4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Мордкович, П.В. Семенов. — 12-е изд., Чед. — М .: 2010 — 224 с .: Ил.

6. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 2. Такакон для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Под ред. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Акт. — М .: 2010.-223 с .: Ил.

1. Патал естественных наук ().

2. Электронный учебно-методический комплекс Подготовить 10-11 классы к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

4. Учебный центр «Технологии обучения» ().

5. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл .: Задание для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: Ил. №№ 53; 54; 56; 57.

Неравенство — это два числа или математических выражения, связанных одним из знаков:> (подробнее, в случае строгих неравенств),

Неравенство линейное При тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которую вся плоскость делит прямую, уравнение которой задается линейным неравенством. Эта полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств является частью плоскости, ограниченной несколькими прямыми, ее необходимо найти на чертеже.

Для решения линейных неравенств с большим количеством переменных сокращаются многие экономические задачи, в частности задачи линейного программирования, в которых вы хотите найти максимальную или минимальную функцию.

Решение системы линейных неравенств с любым числом неизвестных

Сначала проанализируем линейные неравенства на плоскости. Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и:

,

где — коэффициенты с переменными (некоторые числа), есть свободный член (тоже некоторые).

Одно неравенство с двумя неизвестными, а также уравнение имеет бесчисленное множество решений. Решением этого неравенства назовем пару чисел, удовлетворяющих этому неравенству.Геометрически многие решения неравенств изображаются в виде полуплоскости, ограниченной прямым

,

, который мы называем границей прямой.

Шаг 1. Постройте прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого нужно знать любые две точки этой прямой. Найдите точки пересечения с осями координат. Ордината пересечения A. равна нулю (рисунок 1). Числовые значения по осям на этом рисунке относятся к примеру 1, который будет выглядеть сразу после этого махрового тура.

Я найду абсциссу, решая как системное уравнение, прямое с уравнением оси.

Найдите пересечение с осью:

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

Откуда.

Таким образом, найдена точка абсцисс A. .

Найдите координаты точки пересечения с осью.

Absiscuss Point B. равно нулю. С уравнением границы прямое с уравнением оси координат:

,

следовательно, координаты точки B.:.

Шаг 2. Изобразить прямое, ограничивающее множественное решение неравенства. Правильный A. и B. Пересекая границу непосредственно с осями координат, мы можем провести эту прямую линию. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (сверху и снизу) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, какая из полуплоскостей является решением этого неравенства. Для этого необходимо в этом неравенстве подставить начало координат (0; 0).Если координаты стали удовлетворять неравенству, решением неравенства будет полуплоскость, в которой находится начало координат. Если координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая начала координат. Решение неравенства в полуплоскости обозначим штрихами от прямой внутренней части полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решать систему линейных неравенств , каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Историю прямо

Подставляя в уравнение direct, получаем, а подставляя, получаем. Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A. (3; 0) , Б. (0; 2). Через эти точки мы будем проводить прямые (снова рисунок 1).

Выберем неравенство полуплоскостных решений. Для этого в неравенство подставляем координаты начала (0; 0):

получаем, т.е.е., координаты стали удовлетворять этому неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат, т.е. левая (она нижняя) полуплоскость.

Если бы это неравенство было строгим, то есть имело бы вид

, то точки прямой границы не были решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость.Система линейных неравенств называется коллаборативной, если у нее есть хотя бы одно решение, и неполной, если у нее нет решений. Решением системы линейных неравенств назовем любую пару чисел (), удовлетворяющую всем неравенствам этой системы.

Геометрически решающая система линейных неравенств — это множество точек, удовлетворяющих всем системным неравенствам, то есть суммарной части полученных полупозиций. Поэтому геометрически в целом решение можно изобразить в виде определенного многоугольника, в частном случае — линией, отрезком и даже точкой.Если система линейных неравенств неполна, то на плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей всем системным неравенствам.

Пример 2.

Решение. Итак, требуется найти многоугольные решения этой системы неравенств. Границу будем строить прямую для первого неравенства, т.е. прямую, и границу прямую для второго неравенства, т.е. прямую.

Мы делаем это шаг за шагом, как показано в теоретической справке и в примере 1, тем более что в примере 1 они построили границу непосредственно для неравенства, которая является первой в этой системе.

