Решебник и ГДЗ по Математике 3 класс

• Видеорешения
• Математика
• Английский язык
• Русский язык
• Немецкий язык
• Белорусский язык
• Французский язык
• Информатика
• Музыка
• Литература
• Окружающий мир
• Человек и мир
• Технология
• Испанский язык
• Казахский язык

• 1
• 2
• 3

ГДЗ: готові домашні завдання 3 клас математика

Toggle navigation GDZ4YOU

• ГДЗ
  • 1 клас
    • Англійська мова
    • Буквар
    • Математика
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Українська мова
    • Я досліджую світ
  • 2 клас
    • Англійська мова
    • Інформатика
    • Математика
    • Основи здоров’я
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Українська література
    • Українська мова
    • Читання
    • Я досліджую світ
  • 3 клас
    • Англійська мова
    • Інформатика
    • Математика
    • Німецька мова
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Українська мова
    • Я і Україна
    • Я у світі
  • 4 клас
    • Англійська мова
    • ДПА
    • Інформатика
    • Літературне читання
    • Математика
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Українська література
    • Українська мова
    • Французька мова
    • Я і Україна
    • Я у світі
  • 5 клас
    • Англійська мова
    • Інформатика
    • Історія
    • Математика
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Світова література
    • Українська література
    • Українська мова
    • Французька мова
  • 6 клас
    • Англійська мова
    • Біологія
    • Географія
    • Інформатика
    • Історія
    • Математика
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Природознавство
    • Російська мова
    • Світова література
    • Українська література
    • Українська мова
    • Французька мова
  • 7 клас
    • Алгебра
    • Англійська мова
    • Біологія
    • Географія
    • Геометрія
    • Інформатика
    • Історія
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Російська мова
    • Світова література
    • Українська література
    • Українська мова
    • Фізика
    • Хімія
  • 8 клас
    • Алгебра
    • Англійська мова
    • Біологія
    • Географія
    • Геометрія
    • Інформатика
    • Історія
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Російська мова
    • Українська література
    • Українська мова
    • Фізика
    • Хімія
  • 9 клас
    • Алгебра
    • Англійська мова
    • Біологія
    • Географія
    • Геометрія
    • ДПА
    • Інформатика
    • Історія
    • Креслення
    • Німецька мова
    • Основи здоров’я
    • Російська мова
    • Українська література
    • Українська мова
    • Фізика
    • Хімія
  • 10 клас
    • Алгебра
    • Англійська мова
    • Біологія
    • Географія
    • Геометрія
    • Інформатика
    • Історія
    • Математика
    • Німецька мова
    • Правознавство
    • Російська мова
    • Українська література
    • Українська мова
    • Фізика
    • Французька мова
    • Хімія
  • 11 клас
    • Алгебра
    • Англійська мова
    • Астрономія
    • Біологія
    • Геометрія
    • ДПА
    • Економіка
    • Інформатика
    • Історія
    • Математика
    • Німецька мова
    • Російська мова
    • Українська література

Тест: Решение задач по математике для 3-го класса

Тест: Решение задач по математике для 3-го класса — Математика 3 класс

Решение задач по математике для 3-го класса

усвоение решения задач

Математика 3 класс | ID: 1015 | Дата: 15. 1.2014

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(6)==»1″) {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8»). innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

Mathway — Пошаговое решение математических задач

Собираетесь в школу или институт? У вас уже есть бабочки в животе, которые думают о проблемах с кальцием, которые вас ждут? Мы в Make Use Of считаем, что тяжелой работе нет альтернативы.

.. (ну, всего может быть — это век интернет-ребенка!).

Итак, вот кусок Интернета, который действительно помогает вам решать математические задачи.Нет, это не калькулятор, и вам даже не нужно знать формулы. Все, что вам нужно для решения проблемы, — это «Постановка проблемы». Слишком хорошо, чтобы быть правдой? Давайте посмотрим:

Отправляйтесь в Матвей. Введите свою проблему, выберите тему и просто нажмите «Решить». Вы получите не только решение проблемы, но и шаги, которые были предприняты для ее решения. Круто, ха? Возьмите этого мистера учителя математики!

