Контрольные работы алгебра 9 класс теляковский: Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы ДМ с ответами — Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 1" п. Пуровск Пуровского района

Содержание

Поиск материала «Дидактические материалы по алгебре для 9 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М., 2000» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

Дидактические материалы по алгебре для 9 класса…
Скачать в pdf.
Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы — Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. 2012. Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы — Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. 2007. Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы — Васюк Н.В., Мартиросян М.А. и др.
11klasov.net
Ю. Н. Макарычев H. I. Миндюк Л. Б. Крайнева ебра
Н. Г. Миндюк. АЛГЕБРА. Дидактические материалы. Класс. Москва. «Просвещение». удк 372.8:512 74.262.21. Макарычев Ю. Н. . Алгебра. Дидактические материалы. класс Крайнева. 17-е изд. 2012. а также тексты контрольных работ и задания для проведения школьных математических олим- пиад.
Миндюк Нора Григорьевна. Крайнева Лариса Борисовна. алгебра. Дидактические материалы. 9 класс. Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Т. Г. Войлокова.

fizmatege.ru
Купить эту книгу
Канцтовары
Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.
my-shop.ru
Скачать бесплатно Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс…
9 класс (с углубл. изучением математики) — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. cкачать в PDF, DJVU. Пособие содержит самостоятельные (в двух вариантах) и контрольные работы (в четырех вариантах), а также примерное планирование учебного материала.
Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы могут быть использованы в девятых классах, работающих по учебникам, предназначенным для классов с углубленным изучением математики.

fizikadlyvas.net
Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубл.)
Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики) — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Пособие содержит самостоятельные (в двух вариантах) и контрольные работы (в четырех вариантах), а также примерное планирование учебного материала. Оно ориентировано в основном на учебный комплект, состоящий из учебника «Алгебра, 9» любого авторского коллектива и учебного пособия «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк.
11klasov.net
Дидактические материалы 9 класс. Скачать бесплатно
Дидактические материалы предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и для контроля над их знаниями, умениями и навыками. Они могут использоваться, когда преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 9» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского, а также при работе по другим учебникам алгебры 9
94 Ответы и указания к заданиям олимпиад 96. Учебно-методический комплект. По алгебре для 7-9 классов содержит: Рабочие программы. 7—9 классы (автор Н.Г. Миндюк).
znanio.ru
Дидактические материалы по алгебре для 9 класса.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б.
Формат: pdf / zip (2012, 17-е изд., 96с., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б.) Размер: 3,5 Мб. Скачать: Купить в MyShop или Book24. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 Самостоятельные работы 5 Вариант I — Вариант II 33 Контрольные работы 61 Итоговый тест 81 Итоговое повторение по темам 84 Задания для школьных олимпиад 93 Ответы к контрольным работам 94 Ответы и указания к заданиям олимпиад 96.

to.alleng.org
ГДЗ к пособию «Дидактические материалы по алгебре. 9 класс…»
9 класс — » Макарычев Ю.Н. и др. Предлагаемое учебное пособие содержит образцы выполнения всех заданий и упражнений из пособия «Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2010». Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по алгебре.

11klasov.net
Скачать бесплатно Алгебра. 9 класс. Дидактические материалы…
9 класс. Дидактические материалы — Феоктистов И.Е. cкачать в PDF. Дидактические материалы предназначены для проверки знаний учащихся 9-го класса с повышенным уровнем математической подготовки. Тексты самостоятельных, контрольных и тестовых работ даны в соответствии с учебником Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. Н. Нешкова, И. Е. Феоктистова «Алгебра. 9 класс». Задания могут быть использованы педагогами для составления различных видов проверочных работ для школьников, изучающих алгебру по учебникам других авторов.

fizikadlyvas.net
Алгебра Дидактические материалы 9 класс Макарычев
Дидактические материалы Алгебра 9 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Скачать бесплатно, читать онлайн на телефоне, планшете.
Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ. СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО Алгебра Дидактические материалы 9 класс Макарычев PDF , DJVU, FB2, EPUB.
11book.ru
Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. )
Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы могут быть использованы в девятых классах, работающих по учебникам, предназначенным для классов с углубленным изучением математики.

to.alleng.org
Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. — alleng.me
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. 17-е изд.
Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ и задания для проведения школьных математических олимпиад. Формат: pdf / zip (2012, 17-е изд., 96с., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б.)
uchebniki.alleng.me
дидактические материалы по алгебре 9 класс — Светлана.
..
Светлана Николаевна. МАТЕРИАЛЫ. ▫. Алгебра.
Дидактические материалы по алгебре для 9кл_Макарычев, Миндюк, Короткова_2000 -160с.pdf Скачать 8 Мб. в сборнике содержатся задания по тригонометрии.
proshkolu.ru
Читать Алгебра Дидактические материалы 9 класс Макарычев…
Настоящий сборник «Дидактические материалы по алгебре, 9 класс» под редакцией Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайневой Л.Б. разработано в соответствии с новым образовательным стандартом, ориентируется на содержание учебников «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н
Кроме того, авторы поместили в сборник задачи для итогового повторения по темам 9 класса и повторения по всему курсу алгебры за 7-9 класс. Использование подобных материалов способствует эффективному закреплению теоретических знаний и навыков…

gdz-online.ws
Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы ДМ с ответами
Дидактические материалы 9 класс / Макарычев, Миндюк, Крайнева — М. : Просвещение» . Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Нажмите на необходимую вам тему контрольной работы. В начале указана цитата (материал контрольной работы) из вышеуказанного учебного пособия. Затем представлены решения и ответы на задания контрольной. При постоянном использовании данных контрольных работ (в 4-х вариантах) рекомендуем КУПИТЬ книгу: Алгебра.
xn--80aneebgncbebxz7l.xn--p1ai
1-11klasses Дидактические материалы по алгебре для
9 класса…
Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ и задания для проведения шко…
1-11klasses.ru
ГДЗ: Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева. ..
Алгебра 9 класс. Тип: Дидактические материалы. Авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева. Издательство: Просвещение. О математике в средней школе. Ни для кого не секрет, что каждый ученик усваивает материал по-разному. Кому-то достаточно один раз показать, как решается номер с
Пособие « Решебник по Алгебре за 9 класс Дидактические материалы Макарычева» содержит ответ на любой предложенный вопрос. Достаточно открыть «ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев» и детально разобраться в решении непонятого номера.

gdzbezmoroki.com
Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы
Дидактические материалы 9 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева — М.: Просвещение» использованы в учебных целях. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.
Другие контрольные работы по алгебре в 9 классе: УМК Мерзляк , Полонский, Якир — Дидактические материалы (только контрольные работы). УМК Мордкович — Попов М.А. Дидактические материалы по алгебре 9 кл.
xn—-8sbuffbhpdbebz1a7m.xn--p1ai
Контрольные работы по алгебре 9 класс (Макарычев) скачать
Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях. После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.
Рабочая программа по алгебре 8 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.
uchitelya.com
Алгебра за 9-ый класс — Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк…
Дидактические материалы Алгебра 9-ый класс →. Алгебра за 9-ый класс — Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева Алгебра 9 класс. Дидактические материалы. Издательство «Просвещение» 2012г.
wtfgdz.xyz
ГДЗ дидактические материалы по алгебре 9 класс Макарычев. ..
На этом сайте выложены лучшие ответы к рабочей тетради по алгебре за девятый класс авторов Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М. 2003-2005-2008-2010 года выпуска. Теперь решебники и ГДЗ по любым предметам можно обнаружить на нашем сайте!
АВТОР: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Крайнева Л.Б., Короткова Л.М., 2003-2005-2008-2010.
gdz.rodeo
ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева…
Учебное пособие по алгебре. «ГДЗ Алгебра 9 класс Дидактические материалы Макарычев, Миндюк, Крайнева Просвещение» включает тесты, контрольные работы и задания именно для самостоятельной подготовки школьников. Онлайн-решебник поможет ученику любого уровня подготовки. С помощью пособия ученик может восполнить пробел в знаниях по любой теме и успешно готовиться к экзаменам. Структура решебника. В пособие включены не только проверочные и итоговые тесты, но и почти сто заданий для школьных олимпиад.
megashpora.com
Скачать Дидактические материалы по алгебре для 9 класса…
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М.
Популярные книги раздела. Алгебра. Учебник 9 класс Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Геометрия. 7-9 классы Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Чтобы оставить отзыв от имени, Зарегистрируйтесь или войдите на сайт.
padabum.com
ГДЗ Дидактические материалы по Алгебре 9 класс Макарычев
ГДЗ Алгебра Дидактические материалы за 9 класс Макарычев, Миндюк Просвещение 2015 ФГОС. Авторы
Каковы особенности ГДЗ для дидактических материалов по алгебре за 9 класс Макарычева. Электронное руководство призвано помогать школьникам в сложных ситуациях. С ним обучающиеся будут лучше усваивать трудные темы, т. к. смогут отрабатывать их на примерах.
gdz.moda
Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс. Дидактические материалы
Скачать по прямой ссылке. Дидактические материалы предназначены для проверки знаний учащихся 9-го класса с повышенным уровнем математической подготовки. Тексты самостоятельных, контрольных и тестовых работ даны в соответствии с учебником Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. Н. Нешкова, И. Е. Феоктистова «Алгебра. 9 класс». Задания могут быть использованы педагогами для составления различных видов проверочных работ для школьников, изучающих алгебру по учебникам других авторов.
www.psyoffice.ru
Скачать Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. ..
Автор. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Короткова Л.М. Издательство. Просвещение, 5-е издание.
2000. Метки. алгебра дидактический материал. Размер. 1.16 МБ.
padabum.net
ГДЗ по Алгебре 9 класс Дидактические материалы Макарычев
Тип: Дидактические материалы. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева. Издательство: Просвещение 2015. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и Л.Б. Крайнева помогли девятиклассникам, создав к своему учебнику ответы на дидактические материалы. Разобрав каждый пункт всех заданий, авторы сборника ГДЗ по алгебре за 9 класс дидактические материалы Макарычев значительно упростили для девятиклассника подготовку к самостоятельным работам и контрольным.
xn--c1acj.xn--p1ai
Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубл.)
Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики) — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Пособие содержит самостоятельные (в двух вариантах) и контрольные работы (в четырех вариантах), а также примерное планирование учебного материала. Оно ориентировано в основном на учебный комплект, состоящий из учебника «Алгебра, 9» любого авторского коллектива и учебного пособия «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк.
cdnpdf.com
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. Дидактические…
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Категория: Учебники для школы » Алгебра для 9-го класса | Просмотров: 718. Автор: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. Название: Дидактические материалы по алгебре для 9 класса Формат: PDF Размер: 3,53 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Пособие содержит упражнения для самостоятельных работ, которые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ и задания для проведения школьных математических…
www.psyoffice.ru
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дидактические…
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики). Категория: Учебники для школы » Математика для 9-го класса | Просмотров: 1717. Автор: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Название: Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики) Формат: PDF Размер: 1,74 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Пособие содержит самостоятельные (в двух вариантах) и контрольные работы (в четырех вариантах), а также примерное планирование учебного…
www.psyoffice.ru
ГДЗ решебник по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк. ..
Алгебра 9 класс. Тип пособия: Дидактические материалы. Авторы: Макарычев, Миндюк, Крайнева. Издательство: «Просвещение». Любой школьник понимает, что умение считать, как и писать, ему необходимо.
Освоить алгебру поможет решебник Макарычева. Девятиклассники – люди достаточно взрослые. Они уже имеют свои учебные предпочтения и представляют направление своей дальнейшей учебы. Неудивительно, если будущие гуманитарии или любители естественных наук предпочитают основное время отдавать тем предметам которые…
spishi.ltd
Ю. Н. Макарычев H. Г. Миндюк Пидактические материалы
Н. Г. Миндюк. АЛГЕБРА. Дидактические материалы. класс. 17-е издание. Москва.
Алгебра. класс И. Жохов, Ю, Макарычев, Н. Миндюк. 17-е изд, Просвещение, 2012. ISBN 978-5-09-028730-2. coдержит упражнения для самостоятельных работ, ко- торые носят обучающий характер, а также тексты контрольных работ. задания для проведения школьных математических олимпиад
ege-ok. ru
Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. Дидактические материалы.
Дидактические материалы. 9 класс Формат: PDF Размер: 1,61 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Пособие содержит задания для подготовки к самостоятельным работам по основным темам учебника «Алгебра 9» С.М.Никольского и др., а также самостоятельные и контрольные работы в четырех вариантах и итоговый тест в двух вариантах.
Дидактические материалы. 9 класс (с углубл. изучением математики). Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра.
www.psyoffice.ru

