Функция y=sinx, ее основные свойства и график
Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии , отзывы, предложения! Все материалы проверяются антивирусной программой.
Учебники и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные конструкторские задания для 7-10 классов
Программная среда «1С:Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функций.
- Как построить график и его масштаб.
- Примеры.
свойства синуса. Y=sin(X)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы их помните?
Давайте подробнее рассмотрим функцию Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения — множество действительных чисел.
2) Нечетная функция. Напомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной, если верно равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул призраков: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнено, поэтому Y=sin(X) — нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. При движении по первой четверти (против часовой стрелки) ордината увеличивается, а при движении по второй четверти – уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Это свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при x = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при x = π/2+ πk).
Воспользуемся свойствами 1-5 для построения графика функции Y=sin(X). Мы будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке.
Особое внимание следует уделить весу. По оси ординат удобнее взять один отрезок, равный 2 клеткам, а по оси абсцисс — один отрезок (две клетки) принять равным π/3 (см. рисунок).
Построение графика функции синус x, y=sin(x)
Вычислим значения функции на нашем отрезке:
Построим график для наших точек с учетом третьего свойства.
Таблица преобразования формул призраков
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит о том, что наша функция нечетна, а это означает, что она может быть отражена симметрично относительно начала координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin (Икс). Это означает, что на интервале [- π; π] график выглядит так же, как и на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — пи] и так далее. Нам осталось аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке по всей оси абсцисс.
График функции Y=sin(X) называется синусоидой.
Запишем еще несколько свойств по построенному графу:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k является целым числом и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k — целое число.
7) Функция Y=sin(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график функции и убедимся, что наша функция не имеет разрывов, это означает непрерывность.
8) Диапазон значений: сегмент [- 1; один]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) является периодической функцией. Посмотрим еще раз на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки времени.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок) .
Наши графики пересекаются в одной точке A(π; 0), это ответ: x = π
2. Постройте график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Искомый график получается путем перемещения графика функции y=sin(x) на π/6 единиц в влево и на 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
График функции показывает, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи синусов для независимого решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Постройте график функции y=sin(π/3+x)- 2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
Как построить график функции y=sin x? Сначала рассмотрим график синуса на отрезке.
Берем один отрезок длиной 2 клетки тетради. Отмечаем единицу на оси Оу.
Для удобства число π/2 округлим до 1,5 (а не до 1,6, как того требуют правила округления). В этом случае отрезок длины π/2 соответствует 3 клеткам.
На оси Ох отмечаем не одиночные отрезки, а отрезки длины π/2 (каждые 3 клетки). Соответственно отрезок длины π соответствует 6 клеткам, отрезок длины π/6 соответствует 1 клетке.
При таком выборе одного отрезка график, изображенный на листе тетради в рамке, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на отрезке:
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x является нечетной функцией, график синуса симметричен относительно в начало координат — точка O(0;0). С учетом этого факта продолжаем строить график влево, тогда точек -π:
Функция y=sin x является периодической с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на отрезке [-π; π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно связать одно значение функции с каждым значением аргумента. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке показано, что потому что это ордината точки на единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеряемый в радианах. По оси отложим действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте. Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область определения:
2) Диапазон значений:
3) Нечетная функция:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью X :
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Нижние точки:
12) Минимальные характеристики:
13) Высокие точки:
14) Максимальные характеристики:
Мы рассмотрели свойства функции и ее графика. Свойства будут неоднократно использоваться при решении задач.
Библиография
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов технических вузов (под ред. М.И.Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К. , 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. . припуск на 10-11 кл. с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд.
Мордкович А.Г. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно связать одно значение функции с каждым значением аргумента. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке показано, что потому что это ордината точки на единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеряемый в радианах. По оси отложим действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Мы получили график функции на сайте. Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область определения:
2) Диапазон значений:
3) Нечетная функция:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью X :
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Нижние точки:
12) Минимальные характеристики:
13) Высокие точки:
14) Максимальные характеристики:
Мы рассмотрели свойства функции и ее графика. Свойства будут неоднократно использоваться при решении задач.
Библиография
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). — М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов технических вузов (под ред. М.И.Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. . припуск на 10-11 кл. с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задание для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд.
Мордкович А.Г. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
График sin 1. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики
Функция г = грех х
График функции представляет собой синусоиду.
Полная неповторяющаяся часть синусоиды называется синусоидальной волной.
