005).

Почему к математике относятся по-разному?

Чтобы научиться хорошо изучать английский язык, читать и понимать романы или поэзию, учащиеся должны запомнить значения многих слов. Но ни один изучающий английский язык не скажет и не подумает, что изучение английского языка — это быстрое запоминание и быстрое припоминание слов. Это потому, что мы учим слова, используя их в самых разных ситуациях — в разговоре, чтении и письме. Учителя английского языка не дают учащимся сотни слов для запоминания, а затем проверяют их в заданных условиях. Все предметы требуют запоминания некоторых фактов, но математика — единственный предмет, по которому учителя считают, что их нужно проверять в условиях времени. Почему мы так относимся к математике?

У математики уже есть огромная проблема с изображениями. Студенты редко плачут по другим предметам, и при этом они не верят, что все остальные предметы связаны с запоминанием или скоростью. Использование методов обучения и воспитания, которые подчеркивают запоминание математических фактов, является основной причиной того, что учащиеся отключаются от математики. Многие люди будут утверждать, что математика отличается от других предметов, и она просто должна быть такой — что математика — это получение правильных ответов, а не интерпретация или смысл. Это еще одно заблуждение. Ядром математики является рассуждение — размышление о том, почему методы имеют смысл, и обсуждение причин использования различных методов (Boaler, 2013). Математические факты — это небольшая часть математики и, вероятно, наименее интересная часть. Конрад Вольфрам из Wolfram-Alpha, одной из ведущих мировых математических компаний, публично говорит о широте математики и о необходимости перестать рассматривать математику как расчет. Ни Вольфрам, ни я не утверждаем, что в школах не следует обучать счету, но необходимо изменить баланс, и учащиеся должны учиться считать с помощью чувства чисел, а также уделять больше времени слаборазвитым, но важным частям математики, таким как решение задач. и рассуждения.

Важно, обучая студентов смыслу чисел и фактам чисел, никогда не подчеркивать скорость. На самом деле это верно для всей математики. В математике распространено распространенное и вредное заблуждение — представление о том, что сильные ученики-математики — это быстрые ученики. Я работаю со многими математиками, и я замечаю в них одну вещь: они не очень быстро работают с числами, на самом деле некоторые из них довольно медленные. Это неплохо, они медлительны, потому что глубоко и тщательно думают о математике. Лоран Шварц, выдающийся математик, написал автобиографию о своих школьных годах и о том, как его заставляли чувствовать себя «глупым», потому что он был одним из самых медлительных математических мыслителей в своем классе (Schwartz, 2001). Ему потребовалось много лет ощущения себя неадекватным, чтобы прийти к заключению, что «быстрота не имеет точного отношения к интеллекту». Важно глубоко понимать вещи и их отношения друг к другу. Вот где кроется интеллект. Факт быстрого или медленного на самом деле не имеет значения». (Шварц, 2001) К сожалению, уроки математики, основанные на скорости и тестах, заставляют многих учеников, которые медленно и глубоко мыслят, таких как Шварц, полагать, что они не могут быть хороши в математике.

Математика «Свободное владение» и учебная программа

В США новая учебная программа Common Core включает беглость речи в качестве цели. Беглость возникает, когда у учащихся развивается чувство числа, когда они математически уверены, потому что понимают числа. К сожалению, слово «свобода» часто неправильно истолковывается. Учебная программа Engage New York, которая становится все более популярной в США, неправильно интерпретирует беглость речи следующим образом:

Свободное владение языком: Ожидается, что учащиеся будут иметь скорость и точность с простыми расчетами; учителя структурируют время занятий и/или домашнее задание, чтобы учащиеся запоминали посредством повторения основные функции, такие как таблицы умножения, чтобы они лучше понимали и манипулировали более сложными функциями . (Задействуйте Нью-Йорк)

