Тест: Решение задач для 4 класса

Тест: Решение задач для 4 класса — Математика 4 класс

Английский язык

Астрономия

Белорусский язык

Биология

География

ИЗО

Информатика

История

Итальянский язык

Краеведение

Литература

Математика

Музыка

Немецкий язык

ОБЖ

Обществознание

Окружающий мир

ОРКСЭ

Русский язык

Технология

Физика

Физкультура

Химия

Черчение

Для учителей

Дошкольникам

VIP — доступ

• Предметы
»
• Математика
»
• 4 класс
»
• Решение задач для 4 класса

Решение задач для 4 класса

Решение задач с выбором одного ответа на движение, на порпорциональное деление, меру времени.

Математика 4 класс | Автор: Степанова Татьяна Николаевна | ID: 1288 | Дата: 14.2.2014

+138 -77

Помещать страницу в закладки могут только зарегистрированные пользователи

Зарегистрироваться

Вопрос № 1

Путешественнику до места назначения надо преодолеть 820000 м. На автобусе он проехал 230 км, проплыл по реке на катере на 100000 м больше, чем проехал на автобусе, а на поезде проехал 200 км. Остальное расстояние он должен проехать на велосипеде. Сколько км путешественник должен проехать на велосипеде?

10
130
70
60
230
10000
25

Вопрос № 2

На ферме было 15 пятнистых и 12 рыжих коров. От каждой пятнистой коровы получали по 500 литров молока в месяц, а от каждой рыжей коровы — по 513 литров. Сколько литров молока надоили от коров за два месяца?

13656
27312
48564

Вопрос № 3

Люда и Света — сестры. Мама старше Люды на 240 месяцев, а Свету — на 25 лет. Свете — 10 лет. Сколько лет Люде?

10
12
15
20

Вопрос № 4

Из двух поселков навстречу друг другу вышли бабушка и внук. Внук шел со скоростью 5000 м/ч, а бабушка — 2 км/ч. Расстояние между поселками — 14 км. Через какое время встретятся бабушка и внук?

1 час
2 часа
полчаса

Вопрос № 5

В швейной мастерской сшили 360 наволочек за 30 дней. За сколько дней сошьют такое же колличество наволочек, если каждий день будут шить на 6 наволочек больше, чем раньше?

14
16
18
20

Вопрос № 6

Из двух городов навстречу друг другу выехали две машины. Скорость первой машины 60 км/ч, скорость второй 80 км/ч. Через сколько часов машины встретятся, если расстояние между городами 280 км.

1 ч
2 ч
3 ч
30 мин
45 мин
100 сек
5 ч

Вопрос № 7

Миша живет на 11 этаже. В доме не работает лифт, поэтому ему приходится подниматься пешком по лестнице. чтобы попасть на каждый следующий этаж, надо преодолеть 4 ступеньки, а затем — еще 2 раза по 3 ступеньки. Сколько всего ступенек нужно преодолеть Мише, чтобы добраться домой?

100
105
110

Вопрос № 8

Ире было 7 лет 24 месяца назад. Саше исполнится 15 через 60 месяцев. Кто из ребят старше?

Ира
Саша
Они ровестники

Вопрос № 9

Из двух городов навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля была 60 км/ч, второго — 80 км/ч. Через 3 часа они встретелись. Найдите расстояние между городами.

320 км
420 км
520 км

Показать ответы

Получение сертификата
о прохождении теста

Доступно только зарегистрированным пользователям

© TestEdu. ru 2013-2022

E-mail администратора: [email protected]

300 задач по математике. 4 класс ISBN 978-5-17-116315-0

isbn: 978-5-17-116315-0

Автор: Узорова О.В.

Издательство: АСТ

Серия: Как научиться быстро считать

Дата выхода: 2019 г.

