Алгебра. 7 класс. Учебник (Сергей Никольский, Михаил Потапов, Николай Решетников, Александр Шевкин)
1 535 ₽
1 151 ₽
+ до 230 баллов
Бонусная программа
Итоговая сумма бонусов может отличаться от указанной, если к заказу будут применены скидки.
Купить
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.
Осталось мало
В наличии в 79 магазинах. Смотреть на карте
10
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.
Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС.
Также в конце учебника приводится список дополнительной литературы и Интернет-ресурсов.Описание
Характеристики
Данный учебник является первой частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС. Содержание учебника позволяет дать учащимся хорошую подготовку по алгебре в объёме традиционной общеобразовательной программы или программы для классов с углублённым изучением математики. Теоретическая часть учебника оптимальна по объёму, материал излагается ясно и точно, рассматриваемые примеры очень подробно и в то же время лаконично объясняют основные приёмы решения типовых упражнений. Система задач, разбитых на рубрики, помогает ученикам ориентироваться в способах деятельности. Специально выделены в задачном материале задания для устной работы, старинные задачи и задачи более высокого уровня сложности (необязательные для всех).
Просвещение
Как получить бонусы за отзыв о товаре
1
Сделайте заказ в интернет-магазине
2
Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили
3
Дождитесь, пока отзыв опубликуют.
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя.
Можно писать
неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в
первой десятке.
Правила начисления бонусов
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.
Хороший учебник
Плюсы
Понравилось , что есть задания для устной работы и задания более высокого уровня сложности, а также присутствуют задания на исследования.
Минусы
Нет.
Книга «Алгебра. 7 класс. Учебник» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене.
Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом
другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу
Сергей Никольский, Михаил Потапов, Николай Решетников, Александр Шевкин
«Алгебра.
7 класс. Учебник» и выбрать удобный способ его получения: самовывоз, доставка курьером или отправка
почтой. Чтобы покупать книги вам было ещё приятнее, мы регулярно проводим акции и конкурсы.
Алгебра. 7 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К. и др.
Учебник представляет собой новый тип учебника, который содержит материал, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением Математики. Учащиеся могут переходить с одной Программы обучения на другую, не меняя книги.
Главы заканчиваются дополнительным материалом, в котором приводятся «Исторические сведения» и «Задания для повторения», содержащие много вычислительных упражнений и текстовых задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. Действительные числа
§ 1. Натуральные числа 5
1.1. Натуральные числа и действия с ними —
1.2. Степень числа 7
1.3. Простые и составные числа 9
1.4. Разложение натуральных чисел на множители 11
§ 2. Рациональные числа 14
2.1. Обыкновенные дроби.
Конечные десятичные дроби —
2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь 17
2.3. Периодические десятичные дроби 19
2.4*. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби 22
2.5. Десятичное разложение рациональных чисел 26
§ 3. Действительные числа 29
3.1. Иррациональные числа —
3.2. Понятие действительного числа 30
3.3. Сравнение действительных чисел 32
3.4. Основные свойства действительных чисел 34
3.5. Приближения чисел 38
3.6. Длина отрезка 42
3.7. Координатная ось 45
Дополнения к главе 1 47
1. Делимость чисел —
2. Исторические сведения 54
ГЛАВА 2. Алгебраические выражения
§ 4. Одночлены 59
4.1. Числовые выражения —
4.2. Буквенные выражения 63
4.3. Понятие одночлена 66
4.4. Произведение одночленов 68
4.5. Стандартный вид одночлена 72
4.6. Подобные одночлены 74
§ 5. Многочлены 76
5.1. Понятие многочлена —
5.2. Свойства многочленов 78
5.3. Многочлены стандартного вида 79
5.
