ГДЗ и Решебник по Алгебре
MyMath поддерживает арифметические операции, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения / неравенства, уравнения /неравенства с модулем, системы уравнений, логарифмы, тригонометрию, экспоненциальные и логарифмические функции, производные и интегралы.
Особенности Mymath:
• Логарифмы и тригонометрические функции (рад / град)
• Линейные уравнения
• Дробные уравнения
• Квадратные уравнения
• Полиномиальное длинное деление
• Вывод (суммы, показатели, произведения, коэффициенты, степени, корни, тригонометрия,…)
• Графическое построение кривой (корни, точки перегиба, полюсы, асимптотические функции, точки пересечения)
• Уравнения высшей степени (численные решения, подстановка)
• Экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические уравнения (Замена)
• Абсолютная ценность и неравенства
• Полиномы (корни, факторы)
∙ Калькулятор с камерой
∙ Распознавание рукописного текста
∙ Полные пошаговые инструкции
Optional MyMath Subscription:
— $2.
0 monthly plan and $10.00 unlimited plan available
— Payment will be charged to iTunes Account at confirmation of purchase
— Subscription automatically renews unless auto-renew is turned off at least 24-hours before the end of the current period
— Account will be charged for renewal within 24-hours prior to the end of the current period, and identify the cost of the renewal
— Subscriptions may be managed by the user and auto-renewal may be turned off by going to the user’s Account Settings after purchase
— No cancellation of the current subscription is allowed during active subscription period
Please see the Terms of Use and our Privacy Policy:
https://www.evernote.com/l/AC_WLzPy9h2Du7Zyrv6lAxxcwzDS1EMYl90
https://www.evernote.com/l/AC-Y7SmifpdHHZK3P75iOjNGZrgSOfD5J_c
▶▷▶ решебник по алгебре 8 класс дорофеев суворова бунимович 2011
▶▷▶ решебник по алгебре 8 класс дорофеев суворова бунимович 2011| гдз по русскому языку 3 класс климанова бабушкина бесплатно | гдз боголюбов с. к. индивидуальные задания по курсу черчения | гдз поа английскому языку 6 класс афанасьева михеева баранова | гдз по английскому языку 5 класс учебник верещагина часть 2 | гдз биология 6 класс рабочая тетрадь пономарева 1 часть 2016 | скачать бесплатно решебник по английскому языку для 3 класса | входная контрольная работа по истории в 6 классе с ответами | гдз по английскому языку 5 класс комарова смотреть бесплатно | гдз по рабочей тетради английский язык 10-11 класс кузовлев | сизов окружающий мир 3 класс проверочные и контрольные работы |
решебник по алгебре 8 класс дорофеев суворова бунимович 2011 — ГДЗ по Алгебре для 8 класса ГВ Дорофеев, СБ Суворова, ЕА na5fungdzclass- 8 algebradorofeev Cached ГДЗ по Алгебре для 8 класса ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС ГДЗ по Алгебре за 8 класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова, ЕА megareshebarugdzalgebra 8 -klassdorofeev Cached Дабы приготовление домашнего задания не превратилась в пытку воспользуйтесь ГДЗ по алгебре 8 класс Дорофеев Авторы снабдили этот решебник подробными пояснениями на каждое задание Решебник По Алгебре 8 Класс Дорофеев Суворова Бунимович 2011 — Image Results More Решебник По Алгебре 8 Класс Дорофеев Суворова Бунимович 2011 images Решебник по алгебре за 8 класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова ФГОС gdzgurucomgdzclass- 8 algebradorofeev Cached ГДЗ: Онлайн готовые домашние задания по алгебре ФГОС за 8 класс , автор ГВ Дорофеев , СБ Суворова , спиши решения и ответы на gdzgurucom Решебник и ГДЗ по Алгебре за 8 класс , авторы ГВ Дорофеев gdzputinanet 8 -klass-algebra-dorofeev Cached ГДЗ по Алгебре 8 класс авторы: ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Решебник по Алгебре за 8 класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова gitemmereshebnik 8 classalgebradorofeev Cached ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 8 класс Кузнецова ЛВ можно скачать здесь ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс Евстафьева ЛП ГДЗ по Алгебре за 8 класс Дорофеев — решебник с ответами онлайн shkololorugdz-algebra 8 -klass-dorofeev Cached ГДЗ по Алгебре за 8 класс Дорофеев — новый онлайн решебник с ответами и решениями к учебнику по алгебре автора ГВ Дорофеев по ФГОС — 0 упражнений с ответами бесплатно ГДЗ (решебник) по алгебре 7 класс Дорофеев Суворова Бунимович gdzhahacomgdz315-algebra-7-klass-dorofeev Cached На этой странице сайта расположены готовые ответы по алгебре за 7 класс Дорофеев , семиклассники имея доступ в интернет, могут без проблем их найти ГДЗ по алгебре 7 класс Дорофеев Суворова Бунимович yagdzcom7-klassalgebra-7gdz-po-algebre-7 Cached ГДЗ решебник к учебнику по алгебре 7 класс Дорофеев Суворова Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС Ответы на упражнения и задания, тесты на сайте ЯГДЗ Гдз по Алгебре за 8 класс, авторы ГВ Дорофеев, СБ gdzotputinaclub 8 -klassalgebradorofeev Cached ГДЗ по Алгебре 8 класс ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева Гдз по алгебре 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович reshebamegdzalgebra7-klassdorofeev Cached Гдз и решебник по алгебре для 7 класса, авторы: ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович на Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 28,000
- это пособие будет полезно не только ученикам
- Все Ещё 1 ГДЗ по алгебре 8 класс контрольные рабо
- ты eurokiorg 8reshebnikpo-algebre-8aleksandrova Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться
охранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте ГДЗ контрольные работы по алгебре 8 класс Александрова Мнемози
Информация о сайте Подробнее о сайте ГДЗ контрольные работы по алгебре 8 класс Александрова Мнемозина Решебник к пособию Александровой весьма полезен родителям регулярная проверка домашки с его помо
- СБ Суворова gitemmereshebnik 8 classalgebradorofeev Cached ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 8 класс Кузнецова ЛВ можно скачать здесь ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 8 класс Евстафьева ЛП ГДЗ по Алгебре за 8 класс Дорофеев — решебник с ответами онлайн shkololorugdz-algebra 8 -klass-dorofeev Cached ГДЗ по Алгебре за 8 класс Дорофеев — новый онлайн решебник с ответами и решениями к учебнику по алгебре автора ГВ Дорофеев по ФГОС — 0 упражнений с ответами бесплатно ГДЗ (решебник) по алгебре 7 класс Дорофеев Суворова Бунимович gdzhahacomgdz315-algebra-7-klass-dorofeev Cached На этой странице сайта расположены готовые ответы по алгебре за 7 класс Дорофеев
- СС ГДЗ по Алгебре за 8 класс ГВ Дорофеев
- СБ Суворова
решебник по алгебре класс дорофеев суворова бунимович Все результаты ГДЗ по алгебре класс Дорофеев, Суворова Решебник по алгебре за класс авторы Дорофеев , Суворова издательство Просвещение ГДЗ по Алгебре за класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова, ЕА ГДЗ класс Алгебра Дорофеев Похожие Подробный решебник ГДЗ по Алгебре для класса , Авторы учебника ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева, ГДЗ, Ответы по Алгебре класс Дорофеев, Суворова г июл г Готовые Домашние Задания, Решебник по Алгебре класс Дорофеев , Суворова г ГДЗ Алгебра класс Дорофеев , Суворова ГДЗ по алгебре за класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова ГДЗ класс Алгебра Дорофеев Лучший помощник в устранении пробелов в усвоении направления, это ГДЗ по алгебре класс автор ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , Не найдено Решебник по Алгебре за класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова, ЕА Данное пособие содержит решебник ГДЗ по Алгебре за класс Автора Г В Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева, ГДЗ по алгебре для класса ГВ Дорофеев Похожие Тут отличные гдз по алгебре для класса , ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева, ЛО Рослова от Путина Очень Гдз по Алгебре за класс, авторы ГВ Дорофеев, СБ Суворова, Е Похожие Мегаботан подробные гдз по Алгебре для класса , авторов ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева, ЛО ГДЗ по алгебре за класс к учебнику Дорофеева, Суворовой Домашняя работа по алгебре за класс к учебнику Дорофеева ГВ, Суворовой СБ, Бунимович ЕА и др Алгебра класс Предлагаемое учебное ГДЗ Алгебра класс Дорофеев ГВ Над пособием ГДЗ Алгебра класс ГВ Дорофеев работало несколько человек Дорофеев ГВ, Суворова СБ, Бунимович ЕА, Кузнецова ЛВ, Минаева Не найдено Алгебра класс Учебник Дорофеев ГВ, Суворова СБ Алгебра класс Учебник Дорофеев ГВ, Суворова СБ, Бунимович ЕА и др е изд М с е изд М с Учебник доработан в ГДЗ по алгебре класс Дорофеев Суворова Бунимович Минаева класс Алгебра Рейтинг , голосов ГДЗ готовые домашние задания учебника по алгебре математике класс Дорофеев Суворова Бунимович Минаева Рослова ФГОС решебник от Алгебра Класс Дорофеев Гдз Решебник Ответы strsamborucomponentalgebraklassdorofeevgdzreshebnikotvetyhtml? сент г алгебра класс гдз дорофеев суворова бунимович кузнецова дорофеев класс , алгебра класс решебник гв дорофеев , Алгебра кл Дорофеев Г, Суворова С, Бунимович Е и др Образование Начальная школа Математика Вашему вниманию предлагается учебник для класса общеобразовательных учреждений Алгебра класс ГВ Дорофеев и др Сообщить о Алгебра класс Учебник Дорофеев ГВ, Суворова СБ Скачать бесплатно Алгебра класс Учебник Дорофеев ГВ, Суворова СБ, Бунимович ЕА и др Учебник доработан в соответствии с ФГОС рабочая программа по алгебре класс Дорофеев февр г Изучение алгебры в классе направлено на достижение следующих учреждений Г В Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович и др Тематическое планирование по алгебре класс учебный год алгебра класс дорофеев суворова бунимович кузнецова detskymircomalgebra__klass_dorofeev_suvorova_bunimovich_kuznecova_minae окт г по алгебре за класс ,, бунимович , кузнецова, минаева, суворова матери и Решебник по Математике класс Дорофеев , Петерсон Материал в классе , Кузнецова ЛВ, Суворова СБ, Бунимович ЕА, Готовые домашние задания алгебра кл дорофеев суворова maspocuterwebnoderugotovyedomashniezadaniyaalgebrakldorofeevsuvor окт г Домашняя работа по алгебре за класс к учебнику Дорофеева Г Готовые задания по алгебре за класс , решебник Г В Дорофеев , онлайн ответы на GDZ RU по алгебре алгебра Дорофеев Суворова Бунимович класс материалы Л И Звавич, Л B Кузнецова, С Б Суворова Картинки по запросу решебник по алгебре класс дорофеев суворова бунимович Другие картинки по запросу решебник по алгебре класс дорофеев суворова бунимович Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты PDF Алгебра Сборник рабочих программ классы Издательство изучения курса алгебры в классах; примерное тематическое пла нирование с описанием Издательство Просвещение, Повторение Итоговая контрольная работа класс Глава ных организаций Г В Дорофеев , С Б Суворова , Е А Бунимович и др К уроку математики средняя школа allengme Учебники по алгебре и математике, классы, рабочие тетради, тесты по алгебре , проверочные Учебник Бунимович ЕА, Дорофеев ГВ, Суворова СБ и др Дорофеев ГВ, Петерсон ЛГ , с Алгебра дидактические материалы по алгебре для класса с углубл изучением математики ГДЗ по Алгебре за класс Дорофеев решебник с ответами онлайн ГДЗ по алгебре класс Это решебник для учебника по Алгебре для класса авторов ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ Кузнецова, СС Минаева, ЛО гдз решебник по алгебре класс дорофеев год wwwzstelceucontentfilegdzreshebnikpoalgebreklassdorofeevgodxml дек г гдз решебник по алгебре класс дорофеев год класс Дорофеев Суворова Бунимович yagdzcom класс Алгебра ГДЗ решебник задания по алгебре ФГОС за класс , автор ГВ Дорофеев , СБ Суворова , решебник по алгебре класс