нажмите на цену, чтобы увидеть подробности     нажмите на изображение, чтобы увеличить     нажмите на ссылку, чтобы перейти в магазин

Основные понятия и аксиомы стереометрии

печальный мир

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и по ней течет только один ток.
A2 Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки. эта линия лежит в плоскости.
A3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки.

Последствия:
1. Одна плоскость проходит через прямую и не лежащую на ней точку.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и, притом, имеется только один ток.

Юрий Малихов

Тут надо уточнить. Любое из этих трех утверждений можно принять изначально как аксиому. Тогда две другие будут теоремами, доказываемыми на основе принятой аксиомы:
1. Плоскость проходит через любые три точки, не лежащие на одной прямой, и притом ток только один.
2. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и, притом, имеется только один ток.

Алексей Рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и линии. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна главная фигура — плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять бесконечно простирающейся во всех направлениях.
Как и прежде, точки будут обозначаться заглавными буквами. латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые — строчными латинскими буквами а, b, с и т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р , Y и т. д. На рисунках плоскости изображены в виде параллелограмма или в виде произвольной площади.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражаются в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, с большей частью которых мы знакомы в курсе планиметрии. Сформулируем только три аксиомы о взаимном расположении точек, линий и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначаются А:, А1, А2. А3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящая через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью АВС. Заметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них не может пройти никакая плоскость. Другими словами, четыре точки не могут лежать в одной плоскости. Всем знакомо такое яркое подтверждение этого факта: если ножки стула неодинаковы по длине, то стул стоит на трех ножках, то есть опирается на три «точки», а конец четвертой нога (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола и висит в воздухе.
A2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме A2, используется для проверки «плоскости» линейки чертежа. Для этого линейку прикладывают ребром к ровной поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в некоторых местах между ним и поверхностью стола образуется зазор.
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
A3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией Аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

На занятиях в детско-юношеской академии «Юниор» меня попросили узнать, что изучает геометрия и как часто в повседневной жизни мы с ней встречаемся.

Я прочитал учебник по геометрии, энциклопедию, ознакомился с определениями геометрических фигур, присмотрелся к окружающим меня предметам и понял, что с геометрией мы сталкиваемся на каждом шагу, иногда даже не задумываясь об этом. Это наблюдение показалось мне очень интересным, и я стал более подробно исследовать эту тему.

Я поставил себе цель: узнать, как часто человек сталкивается с геометрией в окружающем нас мире и какие геометрические фигуры встречаются чаще других.

Этапы исследования:

Первый этап исследования — геометрия в моей квартире.

Второй этап изучения геометрии по дороге из дома в лицей.

Третий этап обучения – геометрия в лицее.

Четвертый этап – геометрия в макромикромире.

Что изучает геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из древнейших наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а «метрио» — измерять).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, строительстве дорог, возведении зданий и других сооружений. В результате этой деятельности возникли и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.

Геометрия возникла из практической деятельности человека и служила практическим целям. Позднее геометрия оформилась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрические фигуры очень разнообразны. Мы знаем, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Мы знакомы с треугольником, прямоугольником, кругом и другими формами.

Геометрия, которую изучают в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида, создавшего пособие по математике под названием «НАЧАЛО». Долгое время по этой книге изучали геометрию.

Геометрию можно разделить на две части: планиметрию и объемную геометрию.

Планиметрия имеет дело с фигурами на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники.

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как шар, цилиндр.

Геометрия в домашних условиях.

Все предметы в нашем доме напоминают различные геометрические фигуры. Рассмотрим и охарактеризуем некоторые из них.

Например, глобус — он напоминает шар. Научное определение мяча звучит следующим образом: Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше заданного расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а это расстояние называется радиусом шара.

Глобус, как известно, модель земного шара. И так же, как Земля, земной шар может вращаться вокруг своей оси.

Шар, как цилиндр и конус, является телом вращения. Получается вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.