Решения в полуплоскости, соответствующие неравенствам этой системы на рис. 2, заштрихованы внутри. Общая часть полуплоскостей решений — открытый угол ABC . Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC , является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть является решением системы двух линейных неравенств. Другими словами, владения любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решите линейные неравенства

Решение. Построим граничные прямые соответствующие системные неравенства. Мы делаем это, выполняя шаги, теоретические данные, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскостные решения для каждого неравенства (рисунок 3).

Внутри заштрихованы полуплоскостные решения, соответствующие неравенствам этой системы. Пересечение решений изображено, как показано на рисунке, в виде квадрикуля ABCE .Получено, что многоугольником решения системы линейных неравенств с двумя переменными является квадрика ABCE .

Все описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решение неравенства с n. Неизвестно будет совокупность n. чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, и вместо границы прямой будет граничная гиперплоскость n. — пространственное пространство. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

В поисках одза онлайн. Как мне найти область математических функций? Диапазон допустимых значений — есть решение

Функция — это модель. Определим X как набор значений независимой переменной // независимое означает любое.

Функция — это правило, по которому для каждого значения независимой переменной из набора X можно найти единственное значение зависимой переменной.// т.е. есть один y для каждого x.

Из определения следует, что существует два понятия — независимая переменная (которую мы обозначаем x и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую мы обозначаем y или f (x) и вычисляется из функции когда мы подставляем x).

ДЛЯ ПРИМЕРА y = 5 + x

1. Независимым является x, поэтому мы берем любое значение, пусть x = 3

2. и теперь мы вычисляем y, поэтому y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y зависит от x, потому что то, что x мы подставляем, это y, и мы получаем)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается следующим образом: y = f (x).2. (называется параболой)

3.y = 3x + 7. (называется прямой)

4.y = √ x. (называется ветвью параболы)

Независимая переменная (которую мы обозначаем x) называется аргументом функции.

Объем функций

Набор всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (y) для 1., 2., 3., 4.

1.D (y) = (∞; 0) and (0; + ∞) // весь набор действительных чисел, кроме нуля.

2.D (y) = (∞; + ∞) // все много действительных чисел

3.D (y) = (∞; + ∞) // все много действительных чисел

4. D (y) = ∪∪; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.

Литвиненко Мордкович Решение задач алгебры и тригонометрии Мир 1988 PDF | Дробь (математика)

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 13 по 20 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 27 по 32 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 39 по 70 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 77 по 86 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 93 по 99 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 115 по 129 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 142 по 172 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 179 по 181 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 195 по 200 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 223 по 233 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 238 по 262 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 267 по 269 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 286 по 288 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 292 по 299 не показаны при предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 303 по 317 не показаны в этом предварительном просмотре.

Учебная программа по математике в 11 классе | Time4Learning

Ожидается, что ученики 11 класса продемонстрируют четкое понимание основных алгебраических выражений, функций и навыки сбора и анализа данных. На первом курсе большинство студентов изучают алгебру II, в то время как другие могут изучать геометрию или даже предварительное исчисление.

Какой бы курс математики ни выбрал младший школьник, хорошая учебная программа по математике в 11-м классе должна обеспечивать всесторонние знания основных математических навыков, необходимых для получения высшего образования. Уроки математики, которые являются интерактивными, с упражнениями, которые показывают множество задач и предоставляют множество возможностей для математической практики, чтобы успешно достичь мастерства, имеют решающее значение.

Узнайте, как программа Time4Learning по математике для 11-го класса может помочь вашему ученику овладеть важными навыками, которые подготовят его к математике на уровне колледжа.

Какую математику должен знать 11-классник?

Обычно учащиеся 11 класса изучают алгебру II (если они следовали традиционной последовательности курсов: алгебра I в 9 классе и геометрия в 10 классе). Однако некоторые учащиеся могут изучать алгебру I еще в 8-м классе. В таких случаях и 11-й, и 12-й класс становятся открытыми для продвинутых вариантов математики.