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Дидактические материалы по алгебре для 9 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М., 2000»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс. XML.

Нашлось 16 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: вторник, 20 сентября 2022 г., 12:19:15 GMT

Контрольные работы по алгебре 9 класс (Макарычев Ю.Н.) | Материал по алгебре (9 класс) на тему:

Опубликовано 27.11.2018 — 20:57 — Гончарова Тамара Васильевна

Контрольные работы по алгебре составлены к учебнику алгебры 9-гокласса Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С. Б. Суворовой

Скачать:

Предварительный просмотр:

Контрольная работа №9 (итоговая) 9 класс (Макарычев)

Вариант 1.

Сократите дробь .
Решите неравенство 5х – 7 ≥ 7х – 5.
Решите уравнение х2 – 10х + 25 = 0.
Сравните 56,78 ∙ 106 и 5,687 ∙ 107.
Решите систему уравнений:
Постройте график функции у = 7х – 5 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше – 40.
В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Сократите дробь .
Решите неравенство

Контрольная работа №9 (итоговая) 9 класс (Макарычев)

Вариант 2

Сократите дробь .
Решите неравенство 3х – 8 ≥ 8х – 3.
Решите уравнение х2 – 14х + 49 = 0.
Сравните 4,567 ∙ 109 и 45,76 ∙ 108.
Решите систему уравнений:
Постройте график функции у = 6х – 7 и найдите, при каких значениях х значения у не больше – 49.
В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
Моторная лодка прошла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Сократите дробь .
Решите неравенство

Контрольная работа №9 (итоговая) 9 класс (Макарычев)

Вариант 1.

Сократите дробь .
Решите неравенство 5х – 7 ≥ 7х – 5.
Решите уравнение х2 – 10х + 25 = 0.
Сравните 56,78 ∙ 106 и 5,687 ∙ 107.
Решите систему уравнений:
Постройте график функции у = 7х – 5 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше – 40.
В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Сократите дробь .
Решите неравенство

Контрольная работа №9 (итоговая) 9 класс (Макарычев)

Вариант 2

Сократите дробь .
Решите неравенство 3х – 8 ≥ 8х – 3.
Решите уравнение х2 – 14х + 49 = 0.
Сравните 4,567 ∙ 109 и 45,76 ∙ 108.
Решите систему уравнений:
Постройте график функции у = 6х – 7 и найдите, при каких значениях х значения у не больше – 49.
В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
Моторная лодка прошла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Сократите дробь .
Решите неравенство

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа по алгебре за первое полугодие. 8 класс. УМК Макарычев и др.

Работа составлена по материалам ГИА, содержит задания трёх уровней. Даются рекомендации по оцениванию….

КИМ входной контрольной работы по алгебре 9 класс (Макарычев Ю.

Н.)

В КИМ входной работы входит: проверочный тест состоящий из трех частей. К каждому заданию 1 части даны 4 варианта ответа, из которых только один верный.К каждому заданию 2 …

КИМ входной контрольной работы по алгебре 8 класс (Макарычев Ю.Н.)

Проверочный тест, кадификатор, спецификация…

Входная контрольная работа по алгебре 7 (Макарычев Ю.Н.)

Контрольная работа, кадификатор, спецификация….

контрольные работы по алгебре в 7 классе к учебнику Макарычев Ю.Н. и др. ( ИЗ АВТОРСКОЙ ПРОГРАММЫ ПО АЛГЕБРЕ. 2012ГОДА)

Данная работа взята из авторской программы по алгебре для 7-9классов издательства «Просвещение » 2012года. Удобно использовать для рабочей программы ….

Комплект тематических контрольных работ по алгебре за 7 класс к УМК «Алгебра 7кл», Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и другие (под редакцией С.А.Теляковского)

Данный комплект содержит комплект тематических контрольных работ с №1 по №9 + №10 (годовая) – к УМК «Алгебра 7кл», Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и другие (под редакцией С.А…

Контрольные работы по алгебре 8 класс по учебнику Макарычев и др. К1-К10

Контрольные работы по алгебре 8 класс по учебнику Макарычев и др….

Алгебра 9 Макарычев Учебник | Частная школа. 9 класс

Алгебра 9 класс. Учебник ФГОС. Макарычев и др. П/р Теляковского (Просвещение) с ответами на упражнения из учебника (ГДЗ). Электронная версия для ознакомления и принятия решения о покупке книги (нажмите на изображение учебника, чтобы перейти в интернет-магазин). Цитаты из учебника использованы в учебных целях.

Данный учебник является заключительной частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных организаций. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС. В заданный материал включены новые по форме задания: задания для работы в парах и задачи-исследования. В конце учебника приводится список литературы, дополняющей его.

Глава I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

1. Функция. Область определения и область значений функции. ГДЗ Упр. 1 — 31

2. Свойства функций. ГДЗ Упр. 32 — 54

§ 2. КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН

3. Квадратный трёхчлен и его корни. ГДЗ Упр. 55 — 75

4. Разложение квадратного трёхчлена на множители. ГДЗ Упр. 76 — 89

§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

5. Функция у = аx², её график и свойства. ГДЗ Упр. 90 — 105

6. Графики функций у = аx² + n и у = а(х – m)². ГДЗ Упр. 106 — 119

7. Построение графика квадратичной функции. ГДЗ Упр. 120 — 135

§ 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. КОРЕНЬ n–й СТЕПЕНИ

8. Функция у = хⁿ. ГДЗ Упр. 136 — 157

9. Корень n-й степени. ГДЗ Упр. 158 — 179

10. Дробно-линейная функция и её график. ГДЗ Упр. 180 — 189

11. Степень с рациональным показателем. ГДЗ Упр. 190 — 199

Дополнительные упражнения к главе I.

Глава II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

12. Целое уравнение и его корни.

13. Дробные рациональные уравнения.

§ 6. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

14. Решение неравенств второй степени с одной переменной.

15. Решение неравенств методом интервалов.

16. Некоторые приёмы решения целых уравнений.

Дополнительные упражнения к главе II.

Глава III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

§ 7. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ

17. Уравнение с двумя переменными и его график.

18. Графический способ решения систем уравнений.

19. Решение систем уравнений второй степени.

20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

§ 8. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ

21. Неравенства с двумя переменными.

22. Системы неравенств с двумя переменными.

23. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

Дополнительные упражнения к главе III.

Глава IV. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

§ 9. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

24. Последовательности.

25. Определение арифметической прогрессии. Формула n–го члена арифметической прогрессии.

26. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

§ 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

27. Определение геометрической прогрессии. Формула n–го члена геометрической прогрессии.

28. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии).

29. Метод математической индукции).

Дополнительные упражнения к главе IV.

Глава V. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 11. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

30. Примеры комбинаторных задач.

31. Перестановки.

32. Размещения.

33. Сочетания.

§ 12. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

34. Относительная частота случайного события.

