Увлеченным Антиквариат и ИскусствоВидео, ФильмыВинтажКниги, журналы, газетыКоллекционноеМузыкаСделано своими руками  Электрическое Бытовая техникаЭлектроника и ОптикаВидео, Фото, КиноКомпьютерная техникаТелефоны  Себе и любимым Драгоценности и украшенияДетскоеКрасота и здоровьеОдежда, Обувь и АксессуарыСпорт-снаряжениеЧасыК Новому году  Все в дом Видео, ФильмыДомашний очаг, Сад, ДачаКниги, журналы, газетыМузыкаСтроительство и РемонтФлора и Фауна  Передвигаемся ВоздухоплаваниеАвто, Мото, ЗапчастиПлавсредства  Остальное Для бизнесаНедвижимостьУслугиРазное Или так: Рекомендуемые Новые за день  Новые за 3 дня  Активные торги  Завершающиеся С рубля, $ или € Благотворительные Избранные

Добро пожаловать Мешок — это интернет аукцион, где Вы можете совершать выгодные покупки. Используйте тематические разделы слева или строку поиска сверху. Хотите узнать больше? Как работает аукцион? Зачем регистрироваться? Как покупать? Как продавать? Рекомендованные лоты: (показать все)     Новые лоты     Со ставками     Завершающиеся     Избранные   Наименование Цена Начало SONY G-up2 46 487.00 р. 54 секунды МАРКИ АВСТРИИ 1867Г ВЫСОКИЙ КАТАЛОГ СМОТРИМ СКАН 1. 00 р. 54 секунды СОВРЕМЕННЫЕ ЗДАНИЯ Архитектура 1981 Ирак # 5.00 р. 54 секунды ОТКРЫТКА С Новым Годом! Медведь. Медвежонок на вертолёте. худ. Величкина. 1990 г. ДМПК чистая 120.00 р. 54 секунды Журнал Моды Ленинград 1959-1960 550.00 р. 58 секунд Спичечные этикетки ДОМАШНИЕ ГОЛУБИ 16 шт Балабаново Калужская обл Редкость! 1500.00 р. 01 минута Марки ГДР 1946 30.00 р. 01 минута Смотреть дальше → Набирают популярность ArmaniMMЖЗЛКультовое киноОстрова КукаЧудотворецммглунаконгресспол пенниManfred MannБахMaxi-SingleхирургияВеликая Отечественная война 1941-1945Кубань2 мировая войнаВЧКВыборгDire StraitsПУГОВИЦАХудожественная литератураЭнгельсдетскоебутыльокеанленинностальгиятрубаникель5 сантимов2 шиллинга1897 годКенигсбергшайбаМонетовидный жетонАртистыИФЗaUNC Еще. ..  Вход:  Для Вас и Вашего сайта: • Открой свой магазин • Партнерская программа

Все права защищены 1999-2022 Мешок

Sat, 17 Dec 2022 23:09:13 +0300

Алгебра и начала анализа УЧЕБНИК ДЛЯ 9 И 10 КЛАССОВ (Колмогоров, Абрамов, Вейц) 1987 год

§ 3. Основные свойства тригонометрических функций 33 

5. Периодичность тригонометрических функций — 

6. Исследование функции y = sinx 36 

7. Исследование функции у—cosх 38 

8. Исследование функции y=tgx 40 

9. Исследование функции у=ctgх 43 

§ 4. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 44 

10. Арксинус, арккосинус и арктангенс — 

11. Решение простейших тригонометрических уравнений 48 

12. Решение простейших тригонометрических неравенств 54 

13. Примеры решения тригонометрических уравнений 

и систем уравнений 57 

Сведения из истории 60 

Вопросы и задачи на повторение 61 

Дополнительные упражнения к главе I 66 

Глава II ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 

§ 5. Производили 74 

14. Приближенное вычисление значений функции — 

15. Приращение функции 79 

16. Понятие О производной. Касательная к графику функции 81 

17. Определение производной. Примеры вычисления производной 85 

18. Правила вычислении прошлогодних 88 

19. Производная сложной функции 92 

20. Производные тригонометрических функции 94 

§ 6. Применения производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике 97 

