Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс — Студопедия
Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс — Студопедия- Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
- Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.
- Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
- Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
- Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
- Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°.
- Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
- Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.
- Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
- Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
- Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- (Свойства параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
- (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
- Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
- Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.
- (Т. Фалеса) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
- Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
- (Особое свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны.
- (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
- Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
- (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
- Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
- (Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
- Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
- Две точки А и А1 называются симметричными относительно точкиО, если О – середина отрезка АА1.
- (Основные свойства площадей) Равные многоугольники имеют равные площади.
- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a2).
- (Т.)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S=ab).
- (Т.)Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S=ah).
- (Т.)Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (S= ah).
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S= ab).
- Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
- Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
- Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту ( S= ·h ).
- (Теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с2=a2+b2)
- (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
- Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.
- (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S= , где p = (a+b+c) — полупериметр треугольника.
- Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1 , если = .
- Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
- Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
- (Т.)Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- (Т. Первый признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- (Т. Второй признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
- (Т. Третий признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
- Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
- (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
- Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY=
- Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
- (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
- Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
- sin2A+cos2A=1 – основное тригонометрическое тождество.
- Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
- Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
- Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
- (Т. о свойстве касательной к окружности) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
- (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
- (Т. Признак касательной
- Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
- Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
- Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
- Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
- Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
- (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
- (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
- Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
- Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
- (Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
- Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
- Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
- Четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются
- Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
- (Теорема об окружности, вписанной в треугольник) В любой треугольник можно вписать окружность.
- В треугольник можно вписать только одну окружность.
- Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
- В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
- Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны то в него можно вписать окружность.
- Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
- (Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
- Около треугольника можно описать только одну окружность.
- Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
- В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
- Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Геометрия | |
| Геометрия. Учебник. 7-9 классы Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. | |
| Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. | |
| Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7-9 классы Иченская М.А. | |
| Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс Зив Б. Г., Мейлер В. М. | |
| Геометрия. Тематические тесты. 8 класс Мищенко Т.М., Блинков А.Д. | |
| Геометрия. Диагностические тесты. 7-9 классы Рыжик В.И. | |
| Геометрия. Методические рекомендации. 8 класс (на сайте издательства) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазгов Ю.А. и др. | |
| Геометрия. Сборник примерных рабочих программ. 7-9 классы Бурмистрова Т.А. | |
| Геометрия. Учебник. 7-9 классы (ФПУ 2014 г.) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. | |
| Геометрия. Тематические тесты. 8 класс Мищенко Т.М., Блинков А.Д. | |
| Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс Зив Б. Г., Мейлер В. М. | |
| Геометрия. Диагностические тесты. 7-9 классы Рыжик В.И. | |
| Наверх | |
Дополнительная литература | |
| Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 класс. Учебное пособие Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. | |
| Тесты по геометрии. 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» Фарков А.В. | |
| Контрольные работы по геометрии. 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» Мельникова Н.Б. | |
| Дидактические материалы по геометрии. 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия. 7-9 классы» Мельникова Н.Б., Захарова Г.А. | |
| Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии. 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия. 7-9 классы» Мищенко Т.М. | |
| Тренажер по геометрии. 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия. 7-9 классы» Глазков Ю.А., Егупова М.В. | |
| Все домашние работы по геометрии к учебнику и рабочей тетради Атанасяна Л.С. 8 класс. ФГОС Захарцов М.А. | |
| Наверх | |
Дополнительная литература ко всем УМК по геометрии | |
| Задачи по геометрии. 7-11 классы Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. | |
| Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы Зив Б.Г. | |
| Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы Рабинович Е.М. | |
| Геометрия. Сборник заданий для тематического и итогового контроля знаний. 8 класс Ершова А.П. | |
| Геометрия. Решение задач на готовых чертежах. 7-8 классы Королькова Г.В. | |
| Алгебра. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 8 класс Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. | |
| Наверх | |
Теория по геометрии 8 класс — Теория по геометрии за 8 класс по учебнику Л.С. Атанасяна
Теория по геометрии за 8 класс по учебнику Л.С. АтанасянаДоступные файлы (1):
n1.docx
Составила Аверкова Т.Е.