35. Вероятность равновозможных событий.

36. Сложение и умножение вероятностей.

Дополнительные упражнения к главе V.

Упражнения для повторения курса 7—9 классов.

Задачи повышенной трудности.

Алгебра 9 Макарычев Учебник ФГОС. П/р Теляковского. Просвещение. Электронная версия для ознакомления и принятия решения о покупке книги. Цитаты из учебника использованы в учебных целях.

Алгебра 9 Макарычев Учебник ОГЛАВЛЕНИЕ:

Глава I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Глава II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Глава III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Глава IV. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Глава V. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методы получения смет, примеры. Как оценить значение выражения? Способы получения оценок, примеры Что значит оценить выражение

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимается под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как вычисляются значения вычисляются выражения и функции. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно будем давать решения на типичных примерах.

Что означает вычисление значения выражения?

Мы не смогли найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под вычислением значения выражения. Попробуем разобраться с этим сами, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все-таки содержатся в учебниках и в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы.

Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот несколько цитат:

Первые два примера включают вычисления чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с оценкой одного значения выражения. В остальных примерах используются вычисления, связанные с выражениями с переменными. Каждое значение переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, разумеется, является подмножеством диапазона допустимых значений) имеет свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество Х) не состоит из одного числа, то множеству значений выражения соответствует выражение с переменной. В этом случае приходится говорить об оценке не одного единичного значения, а оценке всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X).

Для рассуждений немного отвлечемся от поиска ответа на вопрос, что значит вычислить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют нам принять следующие два определения:

Определение

Вычислить значение числового выражения — это означает указать числовой набор, содержащий значение, которое необходимо оценить. В этом случае указанный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

Определение

Вычислить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X) — это означает задание числового множества, содержащего все значения, которые выражение принимает на ОДЗ (или на множестве X) на множестве X). В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражения.

Легко видеть, что для одного выражения можно задать более одной оценки. Например, числовое выражение может оцениваться как , или , или , или и т. д. То же самое относится к выражениям с переменными. Например, выражение на ОДЗ может быть оценено как , или , или и т. д. В связи с этим стоит добавить к записанным определениям уточнение относительно указанного числового набора, являющегося оценкой: оценка не должна быть абы как, он должен соответствовать целям, для которых он найден. Например, для решения уравнения подойдет счет. Но эта оценка уже не годится для решения уравнения, здесь значения выражения следует оценивать иначе, например: .

Отдельно стоит отметить, что одной из оценок значений выражения f(x) является диапазон соответствующей функции y=f(x) .

В заключение данного абзаца обратим внимание на форму записи смет. Обычно оценки записывают с помощью неравенств. Вы, должно быть, заметили это.

Оценка значений выражения и оценка значений функции

По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить об оценке значений функции. Это выглядит вполне естественно, особенно если мы имеем в виду функции, определяемые формулами, поскольку оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по существу совпадают вещь, которая очевидна. Более того, часто процесс получения оценок удобно описывать в терминах оценивания значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения осуществляется путем нахождения наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом абзаце этой статьи мы сказали, что для выражения может иметь место множество оценок его значений. Являются ли некоторые из них лучше, чем другие? Это зависит от решаемой проблемы. Поясним на примере.

Например, используя методы оценки значения выражения, описанные в следующих параграфах, вы можете получить две оценки значения выражения: первое — , второе — . Трудозатраты на получение этих оценок существенно различаются. Первая из них практически очевидна, а для получения второй оценки необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения и далее использовать свойство монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях любая из оценок может справиться с решением задачи. Например, любая наша оценка позволяет решить уравнение . Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки и, конечно, не стали бы напрягаться в нахождении второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения задачи. Например, наша первая оценка не решает уравнение , а оценка позволяет это сделать. То есть в этом случае первой очевидной оценки нам бы не хватило, и пришлось бы искать вторую оценку.

Итак, мы подошли к вопросу о точности оценок. Можно подробно определить, что подразумевается под точностью оценки. Но для наших нужд в этом нет особой необходимости; нам будет достаточно упрощенного представления о точности оценки. Условимся воспринимать точность оценки как некоторый аналог аппроксимации точности . То есть из двух оценок значений некоторого выражения f(x) будем считать более точной ту, которая находится «ближе» к области значений функции y=f(x). В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок значений выражения, так как совпадает с диапазоном соответствующей функции. Понятно, что оценка точнее оценки. Другими словами, оценка более грубая оценка.

Имеет ли смысл всегда искать наиболее точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что сравнительно грубых оценок часто бывает достаточно для решения задач. И главное преимущество таких оценок перед точными оценками состоит в том, что зачастую их гораздо проще получить.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

Оценки значений функций y=|x|

Помимо основных элементарных функций хорошо изученной и полезной в плане получения оценок является функция у=|х| . Мы знаем диапазон этой функции: ; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовые и профильные. уровней / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Готовимся к экзамену) ISBN 978-5-

-094-7

Сборник задач по математике для абитуриентов в вузы (с решениями). В 2 кн. Книга. 1. Алгебра: Учеб. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; изд. М. И. Сканави. — 8-е изд., испр. — М.: Высшее. школа, 1998. — 528 с.: ил. ISBN 5-06-003524-7

М.: 2014 — 288с. М.: 2012 — 256с.

«Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов для алгебры 8 класса»; подробно анализируются методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними воспитателями.

Формат: pdf ( 201 4 , 28 8с., Ерин В.К.)

Размер: 3.5 МБ

Смотреть, скачать: диск.гугл

Формат: pdf ( 2012 , 256 стр., Морозов А.В.)

Размер: 2.1 МБ

Смотреть, скачать: ссылки удалены (см. примечание!!)

Формат: pdf( 2005 , 224с., Федоскина Н.С.)

Размер: 1.7 МБ

Смотреть, скачать: диск.гугл

Содержание
Самостоятельная работа 4
Вариант 1 4

к полиному (повторение) 4
С-2. Факторинг (обзор) 5
C-3. Целочисленные и дробные выражения 6
C-4. Основное свойство дроби. Сокращение фракции 7
C-5. Сокращение дробей (продолжение) 9

с теми же знаменателями 10

с разными знаменателями 12

знаменатели (продолжение) 14
С-9. Умножение дробей 16
C-10. Разделение фракций 17
С-11. Все действия с дробями 18
С-12. Артикул 19
C-13. Рациональные и иррациональные числа 22
C-14. Арифметический квадратный корень 23
C-15. Решение уравнений вида x2=a 27

квадратный корень 29
C-17. Функция y=\/x 30

Корневой продукт 31

Частные корни 33
S-20. Квадратный корень из 34

Ввод множителя под знаком корня 37

, содержащий квадратные корни 39
C-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43
S-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47
C-27. Теорема Виета 49

квадратных уравнений 50

факторов. Биквадратные уравнения 51
S-30. Дробные рациональные уравнения 53

рациональные уравнения 58
S-32. Сравнение номеров (обзор) 59
С-33. Свойства числовых неравенств 60
С-34. Сложение и умножение неравенств 62
S-35. Доказательство неравенств 63
S-36. Оценка значения выражения 65
C-37. Оценка погрешности аппроксимации 66
S-38. Округление чисел 67
С-39. Относительная ошибка 68
S-40. Пересечение и объединение комплектов 68
C-41. Номер пробела 69
С-42. Решение неравенств 74
C-43. Решение неравенств (продолжение) 76
C-44. Решающие системы неравенств 78
С-45. Решение неравенств 81

переменная под знаком модуля 83
C-47. Степень с целым показателем 87

Степень с целым показателем 88
C-49. Стандартная форма номера 91
С-50. Запись ориентировочных значений 92
S-51. Элементы статистики 93

(повторно) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
S-54. Функция y=ax2 100
S-55. График функции y = ax2 + bx + c 101
S-56. Решение квадратных неравенств 102
S-57. Метод интервала 105
Опция 2 108
C-1. Преобразование целочисленного выражения
в полиномиальное (повторение) 108
C-2. Факторинг (обзор) 109
C-3. Целочисленные и дробные программные выражения
C-4. Основное свойство дроби.
Сокращение фракции 111
C-5. Сокращение фракции (продолжение) 112
C-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
С-7. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями 116
С-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
C-9. Умножение дробей 118
C-10. Разделение фракций 119
С-11. Все действия с дробями 120
С-12. Артикул 121
C-13. Рациональные и иррациональные числа 123
C-14. Арифметический квадратный корень 124
C-15. Решение уравнений вида x2=a 127
C-16. Нахождение приблизительных значений
квадратный корень 129
C-17. Функция y=Vx 130
С-18. Квадратный корень произведения.
Корневой продукт 131
C-19. Квадратный корень дроби.
Частные корни 133
S-20. Квадратный корень из 134
C-21. Вынесение множителя из-под знака корня
Ввод множителя под знаком корня 137
C-22. Преобразование выражений,
, содержащих квадратные корни 138
C-23. Уравнения и их корни 141
S-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
С-25. Решение квадратных уравнений 144
C-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
C-27. Теорема Виета 148
C-28. Решение задач с
квадратными уравнениями 149
C-29. Разложение квадратного трехчлена на
множителя. Биквадратные уравнения 150
S-30. Дробные рациональные уравнения 152
C-31. Решение задач с
рациональными уравнениями 157
S-32. Сравнение номеров (обзор) 158
С-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
S-35. Доказательство неравенств 162
S-36. Оценка значения выражения 163
C-37. Оценка ошибки аппроксимации 165
S-38. Округление номеров 165
С-39. Относительная ошибка 166
S-40. Пересечение и объединение наборов 166
C-41. Номер пробела 167
С-42. Решение неравенств 172
C-43. Решение неравенств (продолжение) 174
C-44. Системы решения неравенств 176
С-45. Решение неравенств 179
С-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменных под знаком модуля 181
C-47. Степень с целым показателем 185
C-48. Преобразование выражений, содержащих
градуса, с целочисленным показателем степени 187
C-49. Стандартная форма номера 189
S-50. Запись ориентировочных значений 190
S-51. Элементы статистики 192
С-52. Понятие функции. График функций
(повторяющийся) 193
S-53. Определение квадратичной функции 197
S-54. Функция у=ах2 199
С-55. График функции y=ax2+txr+c 200
S-56. Решение квадратных неравенств 201
С-57. Метод интервалирования 203
Обследования 206
Вариант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-0 1231 9 8 226
К-9 229
К-10 (окончательная) 232
Вариант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-
К-
249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (заключительный) 257
Итоговое повторение по теме 263
Осенняя олимпиада 274
Весенняя олимпиада 275

35 соединяет знаки чисел 3 и 5. Тройка резонирует с вибрациями вдохновения и радости, энтузиазма и самовыражение. Это триединство прошлого, настоящего и будущего; тело, ум и дух. Человек под знаком тройки энергичен, талантлив, честен, горд и независим.

