Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

2. Объясните значение высказываний:

(Слайд 2)

а) Концентрация раствора 3 %;

(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).

в) Молоко имеет 1,5 % жирности;

(В100 г молока содержится 1,5 г жира).

с) золотое кольцо имеет 583 пробу?

(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).

Сколько сахара содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?

Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.

3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

(1: 5 ·100 = 20 %)

(Слайд 3)

4. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?

(1 : 10 ·100 = 10%)

(Слайд 4)

II. Решение задач

Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующую задачу мы решим с вами с помощью уравнения.

№1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?

(Слайд 5)

Для решения задачи я попрошу вас заполнить таблицу, которая находится у вас на столе.

(Слайд 6)

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.

Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.

По условию задачи составим и решим уравнение.

(Слайд 7)

0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,

65 х – 50 х = 70 у – 65 у,

15 х = 5 у,

3 х = 1 у,

х : у = 1 : 3.

Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты

Ответ: 50% раствора кислоты -1 часть, 70% раствора кислоты — 3 части.

А теперь я хочу предложить вам схему решения этой задачи арифметическим методом, который позволяет решить ее практически устно. Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси так:

Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям:

(Слайд 8)

Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей .

Вовсе не случайно в старые времена отношение масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.
Докажем справедливость этого способа.

В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот, чтобы получить раствор с % кислоты?

Заполним вторую таблицу.

(Слайд 9)

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х + у) г кислоты.

Составим и решим уравнение

(Слайд 10)

0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,

cx +cy = ax + by

х(с – а) = у(b – c),

Заполним схему, учитывая, что а < c < b.

Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.

Давайте применим этот способ для решения задач.

№2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы, чтобы получить золото 500 пробы?

(Слайд 11)

Итак составляем схему.

(Слайд 12)

Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2 части золота 375 пробы и 1 часть золота750 пробы.

Решим следующую задачу.

№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?

(Слайд 13)

(Слайд 14)

Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора. Значит на одну часть приходится 10 кг. Следовательно 7частей пресной воды – это 70 кг.

Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.

А теперь я попрошу вас составить задачу на смешение и решить ее алгебраическим способом. (Самостоятельная работа). Какие это могут быть задачи? На смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла.

Подведем итог урока. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.

Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

​ ​

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

118.4K

Пропорции 90‑60-90 уже давно не в тренде. Но вот, что вечно всегда — так это математические пропорции на уроках алгебры. Давайте практиковаться и вместе решать задачи.

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Вывод из главного свойства пропорции:

• Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
  
• Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  
  

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Запомним!

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

• Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

  Получим: 3x = 2y.

• Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
• После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

• Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

  300 — 100%

  108 — ?%

• Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
• Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

• Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
• Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

• v1 = 75 км/ч
• v2 = 52 км/ч
• t1 = 13 ч
• t2 = х

Как решаем:

1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

   Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.



2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

   t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

   30 : 24 = 5 : х



2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   х = 24 * 5 : 30

   х = 4



3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Свойства сложения и вычитания

К следующей статье

Зачем нужна математика

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Учебное пособие по алгебре для учащихся 8 класса, 2-е издание

1612 Ринг Роуд Элизабеттаун, Кентукки 42701 | Вт — Сб: 10:00 — 18:00 | 270-900-4604

Документальная литература / Домашнее обучение , Преалгебра/алгебра 1/2

247478

$22,50 ^{Уточняйте наличие в магазине!}

Алгебраические выражения и линейные уравнения применяются при тщательном рассмотрении операций над целыми числами, дробями, десятичными дробями, процентами и радикалами. Учащиеся изучают отношения и функции, используя уравнения, таблицы и графики. Главы по статистике и геометрии расширяют базовые понятия при подготовке к курсам средней школы. Решение задач и использование математики в реальной жизни представлены в каждой главе. Математика Доминиона может быть использована для управления творением Бога во славу Его.

Информация о местном магазине

Магазин Библии и подарков Word of God

1612 Ring Rd
Элизабеттаун, Кентукки 42701

Вт — Сб: 10:00 — 18:00

270-900-4604

О нас

Наслаждайтесь местным

Подключить

Посетите местного продавца и поздоровайтесь с соседями, воссоединитесь с друзьями, заведите новые связи и узнайте о событиях и событиях в вашем районе.

Инвестируйте в свое сообщество

Малый бизнес – сердце американской экономики! Держите больше долларов в обращении в вашем сообществе для поддержки других местных предприятий, некоммерческих и благотворительных организаций.

Сохраняйте уникальность своего сообщества

Местные специализированные предприятия определяют ваш родной город. Семьи, предприниматели и квалифицированные специалисты любят сообщества, которые способствуют этому уникальному опыту.

Экспертная помощь и обслуживание

Сотрудники вашего местного розничного продавца увлечены своей продукцией и своим сообществом. Воспользуйтесь их опытом и знаниями и поделитесь своей мудростью и опытом.

Выпуск: 01.03.2010

Артикул: 9781591667476

Издатель: Bob Jones University Press

Формат: Мягкая обложка

Язык: Английский

Библейские игровые карты Go Fish Christian 50 Count

Сестры-близнецы (р), Ким Митцо Томпсон, Карен Митцо Хильдербранд

2012 г.

4,99 $

150 великих американцев

Уильям Дж. Беннетт, Джон Т. Э. Крибб

2022 — Мягкая обложка

18,99 $

Общая информация о гражданской войне и книга фактов

Уэбб Гаррисон

2022 — Мягкая обложка

19,99 $

Дух революции: Бостон: Колыбель свободы

Кэм Молинье

2021 — Мягкая обложка

$19,99

Тайник

Корри Тен Бум, Элизабет Шерил, Джон Шерил

2006 г. — Мягкая обложка

15,99 $

Принц Каспиан: Возвращение в Нарнию

К. С. Льюис, Полин Бейнс [иллюстратор]

2002 — Мягкая обложка

8,99 $

Текст для студентов по основам математики, 2-е издание, обновление авторских прав

63,89 $

Рождественская песнь

Чарльз Диккенс

2008 г. — Мягкая обложка

7,99 $

Ой, похоже случилось что-то странное. Нажмите «Обновить», чтобы перезагрузить страницу. Перезагрузить 🗙

Математика для 8 класса (второй семестр предалгебры)

Математика для 8 класса (второй семестр предалгебры)

Рекомендуемый уровень обучения:

Цена курса:

Информация о курсе:

Этот курс охватывает важные темы, необходимые для изучения учащимся полноценного курса алгебры.