Контрольные работы для 10 класса по учебнику А.Г.Мордковича (профильный уровень)

Контрольная работа №1 по теме «Действительные числа» (1ч)

Вариант 1

1. Найдите остаток от деления на 11 числа 437.

2. Запишите периодическую дробь 0,(87) в виде обыкновенной дроби.

3. Сравните числа и .

4. Решите уравнение .

_____________________________________________

5. Решите неравенство .

______________________________________

6. Постройте график функции .

Вариант 2

1. Найдите остаток от деления на 19 числа 671.

2. Запишите периодическую дробь 0,(35) в виде обыкновенной дроби.

3. Сравните числа и .

4. Решите уравнение .

________________________________________

5. Решите неравенство

.

________________________________________

6. Постройте график функции .

Контрольная работа №1 по теме «Действительные числа» (1ч)

Вариант 3

1. Найдите остаток от деления на 13 числа 371.

2. Запишите периодическую дробь 0,21(8) в виде обыкновенной дроби.

3. Расположите следующие числа в порядке возрастания: .

4. Решите уравнение .

_____________________________________________

5. Найдите все двузначные нечетные делители числа 2184. ______________________________________________

6. Постройте график функции .

Вариант 4

1. Найдите остаток от деления на 17 числа 392.

2. Запишите периодическую дробь 2,35(7) в виде обыкновенной дроби.

3. Расположите следующие числа в порядке убывания: .

4. Решите уравнение .

______________________________________________

5. Найдите все двузначные четные делители числа 2772

_______________________________________________

6.Постройте график функции

.

Контрольная работа № 2 по теме «Числовые функции». (2ч)

Вариант 1

1. Задает ли указанное правило функцию , если:

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках ─ 2; 1; 5;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию на четность.

3. периодическая функция с периодом Т = 3. Известно, что

а) Постройте график функции; б) найдите нули функции;

в) найдите ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Придумайте пример аналитически заданной функции, определенной на открытом луче .

5. Известно, что функция возрастает на R. Решите неравенство

   .

______________________________________________________________

6. Найдите функцию, обратную функции . Постройте на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

______________________________________

7. Вычислите: .

Контрольная работа № 2 по теме «Числовые функции». (2ч)

Вариант 2

1. Задает ли указанное правило функцию, если:

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках ; 2; 6;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию на четность.

3. периодическая функция с периодом Т = 2. Известно, что

а) Постройте ее график функции;

б) найдите нули функции;

в) найдите ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Придумайте пример аналитически заданной функции, определенной на луче .

5. Известно, что функция убывает на R. Решите неравенство.

_______________________________________________________________________

6. Найдите функцию, обратную функции . Постройте на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

__________________________________________________

7. Вычислите: .

Контрольная работа № 2 по теме «Числовые функции». (2ч)

Вариант 3

1. Задает ли указанное правило функцию, если:

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках 0; 1,5; 10;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию

   на четность.

3. периодическая функция с периодом Т = 4. Известно, что

а) Постройте график функции; б) найдите нули функции;

в) найдите ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Придумайте пример аналитически заданной функции , определенной при всех , кроме точки x = 2.

5. Известно, что функция

   возрастает на R. Решите неравенство .

_______________________________________________________________

6. Найдите функцию, обратную функции . Постройте на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

______________________________________

7. Докажите, что для любого N справедливо равенство .

Контрольная работа № 2 по теме «Числовые функции». (2ч)

Вариант 4

1. Задает ли указанное правило функцию :

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках -0,75; 0; 3.

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию на четность.

3. периодическая функция с периодом Т = 2. Известно, что

а) Постройте график функции;

б) найдите нули функции;

в) найдите ее наибольшее и наименьшее значения.

4. Придумайте пример аналитически заданной функции определенной при всех , кроме точки .

5. Известно, что функция убывает на R. Решите неравенство .

______________________________________________________________

6. Найдите функцию, обратную функции . Постройте на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

______________________________________________________________

7. Докажите, что для любого N справедливо равенство .

Контрольная работа № 3 по теме «Тригонометрические функции». (1ч)

Вариант 1

1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом координат плоскости хОу. Принадлежат ли дуге точки М₁(-1; 0), М₂ (0; -1), М₃, М₄ ?

2. Вычислите: .

3. Вычислите если .

4. Решите неравенство: а) б) .

5. Постройте график функции .

6. Исследуйте функцию на четность и периодичность; укажите основной период, если он существует:

__________________________________________________

7. Сравните числа .

______________________________________

8. Решите неравенство .

Вариант 2

1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом координат плоскости хОу. Принадлежат ли дуге точки М₁, М₂ (0; 1), М₃, М₄ ?

2. Вычислите: .

3. Вычислите , если .

4. Решите неравенство: а)

5. Постройте график функции .

6. Исследуйте функцию на четность и периодичность; укажите основной период, если он существует:

___________________________________________

7. Сравните числа .

__________________________________________

8. Решите неравенство .

Контрольная работа № 3 по теме «Тригонометрические функции». (1ч)

Вариант 3

1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом координат плоскости хОу. Принадлежат ли дуге точки М₁ (1; 0), М₂, М₃, М₄ ?

2. Вычислите: .

3. Вычислите если .

4. Решите неравенство: а)

5. Постройте график функции .

6. Исследуйте функцию на четность и периодичность; укажите основной период, если он существует:

_________________________________________________

7. Расположите в порядке возрастания следующие числа:

_____________________________________

8. При каком значении параметра уравнение имеет единственный корень? Чему он равен?

Вариант 4

1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом координат плоскости XOY. Принадлежат ли дуге точки М₁ (1; 0), М₂, М₃, М₄ ?

2. Вычислите: .

3. Вычислите: , если .

4. Решите неравенство: а)

5. Постройте график функции .

6. Исследуйте функцию на четность и периодичность; укажите основной период, если он существует:

______________________________________________

7. Расположите в порядке возрастания следующие числа: .

_____________________________________

8. При каком значении параметра уравнение имеет единственный корень? Чему он равен?

Контрольная работа № 4 « Аксиомы стереометрии».

Вариант 1

1. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться?

2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В₁, М₁ соответственно. Найдите длину отрезка ММ₁, если АА₁ = 13 м, ВВ₁ = 7 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.

3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и PC, параллельна средней линии трапеции.