Толстая книга похожа на параллелепипед. Потому что, как и у параллелепипеда, все противоположные грани и стороны параллельны. Баночка из-под консервов на кухне имеет форму цилиндра. И действительно — у нее есть две окружности, лежащие в параллельных плоскостях, и стена, которую можно представить в виде набора отрезков, соединяющих соответствующие точки на этих окружностях. Шкафы, полки и тумбочки представляют собой такие же параллелепипеды. Двери прямоугольной формы. Стены, потолок, окна также напоминают прямоугольники.

Некоторые предметы представляют собой более сложные фигурные формы – например, угловая полукруглая тумбочка напоминает сектор круга. Если посмотреть на него сверху, то мы увидим два отрезка, являющихся радиусами, и дугу окружности, соединяющую концы этих радиусов.

Цветочный горшок на окне напоминает усеченный конус, потому что его можно представить в виде окружности, соединенной множеством отрезков с некоторой точкой, которая не лежит в этой окружности, но она усечена, потому что вершина конуса отсутствует, кажется быть отрезанным самолетом. Другой цветочный горшок имеет форму полусферы. Если соединить два таких горшка, получится шар (поверхность шара)

Если мы посмотрим на изгиб занавески на окне, то увидим, что он описывает кривую линию, которая называется синусоидой.

Среди всего многообразия предметов, напоминающих любые геометрические фигуры в нашем доме, преобладают сегменты и прямоугольные формы.

Геометрия по пути из дома в лицей.

На улице мы видим предметы, сделанные человеком, и предметы природного происхождения. Например: жилой дом, построенный человеком. Это параллелепипед.

Фонарные столбы вдоль дороги напоминают прямые отрезки.

Крыша трансформаторной подстанции треугольная призма. Она имеет две треугольные стороны, лежащие в параллельных плоскостях, и боковые поверхности, образующие призму.

А трамвайные рельсы можно представить в виде параллельных линий. Троллейбусные провода также представляют собой параллельные прямые линии.

Объект природного происхождения – русло реки. Его можно представить в виде изогнутой линии.

Геометрия в лицее.

В лицее преобладают прямоугольные фигуры, различные сегменты и плоскости.

Башня лицея с винтовой лестницей внутри напоминает цилиндр. Вершина башни напоминает конус.

Форма самой винтовой лестницы — спираль, объемная спираль с постоянным радиусом.

Цилиндры также являются колоннами при входе в лицей. Ступени в зале имеют форму трапеции. Они имеют две параллельные стороны и являются основаниями трапеции, а две другие являются сторонами трапеции.

Ступени на лестницах, дверные проемы, стены коридоров и классных комнат напоминают прямоугольники.

В лицее при всем разнообразии предметов преобладают прямолинейные и прямоугольные формы.

геометрия под микроскопом.

Поскольку предметы, которые нас окружают, могут быть очень маленькими, мы прибегнем к помощи микроскопа и рассмотрим кристаллы поваренной соли и сахара.

Крупица соли при увеличении оказалась в форме куба. А крупинка сахара имеет форму прямоугольника, и эти прямоугольники иногда оказываются сращенными в одну фигуру, неправильной формы.

Геометрия в космосе.

Поиск геометрических фигур в окружающих нас предметах не был бы полным, если бы мы не обратились к космическим объектам и не определили, какие формы они имеют. Учитывайте форму планет, звезд, галактик и траектории их движения в пространстве.

Имеют сферическую форму. Доказано, что все планеты Солнечной системы своей формой напоминают шар.

Космические объекты Звезды, как и планеты, имеют сферическую форму. Солнце похоже на огромный шар.

Галактики:

Ученые обнаружили, что галактики очень часто имеют форму геометрической фигуры, называемой спиралью.

Орбиты планет:

Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим траекториям. Известно, что смена времен года на Земле происходит именно потому, что орбита Земли представляет собой эллипс.

Вывод: в космическом пространстве есть только объекты круглой или другой криволинейной формы и нет прямолинейных объектов.

Вокруг нас находится большое количество предметов, имеющих форму различных геометрических фигур. В то же время фигуры с прямолинейными элементами, углами, отрезками и плоскостями являются объектами искусственного происхождения и созданы человеком. Предметы природного происхождения имеют округлые формы, такие как шар, эллипс, дуга. Исключение составляют кристаллы прямоугольной формы.

