Программирование для начинающих с нуля — Решебник

Задачи по программированию с решениями. Абрамян М. Э.

Begin

Integer

Boolean

If

Case

For

While

Series

Proc

Minmax

Array

Matrix

String

File

Text

Param

Recur

Dynamic

Задачи по программированию. Абрамов С.А. и др.

3.

Простейшая целочисленная арифметика

2. Разветвления

1. Арифметика действительных чисел. Вычисления по формулам

Задачи по программированию для начинающих

3. Текстовый файл

2. Двумерный массив

1. Одномерный массив

• Вы здесь:  
• Главная

• Глава 13. Задача 4
• Глава 13. Задача 3
• Глава 13. Задача 2
• org/Article»> Глава 12. Задача 3
• Глава 13. Задача 1
• Глава 12. Задача 2
• Глава 12. Задача 1. б
• Глава 12. Задача 9
• Глава 12. Задача 8
• Глава 12. Задача 7

Популярные статьи

• А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §1. Контрольные вопросы, ответы
• А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §2. Контрольные вопросы, ответы
• org/Article»> А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §3. Контрольные вопросы, ответы
• Генеральная совокупность и выборка
• А.В. Погорелов. Геометрия. 9 класс. §11. Контрольные вопросы, ответы
• А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 8. Контрольные вопросы, ответы
• А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 9. Контрольные вопросы, ответы
• А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §5. Контрольные вопросы, ответы
• Глава 3. Задача 7
• А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. §10. Контрольные вопросы, ответы
• Глава 2. Задача 4
• Глава 13. Задача 4

Полулярные теги

• python 3
• c++
• begin
• print
• решение
• random
• int
• double
• include
• cout
• randrange
• using
• main
• import
• cin

Календарно — тематическое планирование по геометрии в 8 классе в соответствии с ФГОС, учебник А. В. Погорелов. | Методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему:

№ урока	Тема учебного занятия	Количество часов	Планируемая дата проведения	Фактическая дата проведения	Примечание
	Глава 1. Окружность. 7 ч.
1	Окружность	1
2	Окружность, описанная около треугольника	1
3	Окружность, описанная около треугольника	1
4	Касательная к окружности	1
5	Окружность, вписанная в треугольник.	1
6	Окружность, вписанная в треугольник.	1
7	Контр. р №1 по теме: “Окружность”	1
	Глава 2. Четырёхугольники. 19ч.
8	Определение четырёхугольника	1
9	Параллелограмм	1
10	Свойство диагоналей параллелограмма	1
11	Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма	1
12	Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма	1
13	Прямоугольник	1
14	Ромб	1
15	Квадрат. Решение задач	1
16	Квадрат. Решение задач	1
17	Контрольная работа №2 по теме: “Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат”	1
18	Теорема Фалеса	1
19	Средняя линия треугольника	1
20	Средняя линия треугольника	1
21	Трапеция. Средняя линия.	1
22	Трапеция. Средняя линия.	1
23	Пропорциональные отрезки	1
24	Замечательные точки в окружности	1
25	Решение задач	1
26	Контрольная работа№3 по теме: “Средняя линия треугольника. Трапеция”.	1
	Глава 3. Теорема Пифагора.13 ч.
27	Косинус угла	1
28	Косинус угла	1
29	Теорема Пифагора. Египетский треугольник	1
30	Теорема Пифагора. Египетский треугольник	1
31	Перпендикуляр и наклонная к прямой	1
32	Неравенство треугольника	1
33	Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике	1
34	Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике	1
35	Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике	1
36	Основные тригонометрические тождества	1
37	Основные тригонометрические тождества	1
38	Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов. Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла.	1
39	Контрольная работа№4 по теме: “Теорема Пифагора. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике”	1
	Глава 4. Декартовы координаты на плоскости. 11 ч.
40	Определение декартовых  координат. Координаты середины отрезка.	1
41	Расстояние между точками	1
42	Уравнение окружности	1
43	Уравнение прямой	1
44	Уравнение прямой	1
45	Координаты точки пересечения прямых	1
46	Расположение прямой относительно системы координат	1
47	Угловой коэффициент в уравнении прямой	1
48	График линейной функции Пересечение прямой с окружностью	1
49	Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 00 до 1800	1
50	Контрольная работа №5 по теме: «Декартовы координаты на плоскости»	1
	Глава 5. Движение.6ч.
51	Преобразование фигур. Свойства движения	1
52	Симметрия относительно точки	1
53	Симметрия относительно прямой	1
54	Поворот	1
55	Параллельный перенос и его свойства Существование и единственность параллельного переноса Сонаправленность полупрямых	1
56	Равенство фигур	1
	Глава 5. Векторы. 8 ч.
57	Вектор. Абсолютная величина и направление вектора	1
58	Равенство векторов.	1
59	Координаты вектора.	1
60	Сложение векторов. Сложение сил	1
61	Умножение вектора на число	1
62	Скалярное произведение векторов	1
63	Скалярное произведение векторов	1
64	Контрольная работа №6 по теме: “Векторы”	1
	Глава 6. Повторение.6 ч.
65	Четырехугольники	1
66	Теорема Пифогора. Решение задач	1
67	Теорема Пифогора. Решение задач	1
68	Декартовы координаты на плоскости	1
69	Резерв	1
70	Резерв	1
	Итого	70ч

математическое образование — Евклид мертв?