21. Метод интервалов — 

22. Касательная к графику функции, 100 

23. Формулы для приближенных вычислений 104 

24. Производная в физике и технике 106 

§ 7. Применения производной к исследованию функций 111 

25. Признак возрастания (убывания) функций — 

26. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы 114 

27. Примеры применения производной к исследованию функций 118 

28. Наибольшее и наименьшее значения функции 122 

29. Гармонические колебания 126 

Сведения из истории 129 

Вопросы и задачи на повторение 131 

Дополнительные упражнения к главе II 133 

Глава III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ 

§ 8. Первообразная 137 

30. Определение первообразной — 

31. Основное свойство первообразной 139 

32. Три правила нахождения первообразных 142 

§ 9. Интеграл 145 

33. Площадь криволинейной трапеции — 

34. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница 148 

35. Вычисление объемов тел 153 

Сведения из истории 156 

Вопросы и задачи на повторение 158 

Дополнительные упражнения к главе III 159 

Глава IV ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 

§ 10. Обобщение понятия степени 162 

36. Корень n-й степени и его свойства — 

37. Иррациональные уравнения 168 

38. Степень с рациональным показателем 171 

§ 11. Показательная и логарифмическая функции 177 

39. Показательная функция — 

40. Решение показательных уравнений и неравенств 182 

41. Понятие об обратной функции 185 

42. Логарифмическая функция 190 

43. Основные свойства логарифмов 193 

44. Решение логарифмических уравнений и неравенств 197 

§ 12. Производная показательной и логарифмической функций 202 

45. Производная и первообразная показательной функции — 

46. Производная логарифмической функции 206 

47. Степенная функция и ее производная 209 

48. Дифференцированное уравнение показательного роста и 

показательного убывания 213 

Сведения из истории 217 

Вопросы и задачи на повторение 218 

Дополнительные упражнения к главе IV 221 

Задачи повышенной трудности 225 

Материал для повторения 236 

Задачи на повторение всего курса 280 

Приложение 293 

Ответы и указания к упражнениям 297 

Обозначении, встречающиеся в учебном пособии 329 

Предметный указатель 330

 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 

      Абсолютная погрешность 74 аргумент функции 20 арифметическая прогрессия 245 

      — —, разность 245 

      — —, сумма п первых членов 246 

      — —, формула n-го члена 246 

      арккосинус 46 арккотангенс 46 арксинус 45 арктангенс 46 

      Бесконечные интервалы 241 

      — промежутки 241 

      Внутренняя точка 241 выражение с переменными 261 

      Гармонические колебания 127 

      — —, амплитуда 127 

      — —, начальная фаза 127 

      — —, угловая частота 127 

      геометрическая прогрессия 246 

      бесконечная, сумма 247 

      — —, знаменатель 246 

      — —, сумма п первых членов 247 

      — —, формула n-го члена 247 

      геометрический смысл производной 101 гипербола 252 

      график квадратичной функции 259 

      — косинуса 7 

      — котангенса 8 

      — линейной функции 254 

      — логарифмической — 191 

      — показательной — 179 

      — синуса 6 

      — тангенса 7 

      — уравнения 266 

      — функции 20 

      графическое задание функции 21 

      Дискриминант квадратного трехчлена 256 дифференциальное уравнение гармонических колебаний 127 показательного роста и показательного убывания 213 дифференцирование функции 85 длина дуги 3 

      — промежутка 241 

      допустимые значения переменных 261 достаточный признак возрастания функции 112 

      убывания функции 112 

      дробь 262 

      — десятичная 236 

      периодическая 236 

      —, основное свойство 263 

      Единичная окружность 4 

      Законы арифметических действий 238 знаки значений тригонометрических функций 12 

      Интеграл 148 интегрирование 137 интервал 240 

      Касательная к графику функции 100 квадратный трехчлен 256 концы промежутка 241 корень квадратного трехчлена 257 