Многие окружающие нас предметы имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Если положить круглый стакан на лист бумаги и обвести его карандашом, то получится линия, изображающая круг. Ринг, обруч напоминают своей формой круг, а цирковая арена, дно стакана или тарелки имеют форму круга. Апельсин, футбольный мяч, арбуз выглядят как мяч. шестигранный карандаш, египетские пирамиды тоже геометрические фигуры.

Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур: треугольника, квадрата, круга, пирамиды, сферы и др.

Слово «геометрия» греческого происхождения, в переводе на русский язык означает «землемерие». Принято считать, что геометрия зародилась в Древней Греции. Но греки переняли у египтян основы межевания и превратили его в научную дисциплину, установив общие закономерности. Основным трудом по геометрии является «Начало» древнегреческого ученого Евклида, составленное около 300 г. до н.э. Этот труд долгое время считался образцовым. Евклидова геометрия изучает простейшие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, многоугольники, шары, пирамиды и т. д. Именно этот раздел геометрии изучается в школе.

В 1877 году немецкий математик Феликс Клейн в своей «Эрлангеровской программе» предложил классификацию различных разделов геометрии, которая используется до сих пор: евклидова геометрия, проективная, аффинная, описательная, многомерная, риманова, неевклидова геометрия, геометрия многообразий, топология.

Евклидова геометрия состоит из двух частей: планиметрии и объемной геометрии.

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий формы в пространстве.

Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые сохраняются при их проецировании (замене на аналогичные фигуры другого размера).

Аффинная геометрия исследует постоянные свойства фигур при различных изменениях плоскостей и пространств.

Инженерная дисциплина — начертательная геометрия использует несколько проекций для изображения объекта, что позволяет сделать трехмерное изображение объекта.

Многомерная геометрия исследует альтернативное существование четвертого измерения.

Отдельно выделяют инструментальные подразделы: аналитическая геометрия, использующая для описания геометрических фигур алгебраические методы и дифференциальная геометрия, изучающая графики различных функций.

блог.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

«Наука геометрия» — VI век до н.э. Геометрические фигуры вокруг нас. 4. Четыре страны имеют форму треугольников. Какие инструменты нам понадобятся на уроках? Изучение свойств фигур на плоскости. Что означает слово «геометрия»? Аукцион по продаже пятерок. Планиметрия. Картины Виктора Вазарели. Изучение свойств фигур в пространстве.

«Взаимное расположение линий в пространстве» — а. ??? а? б. Пересечение прямых. б. Познакомить с определением косых линий. ?. Ввести формулировки и доказать знак и свойство косых прямых. Расположение линий в пространстве: Они лежат в одной плоскости! Почему? Дано: AB?, CD? ? = С, САВ.

«Сравнение отрезков» — Сравнение отрезков и углов. ©Максимовская М.А., 2009. Сравнение сегментов. А.Б. Определение. C.

«Многообразия» — вводит естественную метрику Сасаки. . 21. 19. Рис.8. 7. Рис.9. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Поток Риччи. Рис. 14. Рис. 5. 25. 22. Рис. 18. 26. 24. Геометрическая гипотеза Терстона. Трехмерные многообразия. Рис. 19. Рис. 10. 15. 9. Однородные трехмерные геометрии. Рис. 6. Двумерные многообразия.

«Учебник по геометрии» — Многогранники, описанные вокруг сферы 34. Средняя линия треугольника 33. 3. Включение в содержание исторического материала. Подобие фигур. Параллелограммы 30. Индивидуальные творческие задания. С использованием рисунков художников: С. Дали, А. Дюрера, О. Рутерсверда, М. Эшера и других. Преимущества подготовки к экзамену.

«Формула отрезков» — Задание 3. Результат: х

Элементы треугольника В треугольнике также рассматриваются другие отрезки: медианы (отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон). треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону)

Теоремы равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Используемая литература: Учебник «Геометрия» 7-9 класс/ Л.С. Атанасян-издательство «Просвещение», 2007 г. Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С. Атанасян-издательство «Просвещение», 2007 г. Энциклопедия для детей. Т .11. Математика / Главный ред. М.Д. Аксенова-М.: Аванта+, 1998. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Главный ред. М.Д. Аксенова-М.: Аванта+, 1998.