У этой директивы много проблем. Скорость и запоминание — два направления, от которых нам срочно нужно отойти, а не навстречу. Столь же проблематично «Вовлечение Нью-Йорка» связывает запоминание числовых фактов с пониманием учащимися более сложных функций, что не подтверждается данными исследований. Исследования говорят нам, что учащиеся понимают более сложные функции, когда у них есть чувство числа и глубокое понимание числовых принципов, а не слепое запоминание или быстрое припоминание (Boaler, 2009).). В настоящее время я работаю с аналитиками PISA в ОЭСР. Команда PISA не только выпускает международные тесты по математике каждые 4 года, но и собирает данные о математических стратегиях учащихся. Их данные, полученные от 13 миллионов 15-летних подростков по всему миру, показывают, что ученики с самой низкой успеваемостью — это те, кто сосредотачивается на запоминании и считает, что запоминание важно при изучении математики (Boaler & Zoido, в печати). Эта идея зарождается рано в классах, и нам нужно ее искоренить. Самые высокие достижения в мире — это те, кто сосредотачивается на больших идеях в математике и связях между идеями. У учащихся развивается связанное представление о математике, когда они работают над математикой концептуально, а слепое запоминание заменяется осмыслением.

В Великобритании директивы имеют аналогичный потенциал вреда. В новой национальной учебной программе говорится, что все учащиеся должны «заучить свои таблицы умножения до 12 включительно» к 9 годам, и хотя учащиеся могут запоминать факты умножения до 12 x 12 с помощью насыщенных увлекательных занятий, эта директива побуждает учителей Дайте учащимся таблицу умножения, чтобы они запомнили ее, а затем проверили. Ведущая группа в Великобритании, возглавляемая детским писателем и поэтом Майклом Розеном, сформировалась, чтобы привлечь внимание к ущербу, наносимому текущей политикой в ​​школах, и к числу детей младшего школьного возраста, которые теперь ходят в школу в слезах из-за стресса, в котором они находятся. — тестирование (Гарнер, The Independent, 2014). Математика является основной причиной беспокойства и страха учащихся, а ненужное сосредоточение внимания на заученных математических фактах в ранние годы является одной из основных причин этого.

Упражнения для развития числовых фактов и числового смысла

Учителя должны помогать учащимся развивать математические факты, не подчеркивая факты ради фактов или используя «тесты на время», а поощряя учащихся использовать числа, работать с ними и исследовать их. По мере того, как учащиеся работают над осмысленными числами, они будут запоминать математические факты одновременно с пониманием чисел и математики. Они будут наслаждаться и изучать важную математику, а не запоминать, бояться и бояться математики.

Телефонные разговоры

Одним из лучших методов одновременного обучения чувству чисел и математическим фактам является обучающая стратегия под названием «Разговоры о числах», разработанная Рут Паркер и Кэти Ричардсон. Это идеальное краткое учебное задание, с которого учителя могут начинать уроки, а родители могут выполнять его дома. Он включает в себя постановку абстрактной математической задачи, такой как 18 x 5, и просьбу учащихся решить ее в уме. Затем учитель собирает различные методы и смотрит, почему они работают. Например, учитель может поставить 18 x 5 и обнаружить, что ученики решают задачу разными способами:

Студенты любят предлагать свои различные стратегии и обычно полностью вовлечены и очарованы различными возникающими методами. Учащиеся изучают математику в уме, у них есть возможность запоминать математические факты, а также они развивают концептуальное понимание чисел и арифметических свойств, которые имеют решающее значение для успеха в алгебре и не только. Родители могут использовать аналогичную стратегию, спрашивая о методах своих детей и обсуждая различные методы, которые можно использовать. Две книги, одна Кэти Хамфрис и Рут Паркер (в печати), а другая Шерри Пэриш (2014 г.), иллюстрируют множество различных разговоров о числах, над которыми можно работать со учащимися средней и начальной школы соответственно.