4. Сумма и разность многочленов 82
5.5. Произведение одночлена и многочлена 85
5.6. Произведение многочленов 87
5.7. Целые выражения 92
5.8. Числовое значение целого выражения 94
5.9. Тождественное равенство целых выражений 97
§ 6. Формулы сокращённого умножения 100
6.1. Квадрат суммы —
6.2. Квадрат разности 102
6.3. Выделение полного квадрата 104
6.4. Разность квадратов 107
6.5. Сумма кубов 109
6.6. Разность кубов 111
6.7*. Куб суммы 113
6.8*. Куб разности 114
6.9. Применение формул сокращённого умножения 115
6.10. Разложение многочлена на множители 118
§ 7. Алгебраические дроби 124
7.1. Алгебраические дроби и их свойства —
7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю 128
7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями 130
7.4. Рациональные выражения 136
7.5. Числовое значение рационального выражения 139
7.6. Тождественное равенство рациональных выражений 144
§ 8. Степень с целым показателем 148
8.
1. Понятие степени с целым показателем —
8.2. Свойства степени с целым показателем 152
8.3. Стандартный вид числа 155
8.4. Преобразование рациональных выражений 157
Дополнения к главе 2 161
1. Делимость многочленов —
2. Исторические сведения 168
ГЛАВА 3. Линейные уравнения
§ 9. Линейные уравнения с одним неизвестным 171
9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным —
9.2. Линейные уравнения с одним неизвестным 174
9.3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным 177
9.4. Решение задач с помощью линейных уравнений 180
§ 10. Системы линейных уравнений 182
10.1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными —
10.2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 186
10.3. Способ подстановки 189
10.4. Способ уравнивания коэффициентов 192
10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений 195
10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными 200
10.7*. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 203
10.
8*. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными 206
10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени 208
Дополнения к главе 3 216
1. Линейные диофантовы уравнения
2. Метод Гаусса 220
3. Исторические сведения 223
Задания для повторения 225
Задания на исследование 269
Задания для самоконтроля 271
Список дополнительной литературы 273
Предметный указатель 275
Ответы 276
Что называется значением алгебраической дроби. Основные понятия
Когда ученик переходит в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задачи усложняются. Некоторые люди с трудом понимают дроби. Пропустил первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.
Понятие алгебраической дроби
Начнем с определения. До 9 лет0007 алгебраическая дробь P/Q выражения понятны, где P — числитель, а Q — знаменатель. Число, числовое выражение, числовое-алфавитное выражение может быть скрыто под буквенной записью.
Прежде чем задаться вопросом, как решать алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.
Как правило, целое равно 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей была разделена единица. Числитель нужен для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В данном случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.
Основное правило обыкновенных дробей
Когда учащиеся проходят эту тему в школе, им даются примеры для закрепления. Чтобы правильно их решать и находить разные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.
Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличное от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является деление обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.
Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, выполнять умножение, деление и сокращение дробей.
Математические действия с дробями
Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, вы всегда должны следовать правилам.
Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно этот пункт опустить. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Сложите или вычтите числители. Но! Необходимо помнить, что если перед дробью стоит знак «-», все знаки в числителе меняются местами. Иногда не следует производить никаких подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.
Термин часто используется как сокращение дроби . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаковое для обеих частей), то получится новая дробь. Делимое и делитель меньше, чем раньше, но из-за основного правила дробей они остаются равными исходному примеру.
Целью этой операции является получение нового неприводимого выражения. Эту задачу можно решить, сократив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм работы состоит из двух пунктов:
- Нахождение НОД обеих частей дроби.
- Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.
В таблице ниже показаны формулы. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникало затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.
Некоторые примеры с решениями
С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Приведенные в статье примеры помогут лучше понять материал.
1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.
2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.
После изучения теоретической части и рассмотрения практических вопросов вопросов больше возникнуть не должно.
В этом уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек сталкивается в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждый получит свой кусок пирога. В этом случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, но возможна ситуация, когда предмет делится на неизвестное количество частей, например, на х. В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимые значения переменных.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические действия над алгебраическими дробями
Урок: Основные понятия
1. Определение и примеры алгебраических дробейРациональные выражения делятся на целых и дробных выражений.
Определение. рациональная дробь представляет собой дробное выражение вида , где – многочлены. — знаменатель числителя.
Примеры рациональных выражений: — дробные выражения; являются целочисленными выражениями. В первом выражении, например, числитель равен , а знаменатель равен .