дорофеев класс гдз greenwichru greenwichruUserFilesreshebnikpoalgebreklassdorofeevklassgdzxml янв г решебник по алгебре класс дорофеев класс гдз по Алгебре класс авторы ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович , ЛВ ответа дек г посмотри на этих сайтах wwwallengru gdz net Номер Математика gdz BeOn gdzbeonrumatematikazhtml Похожие сент г в классе АвторыКузнецова, Суворова , Бунимович ,Колесникова,Рослова У меня учебник по алгебре класс ГВ Дорофеев Ой, люди у вас есть ссылка на решебник Алгебра класс Макарычев, Мендюк, Нешков год ое издание? Снежиначи Мизори февраля г Алгебра, класс, Дорофеев ГВ, Суворова СБ, Бунимович ЕА Книги и учебники Книги по математике нояб г Купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой и читать Алгебра , класс , Дорофеев ГВ, Суворова СБ, Бунимович по алгебре класс дорофеев суворова бунимович кузнецова esareunioncompoalgebreklassdorofeevsuvorovabunimovichkuznetsovami по алгебре класс дорофеев суворова бунимович кузнецова минаева решебник гдз Алгебра класс Другое Похожие ответа окт г гдз алгебра класс дорофеев контрольные работы ответы Clair wwwclairenvironnementeualgebraklassdorofeevkontrolnyerabotyotvetyx дек г алгебра класс дорофеев контрольные работы ответы Кузнецова ЛВ и др Гдз по алгебре класс Дорофеев , Суворова , Бунимович Тест к главе Глава Решебник по алгебре за класс , ответы Минаева, Рослова Скрыть Алгебра класс Дорофеев контрольные Учебник Алгебра класс ГВ Дорофеев, СБ Суворова, ЕА Учебники за класс Алгебра Решебники для го класса Учебники для го класса Учебник Алгебра класс ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович год ответы к учебнику по алгебре класс минаева Cotedyvoircom cotedyvoircomuserfilesotvetykuchebnikupoalgebreklassminaevaroslovaxml нояб г класс Алгебра Готовые ответы к рабочей тетради по алгебре для класса тетради по алгебре класс Минаева Рослова часть , ФГОС решебник от Москва ГДЗ по алгебре класс Дорофеев Суворова Бунимович ЛО ФГОС Рабочая тетрадь по алгебре за класс гдз по учебнику алгебры дорофеев суворова класс sajaincollegeorgsajaingdzpouchebnikualgebrydorofeevsuvorovaklassxml дек г гдз по учебнику алгебры дорофеев суворова класс учебник Алгебра класс ГВ Дорофеев , СБ Суворова , ЕА Бунимович на ГДЗ к учебнику по алгебре за класс автора ГВ Дорофеев года издания гдз алгебра лс кузнецова сб суворова еа бунимович sajaincollegeorggdzalgebral_s_kuznetsovas_b_suvorovae_a_bunimovichx нояб г С Б Суворова Решебник ГДЗ Алгебра класс Л В Кузнецова Л В ГДЗ по Алгебре за класс Дорофеев решебник с ответами онлайн ГДЗ класс Г Образование Домашние задания Похожие окт г Карта сайта mkifru Мир кровли и фасада mkifru?ljhmap класс босова Дидактический материал по алгебре решебник класс перышкин Гдз по алгебре класс дорофеева суворова бунимович ГДЗ по математике класс Дорофеев ГВ, Шарыгин ИФ Если вы учитесь в классе и не можете решить пример по предмету Математика автора Дорофеев ГВ, Шарыгин ИФ, Суворова СБ и др ГДЗ по математике класс Дорофеев, Шарыгин решебник с Смотрите и скачивайте ответы и задачи в ГДЗ по математике за класс по учебнику Дорофеева , Шарыгина онлайн и абсолютно бесплатно Гдз по алгебре класс класс дорофеев суворова бунимович alligatortomskru?zkkgdzpoalgebreklassklassdorofeevsuvorovabunimovich Гдз и решебник по алгебре для класса, авторы дорофеев , суворова , бунимович на учебный год гдз по английскому класс афанасьева михеева решебник гдз по алгебре класс миндюк нешков макарычев ГДЗ по алгебре класс Дорофеев Суворова Бунимович Кузнецова класс Алгебра ГДЗ решебник к учебнику по алгебре класс Дорофеев Суворова Бунимович Кузнецова Минаева ФГОС Ответы на упражнения и задания, тесты на Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше Показать скрытые результаты В ответ на жалобу, поданную в соответствии с Законом США Об авторском праве в цифровую эпоху, мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с жалобой на сайте LumenDatabaseorg Вместе с решебник по алгебре класс дорофеев суворова бунимович часто ищут гдз по алгебре класс дорофеев это надо уметь глава гдз по алгебре класс дорофеев это надо уметь глава гдз по алгебре класс дорофеев проверь себя глава контрольные работы по алгебре класс дорофеев скачать бесплатно гдз по алгебре класс дорофеев от путина бесплатно алгебра класс дорофеев гдз по алгебре класс дорофеев номер гдз по алгебре класс дорофеев номер Ссылки в нижнем колонтитуле Россия Подробнее Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Переводчик Фото Покупки Ещё Документы Blogger Duo Hangouts Keep Jamboard Подборки Другие сервисы
| контрольная работа по русскому языку 3 класс онлайн бесплатно | гдз по английскому 2 класс вербицкая рабочая тетрадь forward | итоговые контрольные работы по математике 7 класс с решением | гдз по информатике 3 класс рудченко рабочая тетрадь смотреть | решебник русский язык гольцова 10-11 класс скачать бесплатно | гдз тпо по математике 2 класс о а захарова е п юдина 2 часть | гдз по физике 7 класс пёрышкин сборник задач 7-9 классы 2009 | гдз по математике 6 класс дидактические материалы попов фгос | решебник по английскому языку new millennium english решебник | контрольная работа по математике 6 класс итоговая 3 вариант |
| Интерфейс | Русский/Английский/Германский |
| Тип лицензия | Free/Условно-бесплатно |
| Кол-во просмотров | 257 |
| Кол-во загрузок | 132 раз |
| Обновление: | 17-05-2019 |
| Оценка:1-10 | 9 |
ГДЗ решебник по алгебре 10-11 класс Колмогоров, Абрамов, Дудницын
Алгебра — важнейший школьный предмет.
Подготовка домашнего задания по этому предмету требует усилий, знаний и упорства. На помощь родителям в проверке работы придет ГДЗ по алгебре, предназначенное для учащихся 10-11 классов в авторстве Колмогорова, Абрамова, Дудницына. Решебник содержит полные структурированные ответы и ключи к задачам и тестовым упражнениям, приведенным в учебнике. Именно знание алгебры является основой для освоения многих важных инженерных профессий и поступления в лучшие ВУЗы страны и мира. Родители смогут не только проверить домашнее задание, но и помочь своему ребенку с решением, используя ГДЗ.
1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 495 496 497 498 499
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 575 576 577
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Задачи на повторение1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 274 275 276 277 278 279 280 281
ГДЗ решебник по алгебре 11 класс Муравин
Здесь представлены ответы к учебнику (книга для учителя) по алгебре 11 класс Муравин Муравина (алгебра и начала математического анализа).
Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.
1 2 3 8 11 17 23 25 28 30 32 33 34 35 49 50 51 52 55 56 58 60 61 66 67 68 69 70 71 73 75 79 82 91 94 96 99 100 101 105 107 108 109 110 113 117 120 125 126 127 132 133 138 139 142 144 145 146 149 150 151 152 155 162 163 169 170 171 173 175 180 181 182 185 188 189 190 192 193 194 195 198 199 202 203 204 207 209 212 213 220 221 223 225 238 239 241 242 244 246 247 249 250 253 254 255 256 257 260 261 264 265 268 270 271 272 274 275 276 277 278 279 281 282 283 286 287 288 289 290 291 293 294 295 296 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 313 314 315 316 317 318 319 320 322 323 324 325 326 327 328 329 331 339 340 342 343 344 345 346 347 349 350 351 352 353 354 355 356 357 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387
Дополнительные задания
Гл. 1 п. 1
Гл.
2 п. 4
Гл. 2 п. 5
Гл. 2 п. 6
Гл. 3 п. 10
Гл. 3 п. 11
Гл. 4 п. 12
Гл. 5 п. 14
Гл. 6 п. 19
Гл. 6 п. 20
Зачёт
1 2 3 4
Контрольная работа
1 2 3 4 5
Математический диктант
Гл. 3 п. 9
Гл. 4 п. 13
Самостоятельная работа
Гл. 1 п. 1
Гл. 1 п. 2
Гл. 2 п. 4
Гл. 2 п. 6
Гл. 3 п. 10
Гл. 3 п. 11
Гл. 3 п. 7
Гл. 3 п. 8
Гл. 3 п. 9
Гл. 4 п. 12
Гл. 4 п. 13
Гл. 5 п. 14
Гл. 5 п. 15
Гл. 6 п. 18
Тест
Гл. 3 п. 10
Гл. 3 п. 11
Гл. 3 п. 7
Гл. 4 п. 13
Гл. 5 п. 14
Гл. 5 п. 15
Устная работа
Гл. 1 п. 1
Гл. 1 п. 2
Гл.
2 п. 6
Гл. 3 п. 11
Гл. 3 п. 7
Гл. 3 п. 9
Гл. 4 п. 13
Гл. 5 п. 14
Гл. 6 п. 18
Гл. 6 п. 19
Гл. 6 п. 20
Решебник ступеньки алгебра 7 класс мерзляк
Скачать решебник ступеньки алгебра 7 класс мерзляк djvu
Использовать решебник по алгебре за 7 класс Мерзляк могут не только отстающие и не усвоившие тему учащиеся. Мы рекомендуем смотреть ответы и преуспевающим отличникам, которые хотят себя проверить и проконтролировать. Решебник (ГДЗ) Алгебра 7 клас А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір ( рік) Збірник задач і контрольних робіт. Авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С.
Якір. Год: |. Класс: 7 |. Предмет: Алгебра |. Похожие ГДЗ Помогите себе освоить новые темы и посмотрите решебник Алгебра 7 клас А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір Збірник задач і контрольних робіт года. Домашняя работа всегда на отлично. Пользуясь ответами к этому сборнику по алгебре Вы всегда сможете проверить свою домашнюю работу и свои знания всего за несколько минут.
Убедитесь в том, что тема на уроке была усвоена верно. На уроке все легко и просто. ГДЗ по алгебре для 7 класса Мерзляк А.
Г., Полонский В. Б. Учебник с ответами. Тип: Учебник. Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.. Издательство: Вентана-граф Чтобы процесс обучения происходил продуктивнее и интереснее, стоит использовать онлайн-решебник А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира для 7 класса. Пособие содержит в себе верные ответы ко всем упражнениям оригинального учебника издательства «Вентана-Граф» года.
Сборник является достаточно популярным среди преподавателей, которые составляют на его основа собственные конспекты. Только отличные оценки с решебником по алгебре Мерзляка для семиклассников.
Решебник (ГДЗ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс авторы: Мерзляк, Полонский, Якир издательство Вентана-граф, год. Авторы: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Издательство: Вентана-граф Тип: Учебник. Ребенок теряет интерес к предмету, если его не понимает.
Так часто происходит при изучении математики. Поэтому ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк поможет удержать внимание школьника, не даст запустить теорию. Семиклассники изучают много новых разделов: алгебраические выражения, формулы сокращенного умножения, уравнения, содержащие модуль, степень числа, текстовые задачи на движение, линейная функция и ее график.
Решебник по алгебре для 7 класса Мерзляк – это сборник онлайн-решений по упражнениям одноименного учебника математики, составленного авторитетными российскими учеными – Мерзляком А.Г., Полонским В.Б., Якиром М.С. в году, который ныне включен в учебную программу многих российских общеобразовательных школ. Онлайн-решебник к алгебре 7 класс Мерзляка – спутник идеальной домашней работы. В этом вопросе им поможет решебник по алгебре за 7 класс Мерзляк сайта ГДЗ Путина, который позволяет находить ответы и решения в один клик.
Как работает система?.
ГДЗ по алгебре для 7 класса Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Учебник с ответами.
Сборник является достаточно популярным среди преподавателей, которые составляют на его основа собственные конспекты. Только отличные оценки с решебником по алгебре Мерзляка для семиклассников. Использовать решебник по алгебре за 7 класс Мерзляк могут не только отстающие и не усвоившие тему учащиеся. Мы рекомендуем смотреть ответы и преуспевающим отличникам, которые хотят себя проверить и проконтролировать. ГДЗ: готовые ответы по алгебре за 7 класс, решебник Мерзляк, Алгоритм успеха ФГОС, онлайн решения на omk-avto.ru Регулярное использование сборника по алгебре Мерзляка, Полонского для 7 класса может заменить частного учителя при подготовке к урокам.
