bankluchipot1985

Моя страница

• Стартовая страница
• нижней страницы
• Контакт
• решебник по математике для 10 класса авторы &
• ответы на устный зачет по биологии кровоо
• решебник к задачнику по алгебре мордковиm
• ответы гдз по алгебре
• сборник задач по математике 5 класс л.а. лато
• скачать решебник к сборнику по высшей мат
• гдз по алгебре 7 класс макарычев дидактиче
• гдз по русскому языку 5 м. м.разумовская 2006год
• русский язык гиа егораева 2011 гдз онлайн зада
• общая химия решебник скачать
• ответы к олимпиадам по химии2004-2005 год
• задачи по статистике с решебником
• имеет ли учитель право задавать домашнее
• гдз по матиматике зубареваи мордкович
• гдз по обществознанию за 11 класс боголюбов &
• алгебра и начало анализа.колмогоров.гдз
• решебник по английскому языку 8 класс л. м ла&
• афанасьева, михеева.гдз по английскому 6 кл
• скачать решебник по английскому 4 класс ве
• гдз по матиматеке (для русскоговорящих шк
• электронный решебник по алгебре 11 класс
• решебник по алгебре 8-9 классы галицкий скач&
• состав правонарушений и юридическая отве
• решебник к рабочей тетради по геометрии з
• учебние русский язык практика ответы на з
• пропедевтическая стоматология-ответы к э
• гдз алгебра 8 класс мерзляк полонский
• скачать бесплатно билеты и ответы по исто
• ответы на задачи по финансовому праву как

Этот сайт был создан бесплатно с помощью homepage-konstruktor. ru. Хотите тоже свой сайт?

Зарегистрироваться бесплатно

Алгебраическая вероятность — Почти уверен

Цель этого поста — обосновать идею представления вероятностных пространств в виде состояний на коммутативной алгебре. Рассмотрим, как эта абстрактная конструкция непосредственно связана с классическими вероятностями.

В стандартной аксиоматизации теории вероятностей по Колмогорову центральной конструкцией является вероятностное пространство . Он состоит из пространства состояний , пространства событий , которое является сигма-алгеброй подмножеств , и вероятностной меры . Мера определяется как карта, удовлетворяющая счетной аддитивности, и нормируется как .

Пространство с мерой позволяет нам определять интегралы вещественнозначных измеримых функций или, на языке вероятностей, математические ожидания случайных величин. Построим множество всех ограниченных измеримых функций. Это вещественное векторное пространство и, поскольку оно замкнуто относительно умножения, является алгеброй.

Ожидание, по определению, является единственной линейной картой , удовлетворяющей при и монотонной сходимости: если неотрицательная последовательность возрастает до ограниченного предела , то стремится к .

В обратном направлении любая неотрицательная линейная карта, удовлетворяющая монотонной сходимости и определяющая вероятностную меру посредством . Это единственная мера, относительно которой математическое ожидание согласуется с линейным отображением . Таким образом, вероятностные меры находятся во взаимно однозначном соответствии с такими линейными отображениями, и их можно рассматривать как одно и то же. Колмогоровское определение вероятностного пространства можно рассматривать как представление ожидания на подмножестве, состоящем из индикаторных функций. На практике часто бывает удобнее начать с другого подмножества . Например, вероятностные меры могут быть определены через их преобразование Лапласа, которое представляет математическое ожидание экспоненциальных функций. Обобщая случайные величины с комплексными значениями, вероятностные меры часто представляются их характеристической функцией, которая является просто ожиданием комплексных экспонент.

На самом деле, по теореме о монотонных классах мы можем однозначно представить вероятностные меры математическими ожиданиями на любом подмножестве, которое замкнуто относительно произведения и порождает сигма-алгебру .

Простое следствие теоремы о монотонных классах утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между сигма-алгебрами на множестве и алгебрами ограниченных функций, замкнутыми относительно монотонной сходимости, с соответствием, заданным .