язык	русский
количество томов	1
количество с Язык: русский Часть: 1 Количество страниц: 16 Переплет: мягкий Размер: 280x210x2 мм Формат: 60×84/8 (205×290 мм) Стандарт: 120 шт. Пособие содержит 300 задач по математике для 4 класса. Путем регулярных упражнений учащиеся усвоят навыки устных и письменных вычислений, научатся решать задачи, предусмотренные программой по математике для начальной школы. Издание содержит материал, направленный на формирование математических знаний, умений и навыков. Для удобства использования решение задач ребенок записывает прямо в книге. Это поможет сэкономить время учителю или родителям при проверке заданий. Пособие можно использовать в качестве дополнительного материала на уроках математики, а также для самостоятельной работы дома. С этим товаром также покупают Рассказы Люси Синицыной 124 Р 0 В наличии Учимся решать уравнения. 1-4-й классы 99 Р 0 В наличии Задания по русскому языку для повторения и закрепления учебного материала. 4 класс 87 Р 0 В наличии В стране невыученных уроков 124 Р 0 В наличии Быстрая подготовка к школе 99 Р 0 В наличии Учимся решать трудные задачи по математике. 3 класс 99 Р 0 В наличии Летние задания по русскому языку для повторения и закрепления учебного материала. 1 класс 87 Р 0 В наличии Домовенок Кузька 124 Р 0 В наличии 2500 задач по математике с ответами ко всем задачам. 1-4 классы 172 Р 0 В наличии Первая после Букваря книга для чтения 358 Р 0 В наличии Самый быстрый способ выучить правила английского языка. 2-4 классы 123 Р 0 В наличии Рассказы о животных 124 Р 0 В наличии Избранное 0 Сравнение 0 Просмотренные 0 Корзина 0 0 Р

Факторирование многочлена или выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений высших степеней. На самом деле процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, кроме этого пункта, можно выполнить без его понимания.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным произведением.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны учитывать выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения из суммы или разности терминов в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
2. Фактор общих факторов.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5(2x + 1), чтобы получить 10x + 5. Обычно факторизация «отменяет» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители, удалив общие множители, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий множитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и отыщите наибольший из них. Это самый большой общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Продолжайте, поставив 3x перед скобками.

Члены в скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это обратный процесс, который мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразуется в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, то должно быть верно, что . Умножьте, чтобы увидеть, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами: «Удалили ли мы все общие факторы? Можем ли мы еще добавить факторы?»

Если бы мы удалили только множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

3(x ² + 2xy + 3xy ² ).

Умножая для проверки, мы находим, что ответ на самом деле равен исходному выражению. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не является полностью факторизованным.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
2. FВыражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Коэффициент 12x ³ + 6x ² + 18x.

Решение

На данный момент нет необходимости перечислять факторы каждого термина. Вы должны быть в состоянии мысленно определить наибольший общий множитель. Хорошей процедурой для подражания является продумывание элементов по отдельности. Другими словами, не пытайтесь сразу получить все общие множители, а сначала получите число, а затем каждую соответствующую букву. Например, 6 — это множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Отсюда 12x ³ + 6x ² + 18x = 6x(2x ² + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Спросите себя: «Каков наибольший общий делитель чисел 12, 6 и 18?»

Затем «Каков наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»

Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно рассчитали.

Снова умножьте в качестве чека.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы в отдельности.

Если выражение нельзя разложить на множители, говорят, что оно простое .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППИРОВКЕ

ЦЕЛИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Факторные выражения, когда общий фактор включает более одного термина.
2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, относится к методу факторинга, который называется группировкой .

Во-первых, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним термином. Например, в выражении 2y(x + 3) + 5(x + 3) есть два члена. Это 2y(x + 3) и 5(x + 3). В каждом из этих терминов у нас есть множитель (x + 3), состоящий из терминов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага для факторизации.

Решение

Во-первых, обратите внимание, что не все четыре члена в выражении имеют общий делитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем разложить первые два члена на 3, что даст 3(ax + 2y). Если мы разложим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Теперь выражение равно 3(ax + 2y) + a(ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить как (ax + 2y)(3 + a). Умножая (ax + 2y)(3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и убедитесь, что факторинг правильный.

Это пример разложения на множители путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y)(a + 2) и посмотрите, получится ли исходное выражение. Опять умножить как чек.

Иногда члены должны быть сначала переупорядочены, прежде чем можно будет выполнить разложение по группам.

Пример 7 Коэффициент 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего делителя, но первый и третий члены имеют, поэтому мы переставим члены так, чтобы третий член располагался после первого. Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором термины могут быть расположены.

Во всех случаях важно убедиться, что коэффициенты в скобках абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти термины. Умножить как чек.

Пример 8 Коэффициент ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что если мы разложим a из первых двух членов, мы получим a(x — y). Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2(-x + y), но разложение на множители «-2» дает -2(x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому мы действуем таким образом.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ТРЕХНОМОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Умножьте в уме два двучлена.
2. Разложите трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
3. Найдите делители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет связано с разложением на множители трехчленов как произведений двух двучленов. В предыдущей главе вы научились умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух двучленов и разработать шаблон для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3)(3x — 4) = 6x ² + x — 12 обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) получен из произведения двух первых членов множители, то есть (2x)(3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) получен из произведения вторых членов факторов, то есть (+ 3)(-4).