Многие пояснения даны настолько хорошо, что доступны для самостоятельного понимания подростком. С учебным пособием удобно: повторять элементы алгебры, которые были введены ранее в курсе математики; систематизировать знания и отрабатывать решение более сложных задач; развивать собственные способности к точным дисциплинам.
rtf, txt, fb2, EPUBПохожее:
▶▷▶ гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением
▶▷▶ гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением| Интерфейс | Русский/Английский |
| Тип лицензия | Free |
| Кол-во просмотров | 257 |
| Кол-во загрузок | 132 раз |
| Обновление: | 02-11-2018 |
гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Решебник задач и ГДЗ по Геометрии 8 класс Мерзляк АГ gdz-putinanet/ 8 -klass-geometriya-uglublennoe Cached ГДЗ по Геометрии 8 класс Углубленный уровень авторы: Мерзляк АГ, Полонський ВБ, Якір М С Відповіді Алгебра 8 клас Мерзляк (Погл) ГДЗ 4bookorg … 8 класс Алгебра Ответы к учебнику Алгебра 8 класс Мерзляк с углубленным изучением — решебник Смотреть ГДЗ ( решебник ) онлайн: § 1 Решебник (ГДЗ) Геометрія 8 класс АГ Мерзляк, ВБ vshkolecom … Геометрія Проверяем знания на уроке На уроке в школе поможет проверить знания ГДЗ Геометрія 8 клас АГ Мерзляк , ВБ Полонський, М С Якір Поглиблений рівень вивчення, если просмотреть его со своего смартфона совершенно Гдз Решебник Алгебра 8 Класс Мерзляк С Углубленным Изучением — Image Results More Гдз Решебник Алгебра 8 Класс Мерзляк С Углубленным Изучением images Решебник (ГДЗ) Алгебра 8 класс АГ Мерзляк, ВБ Полонський vshkolecom … Алгебра Как найти ответ и задание? В цифровом учебнике ты найдешь задание, а потом перейдешь на ответ в один клик мыши прямиком в ГДЗ Алгебра 8 клас АГ Мерзляк , ВБ Полонський, m С Якір ГДЗ по алгебре 8 класс учебник, углубленный уровень Мерзляк А megareshebaru/publ/gdz/algebra/ 8 _klass/merzlyak Cached ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк , Поляков с углубленным изучением поможет учащемуся справиться со всеми алгебраическими уравнениями и контрольными работами Даже самому неусидчивому ГДЗ решебник по алгебре 8 класс Макарычев углубленное изучение gdzputinaco 8 класс Алгебра ГДЗ решебник по алгебре 8 класс дидактические материалы Ткачева Федорова 2017 Решебники от Путина онлайн ГДЗ (Ответы) Алгебра 8 клас Мерзляк 2016 Відповіді до 4bookorg … 8 класс Алгебра Ответы Алгебра 8 класс Мерзляк к ДЗ можно просматривать на мобильных устройствах: телефоны (Android, iPhone), планшетах (iPad) не только дома, но и на уроках Если вы заметили неточности, у вас есть ГДЗ по Алгебре за 8 класс АГ Мерзляк, ВБ Полонский, МС Якир megareshebaru/publ/gdz/algebra/ 8 _klass/merzlyak Cached В помощь восьмикласснику имеется такой помощник с готовыми решениями, как ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк Содержание этого пособия соответствует главам учебника, состоящих из трех тем ГДЗ Алгебра 8 класс Решебник по Алгебре 8 класс | Моя Школа wwwobozrevatelcom/moyashkola/gdz/ 8 klass/algebra Cached ГДЗ по алгебре за 8 класс — это эффективно Алгебра — один из самых сложных предметов в школьной программе Решебник и ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник, углубленный gdz-putinanet/ 8 -klass-algebra-makarychev Cached ГДЗ по Алгебре 8 класс Углубленный уровень авторы: ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Нешков, И Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 21,200 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
- в тому що нинішня освітня програма потребує величезний рівень знання у учня Не кожна середньостатистична дитина може витримати навантаження
- в тому що нинішня освітня програма потребує величезний рівень знання у учня Не кожна середньостатистична дитина може витримати навантаження
- авторы учебника: Мерзляк АГ ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) можно 9 ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник
Поляков ВМ 3 Решебник и ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник gdz-putinanet › 8-klass-algebra-merzlyak-polyakov Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Алгебре 8 класс Углубленный уровень авторы: Мерзляк АГ
отлично подходит для сверки решебник Скрыть 2 Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ 63 614 13 23 222 615 votveteinfo › book/class-8/algebra/merzlyak… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Алгебре за 8 класс
- МС Якир megareshebaru/publ/gdz/algebra/ 8 _klass/merzlyak Cached В помощь восьмикласснику имеется такой помощник с готовыми решениями
- как ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк Содержание этого пособия соответствует главам учебника
- ВБ Полонский
гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением — Все результаты ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник, углубленный уровень Мерзляк › ГДЗ › 8 класс › Алгебра › углубленное изучение Мерзляк ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк , Поляков с углубленным изучением поможет учащемуся справиться со всеми Рекомендуемые решебники ГДЗ и решебники Алгебра 8 класс | Моя Школа — obozrevatel › Моя Школа › ГДЗ › 8 класс Все ГДЗ ( решебник ) по Алгебре 8 класс онлайн на сайте Только ГДЗ Алгебра 8 класс А Г Мерзляк , В Б Полонский, Углубленный уровень изучения ГДЗ (решебник) к учебнику Мерзляк АГ и др Алгебра 8 класс ГДЗ ( решебник ) к учебнику Мерзляк АГ и др Алгебра 8 класс ( углубленное изучение ) ФГОС ОНЛАЙН 01092018 Решебники для школьников, ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир › Алгебра › 8 класс Решебник по алгебре за 8 класс авторы Мерзляк , Полонский, Якир издательство Вентана-Граф ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ, Поляков ВМ Углубленный › ГДЗ › 8 класс › Алгебра › углубленное изучение Мерзляк ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 8 класс , решебник для углубленного уровня изучения от авторов математиков Мерзляк , ГДЗ по алгебре для 8 класс от Путина Похожие Тут отличные гдз по Алгебре для 8 класса от Путина Очень удобный интерфейс Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) Решебники по алгебре 8 класса , как дополнительная литература, ГДЗ решебник по Алгебре З поглибленим вивченням математики 8 gdzmonsternet › 8 класс › Алгебра ГДЗ решебник по Алгебре З поглибленим вивченням математики 8 класс Мерзляк 2008 Авторы: Мерзляк АГ, Полонський ВБ, Прокопенко НС, Якір Мегарешеба — ГДЗ и решебники по Алгебре за 8 класс онлайн Добро пожаловать на мегарешеба — с лучшими ГДЗ по Алгебре за 8 класс Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) ГДЗ по Алгебре 8 класс от гдзометр Алгебра 8 класс авторы: Петерсон ЛГ Агаханов НХ Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) Алгебра 8 класс Решебник ГДЗ по алгебре 8 класс Мордкович Ответы на mcvouoru @topic=1059htm Алгебра : Учебник для 8 класса Списать решение онлайн ЮН Макарычев; Под ред СА Теляковского — 11-е изд —М: Просвещение, 2003 г Алгебра Онлайн решебники (гдз) по Алгебре Перейти к разделу 8 — Алгебра 8 класс дидактические материалы Звавич ЛИ Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое ГДЗ по Алгебре — 137 решебника с ответами онлайн ГДЗ по Алгебре — все решебники Готовые домашние задания по алгебре с 137 решебников , Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ решебник по алгебре 8 класс мерзляк углубленное изучение — Drive2 b30cti8ewr › Блог › решебник по алгебре 8 класс мерзляк углубленное теперь делюсь ▻ ▻ ▻ ▻ free- gdz com/ reshebnik -po…yak-uglublennoe- izuchenie Картинки по запросу гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением «id»:»BTdursPIDran5M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:220,»ou»:» «,»ow»:150,»pt»:»math-helperru/wp-content/uploads/2018/09/merzlyak»,»rh»:»math-helperru»,»rid»:»GhuXOjQIjBI0OM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»math-helperru»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQvujkrMhwoLwGjF5NfQreeIeWY76JXL7MYlx78iJykfpas0gXL3oplOw8″,»tw»:69 «cb»:6,»cr»:6,»ct»:3,»id»:»IkNz0wqX2XaDcM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:67,»oh»:780,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»wwweurokiorg/system/books/covers/000/005/103/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»th»:95,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSn1dCnGZBNkCbvjw2wmP-AugyPizVald3hvmzgkl_NjZ46wn-1a_YM8Q0″,»tw»:73 «id»:»NwEbYrMTM8qtuM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:220,»ou»:» «,»ow»:150,»pt»:»math-helperru/wp-content/uploads/2018/09/merzlyak»,»rh»:»math-helperru»,»rid»:»JHaxdhLoAeuHAM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»math-helperru»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSmsa0j7dxTUpp5QqduMy3Bz2LiY_X6RXYobihRmJD-OShTBJhdTI9i3gg»,»tw»:69 «id»:»LIqeALD7DdoOqM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:870,»ou»:» «,»ow»:587,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/002/966/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:102,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcR93vxTjJ5sccv73OG9N7diYgpD1mSgSaEpALqyPYTQw9QJXXED0SZMEgc»,»tw»:68 «id»:»79sN8PTM7vX5EM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:840,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/004/737/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:99,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTz9HzLX3mU_QGpS-fY8dWxPTk926uYThqXXxw78P4HlTw65NmjuMD6tMk»,»tw»:70 «id»:»RD4pXnx3YL5wqM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:58,»oh»:870,»ou»:» «,»ow»:564,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/005/047/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:103,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRLO5wQ01Ib7lKEi5tDX4fG7Ym0k1rqydHSr_a3AAobBftVX0Bw3oLgRg»,»tw»:67 «cb»:15,»cl»:6,»id»:»-Ilv-mfBju5_XM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:67,»oh»:779,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/004/762/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»th»:95,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSc2-Dg6ySfPpKHMAaIjGifICVT6PitzINW_ag2Jt2VLxTvCXTpSzQFUAk»,»tw»:73 «id»:»eXVkqImot8cisM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:858,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/005/068/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSmVYYCKlog48iqxyfDFzn4mujAyuls6mM41MHzxSDbZxIQ_N2cGTSJDus»,»tw»:70 «id»:»iR7p77O81AkGRM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:66,»oh»:823,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/005/227/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»eZdgZM-zyz0cfM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:97,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQsCL3w1RV54Pc5Axgo5B08aoSawcYHCp9AD9OrEaaIwrUFRbBj1g7m6Eg»,»tw»:71 Другие картинки по запросу «гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты решебник по алгебре 8 класс мерзляк с углубленным изучением Давно искал и наконец то нашёл решебник по алгебре 8 класс мерзляк с углубленным изучением , теперь делюсь ▻ ▻ ▻ ▻ free- gdz com/ reshebnik -po … Номер 769 гдз алгебра 8 класс Мерзляк Полонский — ГДЗ решебник matematika-domacom/reshebniki-gdz/8-klass/algebra/merzlyak-polonskij/nomer-769 Решение упражнений и ответы задач Номер 769 гдз алгебра 8 класс Мерзляк Полонский Не найдено: углубленным Решебник по Алгебре за 8 класс учебник, углубленный уровень ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк АГ, Поляков ВМ Углубленный уровень решебник ( гдз ) по Алгебре для 8 класса учебник, углубленный уровень, по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) посмотреть тут Задача №768 ГДЗ решебник: Алгебра 7 класс Мерзляк wwwmathcomua/gdz-reshebnik/algebra-7-klass/merzlyakhtml?nomer=768 Решение задания номер 768 по алгебре 7 класс учебник Мерзляк 3) Через сколько часов после выхода турист был на расстоянии 8 км от дома? Решебник по алгебре 8 класс 2018 углубленное изучение bespereboynayasetru/reshebnik-po-algebre-8-klass-2018-uglublennoe-izucheniehtml ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 8 класс, решебник и всех Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ГДЗ ( решебник ) к ГДЗ по алгебре для 8 класса Мерзляк АГ — § 8 / 82 › ГДЗ › 8 класс › Алгебра › углубленное изучение Мерзляк › 82 Подробное решение § 8 82 по алгебре углубленное изучение для учащихся ГДЗ ( Решебник ) по алгебре 8 класс ( углубленное изучение ) Мерзляк АГ ГДЗ и решебники по Алгебре для 8 класса Похожие Готовые домашние задания ( ГДЗ ) по Алгебре 8 класс , решенные Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) ГДЗ по Алгебре за 8 класс решебники, ответы онлайн Похожие ГДЗ по алгебре за 8 класс – онлайн- решебник с детально разобранными Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) ГДЗ по Алгебре 8 класс › ГДЗ › 8 класс › Алгебра Похожие Лучшие решебники к учебникам по Алгебре за 8 класс, для всех авторов Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (31) Показать скрытые результаты Вместе с гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением часто ищут алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением скачать гдз по алгебре 8 класс мерзляк поляков углубленное изучение гдз по алгебре 8 класс мерзляк поляков бесплатно гдз по алгебре 8 класс учебник углубленный уровень мерзляк гдз по алгебре 8 класс мерзляк поляков 2017 гдз по алгебре 8 класс мерзляк полонский якир электронный учебник по алгебре 8 класс мерзляк гдз по алгебре 8 класс мерзляк поляков 2018 Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google
Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник, углубленный MegaReshebaru › publ/gdz/algebra/8_klass/merzlyak… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте / углубленное изучение Мерзляк ГДЗ по алгебре 8 класс учебник, углубленный уровень Мерзляк АГ Углубленный уровень Читать ещё / углубленное изучение Мерзляк ГДЗ по алгебре 8 класс учебник, углубленный уровень Мерзляк АГ Углубленный уровень авторы: Мерзляк АГ, Поляков ВМ На сегодняшний день существует множество учебников по алгебре и примерно такое же количество решебников к ним Некоторым восьмиклассникам трудно справляться с математическими неравенствами Многие в этом периоде люди находятся в переходном возрасте и к таким школьникам не легко найти нужный подход, сложно обучить решению задачи Чтобы ребенок не получал плохих отметок, отлично подходит для сверки решебник Скрыть 2 Алгебра 8 класс углубленное изучение Мерзляк АГ 63 614 13 23 222 615 votveteinfo › book/class-8/algebra/merzlyak… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Алгебре за 8 класс , Мерзляк АГ, Поляков ВМ авторы: Мерзляк АГ, Поляков ВМ 3 Решебник и ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник gdz-putinanet › 8-klass-algebra-merzlyak-polyakov Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Алгебре 8 класс Углубленный уровень авторы: Мерзляк АГ, Поляков ВМ Решебник для 8 класса с углубленным уровнем изучения дисциплины авторов Мерзляка и Полякова — это крайне необходимо для обучения школьников учебному материалу Математические науки требуют точности, а их освоение Читать ещё ГДЗ по Алгебре 8 класс Углубленный уровень авторы: Мерзляк АГ, Поляков ВМ Решебник для 8 класса с углубленным уровнем изучения дисциплины авторов Мерзляка и Полякова — это крайне необходимо для обучения школьников учебному материалу Математические науки требуют точности, а их освоение поддается только при высоком уровне настойчивости и терпения, что несвойственно большинству ребят ГДЗ к учебнику по алгебре поспособствует выполнить задание даже самому энергичному непоседе, а усвоенный материал позволит блеснуть знаниями на контрольном оценивании Скрыть 4 ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ, Поляков GDZru › class-8/algebra/merzlyak-polyakov/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ к учебнику по алгебре для 8 класса предполагает упражнения для углубленного уровня изучения от авторов математиков Мерзляк В решебнике очень много примеров с пошаговым объяснением последовательности решения Читать ещё ГДЗ к учебнику по алгебре для 8 класса предполагает упражнения для углубленного уровня изучения от авторов математиков Мерзляк , Поляков Состоит из 13 параграфов В каждом разделе идет постепенное увеличение сложности предлагаемых к решению задач, множеств, уравнений, неравенств В решебнике очень много примеров с пошаговым объяснением последовательности решения Кроме того, присутствуют раздел для самостоятельной работы Ответы к решаемым номерам для самопроверки тоже есть в нашем пособии Предлагаемые задания , рассчитаны на профильный уровень Восьмиклассник просто будет справляться с матери Скрыть 5 ГДЗ ( решебник ) к учебнику Мерзляк АГ и др Алгебра math-helpernet › …po…gdz…merzlyak-algebra-8-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Домашняя работа по алгебре за 8 класс к учебнику авторов АГ Мерзляк , ВБ Полонский, МС Якир « Алгебра 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций ( углубленное изучение )» Читать ещё Домашняя работа по алгебре за 8 класс к учебнику авторов АГ Мерзляк , ВБ Полонский, МС Якир « Алгебра 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций ( углубленное изучение )» В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из учебника « Мерзляк АГ Алгебра : 8 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / АГ Мерзляк , ВМ Поляков — 2-е изд, стереотип — М, 2019 — 384 с» Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работ Скрыть 6 ГДЗ по алгебре для 8 класса учебник, углубленный reshebacom › gdz/algebra/8-klass/merzlyak-polyakov Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по алгебре учебник, углубленный уровень 8 класс Мерзляк АГ Углубленный уровень Нельзя сказать, что решебник пригодится только для отстающих школьников И преуспевающие в овладении глубинами знаний по алгебре дети смогут найти в нем немало интересного Да и родителям Читать ещё ГДЗ по алгебре учебник, углубленный уровень 8 класс Мерзляк АГ Углубленный уровень ГДЗ 8 класс Алгебра углубленное изучение Мерзляк авторы: Мерзляк АГ, Поляков ВМ Нельзя сказать, что решебник пригодится только для отстающих школьников И преуспевающие в овладении глубинами знаний по алгебре дети смогут найти в нем немало интересного Да и родителям восьмиклассников книга будет чрезвычайно полезна для того, чтобы помочь ребенку справиться с решением поставленной перед ним задачи ГДЗ станут верным другом и помощником для каждого! Гдз самостоятельные и контрольные работы по Алгебре за 8 класс можно найти тут Скрыть 7 ГДЗ відповіді по алгебре 8 класс Мерзляк А, Полонський eurokiorg › gdz…algebra/8_klass…merzljak…polonskij… Перевести Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ алгебра 8 для класів з поглибленим вивченням математики Мерзляк А, Полонський В, Якiр М Немає ніякої таємниці, в тому що нинішня освітня програма потребує величезний рівень знання у учня Не кожна середньостатистична дитина може витримати навантаження, яке кладеться на юні дитячі плечі Читать ещё ГДЗ алгебра 8 для класів з поглибленим вивченням математики Мерзляк А, Полонський В, Якiр М Немає ніякої таємниці, в тому що нинішня освітня програма потребує величезний рівень знання у учня Не кожна середньостатистична дитина може витримати навантаження, яке кладеться на юні дитячі плечі Багатьох школярів, рятує лише наявність подібних допоміжних способів розв’язання складних математичних задач, рівнянь та прикладів Посібник із готовіми домашніми завданнями по алгебрі для 8 класу , врятує школяра від великих обсягів розумового навантаження і допоможе визволити більше вільного часу н Скрыть 8 Гдз по Алгебре учебник, углубленный уровень за GdzPutinacom › Гдз за 8 класс › Алгебра › Углубленный уровень авторы Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробные гдз и решебник по Алгебре для 8 класса учебник, углубленный уровень, авторы учебника: Мерзляк АГ ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) можно 9 ГДЗ по Алгебре за 8 класс учебник, углубленный уровень egdzru › reshebniki/8-klass/algebra/merzlyak… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник готовых домашних заданий ( ГДЗ ) учебник, углубленный уровень по Алгебре за 8 класс , решебник ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) можно скачать здесь Читать ещё Сборник готовых домашних заданий ( ГДЗ ) учебник, углубленный уровень по Алгебре за 8 класс , решебник Мерзляк АГ, Поляков ВМ самые лучшие ответы от EGDZRU ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по алгебре за 8 класс Мерзляк АГ ( углублённое изучение ) можно скачать здесь Скрыть 10 ГДЗ решебник по Алгебре З поглибленим вивченням GdzMonsternet › ua/8-klass/gdz-po-algebre…merzlyak/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Алгебра 8 класс Збірник Мерзляк Полонський Рабінович 2008 Рабочая тетрадь по Алгебре 8 класс Решения с комментариями к итоговым контрольным работам Мерзляк Полонський Прокопенко Якип 2011 Русский язык 5 класс Разумовская Львова Капинос 2013 Алгебра 8 класс Для русских школ Мерзляк Читать ещё Алгебра 8 класс Збірник Мерзляк Полонський Рабінович 2008 Рабочая тетрадь по Алгебре 8 класс Решения с комментариями к итоговым контрольным работам Мерзляк Полонський Прокопенко Якип 2011 Русский язык 5 класс Разумовская Львова Капинос 2013 Алгебра 8 класс Для русских школ Мерзляк Полонский Якир 2015 Алгебра 8 класс Мерзляк 2015 Рабочая тетрадь по Алгебре 8 класс Розв’язання до збірника задач і контрольних робіт Мерзляк Полонський Прокопенко Якір 2016 Скрыть Вместе с « гдз решебник алгебра 8 класс мерзляк с углубленным изучением » ищут: гдз решебник алгебра 7 класс мерзляк гдз решебник алгебра 10 класс колягин юм гдз решебник алгебра и начала математического анализа 10 класс алимов гдз решебник алгебра 10 класс колягин гдз решебник алгебра 11 класс мордкович гдз решебник алгебра 10 класс гдз решебник алгебра 7 класс макарычев гдз решебник алгебра 7 класс никольский гдз решебник алгебра 9 класс макарычев гдз решебник алгебра и начала математического анализа 10 класс часть 2 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашлось 184 млн результатов Дать объявление Регистрация Войти 0+ ЯндексБраузер с Алисой, которая готова поболтать Установить Закрыть Попробовать еще раз Включить Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Здоровье Музыка Маркет Едадил Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2018 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Попробуйте быстрый Браузер с технологией защиты Протект 0+ Установить
ГДЗ, Решебники к учебникам Алгебры за 7 класс
Все Готовые Домашние Задания Решебники к учебникам Алгебры за 7 класс
В седьмом классе математика в школах разделяется на два отдельных предмета.
Особые сложности у детей вызывает алгебра, которая содержит сотни аксиом и правил, неизвестных ребенку ранее.
С домашними заданиями возникают настоящие проблемы, с которыми родители уже не могут помочь. Можно воспользоваться ГДЗ по алгебре для 7 класса. Узнав ответ задачи, вы легко найдете пути ее решения.
Седьмой класс – самое время следить за оценками, потому не допускайте невыполненных домашних заданий и пользуйтесь помощью ГДЗ. Это обеспечит хорошие отметки и отсутствие проблем с учителем алгебры.
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. Углубленное изучение, Макарычев, Миндюк
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Углубленное изучение, Макарычев, Миндюк. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, Дидактические материалы 7 класс. Зив, Гольдич. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра, Дидактические материалы. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Зив, Гольдич. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, 7 класс. Никольский, Потапов. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Никольский, Потапов. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, 7 класс. Мерзляк, Полонский. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Мерзляк, Полонский. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, 7 класс. Колягин, Ткачева. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Колягин, Ткачева. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник.
Алгебра, 7 класс. Дорофеев, Суворова. 2017 г.ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Дорофеев, Суворова. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, Дидактические материалы 7 класс. Ткачева, Федорова. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра, Дидактические материалы. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Ткачева, Федорова. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра, Дидактические материалы 7 класс. Потапов, Шевкин. 2017 г.
ГДЗ: Алгебра, Дидактические материалы. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Потапов, Шевкин. Год издания: 2017 г. |
ГДЗ, Решебник по Алгебре для 7 класса.
Самостоятельные и Контрольные работы. Ершова А.П. 2014 г.ГДЗ: Алгебра, Самостоятельные и Контрольные работы. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Ершова А.П. Год издания: 2014 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. Алимов Ш.А. 2015 г
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Алимов Ш. А. Год издания: 2015 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. Контрольные работы. Дудницын Ю.П. 2010 г.
ГДЗ: Алгебра. Контрольные работы. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Дудницын Ю.П. Год издания: 2010 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. А.Г.Мордкович (Контрольные работы, Приложения.
) 2013г.ГДЗ: Алгебра (Контрольные работы, Приложения.) Класс: 7 класс. Авторы учебника: А.Г. Мордкович и др. Год издания: 2013 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. А.Г. Мордкович (Задачник) 2013 г.
ГДЗ: Алгебра (Задачник) Класс: 7 класс. Авторы учебника: А.Г. Мордкович и др. Год издания: 2013 г. |
ГДЗ, Решебник по по Алгебре 7 класс. Мордкович А.Г. 2014 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Мордкович А.Г. Год издания: 2014 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. Дидактическиие материалы. Л.И.Звавич, Л.В.Кузнецова. 2015 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова. Год издания: 2015 г. |
Дидактическиие материалы.ГДЗ, Решебник по по Алгебре 7 класс. Макарычев Ю.Н. 2014 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Макарычев Ю.Н. Год издания: 2014 г. |
ГДЗ, Решебник. Алгебра 7 класс. Макарычев Ю.Н. 2013 г.
ГДЗ: Алгебра. Класс: 7 класс. Авторы учебника: Макарычев Ю.Н. Год издания: 2013 г. |
3.1 Функции и обозначение функций — College Algebra
Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования.
В этом разделе мы разберем такие отношения.
Определение того, представляет ли отношение функцию
Отношение — это набор упорядоченных пар.Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется доменом , а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном . Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.
{(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)} {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)}Домен: {1,2,3,4,5}. {1,2,3,4,5}. Диапазон составляет {2,4,6,8,10}. {2,4,6,8,10}.
Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой x.x. Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение , значение или зависимая переменная и часто обозначается строчной буквой y.
y.
Функция ff — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене . Другими словами, значения x не повторяются. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5 }, сочетается ровно с одним элементом в диапазоне, {2,4,6,8,10}.{2,4,6,8,10}.
Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Это выглядело бы как
{(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5)} {(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5)} Обратите внимание, что каждый элемент в домене, {четный, нечетный} {четный, нечетный}
это , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне, {1,2,3,4,5}.
{1,2,3,4,5}.
Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из диапазона {1,3,5} {1,3,5}
а термин «даже» соответствует двум значениям из диапазона {2,4}.{2,4}.
Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.
На рисунке 1 сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.
Рис. 1 (a) Это отношение является функцией, потому что каждый вход связан с одним выходом. Обратите внимание, что входные qq и rr дают выход n.n. (б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это отношение не является функцией, потому что вход qq связан с двумя разными выходами.Функция
Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».
Входные значения составляют область, а выходные значения составляют диапазон.
Как к
Учитывая взаимосвязь между двумя величинами, определите, является ли взаимосвязь функцией.
- Определите входные значения.
- Определите выходные значения.
- Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию.Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.
Пример 1
Определение того, являются ли прайс-листы меню функциями
Меню кофейни, показанное ниже, состоит из позиций и их цен.
Ⓐ Цена зависит от товара?
Ⓑ Товар зависит от цены?
Решение
ⓐ Начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены.
У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.
ⓑ Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных.
См. Изображение ниже.
Следовательно, товар не зависит от цены.
Пример 2
Определение, являются ли правила оценки класса функциями
В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице 1 показано возможное правило присвоения баллов.
| Процентное содержание | 0–56 | 57–61 | 62–66 | 67–71 | 72–77 | 78–86 | 87–91 | 92–100 |
| Средний балл | 0,0 | 1,0 | 1. 5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 |
Таблица 1
Решение
Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.
В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу.Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.
Попробуй # 1
Таблица 2 перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.
| Игрок | Рейтинг |
|---|---|
| Бейб Рут | 1 |
| Вилли Мейс | 2 |
| Тай Кобб | 3 |
| Уолтер Джонсон | 4 |
| Хэнк Аарон | 5 |
Таблица 2
- ⓐРанг зависит от имени игрока?
- ⓑИмя игрока зависит от ранга?
Использование обозначения функций
Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли понять и использовать их, а иногда и чтобы мы могли программировать их в компьютерах.
Есть разные способы представления функций. Стандартные обозначения функций — это одно из представлений, облегчающих работу с функциями.
Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных hh на рост и аа для возраста. Буквы f, g, f, g и hh часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем x, y, x, y и zz для обозначения чисел и A, B, A, B, и CC для представления множеств.
