Представлены примеры для 9 класса с подробным пошаговым подходом к решению простых уравнений и уравнений со скобками и дробями. Также обсуждается проверка решений уравнения. Также включены дополнительные вопросы и их решения с подробными объяснениями.

Что такое уравнение и его решение?

Пример 1
Это примеры уравнений с неизвестным \( x \)
\( \quad 2 x = — 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = — (2x+4) \)

В каждом уравнении есть знак равенства, разделяющий левую и правую части уравнения.
Левая часть уравнения \( \quad \color{red}{2 x — 6} = x + 5 \) равна \( \quad \color{red}{2 x — 6} \).
Правая часть уравнения \( \quad 2 x — 6 = \color{red}{x + 5} \) равна \( \quad \color{red}{x + 5} \).

Пример 2
Какое из следующих значений \( x \): \( — 4, 2\) является(ются) решением(ями) уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \)?

Решение примера 2
Замените \( x \) его числовым значением в левой и правой частях уравнения

а) Проверить \( \color{red}{x = — 4} \)
Оценить левую часть: \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( — 4 )} + 2 = — 8 + 2 = — 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( — 4)} + 4 = 0 \)
Числовые значения левой и правой частей не равны, поэтому \( x = — 4 \)

а) Проверить \( \color{red}{x = 2} \)
Оцените левую часть: \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Оцените правую часть: \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Числовые значения левой и правой сторон равны, поэтому \( x = 2 \) равно решение уравнения \( 2 x + 2 = x + 4 \).

Важные свойства для решения уравнений

Решение простых уравнений

Решение примера 3
Основная идея состоит в том, чтобы все члены с неизвестным \( x \) с одной стороны и все постоянные члены с другой стороны уравнения

Оставим члены \( 2x \) слева, а постоянные члены — справа. Это можно сделать, вычитая \( 1 \) из обеих частей уравнения
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = — 5 \color{red}{- 1} \)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка 2x = — 6 \)

Чтобы получить \( x \) из \( 2x \), мы разделим обе части приведенного выше уравнения на 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = -3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = — 5 \)
Оценить левую часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad — 5 \)
Левая и правая части равны \( — 5 \) для \( x = — 3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Пример 4
Решите уравнение \( x — 2 — 3x = — 7 — x \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 4
Сгруппируйте одинаковые члены в двух частях уравнения. \( x \) и \( — 3x \) подобны терминам в левой части и могут быть сгруппированы, чтобы дать
\( \четверка \четверка — 2х — 2 = — 7 — х \)

Добавьте \( 2 \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части.
\( \quad \quad — 2x — 2 \color{red}{+ 2} = — 7 — x \color{red}{+ 2} \)

Упростить
\( \четверка \четверка — 2x = — x — 5 \)

Добавьте \( x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены с \( x \) из правой части.
\( \quad \quad — 2x \color{red}{+x } = — x — 5 \color{red}{+x }\)

Упростите, чтобы получить
\( \четверка \четверка — х = — 5 \)

Если мы знаем \( — x \) и нам нужно \( x \), мы умножаем обе части уравнения на \( — 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)

Упростить
\( \квадратный \четверный х = 5 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad x — 2 — 3x = 5 — 2 -3(5) = — 12 \)
Правая часть уравнения для \( x = 5 \) : \( \quad — 7 — x = — 7 — (5) = — 12 \)
Левая и правая части равны \( — 12 \) для \( x = 5 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений со скобками

Пример 5
Решите уравнение \( — 2 (x — 2) + 3 = 3 (-x + 4) — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 5
Данное уравнение
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x — 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) — 3 \)
Используйте распределительный закон: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), который является одним из основных правил алгебры, чтобы убрать скобки. Распределите \(\color{red}{-2} \) и \(\color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red }3 (4) — 3 \)
Упростить
\( \quad \quad — 2 х + 4 + 3 = — 3 х + 12 — 3 \)

