ГДЗ по Геометрии для 11 класса самостоятельные работы Иченская М.А. на 5

ГДЗ по Геометрии для 11 класса самостоятельные работы Иченская М.А. на 5

Часто ищут

• • Алгебра 11 класс Задачник Базовый уровень
  • Автор: А.Г. Мордкович
  • Издательство: Мнемозина 2015-2020
• • Химия 11 класс Базовый уровень
  • Автор: О. С. Габриелян
  • Издательство: Дрофа 2015
• • Алгебра 11 класс Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева
  • Издательство: Просвещение 2015
• • Алгебра 11 класс
  • Авторы: Муравин Г. К., Муравина О.В.
  • Издательство: Дрофа 2014-2021
• • Русский язык 11 класс
  • Авторы: Власенков А.И., Рыбченкова Л.М.
  • Издательство: Просвещение 2009
• • Алгебра 11 класс Задачник Базовый и углубленный уровень
  • Авторы: Мордкович А. Г., Денищева О.Л., Звавич Л.И.
  • Издательство: Мнемозина 2016-2020
• • Химия 11 класс Базовый уровень
  • Авторы: Кузнецова Н.Е., Левкин А.Н., Шаталов М.А.
  • Издательство: Вентана-граф 2010
• • Биология 11 класс
  • Авторы: Каменский А. А., Криксунов Е.А., Пасечник В.В.
  • Издательство: Дрофа 2014
• • Английский язык 11 класс Happy English
  • Авторы: Кауфман К.И., Кауфман М.Ю.
  • Издательство: Титул 2012

Смирнова И., Смирнов В. Геометрия. 10-11 классы. Дидактические материалы

• формат djvu
• размер 899.71 КБ
• добавлен 26 апреля 2011 г.

М.: Мнемозина, 2007. — 128 с.
В пособие включены математические диктанты, самостоятельные и контрольные работы, тесты, материалы для проведения зачетов. Они помогут организовать индивидуальную работу учащихся, осуществлять текущий контроль и итоговую проверку. В конце книги даны ответы к заданиям самостоятельных, контрольных работ и тестов.
Математические диктанты.
Самостоятельные работы.
Контрольные работы.
Тесты.
Зачеты.
Ответы.

Купить книгу «Геометрия. 10-11 классы. Дидактические материалы»

Смотрите также

• формат djvu
• размер 2.03 МБ
• добавлен 04 февраля 2011 г.

М. Дрофа 2000 288 c. ISBN 5-7107-3542-6. Пособие содержит контрольные работы для 8-11 классов, тематическую подборку задач, примерные билеты к выпускным экзаменам в 9 и 11 классах с углублённым изучением математики.

Книга может быть использована в качестве задачника в классах с сильным составом учащихся, а также для самостоятельных занятий.

• формат djvu
• размер 9.59 МБ
• добавлен 03 января 2011 г.

М.: Просвещение, 2009. — 159 с. Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные работы, а также математические диктанты. Оно ориентировано на учебник «Геометрия, 10-11» автора Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Л. С. Киселевой, Э. Г. Позняка, но может быть использовано при работе и по другим учебникам.

• формат djvu
• размер 19.57 МБ
• добавлен 06 января 2011 г.

М.: Просвещение, 2008. — 130 с. Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по геометрии, а также математические диктанты.

Дидактические материалы адресованы учителям, работающим по учебнику «Геометрия, 10-11» авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Л. С. Киселевой, Э. Г. Позняка, но могут быть использованы при работе и по другим учебникам.

• формат djvu
• размер 397.1 КБ
• добавлен 24 февраля 2011 г.

Книга содержит самостоятельные (в четырех вариантах) и контрольные (в двух вариантах) работы и ориентирована на учебно-методический комплект, состоящий из учебника `Геометрия, 7-9` и учебного пособия `Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 8класса с углубленным изучением математики` авторов Л. С. Атанасяна и др. М. Просвещение. 2000, 80 с. ISBN: 5-09-008793-8

• формат djvu
• размер 2.39 МБ
• добавлен 13 ноября 2010 г.

М. : Просвещение, 1988. — 145 с. Пособие для учителя Дидактические материалы предназначены для учителей средней школы в качестве дополнительного пособия. Тексты самостоятельных и контрольных работ даны в соответствии с действующим учебным пособием «Алгебра и начала анализа, 9-10».

• формат jpg
• размер 57.83 МБ
• добавлен 08 февраля 2011 г.

Дидактические материалы по курсу алгебры начало математического анализата содержит 45 самостоятельных и 7 контрольных работ в четырех вариантах. М.: Просвещение,2008-159с.rn

• формат pdf
• размер 2.77 МБ
• добавлен 18 октября 2011 г.

