Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 классы

• формат exe, txt
• размер 186.13 МБ
• добавлен 24 сентября 2010 г.

Издательство: Просвещение-2010г.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» + пособие по этому учебнику.
Пособие включает: объяснение материала при помощи flash-роликов (с озвучкой), полное решение некоторых заданий иллюстрированных flash-роликами (с озвучкой), несколько контрольных работ по темам для проверки и т. д.
Учебник включает: отсканированные страницы, в некоторых местах кликабельны (с ссылкой на части пособия)
Данное приложение подойдёт не только ученикам для изучения урока, но и для учителей, чтоб сделать свои уроки интереснее.
Перед установкой прочитайте файл readMe.txt

Смотрите также

• формат djvu
• размер 4. 98 МБ
• добавлен 30 ноября 2009 г.

Ответы на учебник.

• формат pdf
• размер 11.89 МБ
• добавлен 30 января 2010 г.

Академик СССР Колмогоров А. Н. 17-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 384 с. Учебник написан на высоком научном уровне, основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Каждый пункт книги содержит образцы решения типичных задач, соответствующих обязательному уровню подготовки по данной теме, и более трудные задачи для учащихся, хорошо и отлично усвоивших пройденный материал. Вопросы и задачи на повторение, которыми заканчивае…

• формат djv, pdf
• размер 6.62 МБ
• добавлен 09 сентября 2010 г.

Мордкович А. Г. Школьный курс математики. djvu. 6.8 Мб. В архиве три файла: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Задачник. Алгебра и начала анализа 11 кл. Решебник к задачнику.

• формат djvu
• размер 2.33 МБ
• добавлен 18 июня 2010 г.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень): методическое пособие для учителя Издательство: Мнемозина. Год: 2010. Страниц: 202. В пособии представлены примерное планирование учебного материала в 10 и 11 классах (в двух вариантах), методические рекомендации по работе с учебником А. Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы», решение наиболее трудных задач из одноименного за…

• формат djvu
• размер 5. 11 МБ
• добавлен 30 января 2012 г.

Издательство: Мнемозина. Год: 2010. Страниц: 239. В пособии представлены примерное планирование учебного материала в 10 классе (в трех вариантах), методические рекомендации по работе с учебником А Г. Мордковича, П. В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс», решение наиболее трудных задач из одноименного задачника.

• формат djvu
• размер 5.02 МБ
• добавлен 18 июня 2010 г.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (базовый уровень). Издательство: Мнемозина. Год: 2009. Страниц: 399. Учебник дает цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начал математического анализа. Отличительные особенности учебника — более доступное для школьников изложение материала по сравнению с традиционными учебными пособиями, наличие большого числа примеров с подробными реше. ..

• формат djvu
• размер 2.13 МБ
• добавлен 18 июня 2010 г.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (базовый уровень). Издательство: Мнемозина. Год: 2009. Страниц: 239. Предлагаемый задачник по курсу «Алгебра и начала математического анализа» в 10—11-м классах (базовый уровень) соответствует одноименному учебнику. В каждом параграфе задачника представлена разнообразная система упражнений, включающая четыре уровня — по степени нарастания трудности. Уче…

• формат djvu
• размер 3.01 МБ
• добавлен 18 июня 2010 г.

Мордкович А. Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс В 2 ч. Ч. 2. Задачник (профильный уровень). Издательство: Мнемозина. Год: 2009. Страниц: 343. Задачник представляет собой вторую часть комплекта из двух книг предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник).

• формат djvu
• размер 4.87 МБ
• добавлен 18 июня 2010 г.

Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник (профильный уровень). Издательство: Мнемозина. Год: 2009. Страниц: 424. Учебник представляет собой первую часть комплекта из двух книг, предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (вторая часть — задачник).

• формат pdf
• размер 3.67 МБ
• добавлен 20 октября 2009 г.

М.: Просвещение, 2002 г. — 221с. В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из учебника «Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ АН. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. Пособие будет полезно родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по алгебре и…

Рабочая программа по алгебре 10-11 класс А.Н. Колмогоров

Управление образования администрации города Тулы

муниципальное казенное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение

открытая (сменная) общеобразовательная школа № 2

ПРИНЯТО

на заседании педагогического

совета МКВ(С)ОУ-О(С)ОШ № 2

Протокол заседания №_____

«___»________________2012 г.

Рабочая программа

по алгебре и началам анализа

(предмет)

для 10-11

(класс)

уровень базовый

автор Алехина И.В.

Харламова О.В.

Матвеева Т.Н.

срок реализации_2012-2015 уч.год

Рассмотрена на заседании МО учителей математики и физики

Протокол № 1 от « 28 »августа 2012 г.

2012-2013 уч.год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Данная рабочая программа по алгебре для 10 — 11 классов разработана на основе Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев с учетом требований федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования, с использованием рекомендаций «Поурочного планирования по алгебре и началам анализа» О. В.Макаровой. По учебному плану МВ(С)ОУ-О(С)ОШ №2 предусмотрено следующее количество часов:

— очно-заочные классы: 3 часа в неделю в 10-11 классах, всего 216 часов;

— заочные классы: 2,5 часа в неделю, всего 180 часов.

В рабочей программе на 10-11 класс предусмотрены контрольные работы и зачеты по изучаемым темам.

Контрольные работы завершают изучение разделов: «Тригонометрические выражения», «Тригонометрические функции», «Производная», «Применение производной», «Первообразная. Интеграл», «Обобщение понятия степени», «Показательная и логарифмическая функции», «Производная показательной и логарифмической функции». . Промежуточная аттестация проводится в соответствии с уставом школы по зачетам.