Сгруппируйте одинаковые члены в обеих частях уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 = — 3 x + 9 \)

Вычтите \( 7 \) из обеих частей уравнения, чтобы исключить постоянные члены из левой части уравнения.
\( \quad \quad — 2 x + 7 — 7 = — 3 x + 9 — 7 \)

Групповые термины
\( \квадратный \четверный — 2x = — 3x + 2 \)

Добавьте \( 3x \) к обеим частям уравнения, чтобы исключить члены в \( x \) из левой правой части уравнения.
\( \quad \quad — 2x + 3 x = — 3x + 2 + 3x \)

Сгруппируйте похожие термины и упростите
\( \квадрат \квадрат х = 2 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Оцените левую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad — 2 (x — 2) + 3 = — 2 ((2) — 2) + 3 = 3 \)
Оцените правую часть уравнения для \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) — 3 = 3 (-(2) + 4) — 3 = 3 \)
Левая и правая стороны равны 3 для \( x = 2 \), поэтому \( x = 2 \) является решением данного уравнения.

Решение уравнений с дробями

Принятый здесь метод решения уравнений с дробями заключается в том, что мы сначала избавляемся от дробей (чтобы не иметь дело с дробями) путем умножения, а затем решаем уравнение.

Пример 6
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{2} = — 3 \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 6
Чтобы исключить знаменатель \( 2 \) в \( \dfrac{x}{2} \), мы умножаем две части уравнения на знаменатель \( 2 \)

\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)

Упростить
\( \quad x = — 6 \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = — 3 \)
Левая и правая стороны равны \( — 3 \) для \( x = — 6 \), поэтому \( x = — 6 \) является решением данного уравнения.

Пример 7
Решите уравнение \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 7
Теперь у нас есть две дроби со знаменателями \( 2 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Чтобы избавиться от дробей, нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(2\) и \(3\).
Найдите НОК \( 2 \) и \( 3 \), который равен \( 6 \).
Умножьте обе части уравнения на НОК, который равен \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1 {3}\справа) \)

Распределить коэффициент \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) — 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3) } \правильно) \)

Переставить как
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x — \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \ правильно) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 2x — 3 = 2 \)

ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы избавиться от дробей, необходим один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, поскольку НОК кратен каждому знаменателю.

Решите приведенное выше уравнение, добавив \( 3 \) к обеим частям, и упростите, чтобы получить
\( \четверка\четверка 2 х = 5 \)

Разделить обе части на \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)

Проверить решение, полученное в исходном (заданном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3 } x — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) — \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{ 3} \)

Левая и правая стороны равны \( \dfrac{1}{3} \) для \( x = \dfrac{5}{2} \), поэтому \( x = \dfrac{5}{2} } \) является решением данного уравнения.

Пример 8
Решите уравнение \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = — \dfrac{x}{3} \) и проверьте полученное решение.

Решение примера 8
Теперь у нас есть дроби со знаменателями \( 5 \) и \( 3 \) в данном уравнении. Нам нужно умножить обе части уравнения на НОК (наименьшее общее кратное) двух разных знаменателей \(5\) и \(3\).
Найдите LCM \( 5 \) и \( 3 \), которое равно \( 15 \).
ПРИМЕЧАНИЕ. Один шаг, который представляет собой умножение обеих частей уравнения на НОК знаменателей, необходим, чтобы избавиться от дробей, потому что НОК кратен каждому знаменателю.

Умножить обе части уравнения на НОК \( 15 \)
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left(\ — \dfrac{ х}{3} \справа) \)

Коэффициент распределения \( 15 \)
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( — \dfrac{x}{3} \right) \)

Переставить как
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \)

Упростить
\( \четверка\четверка 3 (2x+1) + 30 = — 5x \)

Распределить множитель \(3 \) в левой части и сгруппировать подобные термины
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = — 5x \)
\( \quad\quad 6x + 33 = — 5 x \)

Вычтите \( 33 \) с обеих сторон и прибавьте \( 5x \) к обеим сторонам. (ПРИМЕЧАНИЕ: мы выполнили две операции за один шаг.)

