Решебник по Математике для 6 класса Зубарева И.И. ГДЗ

авторы: Зубарева И.И., Мордкович А.Г..

ГДЗ к сборнику задач и упражнений по математике за 6 класс Гамбарин В.Г. можно скачать здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно скачать здесь.

Пособие «ГДЗ по математике за 6 класс» авторов Мордкович и Зубаревой, разработано для школьников общеобразовательных учебных заведений.

Содержит в себе подробное описание и алгоритм решения задач и упражнений. Учебник разбит на параграфы, каждый из которых поделен на задания, полностью соответствующие школьной программе. Данное издание позволит без посторонней помощи разобраться в домашней работе и выполнить ее на оценку «отлично». Занимаясь с книгой ребенок научится разбираться в математических действиях и подготавливаться к самостоятельным работам. Основным преимуществом решебника является то, что он будет одинаково полезен, как ученикам, так и их родителям. С его помощью взрослым не придется часами сидеть над заданным упражнением, пытаясь безуспешно объяснить, как нужно решать. Используя пособие можно будет без труда объяснить последовательность выполнения, оценить правильность уже выполненного задания и устроить своему ребенку домашние проверочные работы, для того чтоб он был всегда готов к урокам. Работая с «ГДЗ по математике за 6 класс» Зубаревой и Мордковича можно научится решать задания, даже если на уроке не понял новые правила. При изучении курса математики средней школы данное пособие просто незаменимо.

ГДЗ по Математике за 6 класс Зубарева И.И., Мордкович А.Г. ФГОС 2016

Решебники, ГДЗ

• 11 Класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Немецкий язык
  • Математика
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
  • Биология
  • История
  • География
  • Обществознание
  • Литература
  • ОБЖ
  • Информатика
  • Белорусский язык
  • Астрономия
  • Мед.
    подготовка
  • Испанский язык
  • Казахский язык
• 10 Класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Немецкий язык
  • Математика
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
  • Биология
  • Истор

Математика. 6 класс. Учебник. Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

Теоретический материал в учебнике изложен таким образом, чтобы преподаватель смог применять проблемный подход в обучении. Задания с помощью системы обозначений дифференцированы по трудности в четырех уровнях. В каждом параграфе сформулированы контрольные задания, исходя из того, что должны знать и уметь учащиеся для достижения ими уровня стандарта математического образования. В конце учебника имеются разделы «Домашние контрольные работы», «Ответы». Цветные иллюстрации (рисунки и схемы) обеспечивают высокий уровень наглядности учебного материала.
Учебник можно использовать в качестве продолжения любого курса начальной школы — как традиционного, так и развивающего направления.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 4
Глава I. Положительные и отрицательные числа. Координаты
§ 1. Поворот и центральная симметрия 5
§ 2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая— 14
§ 3. Модуль числа. Противоположные числа 22
§ 4. Сравнение чисел 30
§ 5. Параллельность прямых 36
§ 6. Числовые выражения, содержащие знаки +, — 43
§ 7. Алгебраическая сумма и ее свойства 51
§ 8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел 58

§ 9. Расстояние между точками координатной прямой 63
§ 10. Осевая симметрия 66
§ 11. Числовые промежутки 73
§ 12. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел 80
§ 13. Координаты 88
§ 14. Координатная плоскость 94
§ 15. Умножение и деление обыкновенных дробей 103
§ 16. Правило умножения для комбинаторных задач 112
Глава II. Преобразование буквенных выражений
§ 17. Раскрытие скобок 119
§ 18. Упрощение выражений 123
§ 19. Решение уравнений 127
§ 20. Решение задач на составление уравнений 134
§ 21. Две основные задачи на дроби 139
§ 22. Окружность. Длина окружности 146
§ 23. Круг. Площадь круга 154
§ 24. Шар. Сфера 157
Глава III. Делимость натуральных чисел
§ 25. Делители и кратные 160
§ 26. Делимость произведения 167
§ 27. Делимость суммы и разности чисел 171
§ 28. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25 178
§ 29. Признаки делимости на 3 и 9 185
§ 30. Простые числа. Разложение числа на простые множители 191
§ 31. Наибольший общий делитель 199
§ 32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное 202
Глава IV. Математика вокруг нас
§ 33. Отношение двух чисел 209
§ 34. Диаграммы 218
§ 35. Пропорциональность величин 230
§ 36. Решение задач с помощью пропорций 236
§ 37. Разные задачи 240
§ 38. Первое знакомство с понятием «вероятность» 243
§ 39. Первое знакомство с подсчетом вероятности 247
Домашние контрольные работы 253
Ответы 257

