Поделиться

Плюсануть

Поделиться

Отправить

Класснуть

Запинить

Аннотация

Пособие содержит самостоятельные работы, тесты, контрольные работы и другие материалы к учебнику Алгебра 7 класс (авторы учебника – Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.В.). Разумеется, материалы можно использовать и ко многим другим учебникам алгебры для 7-го класса.
Данная книга является рабочим инструментом для учителя, поэтому все материалы сделаны так, что любой из них можно сократит и упростить до необходимого уровня. Задания идут в порядке усложнения. Самостоятельная работа начинается с заданий тренировочного типа, в середине – задания средней сложности, требующие от учащихся хорошего уровня знаний и техники. Заканчивается работа заданиями творческого уровня.
Большой объём и разнообразие заданий поможет в организации работы с учащимися по индивидуальным образовательным траекториям.

Пример из учебника

Хотя учащимся 7-го класса ещё довольно далеко до сдачи ГИА и тем более ЕГЭ, но все-таки к такому формату их стоит готовить. Мы старались, чтобы наши самостоятельные и контрольные работы помогали не только в овладении соответствующими знаниями и навыками, но и в подготовке к будущим экзаменам.
При выполнении самостоятельных работ не стоит требовать от учащихся подробного переписывания условий задания и расписывания действий с их объяснениями.
Контрольные работы содержат подготовительный вариант, который мы рекомендуем задать на дом или разобрать на уроке перед контрольной работой. Ориентируясь на этот вариант, учащиеся смогут лучше подготовиться к контрольной работе.
Книга может быть использована учащимися для самообразования и при индивидуальной подготовке к ГИА и даже к ЕГЭ. Так, например, выпускнику 9-го класса для подготовки к ГИА мы бы посоветовали порешать задания 6-10 самостоятельных работ и, конечно, контрольные работы. Учитель может взять некоторые из заданий 8-10 самостоятельных работ для составления школьной олимпиады и математических конкурсов. Мы надеемся, что книга будет полезна.