Домашняя работа по геометрии за 7 класс А.Н. Прокопович. К учебнику «Геометрия 7-9 классы. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 2009г.»

• формат pdf
• размер 2.93 МБ
• добавлен 28 апреля 2009 г.

Решебник на все задачи из сборника «дидактические материалы по геометрии 11 класс Зив 2002 год» в хорошем качестве.

• формат pdf
• размер 2.76 МБ
• добавлен 17 апреля 2011 г.

Москва, 2010 г. -127 с. В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из учебника «Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. ]. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009». Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по геометрии. Метод коор…

• формат djvu
• размер 2.17 МБ
• добавлен 15 июня 2011 г.

Алгебра: 9 класс: Дидактические материалы; Контрольные и самостоятельные работы; Краткие решения; Ответы Школа XXI в. 2004 г Пособие содержит тематические зачеты, контрольные и самостоятельные работы, а также дополнительные задачи по всем разделам курса алгебры 9 класса общеобразовательной школы.

3.2 Независимые и взаимоисключающие события – вводная бизнес-статистика

Независимые и взаимоисключающие события означают ли , а не одно и то же.

Независимые события

Два события независимы, если верно одно из следующих условий:

• P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)
• П(Б|А)=П(Б)П(Б|А)=П(Б)
• П(А∩В)=П(А)П(В)П(А∩В)=П(А)П(В)

Два события A и B являются независимыми, если знание того, что произошло одно, не влияет на вероятность возникновения другого. Например, результаты двух ролей честной кости являются независимыми событиями. Исход первого броска не влияет на вероятность исхода второго броска. Чтобы показать, что два события независимы, вы должны показать только одно из вышеуказанных условий. Если два события НЕ являются независимыми, то мы говорим, что они зависимы .

Отбор проб может производиться с заменой или без замены .

• С заменой : Если каждый элемент совокупности заменяется после его выбора, то этот элемент может быть выбран более одного раза. Когда выборка выполняется с замещением, события считаются независимыми, то есть результат первого выбора не изменит вероятности второго выбора.
• Без замены : При отборе проб без замены каждый член совокупности может быть выбран только один раз. В этом случае на вероятность второго выбора влияет результат первого выбора. События считаются зависимыми или не независимыми.

Если неизвестно, являются ли A и B независимыми или зависимыми, предполагает, что они зависимы, пока не будет показано обратное .

Пример 3.4

У вас есть хорошо перетасованная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти — трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти по 13 карт, состоящих из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама), K (король) этот костюм.

а. Выборка с заменой:
Предположим, вы выбираете три карты с замещением. Первая карта, которую вы выберете из 52 карт, — это Q пик. Вы кладете эту карту обратно, перетасовываете карты и выбираете вторую карту из колоды из 52 карт. Это десятка треф. Вы кладете эту карту обратно, перетасовываете карты и выбираете третью карту из колоды из 52 карт. На этот раз карта Q снова пик. Ваш выбор: { Q пик, десятка треф, Q пик}. Вы дважды выбрали Q пик. Вы выбираете каждую карту из колоды из 52 карт.

б. Выборка без замены:
Предположим, вы выбираете три карты без замены. Первая карта, которую вы выберете из 52 карт, — это K червей. Вы откладываете эту карту в сторону и выбираете вторую карту из 51 карты, оставшейся в колоде. Это тройка бубнов. Вы откладываете эту карту в сторону и выбираете третью карту из оставшихся 50 карт в колоде. Третья карта J лопат. Ваш выбор: { K червей, тройка бубен, J пик}. Поскольку вы выбрали карты без замены, вы не можете выбрать одну и ту же карту дважды. Вероятность того, что выпадет тройка бубнов, называется условной вероятностью, поскольку она зависит от того, что было выбрано первым. Это верно и в отношении вероятности выпадения пиковой валетки. Вероятность того, что выпадет пиковая вилка, на самом деле зависит от обоих предыдущих выборов.

Пример 3,5

Проблема

У вас есть хорошо перетасованная колода из 52 карт. Он состоит из четырех мастей. Масти — трефы, бубны, червы и пики. В каждой масти по 13 карт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (валет), Q (дама) и K (король). этого костюма. S = пики, H = червы, D = бубны, C = трефы.

1. Предположим, вы выбираете четыре карты, но не кладете их обратно в колоду. Ваши карты QS , 1 D , 1 C , QD .
2. Предположим, вы выбираете четыре карты и кладете каждую карту обратно перед тем, как взять следующую карту. Ваши карты: KH , 7 D , 6 D , KH .

Какой из a. или б. вы пробовали с заменой и какие вы пробовали без замены?