Решебник по математике для 6 класса к учебнику Зубаревой И. И., Мордкович А.Г.

Автор Administrator На чтение 2 мин. Опубликовано 13.04.2016

Вид пособия, придуманный родителям в помощь, стал востребованным и у школьников, и у педагогов. Речь идет о решебниках, в данном случае – к учебнику для шестиклассников Зубаревой И.И. Проверить уроки быстро, значит сэкономить силы и время для дополнительных занятий или досуга. Решебник освобождает учительское время для более важных задач – например, подготовки к уроку.

Вид пособия, придуманный родителям в помощь, стал востребованным и у школьников, и у педагогов. Речь идет о решебниках, в данном случае – к учебнику для шестиклассников Зубаревой И.И. Проверить уроки быстро, значит сэкономить силы и время для дополнительных занятий или досуга. Решебник освобождает учительское время для более важных задач – например, подготовки к уроку.

Решебник предоставляет не только перечень верных ответов, а и пояснения-инструкции к ним. Таким образом, можно с точностью выявить проблемное место и разобрать его повторно до полного усвоения материала. Решения сопровождаются рисунками, схемами, чертежами (где необходимо).

Решебник по математике для 6 класса к учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. структурирован также, как и учебная книга. Нумерация, темы и их порядок изложения, все это соответствует основной части УМК – учебнику. В конце пособия доны ответы к приложению, домашним контрольным.

Книга помогает в воспитании у шестиклассников самостоятельности и ответственности. Дети заканчивают формирование личных навыков – самопроверки, – и это дает самый положительный эффект при решении контрольных, самостоятельных, итоговых.

Издательство: Экзамен
Год издания: 2012
Автор: Смирнов С.В.
Формат: PDF
Количество страниц: 223
Язык: Русский

 

Скачать бесплатно matematika_gdz_zubareva_mordkovich_6_klass_uchebnik. pdf

ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И.И., Мордкович А.Г. контрольные задания

---

Здравствуйте, а вы знаете, что 80% Интернета забито всяким хламом, вряд ли Вы найдете сайт с похожим материалом ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И.И., Мордкович А.Г. контрольные задания, без регистрации, хотя можете попытаться, но все равно в конечном итоге попадете к нам. Подобные материалы мы сортируем по разделам, сейчас Вы находитесь на странице которая расположена в Алгебра. Мы отличаемся от всех сайтов своей индивидуальностью, потому что приносим пользу обществу маленьких гениев и их заботливых родителей. Мы всегда будем рады новым и новым пользователям нашего скромного, но очень перспективного сайта. Всего Вам хорошего и пусть ваши Дети радуют вас положительными оценками и забавными вопросами.

ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И.И., Мордкович А.Г. контрольные задания — Все, для развития Вашего ребенка от сайта Tavr-obrazovanie.ru

Если Вы нашли то, что искали, пожалуйста добавьте нас в закладки, этим Вы поможете развитию сайта, нажав на кнопку Поделиться

Скачать бесплатно Алгебра

---

Прежде чем начать действия с данным материалом ГДЗ по математике 6 класс — Зубарева И. И., Мордкович А.Г. контрольные задания ознакомьтесь с его описанием, обязательно посмотрите, какие ссылки Вам предлагают для скачивания материала. На сайте в основном размещены ссылки на бесплатные серверы. Если возникли проблемы с материалом «не рабочая ссылка, файл не соответствует названию», отправьте нам письмо по «Обратная связь» и Мы в течении двух суток удалим материал с сайта или заменим ссылку. Этим Вы поможете другим пользователям.