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ 8
УСТАНОВОЧНЫЙ ТЕСТ 10
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ТЕСТЫ 12
1 ВАРИАНТ 12
С-1. Повторение. Числовые выражения, сравнение значений выражений 12
С-2. Выражения с переменными. Тождественные преобразования выражений 14
Т-1. Числовые и буквенные выражения 16
С-3. Уравнения с одной переменной 18
Т-2. Уравнение и его корни 20
С-4. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 23
С-5. Статистические характеристики 24
С-6. Координаты 26
С-7. Функция. Вычисление значений функции по формуле 28
С-8. Функция. График функции 29
С-9. Линейная функция 34
С-10*. Задание функции несколькими формулами …. 37
С-11*. Графики линейной функции (исследовательская работа) 38
Т-3. Линейная функция 39
С-12. Степень с натуральным и нулевым показателями. Умножение и деление степеней 42
С-13. Возведение в степень произведения и степени .. 43
С-14. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 44
Т-4. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 46
С-15. Функции у = хгиу = х?иих. графики 48
С-16. Сумма и разность многочленов 49
С-17. Произведение одночлена и многочлена 51
С-18. Вынесение общего множителя за скобки 52
С-19. Произведение многочленов 54
Т-5. Многочлены 55
С-20. Разложение многочлена на множители методом группировки 57
С-21*. Деление с остатком 58
С-22. Квадрат суммы и квадрат разности 59
С-23. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности 61
С-24. Разность квадратов 62
С-25. Сумма и разность кубов. Различные способы разложения на множители. Действия с многочленами 63
С-26*. Возведение двучлена в степень 65
Т-6. Формулы сокращенного умножения 66
Т-7. Разложение на множители 68
С-27. Линейное уравнение с двумя переменными. Системы линейных уравнений с двумя переменными 69
С-28. Способ подстановки 70
С-29. Способ сложения. Различные методы решения систем уравнений 72
Т-8. Системы линейных уравнений с двумя переменными 73
С-30*. Параметры 76
2 ВАРИАНТ 78
С-1. Повторение. Числовые выражения, сравнение значений выражений 78
С-2. Выражения с переменными. Тождественные преобразования выражений …’. 80
Т-1. Числовые и буквенные выражения 82
С-3. Уравнения с одной переменной 84
Т-2. Уравнение и его корни 86
С-4. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 89
С-5. Статистические характеристики 90
С-6. Координаты 92
С-7. Функция. Вычисление значений функции по формуле 94
С-8. Функция. График функции 96
С-9. Линейная функция 101
С-10.* Задание функции несколькими формулами …. 103
С-11*. Графики линейной функции (исследовательская работа) 104
Т-3. Линейная функция 106
С-12. Степень с натуральным и нулевым показателями. Умножение и деление степеней 109
С-13. Возведение в степень произведения и степени .. 110
С-14. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 112
Т-4. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 114
С-15. Функции у = х2 и у = Xs и их графики 116
С-16. Сумма и разность многочленов 118
С-17. Произведение одночлена и многочлена 119
С-18. Вынесение общего множителя за скобки 121
С-19. Произведение многочленов 122
Т-5. Многочлены 123
С-20. Разложение многочлена на множители способом группировки 126
С-21*. Деление с остатком 127
С-22. Квадрат суммы и квадрат разности 129
С-23. Разложение на множители с помощью квадрата суммы и квадрата разности 130
С-24. Разность квадратов 132
С-25. Сумма и разность кубов. Различные способы разложения на множители. Действия с многочленами 133
С-26*. Возведение двучлена в степень 134
Т-6. Формулы сокращенного умножения 135
Т-7. Разложение на множители 137
С-27. Линейное уравнение с двумя переменными. Системы линейных уравнений с двумя переменными 139
С-28. Способ подстановки 141
С-29. Способ сложения. Различные методы решения систем уравнений 142
Т-8. Системы линейных уравнений с двумя переменными 144
С-30*. Параметры 147
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 149
К-1. Выражения. Тождества 149
К-2. Уравнения с одной переменной 152
К-3. Функции и их графики 154
К-4. Степень с натуральным показателем 158
К-5. Многочлены 161
К-6. Формулы сокращенного умножения 164
К-7. Системы линейных уравнений 167
Итоговая контрольная работа 170
БИЛЕТЫ К УСТНОМУ ЗАЧЕТУ 173
Билет № 1 173
Билет № 2 173
Билет № 3 173
Билет № 4 174
Билет № 5 174
Билет № 6 174
Билет № 7 175
Билет № 8 175
Билет № 9 175
Билет № 10 175
Билет № 11 176
Билет № 12 176
Билет № 13 176
Билет № 14 177
Билет № 15 177
Билет № 16 177
Билет № 17 178
ВАРИАНТЫ «ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО» 179
Вариант 1 179
Вариант 2 180
Вариант 3 181
Вариант 4 182
ОТВЕТЫ 184
Ответы к контрольным работам 184
Ответы на билеты к устному зачету 189
Варианты «для тех, кому интересно» 190

Учебник можно просто читать в онлайн режиме, переходя сразу на тот параграф или раздел, который Вам сейчас нужен.

ГДЗ: Алгебра 8 класс Звавич, Дьяконова

Алгебра 8 класс

Тип: Дидактические материалы

Авторы: Звавич, Дьяконова

Издательство: Экзамен

Дидактические материалы по алгебре для 8 класса под редакцией Звавича – это сборник самостоятельных, контрольных и итоговых работ. Издание дополняет учебник Макарычева, но может использоваться и как дополнение к другой книге, так как полностью соответствует школьной программе. Номера и задания, которые содержатся в пособии, позволяют провести контроль знаний учащихся и определить, насколько хорошо школьники усвоили ту или иную тему.

Структура дидактических материалов

Тематика самостоятельных и контрольных полностью совпадает с тематикой тем, изложенных в учебнике. Автор сохранил ту же последовательность. Издание содержит следующие материалы:

• 34 самостоятельных работы в 3 вариантах.
• 9 контрольных работ.
• 1 итоговая работа.
• Приложение, состоящее из задач повышенной сложности, практических работ с элементами статистики и билетов к устному зачету.
• Ответы на номера, без решения.

Если вы хотите отследить алгоритм выполнения заданий, обратите внимание на решебник к учебнику «Алгебра 8 класс Дидактические материалы Звавич, Дьяконов Экзамен».