Решение 1

а. Без замены; б. С заменой

Взаимоисключающие события

A и B являются взаимоисключающими событиями, если они не могут произойти одновременно. Другими словами, если произошло A , то B не может произойти, и наоборот. Это означает, что A и B не имеют общих исходов и P(A∩B)=0P(A∩B)=0.

Например, предположим, что пространство выборки S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7, 8} и С = {7, 9}. А ∩ ∩ В = {4, 5}. P(A∩B)=210P(A∩B)=210 и не равно нулю. Следовательно, A и B не исключают друг друга. A и C не имеют общих чисел, поэтому P(A∩C)=0P(A∩C)=0. Таким образом, A и C являются взаимоисключающими.

Если неизвестно, являются ли A и B взаимоисключающими, предположим, что нет, пока не будет доказано обратное . Следующие примеры иллюстрируют эти определения и термины.

Пример 3,6

Подбросьте две честные монеты. (Это эксперимент.)

Пример пространства { HH , HT , TH , TT }, где T = решка и H = решка. Результатами являются HH , HT , TH и TT . Исходы HT и TH разные. HT означает, что на первой монете выпал орел, а на второй — решка. TH означает, что на первой монете выпала решка, а на второй – орёл.

• Пусть A = событие получения не более одной решки . (В лучшем случае один хвост означает ноль или один хвост.) Тогда A можно записать как { HH , HT , TH }. Результат HH показывает нулевые хвосты. HT и TH имеют по одному хвосту.
• Пусть B = событие выпадения всех решек. B можно записать как { TT }. B является дополнением от A , поэтому B = A′ . Кроме того, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ 90) = 1 2.
• Вероятности для A и B равны P ( A ) = 3434 и P ( B ) = 1414.
• Пусть C = событие выпадения всех орлов. С = { ЧЧ }. С Б = { TT }, P(B∩C)=0P(B∩C)=0. B и C являются взаимоисключающими. ( B и C не имеют общих членов, потому что вы не можете иметь одновременно все решки и все решки.)
• Пусть D = событие получения более одного хвоста . Д = { ТТ }. Р ( Д ) = 1414
• Let E = событие выпадения орла при первом броске. (Это означает, что при втором броске вы можете получить либо орла, либо решку.) E = { HT , HH }. Р ( Е ) = 2424
• Найти вероятность того, что выпадет хотя бы одна (одна или две) решка за два броска. Пусть F = событие выпадения хотя бы одной решки за два броска. F = { HT , TH , TT }. Р ( Ф ) = 3434

Пример 3,7

Проблема

Подбросьте две честные монеты. Найдите вероятности событий.

1. Пусть F = событие получения не более одной решки (нулевой или одной решки).
2. Пусть G = событие получения двух одинаковых граней.
3. Пусть H = событие выпадения орла при первом броске, за которым следует орел или решка при втором броске.
4. Являются ли F и G взаимоисключающими?
5. Пусть J = событие выпадения всех решек. Являются ли J и H взаимоисключающими?

Решение 1

Посмотрите на демонстрационное пространство в примере 3.6.

1. Ноль (0) или одна (1) решка выпадает, когда выпадают результаты HH , TH , HT . Р ( Ф ) = 3434
2. Два лица будут одинаковыми, если появится HH или TT . Р ( Г ) = 2424
3. Выпадение орла при первом броске, за которым следует орел или решка при втором броске, происходит, когда HH или Появляется HT . Р ( Н ) = 2424
4. F и G разделяют HH , поэтому P(F∩G)P(F∩G) не равно нулю (0). F и G не исключают друг друга.
5. Получение всех решек происходит, когда решки выпадают на обеих монетах ( TT ). Результатами H являются HH и HT .

J и H не имеют ничего общего, поэтому P(J∩H)P(J∩H) = 0, J и H являются взаимоисключающими.

Пример 3,8

Бросьте один правильный шестигранный кубик. Демонстрационное пространство {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Пусть событие A = лицо нечетное. Тогда A = {1, 3, 5}. Пусть событие B = лицо четное. Тогда В = {2, 4, 6}.

• Найдите дополнение A , A′ . Дополнение A , A’ равно B , потому что A и B вместе составляют пространство выборки. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A ′ ) = 1. Также, P ( A ) = = 1. Также P ( A ) =. 3636 и P ( B ) = 3636.
• Пусть событие C = нечетные грани больше двух. Тогда C = {3, 5}. Пусть событие D = все четные грани меньше пяти. Тогда D = {2, 4}. P(C∩D)=0P(C∩D)=0, потому что у вас не может быть одновременно четного и нечетного лица. Следовательно, C и D являются взаимоисключающими событиями.
• Пусть событие E = все грани меньше пяти. Е = {1, 2, 3, 4}.