Теория по геометрии 8 класс.1
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Cумма углов выпуклого n-уголника равна (п—2) 180°.
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не
являющиеся соседними, также называются противоположными.
Cумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма:
1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник— параллелограмм.
2°. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны.
Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:
1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Две точки А и А1называются симметричными относительно точки О, если О— середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т. д.
Основные свойства площадей:
1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна длины на ширину.
Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину стороны к которой проведена высота.
Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны к которой проведена высота.
Следствия:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника.
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Площадь трапеции равна произведению длины средней линии трапеции на высоту.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским.
Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и А1В1С1 так, что:
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных
треугольников, называется коэффициентом подобия.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если
Свойства:
1°. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Основное тригонометрическое тождество:
Взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая:
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной к окружности:
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Обратная теорема (признак касательной):
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.
Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ
Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной (360° — угол АОВ).
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Если дуга расположена внутри вписанного угла, то говорят, что вписанный угол опирается на эту дугу.
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Свойства биссектрисы угла: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Свойство серединного перпендикуляра к отрезку: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
С каждым треугольником связаны четыре замечательные точки:
точка пересечения медиан,
точка пересечения биссектрис,
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
точка пересечения высот (или их продолжений).
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность.
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Обратное утверждение: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность.
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Обратно: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Вектор – направленный отрезок.
Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Среди ненулевых коллинеарных векторов выделяют сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.
Правила сложения векторов:
правило треугольника
правило параллелограмма
правило многоугольника
правило треугольника для вычитания векторов
правило №2 для вычитания векторов (сложение с противоположным)
Применение векторов к решению задач:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Задачи на повторение курса геометрии в 8 классе. Базовый уровень
Дидактический материал для работы репетитора по математике с учеником 8 класса слабого и среднего уровня способностей. Базовый учебник по геометрии — Атанасян 7-9 кл. Почти все задачи составлены так, что первая решается в совместно с репетитором, а вторая остается для домашней работы. Вторая отличаются от первой только числами.
№1. В параллелограмме АВСD высота ВH равна 4 см, а сторона ВС=10см. Найти площадь параллелограмма.
№2. В трапеции ABCD CH – высота, BC=2см, AH=3см, HD=5см, CH=4см. Найдите площадь данной трапеции.
№3. В параллелограмме MNKP MT- биссектриса угла M. Известно, что NT=5см, TK=3см. Найти периметр данного параллелограмма.
№4.1 В трапеции MNKP верхнее основание NK и средняя линия AB равны соответственно 5 и 9 см.
Найти ее нижнее основание.
№4.2 В трапеции PQNE нижнее основание PE и средняя линия KN равны соответственно 10 и 7 см. Найти ее верхнее основание.
№5.1 В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке М, лежащей на стороне B. Найдите периметр ABCD , если АВ=6см.
№5.2 В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла А, которая разбивает сторону ВС на отрезки длиной 5см и 3 см. Найти периметр прямоугольника ABCD.
№6.1 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АВ ее диаметр, а угол АСD равен . Найти угол DСВ.
№6.2 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АС-диаметр, угол АСD равен , а угол ВАС равен . Найдите угол ВСD.
№7.1 На окружности отмечены точки В, N и D. Угол ВND равен . Найдите угол ВОD.
№7.2 На окружности отмечены точки В, К и C. Угол ВОС равен . Найти угол ВКС.
№8.1 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СВ равен 4 см, угол В равен . Найти гипотенузу АВ.
№8.2 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СА равен 3 см, угол А равен . Найти гипотенузу АВ.
№9* В трапеции АВСD АВ=СD, АС=5см, СH=3см. Найти площадь трапеции.
№10.1 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 16, 13, 6 и 13 см.
№10.2 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 17, 10, 5 и 10 см.
№11.1 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 см.
№11.2 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 см.
№12.1 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 см, а один из катетов – 20 см.
№12.2 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см.
№13.1 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.
№13.2 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см.
№14.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 12 см, а один из острых углов cоставляет .