Решение математических задач Mathway

Давайте попробуем решить (tan (x) — sin (x)) / (sec ² (x) — 1). Да, я знаю, что вы уже это поняли, и да, ответ — cos (x), но идите сюда и посмотрите, как Mathway на самом деле предлагает вам пошаговое решение. Вот отрывок:

Если вам нужен дополнительный контроль, вы можете попробовать другие функции Mathway. Вы можете выбрать «Основы математики, предалгебра, алгебра, тригонометрия, предварительное вычисление, исчисление», чтобы указать категорию вашей проблемы. Выбор категории предоставляет вам набор часто используемых символов для этих типов задач, поэтому вам не нужно беспокоиться о вводе этого определенного интеграла от -1 до 1 или о том, что предел x стремится к бесконечности! Просто нажмите на соответствующую страницу, и она предоставит вам символы, которые могут потребоваться для ввода ваших задач!

Mathway также предлагает ряд решенных примеров, начиная от вычисления площади круга и заканчивая вычислением собственных векторов и вычислением интегралов до бесконечных рядов. Вы можете щелкнуть решенный пример и получить примерное пошаговое решение для этого типа проблемы с возможностью получить более подробные объяснения любого шага.

Mathway также предлагает возможность построения графиков функций от многочленов до тригонометрических функций, неравенств и ряда других. После того, как вы выберете необходимую функцию для построения графика, вы можете выбрать параметры построения графика, и график появится. Отсюда можно поделиться проблемой или встроить график на любую веб-страницу.

Последний раздел — это Глоссарий, который предлагает определения общих математических терминов. Сайт является хорошей альтернативой чему-то вроде математики, хотя и не такой мощный, но он бесплатный и все еще находится в стадии бета-тестирования.

Конечно, будут проблемы, которые Mathway не сможет решить, и будет делать случайные ошибки , но вы определенно можете использовать его в качестве справочного материала.На самом деле, я считаю, что это не совсем точно — при решении проблемы он сказал, что 1 \ 0 — 1 \ 0 равно 0 (честно говоря, я получил это, когда тестировал его с довольно сложной проблемой ограничений). Тем не менее, с пошагово решаемыми примерами и возможностью решать свои собственные математические задачи нет причин бояться математики !!

Я большой поклонник таких полезных сайтов и программного обеспечения. Используете ли вы другое программное обеспечение и сайты, которые помогают вам в учебе или вычислениях? Сообщите всем в комментариях.

Удачи в учебе.Учись умно (не сложно)!

Как создать собственное видео ASMR

Об авторе Варун Кашьяп (Опубликовано 142 статей)

Я Варун Кашьяп из Индии.Я увлечен компьютерами, программированием, Интернетом и технологиями, которые ими движут. Я люблю программировать и часто работаю над проектами на Java, PHP, AJAX и т. Д.

Ещё от Varun Kashyap

Подпишитесь на нашу рассылку новостей

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать технические советы, обзоры, бесплатные электронные книги и эксклюзивные предложения!

Еще один шаг…!

Подтвердите свой адрес электронной почты в только что отправленном вам электронном письме.

4 СТРОПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ | Добавляем: помощь детям в изучении математики

составной, всеобъемлющий взгляд на успешное изучение математики. По общему признанию, эта точка зрения представляет собой не более чем консенсус одного комитета. Тем не менее, наш разнообразный опыт побудил нас сформулировать, как мы надеемся, другие могут и примут цели, к которым должно быть направлено обучение математике.В этой главе мы описываем виды когнитивных изменений, которым мы хотим способствовать у детей, чтобы они могли успешно изучать математику.

Признавая, что ни один термин не охватывает полностью все аспекты опыта, компетентности, знаний и способностей в математике, мы выбрали математического мастерства , чтобы охватить то, что, по нашему мнению, необходимо любому для успешного изучения математики. Математический уровень, как мы его понимаем, состоит из пяти компонентов, или нитей:

• концептуальное понимание — понимание математических понятий, операций и отношений

• свободное владение процедурами — навыки гибкого, точного, эффективного и надлежащего выполнения процедур

• стратегическая компетентность — способность формулировать, представлять и решать математические задачи

• адаптивное мышление — способность к логическому мышлению, размышлению, объяснению и обоснованию

• продуктивный характер — привычная склонность считать математику разумной, полезной и стоящей, в сочетании с верой в трудолюбие и собственную эффективность.