Проблема

Являются ли события C и E взаимоисключающими? (Ответьте да или нет.) Почему или почему нет?

Решение 1

№ C = {3, 5} и E = {1, 2, 3, 4}. Р(С∩Е)=16Р(С∩Е)=16. Чтобы быть взаимоисключающими, P(C∩E)P(C∩E) должно быть равно нулю.

• Найти P(C|A)P(C|A). Это условная вероятность. Напомним, что событие C — это {3, 5}, а событие A — это {1, 3, 5}. Чтобы найти P(C|A)P(C|A), найдите вероятность C , используя выборочное пространство A . Вы уменьшили пространство выборки с исходного пространства выборки {1, 2, 3, 4, 5, 6} до {1, 3, 5}. Итак, P(C|A)=23P(C|A)=23.

Пример 3,9

Пусть событие G = посещение урока математики. Пусть событие H = посещение урока естествознания. Тогда G ∩∩ H = берет урок математики и урок естественных наук. Предполагать P(G)=0,6, P(H)=0,5P(G)=0,6, P(H)=0,5 и P(G∩H)=0,3.P(G∩H)=0,3. Являются ли G и H независимыми друг от друга?

Если G и H независимы, то необходимо показать ОДИН из следующего:

• P(G|H)=P(G)P(G|H)=P(G)
• P(H|G)=P(H)P(H|G)=P(H)
• P(G∩H)=P(G)P(H)P(G∩H)=P(G)P(H)

ПРИМЕЧАНИЕ

Ваш выбор зависит от имеющейся у вас информации. Вы можете выбрать любой из методов, потому что у вас есть необходимая информация.

Проблема

а. Покажите, что P(G|H)=P(G)P(G|H)=P(G).

Решение 1

P(G|H)=P(G∩H)P(H)= 0,30,5=0,6=P(G)P(G|H)=P(G∩H)P(H)= 0,30,5= 0,6=П(Г)

Проблема

б. Покажите P(G∩H)=P(G)P(H)P(G∩H)=P(G)P(H).

Решение 2

P(G)P(H)=(0,6)(0,5)=0,3=P(G∩H)P(G)P(H)=(0,6)(0,5)=0,3=P(G∩H)

Поскольку G и H независимы, знание того, что человек посещает урок естествознания, не меняет вероятность того, что он или она посещает урок математики. Если бы эти два события не были независимыми (то есть, они были бы зависимыми), то знание того, что человек посещает урок естествознания, изменило бы вероятность того, что он или она будет заниматься математикой. Для практики покажите, что P(H|G)=P(H)P(H|G)=P(H), чтобы показать, что G и H являются независимыми событиями.

Пример 3.10

Проблема

Пусть событие C = посещение урока английского языка. Пусть событие D = урок речи.

Предположим, что P(C)=0,75P(C)=0,75, P(D)=0,3P(D)=0,3, P(C|D)=0,75P(C|D)=0,75 и P(C∩ D)=0,225P(C∩D)=0,225.

Обоснуйте свои ответы на следующие вопросы численно.

1. Являются ли C и D независимыми?
2. Являются ли C и D взаимоисключающими?
3. Что такое P(D|C)P(D|C)?

Решение 1

1. Да, потому что P(C|D)=P(C)P(C|D)=P(C).
2. Нет, потому что P(C∩D)P(C∩D) не равно нулю.
3. P(D|C)=P(C∩D)P(C)= 0,2250,75=0,3P(D|C)=P(C∩D)P(C)= 0,2250,75=0,3

Пример 3.11

В коробке три красные карты и пять синих карт. Красные карты отмечены цифрами 1, 2 и 3, а синие карты отмечены цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Карты хорошо перетасованы. Вы лезете в коробку (вы не можете в нее заглянуть) и берете одну карту.

Let R = взята красная карта, B = взята синяя карта, E = взята карта с четным номером.

Пространство образца S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. . S имеет восемь исходов.

• P(R)=38.P(B)=58.P(R∩B)=0P(R)=38.P(B)=58.P(R∩B)=0. (Вы не можете взять одну карту одновременно красную и синюю.)
• Р(Э)=38Р(Э)=38. (Есть три карты с четными номерами, R 2, B 2 и B 4. )
• Р(Е|В)=25Р(Е|В)=25. (Есть пять синих карт: B 1, B 2, B 3, B 4 и B 5. Из синих карт есть две четные карты: B 2 и В 4.)
• P(B|E)=23P(B|E)=23. (Есть три карты с четными номерами: R 2, B 2 и B 4. Из четных карт синие; B 2 и В 4.)
• События R и B являются взаимоисключающими, поскольку P(R∩B)=0P(R∩B)=0.
• Пусть G = карта с номером больше 3. G = { B 4, B 5}. Р(Г)=28Р(Г)=28. Пусть H = синяя карта с номерами от одного до четырех включительно. H = { B 1, B 2, B 3, B 4}. Р(Г|Н)=14Р(Г|Н)=14. (Единственная карта в H , имеющая число больше трех, это B 4.) Поскольку 2828 = 1414, P(G)=P(G|H)P(G)=P(G|H), а это означает, что G и H независимы.