\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = — 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \)

Групповые термины
\( \quad\quad 11 x = — 33 \)

Разделите обе части на \( 11 \)
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \)
Упростить
\( \четверка\четверка х = — 3 \)

Проверить решение, полученное в исходном (данном) уравнении
Левая часть уравнения для \( x = — 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2( -3)+1}{5}+2=1\)

Правая часть уравнения для \( x = -3 \) : \( \quad — \dfrac{x}{3} = — \dfrac{-3}{3} = 1 \) Левая и правая части равны \( 1 \) для \( x = -3 \), поэтому \( x = — 3 \) является решением данного уравнения.

Вопросы

1. Решите следующие уравнения и проверьте найденное решение.
   
   
   1. ) \( 2x + 2 = 6 \)
   2. ) \( 5у — 2 = 7у — 8 \)
   3. ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x — 3 \)
   4. ) \( 0,2 д + 4 = — 0,1 д — 2 \)
   5. ) \(-2(2х-6) = -(х-4) \)
   6. ) \( -(х+2)+4 = 2(х+3) + х \)
   7. ) \( \dfrac{x}{5} = — 6 \)
   8. ) \( — \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
   9. ) \( — \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} — x \)
   10. ) \( — \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
   11. ) \( — \dfrac{1}{2} — x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)

Включены ответы на вышеуказанные вопросы.

Дополнительные справочные материалы и ссылки

Решить уравнения, системы уравнений и неравенства
Найти наименьшее общее кратное
Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (10 классы, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Первичная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами

Создание алгебраических выражений: алгебра — класс 9

Тема Предальгебра или алгебра 1

Grade 8 или 9 0004

Grade 8 или 9 0004

. Цель урока:  Учащиеся узнают, как создавать переменные и использовать их в математических выражениях. Это игра   , которая поможет учащимся начать думать о построении алгебраических выражений и уравнений, прежде чем вводить переменные.

Общий базовый стандарт  

CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1: Создавайте уравнения и неравенства с одной переменной и используйте их для решения задач. Включите уравнения, возникающие из линейных и квадратичных функций, а также простых рациональных и экспоненциальных функций .

• Различные типы калькуляторов, в том числе компьютерные
• Дополнительные материалы для улучшения игрового процесса.
  • Во время игры вы можете обнаружить, что добавление глупости в игру сделает ее более успешной. Дайте кому-нибудь микрофон (настоящий или воображаемый, неважно) подержать перед динамиком. Используйте аплодисменты, либо от аудитории, либо предварительно записанные. Назначьте учащемуся запускать и останавливать кнопку аплодисментов. Попросите учащихся записать конкурс и разместить его на YouTube. Разрешить мусорную болтовню. Дайте командам такие названия, как «Головастики против жаб», и соревнование станет «Болотной чашей».

Начните с создания своих команд. Существует множество вариантов настройки игры. Две команды, учитель против учеников, отдельные участники и т. д. Поручите одному ученику (или одной команде) выбрать число и записать его. Его называют Мистер Выбирающий, Мадам Выбирающий или какой-нибудь творческий титул.

«Строитель» строит последовательность инструкций, таких как «добавить три», «удвоить» и т. д. Затем Выбирающий сообщает свои результаты, а зрители (вторая команда, два участника и т. д.) должны определить исходное число. .

Вначале инструктором должен быть Строитель, так как он может определить сложность. Начните с простых одношаговых задач, возможно, сложения или вычитания. Постепенно переходите к умножению/делению, дробям и т. д. Затем переходите к последовательностям из двух или трех шагов. Если учащимся разрешено построить последовательность, они могут случайным образом предлагать шаги, такие как деление на три, что приводит к дробным ответам. Подготовьтесь к этому.

Например:

Преподаватель (драматически): «Мистер Выбор, вы готовы?»

Выбирающий: «Да, я».