Полуволна синусоиды называется полуволной синусоиды (или дугой).
Функциональные свойства y = грех x :
3) Это странная функция. 4) Это непрерывная функция. 6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает на отрезке [π/2; 3π/2] — убывает. 7) На интервалах функция принимает положительные значения. 8) Интервалы возрастающей функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Минимальные точки функции: -π/2 + 2πn. |
Для построения функции у = sin х удобно пользоваться следующими масштабами:
На листе в клетке за единицу отрезка принимаем длину двух клеток.
По оси x измерьте длину π. При этом для удобства 3,14 представляется как 3 — то есть без дроби. Тогда на листе в клетке π будет 6 клеток (трижды по 2 клетки). И каждая ячейка получит свое логическое название (от первого до шестого): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это ценности х .
На оси Y отметьте 1, которая включает две ячейки.
Составим таблицу значений функций, используя наши значения х :
√3 | √3 |
Далее построим график. Получится высшая точка полуволны, которая (π/2;1). Это график функции y = sin х на отрезке. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны находится под осью x с координатами (-1; -1). В результате получается волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].
Можно продолжить волну, построив ее на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т. д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как и на отрезке [-π; π]. У вас получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.
Функция y = cos x .
График функции представляет собой синусоиду (иногда называемую косинусом).
Функциональные свойства y = cos x :
1) Область определения функции представляет собой набор действительных чисел. 2) Диапазон значений функции — отрезок [–1; one] 3) Это четная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: 6) На отрезке функция убывает, на отрезке [π; 2π] — увеличивается. 7) На интервалах [-π/2 + 2πn; π / 2 + 2πn] принимает положительные значения. 8) Увеличение интервалов: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Минимум точек функции: π + 2πn. 10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции равно -1, 11) Эта периодическая функция с периодом 2π (T = 2π) |
Функция y = мф ( х ).
Возьмем предыдущую функцию y = cos х . .. Как вы уже знаете, ее график представляет собой синусоиду. Если умножить косинус этой функции на некоторое число m, то волна будет тянуться от оси x (или уменьшить, в зависимости от значения m).
Эта новая волна будет графиком функции y = mf(x), где m — любое действительное число.
Таким образом, функция y=mf(x) есть обычная функция y=f(x), умноженная на m.
Если м х с коэффициентом м. Если м > 1, то синусоида вытянута от оси х на коэффициент м.
При выполнении растяжения или сжатия можно сначала построить только одну полуволну синусоиды, а затем завершить весь график.
Функция у = ф ( кх ).
Если функция y = mf ( х ) приводит к растяжению синусоиды от оси х или сжатию к оси х , то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y или сжатию к оси y .
Более того, k — любое действительное число.
В 0 k y с коэффициентом k. Если к > 1, то синусоида сжимается по направлению к оси у на коэффициент к.
При построении графика этой функции можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а затем использовать ее для построения всего графика.
Функция y = тг х .
Функциональный график y = tg х является тангеноидой.
Достаточно построить часть графика в интервале от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить его в интервале от 0 до 3π/2.
Функциональные свойства у = тг x :
Функция y = КТГ x
Функциональный график y = ctg x также является тангеноидой (иногда называемой котангоидоидом).
Функциональные свойства y = КТГ x :
Назад вперед
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется только в информационных целях и может не отображать все параметры презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.
Железо ржавеет, не находя применения,
стоячая вода гниет или замерзает на морозе,
и человеческий разум, не находя себе применения, чахнет.
Леонардо да Винчи
Используемые технологии: проблемное обучение, критическое мышление, коммуникативное общение.
Цели:
- Развитие познавательного интереса к обучению.
- Изучение свойств функции y = sin x.
- Формирование практических навыков построения графика функции y = sin x на основе изученного теоретического материала.
Задания:
1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции y = sin x в конкретных ситуациях.
2. Применять сознательное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции y = sin x.
Развитие инициативы, определенной готовности и заинтересованности в поиске решения; умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом, отстаивать свою точку зрения.
Воспитывать у студентов познавательную активность, чувство ответственности, уважение друг к другу, взаимопонимание, взаимоподдержку, уверенность в себе; культура общения.
На занятиях
1 этап. Актуализация базовых знаний, мотивация к изучению нового материала
«Вход на урок».
На доске написаны 3 утверждения:
- Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения.