Изучение алгебры в 10-11 классах направлено на достижение следующих целей:

• Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

• Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

• Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.

• Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Задачи курса алгебры для достижения поставленных целей:

• Ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений.

• Изучить свойства тригонометрических функций.

• Сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения и ознакомить с основными приемами решения тригонометрических уравнений.

• Сформировать понятие о производной, выработать умение находить производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

• Познакомить учащихся с методами дифференциального исчисления, сформировать умения применять их для решения задач.

• Познакомить учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить применять первообразную для вычисления площади криволинейной трапеции; показать применение интеграла к решению геометрических задач.

• Привести в систему и обобщить сведения о степенях; ознакомить с показательной, логарифмической и показательной функциями и их свойствами; научить решать несложные показательные, логарифмические и иррациональные уравнения, их системы.

• Обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения об уравнениях, неравенствах, системах и методах их решения; познакомить с общими методами решения.

№ п/п

Содержание курса алгебры 10-11 классов включает следующие тематические блоки:

Х класс

1. Тригонометрические выражения.

Градусная и радианная меры углов. Синус косинус тангенс и котангенс произвольного угла и числа. Вычисление значение тригонометрических функций с помощью калькулятора. Основные тригонометрические тождества и их применение к преобразованию выражений. Формулы приведения. Формулы сложения. (Синус косинус тангенс суммы и разности двух углов ). Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразование тригонометрических выражений. Преобразование суммы тригонометрических функций и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Нахождение значений тригонометрических функций по одной из них. Доказательство тождеств. Преобразование тригонометрических выражений.

Зачёт №1: «Тригонометрические выражения»

2. Тригонометрические функции.

Функции. Область определения функции, множество значений функции. График функции.

Построение графиков функции заданных различными способами. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат (повт). Растяжение и сжатие вдоль осей координат. Свойства функций: монотонность, чётность и нечётность. Периодичность, ограниченность функций. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Нахождение точек экстремума. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Схема исследования функции. Исследование функций. Тригонометрические функции их свойства и графики. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях (Гармонические колебания). Исследование тригонометрических функций.

Зачёт №2: «Основные свойства функций. Тригонометрические функции»

3. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем. Простейшие тригонометрические неравенства. Использование свойств графиков и функций при решении неравенств. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.

Зачёт №3 «Тригонометрические уравнения и неравенства»

4. Производная.

Приращение функции. Понятие о производной функции. Физический и геометрический смысл производной. Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функции на бесконечности. Правила вычисления производных. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции. Производные тригонометрических функций.

5. Использование производной.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Метод интервалов. Уравнение касательной к графику функции. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Использование производной при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач. Нахождение скорости для процесса, заданного функцией или графиком. Вторая производная и её физический смысл.

Зачёт №4: «Производная».

6. Применение производной.

Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Применение производной к исследованию функций и построение графиков. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

Зачёт №5: «Применение производной».

XI класс

1. Первообразная.

Определение первообразной. Общий вид первообразных. Основное свойство первообразной. Примеры нахождения первообразных. Три правила нахождения первообразной.

2. Интеграл.

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Понятие об интеграле. Формула Ньтона-Лейбница. Вычисление площади фигуры. Применение интеграла. Вычисление объемов тел. Работа переменной силы. Центр масс.

Зачет №1: «Первообразная и интеграл».

3. Обобщение понятия степени.

Определение корня. Основные свойства корней. Иррациональные уравнения. Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем.

Зачет №2: «Обобщение понятия степени».

4. Показательная и логарифмическая функции.

Степень с иррациональным показателем. Показательная функция. Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений уравниванием оснований. Решение показательных уравнений вынесением общего множителя за скобки. Решение показательных уравнений заменой переменной. Системы уравнений. Решение показательных неравенств и систем неравенств. Логарифм. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Логарифмическая функция. Обратная функция. Решение логарифмических уравнений по определению потенцированием. Решение логарифмических уравнений заменой переменных. Решение логарифмических уравнений логарифмированием обеих частей и приведением к одному основанию. Решение систем логарифмических уравнений и логарифмических неравенств.

Зачет №3: «Показательные и логарифмическая функции».

5. Производная показательной и логарифмической функции. (16 часов)

Число е. Формула производной показательной функции. Нахождение производной показательной функции. Первообразная показательной функции. Производная логарифмической функции. Нахождение производной логарифмической функции. Нахождение первообразной логарифмической функции. Степенная функция и ее производная. Вычисление значений степенной функции. Первообразная степенной функции. Непосредственное интегрирование. Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания. Гармонические колебания. Падение тел в атмосферной среде.

Зачет №4: «Производная показательной и логарифмической функции».

6. Итоговое повторение.

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной атте-стации ученика.

Требования к уровню подготовки выпускников.

Уметь:

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Осуществление представленной рабочей программы предполагает использование следующего учебно-методического комплекта:

• Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение, 2009

• Ивлев Б.М,.СаакянС.М,.Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 кл. М.: Просвещение, 1990

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.Н., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.
  М.: Просвещение, 2005-2009

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., СувороваС.Б. Алгебра 9 класс, М.: Просвещение, 2000-2004.

• Денищева Л.О., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М. и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: пособие для учителя, М.: Просвещение, 1988

• СаакянС.М,. Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа: пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М. : Просвещение, 2003

Дополнительная литература;

• Денищева, А. О. Единый государственный экзамен. Математика: 2004-2005 / контроль-ные измерительные материалы. Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки [Текст] / А. О. Денищева, П. К. Безрукова, Е. М. Бойчекко и др. / под ред. Г. С. Ковалёвой. — М.: Просвещение, 2005.

• Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные тесты-2005
  [Текст]. — Ростов н/Д.: Легион, 2005.

• Корешкова, Т. А. ЕГЭ-2006. Математика. Тренировочные задания [Текст] / Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. — ML: Просвещение, Эксмо, 2006.

УТВЕРЖДАЮ Директор школы ___________ В.П.Родина Приказ № ______________ «___»____________2012 г.	Название темы	Кол-во часов		Кол-во К/р	Кол-во зачетов
Очно-заочные		Заочные
1	Тригонометрические выражения	22	18	2	1
2	Тригонометрические функции	19	16	1	1
3	Тригонометрические уравнения и неравенства	14	12	1	1
4	Производная	24	20	1	1
6	Применение производной	16	13	1	1
7	Первообразная	8	8	1	—
8	Интеграл	11	9	1	1
9	Элементы теории вероятностей	13	8	—	—
10	Обобщение понятия степени	13	12	1	1
11	Показательная и логарифмическая функции	18	17	2	1
12	Производная показательной и логарифмической функции	16	15	2	1
13	Повторение	17	15
13	Итоговое повторение	25	17	4
Итого		216	180	16	10

Колмогоровская сложность, Приложения, MDL: Весна 2009: Главная

Колмогоровская сложность, Приложения, MDL: Весна 2009: Главная

Колмогоровская сложность, Приложения, MDL (код курса MLIKC10) Весна 2009

---

Лектор:
Павел Витаний	CWI, Научный парк 123, 1098XG (ранее Kruislaan 413, 1098SJ) Амстердам 5924124	paulv@cwi. nl
Время занятий:	Четверг 16:00-19:00 Euclides P0.15A (Витаний)
Wouter Koolen-Wijkstra	CWI, Science Park 123, 1098XG (ранее Kruislaan 413, 1098SJ) Амстердам 5924086	[email protected]
Время занятий:	Пятница 13:00-15:00 Euclides P.016 (Wouter Koolen-Wijkstra) инструкция и домашнее задание по лечению.
Часы работы:	Связаться с Wouter Koolen-Wijkstra .
Учебник:	Мин Ли и Пол Витаньи, Ан знакомство с Колмогоровым Сложность и ее приложения. 3-е издание, Спрингер, 2008. В 3-м издании на пару сотен страниц больше, чем во 2-м. издание, множество исправлений и т. д., и примерно на 20 долларов дешевле, чем 2-е издание. на Амазоне ($67,96). Книга о Колмогоровской сложности, НОВОЕ 3-е издание 2008 года.

Учебный материал будет в основном из нашего учебника и статей, которые будут предоставлены на этом сайте. Учащиеся делают еженедельную домашнюю работу, сдают ее почтовый ящик для домашних заданий колмогоровской сложности в здании Евклида. в следующую среду днем 17:00, чтобы Воутер мог обработать исправленную домашнюю работу на следующих пятничных заседаниях. Будет промежуточный письменный экзамен и итоговый экзамен.

Этот курс является общий курс по колмогоровской сложности и многим ее приложениям. Колмогоровская сложность — это современная теория информации и случайности. Цель данного курса — научить студентов основным понятиям Колмогоровская сложность и способы использования этого инструмента в собственных исследованиях.

Темы включают: простая колмогоровская сложность, случайность, префиксная колмогоровская сложность, метод несжимаемости, информационное расстояние, приложения в различных областях, начиная от усредненный анализ алгоритмов до биоинформатики и от сравнение документа с поиском в Интернете, сложность префикса, универсальное распределение (Соломонова-Левина), предсказание Соломонова, выбор гипотезы минимальной длины описания (MDL).

Мы не сможем покрыть полный учебник, а скорее сосредоточимся на недавних разработки и особенно по приложениям Колмогорова сложность.

Схема выставления оценок: каждый учащийся должен еженедельно выполнять домашнее задание. промежуточный и итоговый экзамен. Может быть, экзамены заменят итоговый проект, который может быть как теоретическим, так и программным, который представлен на уроке. Посмотрим, что осуществимо. Домашнее задание 30%, промежуточный и итоговый экзамен или финальный проект и презентация 60% (по 30%), посещаемость занятий 10% (включая гостевые лекции и студенческие презентации) и участие в обсуждениях.

Оценка и кредиты: Кредиты: 10EC. В начале апреля будет промежуточный экзамен, а итоговый экзамен в июне. Если аудитория способна и готова сдавать экзамены могут быть заменены сложными задачами, которые могут выполняться командами из двух человек.

Объявления о курсах и конспекты лекций будут появляться на этой странице. Вы несете ответственность за его прочтение (и загрузку конспекты лекций перед занятиями) регулярно.

Лекции:

Примечание. Конспекты лекций постоянно совершенствуются, так что это хорошая идея. чтобы загрузить самую последнюю версию перед занятием. Так как они улучшены после занятий, версия через несколько дней после занятий еще лучше. Описание домашних заданий и лекций дается как с учетом 2-й выпуск 1997 учебника и к 3-му издание 2008 года учебника, оставив информацию, добавленную во 2-е издание.

