Занимательные геометрические задания для 10-11 класса
10-11 класс
Отметьте пунктиром невидимые линии
2 Найдите объем и площадь поверхности фигуры, составленной из единичных кубиков.
3
Изобразите правильную треугольную, правильную четырехугольную пирамиды и правильную треугольную, четырехугольную, шестиугольную призмы. Отметьте высоты, равные ребра, прямые углы.
4
Какие из данных сечений верны, а какие нет? Неверно построенные сечения исправьте.
а б в
5
Объем куба равен 1.
Затем ребро куба увеличили в 3 раза, чему равен объем нового куба? ________________________
Объем куба равен 4, во сколько раз было увеличено ребро единичного куба?__________________
Имеется куб со стороной 5см. Сколько разрезов нужно сделать, чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см?__________
6
Подумайте, что не так с фигурой? Попробуйте перерисовать.
7 Переместите 1 спичку так, чтобы кубиков стало 3.
8
Изображены виды фигур сверху и сбоку. Какие это фигуры? (Соедините линиями)
Четырехугольная пирамида
Треугольная пирамида
Треугольная призма
Цилиндр
Конус
Шар
Параллелепипед
9
Что это ромб, шестиугольник? А может, тетраэдр и куб? С помощью только направления штриховки превратите ромб в тетраэдр, а шестиугольник в куб. А теперь добавьте объем плоским фигурам только толщиной линии ребер.
10
На рисунке показаны восемь кубов, разрезанных на 2 части. Первые части этих кубов изображены на рисунках 1-8, вторые А-З. Для каждой из частей 1-8 найдите ее пару среди А-З.
Результаты запишите в таблицу
Методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему: Дидактический материал по Геометрии 10 класс.
Зачет по Геометрии 10 кл
урок 24
1. Какие плоскости называются параллельными . Провести наглядные примеры .
2. Как читается признак параллельности плоскостей .
3. Как используют этот признак на практике .
4. Найти ошибку в таком признаке : Две плоскости параллельны , если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости .
5. Что можно сказать о противоположных гранях прямоугольного параллелепипеда .
6. Прямые a и b скрещивающиеся , провести через прямые a и b параллельные плоскости.( Объяснить ответ).
7. Две стороны треугольника параллельны плоскости . Что можно сказать о третьей стороне .
8. Ромб АВСД и трапеция ВМNС не лежат в одной плоскости ( рис ) Как расположены прямые МN и АД .
Зачёт по геометрии №2 по теме «Перпендикулярность
прямой и плоскости»
Материал к зачёту можно повторить в учебнике «Геометрия 10-11», п.15-21.
Вопросы к зачёту.
1. Перпендикулярные прямые в пространстве.
2. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
3. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикулярности к плоскости двух
параллельных прямых (п. 16, теорема 1).
4. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных к плоскости
(п. 16, теорема 2).
5. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
6. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
7. Расстояние от точки до плоскости.
8. Сформулируйте и докажите теорему о трёх перпендикулярах (п. 20).
9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах
(п. 20, задача №153).
10. Решить задачи № 131, 143, 149, 154, 155 из учебника.
11. Угол между прямой и плоскостью.
12.Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.
13. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей.
14. Докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Задача 1.
Через вершину N правильного треугольника KMN проведена прямая NE, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки E до стороны KM, если KN =6см, NE=3см.
Ответ: 6см.
Задача 2.
Через вершину прямого угла N равнобедренного прямоугольного треугольника KMN проведена прямая NE, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки E до прямой KM, если KN=6см, а NE=3см.
Ответ: 9см.
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка 1
1. Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
2. Решите задачу №143 или №213
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка №2
1. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Решите задачу №131 или №216
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка №3
1. Докажите теорему о трех перпендикулярах
2. Решите задачу №150 или №212
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка №4
1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью. Расскажите о свойстве угла между прямой и плоскостью.
2. Решите задачу №157 или №206
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка №5
1. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей. Докажите теорему выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Решите задачу №171 или №202
Зачет №2 урок 44 стр.177
Карточка №6
1. Докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
2. Решите задачу №195 или №197
Зачет по теме многогранники
1 уровень.
Карточка 1.
1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. Основания прямой призмы — ромб со стороной 5 см и тупым углом 1200. Боковая
поверхность призмы имеет площадь 240 см2. Найдите площадь сечения призмы,
проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
3. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота 13 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1 уровень.
Карточка 2.
1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
2. Основание прямой призмы- ромб с острым углом 600. Боковое ребро призмы равно
10 см, а площадь боковой поверхности — 240 см2. Найдите площадь сечения призмы,
проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота 13 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2 уровень.
Карточка 1.
1.Правильные многогранники.
2. Основание прямого параллелепипеда — ромб. Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q.
3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом 4 3 см и
противолежащим углом 600. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом 450. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2 уровень.
Карточка 2.
1. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.
2. Диагональное сечение правильной четырёхугольной призмы имеет площадь Q. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом 300. Высота
пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми рёбрами углы 450. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
Теоретические вопросы и практические задания
к зачету №3 по теме «Многогранники. Площадь поверхности призмы, пирамиды»
10 класс
Теоретические вопросы.
1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
3. Правильные многогранники.
4. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
Практические задания.
1. Основания прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120º. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
2. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Основание прямой призмы – ромб с острым углом 60º. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
4. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
5. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его диагональных сечений Р и Q.
6. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим углом 60º. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
7. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
8. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом в 30º. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
9. В прямой призме АВСА1В1С1 АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани А1С образует с плоскостью грани СС1В1В угол 30º. Найдите площадь полной поверхности призмы.
10. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, угол между смежными боковыми гранями равен 120º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
11. В прямом параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 AD = 17, DC = 28, AC = 39. Диагональ боковой грани A1D составляет с плоскостью боковой грани DD1C1C угол 45º. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна m. Угол между смежными боковыми гранями равен 120º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 1.
1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. Основания прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120º. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
3. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 2.
1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
2. Основание прямой призмы – ромб с острым углом 60º. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 3.
1. Правильные многогранники.
2. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его диагональных сечений Р и Q.
3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим углом 60º. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 4.
1. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.
2. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом в 30º. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 5.
1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. В прямой призме АВСА1В1С1 АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани А1С образует с плоскостью грани СС1В1В угол 30º. Найдите площадь полной поверхности призмы.
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, угол между смежными боковыми гранями равен 120º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 6.
1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
2. В прямом параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 AD = 17, DC = 28, AC = 39. Диагональ боковой грани A1D составляет с плоскостью боковой грани DD1C1C угол 45º. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна m. Угол между смежными боковыми гранями равен 120º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Зачет по теме «Векторы в пространстве» |
Уровень I Вариант I
2. Задача. Дан тетраэдр АВСD, ребра которого равны. Точки M, N, P и Q — середины ребер AB, AD, DC, BC. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на рисунке. б) Определите вид четырехугольника MNPQ.
|
Зачет по теме «Векторы в пространстве» |
Уровень I Вариант II
|
Зачет по теме «Векторы в пространстве» |
Уровень III Вариант I
|
Зачет по теме «Векторы в пространстве» |
Уровень III Вариант II
|
Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) по теме: Уроки повторения-обобщения геометрии в 10 классе
Повторение курса 10 класса.
Для итогового повторения курса геометрии 10 класса и входного повторения в начале 11 класса сделана подборка данных задач. Заучивание теорем и их доказательств не приводит к пониманию геометрии, а с помощью задач можно повторить теоретический курс, необходимый для входного контроля и дальнейшей работы с многогранниками и развивать пространственное воображение у обучающихся. Предложено достаточное количество однотипных задач, из которых можно составить самостоятельную работу по вариантам.
Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
- Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата АВСD, АВМ = 300. Найдите тангенс угла АСМ. [Ответ: ]
- Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата. [Ответ: ]
- Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ:]
- Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ. [Ответ: 4]
- Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 8 см. От резок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. [Ответ: 5]
- Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника, МСА = 600. Найдите длину отрезка МВ. [Ответ: ]
- Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 12 см. Найдите длину отрезка АВ1.[Ответ:18]
- Отрезок АВ имеет с плоскостью единственную общую точку А. Через его середину С и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 8 см. Найдите длину отрезка АВ1. [Ответ:16]
- Середина С отрезка АВ принадлежит плоскости . Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 8 см. Найти длину отрезкаА1В1.[Ответ: 16]
- Отрезок АВ пересекает плоскость в точке С, которая делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 15см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 20]
- Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1 ; АА1 = 5см, В1В = 8 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины отрезков АВ и А1В1.[Ответ: 6,5]
- Отрезок АВ пересекает плоскость в точке С, которая делит его в отношении 3:5, считая от точки А. Через концы отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 12см. Найдите длину отрезка А1В1. [Ответ: 32]
- Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что ОВМ = 600. Найдите косинус угла АВМ. [Ответ: ]
- Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, АВМ = 300. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]
- Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата. [Ответ: ]
- Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата. [Ответ: ]
- Диагональ квадрата АВСD равна 10 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ равен 600. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: ]
- Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см и 8 см. Через вершину С проходит плоскость, параллельная АВ. Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в 450. Найдите синус угла, который образует с ней другой его катет. [Ответ: ]
Пирамида
- В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро. [Ответ: ]
- Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: ]
- Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно её основанию. [Ответ: 13,5]
- Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны 6см, 6 см и 8см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 66+]
- В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите высоту пирамиды. [Ответ: ]
- Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды. [Ответ: 13]
- В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 144]
- Основание пирамиды – ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Вершина пирамиды удалена от сторон основания на 13 см. Найдите высоту пирамиды. [(Ответ: 5]
- По данной стороне основания a=9 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной треугольной пирамиды. [Ответ: 3]
- Во сколько раз увеличится боковая поверхность правильной треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 2 раза, а апофему – в 3 раза. [Ответ: 6]
- Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3. Найти радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды. [Ответ: 1]
- По данной стороне основания a=8 и боковому ребру b=6 найти высоту правильной четырехугольной пирамиды. [Ответ: 2]
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона основания 8. Найдите боковое ребро. [Ответ:9]
- Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 1, а боковое ребро . [Ответ: 2]
- Найдите полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона основания 4,2. [Ответ: 42]
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 18. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 540]
- Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 15. Высота пирамиды, равная 4, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. [ Ответ: 126]
- Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60. Площадь основания пирамиды 16. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ:32]
- Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5. Тангенс двугранного угла при основании равен . Найдите площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 96]
- Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен 30. Боковое ребро равно 2. Найдите боковую поверхность пирамиды. [Ответ: 6]
- К плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием
ВС = 6 см и углом 1200 при вершине проведен перпендикуляр АМ. Расстояние от точки М до ВС 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников АВС и МВС. [Ответ: ]
Куб
- Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его диагональ. [Ответ: ]
- Площадь полной поверхности куба равна 96 см2. Найдите его ребро. [Ответ: ]
- Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ верхнего и нижнего оснований, равна . Найдите длину ребра куба. [Ответ: 4]
- Диагональ куба равна 3 см. Найдите его полную поверхность. [Ответ: 18]
- Диагональ куба равна 6 см. Найдите площадь его одной грани. [Ответ: 12]
- Площадь полной поверхности куба равна 3 см. Найдите длину диагонали грани куба.[ Ответ: 1]
Прямоугольный параллелепипед
- Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5см, большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. [Ответ: ]
- Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 см2, а стороны основания 4 см и 6см. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда. [Ответ: ]
- Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6см, равна 408 см2. Найдите диагонали параллелепипеда. [Ответ: ]
- Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны основания 8 см и 6 см. [Ответ: 120]
- Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите полную поверхность параллелепипеда. [Ответ: 94]
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна 12. [Ответ: 70]
- Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 3 и 4, если она образует с плоскостью основания угол 60. [Ответ: 10]
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого 8 и 12 и образуют угол 30 а боковое ребро равно 6. [Ответ: 336]
Прямая призма
- В прямой треугольной призме стороны основания равны 3,4 и 5, а высота равна 6. Найдите ее полную поверхность.[ Ответ: 84]
- В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна (). [Ответ: 12]
- По стороне основания a=2 и боковому ребру b=3 найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы. [Ответ: 32]
- Найти полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна , а диагональ боковой грани 5. [Ответ: 66]
- Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 13, а боковое ребро 5. [Ответ: 180]
- Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, если сторона основания 3, а диагональ боковой грани 5. [Ответ: 72]
Задачи повышенного уровня сложности.
Призма.
- Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы. [Ответ: ]
- Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения. [Ответ: ]
- Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм. [Ответ: на 59,5см2]
- Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а второй – правильной треугольной призмы с той же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм. [Ответ: на см2]
- Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй – правильной четырехугольной призмы. Сравните площади поверхностей этих призм. [Ответ: 18 — см2]
Пирамида.
- В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. (3.24)
- В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:
- В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ:144]
- В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 300. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ: ]
- Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро – 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
[Ответ: ]
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: ]
- Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: ]
- Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 75]
- Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 150]
- В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию. [Ответ: 13,5]
Геометрия 10 Контрольные работы Атанасян
Геометрия 10 Контрольные работы Атанасян — контрольные работы по геометрии в 10 классе с ответами и решениями по УМК Атанасян и др. (3 уровня сложности по 2 варианта) В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 10 класс / М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
Геометрия 10 класс. Контрольные работы
по учебнику Атанасяна
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей (уроки 6-24)
К-1. Контрольная работа с ответами и решениями «Аксиомы стереометрии» (урок 15):
Контрольная работа № 1 + ОтветыК-2. Контрольная работа с ответами и решениями «Параллельные плоскости. Тетраэдр. Параллелепипед»
(урок 23): Контрольная работа № 2 + Ответы
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей (уроки 25-44)
К-3. Контрольная работа с ответами и решениями «Перпендикулярность прямых и плоскости» (урок 43):
Контрольная работа № 3 + Ответы
Глава III. Многогранники (уроки 45-56)
К-4. Контрольная работа с ответами и решениями «Многогранники» (урок 55):
Контрольная работа № 4 + Ответы
Глава IV. Векторы в пространстве (уроки 57-62)
К-5. Зачет по теме «Векторы в пространстве» (урок 62):
Контрольная работа № 5 + Ответы
Итоговое повторение курса геометрии (уроки 63-68)
К-6. Итоговая контрольная работа за курс 10 класса (урок 66):
Контрольная работа № 6 + Ответы
ПОЯСНЕНИЯ
По прохождении каждой темы предусмотрена контрольная работа, состоящая из заданий трех уровней сложности, которые определяются или учителем, или самим учащимся (при этом число экземпляров вариантов должно быть достаточным). Разумеется, учащиеся должны знать о различной сложности вариантов и критериях оценки контрольной работы.
Каждая контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1, 2 самые простые, варианты 3, 4 сложнее и варианты 5, 6 самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности (может быть, несколько сложнее две последние задачи).
Смотрите также:
Геометрия 7 класс. Контрольные работы (Атанасян и др.)
Геометрия 8 класс. Контрольные работы (Атанасян и др.)
Геометрия 9 класс. Контрольные работы (Атанасян и др.)
Геометрия 11 класс. Контрольные работы (Атанасян и др.)
Вы смотрели: Геометрия 10 Контрольные работы Атанасян — контрольные работы по геометрии в 10 классе с ответами и решениями по УМК Атанасян и др. (3 уровня сложности по 2 варианта). В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 10 класс / М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 10-11 классы. Учебник. М.: Просвещение».
Геометрия 10 класс Контрольная № 4 с ответами
Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Многогранники» с ответами и решениями (2 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 55. Геометрия 10 класс Контрольная № 4 «Многогранники».
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)
Контрольная работа № 4
«Многогранники»
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.
2. Контрольная работа
I уровень сложности
Вариант 1.
1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.
2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.
Вариант 2.
1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань — квадрат.
2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения.
Геометрия 10 класс Контрольная № 4
II уровень сложности
Вариант 1.
1) Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
2) Основание пирамиды — правильный треугольник с площадью 9√3 см2. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом 30°.
а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Вариант 2.
1) Основание прямого параллелепипеда — ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая
диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
2) Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4√2 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°.
а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Ребро куба ABCDA1E1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DA1, и найдите площадь этого сечения.
III уровень сложности
Вариант I
1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат.
2) Основание пирамиды — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер АА1, В1С1 и CD, и найдите площадь этого сечения.
Вариант II
1) Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее через ее боковое ребро, является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2) Основание пирамиды — ромб с тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.
3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер А1В1, СС1 и AD, и найдите площадь этого сечения.
3. Рефлексия учебной деятельности (Решения и Ответы)
В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.
Решение заданий I уровня сложности.
Решение заданий II уровня сложности.
Решение заданий III уровня сложности.
Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 4. Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 55. Контрольная работа по геометрии «Многогранники» + ОТВЕТЫ.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.
Геометрия 10 класс Контрольная № 6 с ответами
Итоговая контрольная работа по геометрии в 10 классе с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 66. Геометрия 10 класс Контрольная № 6 «Повторение за год обучения».
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)
Итоговая контрольная работа
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.
2. Контрольная работа
Задания I уровня сложности
Вариант 1
- Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = 13 см и катетом ВС = 5 см. Отрезок SA = 12 см, — перпендикуляр к плоскости АВС.
а) Найдите | AS + SC + СВ |; б) Найдите угол между прямой SB и плоскостью АВС. - В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 8√2 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящей через вершину D и середины ребер АА1 и А1В1.
Вариант 2
- Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = 16 см и катетом ВС = 12 см. Отрезок SC = 20 см, — перпендикуляр к плоскости АВС.
а) Найдите | CS + СВ + ВА |; б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью АВС. - В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 4√3 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящей через прямую АВ и середину ребра B1C1.
Задания II уровня сложности
Вариант 1
- Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. SA — перпендикуляр к плоскости ромба. SA = 3√3 см, АС=6 см.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна к плоскости SAO; б) Найдите | SD + 1/2 (DA + DC) |; в) Найдите двугранный угол SDBA. - В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- Постройте сечение правильного тетраэдра DABC, проходящего через середины ребер AD и ВС параллельно ребру DB.
Вариант 2
- Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. SA — перпендикуляр к плоскости ромба SO = 6 см, АВ = 5 см, BD = 8 см.
а) Докажите, перпендикулярность плоскостей SBD и SAO; б) Найдите | 1/2 (AD+AB)+OS |; в) Найдите угол между прямой SO и плоскостью АВС.
- В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- Постройте сечение правильного тетраэдра DABC, проходящего через середины ребер AD и АВ параллельно ребру АС.
Геометрия 10 класс Контрольная № 6
Задания III уровня сложности
Вариант 1
- Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. SB — перпендикуляр к плоскости АВС. Двугранный угол SACB равен 45°.
а) Докажите перпендикулярность плоскостей SBA и SBC. б) М- точка пересечения медиан треугольника SAC. Разложите вектор ВМ по векторам ВС, ВА, ВС. - Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим углом а. Боковые грани пирамиды, содержащие данный катет и гипотенузу основания, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом В. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
- Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящей через середины ребер основания AD и CD параллельно ребру SD.
Вариант 2
- Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. SB — перпендикуляр к плоскости АВС. Прямые SA и SC образуют с плоскостью АВС угол 30°.
а) Докажите перпендикулярность плоскостей SAC и SBD, если D — середина АС; б) М-точка пересечения медиан треугольника SAC. Разложите вектор SM по векторам SA, SB, SC. - Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основания, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом В. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
- Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящей через середины ребра основания AD и бокового ребра SA параллельно прямой АС.
3. Рефлексия учебной деятельности (Решения и Ответы)
В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.
Решение задач I уровня сложности.
Вариант 1
Решение задач I уровня сложности.
Вариант 2
Решение задач II уровня сложности.
Вариант 1
Решение задач II уровня сложности.
Вариант 2
Решение задач III уровня сложности.
Вариант 1
Решение задач III уровня сложности.
Вариант 2
Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 6. Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 66. Итоговая контрольная работа по геометрии за год обучения + ОТВЕТЫ.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.
Тест по математике для 10 класса со смешанными темами
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ДЛЯ 10 КЛАССА СО СМЕШАННЫМИ ТЕМАМИ
Задача 1:
Найдите указанный член последовательности, если
a n = 5 + 2 (n-1), тогда a 7
Решение:
У нас есть n-й член или общий член последовательности.
a n = 5 + 2 (n-1)
a 7 = 5 + 2 (7-1)
= 5 + 2 (6)
= 5 + 12
a 7 = 17
Задача 2:
Найдите эквивалентную форму (A ∪ B) ‘=
(A) (A’ ∪ B ‘) (B) (A ∪ B’) (C) A ‘∩ B’
Решение:
(A ∪ B) ‘= A’ ∩ B ‘
Задача 3:
Найдите сумму объемов 15 кубов, стороны которых равны 1 см, 2 см, 3см,…….. 15 см соответственно.
Решение:
Объем приведенных выше кубов составляет
1 3 + 2 3 + 3 3 + ……… + 15 3
Сумма куба = [N (n + 1) / 2] 2
n = 15
= [15 (15 + 1) / 2] 2
= [15 (16) / 2] 2
= [15 (8)] 2
= 120 2
= 14400
Сумма объема вышеуказанных кубов составляет 14400 см 3
Задача 4:
Это 9 часов сейчас в 12 часах Сколько времени было 71 час назад?
Решение:
Шаг 1:
Вычтем 71 из 9.
То есть
9 — 71 = -62
Шаг 2:
Мы получаем отрицательное значение на шаге 1, а также 62 не делится на 12.
Итак, найдите следующее целое число после 62, которое точно делится на 12.
То есть 72.
Шаг 3:
Запишите -62 через 72.
Итак, -62 можно записать как
-62 = -72 + 10
Следовательно , время назад 71 час было 10 часов.
Задача 5:
Сосуд представляет собой полусферическую чашу, установленную на полый цилиндр.Диаметр полусферы 14 см, общая высота сосуда 13 см. Найдите объем.
Решение:
Высота сосуда = 13 см
Радиус полусферы + высота цилиндра = 13
7 + h = 13
h = 13-7 = 6 см
Объем сосуда
= объем полусферы + объем цилиндра
= (2/3) πr 3 + πr 2 h
= πr 2 [(2/3) r + h]
= (22/7) 7 2 [(2/3) 7 + 6]
= (22/7) 49 (32/3)
= 1642.67 см 3
Задача 6:
Конический кусок свинца имеет радиус 5,25 см и высоту 8 см. Если его расплавить и превратить в более мелкие конусы высотой 2 см и диаметром 1,75 см, найдите, сколько таких конусов можно сделать.
Решение:
радиус свинца (R) = 5,25 см и высота (H) = 8 см
Диаметр конуса = 1,75, радиус (r) = 1,75 / 2
высота конуса (h) = 2 см
Объем конического куска свинца = n (Объем конуса)
(1/3) πR 2 H = (1/3) πr 2 h
(5.25) 2 ⋅ 8 = n ( 1,75 / 2) 2 ⋅ 2
n = 220,5 / 1,53
n = 144
Итак, количество маленьких конусов равно 144.
Задача 7:
Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения, приведенного ниже.
3x 2 + x + 1 = 0
Решение:
Сравнение
3x 2 + x + 1 = 0
и
ax 2 + bx + c = 0
получаем
a = 3, b = 1 и c = 1
Следовательно,
Сумма корней = -b / a = -1/3
Произведение корней = c / a = 1 / 3
Задача 8:
Найдите квадратный корень из
(4x 2 — 9x + 2) (7x 2 — 13x — 2) (28x 2 — 3x — 1).
Решение:
= √ (4x 2 — 9x + 2) (7x 2 — 13x — 2) (28x 2 — 3x — 1)
4x 2 — 9x + 2 = (4x — 1) (x — 2)
7x 2 — 13x — 2 = (7x + 1) (x — 2)
28x 2 — 3x — 1 = (4x — 1 ) (7x + 1)
= √ (4x — 1) (x — 2) (7x + 1) (x — 2) (4x — 1) (7x + 1)
= | (4x — 1 ) (x — 2) (7x + 1) |
Сумма цифр двузначного числа равна 10.Если число, полученное путем перестановки цифр, меньше исходного числа на 36, найдите необходимое число.
(A) 73 (B) 55 (C) 64 (D) 28
Решение:
Пусть «x y» будет требуемым двузначным числом. Здесь «x» находится в разряде десятков, а «y» — в разряде единиц.
Сумма цифр двузначного числа = 10
x + y = 10 ——— (1)
Если число, образованное перестановкой цифр, меньше исходного числа на 36.
yx = xy — 36
Запишем их в развернутой форме
10 y + x = 10 x + y — 36
x — 10 x + 10 y — y = — 36
— 9 x + 9 y = — 36
Разделив это уравнение на 9, мы получим
— x + y = -4 ——— (2)
(1) + (2) x + y = 10
-x + y = -4
_________
2 y = 6 ==> y = 3
Применяя y = 3 в (1), мы получаем
x + 3 = 10
x = 7
Следовательно, требуется 73.
Задача 10:
Насколько далеко хорда длиной 10 см находится от центра окружности радиусом 13 см.
Решение:
В треугольнике OCB,
OB 2 = OC 2 + CB 2
OC делит хорду пополам.
13 2 = OC 2 + 5 2
OC 2 = 169-25
OC 2 = 144
OC = 12 см
Итак, расстояние между центром и Хорда 12 см.
Помимо приведенного здесь материала, если вам нужны другие сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях
Задачи со словами на квадратных уравнениях
07 Алгебра 07 АлгебраПроблемы со словами в поездах
Проблемы со словами по площади и периметру
Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям
Проблемы со словами по цене за единицу
Проблемы со словами по скорости за единицу
Word задачи по сравнению ставок
Преобразование обычных единиц в текстовые задачи
Преобразование метрических единиц в текстовые задачи
Word задачи по простому проценту
Word по сложным процентам
ngles
Проблемы с дополнительными и дополнительными углами
Проблемы со словами с двойными фактами
Тригонометрические проблемы со словами
Проблемы с процентным соотношением слов
Проблемы со словами прибыли и убытков 0 Задачи Задачи с десятичными словами Задачи со словами о дробях Задачи со словами о смешанных фракциях Одношаговые задачи с уравнениями со словами Проблемы со словами с линейными неравенствами Задачи Проблемы со временем и рабочими словами Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна Задачи со словами на возрастах Проблемы со словами по теореме Пифагора Процент числового слова pr проблемы Проблемы со словами при постоянной скорости Проблемы со словами при средней скорости Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов ДРУГИЕ ТЕМЫ Сокращения прибылей и убытков Сокращение в процентах Сокращение в таблице времен Сокращение времени, скорости и расстояния Сокращение соотношения и пропорции Домен и диапазон рациональных функций Область и диапазон рациональных функций функции с отверстиями Графики рациональных функций Графики рациональных функций с отверстиями Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби Десятичное представление рациональных чисел Поиск квадратного корня с использованием длинного di видение Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач Преобразование задач со словами в алгебраические выражения Остаток при делении 2 в степени 256 на 17 Остаток при делении 17 в степени 23 на 16 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8 Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4 Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3 Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6 888-338-2283 НАЖМИТЕ, чтобы позвонить МЕНЮ НАЧАТЬ ЗВОНИТЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ МЕНЮ НАЧАТЬ НАЙТИ МЕСТО Виртуальные манипуляторы для Geometry . Найдите расстояние между следующими парами точек: (i) (2, 3), (4, 1) (ii) (−5, 7), (−1, 3) (iii) ( a , b ), (- a , — б ) (i) Расстояние между двумя точками определяется как (ii) Расстояние между (iii) Расстояние между дается как Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 1 Найдите расстояние между точками (0, 0) и (36, 15). Можете ли вы теперь найти расстояние между двумя городами A и B, обсуждаемыми в разделе 7.2. Расстояние между точками Да, мы можем найти расстояние между заданными городами A и B. Предположим, что город A находится в исходной точке (0, 0). Следовательно, город B будет в точке (36, 15) относительно города A. Таким образом, согласно расчетам выше, расстояние между городами A и B будет 39 км. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 2 Определите, лежат ли точки (1, 5), (2, 3) и (- 2, — 11) на одной прямой. Пусть точки (1, 5), (2, 3) и (−2, −11) представляют вершины A, B и C данного треугольника соответственно. Пусть Следовательно, точки (1, 5), (2, 3) и (−2, −11) не коллинеарны. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 3 Проверить, являются ли (5, — 2), (6, 4) и (7, — 2) вершинами равнобедренного треугольника. Пусть точки (5, −2), (6, 4) и (7, −2) представляют вершины A, B и C данного треугольника соответственно. Так как две стороны равны, значит, ABC — равнобедренный треугольник. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 4 В классе 4 друга сидят в точках A, B, C и D, как показано на следующем рисунке.Чампа и Чамели входят в класс и, понаблюдав в течение нескольких минут, спрашивает Чамели: «Вам не кажется, что ABCD — квадрат?» Чамели не согласен. Используя формулу расстояния, найдите, какое из них правильное. Можно заметить, что A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) и D (6, 1) являются позициями этих 4 друзей. Можно заметить, что все стороны этого четырехугольника ABCD имеют одинаковую длину, а также диагонали одинаковой длины. Следовательно, ABCD — квадрат и, следовательно, Чампа был прав. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 5 Назовите тип четырехугольника, образованного следующими точками, если таковой имеется, и объясните причины своего ответа: (i) (- 1, — 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0) (ii) (- 3, 5), (3, 1), (0, 3), (- 1, — 4) (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) (i) Пусть точки (−1, −2), (1, 0), (−1, 2) и (−3, 0) представляют вершины A, B, C и D данного четырехугольник соответственно. Можно заметить, что все стороны этого четырехугольника имеют одинаковую длину, а также диагонали одинаковой длины. Следовательно, данные точки являются вершинами квадрата. (ii) Пусть точки (- 3, 5), (3, 1), (0, 3) и (−1, −4) представляют вершины A, B, C и D данного четырехугольника соответственно. Видно, что все стороны этого четырехугольника имеют разную длину. Следовательно, можно сказать, что это только общий четырехугольник, а не конкретный, такой как квадрат, прямоугольник и т. Д. (iii) Пусть точки (4, 5), (7, 6), (4, 3) и (1, 2) представляют вершины A, B, C и D данного четырехугольника соответственно. Видно, что противоположные стороны этого четырехугольника имеют одинаковую длину. Однако диагонали бывают разной длины. Следовательно, данные точки являются вершинами параллелограмма. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 6 Найдите точку на оси x , которая равноудалена от (2, — 5) и (- 2, 9). Нам нужно найти точку на оси x . Следовательно, его координата y будет равна 0. Пусть точка на оси x будет По заданному условию эти расстояния равны по мере. Следовательно, точка (- 7, 0). Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 7 Найдите значения y , для которых расстояние между точками P (2, — 3) и Q (10, y ) равно 10 единицам. Принято, что расстояние между (2, −3) и (10, y ) равно 10. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 161, вопрос 8 Если Q (0, 1) равноудалено от P (5, — 3) и R ( x , 6), найдите значения x .Также найдите расстояние QR и PR. Следовательно, точка R равна (4, 6) или (−4, 6). Когда точка R равна (4, 6), Когда точка R равна (−4, 6), Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 162, вопрос 9 Найдите соотношение между x и y , при котором точка ( x , y ) находится на одинаковом расстоянии от точки (3, 6) и (- 3, 4). ( x , y ) равноудалена от (3, 6) и (−3, 4). Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 162, вопрос 10 Найдите координаты точки, которая делит соединение (- 1, 7) и (4, — 3) в соотношении 2: 3. Пусть P ( x , y ) будет требуемой точкой. Используя формулу сечения, получаем Следовательно, точка (1, 3). Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 1 Найдите координаты точек тройного пересечения отрезка прямой, соединяющего (4, — 1) и (- 2, — 3). Пусть P ( x 1 , y 1 ) и Q ( x 2 , y 2 ) являются точками трисекции отрезка прямой, соединяющего данные точки, т. Е. AP = PQ = QB Следовательно, точка P делит AB внутри в соотношении 1: 2. Точка Q делит AB внутри в соотношении 2: 1. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 2 Для проведения Дня спорта на школьной площадке ABCD прямоугольной формы были нарисованы линии мелом на расстоянии 1 м каждая.100 цветочных горшков были размещены на расстоянии 1 м друг от друга по AD, как показано на следующем рисунке. Нихарика пробегает расстояние Можно заметить, что Нихарика вывесил зеленый флаг на расстоянии Точно так же Прит вывесил красный флаг на Расстояние между этими флажками по формуле расстояния = GR = Точка, в которой Рашми должна вывесить свой синий флаг, является средней точкой линии, соединяющей эти точки.Пусть эта точка будет A ( x , y ). Следовательно, Рашми следует вывесить свой синий флаг на высоте 22,5 м на линии 5 . Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 3 Найдите отношение, в котором отрезок прямой, соединяющий точки (- 3, 10) и (6, — 8), делится на (- 1, 6). Пусть соотношение, в котором отрезок линии, соединяющий (−3, 10) и (6, −8), делится на точку (−1, 6), составляет k : 1. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 4 Найдите отношение, в котором отрезок линии, соединяющий A (1, — 5) и B (- 4, 5), делится на ось x .Также найдите координаты точки разделения. Пусть соотношение, в котором отрезок линии, соединяющий A (1, −5) и B (−4, 5), делится на x- по оси, равно Следовательно, координаты точки разделения — Мы знаем, что координата y любой точки на оси x равна 0. Следовательно, ось x делит его в соотношении 1: 1. Балл деления = Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 5 Если (1, 2), (4, y ), ( x , 6) и (3, 5) — вершины параллелограмма, взятые по порядку, найдите x и y . Пусть (1, 2), (4, y ), ( x , 6) и (3, 5) — координаты вершин A, B, C, D параллелограмма ABCD. Точка пересечения O диагоналей AC и BD также делит эти диагонали. Следовательно, O — это средняя точка AC и BD. Если O — средняя точка AC, то координаты O равны Если O — средняя точка BD, то координаты O равны Поскольку обе координаты относятся к одной и той же точке O, Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 6 Найдите координаты точки A, где AB — диаметр окружности с центром (2, — 3), а B — (1, 4). Пусть координаты точки A будут ( x , y ). Середина AB — (2, −3), которая является центром круга. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 7 Если A и B равны (- 2, — 2) и (2, — 4) соответственно, найдите координаты P такие, что Координаты точек A и B равны (−2, −2) и (2, −4) соответственно. С, Следовательно, AP: PB = 3: 4 Точка P делит отрезок AB в соотношении 3: 4. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 8 Найдите координаты точек, которые разделяют отрезок прямой, соединяющий точки A (- 2, 2) и B (2, 8) на четыре равные части. Из рисунка видно, что точки P, Q, R разделяют отрезок прямой в соотношении 1: 3, 1: 1, 3: 1 соответственно. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 9 Найдите площадь ромба, если его вершины — (3, 0), (4, 5), (- 1, 4) и (- 2, −1), взятые по порядку.[ Подсказка: Площадь ромба = Пусть (3, 0), (4, 5), (−1, 4) и (−2, −1) — вершины A, B, C, D ромба ABCD. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 167, вопрос 10 Найдите площадь треугольника с вершинами: (i) (2, 3), (- 1, 0), (2, — 4) (ii) (- 5, — 1), (3, — 5), (5, 2) (i) Площадь треугольника определяется как (ii) Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 170, вопрос 1 В каждом из следующих значений найдите значение « k », для которого точки лежат на одной прямой. (i) (7, — 2), (5, 1), (3, — k ) (ii) (8, 1), ( k , — 4), (2, — 5) (i) Для коллинеарных точек площадь образованного ими треугольника равна нулю. Следовательно, для точек (7, −2) (5, 1) и (3, k ) площадь = 0 (ii) Для коллинеарных точек площадь образованного ими треугольника равна нулю. Следовательно, для точек (8, 1), ( k , −4) и (2, −5) площадь = 0 Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 170, вопрос 2 Найдите площадь треугольника, образованного соединением середин сторон треугольника с вершинами (0, — 1), (2, 1) и (0, 3).Найдите отношение этой площади к площади данного треугольника. Пусть вершины треугольника равны A (0, −1), B (2, 1), C (0, 3). Пусть D, E, F — середины сторон этого треугольника. Координаты D, E и F даются как Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 170, вопрос 3 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого, взятые по порядку, равны (- 4, — 2), (- 3, — 5), (3, — 2) и (2, 3) Пусть вершины четырехугольника равны A (−4, −2), B (−3, −5), C (3, −2) и D (2, 3).Соедините AC, чтобы образовать два треугольника ΔABC и ΔACD. Решение NCERT для математики класса 10 — координатная геометрия 170, вопрос 4 Вы изучали в классе IX, что медиана Вот четыре отличных примера сложения словесных задач с целыми числами.Внимательно прочтите решение, чтобы знать, как решать подобные проблемы. Задача № 1: Мария сэкономила 200 долларов, а затем потратила 150 долларов. Сколько денег сейчас у Марии? Решение У проблемы есть 3 важных компонента, которые выделены жирным шрифтом ниже. Мария сэкономила 200 долларов и , тогда она потратила 150 долларов. Сколько денег сейчас у Марии? Сохранено 200 может быть представлено как + 200 Мы получаем 200 + -150 и 200 + -150 = 50 У Марии осталось 50 долларов. Проблема № 2: Подводная лодка на высоте 21 фут ниже уровня моря внезапно поднимается примерно на 6 футов. На какой глубине сейчас находится подводная лодка? Решение Проблема состоит из двух важных компонентов, выделенных жирным шрифтом ниже. Подводная лодка на высоте 21 фут ниже уровня моря внезапно поднимается примерно на 6 футов . На какой глубине сейчас находится подводная лодка? 21 фут ниже уровня моря может быть представлен как — 21 Мы получаем -21 + +6 и -21 + +6 = -15 Подводная лодка находится на 15 футов ниже уровня моря. Задача № 3: Футбольная команда набрала 6 ярдов, а затем потеряла 10 ярдов. Где сейчас футбольная команда? Решение У проблемы есть 3 важных компонента, которые выделены жирным шрифтом ниже. Футбольная команда набрала 6 ярда, и , затем проиграла 10 ярда. Где сейчас футбольная команда? Получено 6 может быть представлено как + 6 Мы получаем +6 + -10 и +6 + -10 = -4 В целом футбольная команда имеет потерял 4 ярда. Задача № 4: У Стива было 140 долларов. Он одолжил другу 50 долларов, потратил 31 доллар и получил зарплату в 80 долларов за работу. Сколько у него сейчас денег? Решение У проблемы есть 4 важных компонента, выделенных жирным шрифтом ниже. Стив получил 140 долларов . Одолжил 50 долларов другу , потратил 31
долларов, и получили свою зарплату в размере 80 долларов за работу.Сколько денег
он есть сейчас? Если бы 140 долларов можно было представить как +140 Ссуду 50 можно представить как -50 Израсходовано 31 можно представить -31 Получили его 80 можно представить как +80 Получаем +140 + — 50 + -31 + +80 +140 + -50 + -31 + +80 = (140 + -50) + -31 + +80 = 90 + -31 + +80 = (90 + -31) + + 80 = 59 + +80 = 139 Сейчас у Стива 139 долларов. Новые уроки математики Ваша электронная почта в безопасности.Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики. Репетиторство по математике для 10-х классов и Помощь по математике для 10-х классов
NLVM Geometry Manipulatives
Поезда с атрибутами — Узнайте о формах и цветовых узорах, собрав ряды блоков. Cob Web Plot — Измените переменные и наблюдайте закономерности из этого графического моделирования. Конгруэнтных треугольников — строите похожие треугольники, комбинируя стороны и углы. Фракталы — Итерационные — Создание шести различных фракталов. Фракталы — Кох и Серпинский — Измените цвета и приостановите это фрактальное моделирование в любой момент. Фракталы — Наборы Мандельброта и Жюлиа — исследуйте отношения между этими двумя фрактальными наборами. Fractals — Polygonal — Измените параметры, чтобы создать новый фрактал. Geoboard — Используйте геодоски для иллюстрации концепций площади, периметра и рациональных чисел. Geoboard — Circular — Используйте круговые геодоски для обозначения углов и градусов. Geoboard — Coordinate — прямоугольная геодоска с координатами x и y. Географическая доска — Изометрическая — Используйте геодиску для иллюстрации трехмерных фигур. Золотой прямоугольник — иллюстрирует итерации золотого сечения. Great Circle — Используйте трехмерный глобус, чтобы визуализировать и измерить кратчайший путь между городами. Насколько высоко? — Попробуйте свои силы в классическом тесте сохранения объема Пиаже. Ladybug Leaf — Запрограммируйте божью коровку, чтобы она пряталась за листом. лабиринты божьей коровки — запрограммируйте божью коровку на передвижение по лабиринту. Узорчатые блоки — Используйте шесть общих геометрических фигур для построения узоров и решения проблем. Пентамино — Используйте 12 комбинаций пентамино для решения задач. Платоновы тела — Определите характеристики Платоновых тел. Платоновы тела — Двойники — Определите двойники платоновых тел. Platonic Solids — Slicing — Откройте для себя формы и отношения между срезами платоновых тел. Полимино — построение и сравнение характеристик биомино, триомино, квадромино и т. Д. Теорема Пифагора — Решите две головоломки, иллюстрирующие доказательство теоремы Пифагора. Space Blocks — Создавайте и открывайте узоры, используя трехмерные блоки. Танграммы — Используйте все семь китайских пазлов, чтобы создавать формы и решать задачи. Тесселяции — Использование регулярных и полурегулярных мозаик для мозаики плоскости. Tight Weave — Визуализируйте создание ковра Серпинского, повторяющегося геометрического узора, напоминающего тканый коврик. Transformations — Composition — Изучите эффект применения композиции преобразования перемещения, поворота и отражения к объектам. Преобразования — Расширение — Динамически взаимодействуйте с преобразованием расширения и смотрите на результат. Преобразования — Отражение — Динамически взаимодействуйте и просматривайте результат преобразования отражения. Преобразования — Вращение — Динамически взаимодействуйте с преобразованием поворота и просматривайте его результат. Преобразования — Перевод — динамически взаимодействуйте с преобразованием перевода и просматривайте его результат. Триомино — Управляйте кусочками головоломки и находите множество решений. Turtle Geometry — исследуйте числа, формы и логику, запрограммировав черепаху на движение. Cob Web Plot — Измените переменные и наблюдайте закономерности из этого графического моделирования. Фракталы — Итерационные — Создание шести различных фракталов. Фракталы — Кох и Серпинский — Измените цвета и приостановите это фрактальное моделирование в любой момент. Фракталы — Наборы Мандельброта и Жюлиа — исследуйте отношения между этими двумя фрактальными наборами. Fractals — Polygonal — Измените параметры, чтобы создать новый фрактал. Geoboard — Используйте геодоски для иллюстрации концепций площади, периметра и рациональных чисел. Geoboard — Circular — Используйте круговые геодоски для обозначения углов и градусов. Geoboard — Coordinate — прямоугольная геодоска с координатами x и y. Географическая доска — Изометрическая — Используйте геодиску для иллюстрации трехмерных фигур. Золотой прямоугольник — иллюстрирует итерации золотого сечения. Great Circle — Используйте трехмерный глобус, чтобы визуализировать и измерить кратчайший путь между городами. Узорчатые блоки — Используйте шесть общих геометрических фигур для построения узоров и решения проблем. Pinwheel Tiling — Постройте и исследуйте очень необычную мозаику плоскости прямоугольными треугольниками. Платоновы тела — Определите характеристики Платоновых тел. Платоновы тела — Двойники — Определите двойники платоновых тел. Platonic Solids — Slicing — Откройте для себя формы и отношения между срезами платоновых тел. Полимино — построение и сравнение характеристик биомино, триомино, квадромино и т. Д. Теорема Пифагора — Решите две головоломки, иллюстрирующие доказательство теоремы Пифагора. Решатель прямоугольного треугольника — потренируйтесь использовать теорему Пифагора и определения тригонометрических функций для поиска неизвестных сторон и углов прямоугольного треугольника. Space Blocks — Создавайте и открывайте узоры, используя трехмерные блоки. Танграммы — Используйте все семь китайских пазлов, чтобы создавать формы и решать задачи. Тесселяции — Использование регулярных и полурегулярных мозаик для мозаики плоскости. Tight Weave — Визуализируйте создание ковра Серпинского, повторяющегося геометрического узора, напоминающего тканый коврик. Transformations — Composition — Изучите эффект применения композиции преобразования перемещения, поворота и отражения к объектам. Преобразования — Расширение — Динамически взаимодействуйте с преобразованием расширения и смотрите на результат. Преобразования — Отражение — Динамически взаимодействуйте и просматривайте результат преобразования отражения. Преобразования — Вращение — Динамически взаимодействуйте с преобразованием поворота и просматривайте его результат. Преобразования — Перевод — динамически взаимодействуйте с преобразованием перевода и просматривайте его результат. Triangle Solver — Попрактикуйтесь в использовании закона синусов и закона косинусов для определения неизвестных сторон и углов треугольника. Turtle Geometry — исследуйте числа, формы и логику, запрограммировав черепаху на движение. Решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
Страница № 161:
Вопрос 1:
Ответ:
определяется как Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.№: 1)
Страница № 161:
Вопрос 2:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 2)
Страница № 161:
Вопрос 3:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 3)
Страница № 161:
Вопрос 4:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 4)
Страница № 161:
Вопрос 5:
Ответ:
CD = 9-62 + 4-12 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 = 32
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 5)
Страница № 161:
Вопрос 6:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q. No.: 6)
Страница № 161:
Вопрос 7:
Ответ:
. Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 7)
Страница № 161:
Вопрос 8:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 161, Q.No .: 8)
Страница № 162:
Вопрос 9:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 162, Q.No .: 9)
Страница № 162:
Вопрос 10:
Ответ:
Точка Видео решение для координатной геометрии (Страница: 162, Q.No .: 10)
Страница № 167:
Вопрос 1:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 1)
Страница № 167:
Вопрос 2:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 2)
Страница № 167:
Вопрос 3:
г. н.э. по линии 2 и и вывешивает зеленый флаг. Прит пробегает расстояние AD на восьмой строчке и ставит красный флаг. Какое расстояние между обоими флажками? Если Рашми нужно вывесить синий флаг ровно посередине между отрезком линии, соединяющим два флага, где она должна разместить свой флаг? Ответ:
г. н.э. i.е., м от начала линии 2 -й . Следовательно, координаты этой точки G равны (2, 25). дистанции AD, то есть на м от начальной точки 8 -й линии . Следовательно, координаты этой точки R равны (8, 20). Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 3)
Страница № 167:
Вопрос 4:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 4)
Страница № 167:
Вопрос 5:
Ответ:
.. Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 5)
Страница № 167:
Вопрос 6:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.№: 6)
Страница № 167:
Вопрос 7:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 7)
Страница № 167:
Вопрос 8:
и P лежат на отрезке AB. Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 8)
Страница № 167:
Вопрос 9:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 9)
Страница № 167:
Вопрос 10:
(произведение его диагоналей)] Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 167, Q.No .: 10)
Страница № 170:
Вопрос 1:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 170, Q.№: 1)
Страница № 170:
Вопрос 2:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 170, Q.No .: 2)
Страница № 170:
Вопрос 3:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 170, Q.No .: 3)
Страница № 170:
Вопрос 4:
Ответ:
Видео решение для координатной геометрии (Страница: 170, Q.No: 4)
Страница № 170:
Вопрос 5:
Добавление целых чисел Задачи со словом
И знак +
Израсходовано 150 может быть представлено как -150
Мы можем использовать знак +
Перемещение примерно на 6 футов может быть представлено как +6
И знак +
Потерянный 10 может быть представлен как -10