№15.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 16 см, а один из острых углов равен.
№16.1 В прямоугольном ∆ АВС : – прямой, АВ=, АС=3, ВС=6. Найти sinA, cosA, tgA.
№16.2 В прямоугольном ∆ АВС : – прямой, АВ=, АС=4, ВС=.
Заполнить таблицу:
№17.1 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, АВ=6, ∠B=. Найти АС, ВС.
№17.2 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, СВ=6, ∠B=. Найти АС, АВ.
Задачи по геометрии на рисунках:
№18-19 Найдите по данным рисунка стороны X и Y (левая задача разбирается с репетитором по математике совместно, а правая предназначена для домашней работы)
№20-21 Выразите через X и Y стороны а и b а и b (левая задача разбирается с репетитором по математике совместно, а права предназначена для домашней работы)
№22 Найдите по данным рисунка длины отрезков X, Y и Z:
Автор подборки задач — Николай Викторович, репетитор по математике в отставке.
Уважаемые преподаватели: присылайте на сайт для публикации ваши дидактические и методические материалы, отдельные задачи или тексты объяснений каких-то традиционно трудных для школьников тем. Я с радостью помогу оформить их для публичного просмотра. Если Вы — репетитор по математике, прошедший регистрацию на сайте, то с каждого присланного материала я поставлю ссылку на Вашу анкету. Это привлечет внимание к Вам со стороны родителей и учеников.
С уважением, владелец сайта Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве.
Репетитор по математике в Строгино, м.Щукинская.
Метки: Геометрия, Задачник по геометрии
Deoma — Продукты — Алгебра
Электронный учебник «Интерактивная математика» для 8 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 8 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатному учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Мордковича и Макарычева; на геометрия Шарыгин и Атанасян.Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучения основам математики, в частности, такие темы как: преобразование многочленов, разложение дроби в частичную дроби, свойства корней, уравнения и неравенства, модуль число, графики функций, формализация записей, основы геометрии; используются математические игры.
Последняя версия продукта от 12 ноября 2015 г .:
Скачать «Интерактивная математика», Алгебра и геометрия, 8 класс v1.4.9.16 для Windows
Снимки экрана программы перечислены ниже.
Рисунки можно увеличивать ↓
Версия 1.4.9.16 от 12 ноября 2015 (последняя)
Показать предыдущие версииВерсия 1.4.9.15 от 17 ноября 2012 г.
Версия 1.4.9.14 от 9 октября 2011 г.
Версия 1.4.9.13 от 28 июня 2011 г.
Версия 1.4.9.12 от 6 мая 2011 г.
Версия 1.4.9.11 от 18 апреля 2011 г.
Версия 1.4.9.10 от 23 января 2011
Версия 1.4.9.9 от 4 января 2011
Версия 1.4.9.7 от 5 сентября 2010 г.
Версия 1.4.9.6 от 23 августа 2010
Версия 1.4.9.5 от 16 августа 2010
Версия 1.4.9.3 от 10 мая 2010
Версия 1.4.9.2 от 10 мая 2010
Версия 1.4.9.1 от 28 марта 2010
Версия 1.4.9.0 от 23 марта 2010 г.
Версия 1.4.8.0 от 17 марта 2010 г.
Версия 1.4.7.0 от 1 марта 2010 г.
Версия 1.4.6.0 от 27 февраля 2010 г.
Версия 1.4.5.0 от 26 февраля 2010 г.
Версия 1.4.3.0 от 24 февраля 2010 г.
Версия 1.4.2.0 от 23 февраля 2010
Версия 1.4.1.0 от 22 февраля 2010 г.
Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.
Версия 1.3.14.0 от 8 февраля 2010 г.
Версия 1.3.13 от 15 января 2010 г.
Версия 1.3.12 от 13 января 2010 г.
Версия 1.3.11 от 12 января 2010 г.
Версия 1.3.10 от 10 января 2010 г.
Версия 1.3.9 от 9 января 2010 г.
Версия 1.3.8 от 8 января 2010 г.