Эти нити не являются независимыми; они представляют различные аспекты сложного целого. Каждый из них обсуждается более подробно ниже. Наиболее важное наблюдение, которое мы делаем здесь, подчеркивается в этом отчете, заключается в том, что , пять нитей переплетаются и взаимозависимы в развитии навыков в математике (см. Вставку 4–1). Математические навыки — это не одномерная черта, и ее нельзя достичь, сосредоточившись только на одной или двух из этих составляющих.В последующих главах мы утверждаем, что для того, чтобы помочь детям овладеть математическими знаниями, необходимы учебные программы, охватывающие все аспекты. По мере перехода от подготовительного класса к восьмому классу все учащиеся должны повышать уровень владения математикой. Этот уровень должен позволить им справляться с математическими проблемами повседневной жизни и позволить им продолжить изучение математики в средней школе и за ее пределами.

Пять нитей взаимосвязаны и взаимозависимы в развитии математических навыков.

Пять направлений обеспечивают основу для обсуждения знаний, навыков, способностей и убеждений, составляющих математические способности. Эта рама —

Программа для решения полиномиальных уравнений

— CodeProject

Введение

Недавно я столкнулся с ситуацией, когда мне нужно было решить полиномиальное уравнение 4-й степени в .NET, и, к своему удивлению, я не смог найти ни одного кода, написанного на C # или VB .NET, который содержал либо явные алгебраические формулы, либо числовые алгоритм Дженкинса-Трауба.(Однако я нашел несколько переводов алгоритма Дженкинса-Трауба, написанного Дженкинсом Хаймельфом на FORTRAN (все еще можно загрузить здесь Netlib). Однако мне удалось смешать реализации, сделанные на C ++, которые я перевел на C # и VB.NET. В свою защиту я перевел и алгоритм, написанный Лораном Бартольди, но он не был включен в статью. Я использовал один алгоритм C ++, переведенный Дэвидом Биннером только для реальных коэффициентов. Примите мои искренние извинения за эту ошибку.C ++, на который я полагался для сложных коэффициентов, был написан Хенриком Вестермарком. Оба этих приложения преобразованы мной из C ++ и C в код C # и VB.

NB: К алгоритму Джеркинса-Трауба может быть приложена лицензия для коммерческого использования, пожалуйста, проверьте это, прежде чем использовать его в программе, которую вы хотите продавать другим. Для повторного поиска и личного использования нет проблем.

Явные алгебраические формулы, которые также реализованы, отвратительны и определенно засорят ваш день, если вам когда-нибудь понадобится такая, поэтому я решил поделиться ею с вами.Я внес некоторые исправления в формулу благодаря приведенному ниже комментарию Бенуа Андриё.

У меня также есть довольно длинный рассказ, чтобы следить за ним, так как я прочитал «Уравнение, которое не может быть решено» Марио Ливио. Название книги отсылает к истории неразрешимости полиномиального уравнения 5-й степени, но оно также проходит через историческое развитие решений полиномиальных уравнений более низкой степени.

Я не буду давать никаких объяснений того, как были получены эти формулы, поскольку формулы становятся довольно длинными, настолько длинными, что даже у Тартальи (одного из людей, принимавших участие в решении кубического уравнения) были проблемы с запоминанием всего. правила, которые он открыл.

Что касается числового алгоритма Jenkins-Traub, он был полностью переведен мной из версий C ++ и C в VB.NET и C #, и, насколько я его тестировал, похоже, он работает нормально. Следует отметить, что алгоритм Дженкинса-Трауба обычно использует явные формулы для 1-й и 2-й степени, а численное приближение — для 3-й степени и выше.

Полиномиальное уравнение 1-й степени

Это довольно легко решить математически, поэтому, если у вас возникли проблемы, вам, вероятно, не следует загружать код.Я, конечно, говорю об уравнениях в форме 2x + 3 = 7, а простое уравнение называется линейными уравнениями, так как они могут быть представлены линиями при построении графика (или рисовании).

Однако история уравнений довольно интересна, поэтому я собираюсь перенести вас в 2000 г. до н.э. — 600 г. до н.э., в вавилонскую цивилизацию в Месопотамии. Слово уравнение следует использовать в этом контексте с осторожностью, поскольку вавилоняне на самом деле не использовали алгебру для решения этих уравнений, а вместо этого отважились на длительные дебаты и логику для решения проблем.Это может быть способом сделать математику еще более сложной и непонятной, чем когда-либо, особенно когда мы имеем дело с полиномиальными уравнениями более высокого порядка.

