Решение задач по математике и физике

1. Введите вопрос здесь:
   
2. Нажмите, чтобы отправить запрос.

Физические принципы, переменные, уравнения

Примеры проблем включают:

• Какова площадь круга с длиной окружности 10 метров?
• Каков объем конуса радиусом 2 м и высотой 3 м
• Сколько времени падение с высоты = 125 м?
• Как изменяется давление идеального газа при увеличении температуры вдвое и объем в 8 раз больше предыдущего значения
• Как изменяется сила гравитации при удвоении радиуса?
• Как сила гравитации зависит от радиуса
• Какова сила падения со временем 1 сек и высотой 3 м
• Какова площадь круга радиуса «r»
• Каков радиус конуса с объемом «v» и высотой 7?
• Какой заряд у конденсатора ёмкостью = 5 мкФ и напряжением = 100 вольт
• Какова длина волны света с энергией = 1 эв
• Какова мощность лифта с массой = «м» и высотой = «ч» и время = «t» и гравитация = «g»
• Как работает лифт весом 20 т и высотой 3 м
• Какова мощность лифта массой 700 нт и высотой 8 м и временем 10 сек
• Какой момент количества движения при круговом движении радиусом 4 м и масса 2 кг и скорость 3 м / с
• Как меняется электрическое поле конденсатора, если напряжение вдвое и расстояние равно 0.В 2 раза больше предыдущего значения
• Сколько стоит резистор на напряжение 120 вольт и ток 4 амперы и время 2 часа и стоимость единицы 10 центов за кВт · ч
• Каково расстояние до изображения вогнутого зеркала с радиусом = 1,0 м и расстояние до объекта = бесконечность м
• Какое увеличение у собирающего объектива при расстоянии до объекта = 6 см и фокусное расстояние = 9 см
• Какова скорость заряженной частицы, движущейся в магнитном поле? с полем 0.1 тесла и радиус 0,1 м и заряд 1,6e-19 кулонов и массой 1,67275e-27 кг
• Как изменяется радиус заряженной частицы, движущейся в магнитном поле? изменяется, если масса увеличена в четыре раза, а заряд — в два раза
• Как изменяется длина волны де Бройля элементарной частицы масса, если кинетическая энергия постоянна
• Как меняется частота света при уменьшении энергии вдвое
• Какая емкость у последовательных конденсаторов с c1 = 6 мкФ и c2 = 3 мкФ
• Какое напряжение на клеммах аккумулятора с силой тока 0.3 ампера и внутреннее сопротивление 4 Ом и напряжение 12 вольт
• какова скорость волны с частотой 5 Гц и длиной волны 2 мес.
• Какова длина волны света с энергией = 6 эв
• Как меняется ЭДС провода, движущегося в магнитном поле поскольку скорость удваивается
• Каков КПД теплового двигателя с теплотой = 100 джоулей и тепловыделение = 60 джоулей
• Как меняется потенциал заряженной сферы, если радиус вдвое
• Какова конечная скорость столкновения и прилипания с m1 = «ma» и m2 = «MB» и v1 = «v» и v2 = 0
• Какой угловой момент при круговом движении радиусом 4 м и массой 2 кг и скоростью 3 м / с
• Что такое поток магнитного поля с полем = 2 тесла и площадь = 40 квадратных сантиметров
• Как изменяется длина волны света, если показатель преломления равен вдвое
• Каков период полураспада радиоактивного распада с начальная скорость = 4000 и окончательная скорость = 500 и время = 30 мин.
• Какое расстояние между щелями дифракции радиусом = 5 м и расстояние от центрального максимума = 3 м и длина волны = 0.12 мес.
• Как изменяется давление идеального газа, если температура вдвое и объем постоянный
• Как скорость движения спутника зависит от радиуса
• Какова пропорция плавания поплавка весом 6 нт и объемом 2е-3 м3
• Каков максимальный КПД тепловой машины с источником тепла температура = 400 кельвинов и температура теплового резервуара = 300 кельвинов
• Какова равновесная температура теплопередачи с m1 = 50 г и c1 = 900 джоулей на кг на градус Кельвина и t1 = 423 кельвина и m2 = 200 г, c2 = 4700 джоулей на кг на градус K и t2 = 293 кельвин
• Какая доплеровская частота звука с частотой = 1000 Гц и скорость источника = 10 метров в секунду и скорость наблюдателя = 0 м / с
• Какова мощность звука с радиусом = 20 м и децибелом = 40
• Какова энергия ядерной реакции с начальной массой = 9.028 а.е.м., а конечная масса = 9,012 а.е.м.
• Какова высота снаряда с начальной скоростью = «v» и угол = «тета» и сила тяжести = «г»
• Какова частота гомозиготного доминантного генотипа? в популяции с частотой гомозиготных рецессивных генотип 0,2