Исследования говорят нам, что лучшие классы математики — это те, в которых учащиеся изучают числовые факты и смысл чисел посредством увлекательных занятий, которые сосредоточены на математическом понимании, а не на механическом запоминании. Следующие пять видов деятельности были выбраны для иллюстрации этого принципа; в приложении к этому документу представлено больше заданий и ссылок на другие полезные ресурсы, которые помогут учащимся развить чувство числа.

Дополнительные действия по фактам

Snap It: Это задание, над которым дети могут работать в группах. Каждый ребенок составляет поезд из соединяющихся кубиков определенного числа. По сигналу «Щелк» дети разбивают свои поезда на две части и держат одну руку за спиной. Дети по очереди ходят по кругу, показывая оставшиеся кубики. Остальные дети отрабатывают полную комбинацию чисел. Например, если у меня есть 8 кубиков в моем числовом поезде, я могу сломать его и положить 3 за спину. Я покажу своей группе оставшиеся 5 кубиков, и они смогут сказать, что трех не хватает и что 5 и 3 составляют 8.

Сколько прячется? В этом задании у каждого ребенка одинаковое количество кубиков и чашек. Они по очереди прячут несколько своих кубиков в чашку и показывают остатки. Другие дети отрабатывают ответ на вопрос «Сколько спряталось» и называют полное числовое сочетание.

Пример: У меня есть 10 кубиков, и я решил спрятать 4 в своей чашке. Моя группа видит, что у меня всего 6 кубиков. Учащиеся должны быть в состоянии сказать, что я прячу 4 кубика и что 6 и 4 дают 10.

Действия по умножению фактов

Насколько близко к 100? В эту игру играют напарники. Двое детей делят пустую сетку 100. Первый партнер бросает два кубика с числами. Выпадающие числа — это числа, которые ребенок использует для создания массива в сетке 100. Они могут поместить массив в любое место сетки, но цель состоит в том, чтобы заполнить сетку настолько, насколько это возможно. После того, как игрок нарисовал массив на сетке, он записывает числовое предложение, описывающее сетку. Игра заканчивается, когда оба игрока бросили кубики и не могут больше размещать на сетке ряды. Как близко к 100 вы можете получить?

Пицца Пепперони: В этой игре дети дважды бросают кубик. Первый бросок говорит им, сколько пицц нужно вытянуть. Второй рулон говорит им, сколько пепперони положить на КАЖДУЮ пиццу. Затем они пишут числовое предложение, которое поможет им ответить на вопрос: «Сколько всего пепперони?»

Например, я бросаю кости и получаю 4, поэтому я вытягиваю 4 большие пиццы. Я переворачиваю снова, и у меня получается 3, поэтому я кладу по три пепперони на каждую пиццу. Затем я пишу 4 x 3 = 12, и это говорит мне о том, что всего 12 пепперони.

Математические карточки

Многие родители используют «карточки для запоминания» как способ поощрения изучения математических фактов. К ним обычно относятся 2 бесполезные практики — заучивание без понимания и цейтнот. В нашем задании «Математические карточки» мы использовали структуру карточек, которая нравится детям, но мы сместили акцент на смысл чисел и понимание умножения. Цель игры — сопоставить карточки с одним и тем же числовым ответом, показанным в разных изображениях. Положите все карточки на стол и попросите детей брать их по очереди; выберите столько, сколько они найдут с тем же ответом (показанным через любое представление). Например 9и 4 можно показать с моделью области, наборами объектов, таких как домино, и числовым предложением. Когда учащиеся сопоставляют карточки, они должны объяснить, откуда они знают, что разные карточки эквивалентны. Эта деятельность поощряет понимание умножения, а также повторение математических фактов. Полный комплект карт приведен в Приложении А.