Пятерка добавляет в копилку общей вибрации долю эмоциональности и свободы выбора. Среди минусов — излишняя обидчивость и частые перепады настроения, негативное влияние которых компенсируется оптимизмом тройки. 35 в общих чертах олицетворяет творческую энергию, благоприятные возможности, желание поменяться местами.

Связь между числом и символом

Что означает число 35 в судьбе человека, если оно определяется датой рождения? Это придает ему особую харизму, привлекающую к нему друзей и последователей. Таких людей всегда окружают поклонники, которые выбирают их на роль публичного деятеля или неформального лидера.

Отрицательная сторона этого числового сочетания в том, что человек использует свой авторитет для личного обогащения. У представителей числа 35 слабо развита духовная сфера. Зараженные прагматизмом и тщеславием, они способны, невзирая на лица, «идти по головам» к намеченной цели.

магические свойства

Мистическое значение числа 35 связано с тем, что оно предсказывает встречу со смертельным искушением. Избежать серьезных ошибок такого испытания можно только сохраняя спокойствие и благоразумие.

Сакральные сопоставления числа можно найти в Библии, где оно упоминается 5 раз. На тридцать пятый день поста в пустыне Люцифер подошел к Иисусу, чтобы искусить его.

Что означает число 35, если оно встречается часто

Если ангелы-хранители постоянно заставляют вас видеть цифру 35, они показывают, что вы не достигаете своих целей. Вы честны и старательны, но удача обходит вас стороной.

Вы сталкиваетесь с бесчисленными препятствиями и озадачены своим будущим. Это влияние на вашу жизнь оказывает управитель числа 35 — планета Сатурн. Его скрытое действие проявляется через число 8, которое получается при сложении 3 и 5. Возможно, вы отклоняетесь от своей судьбы и играете чужую роль. Чтобы найти свое истинное призвание, прислушайтесь к тому, о чем просит ваша душа, и следуйте ее невысказанному зову.

резюме других презентаций

«Сложение и вычитание алгебраических дробей» — Алгебраические дроби. 4а?б. Изучение новой темы. Цели: Помните! Кравченко Г. М. Примеры:

«Градусы с целым показателем» — Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Степень с целым показателем (5 часов) стр.43. Преподавание алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики. Отсроченное введение показателя степени с целым отрицательным показателем… Знайте определение показателя степени с целым отрицательным показателем. 2.

«Типы квадратных уравнений» — Неполные квадратные уравнения. Вопросы… Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение квадратного уравнения Виды квадратных уравнений Решение квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е., Иванов Н., Петров Г. Редуцированное квадратное уравнение. Выполнено: учащиеся 8-го «в» класса. Метод полноквадратичного отбора. Типы квадратных уравнений. Пусть. Графический способ.

«Численные неравенства 8 класса» — A-c>0. Неравенства. НО= «Больше или равно.» б>в. Напишите a>b или 0. B-c>0. Числовые неравенства. Нестрогий. Свойства числовых неравенств. Примеры: Если a b, то a-5>b-5. А>0 означает, что а — положительное число;

«Решение квадратных уравнений Теорема Виета» — Один из корней уравнения равен 5. Задание №1. МОУ «Кисловская СОШ». Научный руководитель: учитель математики Баранникова Е.А. Кисловка — 2008 г. (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите x2 и k. Работу выполнил: ученик 8 класса Слинько В. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Heroes of Might & Magic III– HD Edition (Heroes of Might and Magic III) v1

Настольная игра «Уно»: увлекательно и интересно!

АЛГЕБРА

Уроки для 9 класса

УРОК №5

Тема. Почленное сложение и умножение неравенств. Применение свойств числовых неравенств для оценки значений выражений

Цель занятия: добиться усвоения учащимися содержания понятия «сложить неравенства почленно» и «перемножить неравенства почленно», а также содержания свойств числовых неравенств, выраженных теоремы о почленном сложении и почленном умножении числовых неравенств и следствия из них. Развивать умение воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжать работу по развитию навыков доказывания неравенств, сравнения выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

Тип урока: закрепление знаний, развитие начальных навыков.

Обзорность и оборудование: реферат № 5.

Во время занятий

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учащиеся выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности обучающихся

Для сознательного участия учащихся в постановке цели урока можно предложить им практические задачи геометрического содержания (например, на оценку периметра и площади прямоугольника, длин смежных сторон которые оцениваются в виде двойных неравенств). В ходе беседы учитель должен направить мысли учащихся на то, что хотя задачи и аналогичны тем, которые решались на предыдущем уроке (см. урок № 4, оценить значение выражений), однако, в отличие от названных, они не может быть решена теми же средствами, так как необходимо вычислять значения выражений, содержащих две (а в дальнейшем и больше) буквы. Таким образом, учащиеся осознают наличие противоречия между полученными ими к этому моменту знаниями и необходимостью решения определенной задачи.

Результатом проделанной работы является формулировка цели урока: изучить вопрос о таких свойствах неравенств, которые можно применять в случаях, аналогичных описанным в предложенной задаче для учащихся; для чего необходимо четко сформулировать математическим языком и в словесной форме, а затем привести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в сочетании с ранее изученными свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

IV. Актуализация базовых знаний и навыков учащихся

устные упражнения

1. Сравните числа a и bif:

1) а — б = -0,2;

2) а — б = 0,002;

3) а = б — 3;

4) а — б = м 2 ;

5) а = б — м 2 .

3. Сравните значения выражений а+b и abif a=3, b=2. Обоснуйте свой ответ. Полученное соотношение будет выполнено, если:

1) а = -3, б = -2;

2) а = -3, б = 2?

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Свойство почленного сложения числовых неравенств (с тонкой настройкой).

2. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с тонкой настройкой).

3. Последствия. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с тонкой настройкой).

4. Примеры применения проверенных свойств.

Справочная записка № 5

Теорема (свойство) о почленном сложении числовых неравенств
Если a b и c d , то a + c b + d .
Доставка .
Теорема (свойство) о почленном умножении числовых неравенств
Если 0 a b и 0 c d , то ac bd . Приведение . Последствие. Если 0 a b , то an bn , где n — натуральное число.
Доставка
		(путем почленного умножения числовых неравенств).
Пример 1. Известно, что 3 a 4; 2 б 3. Оцените значение выражения: 1) а + б; 2) а — б; 3) б; 4) .
	2) а — б = а + (-б) 2 б 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3		(0) 2 б 3
Пример 2. Докажем неравенство (m + n )(mn + 1) > 4mn, если m > 0, n > 0.
Доставка Используя неравенство (где a ≥ 0, b ≥ 0) и полученное неравенство a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), при m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:
m + n ≥ 2, (1) млн + 1 ≥ 2. (2)
По теореме о почленном умножении неравенств почленно умножим неравенства (1) и (2). Тогда имеем: (м + п )(мн + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n)(mn + 1) ≥ 4, следовательно, (m + n )(mn + 1) ≥ 4mn , где m ≥ 0, n ≥ 0.

Методический комментарий

Для осознанного восприятия нового материала преподаватель может на этапе актуализации основных знаний и умений учащихся предложить решения устных упражнений с воспроизведением соответственно определения сравнения чисел и свойств числовых неравенств, изученных на предыдущих уроки (см. выше), а также рассмотрение соответствующих свойств числовых неравенств.

Обычно студенты хорошо усваивают содержание теорем о почленном сложении и умножении числовых неравенств, однако опыт работы свидетельствует о склонности студентов к некоторым ложным обобщениям. Поэтому, чтобы не допустить ошибок в формировании знаний учащихся по данному вопросу путем демонстрации примеров и контрпримеров, учителю следует акцентировать внимание на следующих моментах:

Сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как на математическом языке, так и в словесной форме;

· теоремы почленного сложения и умножения числовых неравенств выполняются только для неправильностей одного знака;

свойство почленного сложения числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. выше) для любых чисел, и теорема почленного умножения (в форме, изложенной в справочном реферате № 5) только для положительных чисел;

теоремы о почленном вычитании и почленном делении числовых неравенств не изучены, поэтому в тех случаях, когда необходимо оценить разность или пропорцию выражений, эти выражения представляют в виде суммы или произведения, соответственно, а затем при определенных условиях использовать свойства почленного сложения и умножения числовых неравенств.

VI. Формирование навыков

устные упражнения

1. Сложить почленные неравенства:

1) а > 2, б > 3;

2) с-2, д 4.

Или одни и те же неравенства можно почленно умножать? Обоснуйте ответ.

2. Умножить неравенства почленно:

1) а > 2, б > 0,3;

2) в > 2, г > 4.

