Геометрия. Учебник для 10-11 классов
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
1. Предмет стереометрии —
2. Аксиомы стереометрии 4
3. Некоторые следствия из аксиом 6
Вопросы и задачи 7
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости 9
4. Параллельные прямые в пространстве —
5. Параллельность трех прямых 10
6. Параллельность прямой и плоскости 11
Вопросы и задачи 13
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми 15
7. Скрещивающиеся прямые —
8. Углы с сонаправленными сторонами 17
9. Угол между прямыми 18
Вопросы и задачи —
§ 3. Параллельность плоскостей 20
10. Параллельные плоскости —
11. Свойства параллельных плоскостей 21
Вопросы и задачи 22
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед 24
12. Тетраэдр —
13. Параллелепипед 25
14. Задачи на построение сечений 27
Задачи 29
Вопросы к главе I 31
Дополнительные задачи 32
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1.
Перпендикулярность прямой и плоскости 34
15. Перпендикулярные прямые в пространстве —
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости —
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 36
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости 38
Задачи —
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 40
19. Расстояние от точки до плоскости —
20. Теорема о трех перпендикулярах 42
21. Угол между прямой и плоскостью —
Задачи 44
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 47
22. Двугранный угол —
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей 49
24. Прямоугольный параллелепипед 50
25*. Трехгранный угол 51
26*. Многогранный угол 52
Задачи 54
Вопросы к главе II 57
Дополнительные задачи —
Глава III. Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма 60
27. Понятие многогранника —
28*. Геометрическое тело 61
29*. Теорема Эйлера 62
30. Призма 63
31*. Пространственная теорема Пифагора 65
Задачи 67
§ 2.
Пирамида 69
32. Пирамида —
33. Правильная пирамида —
34. Усеченная пирамида 71
Задачи 72
§ 3. Правильные многогранники 75
35. Симметрия в пространстве —
36. Понятие правильного многогранника 76
37. Элементы симметрии правильных многогранников 79
Практические задания —
Вопросы и задачи 80
Вопросы к главе III 81
Дополнительные задачи —
Глава IV. Векторы к пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве 84
38. Понятие вектора —
39. Равенство векторов 85
Вопросы и задачи 86
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 87
40. Сложение и вычитание векторов —
41. Сумма нескольких векторов 88
42. Умножение вектора на число 89
Задачи 90
§ 3. Компланарные векторы 92
43. Компланарные векторы —
44. Правило параллелепипеда 93
45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 94
Вопросы и задачи 95
Вопросы к главе IV 98
Дополнительные задачи 99
Глава V. Метод координат в пространств.
Движения
§ 1. Координаты точки и координаты вектора 102
46. Прямоугольная система координат в пространстве —
47. Координаты вектора 103
48. Связь между координатами векторов и координатами точек 105
49. Простейшие задачи в координатах 106
Вопросы и задачи 107
§ 2. Скалярное произведение векторов 112
50. Угол между векторами —
51. Скалярное произведение векторов —
52. Вычисление углов между прямыми и плоскостями 113
53*. Уравнение плоскости 115
Задачи 116
§ 3. Движения 121
54. Центральная симметрия —
55. Осевая симметрия 122
56. Зеркальная симметрия —
57. Параллельный перенос 123
58*. Преобразование подобия 124
Задачи 125
Вопросы к главе V 126
Дополнительные задачи 127
Глава VI. Цилиндр, конус, шар
§ 1. Цилиндр 130
59. Понятие цилиндра —
60. Площадь поверхности цилиндра 132
Задачи 133
§ 2. Конус 135
61. Понятие конуса —
62. Площадь поверхности конуса 136
63. Усеченный конус 137
Задачи 138
§ 3.
Сфера 140
64. Сфера и шар —
65. Уравнение сферы 141
66. Взаимное расположение сферы и плоскости —
67. Касательная плоскость к сфере 143
68. Площадь сферы 144
69*. Взаимное расположение сферы и прямой —
70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность 145
71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность 146
72*. Сечения цилиндрической поверхности 147
73*. Сечения конической поверхности 149
Задачи 150
Вопросы к главе VI 152
Дополнительные задачи 153
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 155
Глава VII. Объемы тел
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда 157
74. Понятие объема —
75. Объем прямоугольного параллелепипеда 159
Задачи 161
§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра 162
76. Объем прямой призмы —
77. Объем цилиндра 163
Вопросы и задачи 164
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса 165
78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла —
79. Объем наклонной призмы 167
80.