• Лекция 1, неделя 6 (05-02): История, определение колмогоровской сложности, основы (Главы 1 и 2). неделя 6. (05-02) Заметки к лекции 1, файл .ppt или Конспект 1 лекции, pdf файл. Домашнее задание: (как во 2-м, так и в 3-м изданиях) 1.6.5, 1.6.6, 1.11.1, 1.11.2, 1.11.7, 2.1.1 (не 2.1.1.г), 2.1.2, 2.1.4.
• Лекция 2, неделя 7 (12-02): Случайность. Определения и тесты Мартина-Лофа (разделы 2.4, 2.5). Заметки к лекции 2, файл .ppt или Конспект лекции 2, pdf файл. Домашнее задание: (как во 2-м, так и в 3-м изданиях) 2.8.1.а, 2.8.2 (не 2.8.2.а), 2.5.1, 2.5.4, 2.6. 1, и докажите следующее утверждение: если двоичная последовательность x длины n содержит ровно n/2 нулей, то x не является c-несжимаемым для достаточно больших n.
• Лекция 3, неделя 8 (19-02): Информация Шеннона и колмогоровская сложность: Симметрия информации (раздел 2.8). Заметки к лекции 3, файл .ppt или Конспекты лекций 3, pdf-файл. Домашнее задание: (как в редакции 2, так и в редакции 3) 2.1.5, 2.1.10, 2.2.2 (в редакции 2 $O(1)$ в 2.2.2.c должно быть $O(\log\log n)$), 2.2.5, 2.7.1.
• Лекция 4, неделя 9 (26-02): Информационная дистанция нормированное информационное расстояние и приложения. (раздел 8.3, это бумага и это бумага и Эта бумага). Заметки к лекции 4, файл .ppt или Конспект лекции 4, pdf файл и возможно Заметки о контроле качества лекции 4 в формате .ppt или Заметки по контролю качества лекции 4 в формате pdf. Домашнее задание: В выпуске 3: 8.4.4.а, доказать теоремы 8.3.6, 8.4.5, 8.4.6, 8.4.8. В Редакции 2 эти упражнения еще не встречались. Запишите их так: Задача 1. Показать, что NID (нормализованное информационное расстояние) макс {К(х|у),К(у|х)} / макс {К(х),К(у)} не является вычислимым. Задача 2. Докажите, что сумма расстояний $E_4 = K(x|y)+K(y|x)$ является метрикой. Докажите, что это допустимое расстояние и мажорирует каждое допустимое расстояние D(x,y) с точностью до множителя 2: E(x,y) \leq 2D(x,y) + O(1). (Аналогично теореме 8.3.2.) Докажите, что его нормализация определяется как $e_{4} = (K(x|y)+K(y|x))/K(x,y)$ принимает значения в $[0,1]$. Это тоже метрика, и если у вас есть время и удовольствие, докажите это. Проблема 3. Пусть $Z(x)$ обозначает двоичную длину сжатой версии $x$ с помощью компрессора Z. Компрессор Z является {\em нормальным} если это реальный компрессор и удовлетворяет аксиомам (тождество) $Z(xx)=Z(x)$ и $Z(\lambda)=0$, где $\lambda$ — пустая строка, (монотонность) $Z(xy) \geq Z(x)$, (симметрия) $Z(xy)=Z(yx)$ и (дистрибутивность) $Z(xy) + Z(z) \leq Z(xz)+Z(yz)$, все (не)равенства с точностью до аддитивного члена $O(\log n)$, с $n$ максимальной двоичной длиной строки вовлечены в соответствующее (не)равенство. {-Z(x,y)} \leq 1$, и удовлетворяет метрическим (в)равенствам с точностью до аддитивные члены $O(\log n)$, с $n$ максимальной двоичной длиной строки вовлечены в соответствующее (не)равенство. (b) Покажите, что расстояние $e_Z E_Z(x,y)/\max{K(x),K(y)} является нормализованной версией $E_Z(x,y)$, где Z — обычный компрессор, имеет значения в $[0,1]$. Если у вас есть время и удовольствие, докажите, что он также удовлетворяет метрике (не)равенства до аддитивные члены $O((\log n)/n)$, с $n$ максимальной двоичной длиной строки вовлечены в соответствующее (не)равенство. Задача 4. Показать, что NGD-расстояние $e_G$ является вычислимым, принимает значения в основном в $[0,1]$, но также снаружи в патологических случаях, и не является показателем, поскольку он нарушает $e_G(x,y) \neq 0$ для $x \neq y$ и $e_G(x,y)+e_G(y,z) \leq e_G(x,z)$.
• Лекция 5, неделя 10 (05-03): Метод несжимаемости и его применение в анализ среднего случая и нижние границы (глава 6) Заметки к лекции 5, файл .ppt или Заметки к лекции 5, pdf файл Дополнительная лекция 5 конспектов Тао Цзян, файл в формате pdf Домашнее задание: (как во 2-м, так и в 3-м выпусках) 6. m | m>n} не является регулярным. Задача 4. Выполните упражнение 6.8.5 (оба варианта 2 и 3). Задача 5. Сортировка шейкером сравнивает каждую соседнюю пару элементов в списке по очереди, меняя их местами при необходимости, и поочередно проходит по списку то с начала в конец, то с конца в начало. Он останавливается, когда проход не делает свопов. Используя аргумент несжимаемости, докажите нижнюю границу сортировки Шейкера для сортировки Шейкера в узком среднем случае. Задача 6. Выполните упражнение 6.3.1 (оба варианта 2 и 3), используя колмогоровскую сложность. Задача 7. Выполните упражнение 6.3.2 (издание 2), которое представляет собой упражнение 6.3.2 (издание 3), используя сложность Колмогорова.
• Промежуточный экзамен , неделя 12 (19-03) (гл. 1, особенно 1.1, 1.5.1, 1.5.3, 1.9, 1.11; Гл. 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.6 (Тем.), 2.7, 6.1, 6.3, 6.6, 6.8, 6.9, 7.5.) Плюс содержание ppt лекций с 1 по 5.1; но вопросы в первую очередь будут по упомянутым разделам.. Время: 16:00—19:00; Место: Комната P016 Евклид.
• Лекция 6, неделя 14 (02-04): Префиксная Колмогоровская сложность (Глава 3) Заметки к лекции 6, файл .ppt или Конспект лекции 6, pdf файл. Домашнее задание: (Выпуск 2) 3.1.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6, 3.4.1, 3.9.4, 4.2.2, 4.3.4. Домашнее задание: (Выпуск 3) 3.1.1, 3.3.4, 3.3.5, 3.3.7, 3.4.1, 3.9.4, 4.2.2, 4.3.5.
• Лекция 7, неделя 15 (09-04): Индуктивный вывод (глава 5) Заметки к лекции 7, файл .ppt или Конспекты седьмой лекции в формате pdf. Домашнее задание: (Издание 2) Докажите утверждение примера 5.2.4 и выполнить упражнения 5.3.1, 5.3.2, 5.3.5, 5.3.6. Домашнее задание (выпуск 3) Докажите утверждение примера 5.2.6 и выполнить упражнения 5.2.10, 5.2.11, 5.2.12.а, 5.2.12.б (первое б).
• Лекция 8, неделя 16 (16-04): Колмогоровская сложность и Природа (Глава 8) Заметки к лекции 8, файл .ppt или Конспекты лекций 8, pdf-файл; и ограниченный ресурс Колмогорова сложность и вычислительная сложность (Глава 7) Лекция 9заметки, файл .ppt или Конспект 9 лекции, pdf файл. Для тех, кто хочет узнать больше, вы можете прочитать заметки Лэнса Фортноу). Домашнее задание: (как во 2-м, так и в 3-м выпусках) Упражнения 7.1.2, 7.2.1, 7.2.2, 7.4.1, 7.7.1
• Лекция 9, неделя 17 (23-04): Гостевая лекция Питер Грюнвальд: MDL в статистическом выводе. (Выбор из Глава 5 L\&V плюс Раздаточный материал, pdf файл Глава 1 должна быть изучена до 1.4 включительно; 1,5, 1,6 и 1,7 полезны, но не обязательны. Специально ищите кадрированные ящики в 1.5, 1.6 и 1.7. Глава 2 должна быть изучена до 2.6.1 включительно. Домашнее задание в пдф. Это также для лекции 10.
• Неделя 19 (07-05): Нет лекции.
• Лекция 10, неделя 20 (14-05): Гостевая лекция Питер Грюнвальд: Применение обучения MDL. Раздаточный материал и домашнее задание см. в Лекции 8.
• Выпускной экзамен : неделя 22 (28-05) 14.00-17.00 Аудитория Евклида P0.16. (Курс 1 на странице xii (изд. 2) + новый материал = Курс 1 на стр. xv (изд. 3) учебника Li-Vitanyi плюс материал из ppt лекций, а также MDL в pdf. В основном то, что не охвачено на промежуточном этапе, хотя простая сложность должна быть известна.)