Теперь у нас есть следующая часть шаблона:

Теперь снова взглянув на пример, мы видим, что средний член (+x) получен из суммы двух произведений (2x)(-4) и (3)(3x).

Теперь для любых двух биномов у нас есть следующие четыре произведения:

1. Первый срок за первым сроком
2. Внешние условия
3. Внутренние условия
4. Последний срок за последним сроком

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних членов и внутренних членов дают одинаковые члены, их можно объединить, и решение будет трехчленным.

Этот метод умножения двух двучленов иногда называют методом FOIL. FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last. Это быстрый метод умножения двух двучленов, и его полезность будет видна, когда мы разложим трехчлены.

Вы должны запомнить эту схему.

Опять же, возможно, запоминание слова ФОЛЬГА поможет.

Этот образец следует не только запомнить, но и научиться переходить от задачи к ответу без каких-либо письменных шагов. Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Работая над следующими упражнениями, попытайтесь найти правильный ответ, ничего не записывая, кроме самого ответа. Чем больше вы практикуете этот процесс, тем лучше у вас будет факторинг.

Теперь, когда мы установили схему умножения двух двучленов, мы готовы разложить трехчлены на множители. Сначала мы рассмотрим разложение на множители только тех трехчленов, у которых коэффициент первого члена равен 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего делителя, мы будем использовать схему умножения для факторизации.

На самом деле мы будем работать в обратном порядке по сравнению с предыдущим упражнением.

Сначала напишите круглые скобки под задачей.

Теперь мы хотим заполнить термины так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x)(x) = x ² .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и в то же время складывают, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих у нас будет правильный первый и последний термин.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики. Произведение двух нечетных чисел нечетно. Произведение двух четных чисел четно. Произведение нечетного и четного числа равно четному. Сумма двух нечетных чисел четна. Сумма двух четных чисел четна. Сумма нечетного и четного числа нечетна. Следовательно, когда мы факторизуем такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов бинома должно быть 24, что является четным, а их сумма должна быть равна 11, что является нечетным. Таким образом, будет работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема немного другая. Мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и при этом при сложении дают — 11. Всегда нужно помнить о закономерности. Последний член получается строго путем умножения, а средний член получается, наконец, из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, мы получаем

Решение

Здесь мы сталкиваемся с отрицательным числом для третьего слагаемого, и это несколько усложняет задачу. трудный. Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, а средний член должен исходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить в терминах различия. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов не важен. по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут разложить трехчлены на множители:

1. Когда знак третьего члена положителен, оба знака в множителях должны быть одинаковыми, и они должны быть одинаковыми со знаком среднего члена.
2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых слагаемых был равен 1. Когда коэффициент первого слагаемого не равен 1, проблема факторинга значительно усложняется, поскольку число возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, вы теперь готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что есть двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один из них имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, могли бы попробовать каждое из них мысленно вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три термина:

В этом примере одна из двенадцати возможностей верна. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное угадывание», в котором мы применяем все наши знания о числах и упражняемся в умственной арифметике. В предыдущем примере мы бы сразу отбросили многие комбинации. Поскольку мы ищем 17x в качестве среднего члена, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12 и т. д., поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетно, мы знаем, что это сумма четного числа и нечетного числа. Все эти вещи помогают сократить количество возможных попыток.

Сначала найдите числа, которые дают правильный первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего члена.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
3. Множители 6×2 равны x, 2x, 3x, 6x. Делители 15 равны 1, 3, 5, 15.
4. Исключить как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

Это автоматически дало бы слишком большой средний срок.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Раствор

Анализ:

1. Последний член отрицательный, поэтому отличается от знаков.
2. Мы должны найти произведения, отличающиеся на 5 с большим отрицательным числом.
3. Мы исключаем произведение 4x и 6 как возможно слишком большое.
4. Попробуйте несколько комбинаций.

Помните, мысленно попробуйте различные возможные комбинации, которые являются разумными. Это процесс факторинга методом проб и ошибок. Вы станете более опытным в этом процессе благодаря практике.

(4x — 3)(x + 2): Здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принять это как решение, а поменяйте знаки так, чтобы большее произведение совпадало по знаку со средним членом.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы должны чувствовать себя намного более комфортно при разложении трехчлена на множители.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Определите и разложите на множители разности двух идеальных квадратов.
2. Определите и разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если эти особые случаи признаются, факторинг значительно упрощается.

Первый частный случай, который мы обсудим, это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух двучленов на шаблон средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется аддитивным обратным другого. Например: ( + 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным, обратным к — 3, а также -3 является аддитивным, обратным к +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два двучлена умножаются, чтобы получить двучлен (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b)(a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной в факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема для факторизации и если она имеет форму , факторы будут (a — b)(a + b).