Пример 3.12

В определенном классе колледжа 60% учащихся составляют женщины. Пятьдесят процентов всех учеников в классе носят длинные волосы. Сорок пять процентов студентов — девушки, у них длинные волосы. Среди студенток 75% имеют длинные волосы. Пусть F будет событием, что студенткой является женщина. Пусть L будет событием, что у студента длинные волосы. Случайным образом выбирается один ученик. Являются ли события женского пола и длинных волос независимыми?

• В этом примере приведены следующие вероятности:
• P(F)=0,60;P(L)=0,50P(F)=0,60;P(L)=0,50
• P(F∩L)=0,45P(F∩L)=0,45
• P(L|F)=0,75P(L|F)=0,75

ПРИМЕЧАНИЕ

Ваш выбор зависит от имеющейся у вас информации. В этом примере можно использовать первое или последнее условие в списке. Вы еще не знаете P ( F | L ), поэтому не можете использовать второе условие.

Проверить, является ли P(F∩L)=P(F)P(L)P(F∩L)=P(F)P(L). Нам дано, что P(F∩L)=0,45P(F∩L)=0,45, но P(F)P(L)=(0,60)(0,50)=0,30P(F)P(L)=(0,60 )(0,50)=0,30. События быть женщиной и иметь длинные волосы не являются независимыми, потому что P(F∩L)P(F∩L) не равно P(F)P(L)P(F)P(L).

Проверить, равно ли P(L|F)P(L|F) P(L)P(L). Нам дано, что P(L|F)=0,75P(L|F)=0,75, но P(L)=0,50P(L)=0,50; они не равны. События женского пола и длинных волос не являются независимыми.

Интерпретация результатов

Быть женщиной и иметь длинные волосы не являются независимыми; знание того, что ученица — женщина, изменяет вероятность того, что у ученицы длинные волосы.

Пример 3.13

Проблема

1. Бросьте одну честную монету (у монеты две стороны, H и T ). Итоги ________. Подсчитайте результаты. Есть ____ результатов.
2. Бросьте один правильный шестигранный кубик (на кубике 1, 2, 3, 4, 5 или 6 точек). Итоги ________________. Подсчитайте результаты. Есть ___ исходов.
3. Умножьте два числа исходов. Ответ _______.
4. Если вы подбросите одну правильную монету, а затем подбросите одну правильную шестигранную кость, ответом на c будет количество исходов (размер выборки). Каковы результаты? (Подсказка: два результата: H 1 и T 6. )
5. Событие A = решка ( H ) на монете, за которой следует четное число (2, 4, 6) на кубике.
   А = {_________________}. Найти Р ( А ).
6. Event B = решка на монете, за которой следует тройка на кубике. Б = {________}. Найдите P ( B ).
7. Являются ли A и B взаимоисключающими? (Подсказка: что такое P(A∩B)P(A∩B)? Если P(A∩B)=0P(A∩B)=0, то A и B исключают друг друга.)
8. Являются ли A и B независимыми? (Подсказка: является ли P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)? Если P(A∩B)=P(A)P(B )P(A∩B)=P(A)P(B), тогда A и B независимы. Если нет, то они зависимы).

Решение 1

1. H и T ; 2
2. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
3. 2(6) = 12
4. T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4 4. , Н 5, Н 6
5. А = { H 2, H 4, H 6}; Р ( А ) = 312312
6. В = { Н 3}; П ( Б ) = 112112
7. Да, потому что P(A∩B)=0P(A∩B)=0
8. P(A∩B)=0. P(A)P(B)=(312).P(A∩B) не равно P(A)P(B), поэтому AandBare зависимы.P(A∩B)= 0.P(A)P(B)=(312).P(A ∩ B) не равно P(A)P(B), поэтому A и B зависимы.

710 пусть v — объем шара радиуса. Разработка простейшей программы для расчета площади круга и объема шара в виде приложения для Windows

Радиус шара (обозначается как r или R) — это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае с кругом, радиус шара является важной величиной, необходимой для определения диаметра шара, окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по заданному значению диаметра, длины окружности и других величин. Используйте формулу, в которую можно подставить эти значения.