$\begingroup$

По-видимому, Евклид умер около 2300 лет назад (на самом деле 2288, если быть более точным), но название вопроса отсылает к лозунгу Дьедонне: «A bas Euclide! Mort aux треугольники!» (см. «Король бесконечного пространства: Дональд Коксетер, Человек, который спас геометрию», Шивон Робертс, стр. 157), часто ассоциируемый в народном сознании с общей позицией Бурбаки в отношении строгой формализованной математики (отказ от графических представлений и т. д.). См. выступление Дьедонне на семинаре в Руайомоне, чтобы узнать о его четко сформулированной позиции.

Вкратце, предлагалось заменить евклидову геометрию (ЭГ) в программе средней школы более современными математическими областями, такими как, например, теория множеств, абстрактная алгебра и (мягкий) анализ. Эти идеи оказали влияние, и евклидова геометрия постепенно была понижена в должности во французской средней школе. Однако не полностью отменен: он по-прежнему входит в программу, но без сложных и интересных доказательств и аксиоматической основы. Аналогичное понижение/отмена ЭГ имело место в большинстве европейских стран в 70-е и 80-е годы, особенно в западноевропейских. (Исключением является Россия!) И вместе с ЭГ произошло постепенное исчезновение математических доказательств из школьной программы в большинстве европейских стран; беда (как я понимаю) в том, что большинство доказательств и понятий современных математических областей, пришедших на смену ЭГ, либо требовали зрелости, либо не были достаточно интересны студентам, и постепенно от большинства таких доказательств отказались.

Примерно через десять лет раздались всеобщие призывы к возвращению геометрии, поскольку введение альтернативных математических областей не дало желаемых результатов. Таким образом, ЭГ вернулся, но не в своем первоначальном виде.

Я преподаю в университете (не в средней школе), и мы продолжаем вводить новые вводные курсы по математике, поскольку наши новые студенты не знают, что такое доказательство. [См. рост количества университетских курсов в США, которые проходят под заголовком «Введение в математические доказательства» и тому подобное.]

Мне интересно услышать аргументы за и против за возвращение ЭГ в школьные программы. Некоторые смежные вопросы: нужно ли предъявлять доказательства старшеклассникам? Если да, то есть ли более эффективный математический предмет для старшеклассников, чтобы узнать, что такое теорема, аксиома и доказательство?

Полное раскрытие информации : в настоящее время я веду кампанию за возвращение ЭГ в программу средних школ моей страны (Кипр). Тем не менее, мне искренне интересно услышать аргументы как за, так и против.

• математика-образование
• преподавание
• евклидова геометрия

$\endgroup$

26

$\begingroup$

Когда я учился в средней школе (в начале 1960-х), евклидова геометрия была единственным курсом в стандартной программе, который требовал от нас написания доказательств. Эти доказательства, однако, были в очень строгом формате, с утверждениями в левой части страницы и основанием для каждого утверждения в правой части. Поэтому я боюсь, что у многих студентов сложилось неверное представление о том, что на самом деле представляют собой доказательства. Они также пришли к выводу, что доказательства предназначены только для геометрии; последующие курсы (в рамках обычной учебной программы, а не курсов с отличием) не требовали доказательств. Учебник, который мы использовали, также имел некоторые недостатки, касающиеся доказательств. Например, теорема 1 была дословно идентична постулату 19.; Доказательство теоремы 1 не включало постулат 19, поэтому, по сути, нам было показано, что постулат 19 избыточен, но избыточность никогда не упоминалась, и я до сих пор не знаю, почему избыточный постулат был включен в доказательство. первое место. Еще одним недостатком стандартных курсов геометрии было то, что из-за необходимости мягкого обучения тому, как находить и записывать доказательства (в таком жестком формате), преподавалось очень мало интересной геометрии; класс в основном доказывал банальности. Мне посчастливилось учиться в классе с отличием, с отличным преподавателем, который показал нам некоторые действительно интересные вещи (например, теоремы Чевы и Менелая), но у большинства студентов в моей школе не было такого преимущества.

Я предполагаю, что евклидову геометрию можно использовать как хорошее введение в математическое доказательство, но, как показывает предыдущий абзац, многое может пойти не так.

(Есть и другие вещи, которые могут пойти не так. Я упомянул, что у меня был превосходный учитель. Но в моей школе также были учителя математики, которые очень мало знали о доказательствах или о геометрии сверх того, что было в учебнике.) Так что мой совет: если вы хотите разработать такой курс, как вы описали в вопросе, продолжайте, но будьте очень осторожны.

Между прочим, много лет назад я рекомендовал своему университетскому факультету использовать курс проективной геометрии в качестве курса «Введение в доказательство». Идея заключалась в том, что есть довольно простые доказательства, а результаты не так очевидны интуитивно, как такие же простые результаты евклидовой геометрии. Мое предложение не было принято.

Предложение Цяочу Юаня о дискретной математике вместо геометрии может иметь те же преимущества, что и мое предложение по проективной геометрии, но оно по-прежнему будет подвержено многим подводным камням, которые я указал выше, плюс еще один: большинство учителей математики в старших классах меньше знают о дискретной математике.

математике, чем геометрии.

$\endgroup$

18

$\begingroup$

Я стараюсь отвечать кратко.

Факт : Евклидова геометрия до сих пор преподается в иранских средних и старших классах.