Или можно такие же неровности добавить? Обоснуйте ответ.

3. Определите и обоснуйте, верно ли утверждение, что если 2 а 3, 1 б 2, то:

1) 3 а + б 5;

2) 2 аб 6;

3) 2 — 1 а — б 3 — 2;

Письменные упражнения

Для достижения дидактической цели урока следует решить упражнения следующего содержания:

1) сложить и умножить почленно эти числовые неравенства;

2) оценивает значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений по заданным оценкам каждого из этих чисел;

3) оценивают значение выражений, содержащих эти буквы, по оценкам каждой из этих букв;

4) доказывает неравенство, используя теоремы почленного сложения и умножения для числовых неравенств и используя классические неравенства;

5) повторить изученные на предыдущих уроках свойства числовых неравенств.

Методический комментарий

Письменные упражнения, которые предлагаются для решения на данном этапе урока, должны способствовать выработке устойчивых навыков почленного сложения и умножения неравенств в простых случаях. (При этом отрабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильности записи суммы и произведения левой и правой частей неравенств. Подготовительная работа ведется осуществляется во время устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала от учащихся следует требовать воспроизведения изучаемых теорем при комментировании действий.

После того, как учащиеся успешно проработают теоремы в простых случаях, они могут постепенно переходить к более сложным случаям (для вычисления разности и частного двух выражений и более сложных выражений). На данном этапе работы учителю следует внимательно следить за тем, чтобы учащиеся не допускали типичных ошибок, пытаясь внести разницу и оценить долю собственных ложных правил.

Также на уроке (разумеется, если позволяет время и уровень усвоения содержания материала учащимися) следует уделить внимание упражнениям по применению изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

VII. Краткое содержание урока
Контрольная задача

Известно, что 4 на 5; 6 б 8. Найдите неверные неравенства и исправьте ошибки. Обоснуйте ответ.

1) 10 а + б 13;

2) -4 а — б -1;

3) 24 аб 13;

4) ;

5) ;

7) 100 а2 + Ь 2 169?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить теоремы почленного сложения и умножения числовых неравенств (с уточнением).

2. Выполнять упражнения репродуктивного характера, аналогичные тем, что выполняются на уроках.

3. Для повторения: упражнения на применение определения сравнения чисел (на приведение неправильностей и на сравнение выражений).

Числовые неравенства оценивают значение выражения.

Как оценить значение выражения? Методы получения оценок, примеры

М.: 2014 — 288с. М.: 2012 — 256с.

«Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно разобраны приемы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учащихся, для проверки домашних заданий и помощи в решение задач.За короткое время родители могут стать достаточно эффективными домашними репетиторами

Формат: pdf ( 201 4 , 28 8с., Ерин В.К.)

Размер: 3,5 МБ

Смотреть, скачать: диск.гугл

Формат: pdf ( 2012 , 256 стр., Морозов А.В.)

Размер: 2.1 МБ

Смотреть, скачать: ссылки удалены (см. примечание!!)

Формат: pdf( 2005 , 224с., Федоскина Н.С.)

Размер: 1.7 МБ

Смотреть, скачать: диск.гугл

Содержание
Самостоятельная работа 4
Вариант 1 4

к многочлену (повторение) 4
С-2. Факторинг (обзор) 5
C-3. Целочисленные и дробные выражения 6
C-4. Основное свойство дроби. Сокращение фракции 7
C-5. Сокращение дроби (продолжение) 9

С одинаковыми знаменателями 10

С разными знаменателями 12

Знаменатели (продолжение) 14
C-9. Умножение дробей 16
C-10. Деление дробей 17
С-11. Все действия с дробями 18
С-12. Артикул 19
C-13. Рациональные и иррациональные числа 22
C-14. Арифметический квадратный корень 23
C-15. Решение уравнений вида x2=a 27

квадратный корень 29
C-17. Функция y=\/x 30

Корневой продукт 31

Частные корни 33
S-20. Квадратный корень из 34

Ввод множителя под знаком корня 37

, содержащего квадратные корни 39
C-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43
S-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47
C-27. Теорема Виета 49

квадратных уравнений 50

факторов. Биквадратные уравнения 51
S-30. Дробные рациональные уравнения 53

рациональные уравнения 58
S-32. Сравнение номеров (обзор) 59
С-33. Свойства числовых неравенств 60
S-34. Сложение и умножение неравенств 62
S-35. Доказательство неравенств 63
С-36. Оценка значения выражения 65
C-37. Оценка погрешности аппроксимации 66
S-38. Округление чисел 67
С-39. Относительная ошибка 68
S-40. Пересечение и объединение комплектов 68
C-41. Номер пробела 69
С-42. Решение неравенств 74
C-43. Решение неравенств (продолжение) 76
C-44. Решающие системы неравенств 78
С-45. Решение неравенств 81

переменная под знаком по модулю 83
C-47. Степень с целым показателем 87

градус с целым показателем 88
C-49. Стандартная форма номера 91
С-50. Запись ориентировочных значений 92
S-51. Элементы статистики 93

(повторно) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
S-54. Функция y=ax2 100
S-55. График функции y = ax2 + bx + c 101
S-56. Решение квадратных неравенств 102
S-57. Метод расстановки 105
Вариант 2 108
C-1. Преобразование целочисленного выражения
на полином (повторение) 108
C-2. Факторинг (обзор) 109
C-3. Целочисленные и дробные программные выражения
C-4. Основное свойство дроби.
Сокращение фракции 111
C-5. Сокращение фракции (продолжение) 112
C-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
С-7. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями 116
C-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
С-9. Умножение дробей 118
C-10. Разделение фракций 119
С-11. Все действия с дробями 120
С-12. Артикул 121
C-13. Рациональные и иррациональные числа 123
C-14. Арифметический квадратный корень 124
C-15. Решение уравнений вида x2=a 127
C-16. Нахождение приблизительных значений
квадратный корень 129
C-17. Функция y=Vx 130
C-18. Квадратный корень произведения.
Корневой продукт 131
C-19. Квадратный корень дроби.
Частные корни 133
S-20. Квадратный корень из 134
C-21. Вынесение множителя из-под знака корня
Ввод множителя под знаком корня 137
C-22. Преобразование выражений,
, содержащих квадратные корни 138
C-23. Уравнения и их корни 141
S-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
S-25. Решение квадратных уравнений 144
C-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
С-27. Теорема Виета 148
C-28. Решение задач с
квадратными уравнениями 149
C-29. Разложение квадратного трехчлена на
множителя. Биквадратные уравнения 150
S-30. Дробные рациональные уравнения 152
C-31. Решение задач с
рациональными уравнениями 157
S-32. Сравнение номеров (обзор) 158
С-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
S-35. Доказательство неравенств 162
С-36. Оценка значения выражения 163
C-37. Оценка ошибки аппроксимации 165
S-38. Округление номеров 165
С-39. Относительная ошибка 166
S-40. Пересечение и объединение наборов 166
C-41. Номер пробела 167
С-42. Решение неравенств 172
C-43. Решение неравенств (продолжение) 174
C-44. Системы решения неравенств 176
С-45. Решение неравенств 179
С-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменных под знаком по модулю 181
С-47. Степень с целым показателем 185
C-48. Преобразование выражений, содержащих
градуса, с целочисленным показателем степени 187
C-49. Стандартная форма номера 189
S-50. Запись ориентировочных значений 190
S-51. Элементы статистики 192
С-52. Понятие функции. График функций
(повторяющийся) 193
S-53. Определение квадратичной функции 197
S-54. Функция y=ax2 199
S-55. График функции y=ax2+txr+c 200
S-56. Решение квадратных неравенств 201
С-57. Метод интервалирования 203
Обследования 206
Вариант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-0 1231 9 8 226
К-9 229
К-10 (окончательная) 232
Вариант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-
К-
249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (финал) 257
Итоговое повторение по теме 263
Осенняя Олимпиада 274
Spring Olympics 275

35 соединяет знаки чисел 3 и 5. Тройка резонирует с вибрациями вдохновения и радости, энтузиазма и самовыражения. Это триединство прошлого, настоящего и будущего; тело, ум и дух. Человек под знаком тройки энергичен, талантлив, честен, горд и независим.

Связь между числом и символом

магические свойства

Что означает число 35, если оно встречается часто

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимается под вычислением значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно будем давать решения на типичных примерах.

Что означает вычисление значения выражения?

Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот некоторые цитаты:

Первые два примера включают вычисления чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с оценкой одного значения выражения. В остальных примерах используются вычисления, связанные с выражениями с переменными. Каждое значение переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, разумеется, является подмножеством допустимых значений области) соответствует своему значению выражения. То есть, если ОДЗ (или множество Х) не состоит из одного числа, то множеству значений выражения соответствует выражение с переменной. В этом случае приходится говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X).

Определение

Легко видеть, что для одного выражения можно задать более одной оценки. Например, числовое выражение может быть оценено как , или , или , или и т. д. То же самое относится и к выражениям с переменными. Например, выражение на ОДЗ может быть оценено как , или , или и т. д. В связи с этим стоит добавить к записанным определениям уточнение относительно указанного числового набора, являющегося оценкой: оценка не должна быть абы как, он должен соответствовать целям, для которых он найден. Например, для решения уравнения подойдет счет. Но эта оценка уже не годится для решения уравнения, здесь значения выражения следует оценивать иначе, например: .