Огромное Спасибо за понимание, всего Вам наилучшего.

---

---

Уважаемые посетитель, оставляйте комментарии к материалу, не стесняйтесь.

---

В данный момент Вы находитесь в категории

Скачать Алгебра без смс

, этот раздел полностью посвящен для детей школьного и дошкольного возраста, Уважаемые родители здесь собранны только лучшие материалы, для того, что бы Ваш ребенок интеллектуально развивался.

Математика 6 Зубарева — Рудницкая

Контрольные работы по математике 6 класс (УМК Зубарева и др. )

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича»  (авт. В.Н. Рудницкая, изд-во «Экзамен», 2014), которое используется в комплекте с учебником «Математика 6 класс» авторов: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.

Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании контрольных работ в 9 классе рекомендуем купить книгу: Виктория Рудницкая: Математика. 6 класс. Дидактические материалы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г.Мордковича. ФГОС, в которой кроме контрольных работ есть еще 36 самостоятельных работ по 4 варианта (ответов в пособии нет),  а также набор задач и упражнений развивающего характера. Материалы пособия также могут быть использованы в работе с шестиклассниками, обучающимися по учебникам математики других авторов в школах любого типа.

Для увеличения изображения — нажмите на картинку !
Чтобы скачать работу — нажмите на правую кнопку мыши и выберите «Сохранить изображение как …»

---

Контрольная работа № 1.
Рациональные числа. Сложение и вычитание

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 1

Контрольная работа № 2.
Параллельные прямые. Осевая симметрия

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 2 В-1Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 2 В-2

Контрольная работа № 3.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольная работа 3

Контрольная работа № 4.
Умножение и деление обыкновенных дробей

дидактические материалы математика 6 Рудницкая. Контрольная работа 4 В-1Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 4 В-2

Контрольная работа № 5. Раскрытие скобок. Решение уравнений

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольная работа 5

Контрольная работа № 6. Длина окружности и площадь круга

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 6 в1Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 6 в2

Контрольная работа № 7. Делимость натуральных чисел

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 7

Контрольная работа № 8. Признаки делимости

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 8

Контрольная работа № 9.
Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 9

Контрольная работа № 10.
Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольная работа 10

Контрольная работа № 11. ИТОГОВАЯ за 6 класс

Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 11 в1Контрольные по математике 6 класс Зубарева. Контрольная работа 11 в2

 

---

Вы смотрели Математика 6 Зубарева — Рудницкая. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича»  (авт. В.Н. Рудницкая, изд-во «Экзамен», 2014)

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 6 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 6 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатному учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Зубарева и Мордковича, Шарыгин. Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучение основам математики, в частности, таким темам как: целые числа и отрицательные целые числа, делимость, пропорции, десятичные дроби, основы выражений упрощение, координатная линия, координатная плоскость, понятие математической модель; используются математические игры.

Последняя версия продукта от 12 августа 2015 г .:

Скачать «Интерактивная математика» 6 класс v1.4.3.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Рисунки можно увеличивать ↓

Версия 1.4.3.21 от 12 августа 2015 (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.3.20 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.19 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.18 от 17 ноября 2012 г.

Версия 1.4.3.17 от 9 октября 2011 г.

Версия 1. 4.3.16 от 28 июня 2011 г.

Версия 1.4.3.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.3.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.3.12 от 23 января 2011

Версия 1.4.3.11 от 4 января 2011

Версия 1.4.3.10 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.9 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.8 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.3.7 от 5 сентября 2010

Версия 1.4.3.6 с 24 августа 2010 г.

Версия 1.4.3.5 с 16 августа 2010 г.

Версия 1.4.3.4 с 13 июня 2010 г.

Версия 1.4.3.3 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.2 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.2.0 от 17 марта 2010

Версия 1.4.1.0 от 1 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.15.0 от 10 февраля 2010 г.

Версия 1.3.14 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.13 от 10 января 2010 г.

Версия 1.3.12 от 5 января 2010 г.