Вариант 2

1. Прямые EN и КМ не лежат на одной плоскости. Могут ли прямые ЕМ и NK пересекаться? (Ответ обоснуйте.)

2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В₁, М₁ соответственно. Найдите длину отрезка ММ_1, если АА₁ = 3 м, ВВ₁ = 17 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне CD.

Контрольная работа № 5 по теме «Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства». (2ч)

Вариант 1

1. Вычислите:

2. Постройте график функции .

3. Решите уравнение: а)

б) .

4. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку .

5. Постройте график функции .

__________________________________________________

6. Решите систему неравенств:

а) б)

___________________________________

7. Решите уравнение .

Вариант 2

1. Вычислите:

2. Постройте график функции .

3. Решите уравнение: а)

б) .

4. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку .

5. Постройте график функции .

__________________________________________________

6. Решите систему неравенств:

а) б)

___________________________________

7. Решите уравнение .

Контрольная работа № 5 по теме «Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства». (2ч)

Вариант 3

1. Вычислите:

2. Постройте график функции .

3. Решите уравнение: а)

б) .

4. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку .

5. Постройте график функции .

_______________________________________________

6. Решите систему неравенств:

а) б)

___________________________________

7. Решите уравнение .

Вариант 4

1. Вычислите:

2. Постройте график функции .

3. Решите уравнения: а)

б) .

4. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку .

5. Постройте график функции .

__________________________________________________

6. Решите систему неравенств:

а) б)

___________________________________

7. Решите уравнение .

Контрольная работа №6 по теме «Параллельность в пространстве». (1ч)

Вариант 1

1. Плоскости α и β параллельны, причем плоскость α пересекает некоторую прямую а. Докажите, что и плоскость β пересекает прямую а.

2. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р — середины отрезков АВ, ВС, CD. Докажите, что плоскость КМР параллельна прямым АС и BD.

3. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А₁ и А₂, а дальнюю — в точках В₁ и В₂ соответственно. Найдите длину отрезка B₁B₂, если

А₁А₂ = 6 см и РА₁ : А₁В₁ = 3:2.

4. Постройте проекцию квадрата ABCD, зная проекции его вершин А, B и точки пересечения диагоналей О: точки

Материал по алгебре (10 класс) на тему: Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10-11 класс (базовый уровень). А.Г.Мордкович, В.И.Глизбург

А.Г.Мордкович, В.И.Глизбург (Москва)

Контрольные работы по алгебре

и началам математического анализа

10-11 класс (базовый уровень)

В статье содержатся по два варианта контрольных работ по курсу «Алгебра и начала математического анализа 10-11 (базовый уровень)», ориентированных на учеб- ный комплект, готовящийся к публикации к началу 2008/09 уч. года издательством «Мнемозина» и включенный в Федеральный перечень учебников с грифом «Рекомен- довано»:

        А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа 10-11 (базовый уровень), часть 1. Учебник.

        А.Г.Мордкович и др.Алгебра и начала математического анализа10-11 (базовый уровень), часть 2. Задачник.

        Каждый вариант контрольной работы выстроен по одной и той же схеме: задания условно говоря базового, среднего (обязательного) уровня – до первой черты, задания уровня выше среднего – между первой и второй чертой, задания повышенной сложности – после второй черты. Шкала оценок за выполнение контрольной работы может выглядеть так: за успешное выполнение заданий только до первой черты – оценка 3; за успешное выполнение заданий базового уровня и одного дополнительного (после первой или после второй черты) – оценка 4; ха успешное выполнение заданий всех трех уровней – оценка 5. При этом оценку не рекомендуется снижать за одно неверное решение в первой части работы (допустимый люфт).

        Тематическое планирование было опубликовано в журнале «Математика в школе» ……..

10 класс

Контрольная работа №1 «Действительные числа»

Вариант 1

1. Задает ли указанное правило функцию:

     

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках 0, 1, 3, – 1;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.  

2. Исследуйте функцию  на четность.
3. На числовой окружности взяты точки Найдите все числа t , которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге АВ. Сделайте чертеж.
4. Задайте аналитически и постройте график функции , у которой

     

______________________________________________________________

       5.  Найдите функцию, обратную функции . Постройте      

             на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

_______________________________________

6. Известно, что функция  убывает на R. Решите неравенство

        .    

Вариант 2

1. Задает ли указанное правило функцию:

     

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках   0,  4;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.  

2. Исследуйте функцию  на четность.

3.  На числовой окружности взяты точки Найдите все числа t , которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге АВ. Сделайте чертеж.

4. Задайте аналитически и постройте график функции , у которой

      .

______________________________________________________________

        5.  Найдите функцию, обратную функции . Постройте      

             на одном чертеже графики указанных двух взаимно обратных функций.

_______________________________________

6.Известно, что функция  возрастает на R. Решите неравенство

        .    

Контрольная работа № 2

По теме « Числовые функции»

Вариант 1

1. Вычислите: а);  

         г) ;     д) .

2. Упростите выражение .
3. Решите уравнение: а) ; б) .

____________________________________________________________

4. Известно, что .

     Найдите __________________________________

        5.  Расположите в порядке возрастания следующие числа:          

             .

Вариант 2

1.   Вычислите: а);  

       г) ;       д) .

2.   Упростите выражение .

3.   Решите уравнение: а) ; б) .

____________________________________________________________

4.   Известно, что .

      Найдите .

___________________________________

5.  Расположите в порядке убывания следующие числа:          

                 .

Контрольная работа № 3

По теме «Тригонометрические функции»

Вариант 1

1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции  точка:       а)  ;  б) P  .
2. Исследуйте функцию на четность:

а) ;  б) ;  в) .

3. Исследуйте функцию    на периодичность; укажите    

    основной период, если он существует.

4.  Решите графически уравнение    .

____________________________________________________________

5.  Постройте график функции а) или б):

а) ;   б)  .

___________________________________

6. При каком значении параметра  неравенство

    имеет единственное решение? Найдите это решение.

Вариант 2

1.  Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции  точка:   а) M ;  б) P .

2.  Исследуйте функцию на четность

а) ;   б) ,  в) .

3.  Исследуйте функцию на периодичность; укажите  

     основной период, если он существует.

4. Решите графически уравнение  .

____________________________________________________________

5. Постройте график функции а) или б):

а) ;   б)  .