      — п-й степени из числа 162 

      — — арифметический 162 

      — уравнения 263 

      посторонний 169 

      косинус 4 котангенс 4 

      коэффициент прямой пропорциональной зависимости 250 

      — обратной 252 

      криволинейная трапеция 145 критическая точка функции 114 

      Линия тангенсов 5 логарифм натуральный 204 

      Мгновенная скорость 107 метод интервалов 99 механический смысл производной 107 многочлен 262 

      Независимая переменная 20 необходимый признак экстремума 115 неравенства квадратичные 260 

      — логарифмические 197 

      — показательные 182 

      — тригонометрические 54 

      — числовые 238 

      Область значений функции 18 —определения функции 18 обратная пропорциональность 252 общий вид первообразных 140 

      объединение множеств 19 

      одночлен 262 

      окрестность точки 241 

      основное логарифмическое тождество 190 

      — свойство первообразной 139 основные свойства логарифмов 193 степеней с действительным показателем 181 

      относительная погрешность 242 отрезок 240 

      Парабола 259 первообразная 137 период косинуса 33 

      — котангенса 34 

      — синуса 33 

      — тангенса 34 площадь сектора 3 

      правила вычисления производных 88 

      — нахождения первообразных 142 

      — преобразования систем неравенств в равносильные 264 

      — — уравнений 264 

      предел функции 76 пределы интегрирования 149 преобразование графиков функций 270 

      приближенное значение числа 74 признак максимума функции 116 признак минимума функции 117 принцип математической индукции 227 приращение аргумента 79 приращение функции 79 производная 85 