Наблюдение (на основе исследований): Большинство учителей не любят преподавать геометрию. Говорят, когда учишь геометрию, всегда сталкиваешься с задачами, которые не знаешь, как их решить. Но, кажется, у них нет такой проблемы с остальной математикой, которую преподают в школе! Думая о своей кампании, спросите себя, достаточно ли у вас учителей, желающих преподавать геометрию и способных это делать?

Факт : Есть по крайней мере один математик, влюбленный в треугольники. Вот цитата из его статьи в The Mathematical Intelligencer:

.

Ни один объект никогда не служил математике лучше и дольше. Сравните число нетривиальных результатов, верных для всех топологических пространства, кольца, группы и т. д., не накладывая на них дополнительных предположений с количеством нетривиальных результатов, истинных в любом треугольник … Когда дело доходит до вывода результатов в математике только из определение объекта, ничто не может сравниться с треугольник. Треугольник будет служить математике вечно.

Мнение: Существует большая разница между преподаванием геометрии как источника увлекательных задач и как твердого свода аксиоматических знаний. Лично я предпочитаю первое. Перейти к наблюдению выше!

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Настоятельно рекомендую прочитать эту статью Шарыгина. (Он на русском языке, но его стоит перевести.) Вы увидите причины вернуть ЭГ в школу, а также причины, по которым он исчезает.

Шарыгин мой герой, он автор многих очень хороших учебников по математике для школьников, а также написал лучший (мое мнение) учебник по евклидовой геометрии для школы.

П.С. Позвольте мне поделиться тем, что я знаю об истории геометрии в русской школе. У нас был учебник Киселева, который прослужил более полувека. Она менялась медленно, вначале она была довольно близка к «Элементам» Евклида. (Если вы спросите о геометрии кого-то из поколения моих родителей, их глаза начнут излучать положительную энергию, и они начнут объяснять, насколько это был чудесный опыт.)

После этого (60-х) начинаются изменения. Первая книга Никитина — большой шаг назад. После этого, вместо того чтобы вернуться к Киселёву, было написано много книг виднейшими математиками (в том числе Александровым и Погореловым), эти книги были ещё хуже, чем книга Никитина. Позже появляется книга Шарыгина; это очень хорошая книга, но очень требовательная к учителю (скажем, абсолютная геометрия не обсуждалась, но если учитель не знаком с абсолютной геометрией, то он не может преподавать должным образом).

Теперь у нас так называемый «ЕГЭ» (худшая реформа, когда-либо проводившаяся в России) либо слишком дорого, либо невозможно проверить доказательства на этом экзамене; последний вычеркивает геометрию из школьной программы; формально он все еще существует, но поскольку он не нужен для сдачи экзамена, никому не нужно его учить.

Вывод: Кажется, что каждая большая реформа делает образование хуже. Правильным направлением было бы постепенное изменение вещей, и это должны делать учителя с помощью научных кругов, а не наоборот.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Пока этот вопрос открыт, я могу также добавить свои пять копеек. Я думаю, бесполезно преподавать евклидову геометрию старшеклассникам. Вот несколько причин, по которым я могу придумать, чтобы люди преподавали евклидову геометрию старшеклассникам, и почему я считаю их плохими причинами:

• В качестве введения в понятие доказательства. Как я сказал в комментариях, я думаю, что здесь есть лучшие варианты, такие как области дискретной математики, такие как элементарная теория чисел, элементарная комбинаторика или элементарная теория графов. В отличие от евклидовой геометрии, по крайней мере часть этого материала имеет нетривиальные приложения: например, применение элементарной теории чисел к криптографии или применение комбинаторики к анализу алгоритмов. Кроме того, в отличие от евклидовой геометрии, этот материал предлагает множество возможностей для компьютерных исследований: например, Project Euler. Но мне даже не ясно, действительно ли старшеклассникам нужно введение в доказательство.

• В качестве подготовки к другим темам, которые должны знать старшеклассники. Евклидова геометрия может быть неплохим способом подготовить учащихся к тригонометрии и, в конечном счете, к исчислению, но я не думаю, что старшеклассники также должны изучать эти вещи. То же самое касается физики.

• В качестве подготовки к использованию математики в повседневной жизни. Здесь я думаю, что такие темы, как оценка Ферми и некоторые базовые вероятности и статистика, были бы более полезными (например, для помощи людям в принятии более эффективных политических и медицинских решений). Насколько я могу судить, большинство людей не используют евклидову геометрию в своей повседневной жизни.

• В качестве подготовки к работе, связанной с математикой. Если студенты хотят устроиться на такую ​​работу, им можно преподавать соответствующую математику в рамках их профессиональной подготовки, или они могут выбрать ее самостоятельно. Обратите внимание, что есть много людей, занимающихся программированием, несмотря на общее отсутствие программирования в большинстве учебных программ средней школы.

$\endgroup$

22

$\begingroup$

В американских средних школах до сих пор преподают евклидову геометрию, но я категорически против этого. Я думаю, что это должно быть заменено линейной алгеброй.

Аргументы против евклидовой геометрии:

• Большая часть того, что вы доказываете на уроках евклидовой геометрии в старшей школе, кажется довольно очевидной, пока вы не узнаете о неевклидовой геометрии. Это заставляет студентов думать, что доказательства — это педантизм сам по себе.