Особенности заданий

Работы, представленные в пособии, могут использоваться на уроках и при проведении внеурочной деятельности. Большинство работ условно разделено на 4 части. Первые 2 задания соответствуют базовым требованиям. 3 и 4 упражнения – это номера повышенной сложности, требующие от учеников знания теоретического материала и умения применять его на практике. Самостоятельные работы рассчитаны на 15 минут, контрольные – на 45, итоговые – на 2 урока.

ГДЗ – первый помощник

Решебник (ГДЗ) поможет разобраться со всем задачами. Онлайн-решение всех номеров позволит проверить свои знания и устранить ошибки. На нашем сайте содержатся правильные ответы ко всем заданиям.

Учитесь и получайте хорошие оценки!

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 7 класс Звавич, Кузнецова, Суворова

ГДЗ и решебники.

• 1 класс
  • Английский язык
  • Информатика
  • Литература
  • Математика
  • Окружающий мир
  • Русский язык
• 2 класс
  • Английский язык
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Математика
  • Немецкий язык
  • Окружающий мир
  • Русский язык
• 3 класс
  • Английский язык
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Математика
  • Окружающий мир
  • Русский язык
• 4 класс
  • Английский язык
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Математика
  • Немецкий язык
  • Окружающий мир
  • Русский язык
• 5 класс
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Информатика
  • История
  • Математика
  • Немецкий язык
  • Обществознание
  • Окружающий мир
  • Русский язык
  • Физика
• 6 класс
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Информатика
  • История
  • Математика
  • Немецкий язык
  • Обществознание
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия
• 7 класс
  • Алгебра
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Немецкий язык
  • Обществознание
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия
• 8 класс
  • Алгебра
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • Информатика
  • История
  • Литература
  • Немецкий язык
  • Обществознание
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия
• 9 класс
  • Алгебра
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • История
  • Литература
  • Немецкий язык
  • Обществознание
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия
• 10 класс
  • Алгебра
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • Немецкий язык
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия
• 11 класс
  • Алгебра
  • Английский язык
  • Биология
  • География
  • Геометрия
  • Немецкий язык
  • Русский язык
  • Физика
  • Химия

Алгебра 7 класс Дидактические материалы к учебнику Макарычева

Твитнуть

Поделиться

Плюсануть

Поделиться

Отправить

Класснуть

Запинить

Аннотация

Дидактические материалы предназначены для проверки знаний учащихся 7-го класса с углубленным изучением математики. Данная книга предназначена для организации и проведения тематического и итогового контроля уровня знаний, умений и навыков учащихся 7-го класса с углубленным и расширенным изучением математики. Представленные в пособии самостоятельные, контрольные и тестовые работы полностью соответствуют содержанию и структуре материала, изложенного в учебнике Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Пешкова, И. Е. Феокти­стова – Алгебра 7 класс. Однако большая часть упражнений может использоваться учителем для составления различных работ в классах, изучающих алгебру по другим учебникам и учебным пособиям. В этом случае книга будет полезной и для педагогов, работающих в общеобразовательных классах с хорошей математической подготовкой. Дидактические материалы могут использоваться учащимися для самообразования и самопроверки.

Пример из учебника

Каждая самостоятельная или контрольная работа состоит из подготовительного, двух основных и третьего, дополнительного, вариантов. Подготовительный вариант может использоваться в качестве домашнего задания или для выполнения на уроке непосредственно перед самостоятельной или контрольной работой. Дополнительный вариант можно предложить для работы над ошибками, а также в качестве третьего варианта работы во время ее выполнения. Кроме того, его можно использовать для тех учащихся, которые по каким-либо причинам пропустили проверочную работу.
Тексты контрольных и самостоятельных работ носят примерный характер, количество заданий в большинстве случаев дано с избытком. Учитель в зависимости от специфики класса может заменять задания или исключать их совсем.

Учебник можно просто читать в онлайн режиме, переходя сразу на тот параграф или раздел, который Вам сейчас нужен.

Введение в алгебру

Алгебра — это отличное развлечение — вы можете решать головоломки!

Головоломка

Какой недостающий номер?

Хорошо, ответ — 6, верно? Потому что 6-2 = 4 . Легкие вещи.