В начале 11 класса предполагается, что многие основы алгебры уже освоены.По нашей программе по математике в 11 классе ваш младший ученик выучит:

• Как решать уравнения с использованием квадратичных и комплексных чисел.
• Как представить отношения между величинами с помощью переменных, уравнений и неравенств.
• Правильные операции с многочленами, включая показатели степени и несколько переменных.
• Как складывать, вычитать, умножать и делить рациональные функции и радикальные функции.
• Для оценки и построения графиков тригонометрических функций.
• Как использовать статистику и вероятность для представления и интерпретации данных.
• О построении графиков логарифмических и тригонометрических функций.
• Как представить отношения между величинами с помощью математического моделирования.
• Научитесь пользоваться графическим калькулятором.

Узнайте больше об учебной программе Time4Learning по математике для одиннадцатого класса, изучив объем и последовательность занятий для 11-го класса, а также планы уроков по математике для 11-го класса.

Задачи по математике для 11 класса

На основе типичной последовательности курсов по алгебре II для 11 класса, вот несколько примеров целей и задач по математике:

• Решите линейные неравенства с одной переменной, включая сложные неравенства, и представьте наборы решений графически и алгебраически.
• Найдите комплексные решения квадратных уравнений, заполнив квадрат.
• Проанализируйте многочлены, чтобы полностью разложить их на множители.
• Решите рациональные уравнения и найдите посторонние решения.
• Упростите алгебраические выражения, используя свойства рациональных показателей.
• Определите и проанализируйте графики логарифмических функций.
• Создайте распределения вероятностей из набора данных.
• Преобразование между градусами и радианами.
• Используйте функциональные модели, чтобы делать прогнозы относительно ситуаций.

Получите более подробную информацию на нашей странице учебной программы по алгебре 2.

Почему выбирают программу Time4Learning по математике для 11 класса на дому?

Многие домашние школьники выбирают учебную программу Time4Learning по математике для 11 класса в качестве учебной программы по математике на весь год. Кроме того, некоторые семьи предпочитают использовать учебную программу Time4Learning по математике для 11-х классов в качестве дополнения после школы, чтобы просмотреть материал, улучшить сложные темы или подготовиться к продвинутым курсам или поступлению в колледж / поступлению в колледж.

Узнайте, почему все больше и больше семей обращаются к Time4Learning, чтобы поддержать математические навыки своих детей в 11 классе:

Дополнительные ресурсы для домашнего обучения 11-го класса

СОБСТВЕННЫХ функций онлайн. Область допустимых значений: теория и практика

Дробные уравнения. Нечетный

Внимание!
В этой теме есть дополнительные
материалов в специальном разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень …»
И для тех, кто «очень …»)

Продолжаем изучать уравнения. Мы уже знаем, как работать с линейными уравнениями и квадратом. Остался последний вид — дробных уравнений . Или их еще называют гораздо более твердыми — дробно-рациональных уравнений . Это тоже самое.

Дробные уравнения.

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби.Но не просто дробь, а дробь, у которой неизвестно в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:

Напомню, если в знаменателях всего чисел Это линейные уравнения.

Как решить дробных уравнений ? Прежде всего — избавьтесь от дробей! После этого уравнение чаще всего превращается в линейное или квадратное. И тогда мы знаем, что делать … В некоторых случаях может превратиться в тождество типа 5 = 5 или в некорректное выражение типа 7 = 2.Но бывает редко. Ниже я об этом и говорю.

Но как избавиться от дробей !? Очень простой. Применяя все те же преобразования идентичности.

Нам нужно умножить все уравнения на одно и то же выражение. Чтоб все знаменатели притихли! Сразу все станет проще. Объясняю на примере. Нам нужно решить уравнение:

Как вы учились в младших классах? Несем все в одном направлении, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно поступать, когда вы сворачиваете или вычитаете дробные выражения.Или работать с неравенством. А в уравнениях сразу обе части умножаем на выражение, что даст нам возможность сократить все знаменатели (то есть, по сути, на общий знаменатель). А что это за выражение?

В левой части для уменьшения знаменателя требуется умножение до x + 2. . А справа требуется умножение на 2. Итак, уравнение нужно умножить на 2 (x + 2) . Умножить:

Это обычное умножение дробей, но напишу подробно:

Обратите внимание, до сих пор не раскрываю планку (х + 2) ! Итак, напишу целиком:

В левой части уменьшено целиком (x + 2) , а в правой 2.Что требовалось! После разрезания получаем линейное уравнение:

И это уравнение решит уже кто угодно! х = 2. .

Решаю другой пример, посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2x = 2x / 1, то можно написать:

И снова избавляемся от того, что нам не очень нравится — от дробей.