Результат такого способа решения математических задач без использования алгебры означал, что вавилоняне не могли найти никаких общих закономерностей или формул, лежащих в основе различных математических задач. Несмотря на громоздкие формулировки математических задач, им все же удалось решить пары (т.е. уравнения с неизвестными x и y) линейных уравнений.

Вавилоняне, похоже, не были так заинтересованы в создании множества текстов с уравнением 1-й степени, как, например, египтяне, поскольку кажется, что вавилоняне считали это слишком элементарным для любого подробного обсуждения. Однако в Египте существуют большие рукописи на эту тему, в которых представлены математические «рецепты» с решением некоторых проблем, как своего рода поваренная книга.

Следует отметить, что в китайском сборнике «Девять глав по математическому искусству» (Jiu zhang suan shu) можно найти решения не менее чем трех линейных уравнений с тремя неизвестными, что является настоящим подвигом, учитывая, насколько громоздкой была процедура.2 — x = 870 и может найти положительное решение, так как решение предназначалось для использования, например, в измерениях земли и подобных задачах. Однако они проигнорировали уравнения этого типа, которые имели два положительных решения, поскольку они считались нелогичными. 2 + x = 4, и они также могли только найти положительное решение.

Греческой цивилизации вскоре удалось решить некоторые проблемы с помощью блестящего математика Диафаноуса. Он эффективно продвинул способ представления решений как промежуточный пункт между вавилонскими формулировками уравнений и современным способом использования алгебры. Его книга «Арифметика» показывает решения трех различных типов квадратных уравнений, а также знаменитых уравнений Диафаноуса, примером которых является Великая теорема Ферма. Фактически, Ферма читал «Аритметику», и именно в этой книге Диафануса он написал свою знаменитую последнюю теорему на полях.Что касается самого Диафануса, то на самом деле мы очень мало о нем знаем, невозможно даже представить себе занавес, когда он на самом деле жил, за исключением того, что, вероятно, это было в Александрии в период между 200 и 214-284 или 298 годами нашей эры.

С падением греческой цивилизации математический прогресс на западе остановился и впал в спячку почти на тысячелетие. Прогресс математики теперь повернул на восток, и один из великих математиков его возраста, Брахмагупта из Индии, сумел решить некоторые из уравнений Диафаноуса, а также первым дал решения полиномиальных уравнений 2-й степени, которые также включали отрицательные числа.Он понял, что отрицательные числа можно рассматривать как «долги», а положительные числа — как «состояние», как это делает современный бухгалтер, и таким образом совершил огромный прорыв в математике.

Следующим крупным шагом в решении уравнений стало развитие алгебры, получившее свое название от арабского математика Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, а точнее его книги «Китаб аль-Джабр ва аль-Мукабала», относящейся к слово аль-джабр как основа современной алгебры слов. Аль-Джабр означает «восстановление» или «завершение», что вполне соответствует важности математического развития, которое это повлечет за собой.Его книги не были новаторскими в плане нового материала; вместо этого именно систематическое рассмотрение решений квадратного уравнения было настоящим гением в этой области. Однако полный набор решений квадратного уравнения появился в Европе только в XII веке в Испании.

Однако реализация формулы квадратичного уравнения на компьютере не так проста, как может показаться на первый взгляд. Принимаем уравнение в виде:

Решение — это хорошо известная формула, и я, конечно, думаю об этом:

Однако у вас могут возникнуть проблемы, если вы действительно реализовали эту формулу на компьютере.Причина в том, что если коэффициенты a или c очень близки к нулю, вы можете получить большие ошибки усечения. Правильная реализация для поиска корней на компьютере:

Даже если коэффициенты сложны, компьютерная формула все еще верна, хотя нужно учитывать, как брать знак квадратного корня:

В приведенной выше формуле Re означает действительную часть решения, а звездочка — комплексное сопряжение комплексного числа.

Полиномиальное уравнение 3-й и 4-й степени

Это часто называют кубическим или четвертым уравнением или функцией, и неудивительно, что оно появляется, когда мы хотим найти объем чего-либо. Фактическое общее уравнение не было решено до шестнадцатого века, хотя несколько частных случаев были решены вавилонянами, а еще несколько были даны персидским поэтом Омаром Хайямом в двенадцатом веке. Однако реальной ощутимой необходимости в решении кубического уравнения не было.Никто не ждал, когда это будет открыто, это было скорее умственное испытание, своего рода Олимпийские игры по математике, которые определят величайший интеллект его времени.