Ну, в алгебре мы не используем пустые квадраты, мы используем буква (обычно x или y, но подойдет любая буква). Итак, пишем:

Это действительно так просто. Буква (в данном случае x) просто означает «мы этого еще не знаем», и ее часто называют неизвестным или переменной .

И когда решаем, пишем:

Зачем нужны буквы?

Так что x лучше, чем пустой ящик. Мы не пытаемся складывать слова!

И это не обязательно должно быть x , это может быть y или w … или любая буква или символ, который нам нравится.

Как решить

Алгебра похожа на головоломку, в которой мы начинаем с чего-то вроде «x — 2 = 4» и хотим закончить. с чем-то вроде «x = 6».

Но вместо того, чтобы говорить «, очевидно, x = 6», используйте этот аккуратный пошаговый подход:

• Определите , что удалить , чтобы получить «x =… «
• Удалите это с помощью , сделав противоположное (сложение противоположно вычитанию)
• Сделайте это с с обеих сторон

Вот пример:

Мы хотим, чтобы
удалить
«−2»

Чтобы удалить его, сделать
напротив , в этом случае
добавить 2

Сделайте это до
с обеих сторон

Что есть…

Решено!

Почему мы прибавили 2 к обеим сторонам?

Чтобы «сохранить равновесие» …

Просто запомните это:

Посмотрите, как это работает в анимации баланса алгебры.

Еще одна головоломка

Нам нужен ответ типа «x = …»,
, но +5 мешает этому!
Мы можем сократить +5 с помощью −5 (потому что 5−5 = 0)

Итак, давайте попробуем вычесть 5 из с обеих сторон : x + 5 −5 = 12 −5

Небольшая арифметика (5-5 = 0 и 12-5 = 7) превращается в: x + 0 = 7

Это просто: x = 7

Решено!

(быстрая проверка: 7 + 5 = 12)

Попробуйте себя

А теперь потренируйтесь на этом Рабочем листе простой алгебры и затем проверьте свои ответы.Попробуйте использовать шаги, которые мы вам здесь показали, а не просто гадать!

Задайте вопросы ниже, затем прочтите Введение в алгебру — умножение

• Нахождение общих множителей
• Группирование в пары
• Разница двух квадратов
• Полные квадраты

Пожалуйста, посетите 9-й класс Математика Алгебра — Методы факторизации.

Предполагаемые знания

Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими методами, включая специальные биномиальные произведения и простую арифметику. Также потребуются знания техники факторизации.2} + bx + c = 0 \) может иметь до двух вещественных решений. Когда мы «решаем» квадратное уравнение, мы ищем \ (x \) — значения, которые делают уравнение истинным.

Из основной арифметики мы знаем, что если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из чисел должно быть нулем.

• В символах: Если \ (ab = 0 \), то либо \ (a = 0 \), либо \ (b = 0 \), либо оба \ (a \) и \ (b \) равны нулю.
• Например: Если \ ((x + 1) (x-2) = 0 \), то либо \ ((x + 1) = 0 \), либо \ ((x-2) = 0 \), или оба равны нулю.2} -4x = x (x-4) \)

  Следовательно, мы решаем квадратное уравнение \ (x (x-4) = 0 \).

  Видно, что \ (x = 0 \) или \ ((x-4) = 0 \), чтобы уравнение было истинным.

  Следовательно, решениями являются \ (x = 0 \) или \ (x = 4 \).

  Факторизация, используемая в этом примере, проста, поскольку нам нужно было только добавить общий множитель для факторизации. Однако, когда вам нужно решить квадратный трехчлен, вам нужно будет использовать следующие методы.

  Решение квадратичных трехчленов (которые можно разложить на множители)

  1.2} + bx + c \), где \ (a \ neq 1 \). Есть три основных стратегии факторизации этих типов выражений.

  (a) Метод спаривания

  1. Найдите два числа \ (p \) и \ (q \), сумма которых является линейным коэффициентом, а произведение которых является произведением квадратичного коэффициента и константы.

  2. Используйте два числа, чтобы разделить средний член \ (bx \) на форму \ (px + qx \).

  3. Завершите факторизацию, группируя попарно.

  Примечание для студентов

  Вы можете пересмотреть технику «группировки в пары», посетив Класс 9 Математика Алгебра — Методы факторизации.2} -2x + 5x-5 \)

  \ (= 2x (x-1) +5 (x-1) \)

  \ (= (x-1) (2x + 5) \)

  Следовательно , мы решаем уравнение \ ((x-1) (2x + 5) = 0 \).