Версия 1.3.11 от 25 декабря 2009 г.

Версия 1.3.10 от 24 декабря 2009 г.

Версия 1.3.9 от 15 декабря 2009 г.

Версия 1.3.8 от 14 декабря 2009 г.

Версия 1.3,6 от 11 октября 2009 г.

Версия 1.3.5 от 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 от 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 от 27 сентября 2009 г.

Версия 1.3.2 от 20 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 от 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1. 0,2 из 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 из 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Домашнее задание: 3 класс по математике

Щиток приборов

Математика 3 класс

Домашнее задание

Перейти к содержанию Щиток приборов

• Авторизоваться

• Приборная панель

• Календарь

• Входящие

• История

• Помогите

близко
• Мой Dashboard
• 3 класс Математика
• Страницы
• Домашнее задание
NE
• Домашняя страница
• Процедуры
• Закрытие
• Банк ресурсов
• Инструменты программы
• Семья и сообщество 3-го класса
• Учебный план 3-го класса Сообщество
• Курс 2-го класса
• Курс 4-го класса
Сотрудничество

Дискретная математика: Домашнее задание 7, решение. Срок:

1 EE 2060 Дискретная математика весна 2011 Дискретная математика: домашнее задание 7 Решение Срок сдачи: Пусть an = 2 nn для n = 0, 1, 2, … (a) (2%) Найдите 0, a 1, a 2, a 3 и a 4. (b) (2%) Покажите, что a 2 = 5a 1 6a 0, a 3 = 5a 2 6a 1 и a 4 = 5a 3 6a 2.(c) (3%) Покажите, что an = 5a n 1 6a n 2 для всех целых чисел n с n 2. (a) Мы просто подставляем n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 и n = 4. Таким образом, мы имеем a 0 = = 6, a 1 = = 17, a 2 = = 49, a 3 = = 143 и a 4 = = 421. (b) Используя наши данные из части (a), мы видим, что 49 =, 143 = и 421 = (c) Это алгебра. Самая беспорядочная часть — это факторизация большой степени 2 и большой степени 3. Если мы заменим n 1 на n в определении, мы получим n 1 = 2 n n 1; аналогично an 2 = 2 nn 2. Начнем с правой части желаемого тождества: 5a n 1 6a n 2 = 5 (2 nn 1) 6 (2 nn 2) = 2 n 2 (10 6) + 3 n 2 (75 30) = 2 nn = 2 n + 3 n 5 = an 2.(a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества битовых строк длины n, содержащих три последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия?

2 (c) (2%) Сколько битовых строк длиной семь содержат три последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством битовых строк длины n, содержащих три последовательных 0 s. Чтобы построить битовую строку длины n, содержащую три последовательных 0 s, мы могли бы начать с 1 и следовать за строкой длины n 1, содержащей три последовательных 0 s, или мы могли бы начать с 01 и следовать за строкой длины n 2, содержащий три последовательных 0, или мы могли бы начать с 001 и следовать за строкой длины n 3, содержащей три последовательных 0, или мы могли бы начать с 000 и следовать любой строкой длины n 3.Эти четыре случая являются взаимоисключающими и исчерпывают возможности того, как строка может начинаться. Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + ann 3. (b) Нет битовых строк длины 0, 1 или 2, содержащих три последовательных 0 s. , поэтому начальные условия: a 0 = a 1 = a 2 = 0 (c) Мы будем вычислять от 3 до 7, используя рекуррентное соотношение: a 3 = a 2 + a 1 + a = = 1 a 4 = a 3 + a 2 + a = = 3 a 5 = a 4 + a 3 + a = = 8 a 6 = a 5 + a 4 + a = = 20 a 7 = a 6 + a 5 + a = = 47 Таким образом, есть 47-битные строки длиной 7, содержащие три последовательных 0 с.3. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества способов подняться по n ступеням, если человек, поднимающийся по лестнице, может подниматься по одной, двум или трем ступеням за раз. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько способов может этот человек подняться по восьмиместному пролету?