___________________________________

6. При каком значении параметра  неравенство

      имеет единственное решение? Найдите это решение.

Контрольная работа № 4

По теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

1.  Вычислите:  а)

Контрольные работы по алгебре. 10 класс

Контрольная работа № 1
1 вариант 1). Для функции f (х) = х3 + 2х2 – 1. Найти f (0), f (1), f (-3), f (5). 2). Найти D(у), если: 3). Построить график функции: а).у = – х + 5 б).у = х2 – 2 По графику определить : а). Монотонность функции; б). Ограниченность функции; в). Минимальное ( максимальное ) значение функции 4). Для заданной функции найти обратную:	2 вариант 1). Для функции f (х) = 3х2 – х3 + 2. Найти f (0), f (1), f (-3), f (5). 2). Найти D(у), если: 3). Построить график функции: а).у = х – 7 б).у = – х2 + 2 По графику определить : а). Монотонность функции; б). Ограниченность функции; в). Минимальное ( максимальное ) значение функции 4). Для заданной функции найти обратную:
Контрольная работа № 2 по теме: «Тригонометрические функции числового и углового аргумента»
1 вариант 1). Вычислите: 2). Упростите: 3).Известно, что: . Вычислить . 4). Решите уравнение: . 5). Докажите тождество: .	2 вариант 1). Вычислите: 2). Упростите: 3). Известно, что: . Вычислить . 4). Решите уравнение: . 5). Докажите тождество: .
Контрольная работа № 3 по теме: «Тригонометрические функции»
1 вариант 1). Найти наименьшее и наибольшее значения функций: на отрезке ; на отрезке. 2). Упростить выражение: 3). Исследуйте функцию на четность: 4). Постройте график функции: 5). Известно, что . Докажите, что .	2 вариант 1). Найти наименьшее и наибольшее значения функций: на отрезке ; на отрезке. 2). Упростить выражение: 3). Исследуйте функцию на четность: 4). Постройте график функции: 5). Известно, что . Докажите, что .
Контрольная работа № 4 по теме: «Тригонометрические уравнения»
1 вариант 1). Решить уравнение: 2). Найти корни уравнения на отрезке . 3). Решить уравнение: 4). Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку .	2 вариант 1). Решить уравнение: 2). Найти корни уравнения на отрезке . 3). Решить уравнение: 4). Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Контрольная работа № 5 по теме: «Преобразование тригонометрических выражений»
1 вариант 1). Вычислить: 2). Упростить выражение: 3). Доказать тождество: 4). Решить уравнение а). 5). Зная, что и , найти .	2 вариант 1). Вычислите: 2). Упростить выражение: 3). Доказать тождество: 4). Решить уравнение а). 5). Зная, что и , найти .
Контрольная работа № 6 по теме: «Производная. Уравнение касательной к графику функции»
1 вариант 1). Найдите производную функции: а). ; б). ; в). ; г). ; д). . 2). Найдите угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс касательная к графику функции в точке х0 = 1. 3). Прямолинейное движение точки описывается законом . Найдите ее скорость в момент времени с. 4). Дана функция . Найдите: а). Промежутки возрастания и убывания функции; б). Точки экстремума; в). Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .	2 вариант 1). Найдите производную функции: а). ; б). ; в). ; г). ; д). . 2). Найдите угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс касательная к графику функции в точке х0 = 1. 3). Прямолинейное движение точки описывается законом . Найдите ее скорость в момент времени t = 2с. 4). Дана функция . Найдите: а). Промежутки возрастания и убывания функции; б). Точки экстремума; в). Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Контрольная работа № 8 (итоговая)
1 вариант 1). Дана функция. Составить уравнение касательной к графику в точке с абсциссой . Установить, в каких точках промежутка касательная к графику данной функции составляет с осьюОхугол 600. 2). Решите уравнение: 3). Упростите выражение: а).; б). . 4). Постройте график функции с полным исследованием функции .	2 вариант 1). Дана функция. Составить уравнение касательной к графику в точке с абсциссой . Установить точки минимума и максимума, а также наибольшее и наименьшее значение на промежутке . 2). Решите уравнение: 3). Упростите выражение: а).; б). . 4). Постройте график функции с полным исследованием функции .

Итоговая контрольная работа по алгебре и начала анализа за курс 10 класса (уч. Мордкович А.Г.)

Итоговая контрольная работа по алгебре  и начала анализа за курс 10 класса (уч. Мордкович А.Г.)

Просмотр содержимого документа
«Итоговая контрольная работа по алгебре и начала анализа за курс 10 класса (уч. Мордкович А.Г.)»

Пояснительная записка

к тексту годовой контрольной работы

по алгебре за курс 10 класса (уч. Мордкович А.Г.).

Базовый уровень

Годовая контрольная работа составлена в соответствии с программным материалом курса «Алгебра и начала анализа» и требованиями федеральных государственных образовательных стандартов. Задания данной работы отражают следующие основные темы курса алгебры: «Тригонометрические выражения», «Тригонометрические уравнения», «Производная», «Применение производной».

Работа составлена в форме теста с кратким ответом и состоит из двух частей: Часть1 – 7 заданий базового уровня сложности с кратким ответом, часть 2 – 3 задания повышенного уровня сложности. Структура теста аналогична структуре текстов в формате ЕГЭ, что позволит не только проверить знания, умения и навыки учащихся за курс 10 класса, но и постепенно подготовить к работе с подобным материалом при подготовке и сдаче экзамена. Использованы задания из открытого банка задач ЕГЭ по математике. На выполнение работы отводится 40 минут.

Элементы анализа:

1. Нахождение значения тригонометрического выражения.

2. Решение тригонометрического уравнения и нахождение наименьшего положительного корня.

3. Нахождение значения тригонометрического выражения. Применение формулы косинуса двойного угла.

4. Нахождение значения тригонометрической функции по известной кофункции

5. Нахождение значения производной рациональной функции в точке.

6. Нахождение значения производной тригонометрической функции в точке.

7. Применение производной. Нахождение точек экстремума.

8. а) Решение тригонометрического уравнения методом замены и сведением к квадратному

б) Нахождение корней уравнения, принадлежащих данному отрезку.

1. Применение производной.Нахождение наибольшего и наименьшего значения дробной функции на отрезке.