$64. 90 1. Elementary Geometry for College $11.20 2. Descriptive Geometry. Tutorial $7.90 3. Mathematics 5-6kl Visual Geometry   4. Coordinate Geometry (The University   5. Geometry, theoretical and practical, $2. 60 6. Workbook on the geometry of the $ 14,70 7. Геометрия и топология A Учебник .0016 $ 15,00 $ 15,00 8   $19.00 9. Geometry Interactive Student Tutorial   $12. 40 10. Math. Арифметика. Геометрия 6кл $5.30 11. Геометрия. Решение. 9 класс (   $8,20 12. Геометрия. Учебник для 10 класса. / $10.20 13. Geometry 7kl [Tutorial] / Geometriya $4.60 14. Tests and monitoring work on geometry.   15,99 $ 0121   $45.95 16. Mastercam X Solids Training Tutorials   17. The right line & circle (coordinate   18 Координатная геометрия (Университет 19. Учебные пособия для преподавателей: .   Твердый переплет: Страницы (2006-05-23) — подержанные и новые: 64,90 долл. США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 0618645330 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 2. Начертательная геометрия. Учебное пособие Начертательная геометрия. Учебное пособие Степанова А.П. Автономова М.П. Твердый переплет: Страницы (2009) — подержанные и новые: 11,20 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 5222155536 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 8 от Panchhichina Valentina Alekseeva 900990090099009900900900999009. . Страницы (2010) — бывшие в употреблении и новые: 7,9 долларов США.0 (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 50375 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 3. Математика 5-6 кль визуальной геометрии [Учебное пособие] / Математика 5-6 кл Naglyadnaya Geometriya [Uchebnik] от Panchlyshina Valentina Alekseeva 4. Координатная геометрия (серия учебных пособий для университетов) Дж. Х.; Розенберг, Ф. Грейс   Твердый переплет: Страницы (1909) Асин: B000GM8TEQ Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 5. Геометрия, теоретическая и практическая, (Серия учебников для университетов) В. П. Уоркмана   Страницы (1908) Асин: B00089OPU4 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 6. Рабочая тетрадь по геометрии учебник Л.С.Атанасяна и др. «Геометрия 7-9.9,/Рабочая тетрад по геометрии к учебнику Л.С.Атанасяна и др. «Геометрия 7-9». 9к Татьяна Мищенко Мягкая обложка: Страницы (2002) — подержанные и новые: 2,60 долл. США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 5170148577 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 7. Геометрия и топология учебное пособие / Геометрия и топология учебное пособие Хамидулин Р.Я. Примаков Д.А. Мягкая обложка: Страницы (2010) — подержанные и новые: 14,70 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 5944161051 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 8. Math Made Easy: Geometry GE-100 (видеозапись) (Введение в понятия, точки и линии, углы, параллельные линии, введение в аналитическую геометрию, координатную плоскость, расстояние, средние точки, наклоны, уравнения линии) по видеоруководству Мягкая обложка: Страницы (1992) — подержанные и новые: 15,00 долларов США (цена может измениться: см. справку) Asin: B000S51WCM Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония Редакционный обзор Описание продукта Видеокассета: Geometry GE-100. … Подробнее 9 , Prentice Hall Страницы (1998) — подержанные и новые: 19,00 долларов США (цена может измениться: см. справку) Asin: 0134344693 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 846 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 10. Матем. Арифметика. Геометрия 6кл [Учебник] / Математика. Арифметика. Геометрия 6кл [Учебник] Бунимович Евгений Абрамович   Мягкая обложка: Страницы (2010) — подержанные и новые: 12,40 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Asin: 50 11. Геометрия. Решение. 9 класс (учебник Атанасяна и др. «Геометрия 7-9 класс») / Геометрия. Решение задач. 9 класс ( к учебнику Атанасяна и др.»Геометрия 7-9 класс») Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Атанасян Мягкая обложка: Страницы (2005) — подержанные и новые: 5,30 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 5 5744 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 12. Геометрия. Учебник для 10 класса. / Геометрия. 10 класс учебное пособие. Литвиненко В. Н.   Твердый переплет: Страницы (2002) — подержанные и новые: 8,20 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 58336 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 903: Страницы (2010) — подержанные и новые: 10,20 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Асин: 50091 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 13. Геометрия 7кл [Учебник] / Геометрия 7кл [Учебник] Бутузов Валентин Федорович 14. Контрольные и контрольные работы по геометрии. 7 класс учебник А.В. Погорелов Тесты и контрольные работы по геометрии. 