3 (a) Пусть n будет количеством способов подняться по n лестницам. Чтобы подняться по n ступеням, человек должен либо начать с шага в одну ступеньку, а затем подняться по n 1 ступеням, либо начать с шага в две ступени, а затем подняться по n 2 ступеням, либо начать со ступени в три ступени, а затем подняться по 3 ступенькам.Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + an 3. (b) Начальные условия: a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2. , поскольку есть один способ подняться без лестницы, очевидно, только один способ подняться по одной лестнице и два способа подняться по двум ступеням. (c) Каждый член в нашей последовательности {an} является суммой трех предыдущих членов, поэтому последовательность начинается с a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 13, a 6 = 24, a 7 = 44, a 8 = 81. Таким образом, человек может подняться по 8 лестничному маршу 81 способом в соответствии с ограничениями в этой задаче.4. Строка, содержащая только нули, единицы и двойки, называется тернарной строкой. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества троичных строк, содержащих два последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько троичных строк длиной шесть содержат два последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством троичных строк, содержащих два последовательных нуля. Чтобы построить такую ​​строку, мы могли бы начать с 1 или 2 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, или мы могли бы начать с 01 или 02 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, мы могли бы начать с 00 и следовать любой троичной цепочкой длины n 2.Следовательно, рекуррентное соотношение, действительное для всех n 2, имеет вид an = 2a n 1 + 2a nn 2. (b) a 0 = a 1 = 0 (c) Мы вычислим от 2 до 6, используя рекуррентное соотношение: a 2 = 2a 1 + 2a = 1

4 a 3 = 2a 2 + 2a = 5 a 4 = 2a 3 + 2a = 21 a 5 = 2a 4 + 2a = 79 a 6 = 2a 5 + 2a = 281 Таким образом, имеется 281 битовая строка длиной 6, содержащая два последовательных 0 с. 5. Решите эти рекуррентные соотношения вместе с заданными начальными условиями (a) (3%) a n = 7a n 1 10a n 2 для n 2, a 0 = 2, a 1 = 1. (b) (3%) an = 2a n 1 an 2 для n 2, a 0 = 4, a 1 = 1. (c) (3%) an = 6a n 1 9a n 2 для n 2, a 0 = 3, a 1 = 3. (a) r 2 7r + 10 = 0 r = 2, 5 an = α 1 2 n + α 2 5 n 2 = α 1 + α 2 1 = 2α 1 + 5α 2 α 1 = 3, α 2 = 1 an = 3 2 n 5 n (б) r 2 2r + 1 = 0 r = 1, 1 an = α 1 1 n + α 2 n1 n 4 = α 1 1 = α 1 + α 2 α 1 = 4, α 2 = 3 an = 4 3n (c) r 2 + 6r + 9 = 0 r = 3, 3 an = α 1 (3) n + α 2 n (3) n 3 = α 1 3 = 3α 1 3α 2 α 1 = 3, α 2 = 2 an = (3 2n) (3) n