- Нечетную функцию можно построить, преобразовав симметрию относительно оси Y.
- График тригонометрической функции может быть построен с использованием одной основной полуволны.
Учащиеся обсуждают в парах: Верны ли утверждения? (1 минута). Результаты первоначального обсуждения (да, нет) затем заносятся в таблицу в графу «До».
Учитель ставит цели и задачи на урок.
2. Актуализация знаний ( фронтально по тригонометрической окружности модели ).
Мы уже встречались с функцией s = sin t.
1) Какие значения может принимать переменная t. Каков объем этой функции?
2) В каком интервале находятся значения выражения sin t. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции s = sin t.
3) Решить уравнение sin t = 0.
4) Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки, когда она движется по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция s = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке).
5) Запишем функцию s = sin t в привычном для нас виде y = sin x (будем строить в обычной системе координат xOy) и составим таблицу значений этой функции.
| х | 0 | ||||||
| в | 0 | 1 | 0 |
2 этап. Восприятие, понимание, первичное закрепление, непроизвольное запоминание
Этап 4. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях
6. № 10.18 (б, в)
5 этап. Итоговый контроль, коррекция, оценка и самооценка
7. Вернитесь к высказываниям (начало урока), обсудите, используя свойства тригонометрической функции у = sin x, и заполните в таблице графу «После».
8.D/z: п.10, № 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у \ u003d sin x, его основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y = sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента присвоить единственное значение функции. Это соответствие закону и называется функцией.
Определим закон соответствия для.
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке видно, что это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеренный в радианах. По оси отложим действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значениям функции.
Например, углу на единичной окружности соответствует точка на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции по всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область действия:
2) Диапазон значений:
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9 ) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Минимум баллов:
12) Минимум функции:
13) Максимум баллов:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и ее график. Свойства будут многократно использоваться при решении задач.
Библиография
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Сборник задач для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).- М. : Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов в высшие учебные заведения (под ред. М.И. Сканави).- М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. -К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и принципам анализа (учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений).- М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и принципам анализа: учеб. пособие для 10-11 классов с углублением изучения математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Сборник задач для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд.
Мордкович А.Г. -М.: Мнемосина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y = sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента присвоить единственное значение функции. Это соответствие закону и называется функцией.
Определим закон соответствия для.
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке видно, что это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеренный в радианах. На оси отложим действительные числа или углы в радианах, на оси соответствующие значения функции.
Например, углу на единичной окружности соответствует точка на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции по всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область действия:
2) Диапазон значений:
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9 ) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Минимум баллов:
12) Минимум функции:
13) Максимум баллов:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и ее график. Свойства будут многократно использоваться при решении задач.
Библиография
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Сборник задач для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов в высшие учебные заведения (под ред. М.И. Сканави).- М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К. : А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и принципам анализа (учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений).- М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и принципам анализа: учеб. пособие для 10-11 классов с углублением изучения математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Сборник задач для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд.
Мордкович А.Г. -М.: Мнемосина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
В этом уроке мы подробно рассмотрим функцию y = sin x, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции y = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока мы решим несколько простых задач, используя график функции и ее свойства.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y = sinx, ее основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента присвоить единственное значение функции. Это соответствие закону и называется функцией.
Определим закон соответствия для.
Любое действительное число соответствует одной точке на единичной окружности. Точка имеет единственную ординату, которая называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента присваивается одно функциональное значение.
Очевидные свойства следуют из определения синуса.
На рисунке видно, что это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции. Напомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргументом является центральный угол, измеренный в радианах. На оси отложим действительные числа или углы в радианах, на оси соответствующие значения функции.
Например, углу на единичной окружности соответствует точка на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на сайте Но зная период синуса, мы можем изобразить график функции по всей области определения (рис. 3).
Основной период функции равен Это означает, что график можно получить на отрезке и затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции:
1) Область действия:
2) Диапазон значений:
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения графика с осью Y:
7) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения:
8) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения:
9 ) Возрастающие интервалы:
10) Убывающие интервалы:
11) Минимум баллов:
12) Минимум функции:
13) Максимум баллов:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и ее график. Свойства будут многократно использоваться при решении задач.
Библиография
1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2009..
2. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Сборник задач для общеобразовательных учреждений (профильный уровень), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемосина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для абитуриентов в высшие учебные заведения (под ред. М.И. Сканави).- М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.