Его fof a Мы называем функцию f; рост является функцией возраста.h = f (a) Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции. f (a) Мы называем функцию f; выражение читается как «fof a». his fof a Мы называем функцию f; высота является функцией возраста. h = f (a) Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции. f (a) Назовем функцию f; выражение читается как «fof a». Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; обозначение h (a) h (a) показывает нам, что hh зависит от a.a. Чтобы получить результат, необходимо передать значение aa в функцию hh.
Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.
Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции. Например, f (a + b) f (a + b) означает «сначала сложите a и b , и результат будет входом для функции f ». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.
Обозначение функций
Запись y = f (x) y = f (x) определяет функцию с именем f.f. Это читается как «y» y является функцией x. X «. Буква xx представляет входное значение или независимую переменную.Буква y, y или f (x), f (x) представляет выходное значение или зависимую переменную.
Пример 3
Использование обозначения функций для дней в месяце
Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце.
Предположим, что домен не включает високосные годы.
Решение
Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию f, f, мы запишем дни = f (месяц) дни = f (месяц) или d = f (m).d = f (м). Название месяца — это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.
Рисунок 2
Например, f (март) = 31, f (март) = 31, потому что в марте 31 день. Обозначение d = f (m) d = f (m) напоминает нам, что количество дней, dd (выход), зависит от названия месяца, мм (вход).
Анализ
Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.
Пример 4
Интерпретация обозначений функций
Функция N = f (y) N = f (y) дает количество полицейских, N, N, в городе в году y.y. Что означает f (2005) = 300f (2005) = 300?
Решение
Когда мы читаем f (2005) = 300, f (2005) = 300, мы видим, что входным годом является 2005. Значение выхода, количество полицейских (N), (N), равно 300.Помните, N = f (y). N = f (y). Выражение f (2005) = 300f (2005) = 300 говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.
Попробуй # 2
Используйте обозначение функции, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях d.d.
Вопросы и ответы
Вместо обозначений, таких как y = f (x), y = f (x), можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например y = y (x), y = y (x ), что означает: « y является функцией x ?»
Да, это часто делается, особенно в прикладных предметах, использующих высшую математику, таких как физика и инженерия.
Однако при изучении самой математики нам нравится различать такие функции, как f, f, которые являются правилом или процедурой, и выходными данными yy, которые мы получаем, применяя ff к конкретному входу x.x. Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как y = f (x), P = W (d), y = f (x), P = W (d) и т. Д.
Представление функций с помощью таблиц
Распространенным методом представления функций является таблица. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения. В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.
Таблица 3 перечисляет входное число каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце ff, где D = f (m) D = f (m) определяет месяцы целым числом, а не именем.
| Номер месяца, мм (ввод) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Дней в месяце, DD (выход) | 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 |
Таблица 3
Таблица 4 определяет функцию Q = g (n).
Q = g (n). Помните, что эта запись говорит нам, что gg — это имя функции, которая принимает вход nn и выдает на выходе Q .Q.
| nn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Таблица 4
В таблице 5 показан возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.
| Возраст в годах, а.о. (исходные) | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Высота в дюймах, hh (на выходе) | 40 | 42 | 44 | 47 | 50 | 52 | 54 |
Таблица 5
Как сделать
Учитывая таблицу входных и выходных значений, определите, представляет ли таблица функцию.
- Определите входные и выходные значения.
- Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.
Пример 5
Идентификация таблиц, представляющих функции
Какая таблица, таблица 6, таблица 7 или таблица 8, представляет функцию (если есть)?
| Вход | Выход |
|---|---|
| –3 | 5 |
| 0 | 1 |
| 4 | 5 |
Таблица 7
Решение
Таблицы 6 и 7 определяют функции.
В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. Таблица 8 не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.
Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.
Функция, представленная в Таблице 6, может быть представлена записью
f (2) = 1, f (5) = 3 и f (8) = 6f (2) = 1, f (5) = 3 и f (8) = 6.
g (−3) = 5, g (0) = 1 и g (4) = 5g (−3) = 5, g (0) = 1 и g (4) = 5представляют функцию в таблице 7. .
Таблицу 8 нельзя выразить аналогичным образом, потому что она не представляет функцию.
Попробуй # 3
Представляет ли таблица 9 функцию?
| Вход | Выход |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 100 |
| 3 | 1000 |
Таблица 9
Поиск входных и выходных значений функции
Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.
Вычисление всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.
Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.
Вычисление функций в алгебраических формах
Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.Например, функция f (x) = 5−3x2f (x) = 5−3×2 может быть вычислена путем возведения в квадрат входного значения, умножения на 3 и последующего вычитания произведения из 5.
Как к
Учитывая формулу функции, оцените.
- Замените входную переменную в формуле на указанное значение.
- Рассчитайте результат.
Пример 6
Оценка функций при определенных значениях
Вычислить f (x) = x2 + 3x − 4f (x) = x2 + 3x − 4 в:
- ⓐ 22
- ⓑ aa
- ⓒ а + га + ч
- ⓓ Теперь вычислим f (a + h) −f (a) hf (a + h) −f (a) h
Решение
Заменить xx в функции с каждым указанным значением.
- ⓐ Поскольку входное значение представляет собой число 2, мы можем использовать простую алгебру для упрощения. f (2) = 22 + 3 (2) −4 = 4 + 6−4 = 6f (2) = 22 + 3 (2) −4 = 4 + 6−4 = 6
- ⓑ В данном случае вводимое значение представляет собой букву, поэтому мы не можем дальше упрощать ответ. f (a) = a2 + 3a − 4f (a) = a2 + 3a − 4
- При входном значении a + h, a + h мы должны использовать свойство распределения. f (a + h) = (a + h) 2 + 3 (a + h) −4 = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4f (a + h) = (a + h) 2 + 3 (a + h) −4 = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4
- ⓒ В этом случае мы применяем входные значения к функции более одного раза, а затем выполняем алгебраические операции над результатом. Мы уже обнаружили, что
f (a + h) = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4f (a + h) = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4
, и мы знаем, что
f (a) = a2 + 3a − 4f (a) = a2 + 3a − 4Теперь объединим результаты и упростим.
f (a + h) −f (a) h = (a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4) — (a2 + 3a − 4) h = 2ah + h3 + 3hh = h (2a + h + 3) hФактор h. = 2a + h + 3 Упростить. F (a + h) −f (a) h = (a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4) — (a2 + 3a − 4) h = 2ah + h3 + 3hh = h (2a + h + 3) hФактор h. = 2a + h + 3 Упростить.
Мы уже обнаружили, что
f (a + h) = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4f (a + h) = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4Пример 7
Оценка функций
Учитывая функцию h (p) = p2 + 2p, h (p) = p2 + 2p, вычислить h (4) .h (4).
Решение
Чтобы вычислить h (4), h (4), мы подставляем значение 4 для входной переменной pp в данной функции.
h (p) = p2 + 2ph (4) = (4) 2 + 2 (4) = 16 + 8 = 24 h (p) = p2 + 2ph (4) = (4) 2 + 2 (4) = 16 + 8 = 24Следовательно, для входа 4 у нас есть выход 24.
Попробуй # 4
Учитывая функцию g (m) = m − 4, g (m) = m − 4, вычислите g (5).
г (5).
Пример 8
Решающие функции
Учитывая функцию h (p) = p2 + 2p, h (p) = p2 + 2p, решите относительно h (p) = 3. h (p) = 3.
Решение
h (p) = 3 p2 + 2p = 3 Подставим исходную функцию h (p) = p2 + 2p.p2 + 2p − 3 = 0 Вычтем по 3 с каждой стороны. (p + 3) (p − 1) = 0Factor. h (p) = 3 p2 + 2p = 3 Подставим исходную функцию h (p) = p2 + 2p.p2 + 2p − 3 = 0 Вычтем по 3 с каждой стороны. (p + 3) (p − 1) = 0Factor.Если (p + 3) (p − 1) = 0, (p + 3) (p − 1) = 0, либо (p + 3) = 0 (p + 3) = 0, либо (p − 1) = 0 (p − 1) = 0 (или оба равны 0).Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая pp.
(p + 3) = 0, p = −3 (p − 1) = 0, p = 1 (p + 3) = 0, p = −3 (p − 1) = 0, p = 1 Это дает нам два решения. Выходной сигнал h (p) = 3h (p) = 3, когда на входе либо p = 1p = 1, либо p = −3.p = −3. Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 3. График проверяет, что h (1) = h (−3) = 3h (1) = h (−3) = 3 и h (4) = 24.
h (4) = 24.
Рисунок 3
Попробуй # 5
Для функции g (m) = m − 4, g (m) = m − 4, решить g (m) = 2.g (m) = 2.
Вычисление функций, выраженных в формулах
Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнений.Если можно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение 2n + 6p = 122n + 6p = 12 выражает функциональную связь между nn и п.п. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли pp функцией n.n.
Как к
Для функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.
- Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а с другой стороны как выражение, которое включает только входную переменную.
- Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или с обеих сторон, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одну и ту же величину.
Пример 9
Нахождение уравнения функции
Выразите соотношение 2n + 6p = 122n + 6p = 12 как функцию p = f (n), p = f (n), если это возможно.
Решение
Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где pp является функцией n, n, что означает запись его как p = [expressioninvolvingn].p = [выражениеinvolvingn].
2n + 6p = 126p = 12−2n Вычтите 2n с обеих сторон. P = 12−2n6 Разделите обе стороны на 6 и упростите. P = 126−2n6p = 2−13n2n + 6p = 126p = 12−2n Вычтите 2n с обеих сторон. P = 12− 2n6 Разделите обе части на 6 и упростите. P = 126−2n6p = 2−13nСледовательно, pp как функция от nn записывается как
p = f (n) = 2−13np = f (n) = 2−13nАнализ
Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, можно также выразить как функцию с формулой.
Пример 10
Выражение уравнения круга как функции
Представляет ли уравнение x2 + y2 = 1×2 + y2 = 1 функцию с xx на входе и yy на выходе? Если это так, выразите взаимосвязь как функцию y = f (x).у = f (х).
Решение
Сначала мы вычитаем x2x2 с обеих сторон.
Теперь мы пытаемся найти yy в этом уравнении.
y = ± 1 − x2 = + 1 − x2and −1 − x2y = ± 1 − x2 = + 1 − x2and −1 − x2Мы получаем два выхода, соответствующие одному и тому же входу, поэтому это соотношение не может быть представлено как одна функция у = е (х). у = е (х).
Попробуй # 6
Если x − 8y3 = 0, x − 8y3 = 0, выразите yy как функцию от x.x.
Вопросы и ответы
Существуют ли отношения, выраженные уравнением, которые действительно представляют функцию, но все же не могут быть представлены алгебраической формулой?
Да, такое бывает.
Например, учитывая уравнение x = y + 2y, x = y + 2y, если мы хотим выразить yy как функцию от x, x, не существует простой алгебраической формулы, включающей только xx, равную y.y. Однако каждый xx определяет уникальное значение для y, y, и существуют математические процедуры, с помощью которых yy можно найти с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для yy как функции от x, x, даже если формулу нельзя записать явно.
Оценка функции, заданной в табличной форме
Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.
И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.
Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу 10.
| ПЭТ | Объем памяти в часах |
|---|---|
| Щенок | 0,008 |
| Взрослая собака | 0,083 |
| Cat | 16 |
| Золотая рыбка | 2160 |
| Бета-рыба | 3600 |
Таблица 10
Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений.
Здесь вызовем функцию P.P.
Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца. Мы можем оценить функцию PP при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали P (золотая рыбка) = 2160.P (золотая рыбка) = 2160. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции PP кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.
Как к
Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.
- Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
- Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
- Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
- Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.
Пример 11
Вычисление и решение табличной функции
Используя таблицу 11,
Ⓐ Оцените g (3) .g (3).
Ⓑ Решите g (n) = 6.g (n) = 6.
| nn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| г (н) г (н) | 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Таблица 11
Решение
ⓐ Вычисление g (3) g (3) означает определение выходного значения функции gg для входного значения n = 3.п = 3. Выходное значение таблицы, соответствующее n = 3n = 3, равно 7, поэтому g (3) = 7.g (3) = 7.
Ⓑ Решение g (n) = 6g (n) = 6 означает определение входных значений n, n, которые производят выходное значение 6. Таблица 11 показывает два решения: 22 и 4.4.
| nn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| г (н) г (н) | 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Когда мы вводим 2 в функцию g, g, на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию g, g, наш результат также равен 6.
Поиск значений функций из графика
Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график. Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.
Пример 12
Считывание значений функций из графика
Учитывая график на рисунке 4,
ⓐ Оцените f (2).f (2).
Ⓑ Решите f (x) = 4. f (x) = 4.
Рисунок 4
Решение
ⓐ Чтобы оценить f (2), f (2), найдите точку на кривой, где x = 2, x = 2, затем прочтите координату y этой точки. Точка имеет координаты (2,1), (2,1), поэтому f (2) = 1. f (2) = 1. См. Рисунок 5.
Рисунок 5
Ⓑ Чтобы решить f (x) = 4, f (x) = 4, мы находим выходное значение 44 на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии y = 4, y = 4, мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением 4: 4: (−1,4) (- 1,4) и (3,4).(3,4). Эти точки представляют два решения f (x) = 4: f (x) = 4: −1−1 или 3.3. Это означает, что f (−1) = 4f (−1) = 4 и f (3) = 4, f (3) = 4, или когда на входе −1−1 или 3,3, на выходе будет 4.4. См. Рисунок 6.
Рисунок 6
Определение того, является ли функция взаимно однозначной
Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям. Например, на биржевой диаграмме, показанной на рисунке в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.
Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в Таблице 12.
| Буквенный класс | Средний балл |
|---|---|
| А | 4,0 |
| B | 3.0 |
| С | 2,0 |
| Д | 1,0 |
Таблица 12
Эта система оценок представляет собой функцию «один к одному», поскольку каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной входной букве.
Чтобы наглядно представить эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные на Рисунке 1 (a) и Рисунке 1 (b) .Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно однозначной, потому что оба входа qq и rr дают выход n.n. Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.
Индивидуальные встречи
Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.
Пример 13
Определение того, является ли отношение однозначной функцией
Площадь круга зависит от его радиуса? Если да, то функция взаимно однозначная?
Решение
Окружность радиуса rr имеет уникальную меру площади, равную A = πr2, A = πr2, поэтому для любого входа r, r существует только один выход A.A. Площадь является функцией радиуса r.r.
Если функция является взаимно однозначной, выходное значение, площадь, должно соответствовать уникальному входному значению, радиусу. Любая мера площади AA задается формулой A = πr2.A = πr2. Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: Aπ.Aπ. Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.
Попробуй # 9
- ⓐ Является ли остаток функцией номера банковского счета?
- ⓑ Является ли номер банковского счета функцией баланса?
- ⓒ Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
Попробуй # 10
Оцените следующее:
- ⓐ Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
- ⓑ Если да, то функция взаимно однозначная?
Использование теста вертикальной линии
Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика.Графики отображают огромное количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений. По соглашению, графики обычно строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.
Наиболее распространенные графики называют входное значение xx и выходное значение y, y, и мы говорим, что yy является функцией от x, x или y = f (x) y = f (x), когда функция называется f.f. График функции — это совокупность всех точек (x, y) (x, y) на плоскости, которая удовлетворяет уравнению y = f (x).у = f (х). Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на рисунке 7 говорят нам, что f (0) = 2f (0) = 2 и f (6) = 1.f (6) = 1. Однако набор всех точек (x, y) (x, y), удовлетворяющих y = f (x) y = f (x), является кривой. Показанная кривая включает (0,2) (0,2) и (6,1) (6,1), потому что кривая проходит через эти точки.
Рисунок 7
Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения. См. Рисунок 8.
Рисунок 8
Как к
Для графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.
- Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
- Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.
Пример 14
Применение теста вертикальной линии
Какой из графиков на рисунке 9 представляет функцию y = f (x)? Y = f (x)?
Рисунок 9
Решение
Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией.Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку из двух графиков, показанных в частях (a) и (b) рисунка 9. Из этого мы можем сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, как показано на рисунке 10.
Рисунок 10
Попробуй # 11
Представляет ли график на рисунке 11 функцию?
Рисунок 11
Использование теста горизонтальной линии
После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли он взаимно однозначной функцией, — это использовать тест горизонтальной линии.Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.
Как к
Для данного графика функции используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно однозначного соответствия.
- Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
- Если такая линия есть, определите, что функция не взаимно однозначна.
Пример 15
Применение теста горизонтальной линии
Рассмотрим функции, показанные на Рисунке 9 (a) и Рисунке 9 (b) . Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?
Решение
Функция на рисунке 9 (a) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на рисунке 12, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)
Рисунок 12
Функция на рисунке 9 (b) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.
Попробуй # 12
Соответствует ли график на Рисунке 9 взаимно однозначному?
Определение базовых функций набора инструментов
В этом тексте мы исследуем функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем. Учимся читать, начинаем с алфавита.Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать xx в качестве входной переменной и y = f (x) y = f (x) в качестве выходной переменной.
Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги.Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблиц включены в каждую функцию, показанную в Таблице 13.
3.1 Раздел Упражнения
Устный
1.В чем разница между отношением и функцией?
2.В чем разница между вводом и выводом функции?
3.Почему тест с вертикальной линией говорит нам, представляет ли график отношения функцию?
4.Как определить, является ли отношение взаимно однозначной функцией?
5.Почему тест горизонтальной линии говорит нам, является ли график функции взаимно однозначным?
Алгебраический
В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.
6.{(a, b), (c, d), (a, c)} {(a, b), (c, d), (a, c)}
7.{(a, b), (b, c), (c, c)} {(a, b), (b, c), (c, c)}
Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение yy как функцию от x.Икс.
Для следующих упражнений оцените функцию ff при указанных значениях f (−3), f (2), f (−a), — f (a), f (a + h) .f (−3), f (2), f (−a), — f (a), f (a + h).
28.f (x) = — 5×2 + 2x − 1f (x) = — 5×2 + 2x − 1
30.f (x) = 6x − 15x + 2f (x) = 6x − 15x + 2.
31.f (x) = | x − 1 | — | x + 1 | f (x) = | x − 1 | — | x + 1 |
32.Учитывая функцию g (x) = 5 − x2, g (x) = 5 − x2, вычислим g (x + h) −g (x) h, h ≠ 0. G (x + h) −g (x ) h, h ≠ 0.
33.Учитывая функцию g (x) = x2 + 2x, g (x) = x2 + 2x, вычислим g (x) −g (a) x − a, x ≠ a.g (x) −g (a) x − a, x ≠ a.
34.Для функции k (t) = 2t − 1: k (t) = 2t − 1:
- ⓐ Оцените k (2) .k (2).
- ⓑ Решить k (t) = 7. k (t) = 7.
Для функции f (x) = 8−3x: f (x) = 8−3x:
- ⓐ Вычислите f (−2) .f (−2).
- ⓑ Решить f (x) = — 1. f (x) = — 1.
Для функции p (c) = c2 + c: p (c) = c2 + c:
- ⓐ Вычислите p (−3) .p (−3).
- ⓑ Решите p (c) = 2.p (c) = 2.
Для функции f (x) = x2−3x: f (x) = x2−3x:
- ⓐ Оцените f (5).f (5).
- ⓑ Решить f (x) = 4. f (x) = 4.
Для функции f (x) = x + 2: f (x) = x + 2:
- ⓐ Оцените f (7) .f (7).
- ⓑ Решить f (x) = 4. f (x) = 4.
Рассмотрим соотношение 3r + 2t = 18,3r + 2t = 18.
- ⓐ Запишите соотношение в виде функции r = f (t) .r = f (t).
- ⓑ Вычислите f (−3) .f (−3).
- ⓒ Решить f (t) = 2. f (t) = 2.
Графический
В следующих упражнениях используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, какие графики показывают отношения, являющиеся функциями.
40. 42. 44. 46. 48. 50. 52.Учитывая следующий график,
- ⓐ Вычислите f (−1) .f (−1).
- ⓑ Решить относительно f (x) = 3. f (x) = 3.
Учитывая следующий график,
- ⓐ Вычислить f (0) .f (0).
- ⓑ Решить относительно f (x) = — 3. f (x) = — 3.
Учитывая следующий график,
- ⓐ Оцените f (4) .f (4).
- ⓑ Решить относительно f (x) = 1. f (x) = 1.
Для следующих упражнений определите, является ли данный график взаимно однозначной функцией.
56. 58.Numeric
В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.
60.{(−1, −1), (- 2, −2), (- 3, −3)} {(- 1, −1), (- 2, −2), (- 3, −3) }
61.{(3,4), (4,5), (5,6)} {(3,4), (4,5), (5,6)}
62.{(2,5), (7,11), (15,8), (7,9)} {(2,5), (7,11), (15,8), (7,9) }
Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение, представленное в виде таблицы, yy как функцию от x.x.
Для следующих упражнений используйте функцию ff, представленную в таблице ниже.
| х х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f (x) f (x) | 74 | 28 | 1 | 53 | 56 | 3 | 36 | 45 | 14 | 47 |
Таблица 14
Для следующих упражнений оцените функцию ff при значениях f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (−2), f (−1), f (0 ), f (1) и f (2).f (2).
70.f (x) = 8×2−7x + 3f (x) = 8×2−7x + 3
72.f (x) = x − 2x + 3f (x) = x − 2x + 3.
Для следующих упражнений вычислите выражения, заданные функциями f, g, f, g и h: h:
f (x) = 3x − 2f (x) = 3x − 2
g (x) = 5 − x2g (x) = 5 − x2
h (x) = — 2×2 + 3x − 1h (x) = — 2×2 + 3x − 1
3f (1) −4g (−2) 3f (1) −4g (−2)
75.f (73) −h (−2) f (73) −h (−2)
Технологии
Для следующих упражнений построим график y = x2y = x2 в заданной области.Определите соответствующий диапазон. Покажите каждый график.
Для следующих упражнений построим график y = x3y = x3 в заданной области. Определите соответствующий диапазон. Покажите каждый график.
Для следующих упражнений построим график y = xy = x в заданной области. Определите соответствующий диапазон. Покажите каждый график.
Для следующих упражнений построим график y = x3y = x3 в заданной области. Определите соответствующий диапазон. Покажите каждый график.
85.[-0,001,0,001] [- 0,001,0,001]
86.[-1000,1000] [- 1000,1000]
87.[-1,000,000,1,000,000] [- 1,000,000,1,000,000]
Реальные приложения
88.Количество мусора G, G, производимого городом с населением pp, определяется выражением G = f (p) .G = f (p). GG измеряется в тоннах в неделю, а pp — в тысячах человек.
- ⓐ Город Тола с населением 40 000 человек производит 13 тонн мусора каждую неделю. Выразите эту информацию в терминах функции f.f.
- ⓑ Объясните значение утверждения f (5) = 2.f (5) = 2.
Количество кубических ярдов земли, D, D, необходимое для покрытия сада площадью aa квадратный фут, определяется как D = g (a) .D = g (a).
- ⓐ Для сада площадью 5000 футов 2 требуется 50 ярдов 3 земли. Выразите эту информацию в терминах функции g.g.
- ⓑ Объясните значение утверждения g (100) = 1. g (100) = 1.
Пусть f (t) f (t) будет количеством уток в озере через tt годы после 1990 года. Объясните значение каждого утверждения:
- ⓐ f (5) = 30f (5) = 30
- ⓑ f (10) = 40f (10) = 40
Пусть h (t) h (t) будет высотой над землей в футах ракеты через tt секунд после запуска. Объясните значение каждого утверждения:
- ⓐ ч (1) = 200 ч (1) = 200
- ⓑ ч (2) = 350 ч (2) = 350
Покажите, что функция f (x) = 3 (x − 5) 2 + 7f (x) = 3 (x − 5) 2 + 7 однозначно равна , а не .
Элементарная алгебра — Библиотека открытых учебников
Отзыв Венди Роулинсон, преподавателя математики, Общественный колледж Лейн, 21 августа 2016 г.
Полнота рейтинг: 5 видеть меньше
Эта книга обеспечивает очень четкое и исчерпывающее освещение обычных тем элементарной алгебры, а также некоторый материал по промежуточной алгебре.В книге есть множество примеров и очень надежные, хорошо построенные комплексы упражнений. Автор приложил дополнительные усилия, чтобы включить в примеры специальные примечания, предостережения и даже некоторые альтернативные решения. Нет указателя или глоссария, что является серьезной проблемой. Во время навигации по книге, чтобы просто просмотреть ее, я потратил много времени на поиск (прокрутку) конкретных тем. Одним из примеров этого является то, что когда метод AC обсуждается в разделе 6.3, в тексте говорится: «… используя метод AC, описанный ранее.Найти место, где оно было «… описано ранее», было нетривиальным (тем более, что я думаю, что логичным местом для его введения было В разделе 6.3, а не ранее). Я полагаю, что отсутствие указателя может удержать студентов от использования книги в качестве ресурса и может помешать изучению материала. Встроенные видео — очень полезная функция. Студенты получают большую пользу от легкого доступа к видеороликам, которые демонстрируют и усиливают материал, и были тщательно выбраны подходящие видеоролики. Тем не менее, не было видео, связанных с определенными темами, которые, я думаю, специально для них были бы полезны (один пример: студенты часто сильно борются с методом AC, но я не мог найти связанное видео, демонстрирующее эту технику).Если бы я использовал этот текст для своего класса, я бы, вероятно, добавил дополнительные видео для своих учеников. В целом, это хорошая всеобъемлющая книга по элементарной алгебре.
Точность содержания рейтинг: 4
При просмотре книги я обнаружил очень мало ошибок в содержании. Было уделено внимание использованию правильного словарного запаса, отображению соответствующих математических процессов и устранению распространенных ошибок учащихся. Основные проблемы «точности» связаны с использованием обозначений и их вариациями в зависимости от используемого приложения / браузера.
Актуальность / долголетие рейтинг: 5
При изучении алгебры долголетие не такая большая проблема, как в некоторых других дисциплинах. Содержание этой книги будет актуальным и через много лет. Если случайно вошли в моду новаторские алгебраические методы или стратегии, эту книгу можно было бы легко отредактировать, чтобы включить их. Примеры и упражнения достаточно основаны на фактах и имеют общий характер. Избегая контекстов и ссылок «реального мира», они в некоторой степени изолированы от устаревания.Обратной стороной этого подхода является то, что введение в проблемы немного сухо и потенциально трудно для учащихся. В разделе 1.5 представлены круговые диаграммы, основанные на данных за 2009 год. Если эта графика (или другие) в какой-то момент заставит книгу почувствовать себя устаревшей, ее можно легко обновить новыми данными из цитируемого источника.