Решение

Здесь оба члена являются полными квадратами и разделены знаком минус.

Где a = 5x и b = 4.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забудьте признать, что особый случай является именно таким особенным. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разность двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разлагается.

Вы также должны быть осторожны, чтобы распознать правильные квадраты. Помните, что совершенные квадратные числа — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Кроме того, совершенные квадратные показатели четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) является полным квадратом. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено по этому методу.

Другим частным случаем факторинга является совершенный квадратный трехчлен. Заметьте, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаем этот случай, отмечая особенности. Три вещи очевидны.

1. Первый член — полный квадрат.
2. Третий член — полный квадрат.
3. Средний член равен удвоенному произведению квадратного корня из первого и третьего членов.

Для целей факторинга удобнее записать отчет как

Решение

1. 25x ² — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 5x.
2. 4 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 2.
3. 20x — удвоенное произведение квадратных корней из 25x ² и
4. 20х = 2(5х)(2).

Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен , сформируйте двучлен из квадратного корня из первого члена, квадратного корня из последнего члена и знака среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.

Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

Всегда возводите бином в квадрат, чтобы убедиться, что средний член правильный.

Не частный случай совершенного квадратного трехчлена.

15 ≠ 2(2x)(3)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОРРЕКТЫ ДЛЯ ФАКТОРИНГА ПРОБ И ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите ключевое число трехчлена.
2. Используйте номер ключа для факторизации трехчлена.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые упрощения метода проб и ошибок. Они необязательны по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти сокращения не всегда практичны для больших чисел. Однако они увеличат скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в этих сочетаниях клавиш является поиск номер ключа . После того, как вы нашли номер ключа, его можно использовать более чем одним способом.

В разлагаемом на множители трехчлене ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа. В этом примере (4)(-10)=-40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена ( + 3). В этом случае (+8)(-5)=-40 и (+8)+(-5)=+3.
Шаг 3 Множители ( + 8) и ( — 5) будут перекрестными произведениями в схеме умножения.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые при умножении дают произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые при умножении дают +8x. Это 4x от 4×2 и (+2) от (-10).
Поместите эти факторы на первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте номер ключа на этом этапе и вернитесь к исходной проблеме. Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых слагаемых должно давать 4×9.0077 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме х.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же коэффициенты. Наиболее важным является систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10) и (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме как (- 5).

Помните, что если трехчлен можно разложить на множители, то существует только один возможный набор множителей.

Если не удается найти делителей ключевого числа, сумма которых является коэффициентом при средних членах, то трехчлен является простым и не делит.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг путем группирования. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите число ключа (4)(-10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные в шаге 2. 8x — 5x = 3x, поэтому мы можем записать

Шаг 4 метод группировки, изученный в разделе 8-2

Теперь это становится обычной задачей факторизации по группировке.

907:40 Следовательно,

Опять же, существует только одна возможная пара множителей, которые можно получить из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить трехчлен на множители, выполнив следующие два шага:

1. Сначала найдите общие факторы.
2. Разложите на множители оставшийся трехчлен, применяя методы, описанные в этой главе.

Итак, мы изучили все обычные методы факторизации, встречающиеся в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов. Помните, что существует две проверки правильности факторинга.

1. Будут ли множители умножаться, чтобы дать исходную задачу?
2. Все ли множители простые?

Как только общий множитель найден, вы должны проверить, является ли полученный трехчлен факторизуемым.

Если у трехчлена есть какие-либо общие делители, обычно проще сначала разложить их на множители.

При разложении на множители рекомендуется всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, факторизовать то, что осталось.

SUMMARY

Ключевые слова

• Выражение находится в факторизованной форме, только если все выражение является указанным произведением.
• Факторинг — это процесс, который превращает сумму или разность условий в произведение факторов.
• Простое выражение нельзя разложить на множители.
• Наибольший общий делитель — это наибольший общий делитель всех терминов.
• Выражение является полностью разложенным на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
• Возможность факторизации путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более членов.
• Метод FOIL можно использовать для умножения двух двучленов.
• Особые случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов с совершенными квадратами .
• Ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

• Чтобы удалить общие делители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
• Трехчлены можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон для умножения, чтобы найти множители, которые дадут исходный трехчлен.
  
• Чтобы разложить на множители разность двух квадратов, используйте правило
  
• Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен, сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.
• Используйте ключевое число для помощи в определении факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.