7 класс к учебнику А. В. Погорелова Фарков А. Мягкая обложка: Страницы (2011) — подержанные и новые: 4,60 долл. США (цена может быть изменена: см. справку) Asin: 5498078838 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония -ROM 90: Страницы (2005) — подержанные и новые: 15,99 долларов США (цена может быть изменена: см. справку) Asin: B000Z9B8TI Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 15. Glencoe: Geometry — GeomPASS — Tutorial Plus — Test Prep — CD-Rom by Unknown   Редакционный обзор Описание продукта ISBN-10: 0078602688 . .. Подробнее 16. Учебные пособия по Mastercam X Solids от In House Solutions Mastercam   Спиральный переплет: Страницы (2006-01-31) — подержанные и новые: 45,95 долларов США (цена может измениться: см. справку) Asin: 1894487346 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония Редакционный обзор Описание продукта В этом материале обсуждаются такие функции Mastercam, как Extrude, Revolve, Sweep и Boolean Remove & Add. Вы создадите Solid Geometry из поверхностей и познакомитесь с Loft Commands, элементами Shell, Chamfer и Fillet. Шесть проектов используются для иллюстрации команд Solid. Легко следовать процедурам со снимками экрана и меню от Mastercam. … Подробнее 17. Правильная линия и окружность (координатная геометрия) (серия учебников для университетов) Уильям Бриггс Страницы (1908) Asin: B00089LO5I Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 18. Координатная геометрия (серия учебных пособий для университетов) Розенберг Грейс Страницы (1919) Asin: B001GOK89M Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 19. Учебные пособия для учителей: геометрия на французском языке   Твердый переплет: Страницы (1998-01-01) ISBN: 0195701801 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 20. Дифференциальная геометрия (His Tutorial text, № 5) Dragoslav S Mitrinovic Страницы (1969) Asin: B0006CHVE0 Канада | Великобритания | Германия | Франция | Япония 1-20 из 81 | Следующие 20 A & NBSP B & NBSP C & NBSP D & NBSP E & NBSP F & NBSP E & NBSP F & NBSP G &nbsp  H &nbsp  I &nbsp  J &nbsp  K &nbsp  L &nbsp  M &nbsp  N &nbsp  O &nbsp  P &nbsp  Q &nbsp  R &nbsp  S T U V W X Y 3 09 Z0016 Цены, указанные на этом сайте, могут быть изменены без предварительного уведомления. Вопросы по заказу или доставке? нажмите здесь, чтобы получить помощь. геометрии вокруг нас. Геометрия вокруг нас: основные разделы геометрии «Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллелизм линий и плоскостей» Стереометрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять. Простейшие фигуры в пространстве: точка, линия, плоскость. Самолет. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять бесконечно простирающейся во всех направлениях. На рисунках плоскости изображают параллелограммом или произвольной площадкой и обозначают греческими буквами α, β, γ и т. д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), но точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Кратко это записывается так: A ∈ β, B ∈ β, Аксиомы стереометрии и их следствия Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. Аксиома 3. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. Некоторые следствия из аксиом Теорема 1. Через прямую через прямую через и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одну. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые через и b проходит плоскость, и только одна. Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая пересекает эту плоскость. Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥ c и b ∥ c , то a ∥ b ). Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Знак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую параллельно другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Взаимное расположение линий в пространстве Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) Пересекающиеся линии: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) Стереометрия Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «stereos» — «твердый, объемный, пространственный» и μετρέω, «metreo» — «измеряю») — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве учился. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, линии и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения линий: пересекающиеся линии. Это одно из немногих существенных отличий объемной геометрии от планиметрии, поскольку во многих случаях задачи стереометрии решаются путем рассмотрения разных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы. Этот раздел не следует путать с планиметрией, так как в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур). Аксиомы стереометрии На каждой прямой и в каждой плоскости есть не менее двух точек. В космосе есть самолеты. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Какой бы ни была плоскость, есть точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. Если две разные плоскости имеют общую точку, то у них есть общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделенные плоскостью α; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α. Расстояние между любыми двумя точками в пространстве одинаково на любой плоскости, содержащей эти точки. Многогранник Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник, расположенный одной стороной относительно плоскости, проходящей через любую из его граней. Литература Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Проблемы стереометрии. — М.: Наука, 1989. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрии). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотека «Квант», вып.31). Разделы математики

Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и интегральные уравнения

Геометрия и топология Геометрия Топология

Дискретная математика

Портал «Математика» Категория «Математика»

Что такое серединный перпендикуляр. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Глоссарий терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом. # А Б В Г Д Е Ж Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

коллинеарные точки

Конкурсный прямой — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом. # А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Окружность Аполлония — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом. # А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование плоскости — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом. # А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Cheviana — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом. # А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Глоссарий планиметрии — Эта страница представляет собой глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) выделены курсивом … Википедия

Задача Аполлония — Задача Аполлония состоит в том, чтобы построить окружность, касающуюся трех заданных окружностей, используя циркуль и линейку. Согласно легенде, задача была сформулирована Аполлонием Пергским около 220 г. до н.э. е. в книге «Прикосновение», которая была утеряна… Википедия

Задача Аполлония — Задача Аполлония состоит в том, чтобы построить окружность, касающуюся трех заданных окружностей, используя циркуль и линейку. Согласно легенде, задача была сформулирована Аполлонием Пергским около 220 г. до н.э. е. в книге «Прикосновение», которая была утеряна, но была… … Википедия

Диаграмма Вороного — случайное множество точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет собой такое разбиение плоскости, в котором ка … Википедия

Среднеперпендикулярно сегменту

Определение 1 . Серединой перпендикулярной отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину (рис. 1).

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равна на одинаковом расстоянии от концов этот сегмент.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис. 2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники прямоугольные, катеты AC и BC равны, а катеты DC общие. Из равенства треугольников ADC и BDC следует равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если точка находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». Для этого предположим, что некоторая точка E находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведем это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки Е и А лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис. 3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы будем обозначать буквой D.

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки Е и А лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки Е и А лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис. 4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная вокруг треугольника

Определение 2 . Окружностью, описывающей треугольник, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис. 5). В этом случае треугольник называется вписанным в окружность треугольником или вписанным треугольником.

Свойства окружности, описанной вокруг треугольника. Теорема синусов

Рисунок	Рисунок	Свойство
Средние перпендикуляры к сторонам треугольника		пересекаются в одной точке .
Центр описана около остроугольного треугольника окружности		Центр описан около остроугольный внутри треугольник.
Центр Окружность, описанная около прямоугольного треугольника		Центр описанного около Прямоугольник середина гипотенузы .
Центр описана около тупоугольного треугольника окружности		Центр описан около тупоугольный круг треугольник лежит снаружи треугольник.
		,
Квадрат треугольник		S= 2 R 2 sin A sin B sin C ,
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника верно равенство:

Доказательства теорем о свойствах окружности, описанной вокруг треугольника

Теорема 3. Все средние перпендикуляры, проведенные к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведенные к сторонам АС и АВ треугольника АВС, и обозначим точку их пересечения буквой О (рис. 6).

Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 выполняется равенство.

В предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла, как вложенной в треугольник, так и свободной. Треугольник включает в себя три угла, и для каждого из них сохраняются рассматриваемые свойства биссектрисы.

Теорема:

Биссектрисы AA 1, BB 1, CC 1 треугольника пересекаются в одной точке O (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим первые две биссектрисы BB 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения O существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, тогда они параллельны. Тогда прямая ВС есть секущая и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов равна .