Преподаватель: «Выбери число меньше 20 и запиши его. У тебя есть твой номер?»

Выбирающий: «Да, хочу.»

Инструктор: «А теперь прибавь девять и скажи мне результат.»

Выбирающий: «23»

Инструктор: «Команда 2?»

Лидер группы 2: «14»

Инструктор: «Да, верно! Счетчик, добавьте единицу для команды 2.»

Пусть учащиеся группы 2 (команда респондентов) работают вместе, но у них есть назначенный Ответчик. Сначала ответ на простую последовательность будет очевиден, и Отвечающий вызовет его. Когда становится сложнее, они могут подождать, пока не найдут консенсус. Когда нет согласия, они пересматривают, чтобы увидеть, что правильно.

Постепенно усложняйте последовательность инструкций, чтобы учащиеся команды 2 не могли легко считать в уме и должны были записывать шаги. Это, конечно, сердце математики, запись абстрактных понятий в символической записи. Вполне вероятно, что сначала учащиеся будут писать простые слова для математических глаголов, таких как «сложить» вместо символа + и «умножить» для умножения, но слова вычесть и разделить не могут быть написаны быстро. Они могут разработать стенографию, но, скорее всего, будут использовать символы.

Если учащиеся уже знакомы с переменными, они, скорее всего, начнут их использовать. Если нет, они могут разработать свои собственные обозначения, используя такие символы, как прямоугольник □, открывающие/закрывающие круглые скобки () или, что более вероятно, букву N для неизвестного номера Выбирающего.

После того, как вы определите переменные, которые они используют, сделайте обозначения общедоступными (запишите их на доске). Вы можете добавить дополнительный балл, если выражение правильное. Если учащиеся изобрели свои собственные обозначения, такие как □ + 3, пока придерживайтесь их.

Наконец, введите последовательности, которые позволят обсудить включение  в нотации. Например, «Начните с числа. Добавьте 3. Удвойте его». Студенты, скорее всего, напишут «N + 3 x 2» и будут использовать стратегию выполнения каждого шага в последовательности в обратном порядке. Если Выбирающий начинает с восьми, а затем заявляет, что его результат равен 22, Команда 2 разделит на 2, а затем вычтет 3, что даст 8, правильный ответ.

Однако, если Выбирающий использует научный калькулятор и вводит «8 + 3 x 2», он получит 14, правильный ответ, если калькулятор использует алгебраическую логику. (Возможно, вы намеренно снабдите Выбирающего алгебро-логическим калькулятором в начале, чтобы предвидеть эту дилемму.) Итак, Выбирающий объявляет, что его ответ равен 14, но ученики Команды 2, использующие процесс обратной операции, считают, что его исходное число должно быть 4 (14). / 2 – 3).

Не спешите разрешать противоречие. Пусть учащиеся найдут, какие калькуляторы/компьютеры дают какой ответ, и найдут общие черты. В конце концов, вы надеетесь, что они спросят вас (эксперта), что правильно.

Ваш ответ должен быть таким: вы хотите сначала выполнить сложение или умножение? Их ответ должен заключаться в том, чтобы делать то, что приходит первым (слева направо).

Тогда вы можете спросить, как бы вы показали, если бы сначала хотели выполнить умножение, т. е. «8 прибавить к произведению 3 умножить на 2». Вероятно, кто-то предложит использовать скобки. 8 + (3 х 2).

Постепенно начните называть «неизвестный номер» Chooser «переменным номером», а затем просто «переменной».

В этой игре огромное количество возможностей для открытий. Ученик может заметить, что не имеет значения, стоит ли прибавление 8 после (3 x 2).

Дополнительно  (либо в том же учебном периоде, но, скорее всего, в последующем классе)

Постепенно начните использовать x  как символ вашего неизвестного. Большинству учащихся это покажется логичным, поскольку  x  часто представляет что-то неизвестное.

Обозначение, в котором x используется как неизвестное, так и как символ умножения, может сбивать с толку.