5 6.(4%) Найдите решение an = 5a n 2 4a n 4 с a 0 = 3, a 1 = 2, a 2 = 6 и a 3 = 8. Характеристическое уравнение r 4 5r = 0. Этот множитель равен (r 2 1) (r 2 4) = (r + 1) (r 1) (r 2) (r + 2) = 0, поэтому корни равны 1, 1, 2, 2. Следовательно, общее решение является = α 1 + α 2 (1) n + α 3 2 n + α 4 (2) n. Подстановка начальных условий дает 3 = α 1 + α 2 + α 3 + α 4, 2 = α 1 α 2 + 2α 3 2α 4, 6 = α 1 + α 2 + 4α 3 + 4α 4 и 8 = α 1 α 2 + 8α 3 8α 4. Решение этой системы уравнений: α 1 = α 2 = α 3 = 1 и α 4 = 0. Следовательно, ответ будет n = 1 + (1) n + 2 n. 7. (5%) Решите рекуррентное соотношение an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 с a 0 = 5, a 1 = 4 и a 2 = 88. Характеристическое уравнение r 3 6r r 8 = 0 По критерию рационального корня возможные рациональные корни равны ± 1, ± 2, ± 4. Получаем, что r = 2 — корень. Разделив r 2 на r 3 6r 2 + 12r 8, находим, что r 3 6r 2 + 12r 8 = (r 2) 3. Следовательно, единственный корень равен 2 с кратностью 3, поэтому общее решение (по теореме 4 ) an = α 1 2 n + α 2 n2 n + α 3 n 2 2 n. Подставляя начальные условия: 5 = a 0 = α 1 4 = a 1 = 2α 1 + 2α 2 + 2α 3 88 = a 2 = 4α 1 + 8α α 3 Решая эту систему уравнений, имеем α 1 = 5, α 2 = 1/2 и α 3 = 13/2.Следовательно, ответ будет an = 5 2 n + (n / 2) 2 n + (13n 2/2) 2 n = 5 2 n + n 2 nn 2 2 n (2%) Каков общий вид решений линейное однородное рекуррентное соотношение, если его характеристическое уравнение имеет корни 1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 7. Мы можем записать общее решение, используя теорему 4 из раздела 7.2. В этом случае имеется четыре различных корня, поэтому t = 4. Кратности равны 3, 2, 2 и 1. Таким образом, общее решение: an = (α 1,0 + α 1,1 n + α 1,2 n 2) (1) n + (α 2,0 + α 2,1 n) 2 n + (α 3,0 + α 3,1 n) 5 n + α 4,0 7 n.9. Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное соотношение a n = 2a n n (a) (2%). Покажем, что a n = n2 n является решением этого рекуррентного соотношения.

6 (b) (2%) Используйте теорему 5 из раздела 7.2, чтобы найти все решения этого рекуррентного соотношения. (c) (2%) Найдите решение с a 0 = 2. (a) Вычислим правую часть рекуррентного соотношения: 2 (n 1) 2 nn = (n 1) 2 n + 2 n = n2 n, которая является левой частью.(b) Решение ассоциированного однородного уравнения a n = 2a n 1 легко найти как a n = α2 n. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть n = α2 n + n2 n. (c) Подставляя a 0 = 2, получаем α = 2. Следовательно, решение имеет вид an = 2 2 n + n2 n = (n + 2) 2 n 10. Каков общий вид частного решения, которое гарантированно существует? по теореме 6 линейного неоднородного рекуррентного соотношения an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 + F (n), если (a) (2%) F (n) = 2 n (b) (2%) F ( n) = (2) n (c) (2%) F (n) = n 3 (2) n (a) Поскольку 2 является корнем с кратностью 3 характеристического многочлена ассоциированного однородного рекуррентного соотношения, теорема 6 Раздел7. 2 сообщает нам, что конкретное решение будет иметь вид n 3 p 0 2 n. (b) Так как 2 не является корнем характеристического полинома ассоциированного однородного рекуррентного отношения, теорема 6 раздела 7.2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид p 0 (2) n. (c) Поскольку 2 не является корнем характеристического полинома соответствующего однородного рекуррентного отношения, теорема 6 из раздела 7.2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид (p 3 n 3 + p 2 n 2 + p 1 п + р 0) (2) п.11. Найдите замкнутый вид производящей функции для последовательности {a n}, где