Несмотря на то, что всего в работе 9 заданий, элементов анализа всего 10. Поэтому критерии оценивания следующие:

«3» — верно выполнено 4-6 заданий

«4» — верно выполнено 7-8 заданий

«5» — верно выполнено 9-10 заданий

Итоговая контрольная работа

10 класс.

I вариант

1. Найдите значение выражения: 24.

2. Решить уравнение — = 0 и укажите наименьший положительный корень уравнения в градусах.

3. Найдите значение выражения:

4. Найдите и

5. Найдите значение производной функцииу = х² – 6х + 1 в точке х₀=-1.

6. Найдите значение производной функции в точке:

у = -3 + 2, х₀ = .

1. Найдите точки экстремума и определите их характер:

у = х³ + 3х² – 9х – 2.

1. а) Решите уравнение:

2

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х + на отрезке .

Итоговая контрольная работа

10 класс.

II вариант

1. Найдите значение выражения: 46.

2. Решить уравнение: — = 0 и укажите наименьший положительный корень уравнения в градусах.

3. Найдите значение выражения: .

4. Найдите и

5. Найдите значение производной функции в точке у = х² – 5х + 2 в точке х₀=-2.

6. Найдите значение производной функции в точке:

у = 3 —, х₀ = .

1. Найдите точки экстремума и определите их характер: у = 2х³ — 10х² + 6х.

2. а) Решите уравнение:

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х + на отрезке .

Итоговая контрольная работа

10 класс.

III вариант

1. Найдите значение выражения: 37

2. Решить уравнение — = 0 и укажите наименьший положительный корень уравнения в градусах.

3. Найдите значение выражения: .

4. Найдите и

5. Найдите значение производной функции у = х³ + 4х² – 1 в точке х₀=-1.

6. Найдите значение производной функции в точке: у = — 2, х₀ = .

7. Найдите точки экстремума и определите их характер: у = х³ + х² – 5х – 3.

8. а)Решите уравнение:

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х + на отрезке .

Итоговая контрольная работа

10 класс.

IV вариант

1. Найдите значение выражения: 34.

2. Решить уравнение и укажите наименьший положительный корень уравнения в градусах.

3. Найдите значение выражения: .

4. Найдите и

5. Найдите значение производной функции у = х⁴ – 2х — 1 в точке х₀=-2.

6. Найдите значение производной функции в точке: у = — 2, х₀= .

7. Найдите точки экстремума и определите их характер: у = х³— х² – х +3.

8. а) Решите уравнение:

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х + на отрезке .

Контрольные работы по алгебре 10 класс (базовый уровень)

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТА

Тема: «Входная контрольная работа»

(коды КЭС: 1.3.4, 2.4.3, 2.5.1, 2.3.2, 3.1.3, 3.1.5, 3.1.4, 3.2.5, 2.3.4)

План работы:

План Входной контрольной работы по алгебре для учащихся 10 класса «А»

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	1.1 2.4 2.5	1.3.4 2.4.3 2.5.1 2.3.2	Арифметические действия с рациональными числами. Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней. Формулы сокращенного умножения.	РО	Б	5	1
2	3.1	3.1.3	Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения.	РО	Б	9	3
3	3.1	3.1.5	Решение уравнений высших степеней.	РО	П	8	2
4	3.2	3.1.4	Решение рациональных уравнений.	РО	Б	8	2
5	3.2	3.2.5	Квадратные неравенства.	РО	Б	7	2
6	3	2.3.4	Текстовые задачи	РО	П	8	2

Пояснение

Типы заданий:

ВО – с выбором ответа — ;

КО – с кратким ответом;

РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

Б – базовый;

П – повышенный

Текст контрольной работы

Вариант 1

1. Найдите значение выражения (1 балл)

—

2. Решите уравнение (1 балл за каждое уравнение)

А) 6×2-3x=0

Б) 25×2+2x-1=0

В) 25×2=1

3. Решите биквадратное уравнение (2 балла)

x4 -13×2+36=0

4. Решите неравенство (2 балла)

x2+4x+3≥0

5. (2 балла) Разность корней квадратного уравнения

x2-12x+q=0 равна 2. Найдите q.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения (1 балл)

—

2. Решите уравнение (1 балл за каждое уравнение)

А) 5×2+20x=0

Б) x2-4x+1=0

В) 49×2=1

3. Решите биквадратное уравнение (2 балла)

x4 -29×2+100=0

4. Решите неравенство (2 балла)

x2-4x-5≥0

5. (2 балла) Разность корней квадратного уравнения

x2+x+с=0 равна 6. Найдите с.

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

№ 1 Тема: «« Степень с действительным показателем»

(коды КЭС: 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7 )

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	1.3	1.1.5 1.1.6 1.1.7		РО	Б	5	2
2	1.3	1.1.5 1.1.6 1.1.7		РО	Б	5	2
3	1.3	1.1.5 1.1.6 1.1.7		РО	П	10	2
4	1.3	1.1.5 1.1.6 1.1.7		РО	П	10	2
5	1.3	1.1.5 1.1.6 1.1.7		РО	П	10	2

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Контрольная работа №1

Тема « Степень с действительным показателем»

В – 1 В — 2

1. Вычислить:

1) 1)

2) 2)

2. Упростить выражение при

1) 1)

2) 2)

3. Сократить дробь 3. Сократить дробь

4. Сравнить числа: 4. Сравните числа

1) 1)

2) и 1. 2) и 1.

5. Найти сумму бесконечно убывающей

геометрической прогрессии,

если

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

5. Найти второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов равна , а знаменатель равен

№ 2 Тема: «« Степенная функция»

(коды КЭС: 2.1.3, 2.1.7., 3.1.4, 3.3.4 )

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	3.1	2.1.3 2.1.7.		РО	Б	5	2
2	3.1	2.1.3 2.1.7.		РО	Б	5	2
3	3.1	3.1.4 3.3.4		РО	П	10	2
4	3.1	3.1.4 3.3.4		РО	П	10	2
5	3.1	2.1.3 2.1.7. 3.1.4 3.3.4		РО	П	10	2

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Контрольная работа №2

Тема «Степенная функция»

Вариант 1

1. Найти область определения функции .

2. Изобразить эскиз графика функции у = х7 и перечислить её основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции:

1) сравнить с единицей (0,95)7; 2) сравнить и .

3. Решить уравнение:

1) 2) ; 3)

4. Установить, равносильны ли неравенства и <0.