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Введите полиномиальное неравенство вместе с переменной, для которой необходимо решить, и нажмите кнопку «Решить».

В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием чисел в арифметике. Теперь, когда мы изучили операции с числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, содержащих отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ЗАПИСАННЫХ ЧИСЛАХ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете решать уравнения, содержащие числа со знаком.

Пример 1 Решите относительно x и проверьте: x + 5 = 3

Решение

Используя те же процедуры, что и в главе 2, мы вычитаем 5 из каждой части уравнения, получая

Пример 2 Решите относительно x и проверьте: — 3x = 12

Решение

Разделив каждую сторону на -3, получаем

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите буквальное уравнение.
2. Примените ранее изученные правила для решения буквальных уравнений.

Уравнение, содержащее более одной буквы, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, описанная и использованная в главе 2, остается действительной после удаления любых символов группировки.

Пример 1 Решить относительно c: 3 (x + c) — 4y = 2x — 5c

Решение

Сначала удалите круглые скобки.

Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы решаем для c, мы хотим получить c с одной стороны и все другие члены с другой стороны уравнения. Таким образом, получаем

Иногда форму ответа можно изменить. В этом примере мы могли бы умножить числитель и знаменатель ответа на (- l) (это не меняет значения ответа) и получить

Преимущество этого последнего выражения перед первым в том, что в ответе не так много отрицательных знаков.

Наиболее часто используемые буквальные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. Д.

Пример 4 — это формула для площади трапеции. Решите для c.

Пример 5 — это формула, дающая проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, когда известны сумма процентов, основная сумма и количество дней.

Решение

Задача требует решения для р.

Обратите внимание, что в этом примере r оставлено с правой стороны, и поэтому вычисление было проще. При желании мы можем переписать ответ по-другому.

ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Используйте символ неравенства для обозначения относительного положения двух чисел на числовой прямой.
2. График неравенств на числовой прямой.

Мы уже обсуждали набор рациональных чисел как числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел.Существует также набор чисел, называемых иррациональными числами , , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Набор, состоящий из рациональных и иррациональных чисел, называется действительными числами.

Для любых двух действительных чисел a и b всегда можно заявить, что Часто нас интересует только то, равны ли два числа или нет, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны. равный.

Символы представляют собой символы неравенства или отношения порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем символ как «больше чем». Например, a> b читается как «a больше, чем b». Обратите внимание: мы заявили, что обычно читаем

а

Проще говоря, это определение утверждает, что a меньше b, если мы должны что-то добавить к a, чтобы получить b.Конечно, «что-то» должно быть положительным.

Если вы думаете о числовой прямой, вы знаете, что добавление положительного числа эквивалентно перемещению вправо по числовой прямой. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

Пример 1 3

Пример 2 — 4

Пример 3 4> — 2, потому что 4 находится справа от -2 в числовой строке.

Пример 4 — 6

Математическое утверждение x

На самом деле назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, — задача невыполнимая. Однако это может быть указано в числовой строке.Для этого нам нужен символ, обозначающий значение такого оператора, как x

Символы (и), используемые в числовой строке, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

Пример 5 График x

Решение

Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая на то, что линия продолжается без конца влево.

Пример 6 График x> 4 на числовой прямой.

Решение

Пример 7 График x> -5 на числовой прямой.