Оценка значений выражения и оценка значений функции

О точности оценок

Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих пунктах, можно получить две оценки значений выражения: первая есть, вторая есть. Трудозатраты на получение этих оценок существенно различаются. Первая из них практически очевидна, а получение второй оценки связано с нахождением корневого выражения наименьшего значения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях любая из оценок может справиться с решением задачи. Например, любая наша оценка позволяет решить уравнение . Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки и, конечно, не стали бы напрягаться в нахождении второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения задачи. Например, наша первая оценка не решает уравнение , а оценка позволяет это сделать. То есть в этом случае первой очевидной оценки нам бы не хватило, и пришлось бы искать вторую оценку.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

Оценки значений функций y=|x|

Помимо основных элементарных функций, хорошо изученными и полезными с точки зрения получения оценок являются функция у=|х| . Мы знаем диапазон этой функции: ; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Жижченко. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Матем. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Готовимся к экзамену) ISBN 978-5--094-7

резюме других презентаций

Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов для алгебры 8 класса»; подробно анализируются методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач.
За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними воспитателями.

Вариант 1 4

до полинома (повторение) 4

С-2. Факторинг (обзор) 5

С-3. Целочисленные и дробные выражения 6

С-4. Основное свойство дроби. Сокращение фракции. 7

С-5; Сокращение дробей (продолжение) 9

с теми же знаменателями 10

с разными знаменателями 12

знаменатели (продолжение) 14

C-9. Умножение дробей 16

С-10. Разделение фракций 17

С-11. Все действия с дробями 18

С-12. Функция 19

C-13. Рациональные и иррациональные числа 22

C-14. Арифметический квадратный корень 23

С-15. Решение уравнений вида x2=a 27

C-16. Нахождение приблизительных значений

квадратный корень 29

C-17. Функция y=d/x 30

Корневой продукт 31

Частные корни 33

S-20. Квадратный корень из 34

C-21. Разложение корневого знака Разложение корневого знака 37

C-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43

S-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47

C-27. Теорема Виета 49

C-28. Решение задач с

квадратными уравнениями 50

коэффициентами. Биквадратные уравнения 51

S-30. Дробные рациональные уравнения 53

C-31. Решение задач с

рациональными уравнениями 58

S-32. Сравнение номеров (обзор) 59

С-33. Свойства числовых неравенств 60

С-34. Сложение и умножение неравенств 62

С-35. Доказательство неравенств 63

С-36. Оценка значения выражения 65

C-37. Оценка погрешности аппроксимации 66

S-38. Округление чисел 67

S-39. Относительная ошибка 68

С-40. Пересечение и объединение множеств 68

C-41. Количество пробелов 69

С-42. Решение неравенств 74

C-43. Решение неравенств (продолжение) 76

C-44. Системы решения неравенств 78

С-45. Решение неравенств 81

переменная под знаком по модулю 83

С-47. Степень с целым показателем 87

Степень с целым показателем 88

C-49. Стандартная форма номера 91

S-50. Запись ориентировочных значений 92

S-51. Элементы статистики 93

(повтор) 95

С-53. Определение квадратичной функции 99

S-54. Функция y=ax2 100

S-55. График функции y = ax2 + bx + c 101

S-56. Решение квадратных неравенств 102

С-57. Метод расстановки 105

Вариант 2 108

C-1. Преобразование целочисленного выражения

в полиномиальное (повторение) 108

C-2. Факторинг (обзор) 109

С-3. Целочисленные и дробные выражения 110

C-4. Основное свойство дроби.

Сокращение фракции 111

C-5. Сокращение фракции (продолжение) 112

C-6. Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями 114

С-7. Сложение и вычитание дробей

e разные знаменатели 116

C-8. Сложение и вычитание дробей с разными

знаменателями (продолжение) 117

C-9. Умножение дробей, 118

С-10. Разделение фракций 119

С-11. Все действия с дробями 120

С-12. Артикул 121

C-13. Рациональные и иррациональные числа 123

C-14. Арифметический квадратный корень 124

C-15. Решение уравнений вида x2-a 127

С-16. Поиск приближенных квадратных корней 129
C-17. Функция y=\/x» 130

C-18. Корень квадратный из произведения.

Произведение корней 131

C-19. Корень квадратный из дроби.

Частные корни 133

S-20. Квадратный корень из 134

C-21.Вынесение множителя из-под знака корня

Ввод множителя под знаком корня 137

C-22.Преобразование выражений,

C-23.Уравнения и их корни 141

С-24. Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения 142

S-25. Решение квадратных уравнений 144

C-26. Решение квадратных уравнений

(продолжение) 146

C-27. Теорема Виета 148

C-28. Решение задач с

квадратными уравнениями 149

C-29. Разложение квадратного трехчлена на

множителей. Биквадратные уравнения 150

S-30. Дробные рациональные уравнения 152

С-31. Решение задач с

рациональными уравнениями 157

S-32. Сравнение номеров (обзор) 158

С-33. Свойства числовых неравенств 160

С-34. Сложение и умножение неравенств 161

С-35. Доказательство неравенств 162

S-36. Оценка значения выражения 163

C-37. Оценка погрешности аппроксимации 165

S-38. Округление чисел 165

S-39. Относительная ошибка 166

S-40. Пересечение и объединение множеств 166

С-41. Номер пробела 167
С-42. Решение неравенств 172

С-43. Решение неравенств (продолжение) 174

C-44. Системы решения неравенств 176

С-45. Решение неравенств 179

С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

переменных под знаком модуля 181

C-47. Степень с целым показателем 185

C-48. Преобразование выражений, содержащих

градуса с целым показателем степени 187

C-49. Стандартная форма номера 189

S-50. Запись ориентировочных значений 190

S-51. Элементы статистики 192

С-52. Понятие функции. График функций

(повтор) 193

S-53. Определение квадратичной функции 197

S-54. Функция y=ax2 199

S-55. График функции у = ах24-бж + с 200

С-56. Решение квадратных неравенств 201

С-57. Метод интервалирования 203

Обследования 206

Опция 1 206

K-10 (финал) 232

Опция 2 236

K-2A 238
K-ZA 242

K-9A (Final) 257

Финальное повторение по теме 263

Олимпийские игры. 274

Весенние Олимпийские игры 275

Умение оценивать значение выражения. Как вы оцениваете значение выражения? Методы получения оценок, примеры. Основные методы получения смет

М.: 2014 — 288с. М.: 2012 — 256с.

«Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно анализируются методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними воспитателями.

Формат: pdf ( 201 4 , 28 8р. , Ерин В.К.)

Размер: 3,5 Мб

Часы, скачать: диск.гугл

Формат: pdf ( 2012 , 256 стр., Морозов А.В.)

Размер: 2,1 МБ

Часы, скачать: ссылки удалены (см. примечание!!)

Формат: pdf( 2005 , 224с., Федоскина Н.С.)

Размер: 1,7 МБ

Часы, скачать: диск.гугл

Содержание
Самостоятельная работа 4
Вариант 1 4

к многочлену (повторение) 4
С-2. Факторинг (повторение) 5
C-3. Целочисленные и дробные выражения 6
C-4. Основное свойство дроби. Редукционные фракции 7
С-5. Сокращающие дроби (продолжение) 9

с одинаковыми знаменателями 10

с разными знаменателями 12

знаменатели (продолжение) 14
C-9. Умножение дробей 16
С-10. Разделение фракций 17
С-11. Все действия с дробями 18
S-12. Функция 19
S-13. Рациональные и иррациональные числа 22
S-14. Арифметический квадратный корень из 23
S-15. Решение уравнений вида x2 = 27

квадратный корень из 29
S-17. Функция y = \ / x 30

Произведение корней 31

Частные корни 33
S-20. Квадратный корень из степени 34

Разложение на множители под знаком корня 37

содержащие квадратные корни 39
С-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43
S-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47
S-27. Теорема Виета 49

квадратные уравнения 50

множители. Биквадратные уравнения 51
S-30. Дробные рациональные уравнения 53

рациональные уравнения 58
S-32. Сравнение номеров (повторение) 59
S-33. Свойства числовых неравенств 60
S-34. Сложение и умножение неравенств 62
С-35. Доказательство неравенств 63
S-36. Оценка значения выражения 65
S-37. Оценка погрешности аппроксимации 66
S-38. Округление номера 67
С-39. Относительная ошибка 68
S-40. Пересечение и объединение комплектов 68
С-41. Номер пролета 69
С-42. Решение неравенств 74
S-43. Решение неравенств (продолжение) 76
S-44. Решение систем неравенств 78
S-45. Решение неравенств 81

переменная под знаком модуля 83
С-47. Целое число Степень 87

градуса с целым числом 88
S-49. Номер стандартного вида 91
S-50. Запись приблизительных значений 92
S-51. Элементы статистики 93