  Следовательно, решениями являются \ (x = 1 \) или \ (x = — \ frac {5} {2} \).

  (b) Метод дроби

  1. Перепишите трехчленное выражение как дробь в форме \ (\ frac {(ax \: \:) (ax \: \:)} {a} \).

  2. Найдите два числа, сумма которых является линейным коэффициентом, а произведение которых является произведением квадратичного коэффициента и константы.{2} + 11x-5 = \ frac {(12x-4) (12x + 15)} {12} \)

  \ (= \ frac {4 (3x-1) \ times 3 (4x + 5)} {12} \)

  \ (= \ frac {12 (3x-1) (4x + 5)} {12} \)

  \ (= (3x-1) (4x + 5) \)

  Отсюда , решаем уравнение \ ((3x-1) (4x + 5) = 0 \).

  Следовательно, решениями являются \ (x = \ frac {1} {3} \) или \ (x = — \ frac {5} {4} \).

  (C) Перекрестный метод

  Шаг 1. Настройте рабочее пространство, как показано:

  

  Шаг 2: Поместите числа в кружки так, чтобы произведение кружков было квадратичным членом.

  Шаг 3: Поместите числа в квадраты так, чтобы произведение квадратов было постоянным членом.

  Шаг 4. Числа должны быть выбраны таким образом, чтобы умножение крестиком в направлении стрелок и сложение двух результатов давало линейный коэффициент.

  Шаг 5: Прочтите каждую строку и объедините кружок и квадрат, чтобы найти два множителя трехчленного выражения.

  Пример: решение немонического квадратного уравнения с помощью перекрестного метода

  Решите квадратное уравнение \ (2x {^ 2} + x-3 = 0 \).2} -4 (10 (2)}} {2 (1)} \)

  \ (= \ frac {-6 \ pm \ sqrt {36-8}} {2} \)

  \ (= \ frac {-6 \ pm \ sqrt {36-8}} {2} \)

  \ (= \ frac {-6 \ pm 2 \ sqrt {7}} {2} \)

  \ (= -3 \ pm \ sqrt {7} \)

  Следовательно, решения следующие: \ (x = -3 \ pm \ sqrt {7} \).

  На заметку для студентов

  Квадратичная формула может решить любое квадратное уравнение!

  Сводка

  Чтобы решить квадратное уравнение:

  1. Извлеките наибольший общий множитель (если есть)

  2.Если возможно, разложите квадратное выражение на множители. Если это немонический квадратичный трехчлен, используйте один из следующих методов факторизации:

  (a) Метод спаривания

  (b) Метод дроби

  (c) Перекрестный метод

  3. Если факторизация невозможна квадратного выражения, используйте один из следующих методов:

  (a) Завершение квадрата

  (b) Квадратичная формула

  Учебный лист по алгебре 10-го класса — решение квадратных уравнений

  Проверьте свои навыки с помощью следующих 10 упражнений!

  1.2} -5x + 6 = 0 \) (используйте квадратную формулу)

  Решения

  1. \ (x = 0 \) или \ (x = 3 \)

  2. \ (X = -1 \) Или \ (x = 4 \)

  3. \ (X = -6 \) или \ (x = 2 \)

  4. \ (X = \ frac {1} {2} \) или \ (x = -3 \)

  5. \ (x = — \ frac {1} {4} \) или \ (x = — \ frac {3} {2} \)

  6. \ (x = \ frac {2} {3} \) или \ (x = — \ frac {5} {4} \)

  7. \ (x = 2 \ pm \ sqrt {14} \)

  8. \ ( x = -1 \ pm \ sqrt {\ frac {5} {2}} \)

  9. \ (x = 1 \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

  10.\ (x = \ frac {5 \ pm \ sqrt {97}} {- 6} \)

  Вам все еще нужна помощь с квадратными уравнениями?

  Прочтите нашу статью «Руководство для начинающих по математике для 10-го класса», часть 1: «Квадратичные уравнения 10-го класса и нелинейные одновременные уравнения»!

  Хотите поднять свои математические навыки 10-го класса на новый уровень?