Объем пирамиды 168
81. Объем конуса 170
Задачи 171
§ 4. Объем шара и площадь сферы 174
82. Объем шара —
83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора —
84*. Плошадь сферы 176
Вопросы и задачи 177
Вопросы к главе VII 178
Дополнительные задачи 179
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 180
Задачи для повторения 181
Задачи повышенной трудности 182
Глава VIII. Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью 187
85. Угол между касательной и хордой —
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью 188
87. Углы с вершинами внутри и вне круга 189
88. Вписанный четырехугольник 190
89. Описанный четырехугольник 192
Задачи 193
§ 2. Решение треугольников 195
90. Теорема о медиане —
91. Теорема о биссектрисе треугольника 196
92. Формулы площади треугольника 198
93. Формула Герона 199
94. Задача Эйлера 200
Задачи 204
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы 206
95.
Теорема Менелая —
96. Теорема Чевы 207
Задачи 209
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола 211
97. Эллипс —
98. Гипербола 214
99. Парабола 217
Задачи 219
Приложения
1. Изображение пространственных фигур 220
1. Параллельная проекция фигуры —
2. Изображение фигуры 221
3. Изображение плоских фигур 222
4. Изображение пространственных фигур 224
2. Об аксиомах геометрии 225
Ответы и указания 234
Предметный указатель 249
Скачать 2009 г.
Учебник для 10 — 11 классов средней школы.
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.
Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.
Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.
В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности.
Повторение теории и решение типовых задач на
На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Сначала повторим теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. И тогда мы будем решать проблемы, используя эту функцию.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Повторение теории и решение типовых задач на
перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)
В этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости .
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Пусть дана плоскость α. В этой плоскости две прямые. стр и q, пересекаются в точке
3. Сайт репетитора по математике()
1.
Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Дана окружность с центром в точке О . Прямая ПН перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая МО перпендикулярна любому радиусу окружности.
3. В треугольнике ABC проведена высота CH . Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC . Линия перпендикулярна? CH самолет AMV ?
4. Прямая MA перпендикулярно плоскости квадрата ABC D . Найдите длину отрезка МС, МБ , MD , если сторона квадрата равна а, AM = b .
Назад вперед
Внимание! Слайды предварительного просмотра предназначены только для информационных целей и могут не отражать весь объем презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.
Класс: 10.
Базовый учебник: Геометрия 10-11: базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2009.
Урок сопровождается презентацией, тестом, выполненным в Microsoft Excel для компьютерной проверки знаний обучающихся ( Приложение 1 ), учебным модулем Федерального центра информационно-образовательных ресурсов ( Приложение 2 ), состоящим из 5 заданий разного уровня сложности. Все задачи этого модуля параметризованы, что позволяет создавать индивидуальные задачи. Задания предназначены для развития навыков решения задач с использованием признака перпендикулярности прямой и плоскости. Для работы с обучающим модулем необходимо установить специальную программу, она есть в
Тип урока: урок творческого применения знаний.
Форма проведения: семинар по решению ключевых проблем.
Затраты времени: 45 минут.
Место проведения занятия в секции : 4 урок.
Цели:
Учебники:
- «открыть» понятия перпендикулярного и наклонного к плоскости;
- навыков сборки:
см. конфигурации, отвечающие заданным условиям;
применять к задачам на доказывание определение прямой, перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; - развивать навыки решения основных задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Проявление:
- развивать пространственное воображение, логическое мышление;
- развивать самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий;
- организовать осмысление результатов изучения темы и способов их достижения.
Образовательные:
- воспитывать:
воля и настойчивость для достижения конечного результата при решении задач;
информационная культура и культура общения.
Формы организации деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.
Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме, тест (приложение 1), карточки для индивидуальной работы (Слайд 9), карточки с вопросами по теории, ЭОР с практическим параметризованным заданием (приложение 2).
Во время занятийОрганизационный момент — проверка готовности класса к уроку.
I. Мотивационно-ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
— Сегодня продолжаем работу по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». На прошлых уроках мы «открыли» определение прямой, перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами по теории, вам было предложено подготовить ответы на эти вопросы.
Давайте проверим, как вы справились с этой задачей.
Проходит очный опрос. (слайды 6-8).
Вопросы :
|
Могут ли прямые быть параллельны? а и б ? (нет, если это предполагается, то b ⊥ a , что противоречит условию). Подводятся итоги устной работы, оцениваются ответы студентов.
2. Постановка учебного задания.
Сегодня мы продолжим формировать умение применять известные утверждения в задачах доказывания и при решении типовых задач.