Мы видим, что для уменьшения знаменателя с помощью XA необходимо умножить дробь на (x — 2) .И агрегаты нам не мешают. Что ж, размножайтесь. Все Левая часть I. все Правая часть:

Выше скобок (x — 2) не раскрываю. Работаю с брекетом целиком, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не уменьшится.

С чувством глубокого удовлетворения сокращая (x — 2) И мы получаем уравнение без дробей, в Lineshek!

Но сейчас мы уже раскрываем скобки:

Отдаем эти вещи, переносим все влево и получаем:

Но прежде чем научиться решать другие задачи.Процентов. Кстати, еще грабли!

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

К нему можно обратиться в примерах решения и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Узнай — с интересом!)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Для нас важно соблюдение конфиденциальности. По этой причине мы разработали политику конфиденциальности, в которой описано, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Под личной информацией подпадают данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица или общения с ним.

Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены несколько примеров типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях, а также ближайших событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персонализированную информацию для внутренних целей, таких как аудит, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить качество наших услуг и предоставить вам рекомендации по нашим услугам.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, в судебном порядке, в суде и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно для целей безопасности, поддержания правопорядка или других социально значимых случаев.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем соответствующей третьей стороне — правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение конфиденциальности на уровне компании

Для того, чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы вводим нормы конфиденциальности и безопасности для наших сотрудников и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

Решая различные задачи, нам часто приходится проводить одинаковые преобразования выражений. Но бывает, что одни трансформации в одних случаях допустимы, а в других — нет. Существенное содействие с точки зрения контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОТЗ. Давайте сосредоточимся на этом.

Суть подхода заключается в следующем: сравниваются переменные OTZ для исходного выражения с переменными OTZ для выражения, полученного в результате выполнения идентичных преобразований, и по результатам сравнения делаются соответствующие выводы сделаны.

В целом идентичные преобразования могут

• не влияют …
• приведет к расширению …
• приводит к сужению нечетного.

Разберем каждый случай на примере.

Рассмотрим выражение x 2 + x + 3 · x, переменная OTZ x для этого выражения — это множество R. Теперь мы выполнили с этим выражением следующее идентичное преобразование — мы представляем аналогичные термины, в результате оно примет вид х 2 + 4 · х. Очевидно, что OTZ-переменная x этого выражения также является множеством R.Таким образом, проведенная трансформация не изменила ОТЗ.

Идите дальше. Возьмем выражение x + 3 / x-3 / x. В этом случае OTZ определяется условием X ≠ 0, что соответствует набору (-∞, 0) ∪ (0, + ∞). Это выражение также содержит аналогичные термины, после ввода которых мы приходим к выражению X, для которого OZD равно R. Что мы видим: В результате преобразования произошло расширение OTZ (число нуля было добавлено к исходному выражению к исходному выражению).

Осталось рассмотреть пример сужения области допустимых значений после преобразований.Возьмите выражение. Эта переменная x определяется неравенством (X — 1) · (X — 3) ≥0, для своего решения она подходит, например, в результате имеем (-∞, 1] ∪∪; при ред. С.А. Веляковского. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 240 с .: Ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где она существует. ОСТ всегда нужно учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

Эта статья покажет, как правильно найти OTZ, использовать на примерах. Также будет учтена важность индикации OTZ.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Это определение связано с допустимыми значениями переменной.С введением определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Исходные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда есть выражения с выбранными переменными, некоторые из них могут не выполняться. Например, выражение вида 1: a, если a = 0, то оно не имеет смысла, так как делить на ноль невозможно.То есть в выражении должны быть такие значения, которые подходят в любом случае и будут отвечать. Другими словами, имейте смысл с существующими переменными.

Определение 1.

Если есть выражение с переменными, оно имеет смысл только тогда, когда значение может быть вычислено при их подстановке.

Определение 2.

Если есть выражение с переменными, оно не имеет смысла, если значение не может быть вычислено при их подстановке.

То есть отсюда и полное определение

Определение 3.

Существующими допустимыми переменными называются такие значения, под которыми выражение имеет смысл. А если в этом нет смысла, то они считаются недопустимыми.

Чтобы уточнить вышесказанное: если переменных больше одной, то может быть пара подходящих значений.

Пример 1.