• Евклидова геометрия в принципе бесполезна. Несомненно, было время, когда люди использовали линейку и циркуль в архитектуре или дизайне, но это время давно прошло. 92$ со стандартным скалярным произведением является моделью для евклидовых аксиом, поэтому, в частности, вы можете доказать те же самые теоремы, если действительно хотите.

• Линейная алгебра легко обобщается на измерения, превышающие 3, где геометрическая интуиция большинства студентов не работает, поэтому им легче оценить необходимость аксиом и теорем.

• Линейная алгебра, особенно собственные значения и собственные векторы, повсеместно используется в современной науке и технике. Я бы сказал, что средний человек гораздо чаще сталкивается с проблемой собственных значений, чем с проблемой исчисления.

• Линейная алгебра, конечно, по-прежнему остается основным языком, на котором выражается большая часть математики, и поэтому класс линейной алгебры дает более честное представление о том, что такое математика.

• Предоставление учащимся начальных знаний по линейной алгебре упростит последующее обучение. Даже многие люди, не являющиеся учеными, используют программное обеспечение, основанное на решении линейных систем или вычислении декомпозиции матриц, и таким людям может помочь немного больше контекста. И те, кто продолжает брать дополнительные курсы по естественным наукам, особенно физике, получат более очевидную пользу. По крайней мере, мы могли бы, наконец, научить наших студентов правильному тесту второй производной на уроках многомерного исчисления…

$\endgroup$

19

$\begingroup$

С учетом предостережений, упомянутых Андреасом, я думаю, что евклидова геометрия отлично подходит для старшеклассников. (Мой школьный опыт не отличался от опыта Андреаса — по-прежнему двухколоночный формат, но у меня также был учитель, который понимал математику сверх того, что было в учебнике). поддержал бы ЭГ) кажется, что есть потребность в курсе, который излагал бы математику как аксиоматическая дисциплина и тщательные способы рассуждения, которые в нее входят. В каком-то смысле почти любая система, основанная на аксиомах (будь то ЭГ, теория множеств, «дискретная математика» или что-то еще) могла бы служить этой цели, кроме , что евклидова геометрия имеет большое преимущество в том, что она наглядна и легко доступна для интуиции. . (Обратной стороной этого может быть критика Исаака Ньютона [см. Arnold’s Huygens and Barrow, Newton and Hooke , pp. 49-50] о том, что большинство теорем интуитивно вполне очевидны, так что типичный курс может показаться болезненным упражнением в педантичность.)

Мне нравится предложение Андреаса по проективной геометрии. Среди прочего, это помогло бы продвигать идею силы унификации в математике: вещи, которые могут выглядеть очень по-разному, например, эллипсы и гиперболы, часто являются замаскированными одними и теми же.

$\endgroup$

$\begingroup$

Помимо строгости, введенной на уроках евклидовой геометрии, есть еще кое-что важное: связь между зрительным восприятием и последовательным мышлением.

В «Математике 20-го века» Атия сравнил геометрию с визуальным восприятием, привязанным к пространству, а алгебру — с последовательными рассуждениями, привязанными ко времени. Если мы продолжим это сравнение, курс, который естественным образом сочетает в себе и то, и другое, будет фильмом, чем-то гораздо большим, чем ингредиенты. И каждый раз, когда мы сталкиваемся с одним из этих фильмов, он обычно вызывает волнение.

Алгебра, однако, не единственный последовательный процесс в математике; другой — последовательное рассуждение доказательства.

Что я нахожу важным EG, так это то, что это первый курс в старшей школе, который соединяет визуальное восприятие и последовательное мышление, что делает его первым «фильмом», который когда-либо видели дети, и для многих из них единственным. Замена EG теорией чисел или комбинаторикой, как предлагалось другим, заменит брак визуального с последовательным браком последовательного с последовательным.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Также в Израиле довольно давно (судя по моим родителям, мне и моим детям) в школах преподают евклидову геометрию. Мне лично нравится идея преподавания и первой встречи с математическими аксиомами, определениями и доказательствами, а также встречи с геометрическим мышлением. Для изучения того, что такое математическое доказательство, я сомневаюсь, что какой-либо из предложенных заменителей даже приблизится к нему.

Но мне не ясно, насколько важно вообще обучать (всех) понятию математического доказательства в старшей школе.

$\endgroup$

28

$\begingroup$

Было бы интересно отметить, что поддержка удаления аксиоматически преподаваемой евклидовой геометрии (не всей геометрии) из школьного образования появилась еще до Бурбаки. Оливер Хевисайд (1850–1925), британский математик, который также внес важный вклад в физику, написал в своей «Электромагнитной теории», т. 1 (1893):

«Что касается необходимости усовершенствования, то не может быть и речи, пока продолжается царствование Евклида. Моя собственная идея полезного курса состоит в том, чтобы начать с арифметики, а затем не Евклида, а алгебры. Затем не Евклида, а практической геометрии, твердого тела. а также плоскость;не демонстрация, а знакомство.Тогда не Евклид,а элементарные векторы,соединенные с алгеброй,и примененные к геометрии.Сначала сложение,потом скалярное произведение.Элементарное исчисление должно идти одновременно,и войти в векторно-алгебраическое геометрия немного позже. Евклид может быть дополнительным курсом для ученых мужчин, таких как Гомер. Но Евклид для детей — варварство».