Возможные темы проекта:

• Компромисс энергии и времени для обработки информации (лекция 4). Это проект, ориентированный на теоретические исследования, связанный с лекцией 4.
• Альтернативная нормализация E(x,y) в лекции 4.
• Экспериментальный проект. Сравните информационное расстояние с традиционные расстояния для поиска в Интернете, как обсуждалось в лекции 5 заметок.
• Подход информационного расстояния применительно к белок-белковым отношениям. Этот предлагает Брона Брейова. Это, наверное, подходит для студент биоинформатики.
• История и сравнительное исследование метрик информационной дистанции. (Поговорите со мной, я предоставлю некоторые документы.)
• Упростите и улучшите анализ среднего случая Быстрая сортировка по колмогоровской сложности (документы предоставлю).
• Улучшить нижнюю границу среднего регистра Shellsort (Open). Это очень трудный.
• Метод несжимаемости: найти проблему в собственном исследовании, сделать средний случай или анализ нижней границы вашей проблемы.
• Пожалуйста, не стесняйтесь обсуждать со мной как поиск, так и решение проблемы вашего проекта. Пожалуйста, дайте мне знать, что вы хотите работа над. Обычно мы предпочитаем людей, работающих в различных проектах, если только в нем нет исследовательского компонента.

Объявления:

Никаких объявлений.

---

Поддерживается Полом Витани. Эти конспекты лекций, презентации в Power Point и подборка статей, разработаны в сотрудничестве с Ming Li, Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона, Университет Ватерлоо, Ватерлоо, Онтарио N2L 3G1 Электронная почта: mli at uwaterloo dot ca.

Наследие Колмогорова в математике | Математическая ассоциация Америки

Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) был одним из самых плодовитых и влиятельных математиков двадцатого века. Его вклад охватывает несколько областей чистой и прикладной математики. Его публикаций около 500. Рецензируемая книга, представляющая собой перевод оригинального французского издания ( Математическое наследие Колмогорова. Éditions Belin, 2004.) пытается проиллюстрировать, как он резко изменил пейзажи объектов, которые исследовал. Редакция выражает надежду, что этот сборник будет прочитан теми, кто имеет только степень бакалавра в области математики, информатики или физики, и вообще теми, кто интересуется математическими идеями. Этот рецензент хотел бы предупредить, что для многих глав требуются хотя бы базовые знания теории функций и функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики.