Например, рассмотрим выражение вида 1 x — y + z, где есть три переменные. В противном случае можно записать, как x = 0, y = 1, z = 2, другая запись имеет вид (0, 1, 2).Эти значения называются действительными, это означает, что вы можете найти значение выражения. Получаем, что 1 0 — 1 + 2 = 1 1 = 1. Отсюда видим, что (1, 1, 2) недопустимо. Подстановка дает деление на ноль, то есть 1 1 — 2 + 1 = 1 0.

Что такое ОЗ?

Область допустимых значений — важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому при расчетах стоит обратить на это внимание.

Определение 4.

ONZE region — это набор разрешенных для данного выражения значений.

Рассмотрим на примере выражения.

Пример 2.

Если у нас есть выражение вида 5 z — 3, то odb имеет вид (- ∞, 3) ∪ (3, + ∞). Это область допустимых значений, удовлетворяющих переменной z для заданного выражения.

Если существует выражение вида z x — y, то можно видеть, что X ≠ Y, Z принимает любое значение.Это называется нечетным выражением. Это нужно учитывать, чтобы при замене не получилось деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет то же значение. Только второй из них используется для выражений, а первый — для уравнений или неравенств. С помощью OTZ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения поля совпадает с областью допустимых значений переменной x до выражения F (x).

Как найти odb? Примеры, решения

Найти OST означает нахождение всех допустимых значений, подходящих для данной функции или неравенства. Если эти условия не выполняются, возможно получение неверного результата. Чтобы найти OTZ, часто необходимо выполнить преобразование в данном выражении.

Есть выражения, вычисление которых невозможно:

• , если есть деление на ноль;
• удаление корня отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого числа — только для положительных чисел;
• расчет логарифма отрицательного числа;
• область определения касательной π 2 + π · k, k ∈ Z и катангенса π · k, k ∈ Z;
• нахождение значений арксинуса и арксинуса числа со значением, не принадлежащим [- 1; один ] .

Все это говорит о том, насколько важен ADM.

Пример 3.

Найдите выражения OTZ x 3 + 2 · x · y — 4 .

Решение

В кубе можно построить любое число. В этом выражении нет дроби, поэтому значения x и y могут быть любыми. То есть ОТЗ — это любое число.

Ответ: X и Y — любые значения.

Пример 4.

Найдите выражения OTZ 1 3 — x + 1 0.

Решение

Видно, что дробь одна, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении x мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод, что данное выражение считается неопределенным, то есть в нем нет …

Ответ: ∅.

Пример 5.

Найдите определенное odr выражение x + 2 · y + 3 — 5 · x.

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю.При отрицательном значении это не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0. То есть это искомая область допустимых значений.

Ответ: Множество x и y, где x + 2 · y + 3 ≥ 0.

Пример 6.

Определите выражения OTZ в форме 1 x + 1 — 1 + log x + 8 (x 2 + 3).

Решение

По условию у нас есть дробь, поэтому ее знаменатель не должен быть нулевым.Мы получаем, что x + 1 — 1 ≠ 0. Выражение кормления всегда имеет смысл, когда оно больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0. Поскольку оно имеет логарифм, его выражение должно быть строго положительным, т. Е. x 2 + 3> 0. Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличаться от 1, после чего добавить еще условия x + 8> 0 и x + 8 ≠ 1. Отсюда следует, что искомый OTZ примет значение форма:

x + 1-1 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3> 0, x + 8> 0, x + 8 ≠ 1

Другими словами, они называют систему неравенств с одной переменной.Решение приведет к такому ОТЗ [- 1, 0) ∪ (0, + ∞).

Ответ: [- 1, 0) ∪ (0, + ∞)

Почему важно учитывать ОТЗ при проведении преобразований?

При одинаковых преобразованиях важно найти ОТЗ. Бывают случаи, когда существования OST не имеет места. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, необходимо сравнить переменные OTZ исходного выражения и полученного OTZ.

Идентичных преобразований:

• не может повлиять…
• может привести к расширению или дополнению …
• мог сузить ОТЗ.

Рассмотрим на примере.

Пример 7.

Если у нас есть выражение вида x 2 + x + 3 · x, то оно определено для всей области определения. Даже при приведении таких компонентов и упрощении выражения odb не меняется.

Пример 8.