Формулы расчета радиуса

Рассчитать радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу d = D/2 . Это та же самая формула, которая используется для вычисления радиуса и диаметра круга.

• Например, дан мяч диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см . Если диаметр 42 см, то радиус 21 см (42/2=21).

Вычислить радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π . Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу вычисления длины окружности на 2π и получите формулу нахождения радиуса.

• Например, дан мяч с окружностью 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см .
• Эта же формула используется для вычисления радиуса и длины окружности.

Вычислите радиус из объема сферы. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3 . Объем шара рассчитывается по формуле V = (4/3)πr 3 . Отделив r в одной части уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4)) 3 = r, то есть для вычисления радиуса разделите объем шара на π, результат умножьте на 3/4 и возведите результат в степень 1/3 (или извлеките кубический корень).

• Например, дан шар объемом 100 см 3 . Радиус этой сферы вычисляется следующим образом:
  • ((В/π)(3/4)) 1/3 = г
  • ((100/π)(3/4)) 1/3 = г
  • ((31,83)(3/4)) 1/3 = г
  • (23,87) 1/3 = г
  • 2,88 см = р

Рассчитать радиус по площади поверхности. Используйте формулу: r = √(A/(4 π)) . Площадь поверхности шара рассчитывается по формуле А = 4πr 2 . Выделив r в одну часть уравнения, получится формула √(A/(4π)) = r, то есть для вычисления радиуса, вам нужно взять квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо извлечения корня выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.

• Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этой сферы вычисляется следующим образом:
  • √(A/(4π)) = r
  • √(1200/(4π)) = г
  • √(300/(π)) = г
  • √(95,49) = г
  • 9,77 см = р

Определение основных величин

1. Запомните основные величины, необходимые для расчета радиуса мяча. Радиус шара — это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус сферы можно рассчитать по заданным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

   Используйте значения этих величин, чтобы найти радиус. Радиус можно рассчитать по заданным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Причем эти значения можно найти по заданному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы, чтобы найти заданные значения. Ниже приведены формулы (в которых есть радиус) для расчета диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

1. Найдите координаты (x, y, z) центра шара. Радиус сферы равен расстоянию между ее центром и любой точкой, лежащей на поверхности сферы. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что поскольку шар — трехмерная фигура, точка будет иметь три координаты (x, y, z), а не две (x, y).

   • Рассмотрим пример. Дан шар с центром в координатах (4,-1,12) . Используйте эти координаты, чтобы найти радиус шара.

2. Найти координаты точки на поверхности сферы. Теперь нужно найти координаты (x, y, z) любой точки на поверхности сферы. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, то для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

   • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0) . Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

3. Рассчитайте радиус по формуле d = √ ((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, можно найти расстояние между ними, равное радиусу шара. Расстояние между двумя точками рассчитывается по формуле d = √ ((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2), где d — расстояние между точки, (x 1, y 1 ,z 1) — координаты центра шара, (x 2 ,y 2 ,z 2) — координаты точки, лежащей на поверхности шара.

   • В этом примере вместо (x 1, y 1, z 1) подставить (4, -1,12), а вместо (x 2, y 2, z 2) подставить (3,3,0 ):
     • d = √ ((х 2 — х 1) 2 + (у 2 — у 1) 2 + (z 2 — z 1) 2)
     • д = √((3 — 4) 2 + (3 — -1) 2 + (0 — 12) 2)
     • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
     • д = √(1 + 16 + 144)
     • д = √(161)
     • d=12,69 . Это желаемый радиус шара.

4. Имейте в виду, что в общем случае r = √((x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2). Все точки, лежащие на поверхности шара, находятся на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле нахождения расстояния между двумя точками «d» заменить на «r», то получится формула вычисления радиуса шара по известным координатам (x 1, y 1, z 1) центра шар и координаты (x 2 , y 2 , z 2 ) любой точки, лежащей на поверхности сферы.

   • Возведите в квадрат обе части этого уравнения, и вы получите r 2 = (x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2 . Обратите внимание, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром в точке (0,0,0).

• Не забывайте о порядке выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать со скобками, используйте их.
• В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если у вас возникли проблемы с изучением геометрии, лучше начать с вычисления значений, связанных с шаром, с точки зрения известного значения радиуса.
• π (Пи) — буква греческого алфавита, означающая константу, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Пи — иррациональное число, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, соотношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех знаков после запятой. Как правило, используют приблизительное значение числа пи, равное 3,14.