Значение алгебраической дроби , как и любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .
2. Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях переменных, входящих в нее.
Пример 1. Вычислить значение дроби для а), б), в)
Решение. Подставьте в указанную дробь значения переменных: а), б), в) — не существует (поскольку на ноль делить нельзя).
Ответ: 3; один; не существует.
Как видим, для любой дроби есть две типовые задачи: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений литеральных переменных.
Определение. Допустимые значения переменных — это значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Совокупность всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или домен .
3. Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменнойЗначение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби для этих значений равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, так как дробь можно вычислить.
Пример 2. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.
Раствор. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недействительными будут только те значения переменной, у которых знаменатель будет равен нулю. Знаменатель дроби, значит решаем линейное уравнение:
Следовательно, для значения переменной дробь не имеет смысла.
Из решения примера следует правило нахождения недопустимых значений переменных — знаменатель дроби равен нулю и находятся корни соответствующего уравнения.
Давайте рассмотрим несколько подобных примеров.
Пример 3. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.
Раствор. .
Ответ. .
Пример 4. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.
Решение..
Существуют и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это значит — найти все допустимые значения переменных. В нашем примере это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.
Для этого вырежем на ней точку, как показано на рисунке:
Таким образом, дробь домена будет всеми числами кроме 3.
Ответ..
Пример 5. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.
Решение..
Изобразим полученное решение на числовой оси:
Ответ..
4. Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробяхПример 6. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.
Решение.. Мы получили равенство двух переменных, приведем численные примеры: или, и т.д.
Построим это решение на графике в декартовой системе координат:
Рис. 3. График функции.
Координаты любой точки, лежащей на этом графике, не входят в область допустимых значений дроби.
Ответ. .
5. Случай типа «деление на ноль» В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда произошло деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда более интересная ситуация с типом деления.
Пример 7. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.
Решение..
Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .
Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 для , то исходное выражение также может быть вычислено, а значит, имеет смысл и для . Однако, если мы подставим его в исходное выражение, то получим — не имеет смысла.
Ответ..
Чтобы подробнее разобраться в этом примере, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?
(дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю) . Но исходное уравнение надо решать с дробью, а для не имеет смысла, так как при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, это уравнение имеет только один корень.
6. Правило нахождения ОДЗ Таким образом, можно сформулировать точное правило нахождения диапазона допустимых значений дроби: найти ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.
Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби по заданным значениям переменных и нахождение области допустимых значений дроби .
Теперь рассмотрим еще несколько проблем, которые могут возникнуть при работе с дробями.
7. Разные задачи и выводыПример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь .
Доказательство. Числитель — положительное число. . В результате и числитель, и знаменатель — положительные числа, следовательно, и дробь — положительное число.
Доказано.
Пример 9. Известно, что , найти .
Раствор. Разделим дробь почленно. Мы имеем право уменьшить на, учитывая, что для данной дроби недопустимое значение переменной.
Ответ..
В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби .
Библиография
1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.
1. Фестиваль педагогических идей.
2. Старая школа.
3. Интернет-портал lib2.podelise. RU.
Домашнее задание
1. № 4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
2. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является: а) множество, б) множество, в) вся числовая ось.
3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби неотрицательно.
4. Найдите область действия выражения. Подсказка: рассмотрим отдельно два случая: когда знаменатель младшей дроби равен нулю и когда знаменатель исходной дроби равен нулю.
В § 42 было сказано, что если деление многочленов невозможно произвести полностью, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель — знаменателем.
Примеры дробных выражений:
Числитель и знаменатель дробного выражения сами могут быть дробными выражениями, например:
Из дробных алгебраических выражений часто приходится иметь дело с такими, в которых числитель и знаменатель являются полиномами (в частности, мономами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.
Определение. Алгебраическая дробь, представляющая собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами, называется алгебраической дробью.
Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.
В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем преобразовать любое дробное выражение с помощью тождественных преобразований в алгебраическую дробь.
Примеры алгебраических дробей:
Обратите внимание, что все выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно в числителе это выражение записать, а в знаменателе 1.