5. Найти функцию, обратную к функции . Указать её область определения и множество значений. Является ли эта функция ограниченной?

Вариант 2

1. Найти область определения функции .

2. Изобразить эскиз графика функции у = х6 и перечислить её основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции:

1) сравнить с единицей (1,001)6; 2) сравнить и .

3. Решить уравнение: 1) 2) .

3)

4. Установить, равносильны ли неравенства и .

5. Найти функцию, обратную к функции . Указать её область определения и множество значений. Является ли эта функция ограниченной?

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

№ 3 Тема: «« Показательная функция»

(коды КЭС: 2.1.5, 2.3.3., 3.3.6 )

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	Б	5	1
2	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	Б	5	2
3	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	П	5	1
4	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	П	6	2
5	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	П	7	2
6	3.1	2.1.5 2.2.3 3.3.6		РО	П	7	2

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Тема 3 «Показательная функция»

Вариант 1

1. Сравнить числа: 1) и ; 2) и .

2. Решить уравнение: 1) ; 2)

3. Решить неравенство >

4. Решить неравенство: 1) ; 2)

5. Решить систему уравнений

6. (Дополнительно) Решить уравнение

Вариант 2

1. Сравнить числа: 1) и ; 2) и .

2. Решить уравнение: 1) ; 2)

3. Решить неравенство .

4. Решить неравенство: 1) ; 2)

5. Решить систему уравнений

6. (Дополнительно) Решить уравнение

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

№ 4 Тема: «Логарифмическая функция»

(коды КЭС: 1.3, 1.4.5, 2.1.6, 2.2.4, 3.3.7 )

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	2.1 2.3 3.1 1.3	1.3		РО	Б	5	1
2	2.1 2.3 3.1 1.3	1.4.5 3.3.7		РО	Б	5	1
3	3.1 1.3	2.2.4		РО	Б	5	1
4	2.1 2.3	2.1.6		РО	Б	6	2
5	3.1 1.3	2.2.4		РО	П	7	2
6	2.1 2.3	2.1.6		РО	П	7	3

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Тема 4 «Логарифмическая функция»

Вариант 1

1. Вычислите:

2. Сравните числа и

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Решите уравнение

6. Решите неравенство:

Вариант 2

1. Вычислите:

2. Сравните числа и

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Решите уравнение

6. Решите неравенство:

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

№ 5 Тема: «Тригонометрические формулы»

(коды КЭС: 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7 )

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	1.3	1.2.3 1.2.4		РО	Б	6	3
2	1.3	1.2.5 1.2.6		РО	Б	4	1
3	1.3	1.2.7		РО	Б	10	2
4	1.3	1.2.5 1.2.6		РО	Б	10	2
5	1.3	1.2.5 1.2.6		РО	П	10	2

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Тема №5 «Тригонометрические формулы»

Вариант 1

1. Найти значение выражения: 1) 2) 3)

2. Вычислить:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5. Решить уравнение

Вариант 2

1. Найти значение выражения: 1) 2) 3)

2. Вычислить:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5. Решить уравнение

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

№ 6 Тема: «Тригонометрические уравнения»

(коды КЭС: 2.1.4)

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	2.1	2.1.4		РО	Б	10	2
2	2.1	2.1.4		РО	Б	10	2
3	2.1	2.1.4		РО	Б	10	3
4	2.1	2.1.4		РО	Б	10	3

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Тема 6 «Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения на отрезке .

3. Решите уравнение:

; в)

4. Решите уравнение:

а)

Вариант 2

1. Решите уравнение:

а)

2. Найдите решение уравнения на отрезке .

3. Решите уравнение:

в)

4. Решите уравнение:

а)

Система оценивания

9-10 баллов (90-100%) — оценка «5»

7-8 баллов (75-89%) – оценка «4»

5-6 баллов (50-74%) – оценка «3»

Тема: «Итоговая контрольная работа»

(коды КЭС: 1.4.4.. 2.1.4, 2.2.3, 2.2.4, 3.1, 3.2, 3.3)

План работы:

План контрольной работы по ___алгебре_________ для учащихся ___10 А____ класса(ов)

Расшифровка кодов 2 столбца представлена в Кодификаторе контролируемых элементов содержания (КЭС) и планируемых результатов обучения (ПРО) по предмету

№ задания	Код ПРО	Код КЭС	Элемент содержания	Тип задания (ВО, КО, РО)	Уровень сложности (Б, П)	Примерное время выполнения, мин.	Макс. балл за задание
1	1.3	1.4.4. 2.1.4		РО	Б	5	2
2	2.1	2.2.3		РО	Б	5	2
3	2.2	2.2.4		РО	Б	10	2
4	2.3	3.1		РО	Б	10	2
5	3.1	3.2 3.3		РО	Б	10	2

Пояснение

Типы заданий:

1) ВО – с выбором ответа — ;

2) КО – с кратким ответом;

3) РО – с развернутым ответом

Уровень сложности:

1) Б – базовый;

2)П – повышенный

Текст контрольной работы

Самостоятельная работа на 16 вариантов по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»

по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 1 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 2 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 3 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 4 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 5 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 6 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 7 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 8 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 9 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 10 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) а) б)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 11 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 12 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) а) б)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 13 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 14 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)
Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 15 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)    в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)	Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства 16 вариант   1. Решите уравнения: а)      б)   в) г) д) е) ж) з)     2. Решите неравенства а)     б)

Тригонометрия

Тригонометрия (от греч. Тригонон «треугольник» + метрон «мера»)

Хотите изучить тригонометрию? Вот краткое изложение.
Чтобы узнать больше, перейдите по ссылкам или перейдите в Индекс тригонометрии

Тригонометрия … всего около треугольника.

Тригонометрия помогает нам находить углы и расстояния и часто используется в науке, технике, видеоиграх и многом другом!

Прямоугольный треугольник

Наибольший интерес представляет прямоугольный треугольник.Прямой угол показан маленькой рамкой в ​​углу:

Другой угол часто обозначается как θ, и тогда три стороны обозначаются:

• Соседний : рядом (рядом) угол θ
• Напротив : напротив угла θ
• , а самая длинная сторона — Гипотенуза

Почему прямоугольный треугольник?

Почему этот треугольник так важен?

Представьте, что мы можем измерять по длине и вверх, но хотим знать прямое расстояние и угол:

Тригонометрия может найти недостающий угол и расстояние.