Вывод: знание — сила

Упражнения, приведенные выше, являются иллюстрациями игр и заданий, в которых учащиеся изучают математические факты одновременно с работой над тем, что им нравится, а не над тем, чего они боятся. Различные упражнения также сосредоточены на понимании сложения и умножения, а не на слепом запоминании, и это очень важно. В Приложении A представлены другие предлагаемые виды деятельности и ссылки.

Как преподаватели, мы все разделяем цель поощрения способных учеников, которые хорошо разбираются в математике, а также бегло используют числа. Но учителя и составители учебных программ часто не имеют доступа к важным исследованиям, и это означает, что непродуктивные и контрпродуктивные методы работы в классе продолжаются. Эта короткая статья иллюстрирует ущерб, причиняемый практиками, которые часто сопровождают преподавание математических фактов — давление скорости, тестирование на время и слепое запоминание, — а также обобщает результаты исследований чего-то совсем другого — чувства чисел. Успевающие учащиеся используют чувство числа, и очень важно, чтобы учащиеся с более низкими достижениями вместо того, чтобы работать над упражнениями и запоминанием, также научились использовать числа гибко и концептуально. Запоминание и проверка на время мешают восприятию чисел, создавая у учащихся впечатление, что осмысление не имеет значения. Нам необходимо срочно переориентировать наше преподавание первых чисел и их смысла в нашем преподавании математики в Великобритании и США. Если мы этого не сделаем, то показатели отказов и отсева – уже достигшие рекордно высокого уровня в обеих странах (National Numeracy, 2014; Silva & White, 2013) – возрастут. Когда мы придаем особое значение запоминанию и тестированию во имя беглости, мы наносим вред детям, мы рискуем будущим нашего вечно количественного общества и угрожаем дисциплине математики. У нас есть исследовательские знания, необходимые для того, чтобы изменить это и дать возможность всем детям хорошо учиться математике. Теперь пришло время использовать его.

Ссылки

Бейлок, С. (2011). Дроссель: что раскрывают секреты мозга о том, как сделать все правильно, когда вам нужно . Нью-Йорк: Свободная пресса.

Боалер, Дж. (2015). При чем здесь математика? Как учителя и родители могут помочь преобразовать обучение математике и вдохновить на успех. Нью-Йорк: Пингвин.

Боалер, Дж. (2014). Исследования показывают, что тесты на время вызывают математическую тревогу. Обучение детей математике, 20 (8).

Боалер, Дж. (2013, 12 ноября 2013 г.). Стереотипы, которые искажают то, как американцы преподают и изучают математику. Атлантический океан.

Боалер, Дж. и Зойдо, П. (в печати). Влияние стратегий обучения математике на достижения: тщательный анализ данных Пизы.

Делазер М., Ишебек А., Домахс Ф., Замариан Л., Коппельштеттер Ф. , Сидентопф С.М. Кауфманн; Бенке, Т., и Фелбер, С. (2005). Обучение с помощью стратегий и обучение с помощью упражнений — данные исследования фМРТ. НейроИзображение. 839-849

Задействовать Нью-Йорк. https://schools.nyc.gov/NR/rdonlyres/9375E046-3913-4AF5-9FE3-D21BAE8FEE8D/0/CommonCoreInstructionShifts_Mathematics.pdf

Фейкес, Д. и Швингендорф, К. (2008). Важность сжатия в обучении детей математике и обучении учителей преподаванию математики. Средиземноморский журнал исследований в области математического образования 7 (2).

Фоснот, К., Т. и Долк, М. (2001). Молодые математики за работой: построение умножения и деления. Хайнеманн:

Гарнер, Р. (3 октября 2014 г.). Независимый. (ссылка на статью)

Грей, Э., и Талл, Д. (1994). Двойственность, двусмысленность и гибкость: «процептуальный» взгляд на простую арифметику. Журнал исследований в области математического образования, 25 (2), 116–140.

Хамфрис, Кэти и Паркер, Рут (в печати). Как сделать разговор о числах важным: развитие математических навыков и углубление понимания, 4–10 классы.