Первое частное решение кубического уравнения могло быть получено в старейшем в настоящее время открытом университете, Болонском университете, который был открыт с момента его основания в 1088 году. После того, как в 1501 году ему была поставлена ​​задача, которая включала полиномиальные уравнения третьей степени, Сципионе дель Ферро решил поработать над проблемой.И примерно в 1515 году ему удалось найти метод решения кубических уравнений, который имел вид x3 + mx = n. Дель Ферро не опубликовал свой результат, который, к сожалению, был вполне нормальным в те дни, и только рассказал своему ученику Антонио Фиоре и его зятю о своем открытии на собственном смертном одре. Затем Фиоре, кажется, думает, что формула была его, чтобы использовать с этого момента, как ему заблагорассудится, но не опубликовал ее сразу, а вместо этого дождался подходящего момента, чтобы появиться.

Итак, когда Никколо Тарталья в 1530 году объявил, что он может решить некоторые задачи, связанные с кубическими уравнениями, Фиоре решил, что его момент настал, и вызвал Тарталью на математический спор.Каждый участник давал другому 30 задач для решения, а проигравший платил победителю денежную цену. У каждого из них будет сорок или пятьдесят дней на решение проблем.

К тому моменту, когда задачи были переданы Тарталье, он сумел решить их все за два часа! И Фиоре не мог решить ни одну из поставленных ему задач, и он не знал уравнений в форме x3 + mx2 = n, поэтому Тарталья выиграл соревнование.

В 1539 году, после масштабной кампании по сохранению, персонаж по имени Джероламо Кардано (на самом деле он получал свое пособие, играя в азартные игры, когда был студентом и был известен тем, что был грубой и грубостью по отношению к окружающим), сумел убедить Тарталья раскрыть формулу при условии, что Кардано ее не раскроет.Однако Кардано узнал о решениях дель Ферро от зятя дель Ферро и решил, что он не связан соглашением с Тартальей, поскольку он представит решение дель Ферро, а не Тарталья, поэтому он опубликовал результат в своей книге Ars Magna. Многие современные математики считают эту книгу началом современной алгебры, и в ней используются решения с комплексными числами, хотя Кардано не понимал этого в деталях, поскольку некоторая часть этого была взята из решений Тартальи, включающих квадратный корень из отрицательного числа. .(Рафаэля Бомбелли часто считают первооткрывателем комплексных чисел, поскольку он провел гораздо больше исследований по этому предмету.) После того, как книга была опубликована, Тарталья сразу бросил вызов Кардано, который был довольно плохим математиком по стандартам Тартальи: и он сразу отказался. Однако ученик Кардано, Лодовико Феррари, отправил Тарталье многочисленные публичные вызовы, которые Тарталья отрицал. В конце концов Тарталье предложили работу в университете, учитывая, что он победит Феррари в споре.Феррари открыл общий способ решения кубического уравнения, который не был известен Тарталье, он также нашел решение уравнения четвертой степени еще в 1540 году, но для этого требовалось решение кубического уравнения, поэтому оно не было опубликовано, пока Кардано не нашел о решениях дель Ферро.

Ferrari выиграла спор с Тартальей, который ушел незадолго до того, как закончился первый день спора. (Феррари был настоящим персонажем, так как в семнадцатилетнем возрасте в драке он потерял все пальцы на правой руке).С этого момента его карьера резко пошла вверх, хотя, как утверждается, позже он был отравлен своей сестрой и умер.

Настоящий первооткрыватель формулы третьей степени, как вы понимаете, довольно сложен, хотя решение уравнения 4-й степени, похоже, является делом только Феррари.

Формулы обычно не реализуются на компьютере, так как решения, найденные численным методом, почти всегда лучше с ними. Если вы все же хотите использовать явные формулы, вам следует реализовать формулу Вите, которая использует тригонометрические функции вместо решений Феррари.

Полиномиальные уравнения высшей степени

После того, как квадратное уравнение было решено с использованием алгебры, многие пытались решить полиномиальное уравнение пятой степени или пятой степени, и все они потерпели неудачу. Это не было доказано до тех пор, пока в 1823 году Абель не нашел общего доказательства, в котором говорилось, что на самом деле это невозможно. Теорема известна сегодня как теорема Абеля – Руффини или как теорема невозможности Абеля. Причина двойного названия в том, что Руффини дал неполное доказательство теоремы в 1799 году, о котором Абель не знал до 1826 года.Прочитав ее и изучив, он сказал, что работа Руффини была настолько сложной для понимания, что он не был уверен, правильна ли она.