В [1991] В. М. Тихомиров разделил вклад Колмогорова на три области: порядок (математика и механика), хаос (теория вероятностей и статистика) и информационные и алгоритмические теории, где последние две области не имели естественной границы. Рецензируемая книга расширяет эти области, и каждая глава посвящена одной из тем исследований Колмогорова или предмету, который был изобретен в результате его открытий. Двадцать экспертов представляют его вклад, его методы, взгляды, которые он представил, и эволюцию его исследований в сочетании с примерами недавних приложений и их современными перспективами. В большинстве случаев они содержат обзор его основных идей (а не подробные доказательства). Редакция в перспективе отсылает читателя к Колмогорову за (более или менее) полной библиографией публикаций Колмогорова.

В первой главе рецензируемой книги Жана-Пьера Кахана прослеживается ранний интерес Колмогорова к рядам Фурье и его четыре публикации, вытекающие из этого. Автор описывает ранние результаты Колмогорова (между 1922 и 1924 гг.), которые включают доказательство существования функции, ряд Фурье которой расходится всюду, теоремы о гармоническом сопряжении, интерпретируемые в терминах рядов Фурье, условия сходимости всюду тригонометрических, ортогональных и лакунарных рядов Фурье. , и открытия о порядке величины коэффициентов Фурье. Кахане не только помещает эти юношеские вклады Колмогорова в их исторический контекст. Он объясняет их значение в современном мире.

Вклад Колмогорова в интуиционистскую логику описан Тьерри Коканом в главе 2. Он обсуждает первую статью Колмогорова [1925] по теории доказательств, опубликованную на русском языке, и описывает контекст, в котором она появилась. В этой работе Колмогоров определил и доказал правильность вложения классической логической системы (исчисления высказываний) в интуиционистскую систему. Кокван анализирует этот результат, отмечая его уточнения, расширения и обобщения, а также дает современные оценки его значимости и ограничений. Единственная другая работа Колмогорова, относящаяся к математической логике, была написана в 1932. Там он разработал исчисление проблем как интерпретацию интуиционистской логики, формализованную Гейтингом. Коканд обсуждает, как переопределение исчисления задач в теории типов в конце двадцатого века снабжает исчисление Колмогорова явным обозначением решения проблем, привнося его новаторскую работу в современную перспективу.

Главы 3 и 4 посвящены вероятности. Классика Колмогорова Grundbegriff [1933] считается открытием современной эры теории вероятностей. В ней Колмогоров завершил решение шестой проблемы Гильберта об аксиоматизации вероятности. Он использовал теорию меры, рассматривая вероятностную меру как положительную меру массовой единицы, чтобы переформулировать теорию вероятностей. Этот теоретико-мерный подход к предмету стал сегодня стандартным.

Лоик Шомон, Лоран Мазляк и Марк Йор считают, однако, что эта работа 1933 года не является самым оригинальным творением Колмогорова в области вероятностей. В главе 3 они исследуют два замечательных вклада Колмогорова в вероятностную работу: его исследование различных типов сходимости сумм независимых случайных величин и его революционные идеи о процессах в непрерывном времени. Они обсуждают совместную работу Колмогорова и А. Н. Хинчина [1925], в которой излагаются приемы, лежащие в основе дальнейшего развития теории вероятностей, в частности при изучении результатов сходимости для мартингалов.

Одним из величайших достижений Колмогорова авторы называют сделанное Колмогоровым в 1929 г. обобщение закона повторного логарифма Хинчина 1924 г. Действительно, величайшим достижением самого Хинчина может быть закон повторного логарифма, объединяющий закон больших чисел и центральную предельную теорему как классические предельные теоремы теории вероятностей. Между своей первой работой с Хинчиным и его Grundbegriffe Колмогоров написал около дюжины работ по теории вероятностей. В последнем разделе этой главы рассматривается исследование Колмогоровым марковских процессов и построение им дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют переходные плотности вероятностей. Авторы обсуждают один из инструментов, разработанных Колмогоровым для изучения линейных свойств случайных процессов, эффективный критерий, гарантирующий линейную непрерывность, и иллюстрируют современные обобщения этого критерия.

Глава 4 продолжает исследование работ Колмогорова в области теории вероятностей, уделяя особое внимание бесконечномерным уравнениям Колмогорова. Джузеппе Да Прато начинает с обобщения выводов Колмогоровым некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных для переходных вероятностей из уравнения Чепмена-Колмогорова, которое является фундаментальным при анализе марковских процессов. Автор обсуждает бесконечномерные обобщения этих уравнений, стремясь продемонстрировать «современное состояние» в области бесконечномерных гильбертовых пространств. Представлены различные методы решения этих уравнений, и Да Прато описывает активные области исследований, возникающие в результате их применения к некоторым соответствующим уравнениям в частных производных.

Статистика — это тема, рассматриваемая в главах 5 и 6. В первой из них Кевин Форд ведет читателя от теоремы Колмогорова об эмпирическом распределении к теории чисел. Он описывает некоторые новые оценки вероятности того, что эмпирическая функция распределения равномерных [0,1] случайных величин останется по одну сторону от заданной линии. Отмечая, что Харди и Рамануджан начали изучение статистического распределения простых множителей целых чисел в 1917 году, автор обсуждает применение эмпирических функций распределения в теории чисел.

В главе 6 Михаил Никулин и Валентин Солев обсуждают эпсилон-энтропию Колмогорова, стремясь показать влияние идей Колмогорова на развитие статистического оценивания. В 1933 г. Колмогоров [1933а] определил предельное распределение нормированного отклонения эмпирической функции распределения F _N (x) от непрерывной теоретической F(x). Обратное решение проблемы, когда теоретическое распределение неизвестно, а эмпирическое определяется на основе данных, приводит к Критерий Колмогорова , который сегодня используется в непараметрической статистике. Авторы прослеживают открытие этого критерия согласия и описывают более поздние усовершенствования, которые имеют интересные применения в теории чисел. Они обсуждают исследования Колмогорова 1950-х годов в области теории информации и ее связь с теорией сложности, теорией функций и статистической оценкой, а также объясняют его понятие эпсилон-энтропии, которое стало основным инструментом непараметрической статистики для измерения качества оценок. Они показывают, как энтропия используется для оценки плотности, и дают читателю более глубокое понимание того, как идеи Колмогорова повлияли на результаты нескольких статистиков за последние пятьдесят лет в области непараметрической статистики по этой проблеме.