Объем шара Теорема Объем шара радиуса R равен 4/3 πR 3 R x B O C M A Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и произвольно выберем ось Ox. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку М этой оси, представляет собой окружность с центром в точке М. Обозначим радиус этой окружности как R, а ее площадь как S(x) , где x — абсцисса точки M. Выразить S(x) через x и R. Из прямоугольного треугольника OMC находим R = OC²-OM² = R²-x² Так как S(x) = p r², то S(x ) = p (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки M на диаметре AB, т. е. для всех x, удовлетворяющих условию –R x R. Применяя основную формулу расчета объемов тел с a = –R, b = R , получаем: R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp — x²dx = p R²x — px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R Теорема доказана x

Объемы сферического сегмента, сферического слоя и сферического сектора А) Сферический сегмент – это часть шара, отсеченная от него некоторой плоскостью. На рис. 1 секущая плоскость α, проходящая через t.B, делит шар на 2 сферических сегмента. Окружность, полученная в сечении, называется основанием каждого из этих отрезков, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярных секущей плоскости, называются высотами отрезков. x АВ=h α О А С Сферический сегмент Рис.1

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рис. 1 h =AB), то объем V шарового сегмента вычисляется по формуле: V = ph² (R-1/3h). Б) Сферический слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (рис. 2). Окружности, полученные при сечении шара этими плоскостями, называются основаниями сферического слоя, а расстояние между плоскостями — высотой сферического слоя. Объем сферического слоя можно рассчитать как разность объемов двух сферических сегментов. A B C x Рис.2 Сферический слой

В) Сферический сектор – тело, полученное вращением кругового сектора с углом менее 90 градусов вокруг прямой, содержащей один из радиусов, ограничивающих круговой сектор (рис. 3). Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота сферического сегмента равна h, то объем V сферического сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 pR² h h O R r Рис.3 Сферический сектор

Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, сферу нельзя развернуть на плоскость, а, следовательно, метод определения и расчета площади поверхности с помощью развертки для нее не подходит. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Пусть многогранник, описанный около сферы, имеет n граней. Будем увеличивать n до бесконечности так, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных вокруг сферы многогранников при стремлении наибольшего размера каждой грани к нулю => «>

где V — искомый объем шара , π — 3,14 , R — радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

V

3,14×103

= 4186,7

кубических сантиметра.

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, расположенных от центра на расстоянии, не превышающем заданного, называемого радиусом шара. Поверхность сферы называется сферой, и она образована вращением вокруг своего диаметра полукруга, которая остается неподвижной.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем сферы . Например, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, шарики являются одним из основных элементов. С их помощью соединяются ступицы управляемых колес и рычаги. От того, насколько правильно будет вычислено их объема, во многом зависит не только долговечность этих агрегатов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широко применяются такие детали, как шарикоподшипники, с помощью которых оси закрепляются в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует отметить, что при их расчете конструкторам необходимо найти объем сферы (точнее, шаров, помещенных в клетку) с высокой степенью точности. Что касается производства металлических шариков для подшипников, то их изготавливают из металлической проволоки по сложному технологическому процессу, включающему этапы формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, сделаны по точно такой же технологии.

Довольно часто шары применяются и в архитектуре, и там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует большого ручного труда. Конечно, при изготовлении этих шаров не требуется соблюдения такой высокой точности, как применяемых в различных узлах и механизмах.

Такая интересная и популярная игра, как бильярд, немыслима без шаров. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и применяются различные технологические процессы. Одним из основных требований к бильярдным шарам является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (в первую очередь ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу, чтобы обеспечить плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, ни одна новогодняя или новогодняя елка не обходится без таких геометрических тел, как шары. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс практически полностью автоматизирован, упаковка елочных шаров осуществляется только вручную.

Формулы

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

ОБЪЕМ КОНУСА

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

ОБЪЕМ ШАРА

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Формулы для расчета объема шара: 90,94 94 сферический сектор, сферический слой, сферический сектор и площадь сферы

• Площадь сферы:

S=4 π Р 2 ,

где R — радиус сферы

• Объем шара:

В = 1 ⅓ π Р 3 = 4/3 π Р 3

где R — радиус шара

• Объем сферического сегмента равен:

В = π ч 2 (Р — ⅓ h) ,

где R — радиус шара, а h — высота сегмента

• Объем сферического слоя равен:

В = В 1 – В 2 ,

где V 1 — объем одного сферического сегмента, а V 2 — объем второго сферического сегмента

• Объем сферического сектора равен:

В = ⅔ π Р 2 ч ,

где R — радиус мяча, h — высота сегмента мяча

Теоретический диктант

Вариант 1

Вставьте в текст пропущенные слова .

• Любое сечение сферы плоскостью есть окружность. Центром этой окружности является ……………………перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость.