Или, может быть, у нас есть расстояние и угол, и нам нужно «нанести точку» вдоль и вверх:

Подобные вопросы часто встречаются в инженерии, компьютерной анимации и т. Д.

И тригонометрия дает ответы!

Синус, косинус и тангенс

Основные функции в тригонометрии: Синус, косинус и тангенс

Это просто одна сторона прямоугольного треугольника, разделенная на другую.

Для любого угла « θ «:

(Синус, косинус и тангенс часто сокращаются до sin, cos и tan.)

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Напротив Гипотенуза = 2,8 4,9 = 0,57 …

Треугольник может быть больше, меньше или перевернут, но этот угол всегда будет иметь соотношение .

У калькуляторов

есть sin, cos и tan, чтобы помочь нам, поэтому давайте посмотрим, как их использовать:

Пример: насколько высокое дерево?

Нам не добраться до вершины дерева, поэтому мы уходим и измеряем угол (с помощью транспортира) и расстояние (с помощью лазера):

• Мы знаем Гипотенуза
• И мы хотим знать напротив

Синус — это отношение Противоположность / Гипотенуза :

грех (45 °) = напротив Гипотенуза

Возьмите калькулятор, введите «45», затем нажмите клавишу «sin»:

sin (45 °) = 0.7071 …

Что означает 0,7071 … ? Это отношение длин сторон, так что Противоположность примерно на 0,7071 в раз длиннее Гипотенузы.

Теперь мы можем поставить 0,7071 … вместо sin (45 °):

0,7071 … = Напротив Гипотенуза

И мы также знаем, что гипотенуза равна 20 :

0,7071 … = Напротив 20

Чтобы решить, сначала умножьте обе части на 20:

20 × 0.7071 … = Напротив

Наконец:

Напротив = 14,14 м (до 2 знаков после запятой)

Когда вы наберетесь опыта, вы сможете сделать это быстро следующим образом:

Пример: насколько высокое дерево?

Начать с: sin (45 °) = напротив Гипотенуза

Мы знаем: 0,7071 … = напротив 20

Поменять местами: напротив 20 = 0.7071 …

Умножить обе стороны на 20 : Противоположное = 0,7071 … × 20

Вычислить: Противоположное = 14,14 (до 2 знаков после запятой)

Дерево 14,14 м высотой

Попробуйте Sin Cos and Tan

Поиграйте с этим некоторое время (перемещайте мышь) и ознакомьтесь со значениями синуса, косинуса и тангенса для разных углов, таких как 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

Также попробуйте 120 °, 135 °, 180 °, 240 °, 270 ° и т. Д. И обратите внимание, что позиции могут быть положительными или отрицательными по правилам декартовых координат, поэтому синус, косинус и тангенс также изменяются между положительным и отрицательным .

Итак, тригонометрия — это тоже окружности !

Единичный круг

То, с чем вы только что играли, — это Unit Circle.

Это круг с радиусом 1 с центром в 0.

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Здесь мы видим синусоидальную функцию единичной окружности:

Примечание: вы можете увидеть красивые графики, состоящие из синуса, косинуса и тангенса.

Градусов и радианов

Углы могут быть в градусах или радианах. Вот несколько примеров:

Уголок	градусов	Радианы
Прямоугольный	90 °	π / 2
__ Прямой угол	180 °	π
Полное вращение	360 °

Тригонометрические идентичности

Возможно, сначала вы захотите прочитать о тригонометрии!

Прямой треугольник

Тригонометрические идентичности — это уравнения, которые верны для прямоугольных треугольников. (Если это не прямоугольный треугольник, перейдите на страницу «Треугольники».)

Каждая сторона прямоугольного треугольника имеет имя:

Соседний всегда находится рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Скоро мы будем играть со всеми видами функций, но помните, что все возвращается к этому простому треугольнику с:

• Угол θ
• Гипотенуза
• Соседний
• Напротив

Синус, косинус и тангенс

Три основных функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс.

Это всего лишь длины одной стороны делится на еще

Для прямоугольного треугольника с углом θ :

Функция синуса:	sin ( θ ) = Противоположность / Гипотенуза
Функция косинуса:	cos ( θ ) = Соседний / Гипотенуза
Касательная функция:	tan ( θ ) = противоположный / смежный

Для заданного угла θ каждое отношение остается неизменным
, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник

Когда мы разделим синус на косинус, получим:

sin (θ) cos (θ) = Противоположный / Гипотенуза Соседний / Гипотенуза = Противоположный Соседний = tan (θ)

Итак, мы можем сказать:

Это наш первый тригонометрический идентификатор .

Косеканс, секанс и котангенс

Мы также можем разделить «наоборот» (например, Соседний / Противоположный вместо Противоположный / Соседний ):

Косеканс Функция:	csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив
Секущая функция:	сек ( θ ) = Гипотенуза / Соседняя
Функция котангенса:	детская кроватка ( θ ) = рядом / напротив

Пример: когда Противоположность = 2 и Гипотенуза = 4, тогда

sin (θ) = 2/4 и csc (θ) = 4/2

Благодаря всему, что мы можем сказать:

sin (θ) = 1 / csc (θ)

cos (θ) = 1 / сек (θ)

загар (θ) = 1 / детская кроватка (θ)

И наоборот:

csc (θ) = 1 / sin (θ)

сек (θ) = 1 / cos (θ)

детская кроватка (θ) = 1 / tan (θ)

А еще у нас есть:

детская кроватка (θ) = cos (θ) / sin (θ)

Теорема Пифагора

Следующие тригонометрические тождества мы начнем с теоремы Пифагора:

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике, квадрат a плюс квадрат b равен квадрату c: a 2 + b 2 = c 2

Делим на c ² дает

a ² с ² + б ² с ² знак равно с ² с ²

Это можно упростить до:

( с ) ² + ( b с ) ² = 1

Теперь, a / c равно Противоположно / Гипотенуза , что составляет sin (θ)

И b / c — это Соседний / Гипотенуза , что составляет cos (θ)

Так (a / c) ² + (b / c) ² = 1 также можно записать:

Заметка:

• sin ² θ означает найти синус θ, , затем возвести результат в квадрат и
• sin θ ² означает возвести θ в квадрат, затем выполнить синусоидальную функцию

Пример: 32 °

Использование только 4 десятичных разряда :

• sin (32 °) = 0.5299 …
• cos (32 °) = 0,8480 …

Теперь посчитаем sin ² θ + cos ² θ :

0,5299 ² + 0,8480 ²
= 0,2808 … + 0,7191 …
= 0,9999 …

Мы очень близки к 1, используя всего 4 десятичных знака. Попробуйте это на своем калькуляторе , возможно, вы получите лучшие результаты!