7 (a) (2%) a n = 2 n для n = 1, 2, 3, 4, … и a 0 = 0. (b) (2%) a n = 1 / (n + 1)! для n = 0, 1, 2, … () 10 (c) (2%) an = для n = 0, 1, 2, … n + 1 (a) По таблице 1 раздела 7.4, производящая функция для последовательности, в которой an = 2 n для всех n равно 1 / (1 2x). Здесь мы можем подумать либо о вычитании отсутствующего постоянного члена, либо о факторинге 2x. Следовательно, ответ может быть записан как 1 (1 2x) 1 или 2x / (1 2x), что, конечно, алгебраически эквивалентно. (b) Степенный ряд для функции e x равен xn / n !. Это почти то, что мы имеем здесь; разница в том, что знаменатель равен (n + 1)! вместо n !. Итак (c) мы имеем x n (n + 1)! Знак равно 1 х х п + 1 (п + 1)! = 1 x заменой переменной. Эта последняя сумма равна (e x 1), поэтому наш ответ (e x 1) / x. С (10, N + 1) Икс N знак равно C (10, N) Икс N 1 знак равно 1 Икс N знак равно 1 N = 1 Икс N N! C (10, n) x n = 1 x ((1 + x) 10 1) 12. Для каждой из этих производящих функций предоставьте замкнутую формулу для последовательности, которую она определяет.(a) (2%) (3x 1) 3 (b) (2%) x 2 (1 x) 3 (c) (2%) (1 + x 3) / (1 + x) 3 (d) ( 2%) e 3×2 1 (a) Сначала нам нужно вычленить 1 и записать это как (1 3x) 3. n = 1 Тогда по теореме бинома получаем an = C (3, n) (3) n для n = 0, 1, 2, 3 и

8 других коэффициентов равны 0. В качестве альтернативы, мы могли бы просто перемножить этот конечный многочлен и отметить ненулевые коэффициенты: a 0 = 1, a 1 = 9, a 2 = 27, a 3 = 27.(b) Мы знаем, что x 2 (1 x) 3 = x 2 (1 3x + 3x 2 x 3) = x 2 3x 3 + 3x 4 x 5, поэтому имеем a 2 = 1, a 3 = 3, a 4 = 3, a 5 = 1 (c) Мы разделим это на две части: 1 (1 + x) + x 3 3 (1 + x) = (1) n C (n + 2, 2) xn + x 3 3 = = (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn (1) n C ( n + 2, 2) x n + 3 (1) n 3 C (n 1, 2) xn Обратите внимание, что n и n 3 имеют противоположные четности. Следовательно, an = (1) n C (n + 2, 2) + (1) n 3 C (n 1, 2) = (1) n (C (n + 2, 2) C (n 1, 2)) = (1) n 3n для n 3 и an = (1) n C (n + 2, 2) = (1) n (n + 2) (n + 1) / 2 для n <3.(г) е х знак равно 1 + х + х 2/2! + х 3/3! + ... Отсюда следует, что n = 3 e 3x2 = 1 + 3x 2 + (3x2) 2 2! + (3x2) 3 3! + ... Таким образом, мы можем считать коэффициенты производящей функции для e 3x2 1. Во-первых, очевидно, что a 0 = 0. Во-вторых, a n = 0, когда n нечетно. Наконец, когда n четно, мы имеем 2m = 3 м / м !. 13. Найдите коэффициент при x 12 в степенном ряду каждой из этих функций. (a) (2%) 1 / (1 2x) 2 (b) (2%) 1 / (1 4x) 3 (a) Коэффициент при xn в этом степенном ряду равен 2 n C (n + 1, 1) . Таким образом, ответ будет 2 12 C (12 + 1, 1) = 53, 248.

9 (b) Коэффициент при x n в этом степенном ряду равен 4 n C (n + 2, 2). Таким образом, ответ будет 4 12 C (12 + 2, 2) = 1, 526, 726, (5%). Используйте производящие функции, чтобы найти количество способов выбрать дюжину рогаликов из трех разновидностей — яичного, соленого и простого. если выбрано не менее двух рогаликов каждого вида, но не более трех соленых рогаликов. Коэффициенты в производящей функции для выбора яйца и простых рогаликов равны x 2 + x 3 + x Коэффициент для выбора соленых рогаликов равен x 2 + x 3.Следовательно, производящая функция для этой задачи (x 2 + x 3 + x 4 + ..) 2 (x 2 + x 3). Мы хотим найти коэффициент при x 12, так как нам нужно 12 рогаликов. Это эквивалентно нахождению коэффициента при x 6 в (1 + x + x) 2 (1 + x). Это функция (1 + x) (1 x) 2, поэтому нам нужен коэффициент при x 6 в 1 / (1 x) 2, который равен 7, плюс коэффициент при x 5 в 1 / (1 x) 2, что равно 6. Таким образом, ответ таков: (a) (4%) Какова производящая функция для {ak}, где ak — количество решений x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = k, когда x 1, x 2, x 3 и x 4 — целые числа с x 1 3, 1 x 2 5, 0 x 3 4 и x 4 1? (b) (2%) Используйте свой ответ на часть (a), чтобы найти 7 (a) Ограничение на x 1 дает нам множитель x 3 + x 4 + x Ограничение на x 2 дает нам множитель x + x 2 + х 3 + х 4 + х 5.Ограничение на x 3 дает нам множитель 1 + x + x 2 + x 3 + x 4. А ограничение на x 4 дает нам множитель x + x 2 + x Таким образом, ответ является произведением этих: (x 3 + x 4 + x) (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) (x + x 2 + x) Мы можем использовать алгебру, чтобы переписать это в замкнутой форме как x 5 (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) 2 / (1 x) 2 (b) Нам нужен коэффициент при x 7 в этом ряду, который совпадает с коэффициентом при x 2 в ряду для (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) 2 = 1 + 2x + 3×2 + члены высшего порядка (1 x) 2 (1 x) 2