Ясность рейтинг: 1
Ясность этой книги, кажется, соответствует большинству других основных книг по элементарной алгебре. Очень хорошее использование цвета и графики эффективно и помогает улучшить читаемость.Некоторые обозначения и примеры могут быть немного сложными и запутанными для учащихся этого уровня (например: в описании факторинга методом проб и ошибок в дополнение к переменной выражения x используются p, q, m и n). Кроме того, при поиске определенных видео мне было трудно быстро пролистать и найти ссылки на видео. Я хотел бы, чтобы ссылки на видео были заменены цветом или специальной графикой для ясности и простоты использования.
Последовательность рейтинг: 3
В книге очень хорошая, последовательная структура.Разделы начинаются с пронумерованных «Целей обучения» и заканчиваются «Ключевые выводы». Также по всему тексту единообразны примеры «Неправильно или правильно», «Примечания» и «Попробуй!» Особенности. Последовательное использование цветных рамок для различных функций упрощает поиск важных, «ключевых» функций. Например, синие прямоугольники позволяют быстро и легко находить наборы упражнений. В зависимости от того, как осуществляется доступ к книге, могут быть значительные различия в использовании обозначений, даже от одного упражнения к другому.», А иногда показатель степени просто следует за основанием, в результате чего« 3 в квадрате »выглядит как 32. Другой пример — размещение радикального символа. Иногда он был написан правильно, а иногда радикальный символ вводился после подкоренного выражения. Несоответствие (и неточность) очень проблематично, и, безусловно, их нужно будет устранить, прежде чем я буду чувствовать себя комфортно при использовании этой книги. Последовательная структура, используемая в каждом разделе, получила бы от меня оценку «5». Но другие важные несоответствия, упомянутые выше, снижают мой рейтинг.
Модульность рейтинг: 3
Главы и разделы пронумерованы, но тогда эти номера не упоминаются в оглавлении онлайн-версии. И хотя каждый раздел начинается с номера главы и раздела, версия в формате pdf вообще не содержит оглавления. Преимущества пронумерованности каждой главы и раздела будут включать возможность явного перечисления содержания по номеру в оглавлении. Я не понимаю, почему этого не сделали, но полагаю, что при желании отредактировать эту информацию не составит большого труда.Недостатки пронумерованного раздела в том, что это затрудняет изменение порядка содержимого. Книга в некоторой степени ориентирована на себя (например, «… как описано ранее…»), но в ней отсутствует указатель. Это немного усложнило бы переупорядочивание или исключение разделов и, вероятно, потребовало бы значительного редактирования. Одна приятная особенность — это подразделы (цели) каждого раздела. Темы краткие и совместимы с распределением раздела по нескольким классным собраниям и / или переупорядочиванием материала в соответствии с конкретным курсом.
Организация / структура / поток рейтинг: 5
Организация книги довольно традиционна, и она может отлично подойти для обычной серии курсов алгебры. Некоторые материалы вводятся раньше, чем обычно (например, квадратные корни), но такой подход улучшает модульность материала. В целом организация материала имеет смысл.
Интерфейс рейтинг: 2
Это та область, в которой книга несколько спотыкается. В зависимости от того, какой браузер или формат я использовал, обозначения и шрифты были очень непоследовательными, а иногда и совершенно бессмысленными.Я использовал Mac и просматривал книгу в Chrome и Safari. Я также загрузил PDF-файл, чтобы просмотреть его на своем ноутбуке. В Chrome наборы упражнений в конце каждого раздела практически не содержали содержания. В Safari я смог просмотреть наборы задач. В Chrome многие математические выражения и уравнения просто отсутствовали в тексте. В Safari они проявились нормально. Ни один из браузеров не позволял мне просматривать видео, просто нажимая «нажмите, чтобы посмотреть видео». В Chrome мне пришлось щелкнуть правой кнопкой мыши и просмотреть на отдельной вкладке.В Safari я так и не понял, как просматривать видео. Размер шрифта сильно различается даже в пределах одного набора задач. Кроме того, дробные полосы часто отсутствовали, что делало контент нечитаемым. Если учащиеся сталкиваются с какой-либо или всеми из этих проблем, это, безусловно, может стать серьезным препятствием для их обучения. Похоже, не было ни одного приложения, через которое я мог бы получить доступ к полной и правильной версии книги. В целом, мне нравится эта книга. Но мне нужно было бы выяснить, как предоставить студентам надежно правильную версию, прежде чем использовать ее в курсе.
Грамматические ошибки рейтинг: 5
Грамматика английского языка в книге хорошая и в основном на должном уровне чтения. Формулировка примеров и упражнений, как правило, немного сухая, но грамматика кажется правильной.
Культурная значимость рейтинг: 3
Большинство примеров и проблем со словами в этом тексте основаны на фактах и, кажется, намеренно избегают общей установки «реального мира», следовательно, избегая большинства культурных контекстов и ссылок. Однако в разделе «Приложения линейных систем» в «Тематических упражнениях» используется следующий набор англоязычных имен: Мэри, Салли, Джо, Миллисент, Джерри, Джеймс, Джон, Деннис, Билли.Я бы предпочел, чтобы в таком простом виде было представлено больше культурного разнообразия. Другой пример: в разделе «Порядок действий» слова «проблемы» относятся к Мэри, Джо, Маргарет, Биллу, Одри, Марку и Джанет. (И Марк и Джанет едут домой на День Благодарения.) Хотя я не встречал ничего, что я считаю «оскорбительным», я думаю, что некоторые возможности были упущены, и эту книгу можно было бы сделать более всеобъемлющей.
КомментарииВ целом, мне нравится эта книга. Я совершенно точно рассмотрю возможность использования его в своих курсах, с некоторыми исправлениями и исправлениями в обозначениях.
Бесплатный учебник линейной алгебры
Бесплатный учебник линейной алгебры Линейная алгебраA Произвольный текст для стандартного курса бакалавриата США
Джим Хефферон
Математико-статистический факультет
Колледж Святого Михаила
jhefferon at smcvt.edu
Линейная алгебра — это текст для первого курса линейной алгебры бакалавриата в США. Вы можете использовать его как основной текст, в качестве дополнения или для самостоятельного изучения.
Это бесплатно. Книга, полные ответы на все упражнения, слайды презентации в классе и лабораторное руководство с использованием Шалфей , все доступны для скачивания. Вы также можете купить бумажную копию книги. за не большие деньги.
Новый: издание четвертое. Он включает в себя множество предложений пользователей, в том числе множество дополнительных рутинные упражнения.
Также: каноническая веб-страница книги теперь hefferon.net/linearalgebra.Этот сайт оптимизирован для мобильных устройств и имеет ряд других преимуществ.
Особенности
- Стандартное покрытие Линейные системы и метод Гаусса, векторные пространства, линейные отображения и матрицы, определители, и собственные векторы и собственные значения.
- Бесплатно Книга находится в свободном доступе, включая его источник.
- Эволюционный подход Он покрывает необходимый материал и доказывает все результаты, но это не начинается с предположения, что студенты уже умеют делать абстрактные работы.Вместо этого он продолжает мотивация, много вычислительных примеров, и упражнения, которые варьируются от рутинные проверки для нескольких задач. Цель в том, в контексте разработки материала бакалавриат, чтобы поднять уровень каждого студента математическая зрелость.
- Комплексные упражнения, с отработанными ответами на все упражнения Иногда материал описывается в Интернете как книга действительно конспект лекций.Это нормально, но от заметок до книги далеко. Это означает такие вещи, как цифры и индекс, но главное средства упражнения. В каждом подразделе здесь много, охватывающий диапазон сложности. В книге ответов каждое упражнение описано полностью, включая доказательства.
- Популярное Эту книгу, которую можно загрузить в течение двадцати пяти лет, использовали в сотнях классов во многих школах, а также тысячами людей для самостоятельного изучения.
- Приложения Каждая глава заканчивается четырьмя или пятью короткими дополнительные темы. Они хороши для чтения или проектов, или для работа в малых группах.
- Дополнительно Есть слайды-проекторы для презентаций в классе, и есть лабораторное руководство с использованием Sage .
- Необходимое условие Один семестр математического анализа.
- Обзоры. Вот некоторые: Математическая ассоциация Америки, Американский институт математики, Библиотека открытого учебника (включает ряд обзоров), один с давнего сайта бесплатных текстов.
Получите
Линейная алгебраЭто текущая официальная версия текст и ответы на упражнения. Сохраните эти файлы в том же каталоге так что щелкнув упражнение, вы перейдете к его ответу и нажав на ответ, вы перейдете к упражнению.(Вам понадобится программа для чтения PDF-файлов, которая поддерживает это; один — Adobe Reader.)
Вы можете получить бумажную копию примерно за СМИ, около 22 долларов. Нажмите на ссылку Amazon ниже или вы можете использовать ISBN-13: 978-1944325114 на своем любимом сайте. (Книжные магазины могут покупать у NACSCORP или у Ingram через LightningSource.)
Если вы учитесь на основе этого текста, тогда взгляните на слайды проекторов для презентации в классе. Они собраны из текстового источника, поэтому теоремы и определения имеют одинаковую формулировку.Но на слайдах используются другие примеры, чем в тексте. так что студенты видят вдвое больше. (Есть версия каждой колоды слайдов без пауз, для распечатки или размещения в вашей системе управления обучением. Кроме того, на основных слайдах опущены некоторые доказательства в пользу примеров, поэтому есть также версия каждой колоды, которая включает все доказательства.)
Линейная алгебра также имеет дополнительную, необязательную, лабораторное руководство с использованием Sage . Это второе лабораторное издание.
Если вы увлекаетесь LaTeX, вам может быть интересно, что Линейная алгебра имеет исходный репозиторий.
Наконец, если вы сочтете книгу полезной, вы можете внести свой вклад. Это совершенно необязательно, но помогает помощь с такими вещами, как копии экзаменов для конференций. Я предлагаю 10 долларов, но за все, что вы отправите, спасибо!
Дополнительный материал
Профессор Гарольд В. Эллингсен из SUNY в Потсдаме поделился его Матричная арифметика , для учителей, которые хотят охватить матричные операции после первой главы (текст охватывает их в третьей главе как часть линейных карт).Он находится под бесплатной лицензией, и вы можете получить исходный код LaTeX.
Вы также можете получить проблемы и их решения которую я назначил на домашнее задание, когда преподавал в классе осенью 2014 г.
Предыдущее издание
Linear AlgebraТретье издание книги Линейная алгебра все еще доступно, если вы находитесь в устаревшей ситуации: книга и ответы. Если вы загрузите эти два файла, то чтобы получить гиперссылку между вопросами и ответами, переименуйте их в «книгу».pdf » и «jhanswer.pdf» и поместите их в тот же каталог,
Лицензия
Этот текст бесплатный. Используйте его под Лицензия свободной документации GNU или лицензию Creative Commons Attribution-ShareAlike 2.5 по вашему усмотрению.
Для книжных магазинов: спасибо за беспокойство о моих правах. Даю разрешение инструкторам делать копии этого материала в электронном или бумажном виде, и дарить или продавать их студентам.Но сначала обратите внимание, что вы можете получить бумажную копию с Amazon, или NACSCORP, или напрямую из Инграма через LightningSource, используя ISBN: 978-1-944325-11-4, в основном стоимость печати.
Пожалуйста, не заказывайте использованные или неофициальные копии, так как они могут имеют существенно разный контент и нумерацию страниц. Любой экономия от старых версий мала по сравнению с цена замешательства, особенно замешательства для меня, так как я получаю связались по поводу уже исправленных ошибок.В текущей версии на обложке написано «Четвертое издание».
Для инструкторов, которые хотят изменить текст. Пожалуйста, не стесняйтесь.
Но в качестве одолжения я прошу вас
включить заявление о ваших модификациях.
Таким образом, люди, составляющие отчеты, будут знать, кому писать.
Было бы здорово разместить что-то вроде этого на обложке: \ fbox {\ parbox {0.75 \ textwidth} {Материал во втором приложении, посвященный индукции, был добавлен профессором Джонсом из UBU. Присылайте отчеты об этом материале на \ url {sjones @ example.com}.}}
Можете ли вы помочь с
линейной алгеброй ?Рад слышать как от учителей, так и от учеников. Мне нравится слышать об опыте, который люди получили от книги и я считаю полезными предложения, особенно отчеты об ошибках. Я сохраняю их и периодически пересматриваю.
если ты есть что-то, чем вы можете поделиться тогда я был бы рад взглянуть. Например, я бы хотел тема по машинному обучению или какая-то подтема, например уменьшение размеров.Конечно, я оставляю за собой право выбирать, редактировать или включать его. Я с благодарностью признаю все вклады, которые я использую, или я могу сохранить анонимность.
В частности, я бы сдал экзамены или поставил задачи. У некоторых инструкторов есть вопросы по использованию текста где можно скачать ответы на упражнения. (Не могу не отметить, что для любого широко доступного текста в Интернете есть копии ответов.) Таким образом, дополнительные комплексы упражнений без ответов ответят на запросы. некоторых инструкторов.Если бы вы могли внести свой вклад ваш источник TeX или LaTeX, это было бы здорово, потому что тогда инструкторы могли вырезать и вставлять.
Я также приветствовал бы вклад, связанный с появляющимся электронным инструменты. Например, если у вас есть наборы вопросов, которые подходят для Тесты Moodle и что вы могли поделитесь с другими пользователями этой книги, затем напишите мне, и мы сможем сделать их доступными. То же самое и с проблемой WeBWorK. наборы. И я был бы рад включить в раздачу колоду Карты анки.
Моя электронная почта находится вверху этой страницы.