(повторно) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
S-54. Функция y = ax2 100
S-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101
S-56. Решение квадратных неравенств 102
S-57. Интервальный метод 105
Вариант 2 108
C-1. Преобразование целочисленного выражения
на полином (повторение) 108
C-2. Факторинг (повтор) 109
C-3. Целочисленные и дробные программные выражения
C-4. Основное свойство дроби.
Восстанавливающие фракции 111
С-5. Восстанавливающие фракции (продолжение) 112
C-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
C-7. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями 116
C-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
С-9. Умножение дробей 118
S-10. Разделение фракций 119
С-11. Все действия с дробями 120
S-12. Функция 121
S-13. Рациональные и иррациональные числа 123
S-14. Арифметический квадратный корень из 124
S-15. Решение уравнений вида x2 = a 127
S-16. Нахождение приблизительного значения
квадратного корня из 129
S-17. Функция y = Vx 130
S-18. Квадратный корень из произведения.
Продукт корнеплодов 131
S-19. Квадратный корень из дроби.
Частные корни 133
S-20. Корень квадратный из мощности 134
S-21. Выведение множителя из знака корня
Введение множителя под знаком корня 137
С-22. Преобразование выражений,
, содержащих квадратные корни 138
S-23. Уравнения и их корни 141
S-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
S-25. Решение квадратных уравнений 144
S-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
S-27. Теорема Виета 148
С-28. Решение задач с
квадратными уравнениями 149
S-29. Разложение квадратного трехчлена на
множителя. Биквадратные уравнения 150
S-30. Дробные рациональные уравнения 152
S-31. Решение задач с
рациональными уравнениями 157
S-32. Сравнение номеров (повторение) 158
S-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
S-35. Доказательство неравенств 162
S-36. Оценка значения выражения 163
С-37. Оценка погрешности аппроксимации 165
С-38. Округление номера 165
С-39. Относительная ошибка 166
S-40. Пересечение и объединение комплектов 166
С-41. Номер пролета 167
С-42. Решение неравенств 172
S-43. Решение неравенств (продолжение) 174
S-44. Решение систем неравенств 176
S-45. Решение неравенств 179
S-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменных под знаком модуля 181
S-47. Целая степень 185
С-48. Преобразование выражений, содержащих
градуса, в целое число 187
S-49. Стандартный номер 189
S-50. Запись приблизительных значений 190
S-51. Статистика Предметов 192
S-52. Концепция функции. График функций
(повтор) 193
S-53. Определение квадратичной функции 197
S-54. Функция y = ax2 199
S-55. График функции y = ax2 + txr + c 200
S-56. Решение квадратных неравенств 201
S-57. Интервальный метод 203
Контрольно-измерительные работы 206
Вариант 1 206
Уличная мебель-1 206
Уличная мебель-2 208
Уличная мебель-3 212
Уличная мебель-4 215
Уличная мебель-5 218
Уличная мебель-6 221
Уличная мебель-7 223
Уличная мебель -8 226
Садовая мебель-9 229
К-10 (окончательная) 232
Вариант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243- К-9024 -6А 249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (финальное) 257
Итоговое повторение по теме 263
Осенняя олимпиада 274
Весенняя олимпиада 275

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимается под вычислением значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого мы подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно будем давать решения на типичных примерах.

Что значит оценить значение выражения?

Мы не смогли найти в школьных учебниках четкого ответа на вопрос, что подразумевается под оценкой значения выражения. Попробуем разобраться сами, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые до сих пор содержатся в учебниках и в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы.

Посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Вот несколько цитат:

Первые два примера включают вычисление чисел и числовых выражений. Здесь мы имеем дело с вычислением одного значения выражения. Остальные примеры содержат вычисления, связанные с переменными выражениями. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, разумеется, является подмножеством диапазона допустимых значений) соответствует собственное значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X) не состоит из единственного числа, то выражение с переменной соответствует множеству значений выражения. В этом случае приходится говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ОДЗ (или множестве Х). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОВС (или множества X).

Для рассуждения немного отвлечемся от поиска ответа на вопрос, что значит оценивать значение выражения. Вышеприведенные примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют нам принять следующие два определения:

Определение

Оценить значение числового выражения — это означает указать числовой набор, содержащий оцениваемое значение. В этом случае заданный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

Определение

Вычислить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве Х) — это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые выражение принимает на ОДЗ (или на множестве Х ). В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражения.

Легко убедиться, что для одного выражения можно указать более одной оценки. Например, числовое выражение может быть оценено как, или , или , или и т. д. То же самое относится и к переменным выражениям. Например, выражение на ЛДЗ может быть оценено как , или , или и т. д. В связи с этим к записанным определениям стоит добавить уточнение, касающееся указанного числового набора, являющегося оценкой: оценка не должна быть абы как, он должен соответствовать целям, для которых он создан. Например, для решения уравнения оценка подходит… Но для решения уравнения эта оценка уже не годится, здесь значения выражения нужно оценивать иначе, например, так: .

Следует отметить отдельно, что одной из оценок значений выражения f(x) является диапазон значений соответствующей функции y = f(x).

В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно оценки записывают с помощью неравенств. Вы, наверное, уже заметили это.

Оценка значений выражений и оценка значений функций

По аналогии с вычислением значений выражения можно говорить о вычислении значений функции. Это выглядит вполне естественно, особенно если иметь в виду функции, определяемые формулами, поскольку вычисление значений выражения f(x) и вычисление значений функции y = f(x) являются по сути то же самое, что очевидно. Более того, часто процесс получения оценок удобно описывать в терминах вычисления значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения осуществляется через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом абзаце этой статьи мы сказали, что может быть много оценок его значений для выражения. Являются ли некоторые из них лучше, чем другие? Это зависит от решаемой проблемы. Поясним на примере.

Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих параграфах, можно получить две оценки значений выражения: первая есть, вторая есть. .. Усилие необходимые для получения этих оценок, существенно различаются. Первая из них практически очевидна, а получение второй оценки связано с нахождением наименьшего значения подкоренного выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях для решения задачи может быть использована любая из оценок. Например, любая наша оценка позволяет решить уравнение… Понятно, что в этом случае мы ограничились бы нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, не стали бы утруждать себя поиском второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, наша первая оценка не позволяет решить уравнение, а оценка позволяет это сделать. То есть в этом случае первой очевидной оценки нам бы не хватило, и пришлось бы искать вторую оценку.

Вот так мы подходим к вопросу о точности оценок. Можно подробно определить, что понимается под точностью оценки. Но для наших нужд в этом нет особой нужды; нам будет достаточно упрощенного представления о точности оценки. Условимся трактовать точность оценки как некий аналог точности приближения … То есть из двух оценок значений некоторого выражения f(x) рассмотрим более точную, которая находится «ближе» к диапазону значений функции y = f(x). В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок значений выражения , так как совпадает с областью значений соответствующей функции… В то же время ясно, что оценка более точная оценка… Другими словами, оценка более грубая оценка.

Есть ли смысл все время искать наиболее точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что сравнительно грубых оценок часто бывает достаточно для решения задач. И главное преимущество таких оценок перед точными оценками состоит в том, что зачастую их гораздо проще получить.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

Оценка значений функции y = | х |

Помимо основных элементарных функций, хорошо изученными и полезными с точки зрения получения оценок являются функция у = | х | . .. Нам известен диапазон значений этой функции: ; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учеб. для общего образования. институты: базовые и профильные. уровней / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022771-1.

Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 112 с. — (Подготовка к экзамену) ISBN 978-5-

-094-7

Сборник задач по математике для абитуриентов в вузы (с решениями). В 2 кн. Книга. 1. Алгебра: Учебник. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; изд. М.И.Сканави. — 8-е изд., испр. — М.: Высшее. шк., 1998. — 528 с.: ил. ISBN 5-06-003524-7

резюме других презентаций

«Сложение и вычитание алгебраических дробей» — Алгебраические дроби. .. 4a? B. Изучить новую тему… Цели: Запомнить! Кравченко Г.М. Примеры:

«Степени с целым показателем» — Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Градус с целым показателем (5 часов) стр.43. Преподавание алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики. Отсроченное введение степени с целым отрицательным показателем… Знать определение степени с целым отрицательным показателем. 2.

«Типы квадратных уравнений» — Неполные квадратные уравнения. Вопросы… Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение квадратного уравнения Виды квадратных уравнений Решение квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминант»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е., Иванов Н., Петров Г. Редуцированное квадратное уравнение. Выполнено: учащиеся 8 класса. Метод полноквадратичного отбора. Типы квадратных уравнений. Пусть. Графический способ.

«Численные неравенства 8 класса» — A-c>0. Неравенства. НО= «Больше или равно». б> в. Напишите a > b или a 0. B-c > 0. Числовые неравенства. Лакс. Свойства числовых неравенств. Примеры: Если а б, то а-5 > б-5. А>0 означает, что а — положительное число;

«Решение квадратных уравнений Теорема Виета» — Один из корней уравнения равен 5. Задание №1. МОУ «Кисловская СОШ». Научный руководитель: учитель математики Баранникова Е.А. Кисловка — 2008 (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите x2 и k. Работу выполнил: учащийся 8 класса Слинько В. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.

Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно анализируются методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач.
За короткое время родители могут стать весьма эффективными домашними воспитателями.

Опция 1 4

в полином (повторение) 4

С-2. Факторинг (повтор) 5

С-3. Целочисленные и дробные выражения 6

С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 7

С-5; Редукционные фракции (продолжение) 9

с теми же знаменателями 10

с разными знаменателями 12

знаменатели (продолжение) 14

С-9. Умножение дробей 16

С-10. Деление дробей 17

С-11. Все действия с дробями 18

С-12. Функция 19

С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

С-14. Арифметический квадратный корень из 23

С-15. Решение уравнений вида x2 = a 27

С-16. Нахождение приблизительных значений

квадратный корень из 29

С-17. Функция y = d/x 30

Продукт корней 31

Частные корни 33

С-20. Квадратный корень из степени 34

С-21. Вычитание множителя из знака корня Добавление множителя из знака корня 37

С-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43

С-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47

С-27. Теорема Виета 49

С-28. Решение проблем с

квадратные уравнения 50

множителя. Биквадратные уравнения 51

С-30. Дробные рациональные уравнения 53

С-31. Решение проблем с

рациональные уравнения 58

С-32. Сравнение чисел (повторение) 59

С-33. Свойства числовых неравенств 60

С-34. Сложение и умножение неравенств 62

С-35. Доказательство неравенств 63

С-36. Оценка значения выражения 65

С-37. Оценка погрешности аппроксимации 66

С-38. Округление чисел 67

С-39. Относительная ошибка 68

С-40. Пересечение и объединение множеств 68

С-41. Количество пролетов 69

С-42. Решение неравенств 74

С-43. Решение неравенств (продолжение) 76

С-44. Решение систем неравенств 78

С-45. Решение неравенств 81

переменная под знаком модуля 83

С-47. Целое число Степень 87

градус с целым числом 88

С-49. Стандартный номер 91

С-50. Запись приблизительных значений 92

С-51. Элементы статистики 93

(повторно) 95

С-53. Определение квадратичной функции 99

С-54. Функция у = ах2 100

С-55. График функции y = ax2 + bzh + c 101

С-56. Решение квадратных неравенств 102

С-57. Интервальный метод 105

Вариант 2 108

С-1. Преобразование целочисленного выражения

в полиномиальное (повторение) 108

С-2. Факторинг (повтор) 109

С-3. Целочисленные и дробные выражения 110

С-4. Основное свойство дроби.