2. Центр шара его ………………….……. симметрия.

3. Осевое сечение шара ………………………….

4. Линии пересечения двух сфер: …………………

5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ………………. кругам.

6. Около любой правильной пирамиды можно описать шар, центр которого лежит на ……………….. пирамиды.

base

center

a circle

circle

equal

altitude

Theoretical dictation

Option 2

plane

circle

altitude

perpendicular

touch

altitude

Card #1

A plane перпендикуляр к диаметру шара делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара?

288 Р см³

Карточка №2

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как объем общей части шаров связан с объемом всего шара?

5 / 16

Карточка №3

Какую часть объема шара составляет объем сегмента шара, высота которого равна 0,1 диаметра шара, равного 20 см?

Задача №1

Объем шара радиуса R равен V . Найти: объем шара радиусом: а) 2 R б) 0,5 R

Задача №2

Каков объем сферического сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус мяч 75 см.

БЫСТРО И КОРОТКО ПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:

• Сколько сфер можно держать:

а) по тому же кругу;

б) через окружность и точку, не принадлежащую ее плоскости?

2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:

а) квадрат

б) равнобедренную трапецию;

3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит одна большая окружность?

4. Через какие две точки сферы можно провести несколько больших окружностей?

5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них мог пройти шар одного радиуса?

endlessly

one

endlessly

endlessly

None

diametrically opposed

have a common center

Theoretical dictation

Option 2

Вставьте пропущенные слова в тексте.

• Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрией.

2. Осевое сечение сферы равно ………………..

3. Центр шара, описанного вблизи правильной пирамиды, лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы, проведенной к точке касания сферы и плоскости …………………………………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать шар, а его центр лежит на ……………… .…….пирамидах.

plane

circle

altitude

perpendicular

touch

altitude

Lv.52

Level 1 Option 1

1. At a distance of В 12 см от центра шара проводится сечение, радиус которого равен 9 см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера радиуса 3 см имеет цент в точке О(4;-2;1). Напишите уравнение сферы, в которую перейдет эта сфера, если она симметрична относительно плоскости OXY. Найдите объем сферы, заключенной в данную сферу.

Уровень 1 Вариант 2

1. Через точку, лежащую на сфере, проводят сечение радиусом 3 см под углом 60° к радиусу сферы, проведенной к этой точке. Найдите площадь шара и объем шара.

2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке O (-2;5;3). Напишите уравнение сферы, в которую войдет эта сфера, если она симметрична относительно плоскости OX Z . Найдите площадь этой сферы.

Контрольная самостоятельная работа ур.52

Уровень 2 Вариант 1

1. Проводится сечение на расстоянии 2√7 см от центра шара. Хорда этого сечения равна 4 см, за вычетом угла 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке O (2; 1; -2) проходит через начало координат. Напишите уравнение сферы, в которую эта сфера перейдет, если она симметрична относительно оси абсцисс. Найдите объем сферы, ограниченной получившейся сферой.

Уровень 2 Вариант 2

1. На расстоянии 4 см от центра шара проведен разрез. Хорда удалена от центра этого сечения на √ 5 см, за вычетом угла 120 °. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке O (-1;-2;2) проходит через начало координат. Напишите уравнение сферы, в которую будет переходить данная сфера с симметрией относительно плоскости Z = 1. Найдите площадь шара.

Самостоятельная работа

Вариант 2

• Диаметр шара ½ дм. Вычислите объем шара и площадь шара.

2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Сколько воздуха в мяче?

Опция 1

• радиус шара ¾ дм. Вычислите объем шара и площадь шара.

2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Сколько воздуха в мяче?

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

• решение задач :

• Запишите формулы площади шара, объема шара и его частей.
• решать задачи :

№ 1. Объем сферы 36 псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данную сферу.

№ 2. В сфере радиусом 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81 см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого секущей плоскостью.

№ 3. Найдите объем сектора сферы, если радиус сферы равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет одну шестую часть диаметра сферы.

№ 1. Площадь поверхности сферы 144P см². Найдите объем этого шара.

№ 2. На расстоянии 9 м от центра шара проведен участок, длина окружности которого равна 24Р см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого секущей плоскостью.

№ 3. Найдите объем сферического сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет одну треть диаметра шара.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: мяч; S=64π см² Найти: R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: сферический сегмент, rоснование=60 см, Rшар=75 см. Находка: Всферический сегмент. Решение: V=πh²(R-⅓h) O ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30) =58500π. Ответ: 58500π. «ширина=»640»

Решение проблем с помощью самотестирования.

Дано: мяч; V=113,04 см³,

Найти: R, S.