Итак, точка O пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим его свойства:

Точка O лежит на биссектрисе угла , что означает, что она равноудалена от его сторон BA и BC. Если ОК перпендикулярен ВС, а ОЛ перпендикулярен ВА, то длины этих перпендикуляров равны -. При этом точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон СВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получились следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и OM. Это равенство говорит о том, что точка O равноудалена от сторон угла, а значит, лежит на его биссектрисе AA 1.

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех сегментов, а это значит, что мы должны рассматривать свойства одного сегмента.

Сегмент АВ дан. Любой отрезок имеет середину, и через нее можно провести перпендикуляр — обозначим его через р. Таким образом, p — серединный перпендикуляр.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Докажите, что (рис. 2).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, так как имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, поэтому имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, что и требовалось доказать.

Верна обратная теорема.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Дан отрезок AB, биссектриса к нему равна p, точка M равноудалена от концов отрезка. Докажите, что точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим треугольник. Он равнобедренный, как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О — середина основания АВ, ОМ — медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является одновременно и высотой, и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая p также перпендикулярна AB. Мы знаем, что единственный перпендикуляр к отрезку АВ можно провести в точку О, а это значит, что прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямая и обратная теоремы могут быть обобщены.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Дан треугольник. Перпендикулярно его сторонам: 1 изн в сторону ВС, 2 изн в сторону АС, 3 изн в сторону АВ.

Докажите, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим два срединных перпендикуляра P 2 и P 3 , они пересекаются, точка пересечения O существует. Докажем этот факт от противного — пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол прямой, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника равна . Итак, существует точка O пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, а значит, равноудалена от концов отрезка АВ:. Он также лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC, поэтому . Мы получили следующие равенства.

Дайте определение серединному перпендикуляру, научите его строить и докажите член о серединном перпендикуляре, а также об обратном к нему.

Раздаточный материал (Приложение №1)

Задачи на построение с циркулем и линейкой без делений чаще всего решают по определенной схеме: данные задачи и желаемые элементы.

II. Дом : По плану строят с циркулем и линейкой.

III. Доказательство : Докажите, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование : Проведите исследование по любым данным, есть ли у задачи решение и если да, то сколько решений (не выполнять во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных строительных задач, которые мы рассмотрим:

1. Отложите отрезок, равный этому (изучался ранее).

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

• построить середину данного отрезка;
• построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой (точка может лежать или не лежать на данной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла, равного заданному.

Медиана, перпендикулярная сегменту.

Определение: Биссектриса отрезка — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ей.

Задание: «Построить серединный перпендикуляр к отрезку». Презентация

О — середина АВ

Описание конструкции ( номер слайда 4 ):

Балка а; А — начало балки

Окружность (А; r = м)

Окружность а = В; AB = m

Круг 1 (A; r 1 > m/2)

Круг 2 (B; r 1)

Круг 1 Круг 2 =

MN ; MN AB =0, (MN = L)

, где MN AB, O — середина AB

III. Доказательство (слайд № 5, 6)

1. Рассмотрим АМН и БНМ:

АМ = МБ=БН=АН=r 2 , поэтому АМ = БН , АН = ВМ МН — общая сторона

(рисунок 3)

Следовательно, AMN = BNM (по 3 сторонам),

Следовательно

1= 2 (по определению равны)

3= 4 (по определению равны)

2. MAN НБМ равнобедренные (по определению) ->

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных)

3. Из точек 1 и 2 -> 1 = 3 следовательно МО является биссектрисой равнобедренного АМВ

4. Таким образом, мы доказали, что MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB

IV. Исследование

Эта задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Определение: Геометрический набор точек (GMT) — это набор точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

Известный вам GMT:

1. Биссектрисой отрезка называется множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Биссектриса угла — множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: «Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка».

(рисунок 4)

Дано: AB; МО — перпендикулярная биссектриса

Доказать: AM = VM

Домашнее задание: «Докажите теорему, обратную заданной»

Теорема: «Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку».

