«Показательные уравнения и показательные неравенства»

В этом уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать на основе методики решения простейших показательных неравенств

1. Определение и свойства показательной функции

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах основано решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция есть функция вида, где основание степени и Здесь х независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График экспоненциальной функции

На графике показаны возрастающие и убывающие показатели, иллюстрирующие экспоненциальную функцию, когда основание больше единицы и меньше единицы, но больше нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0; 1)

Свойства экспоненциальной функции :

Домен: ;

Диапазон значений:;

Функция монотонна, как возрастает, так и убывает.

Монотонная функция принимает каждое из своих значений за одно значение аргумента.

Когда при увеличении аргумента от минус до плюс бесконечности функция возрастает от нуля, не включительно, до плюс бесконечности, то есть при заданных значениях аргумента имеем монотонно возрастающую функцию (). Ибо, наоборот, при возрастании аргумента от минус до плюс бесконечности функция убывает от бесконечности до нуля, не включительно, т. е. при заданных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

На основании изложенного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Приравниваем основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства на противоположный.

Решение сложных показательных неравенств состоит, как правило, в сведении их к простейшим показательным неравенствам.

Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

Преобразуем правую часть по свойствам степени:

3

2 9 основание степени меньше единицы, знак неравенства надо поменять на противоположный:

Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:

Ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, мы имеем решение неравенства:

Нетрудно догадаться, что правую часть можно представить в виде степени с нулевым показателем:

Основание степени больше единицы, неравенство знак не меняется, получаем:

Вспомним технику решения таких неравенств.

Рассмотрим дробную рациональную функцию:

Находим область определения:

Находим корни функции:

Функция имеет единственный корень,

Выбираем знакопостоянные интервалы и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рисунок : 2. Интервалы постоянства

Вот мы и получили ответ.

Ответ:

3. Решение типичных показательных неравенств

Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но разными основаниями.

Одним из свойств экспоненциальной функции является то, что она принимает строго положительные значения при любых значениях аргумента, а это значит, что ее можно разделить на показательную функцию. Разделим данное неравенство на его правую часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Проиллюстрируем решение:

На рис. 6.3 представлены графики функций и. Очевидно, что когда аргумент больше нуля, чем выше график функции, тем больше эта функция. При отрицательных значениях аргумента функция идет ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, эта точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Преобразуем данное неравенство по свойствам степени:

Вот аналогичные члены:

Разделим обе части на:

Теперь продолжаем решить аналогично примеру 4, обе части разделить на:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6. Решить неравенство графически:

Рассмотрим функции слева и справа и построим график каждой из них.

Функция экспоненциальная, возрастает по всей своей области определения, то есть при всех действительных значениях аргумента.

Функция линейная, убывает по всей своей области определения, то есть при всех действительных значениях аргумента.

Если эти функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его можно легко угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Легко видеть, что корень этой системы равен:

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нам нужно получить ответ. Смысл данного неравенства в том, что показатель степени должен быть больше или равен линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевидный ответ: (рис. 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация для примера 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых экспоненциальных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных экспоненциальных неравенств.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и основы математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и принципы математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и принципы математического анализа. — М.: Просвещение.

Мат. мкр. Математика-повторение. ком. Диффер. кемсу. RU.

Домашнее задание

1. Алгебра и начало анализа, 10-11 класс (Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.) 1990, нет. 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство.

Урок и презентация на тему: «Показательные уравнения и показательные неравенства»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Учебно-методические пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса
Интерактивный учебник для 9-11 классов «Тригонометрия» 9х = 3$.