Если взять пример выражения X + 3 x — 3 x, то дело обстоит иначе. У нас есть дробное выражение.И мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда odb имеет вид (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞). Видно, что ноль не является решением, поэтому добавьте его в круглую скобку.

Рассмотрим пример с наличием кормящего выражения.

Пример 9.

Если есть X — 1 · X — 3, то следует обратить внимание на OTZ, так как он должен быть записан в виде неравенства (x — 1) · (x — 3) ≥ 0. Можно решить интервальным методом, тогда получим, что ОТЗ примет вид (- ∞, 1] ∪ [3, + ∞).После преобразования X — 1 · X — 3 и использования свойств корней получаем, что OTZ можно дополнить и записать все в виде системы неравенств вида x — 1 ≥ 0, x — 3 ≥ 0. Когда она решена, мы получаем, что [3, + ∞). Это означает, что OTZ полностью записывается следующим образом: (- ∞, 1] ∪ [3, + ∞).

Необходимо избегать трансформаций, сужающих ОТЗ.

Пример 10.

Рассмотрим пример выражения X — 1 · X — 3, когда x = — 1.При подстановке получаем, что — 1 — 1 · — 1 — 3 = 8 = 2 2. Если это выражение преобразовать и привести к виду x — 1 · x — 3, то при вычислении получим, что 2 — 1 · 2–3 выражения не имеют смысла, так как выражение «кормление» не должно быть отрицательным.

Надо придерживаться идентичных преобразований, что ОТЗ не изменится.

Если есть примеры, расширяющие его, то его нужно добавить в OTZ.

Пример 11.

Рассмотрим дробь вида x x 3 + x.Если вы разрежете x, то получим 1 x 2 + 1. Тогда odb расширяется и становится (- ∞ 0) ∪ (0, + ∞). Причем при расчете уже работает вторая упрощенная дробь.

Если есть логарифмы, это немного другое.

Пример 12.

Если существует выражение вида Ln x + ln (x + 3), оно заменяется на Ln (x · (x + 3)) на основе свойства логарифма. Видно, что s (0, + ∞) нечетно до (- ∞, — 3) ∪ (0, + ∞). Следовательно, чтобы определить OTZ Ln (x · (x + 3)), необходимо вычислить OTZ, то есть (0, + ∞) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и тип этого выражения по условию. При правильном участке определения результат будет положительным.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

В математике бесконечное множество функций. И у каждого в каждом — свой характер.) Для работы с самыми разными функциями нужно единичных подходов. Иначе что это за математика ?!) И такой подход есть!

При работе с какой-либо функцией мы задаем стандартный набор вопросов.И первый, самый важный вопрос — это область определения функции . Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью функции функции и т. Д.

Какова функция определения функции? Как его найти? Эти вопросы часто бывают сложными и непонятными … Хотя на самом деле все предельно просто. Что вы можете увидеть лично, прочитав эту страницу. Перейти?)

Ну что тут сказать… только респект.) Да! Область определения естественного поля (о которой здесь идет речь) совпадает С … выражениями, входящими в функцию. Соответственно, их и ищут по одним и тем же правилам.

А теперь рассмотрим не совсем естественный участок определения.)

Дополнительные ограничения на функцию определения функции.

Здесь речь пойдет об ограничениях, которые накладывает задача. Те. В задаче есть некоторые дополнительные условия, которые придумал компилятор.Или плывут ограничения от способа настройки функции.

По поводу ограничений в задаче — все просто. Обычно, и искать не надо, в задаче все уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, не отменяют принципиальных ограничений математики. Просто не забудьте учесть сроки выполнения задания.

Например, такая задача:

Найдите область определения поля:

на множестве положительных чисел.

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта площадь:

D (F) = ( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

При словесном способе настройки функции необходимо внимательно прочитать условие и найти ограничения для Xers. Иногда глаза ищут формулы, а слова просвистывают мимо сознания да …) Пример из предыдущего урока:

Функция задается условием: каждое значение натурального аргумента x ставится в соответствии с количеством чисел, из которых состоит значение x.

Здесь следует отметить, что речь идет только о О натуральных ценностях ИКСА. Затем I. D (F) Мгновенно записывает:

D (F): x ∈ Н.

Как видите, область определения поля — не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к проверке функции, регистрации системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают и простыми, и сложными. Но…

Открою небольшой секрет.