$\endgroup$

$\begingroup$

Полностью с вами согласен. Всем важно ознакомиться с доказательствами, потому что они показывают им, что такое математика на самом деле — рассуждения, а не вычисления. Математический образ мышления очень ценен для развития общих навыков критического мышления и наиболее тщательного и точного рассуждения. Я считаю, что нет никакой замены. Вы также попадаете в самую точку, когда указываете, что евклидова геометрия — отличное средство для изучения того, что такое доказательства. Предмет связан с интуицией, и легко увидеть, что предложения и аргументы хорошо мотивированы и доступны для новичка. Как вы упомянули, эмпирически было установлено, что новичку трудно делать доказательства по другим темам.

Как мы можем ожидать, что наши студенты преуспеют, если в среднем образовании не хватает необходимой подготовки? Если математическое образование является подходящей темой для обсуждения здесь, то, безусловно, имеет значение отношение школьной программы к подготовке студентов.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вам необходимо установить цель и причину цели. Пример: «Моя средняя школа требует, чтобы все прошли курс, охватывающий эту программу по евклидовой геометрии» для цели и «потому что это интеллектуально обогащает и потенциально полезно» в качестве причины.

Не думаю, что это хороший пример. Вот другой пример: «Требовать знания евклидовой геометрии и ее приложений для окончания средней школы» в качестве цели, по причине того, что «нашему обществу нужны инженеры, техники и другие работники, которые будут использовать знания и приложения для улучшения нашей жизни». сообщество.» Этот пример мне нравится немного больше, потому что причина кажется более конкретной; к сожалению, я не знаю, действительна ли причина.

В нынешнем виде вашего вопроса я не вижу хорошего сочетания цели и разума. Когда у вас будет это, у вас будет основа для отстаивания своей цели.

Если цель состоит в том, чтобы помочь учащимся изучить доказательства, я мог бы предложить ознакомиться с образовательными стандартами Common Core, действующими в Соединенных Штатах. Особое внимание уделяется хорошему общению и самовыражению в широком диапазоне областей обучения, и я бы сочетал это со способностью приводить аргументы в различных стилях: логических, эмоциональных, вдохновляющих, для начала. Я бы предложил курс или два, в которых представлены аргументы в геометрии, алгебре, анализе, дискретной математике и логике, чтобы можно было попробовать различные виды доказательств, которые встречаются в этих областях.

Герхард «Также дает свежее мятное дыхание» Пасеман, 2013.12.19

$\endgroup$

2

О А.В. Погорелов — Геометрия, дифференциальные уравнения и анализ

А.В. Погорелов родился 3 марта 1919 года в городе Короча под Белгородом (Россия). На «ферме» его отца была всего одна корова и одна лошадь. Во время коллективизации их у него забрали. Однажды отец пришел в колхозную конюшню и нашел свою лошадь, измученную, умирающую от жажда, а жених был пьян. Василий Степанович ударил жениха, бывшего нищего. Об этом инциденте сообщалось так, как будто кулак избил крестьянина, а Василий Степанович был вынужден бежать из города с женой Екатериной Ивановной, не взяв даже детей. Через неделю Екатерина Ивановна тайно вернулся за детьми. Так А. В. Погорелов попал в Харьков, где его отец стал строителем на здании тракторного завода. А.В.Погорелов рассказал мне историю о том, как пострадали его родители во время коллективизации, я услышал от него только в 2000 году. На мой взгляд, эти События оказали сильное влияние на его жизнь и на образ его общественного поведения. Он всегда был очень осторожен в выражениях и любил цитировать мать, которая твердила: молчание — золото. Однако он никогда не делал того, что противоречило его политическим взглядам. Несколько раз ему удалось сбежать вступление в Коммунистическую партию (что было почти обязательным для человека его масштаба в СССР). Насколько я знаю, он никогда не подписывал никаких писем. осуждения инакомыслящих, но, опять же, и любых писем в их поддержку. Несколько раз избирался в Верховный Совет Украины (правда, как он сказал позже, против его воли).

Математические способности А.В.Погорелова проявились еще в школе. Его школьное прозвище было Паскаль. Он стал победителем одного из первых школьных математических олимпиад, организованных Харьковским университетом, а затем нескольких Всеукраинских математических олимпиад. Еще один талант А.В.Погорелова была картина. Родители не знали, какую профессию ему выбрать. Его мать обратилась за советом к учителю математики сына. Он посмотрел картины и сказал, что у мальчика блестящие способности, но во времена индустриализации живопись не даст ресурса для жизни. Этот совет определил их выбор. В 1937 лет Алексей Васильевич стал студентом математического отделения физико-математического факультета Харьковского университета.

Его страсть к математике сразу привлекла внимание учителей. Профессор П.А.Соловьев подарил ему книгу Т.Боннезена и В.Фенхеля «Теория выпуклых тел». С этого момента и на всю жизнь главным интересом Алексея Васильевича стала геометрия. Его учеба была прервана войной. Его призвали и отправили учиться в Военно-воздушную академию имени Жуковского. Но он все еще думает о геометрии. 19 августа43, в письме к профессору Я.П.Бланку он говорит: «Очень жалею, что оставил в Харькове конспекты Боннецена и Фенхеля по выпуклым телам. В геометрии «в целом» много интересных задач». .. Есть ли у вас какая-нибудь интересная проблема геометрии «в целом» или геометрии вообще?»