10 Поскольку коэффициент при x n в 1 / (1 x) 2 равен n + 1, наш ответ = (5%). Используйте производящие функции, чтобы решить рекуррентное соотношение a k = 3a k k 1 с начальным условием a 0 = 1.Пусть G (x) = k = 0 a kx k. Тогда xg (x) = k = 0 a kx k + 1 = k = 1 a k 1x k. Таким образом, G (x) 3xG (x) = akxkk = 0 k = 1 3a k 1 xk = a 0 + k = 1 k = 0 (ak 3a k 1) xk = 1 + k = 1 4 k 1 xk = 1 + x 4 k 1 xk 1 = 1 + x 4 kxk 1 = 1 + x 1 4x = 1 3x 1 4x Таким образом, G (x) (1 3x) = (1 3x) / (1 4x), поэтому G (x) = 1 / (1 4x). Следовательно, a k = 4 k. к = 1

Математика для Австралии 6 Домашнее задание — Математика Haese

Сандра Хезе

Сандра получила степень бакалавра наук в Университете Аделаиды по специальности «Чистая математика и статистика».Прежде чем основать Haese and Harris Publications (ныне Haese Mathematics), она преподавала в средней школе Underdale и Вестминстерской школе вместе с мужем Робертом (Боб) и коллегой Ким Харрис.

Что привлекло вас в области математики?

Я всегда считал математику самым простым предметом в школе. Не знаю почему. Я намеревался изучать химию в университете, но обнаружил, что мне это не нравится так сильно, как я думал, поэтому я вернулся к математике и с тех пор занимаюсь ею.

Что побудило вас перейти от преподавания к написанию книг по математике?

Боб писал заметки для своего класса. Другие учителя в школе использовали записи, затем учителя других школ стали их просить. В конце концов Боб сказал: «Ну, я могу начать писать учебники!»

Изначально я редактировал. По мере увеличения рабочей нагрузки я начал редактировать, а также корректировать. Постепенно это превратилось в работу на полный рабочий день, между написанием материала, его редактированием и корректурой, а затем распространением книг.Сейчас Майкл занимается редактированием, а я корректирую и записываю аудио.

Как изменилась область издания учебников за годы, прошедшие с того момента, как вы начали?

Когда мы начинали, текст набирался, а отработанные решения писались от руки. Боб рисовал любую графику вручную.

Мы перешли на наборный набор, но написание учебника математики с помощью имеющихся печатных средств представляло свои трудности. Например, символы приходилось вручную копировать, вырезать и вставлять на исходные страницы, что было очень утомительно и занимало много времени! Дроби также были проблематичными: мы набирали строку, содержащую все числители, а затем нижнюю строку для всех знаменателей.

Теперь все это делается с помощью компьютеров, что намного проще и быстрее!

Что вас интересует помимо математики?

У меня есть несколько альпак. Мне нравится мой сад — я мало что делаю в нем, но мне он нравится! Я люблю слушать музыку; в основном классика, но мне нравятся и другие жанры.