Версия 1.3.7 от 7 января 2010 г.
Версия 1.3,6 от 5 января 2010 г.
Версия 1.3.5 от 2 января 2010 г.
Версия 1.3.4 от 25 декабря 2009 г.
Версия 1.3.3 от 25 декабря 2009 г.
Версия 1.3.2 от 23 декабря 2009 г.
Версия 1.3.1 от 14 декабря 2009 г.
Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.
Версия 1.0,2 из 12 апреля 2009 г.
Версия 1.0.1 из 16 марта 2009 г.
Скрыть предыдущие версииПожалуйста, возьмите раздаточный материал по ВАШЕМУ УРОВНЮ !!! 6 класс 7 класс 8 класс Алгебра I Геометрия.
Презентация на тему: «Пожалуйста, возьмите раздаточный материал по ВАШЕМУ УРОВНЮ !!! 6 класс 7 класс 8 класс Алгебра I Геометрия.» — стенограмма презентации:
1
2 Пожалуйста, возьмите раздаточный материал согласно вашему УРОВНЮ УРОВНЯ !!! 6 класс 7 класс 8 класс Алгебра I Геометрия
3 Академия лидерства Латойи Смит-Паунси Вудлон *** Адаптировано из TILT (Обучающий курс по лидерству для учителей)
4 Слушатели будут: Понимать, как преподавать для достижения цели, которая включает решения относительно содержания, поведения учителя и поведения учащегося. Создайте дополнительный урок математики, который включает все компоненты цикла уроков. Создайте урок, чтобы привлечь внимание учащегося и обеспечить удержание концепции.
5 Процесс обучения цели, которая включает в себя обучающие решения, касающиеся содержания, поведения учителя и поведения учащегося.
6
7 Учебная программа штата и / или округа Выберите цели Что собираются изучать учащиеся?
8 Планирование перед уроком 80% времени посвящается планированию Ответ ПОЧЕМУ? —Планируйте поведение учеников и результаты КАК? —Планируйте поведение и стратегии учителя ЧТО? —Навыки и концепции, словарный запас, уровень сложности и критичность
9 Базовый навык — навык, который необходимо знать ученику, чтобы добиться полного успеха с новым навыком Включен в качестве звонаря
10 Начинает обучение Что мы делаем, чтобы заинтересовать учащихся уроком
11 Инструкция Когда происходит преподавание и обучение Учитель: Моделирование Процессы дарения Правила
12 Учащиеся видят весь процесс упражнения перед управляемой практикой Не забывайте объяснять процесс, пока вы моделируете.
Список геометрических фигур
Добро пожаловать на страницу с информацией о геометрических фигурах Math Salamanders.
Здесь вы найдете список различных геометрических фигур, который поможет вам определить диапазон двух- и трехмерных фигур.
Наряду с каждой формой мы также включили свойства каждой формы и другую полезную информацию.
Список геометрических фигур
Здесь вы найдете наш список различных геометрических форм.
Есть область 2d формы, за которой следует область 3d формы.
Есть изображение каждой формы, а также свойства, которыми она обладает.
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
- знать свойства различных 2D и 3D фигур;
- распознавать разные 2D и 3D формы;
- знать внутренние углы правильных многоугольников;
Все листы по математике в этом разделе соответствуют тестам по элементарной математике.
Вот наш список двухмерных геометрических фигур, включая треугольники, четырехугольники и многоугольники
Список геометрических фигур — треугольники
Равносторонний треугольник | У равносторонних треугольников все углы равны 60 °, а все стороны равны по длине. Все равносторонние треугольники имеют 3 линии симметрии. |
Изоскла Треугольник | Равнобедренный треугольник имеет 2 равных угла и 2 стороны равной длины. Все равнобедренные треугольники имеют линию симметрии. |
Чешуйчатый треугольник | У чешуйчатых треугольников нет равных углов и нет сторон равной длины. |
Прямой треугольник | Прямоугольники (или прямоугольные треугольники) имеют один прямой угол (равный 90 °). |
Тупой треугольник | У тупых треугольников один тупой угол (угол больше 90 °).Два других угла острые (менее 90 °). |
Острый треугольник | У острых треугольников все углы острые. |
Является ли равносторонний треугольник частным случаем равнобедренного треугольника?