Однако важно знать, что на самом деле означает доказательство, и что особенно важно, что оно не означает. Доказательство Абеля просто утверждает, что нельзя найти общее решение для всех корней в квинтике или любом полиномиальном уравнении более высокого порядка с помощью алгебры. Абель использовал обобщение интегралов Эйлера, чтобы доказать это, и немецкий математик Якоби был вне себя от того, что это открытие осталось незамеченным математическим сообществом.

Однако можно найти решение уравнений 5-й степени с помощью численных методов (Ньютона-Рэпсона) или с помощью эллиптических интегралов. Если использовать теорию Эвариста Галуа, можно также выяснить, какие решения можно найти. Эварист Галуа также доказал, что полиномиальное уравнение 5-й степени не может быть решено независимо от работ Абеля и Руффини, и его доказательство было опубликовано посмертно в 1846 году

.

Задача с явными формулами

Существуют проблемы с явными формулами, которые связаны с ограниченным пространством памяти на компьютере, которое в некоторых случаях может давать такую ​​высокую ошибку, что может привести к тому, что вычисленные решения будут далеки от истинных значений.На практике решения для 3-го и выше почти всегда лучше с алгоритмом Дженкинса-Трауба или другими подобными методами, чем решения, вычисленные с помощью явных формул.

Однако существуют проблемы с численной оценкой полинома, поскольку любой человек, обладающий достаточным пониманием лежащих в основе алгоритмов, легко может построить пример, который не сойдется. Возьмите уравнение (1) ниже:

Учитывая, что это полиномиальные решения 5-й степени, можно найти только с помощью численного алгоритма, но мы знаем из Фундаментальной теоремы алгебры, что уравнение будет иметь ровно 5 действительных или комплексных решений, как доказали Гаусс и другие.Точные решения уравнения 1: Проблема с этим примером заключается в том, что реализованный Jenkins-Traub в C # и VB не будет сходиться (скорее всего, с двойной точностью, которая выбрана для хранения данных, а также эпсилон , минимальные и максимальные значения, которые были «экспортированы» из библиотеки float в VC ++). На самом деле, для такого алгоритма всегда может быть проблематично сойтись, учитывая количество нескольких корней. Причина в том, что алгоритм извлекает найденные корни из исходного уравнения и при слишком большой числовой ошибке может привести к тому, что другие решения не будут найдены.Так что обратите внимание на тот факт, что любой метод, использующий итерации типа Ньютона, может иметь проблемы с несколькими корнями. Это также применимо к обстоятельствам, когда корни находятся близко друг от друга (или очень далеко друг от друга).

Jenkins-Traub действительно использует метод типа Ньютона для поиска корней, и это также может иметь другие проблемы. Если многочлен без линейного члена равен нулю в нуле, итерационный метод не сможет сойтись, учитывая, что и функция, и ее производная равны нулю в нуле.

Есть еще одна довольно удивительная особенность многочленов, имеющих кратные корни. это то, что производный многочлен будет иметь на один корень меньше. Возьмем пример формы уравнения 1, если мы выведем уравнение, мы получим:

И когда мы пытаемся решить это уравнение, используя тот же алгоритм Дженкинса-Трауба, что и раньше, мы обнаруживаем, что действительно те же корни все еще существуют, с дополнительным, который не был. Решения можно легко проверить, подставив значения в исходное уравнение (1):

Фактический код стал настолько сложным, что объяснить все это трудно, а то и невозможно.Вместо этого я направлю вас к процедуре Дженкинса-Трауба, описанной в Википедии.

Однако важно знать, что алгоритм Дженкинса-Трауба де-факто считается способом численного вычисления корней многочлена. Он тщательно протестирован, а также внедрен во многие продукты, которые используются в коммерческих целях (например, Matematica и другие).

Что касается явных формул, их следует использовать с осторожностью, и нельзя предполагать, что они дают правильные результаты для любых реальных коэффициентов, которые вы вводите, хотя описание, данное в программе, должно указывать, является ли это распознанным типом, и если описание вывода соответствует вычисленным корням.Для нахождения корней используются несколько различных методов, среди которых уравнение Феррари, би квадратное уравнение с депрессией и многие другие.