Восстанавливающие фракции 111

С-5. Редукционные фракции (продолжение) 112

С-6. Сложение и вычитание дробей

с теми же знаменателями 114

С-7. Сложение и вычитание дробей

e разные знаменатели 116

С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

знаменатели (продолжение) 117

С-9. Умножение дробей, 118

С-10. Деление дробей 119

С-11. Все действия с дробями 120

С-12. Функция 121

С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

С-14. Арифметический квадратный корень из 124

С-15. Решение уравнений вида х2 — а 127

С-16. Нахождение приблизительных значений квадратного корня из 129
S-17. Функция у = \/х» 130

С-18. Квадратный корень из произведения.

Продукт корней 131

С-19. Квадратный корень из дроби.

Частные корни 133

С-20. Квадратный корень из степени 134

С-21. Удаление множителя из корневого знака

Введение множителя под знаком корня 137

С-22. Преобразование выражений,

С-23. Уравнения и их корни 141

С-24. Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения 142

С-25. Решение квадратных уравнений 144

С-26. Решение квадратных уравнений

(продолжение) 146

С-27. Теорема Виета 148

С-28. Решение проблем с

квадратные уравнения 149

С-29. Разложение квадратного трехчлена на

множителя. Биквадратные уравнения 150

С-30. Дробные рациональные уравнения 152

С-31. Решение проблем с

рациональные уравнения 157

С-32. Сравнение номеров (повторение) 158

С-33. Свойства числовых неравенств 160

С-34. Сложение и умножение неравенств 161

С-35. Доказательство неравенств 162

С-36. Оценка значения выражения 163

С-37. Оценка погрешности аппроксимации 165

С-38. Округление чисел 165

С-39. Относительная ошибка 166

С-40. Пересечение и объединение множеств 166

С-41.

Оставить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вы можете использовать эти HTMLметки и атрибуты:

Имя *

Email *

Сайт

АЛГЕБРА

Уроки для 9 классов

УРОК № 5

Тема. Сложение членов и умножение неравенств. Применение свойств числового неравенства для оценки значений выражения

Цель урока: познакомить учащихся с содержанием понятия «сложить неравенства почленно» и «перемножить неравенства почленно», а также с содержанием свойств числовых неравенств, выражаемых теоремами о сложении членов и почленное умножение числовых неравенств и их следствия. Развивать умение воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжать работу над навыками доказательства неравенств, сравнения выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

Тип урока: усвоение знаний, развитие начальных навыков.

Видимость и оборудование: вспомогательный синопсис № 5.

Во время занятий

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учащиеся выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознанного участия учащихся в постановке цели урока можно предложить им практические задания геометрического содержания (например, на оценку периметра и площади прямоугольника, длины смежных сторон которого оцениваются в виде двойных неравенств). В ходе беседы учитель должен направить мысли учащихся на то, что хотя задачи и аналогичны тем, которые решались на предыдущем уроке (см. урок № 4, оценить значение выражений), однако, в отличие от названных, они не может быть решена теми же средствами, так как необходимо вычислять значения выражений, содержащих две (а в перспективе и более) буквы. Таким образом, учащиеся осознают наличие противоречия между полученными ими к этому моменту знаниями и необходимостью решения конкретной задачи.

Результатом выполненной работы является формулировка цели занятия: изучить вопрос о таких свойствах неравенств, которые можно применять в случаях, аналогичных описанным в предложенной задаче для учащихся; для чего необходимо четко сформулировать на математическом языке и в словесной форме, а затем привести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в сочетании с ранее изученными свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

IV. Актуализация базовых знаний и навыков учащихся

Устные упражнения

1. Сравните числа a и b, если:

1) а — б = -0,2;

2) а — б = 0,002;

3) а = б — 3;

4) а — б = м 2 ;

5) а = б — м 2.

3. Сравните значения выражений a + b и ab, если a = 3, b = 2. Обоснуйте свой ответ. Полученное соотношение будет выполнено, если:

1) а = -3, б = -2;

2) а = -3, б = 2?

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Свойство терма добавлением числовых неравенств (с уточнением).

2. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

3. Последствия. Свойство почленного умножения числовых неравенств (с уточнением).

4. Примеры применения проверенных свойств.

Вспомогательная записка № 5

Теорема (свойство) о почленном сложении числовых неравенств
Если a b и c d, то a + c b + d.
Доставка .
Теорема (свойство) о почленном умножении числовых неравенств
Если 0 a b и 0 c d, то ac bd. Приведение . Последствие. Если 0 a b, то bn, где n — натуральное число.
Доставка
		(по почленной теореме, умножение числовых неравенств).
Пример 1. Известно, что 3 и 4; 2 б 3. Оцените значение выражения: 1) а + б; 2) а — б; 3) б; 4) .
	2) а — б = а + (-б) 2 б 31 ∙ (-1) 2> -b> -3		(0) 2 б 3
Пример 2. Докажем неравенство (m + n) (mn + 1)> 4mn, если m > 0, n > 0.
Доставка Используя неравенство (где a ≥ 0, b ≥ 0) и полученное неравенство a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), при m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:
m + n ≥ 2, (1) млн + 1 ≥ 2. (2)
По теореме почленного умножения для неравенств мы умножаем неравенства (1) и (2) почленно. Тогда имеем: (м + н) (мн + 1) ≥ 2 ∙ 2, (m + n) (mn + 1) ≥ 4, поэтому (m + n) (mn + 1) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

Методический комментарий

Для осознанного восприятия нового материала преподаватель может на этапе актуализации основных знаний и умений учащихся предлагать решения устных упражнений с воспроизведением, соответственно, определяющих сравнение чисел и свойства числовых неравенств, изучаемых в предыдущие уроки (см. выше), а также рассмотрение вопроса о соответствующих свойствах числовых неравенств.

Обычно студенты хорошо усваивают содержание теорем о сложении членов и умножении числовых неравенств, но опыт работы свидетельствует о склонности студентов к некоторым ложным обобщениям. Поэтому, чтобы не допустить ошибок в формировании знаний учащихся по данному вопросу путем демонстрации примеров и контрпримеров, учителю следует акцентировать внимание на следующих моментах:

· Сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как на математическом языке, так и в словесной форме;

· Почленные теоремы сложения и умножения числовых неравенств выполняются только для неправильностей одного знака;

· Свойство почленного сложения числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. выше) для любых чисел, а теорема почленного умножения (в виде, как указано в справочной записке № 5 ) только для положительных чисел;

Теоремы о вычитании членов и делении членов числовых неравенств не изучаются, поэтому в тех случаях, когда необходимо оценить разность или долю выражений, эти выражения представляют в виде суммы или произведения соответственно, а затем, при определенных условиях, они используют свойства сложения членов и умножения числовых неравенств. ..

Ви. Формирование навыков

Устные упражнения

1. Добавить почленные неравенства:

1) а>2, б>3;

2) с-2, д 4.

Или одни и те же неравенства можно почленно умножать? Обоснуйте ответ.

2. Умножить почленные неравенства:

1) а>2, б>0,3;

2) с>2, г>4.

Или можно такие же неровности добавить? Обоснуйте ответ.

3. Определите и обоснуйте, верно ли утверждение, что если 2 a 3, 1 b 2, то:

1) 3 а + б 5;

2) 2 аб 6;

3) 2 — 1 а — б 3 — 2;

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока необходимо решить упражнения следующего содержания:

1) сложить и умножить эти числовые неравенства почленно;

2) оценивают значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений по этим оценкам каждого из этих чисел;

3) оценить значение выражений, содержащих эти буквы, по данным оценкам каждой из этих букв;

4) доказывает неравенство, используя теоремы о сложении и умножении членов числовых неравенств и используя классические неравенства;

5) повторить изученные на предыдущих уроках свойства числовых неравенств.

Методический комментарий

Предлагаемые к решению на данном этапе урока письменные упражнения должны способствовать выработке устойчивых навыков почленного сложения и умножения неравенств в простых случаях. (При этом прорабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильности записи суммы и произведения левой и правой частей неравенств. Подготовительные работа осуществляется во время выполнения устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала от учащихся следует требовать воспроизведения изучаемых теорем при комментировании действий.

После того, как учащиеся успешно разработают теоремы в простых случаях, они могут постепенно переходить к более сложным случаям (для оценки разности и частного двух выражений и более сложных выражений). На данном этапе работы учителю следует внимательно следить за тем, чтобы учащиеся не допускали типичных ошибок, пытаясь внести разнообразие и оценить долю за собственными ложными правилами.

Также на занятии (разумеется, если позволяет время и уровень усвоения учащимися содержания материала) следует уделить внимание упражнениям по использованию изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

VII. Краткое содержание урока
Контрольная задача

Известно, что 4 на 5; 6 б 8. Найдите неверные неравенства и исправьте ошибки. Обоснуйте ответ.

1) 10 а + б 13;

2) -4 а — б -1;

3) 24 аб 13;

4) ;

5) ;

7) 100 а2 + Ь 2 169?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить теоремы о сложении и умножении членов числовых неравенств (с уточнением).

2. Выполняйте репродуктивные упражнения, аналогичные упражнениям в классе.