  Подготовьтесь к следующему экзамену, задав актуальные экзаменационные вопросы. Учить больше.

  

  .

  алгебра | История, определение и факты

  Возможно, самым основным понятием в математике является уравнение, формальное утверждение, что две стороны математического выражения равны — как в простом уравнении x + 3 = 5 — и что обе стороны уравнением можно одновременно манипулировать (складывая, разделяя, извлекая корни и т. д. с обеих сторон), чтобы «решить» уравнение. Тем не менее, каким бы простым и естественным ни казалось такое понятие сегодня, его принятие вначале потребовало развития множества математических идей, каждой из которых требовалось время, чтобы созреть.Фактически, потребовалось до конца 16 века, чтобы консолидировать современную концепцию уравнения как единого математического объекта.

  Три основных нити в процессе, ведущем к этой консолидации, заслуживают особого внимания:

  Эти три нити прослеживаются в этом разделе, особенно по мере их развития на древнем Ближнем Востоке и в Греции, в исламскую эпоху и европейское Возрождение.

  Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской. Подпишитесь сегодня

  Решение проблем в Египте и Вавилоне

  Самый ранний из сохранившихся математических текстов из Египта — это папирус Райнда (ок.1650 г. до н. Э.). Этот и другие тексты свидетельствуют о способности древних египтян решать линейные уравнения с одним неизвестным. Линейное уравнение — это уравнение первой степени или уравнение, в котором все переменные указаны только в первой степени. (В сегодняшних обозначениях такое уравнение с одним неизвестным будет 7 x + 3 x = 10.) Данные примерно за 300 лет до нашей эры указывают на то, что египтяне также знали, как решать задачи, включающие систему двух уравнений с двумя неизвестными. величины, включая квадратные уравнения (второй степени или квадраты неизвестных).Например, учитывая, что периметр прямоугольного участка земли составляет 100 единиц, а его площадь составляет 600 квадратных единиц, древние египтяне могли решить для длины поля l и ширины w . (В современных обозначениях они могли решить пару одновременных уравнений 2 w + 2 l = 100 и w l = 600.) Однако на протяжении всего этого периода символы не использовались — проблемы были сформулированы. и решается устно. Следующая проблема является типичной:

  • Метод расчета количества,

  • умножить на 1 ¹ / ₂ сложить 4 и получилось 10.

  • О каком количестве написано?

  • Сначала вы вычисляете разницу этих 10 и этих 4. Затем 6 результатов.

  • Затем вы разделите 1 на 1 ¹ / ₂ . Затем результаты ² / ₃ .

  • Затем вы вычисляете ² / ₃ из этого 6. Затем 4 результата.

  • Вот, это 4, количество, которое это сказал.

  • То, что вы нашли, правильно.

  Обратите внимание, что за исключением ² / ₃ , для которого существовал специальный символ, египтяне выражали все дробные величины, используя только единичные дроби, то есть дроби с числителем 1. Например, ³ / ₄ будет записано как ¹ / ₂ + ¹ / ₄ .

  Вавилонская математика датируется 1800 годом до нашей эры, о чем свидетельствуют клинописные тексты, сохранившиеся на глиняных табличках.Вавилонская арифметика была основана на хорошо продуманной позиционной шестидесятеричной системе, то есть на системе с основанием 60, в отличие от современной десятичной системы, которая основана на единицах 10. Однако вавилоняне не использовали последовательно ноль. . Большая часть их математики состояла из таблиц, например, для умножения, обратных чисел, квадратов (но не кубов), а также квадратных и кубических корней.

  Помимо таблиц, многие вавилонские таблички содержали задачи, требующие решения какого-то неизвестного числа.Такие проблемы объясняли процедуру, которой необходимо следовать для решения конкретной проблемы, а не предлагали общий алгоритм решения подобных проблем. Отправной точкой для проблемы могут быть отношения, включающие конкретные числа и неизвестное, или его квадрат, или системы таких отношений. Искомое число может быть квадратным корнем из заданного числа, весом камня или длиной стороны треугольника. Многие вопросы были сформулированы в терминах конкретных ситуаций, таких как разделение поля между тремя парами братьев при определенных ограничениях.Тем не менее, их искусственный характер давал понять, что они были созданы для дидактических целей.

  .