1. Следующий этап работы – к доске вызываются двое учащихся для индивидуальной работы по карточкам, с остальными учащимися проводится фронтальная работа по готовым рисункам. Карточек для индивидуальной работы:
Задания для устной работы по готовым рисункам:
Дано: M ABC , MBCD — прямоугольник. Докажите: прямо CD ⊥ ABC | Дано: ABCD — параллелограмм. Докажи: прямо МО ⊥ ABC |
Дано: М Азбука , ABCD — ромб. Докажите: прямо BD ⊥ AMC | Дано: AH ⊥α, AB — наклонный. Найти AB . |
Дано: AH ⊥α, AB — наклонный. Найти AH , BH . | Дано: AH ⊥α, AB и AC — косой. AB = 12, HC = 6√6 . Найдите AC . |
— Ребята, в заданиях 4-6 речь идет о наклонной плоскости. Как вы думаете, что имеется в виду?
Есть ли здесь аналогия с понятиями перпендикуляра и наклона к прямой, изучаемыми в планиметрии?
Студентам предлагается изучить слайд 10 презентации и решить эти задачи.
2. Работа в парах — задачи решаются по готовым чертежам.
Решения обсуждаются. Оцениваются индивидуальные ответы учащихся.
Следующим этапом занятия является выполнение практического задания на компьютере, работа с ЭОР.
III. Рефлексивно-оценочная часть.
1. Результатом работы на уроке является проверка в виде теста.
Подведены итоги урока, выставлены оценки.
2. Домашнее задание: № 130, 131, 145, 148. (Обозначение: использовать знак перпендикулярности прямой и плоскости).
М.: 2014. — 80 с.
Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 заданий. Задания каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии для 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания сложности.
Учитель математики, работающий в средней школе, хорошо знает, как трудно научить учащихся делать наглядные и правильные рисунки для стереометрических задач.
Из-за отсутствия пространственного воображения стереометрическая задача, для которой нужно сделать рисунок самостоятельно, часто становится непосильной для школьника.
Именно поэтому использование готовых чертежей для стереометрических задач значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.
Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.
В. Погорелова «Геометрия 7-11». Является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.
Формат: pdf(2014, 80с.)
Размер: 1,2 МБ
Часы, скачать: drive.google ; Призрак
Формат: djvu(2006, 80-е гг.)
Размер: 1,3 МБ
Скачать: drive.google
Содержание
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия… 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. десять
Таблица 10.3. Параллельность линий в пространстве. Перечеркнутые линии 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Знак параллельных плоскостей 13
Таблица 10.
6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикулярные и косые 19
Таблица 10.12. Перпендикулярные и косые 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскости 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскости 25
Таблица 10.18. Расстояние между линиями пересечения 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скосами 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.
24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Угол трехгранный 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Разделение пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанная и описанная сфера 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Призма Объем 51
Таблица 11.20. Пирамида Том 52
Таблица 11.21. Пирамида Том 53
Таблица 11.22. объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Таблица 11.
23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса 56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса 57
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности мяча 58
Ответы, инструкции, решения 59
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дается определение прямой, перпендикулярной плоскости, дается графическое изображение и пример, а также указывается обозначение перпендикулярной линии и плоскости. После этого формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получаются условия, позволяющие доказать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость задаются некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключение показаны подробные решения типовых примеров и задач.
Навигация по страницам.
Перпендикуляр и плоскость — основная информация.
Мы рекомендуем вам сначала повторить определение перпендикулярных линий, так как определение прямой, перпендикулярной плоскости, дается через перпендикулярность линий.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости , если она перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Можно также сказать, что плоскость перпендикулярна прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используйте значок вида «». То есть, если линия с перпендикулярна плоскости , то можно кратко написать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежные стены комнаты. Эта линия перпендикулярна плоскости и плоскости потолка. Скакалка в тренажерном зале также может рассматриваться как прямая линия, перпендикулярная плоскости пола.
В заключение этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается девяносто градусов.
Перпендикулярность прямой и плоскости — признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли данные прямая и плоскость?» Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Чтобы данная прямая была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости можно посмотреть в учебнике геометрии для 10-11 классов.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости часто используют также следующую теорему.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна плоскости.
В школе рассматривается множество задач, для решения которых используется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом разделе статьи мы сосредоточимся на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Позвольте является направляющим вектором прямой линии a , и является нормальным вектором плоскости . Для перпендикулярности прямой а и плоскости необходимо и достаточно, чтобы и : , где t — некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда координаты направляющего вектора прямой и координаты вектора нормали плоскости в фиксированном трехмерном пространстве легко найденный.
Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямая определяется некоторыми уравнениями прямой в пространстве, а плоскость задается уравнениями какое-нибудь уравнение плоскости.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Докажите, что прямые перпендикулярны и являются плоскостями.
Раствор.
Мы знаем, что числа в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, — вектор направления прямой.
Коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к этой плоскости, т. е. являются вектором нормали к плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости.