ГДЗ: Алгебра 9 класс Евстафьева, Карп

Обучающие работы. 1. Действительные числа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Обучающие работы. 2. Общие свойства неравенств

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Обучающие работы. 3. Решение неравенств

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Обучающие работы. 4. Решение систем линейных неравенств

1 2 3 4 5 6 7 8

Обучающие работы. 5. Доказательство неравенств

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Обучающие работы. 6. Что означает с точностью до…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Обучающие работы. 7. Функции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Обучающие работы. 8. Какую функцию называют квадратичной

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Обучающие работы. 9. График и свойства функции y = ax2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Обучающие работы. 10. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль оси у

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Обучающие работы. 11. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль оси х

1 2 3 4 5 6 7

Обучающие работы.

12. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Обучающие работы. 13. График функции y = ax2 + bx + c

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Обучающие работы. 14.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Обучающие работы. 15.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Обучающие работы. 16.

1 2 3 4 5 6 7 8

Обучающие работы. 17.

1 2 3 4 5

Обучающие работы. 18.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Обучающие работы. 19.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Обучающие работы. 20.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Обучающие работы. 21. Какую функцию называют квадратичной

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Обучающие работы. 22.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Обучающие работы. 23.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Обучающие работы. 24.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Обучающие работы. 25.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Обучающие работы.

26.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Обучающие работы. 27.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Обучающие работы. 28.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Обучающие работы. 29.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Обучающие работы. 30.

1 2 3 4 5 6 7 8

Обучающие работы. 31.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Проверочная работа 1. Действительные числа

1 2

Проверочная работа 2. Действительные числа

1 2

Проверочная работа 3. Действительные числа

1 2

Проверочная работа 4. Изображение действительных чисел на координатной прямой

1 2

Проверочная работа 5. Сравнение чисел

1 2

Проверочная работа 6. Свойства неравенств

1 2

Проверочная работа 7. Решение линейных неравенств

1 2

Проверочная работа 8. Решение линейных неравенств

1 2

Проверочная работа 9. Решение линейных неравенств

1 2

Проверочная работа 10. Решение линейных неравенств

1 2

Проверочная работа 11. Решение линейных неравенств

1 2

Проверочная работа 12.

Решение систем линейных неравенств1 2

Проверочная работа 13. Решение систем неравенств

1 2

Проверочная работа 14. Решение двойных неравенств

1 2

Проверочная работа 15. Доказательство неравенств

1 2

Проверочная работа 16. С точностью до…

1 2

Проверочная работа 17. Измерение точностью до…

1 2

Проверочная работа 18. Какую функцию называют квадратичной

1 2

Проверочная работа 19. График и свойства функции y = ax2

1 2

Проверочная работа 20. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат

1 2

Проверочная работа 21.

1 2

Проверочная работа 22.

1 2

Проверочная работа 23.

1 2

Проверочная работа 24.

1 2

Проверочная работа 25.

1 2

Проверочная работа 26.

1 2

Проверочная работа 27.

1 2

Проверочная работа 28.

1 2

Проверочная работа 29.

1 2

Проверочная работа 30.

1 2

Проверочная работа 31.

1 2

Проверочная работа 32.

1 2

Проверочная работа 33.

1 2

Проверочная работа 34.

1 2

Проверочная работа 35.

1 2

Проверочная работа 36.

1 2

Проверочная работа 37.

1 2

Проверочная работа 38.

1 2

Проверочная работа 40.

1 2

Проверочная работа 41.

1 2

Проверочная работа 42.

1 2

Проверочная работа 43.

1 2

Проверочная работа 44.

1 2

Проверочная работа 45.

1 2

Проверочная работа 46.

1 2

Проверочная работа 47.

1 2

Проверочная работа 48.

1 2

Проверочная работа 49.

1 2

Проверочная работа 50.

1 2

Проверочная работа 51.

1 2

Проверь себя

стр. 8 стр. 14 стр. 18 стр. 47 стр. 52 стр. 57 стр. 60 стр. 81 стр. 92

ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева

Самостоятельная работа 1
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 2
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 3
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 4
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 5
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 6
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 7
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 8
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 9
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 10
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 11
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 12
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 13
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 14
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 15
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 16
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 17
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 18
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 19
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 20
Вариант 1:

123456

Самостоятельная работа 21
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 22
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 23
Вариант 1:

12345

Самостоятельная работа 24
Вариант 1:

1234

Самостоятельная работа 25
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 26
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 27
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 28
Вариант 1:

12345678910

Самостоятельная работа 29
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 30
Вариант 1:

12345678

Самостоятельная работа 31
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 32
Вариант 1:

1234567

Самостоятельная работа 1
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 2
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 3
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 4
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 5
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 6
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 7
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 8
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 9
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 10
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 11
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 12
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 13
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 14
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 15
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 16
Вариант 2:

124567

Самостоятельная работа 17
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 18
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 19
Вариант 2:

12456

Самостоятельная работа 20
Вариант 2:

123456

Самостоятельная работа 21
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 22
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 23
Вариант 2:

12345

Самостоятельная работа 24
Вариант 2:

1234

Самостоятельная работа 25
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 26
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 27
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 28
Вариант 2:

12345678910

Самостоятельная работа 29
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 30
Вариант 2:

12345678

Самостоятельная работа 31
Вариант 2:

1234567

Самостоятельная работа 32
Вариант 2:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 1:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 1:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 1:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 2:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 2:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 2:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 3:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 3:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 3:

1234567

Контрольная работа 1
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 2
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 3
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 4
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 5
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 6
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 7
Вариант 4:

12345

Контрольная работа 8
Вариант 4:

123456

Контрольная работа 9
Вариант 4:

1234567

Итоговое повторение
Функции:

123456789101112131415161718192021

Итоговое повторение
Уравнения и неравенства с одной переменной:

123456789101112131415161718

Итоговое повторение
Уравнения и неравенства с двумя переменными:

123456789101112

Итоговое повторение
Арифметическая и геометрическая прогрессии:

1234567891011121314

Итоговое повторение
Элементы комбинаторики и теории вероятностей:

12345678910111213141516171819

Весення олимпиада:

12345678

Осенняя олимпиада:

12345678

Итоговый тест
Вариант 1:

123456789101112

Итоговый тест
Вариант 2:

123456789101112

Классные решения для STEM и STEAM

Вера в то, что обучение должно приносить радость как ученикам, так и учителям, привело к тому, что LEGO ^® Education уже более 40 лет лидирует в инновационном практическом обучении. Наш ассортимент решений разработан не только для того, чтобы соответствовать академическим стандартам, но и для того, чтобы вдохновлять всех студентов видеть себя творцами перемен завтрашнего дня.

Магазин для дошкольных и детских садов, начальной и средней школы

ПЕРЕЙТИ В МАГАЗИН

Вера в то, что обучение должно приносить радость как учащимся, так и учителям, привело к тому, что LEGO ^® Education уже более 40 лет лидирует в инновационном практическом обучении. Наш ассортимент решений разработан не только для того, чтобы соответствовать академическим стандартам, но и для того, чтобы вдохновлять всех студентов видеть себя творцами перемен завтрашнего дня.

Магазин для дошкольного и детского сада, начальной и средней школы

ПЕРЕЙТИ В МАГАЗИН

Дошкольный и детский сад:

Pre-K: Товары для дошкольников соответствуют рекомендациям NAEYC и Head Start для дошкольников.

Детский сад: Coding Express, StoryTales и STEAM Park соответствуют стандартам для детских садов Common Core, CSTA и NGSS.

Elementary:

SPIKE ^™ Essential: Соответствует стандартам NGSS, ISTE и CSTA с расширениями, согласованными с CCSS (Common Core State Standards).

BricQ Motion Essential: Соответствует требованиям NGSS, ISTE, Common Core ELA, математика Common Core используется в качестве дополнительных уроков.

Средний:

SPIKE ^™ Основной: Соответствует стандартам NGSS, ISTE и CSTA с расширениями, соответствующими CCSS грамотности и математике CCSS.

BricQ Motion Prime: Соответствует стандартам NGSS, ISTE и CSTA с расширениями, соответствующими CCSS грамотности и математике CCSS.

ВЫПУСКНИК

6–8 классы

399,95 $

LEGO® Education SPIKE™ Prime Set

ВЫПУСКНИК

1–5 классы

319,95 $

LEGO® Education SPIKE™ Essential Set

ВЫПУСКНИК

Классы 6–8

133,95 $

Набор расширения LEGO® Education SPIKE™ Prime

ВЫПУСКНИК

Классы 1–5

133,95 $

Классы 6 90 BricQ Motion Essential 610 900 8

133,95 $

BricQ Motion Prime

ВЫПУСКНИК

PreK-K

239,95 $

Coding Express от LEGO® Education

ВЫПУСКНИК

PreK-K

209,95 $

STEAM Park 90 PreK-5 10 GRAATE Education

GRAATE Education

159,95 $

Набор StoryTales с местом для хранения от LEGO® Education

Известный бренд, известный игрой, практическим обучением и высококачественными продуктами, которые год за годом поддерживают творчество и критическое мышление.

СВЯЖИТЕСЬ С НАМИ

Знакомый бренд, который из года в год известен игрой, практическим обучением и высококачественными продуктами, поддерживающими творчество и критическое мышление.

СВЯЗАТЬСЯ С НАМИ

Лучшие книги по обучению математике

Какие книги по математике вы выбрали?

В этих книгах отражены мои собственные взгляды на преподавание математики, а также на предмет математики. Они воплощают в себе путь, который я прошел, начиная с того, что я рассматривал математику как очень правильный/неправильный предмет, где единственный способ подойти к обучению — это рассказать людям, как выполнить какой-то процедурный алгоритм, а затем заставить их практиковать его. Этот образ преподавания, вероятно, является результатом изучения математики многими людьми во всем мире, но благодаря этим пяти книгам я пришел к совершенно другому взгляду как на предмет математики, так и на возможности ее преподавания.

Расскажи мне больше.

В этих книгах есть смысл математики как предмета, над которым мы действительно можем иметь некоторый контроль, как чего-то, что намного ближе к гуманитарным и эстетическим предметам, где роль сообщества играет определенную роль.

Не существует какой-то абсолютной истины, потому что на самом деле математики спорят об определениях и доказательствах, и в этом есть человеческое измерение.

После этого в классной комнате в некоторых из этих книг есть изображение классной комнаты или школьной культуры, где дети могут действовать как математики. Дети могут быть творческими и исследовательскими в своем изучении математики, и это не должно происходить за счет их достижений в стандартных тестах или их изучения тех алгоритмов и процедур, которые обычно находятся в центре внимания преподавания математики.

Итак, если вы спросите: «Сколько будет 2+2?» а ребенок отвечает «3» это можно?

Когда кто-то только что сделал оговорку, я исправляю ее и иду дальше. Но часто, когда люди совершают то, что более широкое сообщество может классифицировать как ошибку, они просто действуют, исходя из другого набора предположений. Поэтому вместо того, чтобы просто сказать: «Нет, это неправильно», часто довольно интересно исследовать, откуда взялся их ответ.

Чтобы привести вам пример из моего собственного обучения, упражнение, которое я часто организую в начале урока — как механизм, чтобы все узнали имена друг друга — состоит в том, что первый человек встает и говорит: «Меня зовут Джон». Затем второй человек должен встать и сказать: «Вы Джон, а меня зовут Фред». Третий человек должен встать и сказать: «Тебя зовут Джон, тебя зовут Фред, а меня Альф» — и так далее. Может быть, в классе 28 человек, и в конце я говорю: «Итак, если учесть, что только что произошло, сколько всего имен было названо?» Ясно, что первый человек назвал одно имя, второй человек назвал два имени, а третий назвал три имени и так далее до 28. Но выполняя это упражнение с 11-летними, кто-то почти всегда скажет: «Всего 28». раз 28». Это явно неправильно, но в некотором смысле это ответ на другое событие, которое могло бы произойти. Изучение того, что могло произойти, чтобы 28 умножить на 28 было ответом, на самом деле полезно.

Почему они думают, что должно быть 28 на 28?

Это был бы ответ, если бы все называли имена всех. Это разграничение весьма полезно и обычно помогает классу понять, что им нужно сделать, а именно сложить один плюс два плюс три вплоть до 28. Таким образом, перспектива не настолько велика, чтобы не было правильных решений. и неправильные ответы, но в некотором смысле ответы зависят от набора предположений, с которыми вы работаете. Очевидно есть ошибки. Мы можем просто ошибаться в выполнении процесса, и я не уклоняюсь от этого. Но на более концептуальном уровне, если есть ошибки, которые можно было бы считать ошибками понимания, а не рассматривать их как недостатки, мне кажется гораздо более продуктивным и на самом деле гораздо более верным способом рассмотрения ситуации просто сказать, что эти люди работают по другим правилам, и мы можем исследовать эту разницу.

Почему некоторые из нас, как и я, хорошо учатся по большинству школьных предметов, но выходят из школы с чувством, что у них очень плохо с математикой? Этому плохо учат или некоторые из нас просто не умеют считать?

Я бы различал умение считать и хорошо разбираться в математике. Похоже, что некоторые люди чувствуют себя гораздо более комфортно, работая с числами, чем другие. Но мне кажется, что это не является сущностью того, что значит быть математиком или быть успешным в математике. То, что ценится и расставляется по приоритетам, особенно в первые годы обучения в школе, в основном является арифметикой и не имеет тесной связи с теми навыками, которые вам нужны, чтобы добиться успеха в математике на уровне «А» и выше. Я не утверждаю, что в начальной школе у ​​них что-то не так, нужно развивать чувство числа и так далее, но я думаю, что акцент на быстром воспоминании фактов — характеристике, которая часто используется для различения люди, которые хорошо разбираются в математике, и люди, которые не разбираются в математике — не очень важный навык для более высоких уровней математики. На более высоких уровнях гораздо более важными навыками являются способность систематически обдумывать сложные проблемы и не делать поспешных выводов.

Отвечая на ваш вопрос о том, почему так много людей относятся к математике иначе, чем к другим предметам, я считаю, что когда математика преподносится очень правильно/неправильно, тогда, если вы подросток и остальная часть вашего опыта очень размыто, трудно проводить время в этом мире, где все черно-белое.

Если вы заинтересованы в преодолении границ и преодолении неопределенности и отношений внутри нее, зачем вам хоронить себя в черно-белом мире, который явно не имеет ничего общего с вашим жизненным опытом? Это не моя идея, но некоторые люди предполагают, что в подростковом возрасте для того, чтобы по-настоящему заняться математикой, нужно иметь какую-то психологическую травму. Для некоторых людей это может быть спасением, безопасным местом. Если вам не нужно это безопасное место, зачем вам интересоваться математикой?

Что вы думаете о том, что Запад или США в частности отстают в математике по сравнению с Азией?

У меня нет большого опыта обучения в США. То немногое, что я знаю, свидетельствует о том, что в США применяется метод заучивания математики с упором на запоминание. Были предприняты большие шаги, чтобы попытаться изменить это, но я понимаю, что это было одной из проблем в прошлом. Я был в Японии, чтобы увидеть, как там преподают математику, и там было гораздо больше концептуального подхода по сравнению с этим образом обучения через запоминание.

Другими словами, на уроках, которые я видел в Японии, большое внимание уделялось решению детских проблем и обмену подходами к решению проблем. Всегда существует интересный баланс между развитием концептуального понимания и развитием беглости с процедурами, и японские дети развивали высокий уровень навыков, но в контексте решения проблем, которые имели для них смысл. Для меня это была бы одна история о том, почему из Японии выходят очень хорошие математики. Затем, конечно, существуют огромные культурные различия с точки зрения ценностей семьи и общего подхода к образованию. Но я ни в коем случае не международный эксперт, поэтому я очень не решаюсь делать такого рода обобщения…

А как насчет ваших собственных учеников? Вы преподавали в средних и начальных классах. Как вы в целом относитесь к тому, почему дети отстают в математике?

Очень просто представить себе математику как предмет из строительных блоков, в котором, если вы хотите что-то выучить, скажем, на 20-м шаге, вы должны надежно закрепить шаги с 1 по 19. Когда я работаю с учителями начальной школы в Великобритании, это кажется очень распространенным взглядом на предмет. Одним из следствий этого является то, что если ученик начинает отставать — вы начинаете работать над 23-й ступенью, а он не дошел до 20-й — тогда его нужно вывести из этого класса и поддержать, чтобы он попытался перейти к 20-й ступени. Одним из последствий этого в Великобритании является то, что класс детей в возрасте 4-5 лет уже разделен на людей с высокими достижениями в математике и тех, кто нет. Тем, кто не получает, оказывается особая поддержка. Но есть свидетельства того, что если вас поместят в одну из этих нижних групп, вы на самом деле никогда из нее не выберетесь. В то время как ваши сверстники затем переходят к шагам 21, 22, 23, 24, 25, 26, вы все еще боретесь на шаге 19.. Тогда вы никогда не сможете связаться с людьми, увлеченными математикой, и шаг 19 станет для вас немного бессмысленным и бессмысленным. Вы просто шлепаетесь и продвигаетесь все медленнее и медленнее по сравнению со своими сверстниками, и это продолжается до 16 лет.

Затем, по крайней мере в Великобритании, ваши жизненные шансы очень сильно коррелируют с вашими достижениями в 16 лет.

Это Мне кажется, что возможен альтернативный подход. Если вы думаете об обучении практически в любой другой сфере, то кажется неправильным, что это должен быть такой прямолинейный, пошаговый процесс. Возможно, что на самом деле важнее, чем то, понимаете ли вы шаг 19?как вы относитесь к предмету. Если вы на самом деле настроены позитивно и находитесь в среде, где некоторые люди увлечены этой темой — и вам предлагают изображения того, что вы могли бы сделать, если бы освоили шаг 19 — тогда, возможно, это более важно. чем пытаться заполнить каждый блок. Конечно, мой опыт подтверждает это. Когда я работал в средней школе с людьми, пришедшими в школу неуспевающими по сравнению с нормой, то они смогут пройти через это, если действительно изменят свое эмоциональное отношение к предмету. Если они начинают видеть себя математиками и начинают чувствовать, что они имеют некоторый контроль над предметом, что это не просто то, что находится вне их, где кто-то другой говорит им, правильно это или неправильно, но что у них есть некоторая свобода воли, тогда это может полностью изменить, за очень короткий период времени, то, что они могут достичь.

На самом деле вы можете перейти прямо с шага 19к шагу 26 и в значительной степени заполнить все остальные шаги по пути.

Что вы имеете в виду, предлагая изображения того, что вы могли бы сделать с шагом 19? Можете ли вы привести пример?

На днях появился прекрасный пример этого. Это на начальном уровне, так что ученики в возрасте 6, 7, 8 лет. Учебная программа в Великобритании фокусируется сначала на числах от одного до десяти, а затем от 11 до 20. — как будто их понимание математики как-то застряло после числа 10. Ну, числа от 11 до 20 — единственная неправильная часть всей системы, и, вообще-то, если вы поняли числа 1-10, вы можете начните немедленно работать с сотнями, просто добавив это одно слово. Если вы знаете, что один и один равно двум, на самом деле нетрудно понять, что 100 плюс 100 равно 200. Это пример того, как если кто-то застрял в своем понимании чисел для подростков, я не думаю, что это особенно полезно. тогда действительно сосредоточьтесь на этом. На мой взгляд, гораздо лучше попытаться работать с ними над большими числами и увидеть закономерности, существующие в остальной части системы. Это поможет им разобраться в том, что происходит в подростковом возрасте, даже не сосредотачиваясь на этом сознательно.

Хорошо, давайте узнаем немного больше обо всех этих идеях, просмотрев ваш выбор книг. Первый из них написан Имре Лакатосом и называется « Доказательства и опровержения ».

Впервые я наткнулся на эту книгу в университете на курсе философии математики. Оглядываясь назад, могу сказать, что это был один из моих первых опытов того, насколько математика может отличаться от того, как меня ее учили. В книге Лакатос берет определенную область математики, связанную с формой, и воссоздает воображаемый диалог, в котором он и персонажи книги проходят необычный процесс развития того, что математики назвали бы предположениями. Поэтому они разрабатывают прогнозы о том, как может работать конкретное свойство формы или для каких типов форм оно может быть верным. Это удивительное описание процесса, который, по моему мнению, лежит в основе занятий математикой: выдвижение догадок, выдвижение предсказаний, а затем поиск контрпримеров, которые не соответствуют этой догадке, и, как результатом этого является уточнение самой гипотезы. Это вполне научный процесс: вы придумываете идею и пытаетесь ее опровергнуть.

Есть фраза «математизация», которая означает попытку запечатлеть процесс занятий математикой в ​​качестве математика, и эта книга — прекрасное описание этого. Это было очень важно в развитии моего собственного мышления, как раз о том, как математика может тогда ожить. Хорошо, другие люди могли пройти эти этапы логики раньше, но это не делает процесс менее достоверным. В конечном итоге они стали направляющими идеями для меня как учителя в моем классе, пытаясь создать ситуации, в которых дети могут выдвигать предположения, могут делать прогнозы, работать над проверкой этих идей и пытаться найти примеры, которые не соответствуют действительности. не работает и так далее.

На Amazon.com один из рецензентов на эту книгу сказал, что она показывает, насколько обманчиво изложение математики в учебниках. Другой рецензент отметил, что книга показывает, что даже известные математики ошибались в некоторых из этих вещей, и что вещи, которые сейчас кажутся очевидными, в то время вовсе не были очевидными…

Совершенно верно. Опять же, он затрагивает эту более человеческую сторону предмета, где речь идет о математиках как о сообществе, решающих, каковы стандарты строгости и доказательства. Одна из вводящих в заблуждение вещей в этом вопросе заключается в том, что, поскольку большая часть этой работы была сделана давным-давно — и эти стандарты были согласованы в течение сотен лет — может показаться, что у них никогда не было выбора. На самом деле, было много вариантов и много споров о том, как следует определять вещи. Связь с тем, насколько вводящим в заблуждение является изложение в учебниках, также важна. Как правило, в учебнике математическая теорема представлена ​​в начале главы, а затем следует очень точное доказательство. На самом деле вы совершенно не понимаете, какие метания и блуждания привели к этому, или как появилась эта теорема, или даже, в некоторых случаях, какую проблему нужно было решить. Это как если бы в учебнике вы получили этот очень, очень сжатый самородок теоремы и ее доказательства, а весь ее запутанный генезис каким-то образом отретуширован.

Давайте перейдем к вашей второй книге, Здравый смысл преподавания математики.

Я мог бы выбрать почти любую книгу Калеба Гаттеньо, и на самом деле одна из захватывающих вещей заключается в том, что большинство его книг теперь доступны бесплатно на веб-сайте www.calebgattegno.org. Гаттеньо был преподавателем математики, который в своей собственной практике рассказал о том, как преподавать всю пятилетнюю программу средней школы по математике за 18 месяцев — и довести ее до мастерства. Под мастерством он имел в виду, что ученики так же хороши в выполнении этих вещей, как и он. Гаттеньо проделал большую работу по обучению языкам, и он в основном чувствовал, что изучение математики похоже на изучение языка. Он наблюдал за тем, как маленькие дети изучают языки, и разработал учебную программу, которая, несомненно, в его собственных руках, продемонстрировала, что можно получить доступ ко всем тем силам, которыми мы обладаем как ученики, для изучения нашего родного языка, в изучении математики. Отсюда скорость и мастерство, которые он мог передать своим ученикам.

Он отстаивал путь через всю эту дискуссию о том, «должен ли я учить для понимания или я должен учить наизусть?» Что он сделал, так это разработал занятия, в которых дети могли бы очень быстро овладеть символическим мастерством, а затем, путем более творческого исследования этих символов, развить свое собственное понимание. В некотором смысле, если процитировать человека по имени Дик Тахта, который на самом деле является автором одной из моих других книг, учитель заботится о символах, учитель должен планировать действия, которые означают, что дети получат представление о том, как эти символы работать, а смысл сам о себе позаботится. Мы оставляем на усмотрение детей, чтобы они на самом деле установили свои собственные связи о том, как эти вещи работают. Таким образом, это не отрицает важность понимания, но предполагает, что если вы сосредоточитесь на этом с самого начала, то это довольно неэффективный способ изучения математики. Разрабатывая игровые действия, в которых задействованы эти математические символы, вы можете научить детей использовать символы очень изощренным образом и, благодаря этому использованию, развить их понимание.

Таким образом, чтобы попытаться обосновать это предложение, снова возвращаясь к работе с младшими детьми, Гаттеньо с самого раннего возраста заставлял детей работать с очень большими числами. У него была таблица, с помощью которой можно было бы заставить детей работать с сотнями, тысячами и десятками тысяч и точно писать эти символы с самого раннего возраста. Я не думаю, что имеет значение, что дети понимают, говоря: в 4 года 10 000 плюс 10 000 — это 20 000. На самом деле не имеет значения, что это означает — они могут возбудиться, используя эти символы и имена. Я это точно видел. Они очень возбуждаются. В некотором смысле понимание или значение этих слов и отношения между этими словами развиваются с течением времени. Мне не нужно понимать, что означает 10 000, прежде чем я смогу начать использовать его и играть с ним.

Эта книга была написана в начале 1970-х — оказало ли его учение большое влияние?

В то время он был известной фигурой, о нем писали в журнале Time и я не знаю, знаете ли вы стержни Кюизенера? Куизенер был бельгийским учителем. Это разноцветные стержни, начинающиеся с белого куба и заканчивающиеся оранжевым кубом длиной десять. Гаттеньо участвовал в продвижении этих материалов, и я думаю, что на каком-то этапе они были в каждой начальной школе Канады, и они очень хорошо использовались в Великобритании. Он, безусловно, имел влияние, но я не думаю, что сегодня многие люди узнают его имя. Мне непонятно, почему так произошло. Отчасти это его сочинение. Книга, которую я выбрал здесь, является одной из его наиболее доступных, она довольно ориентирована на учебную программу. Когда он пишет о математике в более общем виде, это почти непостижимо. У него есть целая система мыслей о том, что значит быть человеком и учиться, и на самом деле я смог получить доступ к его работе, только работая с ней в группе, с группами людей, которые заинтересованы в одном и том же. Это не простой подход. То, за что он выступает, во многом зависит от осведомленности учителя. Он разработал эти материалы, как и удилища, и я думаю, что они могут быть впечатляюще успешными, но их нелегко использовать. Это не то, что вы можете просто взять и пойти в класс и с первого дня ожидать успеха…

Разве это не одна из проблем, что кто-то, кто может быть действительно хорошим учителем, должен сам быть довольно блестящим? Они должны быть полностью в курсе предмета, чтобы иметь возможность просто объяснить его своим ученикам?

Один ответ, который у меня есть, связан с исследовательским проектом, в котором я участвовал на начальном уровне, когда учителя прониклись идеей позиционировать учеников как «становящихся математиками». Это позволило некоторым из этих учителей избавиться от беспокойства по поводу того, что они не обязательно знают, какая математика получится в результате конкретного занятия. Учителя могут встать рядом со студентами и сказать: «Ну, на самом деле, как математик, я не уверен, каким будет результат, но, возможно, как математик, я бы задал этот вопрос или попытался бы ответить на него». следовать этому образцу». На одном уровне я думаю, что вы правы, но есть альтернативы. Изучение математики может превратиться во что-то, где учителю не нужно предлагать очень четкое объяснение, а нужно исследовать и открывать вещи вместе с детьми.

Мне нравится эта идея о детях, определяющих себя как математиков, потому что я действительно думаю, что многие проблемы с математикой возникают из-за того, что люди списывают себя со счетов и говорят: «О, я не силен в математике» и сдаются. А если вы скажете: «Правильно! Я математик!» вы чувствуете себя хорошо. «Может быть, я мог бы стать следующим Ферма…»

Думаю, вы правы. В этом основном проекте дети с удовольствием даже пытались произнести слово «математик». Это мощно, я думаю.

Итак, расскажите мне о исчислении для молодежи . Мне нравится подзаголовок: «Возраст 7, да 7 и выше»

Это замечательная, очень короткая книга человека по имени Дон Коэн. Для меня это просто образ того, что возможно. Если мы действительно изменим ситуацию и заинтересуем детей в изучении идей и почувствуем себя достаточно уверенно, чтобы реализовать эти идеи, тогда, на самом деле, вещи, которые, как говорят, невероятно сложны, и вы не можете их делать, пока вам не исполнится 16 лет, Дон Коэн — как и Гаттеньо в своей работе — показал, что это абсурд.

Итак, Дон Коэн воодушевляет детей идеями бесконечности. Одно из занятий, которое он проводит с очень маленькими детьми, заключается в том, чтобы заставить их подумать, что произойдет, если вы прибавите 1/2 к 1/4, а затем прибавите 1/8, 1/16, 1/32 и так далее до бесконечности. . Он делает это, заставляя людей представить себе квадрат. Представьте себе квадрат и представьте, что вы заштриховываете его половину. Затем заштрихуйте четверть — половину незаштрихованного участка. Затем заштриховываешь восьмую — опять же, половину того, что не заштриховано. А потом заштриховываешь шестнадцатый, опять сбриваешь половину незакрашенного. Довольно быстро даже маленькие дети могут понять, что они могут продолжать затенять половину того, что у них осталось навсегда. Они заполняют все больше и больше этого квадрата, но всегда остается немного лишнего. У них появляется ощущение, что может быть этот бесконечный процесс.

По-моему, это невероятные идеи. С одной стороны, это довольно нелогично, но невероятно увлекательно, и, конечно же, я работал над ними с детьми 9, 10, 11 лет, и они не могли не понять их. В этой небольшой книге, которая разработана, и он действительно углубляется в исчисление, он заставляет детей находить площади под прямыми линиями и обобщать. Это захватывающая книга, и для меня просто необыкновенный образ того, что может быть возможно в классе.

Переходим к следующей книге, Преподавание математики: на пути к надежной альтернативе . Должен признаться, что пытался читать, но до сих пор совершенно не понимаю, о чем она — расскажите, пожалуйста.

Эта книга стала важной частью моего исследовательского пути. Это человек по имени Брент Дэвис, и это рецензия на его докторскую диссертацию. Что его заинтересовало, так это попытка сказать что-то о слушании учителя. Я только что нашел, что такая привлекательная идея. С того момента, как я впервые прочитал ее в 1999 году, идея важности умения слушать постоянно интересовала меня как в моем обучении, так и в моих исследованиях. В книге Дэвис различает оценочную форму слушания — в то время как я, как учитель, в основном говорю, что этот ответ правильный или неправильный, — и противопоставляет ее неоценочной форме слушания. Затем он еще больше различает это, но я не думаю, что это так важно.