      — вторая 126 

      — логарифмической функции 206 

      — показательной функции 202 

      — постоянной 86 

      — произведения 89 

      — произведения постоянной на функцию 89 

      — сложной функции 93 

      — степенной функции 210 

      — суммы 88 

      — тригонометрических функций 94 

      — частного 89 промежуток 240 

      — бесконечный 241 

      — возрастания функции 28 

      — знакопостоянства функции 28 

      — полуоткрытый 241 

      — убывания функции 28 пропорция 244 процент 244 

      прямая пропорциональность 250 

      Равносильность неравенств 263 

      — систем уравнений (неравенств) 267 

      — уравнений 263 

      равносильные неравенства с несколькими переменными 265 

      — уравнения 265 

      радиан 3 

      разложение квадратного трехчлена на множители 256 

      расстояние между точками 239 решение квадратичных неравенств 260 

      — неравенства 263 

      — уравнения 263 

      Секущая 80 синус 4 синусоида 7 система неравенств 267 

      — уравнений 267 линейных 268 

      сложная функция 92 степень многочлена 262 

      — одночлена 262 

      схема исследования функции 31 

      Тангенс 4 

      тангенсоида 7 

      теорема Венерштрасса 122 

      — Виета 259 

      — об обратной функции 187 

      —, обратная теореме Виета 259 

      — о корне 44 

      — Ферма 114 

      тождественные преобразования выражений 261 тождество 261 точка критическая 114 

      — максимума 30 

      — минимума 30 

      — экстремума 31 

      тригонометрические неравенства, решение 54 

      — уравнения и системы уравнений, решение 57 

      Угловой коэффициент касательной 100 

      прямой 80 

      уравнение иррациональное 168 

      — квадратное 257 

      — линейное 255 

      — логарифмическое 197 

      — показательное 182 

      — с несколькими переменными 265 

      — с одной переменной 263 

      — тригонометрическое 48 

      Формула корней квадратного уравнения 257 

      — — приведенного 258 

      — косинуса разности 275 суммы 275 

      — Лагранжа 104 

      — Ньютона — Лейбница 148 

      — перехода к логарифмам с другим основанием 194 

      — площади криволинейной трапеции 149 

      — синуса разности 275 суммы 275 

      — тангенса разности 276 сумма 276 

      формулы дифференцирования 279 

      — половинного аргумента 11 

      — приведения 278 

      —, связывающее тригонометрические функции одного аргумента 277 

      — сложения для тригонометрических функций 275 

      — сокращенного умножения 239 

      — суммы и разности косинусов и синусов 278 

      функция 18 

      — возрастающая 21 

      — дифференцируемая 85 

      — дробная часть 20 

      — линейная 254 

      — логарифмическая 190 

      — непрерывная в точке 97 

      — непрерывная на промежутке 98 

      — нечетная 22 

      — обратная 186 

      — периодическая 33 

      — показательная 179 

      — сложная 92 

      — степенная 209 

      — убывающая 21 

      — целая часть 19 

      — четная 22 

      Числа действительные 237 

      — иррациональные 237 

      — натуральные 236 

      — рациональные 236 

      — целые 236 число е 202 

      числовая плоскость 241 

      — последовательность 245 

      — прямая 240 

      Экстремум функции 31

В.

Математика является частью физики. Физика — экспериментальная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, где эксперименты обходятся дешево.

Тождество Якоби (которое заставляет высоты треугольника пересекаться на одной точка) является экспериментальным фактом, таким же, как то, что Земля круглая. (то есть гомеоморфны шару). Но его можно обнаружить с меньшими затратами. расход.

В середине ХХ века была предпринята попытка разделить физику и математика. Последствия оказались катастрофическими. Целые поколения математиков выросли, не зная и половины своей науки и, конечно же, при полном незнании каких-либо других наук. Сначала они начали преподавать свою уродливую схоластическую псевдоматематику своим ученикам, школьников (забывая предупреждение Харди о том, что у уродливой математики нет постоянное место под солнцем).

Поскольку схоластическая математика, оторванная от физики, не годится ни ни для обучения, ни для применения в какой-либо другой науке, в результате всеобщая ненависть к математикам — как со стороны бедняков школьники (некоторые из которых тем временем стали министрами) и пользователей.

Уродливое здание, построенное малообразованными математиками которые были измучены их комплекса неполноценности и не сумевших свыкнуться с физике, напоминает строгую аксиоматическую теорию нечетных чисел. Очевидно, что создать такую ​​теорию и заставить школьников восхищаться можно. совершенство и внутреннюю согласованность получаемой структуры (в которой, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа факторов определены). С этой сектантской точки зрения даже цифры могли быть либо объявлены ересью, либо со временем введено в теорию дополнены несколькими «идеальными» объектами (чтобы соблюсти потребности физики и реального мира).

К сожалению, это была уродливая извращенная конструкция математики, подобная тот, который преобладал в преподавании математики на протяжении десятилетий. Возникнув во Франции, это извращение быстро распространилось на преподавание основ математика, сначала студентам университетов, затем школьникам всех линий (сначала во Франции, затем в других странах, в том числе и в России).

На вопрос «что такое 2+3″ француз ученик начальных классов ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, что сумма была равна и даже не мог понять о чем его спрашивают!

Другой французский ученик (вполне рациональный, на мой взгляд) определял математику как следует: «есть квадрат, но это еще нужно доказать».

Судя по моему преподавательскому опыту во Франции, представление студентов университета о математике (даже из тех, кто преподавал математику в École Normale Supérieure — мне больше всего жалко этих явно интеллигентных но уродливые дети) так же беден, как и у этого ученика.

Например, эти студенты никогда не видели параболоид и вопрос о форма поверхности задается уравнением xy = z ² ставит математиков, обучающихся в ENS, в ступор.

Начиная с первого учебника л’Опиталя по математическому анализу («Исчисление для понимание кривых линий») и примерно до учебника Гурса, способность решать такие задачи считалась (наряду с знание таблицы умножения) необходимая часть ремесла каждого математик.

Умственно отсталые ревнители «абстрактной математики» бросили все геометрия (через которую связь с физикой и реальностью чаще всего имеет место в математике) вне преподавания. Учебники по математическому анализу Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выброшены на свалку. студенческая библиотека университетов Париж 6 и 7 (Жюссье) как устаревшая и, следовательно, вредные (их спасло только мое вмешательство).

Студенты ENS, прошедшие курсы по дифференциальным и алгебраическим геометрия (читается уважаемыми математиками) оказалась незнакомой ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y

Как такое могло случиться во Франции, подарившей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре, Лерэ и Том? Мне кажется разумным объяснение дал И.Г. Петровский, который научил меня в 1966: настоящие математики делают не группируются, но слабым нужны банды, чтобы выжить. Они могут объединиться на различных мотивах (это может быть сверхабстрактность, антисемитизм или «прикладные и производственные» проблемы), но суть всегда в решении социальной проблемы — выживание в условиях более грамотного окрестности.

Кстати, напомню предупреждение Л. Пастера: никогда не никаких «прикладных наук» не было и не будет, есть только приложений наук (весьма полезные!).

Я тогда с некоторым сомнением относился к словам Петровского, а теперь Я все больше и больше убеждаюсь в том, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактная деятельность сводится просто к индустриализации бессовестных захват открытий у первооткрывателей, а затем систематическое присвоение их эпигонам-генерализаторам. Аналогично тому, что Америка не носят имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются имена их первооткрывателей.

Во избежание неправильного цитирования, я должен отметить, что мои собственные достижения по какой-то неизвестной причине никогда не были экспроприированы таким образом, хотя это всегда случилось с обоими моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и мои ученики. Профессор М. Берри однажды сформулировал следующие два принципа:

Принцип Арнольда. Если понятие носит личное имя, тогда это имя не имя первооткрывателя.

Принцип Берри. Принцип Арнольда применим сам к себе.

Вернемся, однако, к преподаванию математики во Франции.

Когда я был студентом первого курса механико-математического факультета МГУ лекции по математическому анализу читал теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно пересказавший старые курс классического исчисления французского типа в версии Гурса. Он сказал нам, что интегралы рациональных функций по алгебраической кривой можно взять, если соответствующее риманово поверхность есть сфера и, вообще говоря, не может быть взята, если ее род выше, а для сферичности достаточно иметь достаточно большое количество двойных точек на кривой заданной степени (что заставляет кривую быть уникурсальным: его реальные точки можно нарисовать на проективной плоскости одним росчерком пера).

Эти факты настолько захватывают воображение, что (даже приведенные без всякого доказательства) они дают лучшее и более правильное представление о современной математике, чем целые тома трактата Бурбаки. Действительно, здесь мы узнаем о существование чудесной связи между вещами, которые кажутся полностью отличается: с одной стороны, существованием явного выражения для интегралы и топология соответствующей римановой поверхности и, с другой стороны, между число двойных точек и род соответствующей римановой поверхности, которые также проявляет себя в реальной области как универсальность.

Якоби отметил, как наиболее увлекательное свойство математики, что в ней и одна и та же функция контролирует оба представления целого число как сумму четырех квадратов и реальное движение маятника.

Эти открытия связей между разнородными математических объектов можно сравнить с открытием связи между электричество и магнетизм в физике или с открытием сходства между восточным побережьем Америки и западным побережьем Африки в геологии.

Эмоциональное значение таких открытий для обучения трудно оценить. переоценивать. Именно они учат нас искать и находить такие чудесные явления гармонии Вселенной.

Дегеометризация математического образования и отрыв от физики разорвать эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебро-геометры в целом не знают о факте Якоби упоминается здесь: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения по эллиптическая фазовая кривая в соответствующей гамильтоновой системе.

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но преподавать идеалы студентам, которые никогда не видели гипоциклоиды, смешной как обучение сложению дробей детей, которые никогда не сокращали (по крайней мере, мысленно) торт или яблоко на равные части. Неудивительно, что дети предпочтут чтобы добавить числитель к числителю и знаменатель к знаменателю.

От моих французских друзей я слышал, что тенденция к сверхабстрактному обобщения — их традиционная национальная черта. я не совсем не согласен, что это может быть, речь идет о наследственном заболевании, но я хотел бы подчеркнуть тот факт, что я позаимствовал пример с пирогом и яблоком у Пуанкаре.

Схема построения математической теории и есть то же самое в любой другой естественной науке. Сначала мы рассматриваем некоторые объекты и делаем некоторые наблюдения в особых случаях. Затем мы пытаемся найти пределы применение наших наблюдений, искать контрпримеры, которые помешали бы неоправданный расширение наших наблюдений на слишком широкий круг событий (пример: количество разделов последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых дает последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но затем идет 29).

В результате мы формулируем сделанное нами эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре) как можно яснее. После этого наступает трудный период проверки надежности являются выводы.

К этому моменту в математике была разработана специальная техника. Этот прием в применении к реальному миру иногда бывает полезен, но может иногда также приводят к самообману. Эта техника называется моделированием. При построении модели делается следующая идеализация: определенные факты, которые известны только с определенной долей вероятности или с определенной степени точности, считаются «абсолютно» правильны и принимаются как «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» именно в том, что мы позволяем себе пользоваться этими «фактами» по правилам формальной логики, при этом объявляя «теоремами» все, что мы можем вывести из них.

Очевидно, что ни в какой реальной деятельности невозможно полностью полагаться на такие выводы. Причина хотя бы в том, что параметры изученных явления никогда не известны абсолютно точно и небольшое изменение параметров (например, начальные условия процесса) могут полностью изменить результат. Скажем, по этой причине надежный долгосрочный прогноз погоды невозможно и останется невозможным, сколько бы мы ни развивали компьютеры и устройства, регистрирующие начальные условия.

Точно так же небольшое изменение в аксиомах (о которых мы не можем совершенно уверен) способен, вообще говоря, привести к совершенно выводы, отличные от тех, которые получаются из теорем, выводится из принятых аксиом. Чем длиннее и изящнее цепочка выводов («доказательств»), тем менее надежен конечный результат.

Сложные модели редко бывают полезны (если только те, кто пишет свои диссертации).

Математическая техника моделирования состоит в игнорировании этой проблемы и говоря о своей дедуктивной модели так, как будто она совпала с реальностью. Тот факт, что этот путь, заведомо неверный с точки зрения естествознания, часто приводит к полезным результатам в физике. назвал «невообразимой эффективностью математики в естественных науках». (или «принцип Вигнера»).

Здесь можно добавить замечание И. М. Гельфанда: существует еще другое явление, сравнимое по своей немыслимости с невероятная эффективность математики в физике, отмеченной Вигнером, — это в равной степени немыслимая неэффективность математики в биологии.

«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для физики состоит именно в том, что абсолютизированная модель отделяется от реальность и уже не сравнивается с ней. Вот простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно определяется начальными условиями (т. е. соответствующим интегралом кривые в (t,x)-плоскости не пересекаются). Этот вывод математическая модель имеет мало отношения к реальности. Компьютер Эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательная полуось t. Действительно, скажем, кривые с начальным условия x(0) = 0 и x(0) = 1 практически пересекаются при t = -10 и при t = -100 вы не можете вместить атом между ними. Свойства пространства при таких малых расстояния вообще не описываются евклидовой геометрией. Применение теорема единственности в этой ситуации явно превосходит точность модель. Это необходимо учитывать при практическом применении модели. иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.

Замечу, однако, что та же теорема единственности объясняет, почему завершающий этап швартовки судна к причалу осуществляется вручную: на рулевом управлении, если бы скорость подхода была определена как гладкая (линейная) функция расстояния, процесс швартовки будет потребовалось бесконечно много времени. Альтернатива – воздействие с причалом (демпфируемым подходящими неидеально упругими телами). Посредством Кстати, с этой проблемой пришлось серьезно столкнуться при посадке первого спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также на стыковку с космосом станции — тут против нас работает теорема единственности.

К сожалению, ни такие примеры, ни обсуждение опасности Теоремы фетишизации можно встретить в современных математических учебниках, даже в лучшие. У меня даже сложилось впечатление, что схоластические математики (кто мало знаком с физикой) верят в принципиальную разницу принадлежащий аксиоматическая математика из моделирования, которое распространено в естествознании и что всегда требует последующего контроля выводов экспериментом.