Сопутствующие работы
У меня есть еще два текста. Оба бесплатны. Мой Теория вычислений охватывает машины Тьюринга, проблему остановки, автоматы и сложность. Сейчас он находится в стадии бета-тестирования, тестируется в классе и находится в активной разработке. И мой Введение в доказательства предназначен для курса доказательств, преподаваемого с использованием метода на основе запросов (также известный как метод открытия или метод Мура).Он охватывает элементарную теорию чисел, множеств, функций и отношений.
Кроме того, вам могут понравиться мои Шпаргалка по математике LaTeX, предназначена для студентов, но полезна для всех.
Информация о сайте
Этот сайт Джошуа расположен в Математический факультет колледжа Святого Михаила в Колчестере, штат Вермонт, США.
Джошуа работает под Linux
Программное обеспечение с открытым исходным кодом — отличная идея. Без него этот проект не реализовался бы.
(Кредит за логотип Мэтту Эриксону.)
Учебник | Алгебра: классический подход
Для вашего удобства все главы книги ниже представлены в формате PDF. Они предназначены для использования и загрузки любым из моих студентов.
Глава 1: Основы
1.1 — Целые числа
1.2 — Рациональные числа
1.3 — Порядок операций
1.4 — Выражения переменных
1.5 — Задать нотацию
Ответы к упражнениям
Глава 2: Линейные уравнения, абсолютные значения и неравенства
2.1 — Введение в уравнения
2.2 — Общие уравнения
2.3 — Приложения уравнений
2.4 — Линейные неравенства и интервальная запись
2.5 — Абсолютные уравнения и неравенства
Ответы на упражнения
Глава 3: Многочлены
3.1 — Экспоненты
3.2 — Научная нотация
3.3 — Введение в многочлены
3.4 — Умножение многочленов
3.5 — Деление многочленов
3.6 — Синтетическое деление
Ответы к упражнениям
Глава 4: Факторинг
4.2 + bx + c
4.5 — Факторинг биномов
4.6 — Общая стратегия факторинга
4.7 — Решение уравнений
4.8 — Применение полиномов
Ответы к упражнениям
Глава 5: Рациональные выражения
5.1 — Упрощение рациональных выражений
5.2 — Умножение и деление рациональных выражений
5.3 — Сложение и вычитание рациональных выражений
5.4 — Сложение и вычитание рациональных выражений с непохожими знаменателями
5.5 — Сложные дроби
5.6 — Рациональные уравнения
5.7 — Буквальные уравнения
5.8 — Приложения рациональных формул
Ответы на упражнения
Глава 6: Линейные уравнения с двумя переменными
6.1 — Прямоугольная система координат
6.2 — Графические линии через точки пересечения
6.3 — Наклон прямой
6.4 — Линейные неравенства
6.5 — Уравнения линий
6.6 — Параллельные и перпендикулярные линии
Ответы к упражнениям
Глава 7: Системы линейных уравнений
7.1 — Решение систем уравнений путем построения графиков
7.2 — Решение систем уравнений путем подстановки
7.3 — Решение систем уравнений методом исключения
7.4 — Приложения линейных систем
7.5 — Системы линейных неравенств
Ответы к упражнениям
Глава 8: Радикалы
8.1 — Главный n-й корень
8.2 — Упрощение радикалов
8.3 — Сложение и вычитание радикалов
8.4 — Умножение радикалов
8.5 — Деление радикалов
8.6 — Комплексная система счисления
8.7 — Решение радикальных уравнений
Ответы к упражнениям
Глава R: Переход и обзор
R.1 — Уравнения
R.2 — Неравенства и обозначение интервалов
R.3 — Абсолютные значения
R.4 — Полиномы
R.5 — Рациональные выражения и уравнения
R.6 — Радикальные выражения и уравнения
R.7 — Дальнейшие темы факторинга
Ответы на упражнения
Глава 9: Функции
9.1 — Линейные уравнения с двумя переменными
9.2 — Знакомство с функциями
9.3 — Графические функции с помощью точек, области и диапазона функций
9.4 — Построение графиков с помощью сдвига, отражения и расширения
9.5 — Кусочно-определенные функции
9.6 — Алгебра функций
9.7 — Обратные функции
9.8 — Приложения функций
Ответы к упражнениям
Глава 10: Квадратичные уравнения
10.1 — Решение квадратичных уравнений путем факторинга и извлечения корней
10.2 — Решение квадратичных уравнений путем завершения квадрата
10.3 — Квадратичная формула
10.4 — Решение уравнений в квадратичной форме, сводимых к квадратичным уравнениям
10.5 — Графики квадратичных функций
10.6 — Приложения квадратичных уравнений
10.7 — Полиномиальные и рациональные неравенства
Ответы на Упражнения
Глава 11: Экспоненты и логарифмы
11.1 — Экспоненциальные функции
11.2 — Логарифмические функции
11.3 — Графические логарифмические функции
11.4 — Свойства логарифмов
11.5 — Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
11.6 — Приложения экспонент и логарифмов
Ответы к упражнениям
Глава 12: Конические сечения
12.1 — Формула расстояния и средней точки
12.2 — Парабола
12.3 — Круг
12.4 — Эллипс
12,5 — Гипербола
12.6 — Дальнейшие темы в конических сечениях
Ответы на упражнения
Глава 13: Системы уравнений и неравенств
13.1 — 2 × 2. Еще раз о системах уравнений
13.2 — Большие системы уравнений методом исключения Гаусса
13.3 — Решение систем с использованием метода Крамера
13.4 — Нелинейные системы уравнений
13.5 — Неравенства двух переменных
13.6 — Системы неравенств двух переменных
Ответы к упражнениям
Глава 14: Полиномиальные и рациональные функции
14.1 — Полиномиальные функции
14.2 — Рациональные и иррациональные корни многочленов
14.3 — Графические полиномы
14.4 — Графические рациональные функции
Ответы к упражнениям
Глава 15: Последовательности и серии
15.1 — Основы последовательностей и серий
15.2 — Арифметические последовательности и серии
15.3 — Геометрические последовательности и серии
15.4 — Биномиальная теорема
Ответы на упражнения
утвержденных учебников | Американский институт математики
Гуманитарные науки и математика
Математика в обществе
Дэвид Липпман
Mathematical Discovery
Эндрю М.Брукнер, Брайан С. Томсон, Джудит Б. Брукнер
Элементарная и промежуточная алгебра
ORCCA: Открытые ресурсы по алгебре общественного колледжа
Портлендский муниципальный колледж
Элементарная алгебра
Кэтрин Йошивара
Промежуточная алгебра: функции и графики
Кэтрин Йошивара
OpenStax Intermediate Algebra
Линн Марачек, старший автор
Колледж по алгебре и предварительному исчислению
Моделирование, функции и графики: алгебра для студентов колледжей
Кэтрин Йошивара
Precalculus
Дэвид Х.Коллингвуд, К. Дэвид Принс, Мэтью М. Конрой
Precalculus / College Algebra / Тригонометрия
Карл Ститц и Джефф Зигер
Тригонометрия
Тригонометрия
Кэтрин Йошивара
Тригонометрия в колледже
Карл Ститц и Джефф Зигер
Исчисление
Исчисление
Дэвид Гишар
Активное исчисление
Мэтт Булкинс
APEX Calculus
Грегори Хартман, Брайан Хайнольд, Трой Симерс, Димплекумар Чалишаджар
CLP Calculus
Джоэл Фельдман, Эндрю Речнитцер, Элиз Йегер
Исчисление в контексте
Джеймс Каллахан, ведущий автор
Исчисление I, II, III
Джерролд Э.Марсден и Алан Вайнштейн
Исчисление
Гилберт Стрэнг
OpenStax Calculus
Гилберт Стрэнг и Эдвин Херман, ведущие авторы
Элементарное исчисление
Векторное исчисление
Майкл Коррал
Дифференциальные уравнения
Примечания к Diffy Qs
Иржи Лебл
Элементарные дифференциальные уравнения (с краевыми задачами)
Уильям Ф. Тренч
Линейная алгебра
Первый курс линейной алгебры
Роб Бизер
Введение в прикладную линейную алгебру
Стивен Бойд и Ливен Ванденберге
Линейная алгебра
Джим Хефферон
Линейная алгебра сделана неправильно
Сергей Трейл
справочный запрос — Учебники алгебры для старших классов для одаренных учеников
Перекрестно размещено в стеке для преподавателей математики. (ссылка)
Я ищу учебники алгебры / математики для старших классов, ориентированные на талантливых студентов, в качестве подготовки к полностью строгим математическим вычислениям а-ля Spivak. Меня интересуют лучшие материалы на английском, французском, немецком или иврите.
В идеале, книги должны давать всестороннее введение в алгебру на этом уровне, начиная с самых основных операций с многочленами. Он должен включать в себя необходимую теорию (например, теорему Безу об остатках для многочленов, доказательство основной теоремы арифметики, алгоритм Евклида, более честное обсуждение действительных чисел, чем обычно, доказательства свойств рациональных показателей и т. Д., и общее мнение, что все утверждения должны быть доказаны, за некоторыми исключениями). У него также должны быть задачи, которые варьируются от упражнений, знакомящих студентов с основными алгебраическими манипуляциями с многочленами, до гораздо более сложных.
В частности, я ищу что-то похожее по духу на серию отличных русских книг Виленкина для учащихся так называемых «математических школ» с 8 по 11 классы, хотя я ищу только эквиваленты 8 и 9 классов. книги, которые находятся на уровне предвычисления.2 — 5x + 2 | $.
А вот названия глав в книгах 8 и 9 классов.
8 класс: Дроби. Полиномы. Делимость; простые и составные числа. Действительные числа. Квадратные уравнения; системы нелинейных уравнений; разрешение неравенства.
9 класс: Элементы теории множеств. Функции. Силы и корни. Уравнения и неравенства и их системы. Последовательности. Элементы тригонометрии. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
В целом похожие вопросы задавались и в других местах, однако сделанные там предложения не подходят для моих целей.
Английские переводы книг Гельфанда хорошие; однако они не являются достаточно широким введением в алгебру средней школы и не содержат достаточного материала по вычислительной технике. Они больше похожи на приложения к обычному учебнику.
Были предложены некоторые книги 19 века, такие как Холл и Найт.Что касается концептуального материала, они, как правило, слишком стары по языку и мировоззрению.
Основы математики Сержа Ланга, кажется, больше посвящены различным темам, нежели подробному введению в алгебру.
Я не склонен к книгам с очень сильной ориентацией на «новую математику» (например, 1971–1983, Франция). Я не думаю, что студенту нужно разбираться в группе аффинных преобразований $ \ mathbb {R} $, чтобы знать, что такое линия.
Кроме того, предыдущие вопросы, возможно, неявно касались материала на английском языке.Я имею в виду студента, который также легко может читать на французском, немецком или иврите, если на этих языках можно найти что-нибудь получше.
Править. Хочу пояснить, что я прошу не чего-то похожего на эти книги, а чего-то максимально близкого их духу. По сути, это означает: 1. Это скорее замена, чем просто дополнение к обычному школьному учебнику алгебры. 2. Он ориентирован на наиболее способных студентов. 3. Он передает сообщение о том, что доказательства и творческое решение проблем занимают центральное место в математике.
колледжей алгебры с вспомогательными учебниками: что лучше?
Алгебра — важный курс, который необходимо пройти для лучшего решения сложных задач, связанных с числами. Этот предмет не только помогает улучшить критическое мышление и навыки решения проблем, но также является важным курсом для тех, кто хочет сделать карьеру в области инженерии, социальных наук и экономики.
Алгебра — процесс включения переменных в уравнения и их решения — это постоянно развивающаяся область, и результаты постоянной стипендии предоставляют ценные знания в классе миллионам студентов, которые станут аналитиками маркетинговых исследований, компьютерными инженерами, ландшафтными архитекторами и т. Д. .
Здесь мы посмотрим, как всегда актуальный учебник алгебры Top Hat сочетается с самыми последними версиями, доступными от старых издателей.
Автор: Андреа Хендрикс (Университет штата Флорида)
В учебнике Top Hat алгебра выходит за рамки страницы с уроками мышления «Учеба с целью» и увлекательным разговорным тоном. Вопросы домашнего задания, включенные в каждую главу, позволяют учащимся проверять свои знания во время чтения.
Средняя цена: До 40–60 процентов дешевле
Версия: Постоянно обновляется
Всегда актуальное содержание:
Интерактивность:
Настраиваемая:
Все-в -одна платформа:
2.Колледж алгебры | Пирсон
Авторы: Майкл Салливан (Чикагский государственный университет) и Майкл Салливан III (колледж Джолиет-младший)
4-е издание книги «Алгебра колледжа Пирсона: концепции через функции» помогает учащимся развить базовые математические навыки, вводя новую функцию в начале каждой главы. Доступ к онлайн-платформе MyLab Math, доступ продается отдельно.
Средняя цена: 151 доллар США (только текст)
Версия: 4-я редакция
Всегда актуальный контент:
Интерактивность:
Настраиваемая:
Универсальная платформа :
3.Колледж алгебры | Макгроу-Хилл
Авторы: Джули Миллер (Колледж Дейтона) и Донна Геркен (Колледж Майами Дейд)
Последнее издание этого учебника предлагает четкое и логичное представление основополагающих концепций, помогает учащимся развить передаваемые навыки решения проблем и нацелено на применение математики в повседневных сценариях. Доступ к онлайн-платформе Connect продается отдельно.
Средняя цена: 234 доллара (только текст)
Издание: 2-е издание
Всегда актуальное содержание:
Интерактивность:
Настраиваемая:
Универсальная платформа :