Согласно Википедии:
«В геометрии равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.Иногда указывается, что он имеет две и только две стороны равной длины, и иногда как минимум две стороны равной длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как частный случай. »
Источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Isosceles_triangle
Это означает, что существует некоторый спор относительно того, является ли равносторонний треугольник частным случаем. равнобедренного треугольника или нет!
В большинстве современных учебников используется определение «как минимум» для равнобедренных треугольников.
Список геометрических фигур — четырехугольники
Четырехугольник — это многоугольник с 4 сторонами.
Четырехугольники также иногда называют четырехугольниками или четырехугольниками.
Членов четырехугольной семьи довольно много.
Есть также некоторые члены, которые являются подмножеством других членов этого семейства!
См. Ниже, если это вас смущает!
Площадь | Квадраты имеют 4 равные стороны и 4 прямых угла. У них 4 линии симметрии. Все квадраты принадлежат к семейству прямоугольников. Все квадраты принадлежат к семейству ромбов. Все квадраты тоже параллелограммы. |
Прямоугольник | Прямоугольник имеет 4 стороны и 4 прямых угла. Все они имеют 2 линии симметрии (4 линии, если они тоже квадратные!) Все прямоугольники принадлежат к семейству параллелограммов. |
Ромб | Ромбы (ромбики) имеют 4 равные стороны. Обе пары противоположных сторон параллельны. Все они имеют 2 линии симметрии (4 линии, если они квадратные!) Все ромбы принадлежат к семейству параллелограммов. |
Параллелограмм | Параллелограммы имеют 2 пары параллельных сторон. Некоторые параллелограммы имеют линии симметрии (в зависимости от того, являются ли они также квадратами, прямоугольниками или ромбами), но большинство из них — нет. |
Трапеция US | Трапеции США (Trapeziums UK) имеют одну пару параллельных сторон. Некоторые трапеции имеют линию симметрии. Обратите внимание на различия между определениями для США и Великобритании. |
Воздушный змей | Воздушные змеи имеют 2 пары равных сторон, прилегающих друг к другу. |
Трапеция US | Трапеции США (Trapezoids UK) — это четырехугольники без параллельных сторон. Обратите внимание на различия между определениями для США и Великобритании. |
Выпуклые и вогнутые многоугольники
Многоугольники могут быть вогнутыми или выпуклыми по своей форме.
Выпуклые формы имеют все углы менее 180 °
Вогнутые формы имеют как минимум один угол отражения более 180 °
Треугольники всегда выпуклые.
Выпуклый шестигранник Выпуклые формы имеют нет углов отражения (углы> 180 °) | Вогнутый шестигранник Вогнутые формы имеют по крайней мере один угол отражения больше 180 ° |
Выпуклый пятиугольник | Вогнутый пятиугольник |
Выпуклый восьмиугольник | Вогнутый восьмиугольник |
Правильные и неправильные многоугольники
Вот список правильных многоугольников от 3 до 10 сторон.
Для каждого многоугольника показан пример правильного и неправильного.
Любая правильная форма будет математически похожа на показанный пример (с такими же углами).
Правильные формы всегда выпуклые.
Неправильные формы могут быть вогнутыми или выпуклыми.
Существует бесконечное количество примеров различных неправильных многоугольников. это можно было показать, и приводится только один пример.