После окончания Академии в 1945 г. А.В.Погорелов приступает к работе инженером-конструктором Центрального аэрогидродинамического института. Но желание закончить университетское образование (он закончил четыре года из пяти) и работа по геометрии приводит его в Московский университет. А.В.Погорелов — спрашивает академик И.Г.Петровский, руководитель Факультет механики и математики, сможет ли он закончить свое образование. Когда Петровский узнал, что Алексей Васильевич уже закончил 5 Жуковского академии, он решил, что в формальном окончании университета необходимости нет. Когда А.В.Погорелов проявил интерес к геометрии, И.Г.Петровский посоветовал ему обратиться к В.Ф.Кагану. В.Ф.Каган спросил, в какой области геометрии был Алексей Васильевич заинтересовались, и ответ был: выпуклая геометрия. Каган сказал, что это не его компетенция, и предложил связаться с А.Д.Александровым, который в это время находился в Москве, готовясь к альпинистская экспедиция на Б.Н.Делоне квартире (А.Д.Александров был мастером спорта по альпинизм, а Б. Н. Делоне был пионером Советское альпинизм).

Первое прослушивание длилось десять минут. Сидя на рюкзаке, А.Д.Александров задал Алексею Васильевичу следующий вопрос: верно ли, что на замкнутой выпуклой поверхности гауссовой кривизны \( K \leq 1 \) любой геодезический отрезок длин не более \(\pi\ ) минимизируется? Это взял А.В. год, чтобы ответить на этот вопрос (утвердительно) и опубликовать результат в 1946 г. Многомерное обобщение его теоремы является хорошо известным теорема римановой геометрии, доказанная в 19{2n}\) секционной кривизны, удовлетворяющей \(0). В нечетномерном случае нужна двусторонняя оценку кривизны, чтобы получить тот же результат, а именно \(0

Несколько лет назад я спросил Алексея Васильевича, почему советские математики в то время не проявлял большого интереса к глобальной римановой геометрии. Он ответил: «У нас было достаточно интересных задач для размышлений». Однако, как сказал мне потом В.А.Топоногов, первый человек, который оценил его теорему сравнения для треугольников в римановом пространстве. А.В.Погорелова (на мой взгляд, правильнее было бы назвать эту теорему Теорема Александрова-Топоногова, так как А.Д.Александров открыл и доказал ее для общих выпуклых поверхности в трехмерном евклидовом пространстве).

Алексей Васильевич поступил в заочную аспирантуру г. Москвы государственного университета под руководством профессора Н.В.Ефимова. Прочитав рукопись А.Д.Александрова книгу «Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей», он начинает свою работу в геометрия общих выпуклых поверхностей.

Одна из главных ролей научного руководителя, по мнению Н. В.Ефимова, заключалась в том, чтобы вдохновить аспиранта на решение сложных и сложных задач. Я выступал с многочисленными докладами как у Н.В.Ефимова, так и у А.В.Погорелова. семинары. Они были очень разными по стилю. Н.В.Ефимова семинар собирался долго, затем беседа длилась часа два и более, и говорить всегда очень горячо хвалили, так что понять было почти невозможно реальная стоимость результата. СРЕДНИЙ. всегда начинали вовремя, очень пунктуально. доклад длился не более часа. СРЕДНИЙ. не хотел вдаваться в подробности доказательства (вероятно, потому, что во многих случаях после формулировки теоремы он это можно было сразу доказать).

В оценке результатов был строг и даже суров. За Например, в 1968 г. трое докторантов защитили свои диссертации. на Погореловском семинаре в Харькове. Он поддержал только один из них, В.А.Топоногов, и отверг двое других, отправившиеся в Новосибирск к А.Д.Александрову. Все три диссертации впоследствии были успешно защищены.

А.В. хвалил редко, но когда хвалил – значит, результат был действительно хорошо. У него было очень быстрое мышление, огромная геометрическая интуиция и очень быстро понял суть результата. Многие участники семинара были Боюсь задавать вопросы, чтобы не выглядеть глупо.

В 1947 г. А.В.Погорелов защитил кандидатскую диссертацию. Основной результат его тезисом была следующая теорема: всякая общая замкнутая выпуклая поверхность обладает тремя замкнутыми квазигеодезическими. Эта теорема обобщает теорему Люстерника — Шнирельмана о существование трех замкнутых геодезических на замкнутой регулярной выпуклой поверхности (a квазигеодезическая является обобщением геодезической; как слева, так и справа «повороты» квазигеодезической неотрицательны; например, объединение двух образующих круглого конуса, делящих угол конуса на два половинки является квазигеодезической).

После защиты кандидатской диссертации А.В. увольнение из армии службе и переезжает в Харьков (вероятно, это было непросто сделать в тогда: он был уволен тем же приказом Обороны Министр, как сын М.М. Литвинова, бывшего министра иностранных дел СССР). Через год защищает докторскую диссертацию. об однозначном определении выпуклой поверхности ограниченной относительной кривизны. Вскоре после этого он доказывает теорему об однозначной детерминации в наиболее общие настройки.