Глава 7 посвящена топологии. Виктор М. Бухштабер объясняет замечательные результаты, полученные Колмогоровым между 1934 и 1937 годами, всего на тридцати страницах своих немногочисленных статей по этому вопросу. Автор обсуждает источник некоторых идей, приведших к результатам Колмогорова. Прелюдия к главе знакомит с основоположниками советской школы топологии П.С. Урысоном и П.С. Александрова и описывает их влияние на своего ученика Колмогорова. Бухштабер объясняет, почему на первой международной топологической конференции, проходившей в Институте математики Московского университета в сентябре 1935 широкое внимание привлекли лекции Колмогорова и Дж. В. Александера о построении двойственных комплексов для весьма общих пространств. Автор помещает результаты, полученные Колмогоровым и Александром, в исторический контекст и описывает их влияние на последующее развитие алгебраической геометрии. Он также приводит список основных понятий, принадлежащих Колмогорову, который ввел их для решения некоторых важных проблем общей топологии. Эти понятия продолжают пользоваться новыми приложениями сегодня.

В главах 8 и 13 обсуждаются проблема Гильберта 13 и роль Колмогорова в ее решении. В первой из этих глав Владимир М. Тихомиров рисует общую картину этой темы, заканчивающуюся геометрией и теорией приближения. Автор рассматривает шесть работ Колмогорова по теории приближений и приводит список математиков, на исследования которых Колмогоров оказал сильное влияние, со ссылками на то, где читатель может узнать больше об их результатах. Этому обсуждению предшествует исследование идей Колмогорова о геометрии.

На протяжении всей жизни Коломогоров различал три составляющие математического таланта: алгоритмическую, логическую и геометрическую. Он считал, что геометрическая интуиция играет большую роль почти во всех областях математики, и причислял эту интуицию к своим собственным математическим талантам. Последние годы его жизни были посвящены математическому образованию в средней школе, где он стремился реорганизовать школьный курс геометрии, опираясь на геометрическую интуицию.

Тихомиров свидетельствует о геометрических способностях Коломогорова, начиная с обсуждения двух его геометрических работ. Первый (1930) изучает пространства постоянной кривизны, а вторая (1932а) исследует проективное пространство, причем обе с аксиоматической точки зрения. Далее автор исследует то, что он называет «геометрическими мотивами» в нескольких «негеометрических» статьях Колмогорова, в том числе посвященных понятию меры и топологическому векторному пространству. Он начинает рассказ с 13 ^th проблемы Гильберта, которая фокусируется на одном из центральных вопросов анализа функций многих переменных. В конечном счете Колмогоров доказал, что любую непрерывную функцию многих переменных можно представить с помощью суперпозиции непрерывных функций одной переменной и сложения. Это известно как Теорема Колмогорова о суперпозиции . Васко Браттка анализирует эту теорему с точки зрения вычислительного анализа в главе 13. Он прослеживает влияние этой теоремы от опровержения гипотезы Гильберта о невозможности решения общего уравнения 7 ^-й -й степени до исследований, посвященных изначально вытекавшие из него вопросы гладкости, к его применению к нейронным сетям.

Математическая экология является предметом главы 9. В ней рассматриваются вклады Колмогорова в детерминистскую теорию популяционной динамики в кратких заметках 1936 и 1972, вытекающие из уравнения хищник-молитва. Карл Зигмунд описывает знаменитую модель Вито Вольтерра, которая объясняет удивительное открытие о количестве хищников и жертв в Адриатике после Первой мировой войны. Вольтерра использовал обыкновенное дифференциальное уравнение, чтобы показать, почему количество хищников увеличилось, а количество добычи уменьшилось. уменьшилось. Его модель предполагает, что популяция жертв в отсутствие хищников будет экспоненциально расти до бесконечности. Но метод Вольтерры, заключающийся в выражении темпов роста популяций явными функциями, зависящими от небольшого числа параметров, и последующем явном решении уравнений, может применяться только к сильно упрощенным моделям. Зигмунд демонстрирует, как Колмогоров подошел к проблеме качественно (используя методы А. Пуанкаре) таким образом, чтобы можно было описать экологическую систему не путем предоставления точных аналитических выражений для темпов роста, а путем установления условий для знаков их частных производных. . Автор описывает влияние работы Колмогорова в контексте других вкладов в проблему (в частности, Г. Ф. Гаузе). Он объясняет, почему общий подход Колмогорова, который создает модель биологических сообществ, состоящих из трех или более видов, сегодня дает некоторые результаты, наиболее полезные для экологических приложений и наиболее интересные с математической точки зрения.

Главы 10, 11 и 12 посвящены динамическим системам. В первом из них Этьен Гис дает исторический обзор проблемы устойчивости движений в небесной механике. Он дает элементарное введение в теорему Колмогорова-Арнольда Мозера (КАМ), согласно которой Солнечная система, вероятно, почти периодична. Колмогоров объявил об этой теореме на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г., представил на докладах свое доказательство, но так и не опубликовал его. В.И. Арнольд опубликовал первое доказательство этого в 1963, после публикации статьи Дж. Мозера, которая установила другой, но родственный результат в 1962 г. Эти доказательства были чрезвычайно сложными. Гис пытается дать читателю представление о проблеме КАМ, рассматривая упрощенный пример, вдохновленный ею, который он решает с помощью рядов Фурье. При этом он раскрывает роль резонанса и малых делителей.