Равносторонний треугольник Угол: 60 ° Внутренние углы в сумме составляют 180 ° | Нерегулярный треугольник |
Площадь Угол: 90 ° Внутренние углы в сумме составляют 360 ° | Необычный четырехугольник |
Пентагон Угол: 108 ° Суммарные внутренние углы составляют 540 ° | Необычный пятиугольник |
Шестиугольник Угол: 120 ° Внутренние углы в сумме составляют 720 ° | Шестигранник неправильной формы |
Heptagon Угол: 128.6 ° Внутренние углы в сумме составляют 900 ° | Неправильный семиугольник |
Восьмиугольник Угол: 135 ° Внутренние углы в сумме составляют 1080 ° | Необычный восьмиугольник |
Нонагон Угол: 140 ° Внутренние углы в сумме составляют 1260 ° | Неправильный Nonagon |
Десятиугольник Угол: 144 ° Внутренние углы в сумме составляют 1440 ° | Неправильный десятиугольник |
Формула внутренних углов многоугольника
Формулы для внутренних углов многоугольника следующие:
Сумма внутренних углов = 180 x (количество сторон — 2)
Внутренний угол правильного многоугольника = сумма внутренних углов / количество сторон
Пример
Каков внутренний угол правильного пятиугольника?
Шаг 1) Сумма внутренних углов 180 x (количество сторон — 2)
= 180 x (5-2) = 180 x 3 = 540 °
Шаг 2) Внутренний угол = сумма внутренних углов ÷ количество сторон = 540 ÷ 5 = 108 °
Ответ: 108 °
Список геометрических фигур — изогнутые двумерные фигуры
Вот несколько изогнутых 2D-форм, которые еще не были включены.
Круг | Круги имеют точку в центре, от которой каждая точка диаметра равноудалена. У них бесконечные линии симметрии. Сколько сторон у круга? Это интересный вопрос — ответ может быть 0 (без прямых сторон), 1 изогнутая сторона или бесконечное количество сторон — все это возможные ответы. |
Эллипс | Эллипсы похожи на сжатые или растянутые круги. У них 2 линии симметрии. Это тоже особый тип овала. Самый длинный и самый короткий диаметры эллипса называются большой и малой осями. Эти оси также являются линиями симметрии. |
Полумесяц |
Расстояние по геометрии
Адаптироваться к местности
Адаптирует скелет персонажа к ландшафту.
Адаптивный чернослив
Удаляет элементы, пытаясь сохранить общий вид.
Добавить
Создает точки или полигоны, или добавляет точки / полигоны к входным данным.
Агент
Создает примитивы агента.
Агент Анимация Распаковка
Извлекает анимацию или клипы движения из примитива агента.
Распаковка персонажа агента
Извлекает остальную геометрию, скелет и анимацию из примитива агента.
Агент клип
Добавляет новые клипы в примитивы агентов.
Свойства клипа агента
Определяет, как должны воспроизводиться анимационные клипы агентов.
График переходов клипов агента
Создает геометрию, описывающую возможные переходы между анимационными клипами.
Уровень столкновения агентов
Создает новый слой агента, подходящий для обнаружения столкновений.
Агент настраивает соединения
Создает точечные атрибуты, определяющие пределы вращения суставов агента.
Сеть ограничений агента
Создает сеть ограничений, чтобы скрепить конечности агента.
Кэш определений агентов
Записывает файлы определения агента на диск.
Агент Править
Редактирует свойства примитивов агентов.
Уровень агента
Добавляет новый слой к примитивам агента.
Агент смотреть на
Регулирует голову агента, чтобы он смотрел на определенный объект или положение.
Поза агента из Рига
Обновляет позу примитива агента из геометрического скелета.
Подготовка агента
Добавляет агентам различные атрибуты общих точек для использования другими узлами скопления людей.
Прокси-агент
Предоставляет простую прокси-геометрию для агента.
Агентские отношения
Создает родительско-дочерние отношения между агентами.
Агент Адаптация к местности
Приспосабливает ноги агентов к местности и предотвращает скольжение ступней.
Группа преобразования агента
Добавляет новые группы преобразований в примитивы агента.
Агент Распаковка
Извлекает геометрию из примитивов агента.
Агент Веллум Распаковать
Извлекает геометрию из примитивов агентов для моделирования Веллума.
Агент с буровой установки
Создает примитив агента из геометрического каркаса.
Перегонный куб
Загружает геометрию из архива сцены Alembic (.abc) в геометрическую сеть.