Связанные идентификационные данные включают:

sin ² θ = 1 — cos ² θ
cos ² θ = 1 — sin ² θ
tan ² θ + 1 = sec ² θ
tan ² θ = sec ² θ — 1
детская кроватка ² θ + 1 = csc ² θ
детская кроватка ² θ = csc ² θ — 1

Как вы их помните? Упомянутые до сих пор личности можно запомнить , используя одну хитроумную диаграмму под названием Magic Hexagon:

Но подождите… Есть еще!

Есть еще много идентификаторов … вот некоторые из наиболее полезных:

Тождества с противоположным углом

грех (−θ) = −sin (θ)

cos (−θ) = cos (θ)

тангенс (-θ) = -тан (θ)

Двойные углы идентификации

Идентификаторы с половинным углом

Обратите внимание, что «±» означает, что это может быть либо один

MHF4U Grade 12 Advanced Functions — Trigonometric Functions Test — onstudynotes

12 класс — Расширенные функции

Тригонометрические функции

Графики функций синуса, косинуса и тангенса

• Графики y = sin x, y = cos x и y = tan x являются периодическими.
• Графики y = sin x и y = cos x похожи по форме и имеют амплитуду 1 и период 2π
• График y = sin x может быть преобразован в графики, моделируемые уравнениями вида y = sin x + c, y = sin (x — d) и y = sin kx. Точно так же график y = cos x может быть преобразован в графики, моделируемые уравнениями вида y = cos x + c, y = acos x, y = cos (x — d) и y = cos kx.
• График y = tan x не имеет амплитуды, поскольку не имеет максимальных или минимальных значений.Он не определен при значениях x, которые нечетно кратны π / 2, например, π / 2 и 3π / 2.
• График становится асимптотическим по мере приближения угла к этим значениям слева и справа. Период функции равен π.

Графики взаимных тригонометрических функций

• Графики y = csc x, y = sec x и y = cot x являются периодическими. Они связаны с первичными тригонометрическими функциями как обратные графы.
• Обратные тригонометрические функции отличаются от обратных тригонометрических функций.
• csc x означает 1 / sin x, а sin ^-1 x просит вас найти угол, для которого отношение синусов равно x.
• сек x означает 1 / cos x, а cos ^-1 x просит вас найти угол, отношение косинуса которого равно x.
• cot x означает 1 / tan x, а tan ^-1 x просит вас найти угол, отношение касательного которого равно x.

Синусоидальные функции вида f (x) = a sin [k (x — d)] + c и

f (x) = a cos [k (x — d)] + c

• Преобразование функции синуса или косинуса f (x) в g (x) имеет общий вид g (x) = a f [k (x — d)] + c, где | a | — амплитуда, d — фазовый сдвиг, c — вертикальный перенос.
• Период преобразованной функции равен 2π / k.
• Значение k функции равно 2π / период.

Решение тригонометрических уравнений

• Тригонометрические уравнения могут быть решены вручную алгебраически или графически с использованием технологий.
• Часто существует несколько решений. Убедитесь, что вы найдете все решения в интересующей вас области.
• Квадратные тригонометрические уравнения часто можно решить с помощью факторизации.
• Часто для решения тригонометрического уравнения может потребоваться манипулирование с использованием тригонометрических тождеств. См. Примечания по тригонометрическим тождествам здесь.

Заявление о мгновенной скорости изменения

• Мгновенная скорость изменения синусоидальной функции соответствует синусоидальному шаблону.
• Без знания пределов постепенная замена числа все ближе и ближе к ожидаемому значению будет определять мгновенную скорость изменения.

Секущая функция (сек) — Тригонометрия

Секущая функция (сек) — Тригонометрия — Math Open Reference (См. Также Секанс круга).

В прямоугольном треугольнике секущая угла — это длина гипотенузы, деленная на длина прилегающей стороны. В формуле он сокращается до «сек».

Из шести возможных тригонометрических функций секущая котангенс и косекансные, используются редко. Фактически, у большинства калькуляторов нет кнопки для них, и библиотеки программных функций не включают их.

Их можно легко заменить производными от более распространенных трех: sin, cos и tan.
Секанс может быть получен как величина, обратная косинусу:

Функция обратной секущей — arcsec

Для каждой тригонометрической функции, такой как sec, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, обратное к sec — это arcsec и т. Д. Когда мы видим «arcsec A», мы интерпретируем его как «угол, секанс которого равен A».

сек 60 = 2.000	Означает: Секанс 60 градусов равен 2.000
угл. Сек 2.0 = 60	означает: угол, секанс которого равен 2,0, равен 60 градусам.

Иногда записывается как asec или sec ^-1

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти секанс любого угла, независимо от того, насколько он велик, а также секанс отрицательных углов.Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

График функции секанса

Поскольку секущая функция обратна функции косинуса, она стремится к бесконечности всякий раз, когда функция косинуса равна нулю.

Производная от sec (x)

В расчетах производная sec (x) равна sec (x) tan (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или крутизна сек (x) равна сек (x) tan (x) .

Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Сводка тригонометрических отождествлений

На последних нескольких страницах вы видели довольно много тригонометрических отождествлений.Для справки удобно иметь их резюме. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть некоторые, которые включают два угла, и для них два угла обозначены α и β .
Более важные идентичности. Необязательно знать все личности с головы до ног. Но вы должны это сделать.
	Определение соотношений для тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса.
	Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, наверное, самая важная триггерная идентичность.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.
	Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
	Тождества для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными функциями.
	Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
	Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
Менее важные личности. Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из вышеперечисленных, но иногда для этого требуется немного поработать.
	Формула Пифагора для касательных и секущих. Есть еще один для котангенсов и косекансов, но поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, в нем нет необходимости.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений.
	Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
	Формулы половинных углов. Для синуса и косинуса берут положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, тогда будет использоваться положительный корень.
Действительно непонятные личности. Они здесь как раз для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них также можно забыть, пока они не понадобятся.
	Идентификаторы суммы продукта. Эта группа идентичностей позволяет вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
	Идентификационные данные продукта. Кроме того: как ни странно, эти идентификаторы продукта использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй.Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу для поиска угла α , косинус которого равен x , и угла β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α + β . а разность α — β . Усредните эти два косинуса. Вы получаете товар xy ! Три просмотра таблиц и вычисление суммы, разницы и среднего, а не одно умножение. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез .
	Формулы тройного угла. Вы можете легко восстановить их по формулам сложения и двойного угла.
	Еще формулы полууглов. Они описывают основные триггерные функции в терминах тангенса половины угла. Они используются в исчислении для особого вида подстановки в интегралах, иногда называемого подстановкой Вейерштрасса t .