До 1970 года А.В.Погорелов преподавал в Харьковском университете. Основываясь на этом конспекты лекций, он опубликовал серию блестящих учебников по аналитическому и дифференциальная геометрия и основы геометрии. Иногда во время рутины лекций, он думал о своих исследованиях. Анекдот гласит, что на одном из таких лекции, размышляя о чем-то совершенно другом, он начал импровизировать и стал потерянным. Затем он открыл учебник со словами: «Что значит автор говорите по теме? О да, это очевидно. . . «. Напротив, при чтении лекций на интересующую его тему А.В.Погорелов был с большим энтузиазмом и вдохновением (помню один из его курсов по топологии для студенты 4 курса). Но, возможно, лучшее из его лекционного блеска было замечено когда он представлял свои собственные результаты. Его доклады были настоящим художественным перформансом. По его мнению, одним из наиболее ценных качеств математического результата является своей красотой и естественностью. Вот почему он обычно опускал технические подробности, и ради простоты и красоты был готов пожертвовать общностью.

А.В.Погорелов был автором одного из самых популярных школьных учебников в геометрии. Это началось следующим образом. Был членом комиссии по школьное образование, руководителем которого был А.Н.Колмогоров. СРЕДНИЙ. не согласен с учебником, написанным А.Н.Колмогоровым и его соавторов и написал собственное пособие для учителей по элементарной геометрии, в котором он построил весь школьный курс геометрии, начиная с набора естественные и интуитивные аксиомы. Пособие было опубликовано в 1969 году и сформировало основой для его школьного учебника. СРЕДНИЙ. говаривал: «Мой учебник — усовершенствованный учебник Киселева» («Элементарная геометрия» А.П.Киселева, наверное, самая известная русскоязычная школьный учебник геометрии; Впервые он был опубликован в 189 г. 2, с последним изданием в 2002; Киселева изучали многие поколения студентов. «Геометрия»). Первая редакция А.В.Погорелова. учебник вызвал резкую критику со стороны А.Д.Александрова которого Погорелов глубоко уважал. Этот критика основывалась на реализации аксиоматического подхода еще в шесть в школе: «Какой смысл доказывать «очевидные» утверждения (из точки зрения ученика)?». После переработки учебника эти разногласия были разрешены, и они оставались в крепкой дружбе до последние дни А.Д.Александрова.

Алексей Васильевич был человеком высшей порядочности. Когда пятилетний заключен договор с издательством «Просвещение». подходил к концу, другой издатель предложил ему весьма заманчивый контракт. Он отказали на единственном основании, что это будет несправедливо по отношению к редактору учебник. Следует отметить, что деньги на школьный учебник переиздания были основным источником его существования в середине 90-х гг.

А.В.Погорелов сказал мне, что И.Г.Петровский пригласил его в Московский университет, И. М.Виноградов пригласил в Московский математический институт, А.Д.Александров несколько раз приглашали в Ленинград. Он даже провел один год (1955-1956) в Ленинград, но затем вернулся в Харьков. Он предпочитал оставаться в Харькове, вдали от суеты и шума столиц. В Харькове он доказывал свои теоремы, а в Москву и Ленинград ездил в светить.

Алексей Васильевич Погорелов был человеком, наделенным невероятным природный талант в сочетании с постоянным неустанным трудом.

К началу 20 века, методы решения локальных проблем, связанных с регулярной поверхности были разработаны. К тридцатым годам были разработаны методы решение задач по геометрии «в целом». Эти методы были относится главным образом к теории уравнений в частных производных. Математики были беспомощны, когда поверхности были неровными (имели конические точки, ребристые точек) и когда внутренняя геометрия задавалась не регулярным положительным определенной квадратичной формы, а просто метрическим пространством достаточно общего вида. Произошел прорыв в изучении неправильных метрик и неправильных поверхностей. работы выдающегося геометра А.Д. Александрова. Он построил теорию метрических пространств неотрицательной кривизны, позже названную пространствами Александрова. Как частный случай теория охватила внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей (границу произвольное выпуклое тело). А. Д. Александров начал изучить связи между внутренней и внешней геометрией неровные выпуклые поверхности. Он доказал, что любая метрика неотрицательной кривизны заданной на двумерной сфере (включая неправильную метрику, определяемую как метрическое пространство с внутренней метрикой) может быть изометрически погружается в трехмерное евклидово пространство в виде замкнутой выпуклой поверхность, но ответы на следующие фундаментальные вопросы были неизвестны:

1. Уникально ли погружение до движения?
2. Если метрика, заданная на сфере, является правильной метрикой положительной гауссовой кривизны, то является ли поверхность с этой метрикой регулярной?
3. Г. Минковский доказал теорему существования замкнутой выпуклой поверхности с гауссовой кривизной, заданной как функция единичной нормали при некотором естественном условии для этой функции. Но оставался открытый вопрос: если функция регулярна на сфере, то регулярна ли сама поверхность?

После решения этих проблемы, теория, созданная Александровым, получили «полное гражданство» в математике и могли применяться также в классический регулярный случай. Каждый из этих На 3 вопроса положительно ответил А.В. Погорелов . Используя синтетические геометрические методы, он разработал геометрические методы для получения априорные оценки решений уравнения Монжа-Ампера уравнения. С одной стороны, он использовал эти уравнения для решения геометрических проблемы; с другой стороны, исходя из геометрических соображений, он построил обобщенное решение уравнения Монжа-Ампера уравнения, а затем доказал его регулярность для регулярной правой части. По факту, в этих пионерских работах А. В. Погорелов заложил основа геометрического анализа. На этом пути он получил следующее фундаментальные результаты: 9{к-1,\альфа}\).