Что кажется мощным — с тех пор, как я начал изучать эту идею и делать видеозаписи в классах, пытаясь проанализировать происходящее слушание, — так это то, что действительно казалось возможным различать то, что произошло, когда учитель оценивал ученика. комментарий (в основном говоря «Да, я согласен» или «Нет, я не согласен» или что-то подобное) и последующий диалог, по сравнению с тем, когда учитель давал более неоценочный ответ, например, приглашая кого-то еще прокомментировать или написать ответ на доске и спросить, есть ли у кого-нибудь другой ответ. На сделанных мной видеозаписях класс каким-то образом оживал, как только учитель переставал оценивать. Было создано пространство для того, чтобы другие голоса были услышаны. Если вы представите обсуждение в классе, очень часто диалог будет проходить по схеме «учитель-ученик-учитель-ученик». Что меня интересовало, так это то, когда это может быть «Учитель-ученик-ученик» или «Учитель-ученик-ученик-ученик-учитель» и так далее. В небольшой выборке данных в классе, которые я взял, паттерн пинг-понга нарушался только тогда, когда учитель отвечал и слушал без оценки.

Это связано с вашим комментарием в начале о том, что математика должна быть больше похожа на гуманитарные науки, где что-то выдвигается учителем, но затем все это обсуждают. Можете ли вы привести пример или анекдот?

В своей магистерской диссертации я посмотрел на одну конкретную учительницу и попытался проанализировать слушание в ее классе. За год, в течение которого я снимал видео, произошел настоящий сдвиг. В результате роль учителя стала гораздо менее важной. Я видел удивительный урок, на котором учитель просто написал на доске 1/2 плюс 1/3. В некотором смысле это закрытое занятие, в большинстве традиционных классов его просто заучивают наизусть. Но поскольку этот учитель создал в классе атмосферу, в которой дети ожидали высказать свое мнение и спросить, что думают друг о друге, последовала эта необычная дискуссия о том, как найти ответ. Это привело к обсуждению действительно глубоких математических рассуждений о дробях, и дети проделали действительно интересную работу с разными суммами, которые могли дать одну и ту же сумму. Мне кажется, что разница здесь в среде в классе, которая создается в результате того, что учитель использует разные подходы к слушанию.

Нам лучше перейти к вашей последней книге, Начальные точки: для преподавания математики в средних и средних школах.

На протяжении многих лет это была Библия моего учения. Я узнал об этом от Лоринды Браун, с которой я работал и проводил совместные исследования уже много лет. Третий автор, Дик Тахта, которого уже нет в живых, был близким другом Лауринды. Я знал его последние десять лет или около того его жизни, и он оказал на меня огромное влияние. Это очень простая книга на одном уровне. Он начинается с рассказа о способах работы в классе, и есть раздел о роли учителя. Он спрашивает: «Какова роль учителя? Как он или она может создать условия, в которых может иметь место творческая и самостоятельная работа?» Вот, вкратце, то, что меня интересует в моей работе по математике.

Большая часть книги представляет собой страницу за страницей отправных точек для математической деятельности, в которых обычно есть что-то видимое или осязаемое, или что-то, что дети могут делать сразу, но из чего они могут задавать вопросы, находить закономерности, делать предположения . Дик Тахта, безусловно, находился под сильным влиянием Гаттеньо. Они просто очень хорошие отправные точки для детей, чтобы войти в процесс математического мышления. Как учитель, желающий развить более творческий подход к своему обучению, это был просто бесценный ресурс. Снова и снова эти действия приводили детей в возбужденное состояние, воодушевляли, вовлекали и задавали вопросы.

Можете привести конкретный пример?

Одна из игр называется функциональной игрой, в которой он представляет учителя, имеющего в виду какое-то правило. Таким образом, с довольно молодой группой я мог бы иметь в виду правило «добавь один». Так что я мог бы написать на доске цифру три и маленькую стрелку (в идеале все это делать молча) с четверкой рядом с ней. Внизу я мог бы написать семь со стрелкой, а затем восемь. Тогда, может быть, я напишу шесть внизу, со стрелкой, и передам ручку детям — или поведу ручкой в ​​сторону класса и постараюсь, чтобы кто-нибудь подошел к доске и написал то, что, по их мнению, является ответом на этот вопрос. . Для детей старшего возраста правило может быть квадратным — вы можете сделать его настолько сложным, насколько вам нравится. Затем я даю им обратную связь — поэтому, если ребенок подходит и не пишет семь, я рисую несчастное лицо. Это тот вид деятельности, которым дети могут быть очень увлечены и могут просто вести в самых разных направлениях.

Считаете ли вы, что ваши методы обучения дали результаты?

В школе, где я преподавал, наши результаты были довольно хорошими для 16 лет. К нам приходило много людей, чтобы пройти уровень «А», и довольно часто это был самый популярный выбор уровня «А» [ Примечание редактора : в Великобритании дети после 16 лет выбирают только три предмета в течение последних двух лет обучения в школе, по окончании которых они сдают экзамены уровня «А» по ​​этим предметам].