PPT — Глава 2 Тригонометрические функции Презентация PowerPoint, бесплатная загрузка

Глава 2 Тригонометрические функции 2.1 Градусы и радианы 2.2 Линейная и угловая скорость 2.3 Тригонометрические функции: подход с единичным кругом 2.4 Дополнительные приложения 2.5 Точные значения и свойства тригонометрических функций

2.1 Градусы и радианы • Градусы и радианы для измерения углов • Углы в стандартном положении • Длина дуги и площадь сектора круга

Радиан Измерение центральных углов • Пример: • Найти радиан — мера центрального угла, образованного дугой 32 см в окружности радиуса 8 см.• Решение: q = 32 см / 8 см = 4 рад

Формулы преобразования радианов в градусы • Пример: • Найдите радиан -1,5 рад в единицах p и в десятичной форме с точностью до 4 десятичных знаков. • Решение: qd = (qr) (180º / p рад) = • (-1,5) (180 / p) = 270º / p = -85,9437º

Углы в стандартном положении

Углы рисования в стандартном положении • Нарисуйте эти углы в стандартном положении: A. -60º B. 3p / 2 рад C.-3p рад D. 405º

Котерминальные углы • Углы, которые отличаются на целое кратное 2p или 360º, являются котерминальными. • Пример: совпадают ли углы –p / 3 рад и 2p / 3 рад? Решение: (-p / 3) — (2p / 3) = -3p / 3 = -pNo • Пример: совпадают ли углы -135º и 225º? Решение: -135º — (-225º) = -1 (360) º Да

Площадь сектора круга • A = ½ r2q, r = радиус и q = центральный угол • Пример: по кругу радиуса 3 м найти площадь сектора с центральным углом 0.4732. Решение: A = ½ 3м2 (0,4732) ≈ 2,13 м2

2,2 Линейная и угловая скорость

Электрический ветрогенератор • Этот ветрогенератор имеет лопасти гребного винта длиной 5 м. Если лопасти вращаются со скоростью 8 прад / сек, какова угловая скорость острия на острие одной лопасти? • Решение: V = 5 (8p) = 126 м / с

2.3 Тригонометрические функции: подход единичного круга • Определение тригонометрических функций • Оценка с помощью калькулятора • Применение • Сводка свойств знаков

Тригонометрические функции

Единичная окружность Если точка (a, b) лежит на единичной окружности, то для угла x, связанного с этой точкой, верно следующее: sin x = b cos x = a tan x = b / a (a ≠ 0) csc x = 1 / b (b ≠ 0) sec x = 1 / a (a ≠ 0) cot x = a / b (b ≠ 0)

Оценка тригонометрических функций Пример : Найдите точные значения 6 тригонометрических функций для точки (-4, -3) Теорема Пифагора показывает, что расстояние от точки до начала координат равно 5.sin x = -3/5 cos x = -4/5 tan x = 3/4 csc x = -5/3 сек x = -5/4 cot x = 4/3

Использование данной информации для оценки Тригонометрические функции • Пример: • Учитывая, что конечная сторона угла находится в квадранте IV и cos x = 3/5, найдите оставшиеся тригонометрические функции. • b2 = 25 — 9 = 16, поэтому b = 4 • Sin x = 4/5, tan x = -4/3, csc x = -5/4, • sec x = 5/3 и cot x = -3 / 4

Взаимные отношения

Оценка калькулятора • Установите калькулятор в соответствующий режим для каждого метода оценки тригонометрических функций.Используйте режим градусов или радианный режим. • Пример: найти tan 3,472 рад Решение: tan 3,472 рад ≈ 0,3430 • Пример: найти csc 192º 47 ’22 ”Решение: csc 192º 47′ 22” ≈ 1 / sin 192,7894… ≈ -4,517

Дополнительные приложения • Моделирование световых волн и преломления • Моделирование изгибных волн • Моделирование звуковых ударов • Физика высоких энергий: Моделирование энергии частиц • Психология: Моделирование восприятия

Световые лучи

Отраженный свет • Пример: • Что такое угол падения a, при котором луч света полностью отражается? • Решение: sin a = (sin 90º) 1/1.33 • a = sin-1 (1 / 1,33) ≈ 48,8º

2.5 Точные значения и свойства тригонометрических функций • Точные значения тригонометрических функций под специальными углами • Справочные треугольники • Периодические функции • Основные тождества

Специальные углы

Использование специальных углов для точек (a, b) • Пример: Найдите sec 5p / 4 Решение: (a, b) = (-1 / √2, -1 / √2) сек 5p / 4 = 1 / a = -√2 • Пример: найти sin 135º Решение: (a, b) = (-1 / √2, 1 / √2) sin 135º = b = 1 / √2

Углы на единичной окружности

Использование специальных углов для точек (a, b) • Пример: • Найдите sin 7p / 6 • Решение: (a, b) = (-√3 / 2, — 1/2) • sin 7p / 6 = b = -1/2

Опорный треугольник и опорный угол

Справочные треугольники и углы • Пример: нарисуйте опорный треугольник и найдите опорный угол наклона a для q = -315º.Решение:

Периодические функции • Добавление любого целого числа, кратного 2p, к x возвращает ту же точку на окружности. • sin x = sin (x + 2p) • cos x = cos (x + 2p) • Если sin x = 0,7714, то sin (x + 2p) = 0,7714

Фундаментальные тождества • csc x = 1 / b = 1 / sin x • sec x = 1 / a = 1 / cos x • детская кроватка x = a / b = 1 / tan x • tan x = b / a = sin x / cos x • детская кроватка x = a / b = cos x / sin x • sin2x + cos2x = 1

Использование идентичностей Утверждение: Доказательство:

.