Для доменов на выпуклых поверхностей утверждения 1) и 2) неверны. Локальное и глобальное свойства поверхностей существенно различаются. По доказательству утверждения 1) А.В. Погорелов завершил решение проблемы открыто уже более века. Первый результат в это направление было получено Коши для замкнутых выпуклых многогранников в 1804 г. Напомним, что две поверхности называются изометричными, если существует отображение одной поверхности на другую, сохраняющее длины соответствующие кривые.

Теоремы, доказанные Погореловым легли в основу его нелинейной теории тонких оболочек 90 258 . В этой теории рассматриваются те упругие состояния оболочки, существенно отличающиеся от исходной формы. Под при таких деформациях средняя поверхность тонкой оболочки изгибается с сохранение метрики. Это позволяет, используя теоремы, доказанные Погорелова для выпуклых поверхностей, исследовать устойчивость потеря и сверхкритическое упругое состояние выпуклых оболочек под действием заданная нагрузка. {k+1, \nu}\) \((0

Самая трудная часть Доказательство теоремы заключалось в получении априорных оценок производных опорная функция гиперповерхности до трети заказ включительно. Метод априори Погорелова оценки использовал С.-Т. Яу для получения априорных оценок решений комплексное уравнение Монжа-Ампера. Это было главным этап доказательства существования системы Калаби-Яу многообразия, которые играют важную роль в теоретической физике. Уравнение Монжа-Ампера имеет вид $$|Z_{ij}|=f(x_1,…,x_n,Z,Z_1,…,Z_n)$$ 9{n/2+1}}$$

В то время не существовало подхода к изучению этого полностью нелинейного уравнения. А. В. Погорелов создал теорию уравнения Монжа — Ампера с использованием геометрических методов . Во-первых, идя от многогранников, он доказал существование обобщенных решений в естественных условиях в правой части. После этого он нашел априорные оценки производных до третьего порядка включительно для регулярных решений. Используя априорные оценки, он доказал регулярность строго выпуклых решений, существование решений задачи Дирихле и их регулярность. Уравнение Монжа-Ампера является важным компонентом транспортной задачи Монжа-Канторовича; он используется в конформной, аффинной, келеровой геометриях, в метеорологии и в финансовой математике. Как-то А.В. Погорелов сказал об уравнении Монжа-Ампера: «Это отличное уравнение, с которым я имел честь иметь дело» .

Одна из самых концептуальных работ А.В. Погорелов ссылается на цикл работ о гладких поверхностях ограниченной внешней кривизны . А. Д. Александров создал теорию общих метрических многообразий, естественным образом обобщающих римановы многообразия. В частности, он ввел класс двумерных многообразий ограниченной кривизны. Ими исчерпывается класс всех метризованных двумерных многообразий, допускающих в окрестности каждой точки равномерную аппроксимацию римановыми метриками с ограниченной в совокупности абсолютной интегральной кривизной (т. е. интегралом модуля гауссовой кривизны). 91\)-гладких поверхностей с требованием на ограниченность площади сферического изображения с учетом кратности покрытия в некоторой окрестности каждой точки поверхности. Такие поверхности называются поверхностями ограниченной кривизны.

Для таких поверхностей также существует очень тесная связь между внутренней геометрией поверхности и ее внешней формой: полная поверхность с ограниченной внешней кривизной и неотрицательной внутренней кривизной (не равной нулю) является либо замкнутой выпуклой поверхностью, либо бесконечная выпуклая поверхность; полная поверхность с нулевой внутренней кривизной и ограниченной внешней кривизной является цилиндром. 91\)-поверхность несет регулярную метрику положительной гауссовой кривизны, то отсюда не следует локальная выпуклость поверхности. Этим подчеркивается естественность введенного А. В. Погореловым класса поверхностей ограниченной внешней кривизны.

А. В. Погорелов решил четвертую проблему Гильберта , поставленную Д. Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. Он нашел все, с точностью до изоморфизма, реализации систем аксиом классической геометрии (Евклид, Лобачевского и эллиптическая), если опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и дополнить эти системы аксиомой «неравенства треугольника».

• Die eindentige Bestimmung allgemeiner konvexer Flachen. — Берлин: Акад. Верл., 1956.- 79 с.
• Die Verbiegung konvexer Flachen. — Берлин: Верл., 1957. — 135 с.
• Einige Untersuchungen zur Riemannschen Geometrie «im Grossen» — Берлин: VEB Deutsch. Верл. Висс., 1960. – 71с.
• Вопросы теории поверхностей в эллиптическом пространстве – Нью-Йорк: Гордон и Брич, 1961. – 130 с.
• Уравнения Монжа – Ампера эллиптического типа. — Гронинген: П. Нордхофф, 19 лет.64.- 114 с.
• Некоторые результаты по теории поверхностей в целом. — Продвигает математику. – 1964. – 1, №2. – С. 191-264.
• Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. – Провиденс, Р.И.: АМС, 1973. – 665 с.
• Многомерная задача Минковского. — Вашингтон: Скрипта, 1978. — 106 с.
• Четвертая проблема Гильберта. — Вашингтон: Скрипта, 1979. — 97 с.
• Изгиб поверхностей и устойчивость оболочек. — Провиденс, Р.