В главе 11 Джон Х. Хаббард продолжает обсуждение КАМ-теоремы, сначала в контексте двух примеров: солнечной системы и вынужденного маятника. Во второй части главы автор обрисовывает основные идеи доказательства теоремы 2002 г. (которое было усовершенствованием относительно простого доказательства, опубликованного в 1919 г. ).84). Раздел содержит красивые иллюстрации, но для понимания доказательства читатель должен иметь представление о дифференцируемых многообразиях, потоках векторных полей и т. д.

Колмогоров считал, что динамические системы, сохраняющие общую меру, представляют собой смеси квазипериодических движений и движений с энтропия. Глава 12 переносит читателя от работ Колмогорова по энтропии динамических систем к неравномерно гиперболической динамике. Денис В. Косыгин и Яков Г. Синай иллюстрируют, почему колмогоровские 1958 статью, где он ввел понятие энтропии динамической системы, можно считать отправной точкой современной теории детерминированного хаоса. До этого времени основным методом изучения динамических систем был спектральный, на который повлияла метрическая классификация динамических систем И. фон Неймана с чисто точечным спектром. Но Колмогоров (и Синай) заметил, что существуют детерминированные системы с ненулевой энтропией. Современное представление о гиперболичности динамической системы возникло в результате исследования таких систем. Косыгин и Синай описывают это открытие и обсуждают последние результаты по этому вопросу.

Последние две главы посвящены сложности описания, которую Коломогоров определил в 1965 году. Учитывая, что любая информация может быть закодирована в виде строки битов (конечная последовательность битов), сложность Коломогорова основывается на идее, что длинная строка информации биты, необходимые для определения данного объекта, иногда могут быть восстановлены из краткого описания. В таком случае сложность Коломогорова строки определяется как длина ее кратчайшего описания. Но большинство строк не имеют описания, значительно более короткого, чем сама строка, и называются несжимаемыми или случайными. Колмогоровское определение сложности объединило теорию вероятностей и теорию алгоритмов, предлагая новый взгляд на оба предмета.

В главе 14 Бруно Дюран и Александр Звонкин дают прекрасные приложения колмогоровской версии алгоритмической сложности с описанием доказательств сложности теоремы Гёделя о неполноте и парадокса Берри, предложенных Грегори Чайтином. Они показывают, как колмогоровская сложность обеспечивает процедуру для получения истинных, но недоказуемых утверждений. Авторы исследуют связи между сложностью и случайностью, отслеживая развитие усилий Колмогорова и других (например, Мартина-Лёфа, Левина и Шнорра) по характеристике случайности с использованием нескольких типов описательной сложности.

Пол Витани в главе 15 расширяет обсуждение случайности, объясняя, как колмогоровская сложность может выражать случайность в детерминизме, и дает подход к формулировке хаотического поведения. Он вводит метод несжимаемости, приводя примеры использования колмогоровских аргументов сложности в качестве метода доказательства в теории чисел и теории графов. Автор показывает, как этот метод, который дает простые доказательства известных результатов и решений открытых проблем, может использоваться в качестве технического инструмента для количественной оценки непредсказуемости хаотических систем.

Эта впечатляющая коллекция дает читателю представление о глубине и широте вклада Колмогорова в математику. Каждая глава включает в себя обширный список ссылок, которые приглашают к дальнейшему чтению. Однако книга выиграла бы от исчерпывающего указателя, который направляет читателя к темам и работам Колмогорова, которые повторно рассматриваются в разных главах. Есть небольшие ошибки (орфографические ошибки, неточные переводы), которые можно было бы исправить при более качественном редактировании.

Ссылки

Харди, Г.Х., Рамануджан, С. Нормальное количество простых множителей числа n . кв. J. Math., 158 , 76-92 (1917).

Хинчин А.Ю., Колмогоров А.Н. Über das Gestz des iterierten Logarithmus. Матем. Анн., 101, 126-135 (1929).

Колмогоров А. Н. О принципе исключенного третьего. Математический сборник, 32 , 646-647 (1925). Английский перевод в От Фреге до Гёделя. Справочник по математической логике, 1879 г.-1931 (Дж. ван Хейеноорт, редактор, 1967 г.).

___________ Zur topologisch-gruppenteoretischen Begründung der Geometrie. Нахр. Гэс. Висс. Геттинген, Fachgr. I (Mathematik), H. 2, 208-210 (1930)

____________Zur Deutung der intuitionistischen Logik. Mathematische Zeitschrift 35 , 58-65 (1932).

____________Zur topologisch-gruppenteoretischen Begründung der Projektiven Geometrie. Энн. Мат. 33 , 175-176 (1932а)

____________ Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Спрингер, Берлин (1933). Английский перевод Основы теории вероятностей (Челси, Нью-Йорк, 1950).

____________Полное эмпирическое определение легге ди дистрибуции. Джорджнале Истиуто. итал. Attuari 4, 32-91 (1933a)

____________Sulla teoria di volterra della lotta per l’esistenza. Giornale Istituto Ital. Attuari, 7 , 74-80 (1936)

____________ Новый метрический инвариант нестационарных динамических систем и автоморфизмов в пространствах Лебега. Докл. акад. АН СССР (Н.С.) 119 , 861-864 (1958)

____________Количественная мера математических моделей в динамике популяций.