(рисунок 5)

Дано: AB; MA=MV

Докажите : Точка M лежит на серединном перпендикуляре

Доказательство:

То. МО — биссектриса, содержащая все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной вокруг треугольника окружности, которую мы будем изучать в восьмом классе.

Мастерская

Материально-техническое оснащение:

Распространение: 29 574 КБ

ОС: Windows 9x/2000/XP

Сайт: http://www.ascon.ru

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и навыки необходимо применить к конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас не больше времени, чем построение в блокноте. Среди прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет человеческие команды для построения плоских фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробно описаны ваши этапы построения. Загрузите программу и откройте новый чертеж ( номер слайда 8 , 9).

Нарисуйте геометрические объекты, указанные в условии задачи: луч a с началом в точке А и отрезок равный м – длина произвольная ( номер слайда 10 ).

Ввести обозначение балки, сегмента, начала балки на чертеже с помощью вкладки «Инструменты » текста.

Построить окружность радиусом, равным отрезку м с центром в вершине в заданной точке НО ( номер слайда 11 ).

м с центром в вершине заданной точки А ( слайд №12, 13 ).

Построить окружность с радиусом, равным отрезку больше 1/2 м Для этого выбираем пункт « Между 2 точками» ( слайд №14, 15, 16 ).

Через точки пересечения окружностей М и N провести линию ( слайд №17,18 ).

Подержанные книги:

1. Угринович Н.Д. «Информатика. Базовый курс» 7 класс. — М.: БИНОМ — 2008 — 175 с.
2. Угринович Н.Д. «Практикум по информатике и информационным технологиям». Руководство. — М.: БИНОМ, 2004-2006. —
3. Угринович Н.Д. «Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в 8-11 классах начальной и старшей школы М.: Лаборатория знаний БИНОМ, 2008. — 180 с.
4. Угринович Н.Д. Компьютерная мастерская на CD-ROM. — М.: БИНОМ, 2004-2006.
5. Богуславский А. А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. «Компас — 3D v 5.11-8.0 Мастерская для начинающих» — М.: СОЛОН — ПРЕСС, 2006 — 272 с.
6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. «Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ» — М: Просвещение 2006 — 384 с.
7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. «Изучение геометрии 7-9 классы. Методические указания к учебнику» — М: Просвещение 1997 — 255 с.
8. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. «Планы уроков к учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.» — Волгоград «Учитель» 2010, 166 с.

Заявка №1

План решения задач на построение циркуля и линейки.

1. Анализ.
2. Строительство.
3. Доказательство.
4. Исследование.

Пояснение

1. При выполнении анализа схематично рисуется требуемая фигура и устанавливается связь между данными задания и требуемыми элементами.
2. По плану построение ведется с помощью циркуля и линейки.
3. Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
4. Провести исследование: для любых данных есть ли у задачи решение, и если да, то сколько решений?

Примеры задач на элементарное построение

1. Отложите отрезок, равный заданному.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку.
3. Построить середину отрезка.
4. Построить прямую, проходящую через заданную точку перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
5. Построить биссектрису угла.
6. Постройте угол, равный заданному.

Приложение №2

Геометрическое место точек (GMT) представляет собой набор точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры GMT:

1. Серединным перпендикуляром к отрезку называется множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Окружность — это множество точек, равноудаленных от данной точки — центра окружности.
3. Биссектриса угла — это множество точек, равноудаленных от сторон угла.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждый из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треугольника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят точку пересечения в отношении $2:1 $ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ — его медиана. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (рис. 1).

Рис. 1. Медианы треугольника

По теореме 1 $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\угол ABB_1=\угол BB_1A_1,\ \угол BAA_1=\угол AA_1B_1$. Следовательно, треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому критерию подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\BP,\CK$ — его биссектрисы. Пусть точка $O$ является точкой пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Из этой точки проведите перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рис. 2. Биссектрисы треугольника

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы нерастянутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3 имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, следовательно, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рис. 3. Биссектрисы треугольника

Для доказательства нам понадобится следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3 имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, следовательно, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ — его высота. Через каждую вершину треугольника проведите линию, параллельную стороне, противоположной вершине.