С другой стороны, в квантовой механике мы начинаем с гильбертова пространства, а наблюдаемые представляются как самосопряженные операторы. Ограничивая наше рассмотрение ограниченными наблюдаемыми, они порождают подалгебру пространства ограниченных линейных отображений на . А

чистое состояние представлено элементом, нормализованным таким образом, что , а математическое ожидание наблюдаемой равно . Это неотрицательная линейная карта из подалгебры в .

Все это говорит о том, что было бы полезно рассмотреть альтернативный подход к вероятности. Вместо измеримого пространства у нас есть алгебра. Вместо вероятностной меры у нас есть положительная линейная карта от до или . Базовое пространство состояний вообще не требуется — это бессмысленных подхода к вероятности, поскольку мы больше не включаем точки в представление вероятностного пространства. Поскольку умножение действительных (и комплексных) чисел коммутативно, то алгебры формы коммутативны. Следовательно, классические вероятностные пространства будут соответствовать коммутативным алгебрам с обобщением на некоммутативные алгебры, включающим квантовую вероятность.

Поскольку этот пост в первую очередь предназначен для того, чтобы мотивировать алгебраический подход к вероятности, а не вдаваться в технические детали, я не буду приводить доказательства всех цитируемых здесь теорем, а вместо этого буду ссылаться на литературу. Начнем с определения алгебры.

Определение 1 Позвольте быть полем. Тогда -алгебра, или алгебра над , является -векторным пространством, снабженным бинарным произведением и единичным элементом, удовлетворяющим следующему для всех .

1. Ассоциативность: .
2. Совместимость со скалярами: для всех .
3. Левая дистрибутивность: .
4. Правая дистрибутивность:
5. Личность: .

Если, кроме того, для всех, то алгебра называется коммутативной.

Строго говоря, это определяет унитарную ассоциативную алгебру . Иногда опускается аксиома ассоциативности, хотя я не рассматриваю здесь такие неассоциативные алгебры. Точно так же существование тождества иногда отбрасывается вместе с соответствующей аксиомой. В этом посте всякий раз, когда используется безоговорочный термин «алгебра», он относится к структуре, удовлетворяющей определению 1, поэтому он является унитарным. Кроме того, я буду использовать символ для обозначения элемента идентичности. Это создает некоторую двусмысленность относительно того, относится ли выражение формы к умножению на элемент идентичности или на скаляр. Однако, поскольку они оба оцениваются как , это не должно вызывать путаницы.

Подмножество называется коммутативным если для всех . В частности, сама алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда коммутативна как множество элементов. Также легко показать, что подалгебра в , порожденная коммутативным множеством (т. е. наименьшая подалгебра, содержащая ), сама коммутативна. Обратите внимание, что это означает, что подалгебра, порожденная одним элементом, коммутативна.

Примеров алгебр в математике предостаточно. Небольшой набор примеров:

• Кольца полиномов являются коммутативными -алгебрами.
• Для множества набор функций представляет собой коммутативную -алгебру, где операции сложения, скалярного умножения и умножения определены поточечно.
• Для измеримого пространства набор -измеримых функций является -алгеброй.
• Для нормированного вещественного векторного пространства набор ограниченных линейных карт является -алгеброй.

Определим понятие состояния на коммутативной вещественной алгебре.

Определение 2 Пусть — коммутативная вещественная алгебра. Тогда линейная карта

• положительный если для всех .
• a состояние , если оно положительное и .

---

Соответствие с классическими вероятностями

Как обсуждалось выше, классическое вероятностное пространство определяет коммутативную вещественную алгебру, состоящую из ограниченных случайных величин, и состояние на этой алгебре, заданное математическим ожиданием. Вопрос в том, можно ли обратить этот процесс? Когда можно представить состояние коммутативной вещественной алгебры как математическое ожидание набора случайных величин в некотором вероятностном пространстве? Начнем с рассмотрения одного элемента. Это определяет карту, переводящую любой многочлен в свою оценку , а изображение представляет собой подалгебру, порожденную . Чтобы ее можно было рассматривать как случайную величину в вероятностном пространстве, ее распределение является вероятностной мерой при выполнении

(1)

для всех многочленов. По линейности (1) выполняется, если оно выполняется на мономах . То есть нам требуется

для всех положительных целых чисел, и, чтобы это имело смысл, моменты должны быть конечными. Это классическая проблема моментов, состоящая в построении вероятностной меры по ее моментам. Известно, что в однофакторном случае положительность обеспечивает существование решения.

Теорема 3 Позвольте быть государством на коммутативной действительной алгебре. Тогда для любого существует вероятностная мера при выполнении (1).

Существование меры с указанными моментами известно как проблема Гамбургера. К сожалению, единственность не обязательна, так как существуют разные вероятностные меры с одними и теми же моментами. В качестве примера рассмотрим логарифмически нормальное распределение неотрицательных вещественных чисел и его возмущение:

Все эти меры имеют одинаковые моменты

и, следовательно, порождают одно и то же состояние на алгебре . С другой стороны, нетрудно показать, что распределение ограниченной случайной величины однозначно определяется ее моментами. Это следует из теоремы Стоуна–Вейерштрасса, утверждающей, что полиномы плотны в пространстве непрерывных функций на любом замкнутом ограниченном интервале. Кроме того, распределение будет поддерживаться интервалом if для всех положительных . Это условие можно ослабить до ограничений на рост моментов, таких как условие Карлемана (2).

Теорема 4 Позвольте быть государством на коммутативной действительной алгебре. Если удовлетворяет

(2)

тогда существует уникальная вероятностная мера при выполнении (1).

Этот результат восходит к Т. Карлеману, Квазианалитические функции , Gauthier-Villars, Paris, 1926. Доказательство этого результата, а также проблемы Гамбургера дано в конспектах лекций, Классическая Проблема моментов, Саша Содин, 2019 г. . См. теорему 3.1 и следствие 2.12.

Переходя к многофакторной ситуации, где у нас есть последовательность , цель состоит в том, чтобы найти меру вероятности при удовлетворении

(3)

для всех многочленов и, как и в случае с одним фактором, должны иметь конечные моменты, чтобы это имело смысл. В отличие от однофакторного случая, это не всегда возможно, поэтому теорема 3 не обобщается на . Причина этого в том, что существуют многочлены многочленов, которые положительны на всех , но не могут быть выражены в виде суммы квадратов. Рассмотрим

Неравенство AM-GM показывает, что везде на . Однако нельзя выразить as для конечной последовательности полиномов . Это означает, что определения положительности состояния на недостаточно для того, чтобы гарантировать, что , а из теоремы о разделении гиперплоскостей следует существование состояний с . Никакое такое состояние не может возникнуть из ожидания при вероятностной мере.

К счастью, если на рост моментов наложены достаточные ограничения, то можно показать, что существует уникальная мера, удовлетворяющая (3). Опять же, в случае, когда для всех и некоторого реального , то теорема Стоуна-Вейерштрасса может быть использована, чтобы показать единственность , которая должна поддерживаться на , с теоремой о представлении Рисса, обеспечивающей существование. Эти условия можно значительно ослабить, и ведь известно, что условие Карлемана для каждого из отдельных элементов достаточно, чтобы гарантировать существование и единственность.

Теорема 5 Пусть есть состояние на коммутативной вещественной алгебре. Если каждое из них удовлетворяет условию Карлемана (2), то существует единственная вероятностная мера, удовлетворяющая (3).

Этот результат получен из Nussbaum, A.E., Quasi-analytic vectors, Arkiv for Matematik. 6 (1965), вып. 2, 179–191.

Развивая идею дальше, мы можем рассматривать бесконечные подмножества . Позвольте быть пространством функций и обозначать карту координат . Позвольте быть сигма-алгеброй на порожденной . То есть это наименьшая сигма-алгебра, относительно которой каждая из них измерима. В частности, оно порождается множествами для Бореля. Коллекция генерирует алгебру случайных величин, которые могут быть выражены как вещественные многочлены от . Вычисление полиномов по значениям дает гомоморфизм алгебры. Цель состоит в том, чтобы найти вероятностную меру при выполнении

(4)

для всех, которые, чтобы иметь смысл, должны быть интегрируемыми.

Если мы выбираем быть порождающим набором для , так что наименьшая подалгебра, содержащая каждый, является всем , то мы получаем представление как алгебра случайных величин на вероятностном пространстве вместе с оператором ожидания.

Теорема 6 Позвольте быть государством на коммутативной действительной алгебре. Если каждое из них удовлетворяет условию Карлемана (2), то существует единственная вероятностная мера при выполнении (4).

Доказательство: Для каждого конечного подмножества теорема 5 однозначно определяет вероятностную меру при выполнении

для всех полиномов .

Определить карту проекции для всех и . Для вероятностной меры на поступательная мера на определяется как . Тогда условие (4) равно

или, что то же самое, . Существование и единственность следует из теоремы Колмогорова о продолжении. ⬜

Продолжение…

Нравится:

Нравится Загрузка…

Уравнение Колмогорова-Феллера и вероятностная модель квантовой механики

Уравнение Колмогорова-Феллера и вероятностная модель квантовой механики

Скачать PDF

Скачать PDF

• Опубликовано: ноябрь 1983 г.

• В. П. Маслов  

Журнал советской математики том 23 , страницы 2534–2553 (1983)Цитировать эту статью

• 117 доступов

• 3 Цитаты

• 3 Альтметрика

• Сведения о показателях

Abstract

Обзор посвящен обобщениям современной теории измерений и вероятностной интерпретации квантово-механических величин. Обсуждается связь между квазидисперсией и дисперсией косвенных измерений. Приведен пример динамической системы со случайными параметрами, усреднение по которым эквивалентно усреднению соответствующего псевдодифференциального оператора относительно некоторой квантовомеханической функции состояния.

Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

Цитированная литература

1. Белавкин В.П. Об обобщенных соотношениях неопределенностей Гейзенберга и эффективных измерениях в квантовых системах // Теор. Мат. физ., 26 , № 3, 316–329 (1976).

   Google ученый

2. Белавкин В.П. Операционная теория случайных процессов // VII Всесоюзная конференция по кодированию и передаче информации, часть I, Москва-Вильнюс (1978), стр. 23–28.

3. В. В. Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры, Наука, Москва (1977).

   Google ученый

4. П. А. Дирак, Принципы квантовой механики, Oxford Univ. Пресса (1958).

5. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. Гостехиздат, 1950.

6. А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей, Наука, Москва.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.

   Google ученый

8. В. П. Маслов, Операторные методы, Наука, М., 1973.

   Google ученый

9. В. П. Маслов, Комплексные цепи Маркова и интеграл Фейнмана по траекториям для нелинейных уравнений, Наука, М., 1975.

   Google ученый

10. Маслов В. П., Чеботарев А.М. Процессы скачкообразного типа и их приложения в квантовой механике // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Сер. Теор. Вероятн. Мат. Стат. Теор. Киберн., 18 (1978), стр. 1–78.

    Google ученый

11. Ю. В. Прохоров и Ю.А. Розанов А. А. «Теория вероятностей». Базовые концепты. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2-е изд., Наука, Москва (1973).

    Google ученый

12. Рихтмейер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

    Google ученый

13. Крейн С. Г. (ред.), Функциональный анализ, 2 изд., Наука, М. (1972).

    Google ученый

14. А. С. Холево, Вероятностно-статистические аспекты квантовой теории, Наука, Москва (1980).

    Google ученый

15. «>

    Я. 1. Хургин И., Яковлев В. П. Конечные функции в физике и технике. М.: Наука, 1971.

    Google ученый

16. Г. Г. Эмч, Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, Wiley (1972).

17. Ф. Байех, “Теория деформации и квантование. I, II», Энн. Фис., Нью-Йорк, 111 , № 1, 61–151 (1978).

    Google ученый

18. Дэвис Э.Б., Льюис Дж.Т. Операционный подход к квантовой вероятности. Мат. Phys., 17 , № 3, 239–260 (1970).

    Google ученый

19. Мельник К. Б. Теория фильтров. Комм. Мат. Phys., 15 , № 1, 1–46 (1969).

    Google ученый

20. П. Шаран, «Представление интегралов по путям в виде звездного произведения», Phys.