Не говоря уже об относительности исходных аксиом, нельзя забыть о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в форма поломки компьютера, вызванная космическими лучами или квантовыми колебания). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего на примерах), то через каких-нибудь десять страниц половина всего знаки в формулах будут неверными и двойки найдут дорогу из знаменателей в числители.

Технология борьбы с такими ошибками – это тот же внешний контроль путем эксперименты или наблюдения, как и в любой экспериментальной науке, и это должно быть учат с самого начала всех младших школьников.

Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказ от схемы, используемой в физике (наблюдение — модель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями) и его подстановка по схеме: определение — теорема — доказательство. Немотивированного понять невозможно. определения, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они без труда определили бы произведение натуральных чисел с помощью правила длинного умножения. При этом коммутативность умножения становится трудно проверить. доказать, но все еще возможно вывести его как теорему из аксиом. Тогда можно заставить бедных студентов выучить эту теорему и ее доказательство. (с целью повышения авторитета как науки, так и лица, обучающие этому). Очевидно, что такие определения и такие доказательства могут только навредить обучению и практической работе.

Понять коммутативность умножения можно только на подсчет и пересчет солдат по чинам и шеренгам или путем подсчета площадь прямоугольника двумя способами. Любая попытка обойтись без этого вмешательства физикой и действительностью в математику есть сектантство и изоляционизм, которые разрушить образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах все здравомыслящие люди.

Открою еще несколько таких секретов (в интересах бедных студентов).

Определитель матрицы представляет собой (ориентированный) объем матрицы. параллелепипед, ребра которого являются его столбцами. Если учащимся сказать об этом секрет (который тщательно спрятан в очищенном алгебраическом образовании), тогда вся теория детерминантов становится ясной главой теория полилинейных форм. Если определители определены иначе, то любой здравомыслящий человек будет вечно ненавидеть все детерминанты, якобианцев и теорема о неявной функции.

Что такое группа ? Алгебраисты учат, что это якобы множество с две операции, которые удовлетворяют множеству легко забываемых аксиом. Этот определение вызывает закономерный протест: зачем здравомыслящему человеку такие пары операций? «О, будь проклята эта математика» — заключает студент (который, возможно, станет министром науки в будущее).

Мы получим совершенно другую ситуацию, если начнем не с группы. но с понятием преобразования (однозначное отображение множества на себя) как это было исторически. Совокупность преобразований множества называется группой, если наряду с любыми двумя преобразованиями она содержит результат их последовательного применения и обратного преобразования вместе с каждым преобразованием.

Вот и все определения. Так называемые «аксиомы» на самом деле всего (очевидных) свойств групп преобразований. Какие аксиоматизаторы называть «абстрактными группами» — это всего лишь группы преобразований различных множеств рассматриваются с точностью до изоморфизмов (которые являются взаимно однозначными отображениями сохранение операций). Как доказал Кейли, нет «более абстрактных» группы в мире. Так почему же алгебраисты продолжают мучить студентов с абстрактным определением?

Кстати, в 1960-е годы я преподавал в Москве теорию групп. школьников . Избегая всей аксиоматики и оставаясь как можно ближе возможной физике, за полгода я добрался до теоремы Абеля о неразрешимость общего уравнения пятой степени в радикалах (имеющего попутно учили школьников комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группы и группы монодромии алгебраических функций). Этот курс был позже издано одним из слушателей, В. Алексеевым, как книга Теорема Абеля в задачах .

Что такое гладкий коллектор ? В недавней американской книге я прочитал, что Пуанкаре не был знаком с этим (представлено им самим) понятие и что «современное» определение было дано Вебленом только в конце 1920-х годов: многообразие — это топологическое пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.

За какие грехи студенты должны пытаться найти выход из всех этих поворотов и повороты? На самом деле, в анализе Пуанкаре Location есть абсолютно четкое определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее, чем «абстрактный».

Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R ^N это его подмножество, которое в окрестности каждой своей точки является графом гладкой преобразование R ^k в R ^{(N — k)} (где R ^k и R ^{(N — k)} координаты подпространства). Это прямое обобщение большинства обыкновенный гладкий кривых на плоскости (скажем, круга x ² + y ² = 1) или кривые и поверхности в трехмерном пространстве.

Между гладкими многообразиями естественным образом определяются гладкие отображения. Диффеоморфизмы — это отображения, которые являются гладкими вместе со своими обратными.

«Абстрактное» гладкое многообразие — это гладкое подмногообразие евклидова пространства. рассматривается с точностью до диффеоморфизма. Нет «более абстрактных» конечномерные гладкие многообразия в мире (теорема Уитни). Почему мы продолжаем мучать студентов абстрактным определением? Не лучше ли было бы доказать их теорема о явной классификации замкнутых двумерных многообразия (поверхности)?

Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что любое компактное связная ориентированная поверхность представляет собой сферу с множеством ручек), что дает правильное представление о том, что такое современная математика, а не сверхабстрактный обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, которые на самом деле не дают ничего нового и преподносятся как достижения аксиоматизаторы.

Теорема классификации поверхностей — первоклассная математическая достижение, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это подлинное открытие математического естествознания и является даже сложно сказать относится ли сам факт больше к физике или к математике. В его значение как для приложений, так и для разработки правильных Weltanschauung намного превосходит такие «достижения» математика как доказательство последней теоремы Ферма или доказательство факта что любое достаточно большое целое число можно представить в виде суммы трех простые числа.

Ради рекламы современные математики иногда представлять такие спортивные достижения как последнее слово в своей науке. Понятно, что это не только не способствует пониманию обществом математики но на напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости тратить энергию на (скалолазные) упражнения с этими экзотическими вопросами никому не нужен и не нужен.

Теорема о классификации поверхностей должна была быть включена в высокий школьные курсы математики (наверное, без пруфов), но почему-то не входит даже в университетские курсы математики (из которых во Франции, кстати, вся геометрия была изгнана за последние несколько десятилетий).

Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к представлению важной области естествознание — особенно горячая проблема для Франции. Я был поражен тем, что все лучшее и самое важное в методический подход математические книги здесь почти неизвестны студентам (и, как мне кажется, не переведены на французский язык). Среди них Числа и цифры Радемахера и Тёпица, Геометрия и воображение Гильберта и Кон-Фоссена, Что такое математика? Курант и Роббинс, Как решить и Математика и правдоподобные рассуждения Поля, Развитие математика в 19 веке Ф. Кляйн.

Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел курс исчисления Эрмита. (который есть в русском переводе!) сделанный на меня в школьные годы.

В ней появились римановы поверхности, кажется, в одной из первых лекций (все анализ был, конечно, комплексный, как и должно быть). Асимптотика интегралы исследовались с помощью траекторных деформаций на римановых поверхности при движении точек ветвления (сегодня мы назвали бы это теория Пикара-Лефшеца; Пикард, между прочим, принадлежал Эрмиту. зять — математические способности часто передаются зятья: династия Адамара – П. Леви – Л. Шварц – У. Фриш – это еще один известный пример в Парижской академии наук).

«Устаревший» курс Эрмита столетней давности (вероятно, сейчас выброшены из студенческих библиотек французских университетов) был намного современнее тех самых занудных исчислений учебники, с которыми нынче мучают школьников.

Если математики не одумаются, затем потребители, которые сохранили потребность в современном, в лучшем смысле этого слова, математическая теория, а также как иммунитет (свойственный любому здравомыслящий человек) к бесполезной аксиоматической болтовне в конце концов откажется от услуг малообразованных схоластов как в школах, так и в университетах.

Учитель математики, не разобравшийся хотя бы с некоторыми томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда реликт, как тот, что в наши дни, кто не знает разницы между открытым и закрытым множеством.

В.И. Арнольд

Перевод А.