Alembic Group
Создает геометрическую группу для примитивов Alembic.
Алембический примитив
Изменяет внутренние свойства примитивов Alembic.
Драйвер вывода Alembic ROP
Выровнять
Выравнивает группу примитивов друг с другом или с дополнительным входом.
Собрать
Очищает серию операций разрыва и создает получившиеся части.
Присоединить контрольную геометрию
Создает управляющую геометрию для установок KineFX на основе SOP.
Атрибут Adjust Float
Изменяет значения атрибутов с плавающей запятой для входящей геометрии.
Атрибут Adjust Integer
Изменяет целочисленные значения атрибутов входящей геометрии.
Атрибут Настроить вектор
Изменяет значения атрибута векторного типа входящей геометрии.
Размытие атрибутов
Размывает (или «расслабляет») точки в сетке или облаке точек.
Атрибут Cast
Изменяет размер / точность, которые Houdini использует для хранения атрибута.
Составной атрибут
Объединяет вершину, точку, примитив и / или подробные атрибуты между двумя или более выборками.
Копия атрибута
Копирует атрибуты между группами вершин, точки или примитивы.
Атрибут Создать
Добавляет или редактирует определенные пользователем атрибуты.
Атрибут Удалить
Удаляет точечные и примитивные атрибуты.
Выражение атрибута
Позволяет простым выражениям VEX изменять атрибуты.
Атрибут Fade
Изменяет точечный атрибут с течением времени.
Атрибут из пьес
Присваивает точкам атрибут, определяющий, какая модель из набора моделей должна быть скопирована / инстансирована в эту точку, случайным образом или на основе различных правил.
Атрибут Интерполировать
Интерполирует атрибуты внутри примитивов или на основе явных весов.
Зеркало атрибутов
Копирует и переворачивает атрибуты с одной стороны плоскости на еще один.
Атрибутный шум
Добавляет или генерирует шум в геометрических атрибутах.
Атрибут Paint
Интерактивное рисование атрибутов точек, например значений цвета или маски деформации, непосредственно на геометрии.
Attribute Promote
Повышает или понижает атрибуты с одного геометрического уровня на другой.
Атрибут случайный
Генерирует случайные значения атрибутов различных распределений.
Переназначение атрибутов
Подгоняет значения атрибута к новому диапазону.
Переименовать атрибут
Переименовывает или удаляет точечные и примитивные атрибуты.
Переориентировать атрибут
Изменяет атрибуты точки на основе различий между двумя моделями.
Строка атрибута Править
Редактирует значения строковых атрибутов.
Замена атрибутов
Копирует, перемещает или меняет местами содержимое атрибутов.
Перенос атрибутов
Переносит вершину, точку, примитив и / или атрибуты деталей между двумя моделями.
Перенос атрибутов по UV
Переносит атрибуты между двумя геометриями в зависимости от УФ-близости.
Атрибут VOP
Запускает сеть VOP для изменения геометрических атрибутов.
Атрибут Wrangle
Запускает фрагмент кода VEX для изменения значений атрибутов.
Атрибут с карты
Делает выборку информации карты текстуры для атрибута точки.
Атрибут из параметров
Создает атрибут словаря, заполненный значениями параметров.
Атрибут из объема
Копирует информацию из тома в точечные атрибуты другой кусок геометрии с возможностью переназначения.
Испечь ODE
Преобразует примитивы для решателей ODE и Bullet.
Объем выпечки
Вычисляет значения освещения в примитивах объема
Баллистический путь
Создает траектории баллистических снарядов из входящих точек.
Основа
Обеспечивает операции по перемещению узлов в параметрическом пространстве. NURBS-кривой или поверхности.
Изгиб
Применяет захваты, такие как изгиб, скручивание, конус и сжатие / растяжение.
Взрыв
Удаляет примитивы, точки, ребра или точки останова.
Смешать формы
Вычисляет трехмерную метаморфозу между фигурами с одинаковой топологией.
Заблокировать начало
Начало цикла зацикливания.
Заблокировать начало компиляции
Начало блока компиляции.