Решение

Пример 8 Постройте числовой график, показывающий, что x> — 1 и x

Решение

Выписка x> — 1 и x

Пример 9 График — 3

Решение

Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ:. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

Пример 10 x>; 4 указывает число 4 и все действительные числа справа от 4 в числовой строке.

Символы [и] в числовой строке указывают, что конечная точка включена в набор.

Пример 13 Напишите алгебраическое утверждение, представленное следующим графиком.

Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Пример 16 График на числовой прямой.

Решение

В этом примере возникает небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой строке? Если мы оценим суть дела, то другой человек может неправильно истолковать это утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли эта точка или может быть? Поскольку цель графика — прояснить, всегда обозначает конечную точку .

УСТРАНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете решить неравенства с одним неизвестным.

Решение неравенств обычно включает те же основные правила, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы скоро обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, что используется при решении уравнений.

Если к каждой стороне неравенства добавлено одинаковое количество, результаты будут неравными в том же порядке.

Пример 1 Если 5

Пример 2 Если 7

Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств.

Пример 3 Решить относительно x: x + 6

Решение

Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим

Изобразив это решение на числовой прямой, получим

Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию, касающуюся умножения или деления неравенств.

Предположим, что x> a.

Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.

Теперь добавьте -a с обеих сторон.

Последний оператор — a> -x можно переписать как — x <-a. Поэтому мы можем сказать: «Если x> a, то — x

Если неравенство умножается или делится на отрицательное число , результаты будут неравными в порядке , противоположном .

Пример 5 Решите относительно x и изобразите решение: -2x> 6

Решение

Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите особое внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменять направление символа неравенства. Это единственное различие между решением уравнений и решением неравенств.

После того, как мы удалили круглые скобки и остались только отдельные члены в выражении, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разницу при решении неравенств.

Первый Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
Второй Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.(Без изменений)
Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Литеральное уравнение — это уравнение, состоящее из более чем одной буквы.
• Символы представляют собой символы неравенства или отношения порядка .
• a a находится слева от b в строке действительных чисел.
• Двойные символы: указывают, что конечные точки включены в набор решений .

Процедуры

• Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же действия, что и в главе 2.
• Чтобы решить неравенство, используйте следующие шаги:
  Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
  Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые термины с каждой стороны неравенства.
  Шаг 3 Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.
  Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним.Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено.
  Шаг 5 Проверьте свой ответ.
  

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Введите уравнение вместе с переменной, для которой вы хотите его решить, и нажмите кнопку «Решить».

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x обозначают число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как предложения слов могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, совпадает ли левый член с правым.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам необходимы некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

эквивалентны уравнениям, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одинаковое количество прибавляется или вычитается из обоих элементов уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получим

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решите 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим

2x + 1- 1 = x — 2-1

2x = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре можно увидеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое) количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждого члена на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
2. Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над полосой дроби перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую одну из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых существует более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

Решить

ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Часто мы хотим найти одну упорядоченную пару, которая является решением двух различных линейных уравнения. Один из способов получить такую ​​упорядоченную пару — построить график двух уравнений на одном наборе осей и определение координат точки, где они пересекаются.

Пример 1

Постройте уравнения

х + у = 5

х — у = 1

на одном и том же наборе осей и определите упорядоченную пару, которая является решением для каждого уравнение.

Решение

Используя метод построения графика с перехватом, мы обнаруживаем, что две упорядоченные пары, которые решения x + y = 5 равны

(0, 5) и (5, 0)

И две упорядоченные пары, которые являются решениями

x — y = 1

(0, -1) и (1,0)

Показаны графики уравнений.

Точка пересечения — (3, 2). Таким образом, (3, 2) должны удовлетворять каждому уравнению.

Фактически, 3 + 2 = 5 и 3 — 2 = 1

В целом, графические решения являются приблизительными. Разработаем методики для точных решений в следующих разделах.

Считается, что линейные уравнения, рассматриваемые вместе таким образом, образуют систему уравнения. Как и в приведенном выше примере, решение системы линейных уравнений может быть одной упорядоченной парой. Компоненты этой упорядоченной пары удовлетворяют каждому из два уравнения.

Некоторые системы не имеют решений, в то время как другие имеют бесконечное количество решений. ции. Если графики уравнений в системе не пересекаются, то есть если линии параллельны (см. рис. 8.1a) — уравнения считаются несогласованными , и там не является упорядоченной парой, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Если графики уравнений на той же линии (см. рисунок 8.1b), уравнения считаются зависимыми от , и каждое упорядоченная пара, которая удовлетворяет одному уравнению, будет удовлетворять обоим уравнениям.Заметить, что когда система несовместима, наклон линий тот же, но y-перехваты разные. Когда система зависима, наклоны и пересечения по оси Y такие же.

В нашей работе нас в первую очередь будут интересовать системы, имеющие один-единственный решение, которые считаются непротиворечивыми и независимыми. График такой система показана в решении Примера 1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ I

Мы умеем решать системы уравнений алгебраически.Более того, решения, которые мы получить алгебраическими методами точны.

Система в следующем примере — это система, которую мы рассматривали в разделе 8.1. на странице 335.

Пример 1

Решить

х + у = 5 (1)

х — у = 1 (2)

Решение
Мы можем получить уравнение с одной переменной, сложив уравнения (1) и (2)

Решение полученного уравнения относительно x дает

2х = 6, х = 3

Теперь мы можем заменить x на 3 либо в уравнении (1), либо в уравнении (2), чтобы получить соответствующее значение y.В этом случае мы выбрали уравнение (1) и получили

(3) + у = 5

г = 2

Таким образом, решение x = 3, y = 2; или (3, 2).

Обратите внимание, что мы просто применяем свойство сложения равенства, чтобы мы могли получить уравнение, содержащее единственную переменную. Уравнение с одной переменной, вместе с любым из исходных уравнений, то образует эквивалентную систему решение которого легко получить.

В приведенном выше примере мы смогли получить уравнение с одной переменной с помощью сложение уравнений (1) и (2), поскольку члены + y и -y являются отрицательными значениями каждого Другой.Иногда необходимо умножить каждый член одного из уравнений на -1, чтобы члены одной переменной имели противоположные знаки.

Пример 2

Решить

2a + b = 4 (3)

а + Ь = 3 (4)

Решение

Мы начинаем с умножения каждого члена уравнения (4) на -1, чтобы получить

2a + b = 4 (3)

-a — b = — 3 (4 ‘)

, где + b и -b отрицательны друг другу.

Символ ‘, называемый «простым», указывает на эквивалентное уравнение; то есть уравнение, которое имеет те же решения, что и исходное уравнение.Таким образом, уравнение (4 ‘) эквивалентно уравнению (4). Теперь складывая уравнения (3) и (4 ‘), получаем

Подставляя 1 вместо a в уравнении (3) или уравнении (4) [скажем, в уравнении (4)], мы получаем

1 + b = 3

б = 2

, и наше решение — a = 1, b = 2 или (1, 2). Когда переменные a и b, упорядоченная пара задается в виде (a, b).

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ II

Как мы видели в разделе 8.2, решение системы уравнений сложением зависит от одна из переменных в обоих уравнениях с коэффициентами, отрицательными друг с другом.Если это не так, мы можем найти эквивалентные уравнения, которые действительно имеют переменные с такими коэффициентами.

Пример 1

Решите систему

-5x + 3y = -11

-7x — 2y = -3

Решение

Если мы умножим каждый член уравнения (1) на 2 и каждый член уравнения (2) на 3, получаем эквивалентную систему

(2) (-5x) + (2) (3y) = (2) (- ll)

(3) (-7x) — (3) (2y) = (3) (- 3)

или

-10x + 6y = -22 (1 ‘)

-21x — 6y = -9 (2 ‘)

Теперь, сложив уравнения (1 ‘) и (2’), мы получим

-31x = -31

х = 1

Подстановка 1 вместо x в уравнении (1) дает

-5 (1) + 3у = -11

3y = -6

у = -2

Решение: x = 1, y = -2 или (1, -2).

Обратите внимание, что в уравнениях (1) и (2) члены, включающие переменные, находятся в левый член, а постоянный член находится в правом члене. Мы будем ссылаться таким договоренностям, как стандартный бланк для систем. Удобно расположить системы в стандартном виде, прежде чем приступить к их решению. Например, если мы хочу решить систему

3у = 5х — 11

-7x = 2y — 3

мы сначала напишем систему в стандартной форме, добавив -5x к каждому члену уравнения (3) и добавлением -2y к каждому члену уравнения (4).Таким образом, получаем

-5x + 3y = -11

-lx — 2y = -3

, и теперь мы можем продолжить, как показано выше.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЗАМЕНЫ

В разделах 8.2 и 8.3 мы решали системы уравнений первой степени с двумя вариациями. способностей методом сложения. Другой метод, называемый методом подстановки, также могут быть использованы для решения таких систем.

Пример 1

Решите систему

-2x + y = 1 (1)

х + 2у = 17 (2)

Решение

Решая уравнение (1) относительно y через x, получаем

y = 2x + 1 (1 ‘)

Теперь мы можем заменить y 2x + 1 в уравнении (2), чтобы получить

х + 2 (2х + 1) = 17

х + 4х + 2 = 17

5x = 15

x = 3 (продолжение)

Подставляя 3 вместо x в уравнении (1 ‘), мы получаем

у = 2 (3) + 1 = 7

Таким образом, решение системы: x = 3, y = 7; или (3, 7).

В приведенном выше примере было легко выразить y явно через x, используя Уравнение (1). Но мы также могли бы использовать уравнение (2) для явной записи x в терминах из

х = -2у + 17 (2 ‘)

Теперь подставляя — 2y + 17 вместо x в уравнении (1), мы получаем

Подставляя 7 вместо y в уравнение (2 ‘), мы получаем

х = -2 (7) + 17 = 3

Решение системы снова (3, 7).

Обратите внимание, что метод подстановки полезен, если мы можем легко выразить одну переменную с точки зрения другой переменной.

ПРИЛОЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДВЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Если две переменные связаны одним уравнением первой степени, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Но если две переменные связанных двумя независимыми уравнениями первой степени, может быть только одна упорядоченная пара, которая является решением обоих уравнений. Поэтому для решения задач с помощью двух переменных, мы должны представить две независимые связи с помощью двух уравнений . Часто мы можем легче решать проблемы с помощью системы уравнений, чем с помощью используя одно уравнение с одной переменной.Мы будем следовать указанным шести шагам на стр. 115, с небольшими изменениями, как показано в следующем примере.

Пример 1

Сумма двух чисел равна 26. Чем больше число, тем больше 2, чем в три раза меньшее количество. Найдите числа.

Решение

Шаги 1-2
Мы представляем то, что хотим найти, в виде двух словесных фраз. Тогда мы представляют словосочетания в терминах двух переменных.
Меньшее число: x
Большее число: y

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы должны написать два уравнения, представляющих указанные условия.

Сумма двух чисел равна 26.

Шаг 5 Чтобы найти числа, решаем систему

х + у = 26 (1)

у = 2 + 3х (2)

Поскольку уравнение (2) показывает y явно через x, мы решим систему следующим образом: метод подстановки. Подставляя 2 + 3x вместо y в уравнение (1), мы получаем

х + (2 + 3х) = 26

4x = 24

х = 6

Подставляя 6 вместо x в уравнении (2), мы получаем

у = 2 + 3 (6) = 20

Шаг 6 Меньшее число — 6, большее — 20.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Два уравнения, рассматриваемые вместе, образуют систему уравнений . Решение обычно одна упорядоченная пара. Если графики уравнений представляют собой параллельную линию , уравнения считаются несогласованными ; если графики представляют собой ту же линию , уравнения считаются зависимыми .

2. Мы можем решить систему уравнений методом сложения , если сначала напишем системы в стандартной форме , в которой термины, включающие переменные, находятся в левый член, а постоянный член находится в правом члене.

3. Мы можем решить систему уравнений методом подстановки , если одна переменная в по крайней мере одно уравнение в системе сначала явно выражается через другое переменная.

4. Мы можем решать текстовые задачи, используя две переменные, представляя два независимых отношения двумя уравнениями.