ГДЗ по Математике 5 класс: Зубарева, Мордкович

Решебник по математике для 5 класса Зубарева и Мордкович – это онлайн-сборник решений и ответов на задачи и примеры учебника по арифметике для пятиклассников, составленного авторитетными математиками России И.И. Зубаревой, А.Г. Мордоковичем и др. Это учебное пособие в его 14-м издании одобрено Министерством образования России для использования в общеобразовательных школах страны.

ГДЗ для 5 класса по математике Зубарева и Мордковича – эффективное усвоение математики и экономия времени

Математика – непростая учебная дисциплина, которая дается далеко не всем школьникам, но при этом относится к числу основных предметов учебной программы. Что делать, если ребенок затрудняется в решении примеров и задач? Пользоваться услугами репетиторов, значит, изначально отбить у ребенка интерес к самостоятельному постижению предмета.

Лучшее решение онлайн-решебник по математике за 5 класс Зубарева, на основе которого пятиклассники могут проверять свою домашнюю работу или разбирать сложные задачки, в свою очередь родители на базе ГДЗ контролируют успеваемость своих чад.

Ныне для того, чтобы найти ответ или решение не потребуется листать толстые сборники: достаточно найти решебник через поисковую строку (по фамилии автора или названию), а затем кликнуть номер задания в таблице.

В числе дополнительных достоинств ресурса ГДЗ Путина:

• наличие нескольких вариантов решения задач – разными способами;
• использование базы ответов с телефона, планшета, ноутбука, благодаря адаптивному дизайну ресурса;
• регулярное обновление базы решебников (ГДЗ за 5 класс по математике Зубарева составлены на базе 14-го издания учебника 2013 года).

Какие упражнения можно найти в решебнике по математике за 5 класс от Зубарева?

В 5 классе закладываются основы математики 6-11 классов, в том числе алгебры и геометрии, оттого изучаемый школьниками спектр тем чрезвычайно широк:

• десятичная система исчисления, числовые и буквенные выражения, язык геометрических рисунков;
• прямая, отрезок, луч, угол, их сравнение и измерение;
• округление чисел, действия с натуральными числами;
• уравнения, упрощение выражений, законы арифметических действий;
• правильные и неправильные дроби, деление с остатком, действия с дробями;
• развернутый угол, сравнение и измерение углов, биссектриса;
• треугольники, площадь треугольников, свойства их углов, перпендикуляр;
• десятичные дроби, их сравнение и арифметические действия с ними;
• проценты, среднее арифметическое;
• общие понятия многогранников и геометрических тел, вычисление их объемов;
• введение в теорию вероятности и комбинаторные выражения.

На задачки и примеры по всем указанным темам можно найти подробные решения в ГДЗ по математике за 5 класс Зубарева. Здесь приводятся детальные алгоритмы выполнения упражнений и оформление в соответствии со стандартами Министерства Образования России.

Поскольку все материалы сайта ГДЗ Путина предоставляются бесплатно, без регистрации и в круглосуточном режиме, то это оптимизирует использование времени на подготовку домашней работы.

ГДЗ по математике 5 класс Зубарева, Мордкович Мнемозина ответы и решения онлайн

Понятный и интересный для пятиклассников учебник и предложенный к нему решебник по математике за 5 класс Зубарева – одни из наиболее востребованных сегодня ресурсов по дисциплине. Многие школы используют эти материалы, поскольку в них подробно и полно раскрываются все математические разделы и темы, изучаемые пятиклассниками, в них есть задания стандартного и повышенного уровней сложности.

Основные группы пользователей готовых решений по математике за 5 класс Зубаревой

Не только сами школьники используют готовые домашние задания. Среди активных пользователей:

• родители пятиклассников, желающие проверить качество знаний своих детей, уровень их подготовленности к предстоящим контрольным, самостоятельным, диагностическим и ВПР. Даже если родители хорошо помнят материал, могут решить задания, сборники ответов позволяют им сориентироваться в порядке оформления работы. А это крайне важно, поскольку влияет на оценку выполнения задания учителем;
• школьные педагоги-предметники. Они применяют онлайн справочник для быстрой проверки работ учеников. Занятость учителей сегодня крайне высока, помимо преподавания у них немало методической и иной «бумажной работы». Чтобы успеть все сделать в срок и качественно, они прибегают к сборникам ответов к учебникам;
• репетиторы и руководители подготовительных курсов и математических кружков. Эти специалисты не всегда являются школьными педагогами, и могут быть не знакомы с действующими образовательными стандартами, с нормативами преподавания и оформления работ. Для них такой источник — готовая методическая разработка, удобная в применении.

Какими плюсами обладает решебник?

Преимущества применения онлайн ответов по математике за 5 класс Зубаревой и Мордковича очевидны:

• доступность ресурса постоянно, 24 часа в сутки каждый день;
• возможность найти ответ на любой вопрос, в том числе – альтернативные варианты, если они предусмотрены заданием;
• удобный поиск, позволяющий за короткий срок найти нужный результат.

ГДЗ Математика 5 класс Зубарева, Мордкович на Решалка

Все чаще выполнение домашних заданий сопровождается слезами и истериками? Ваш школьник не во всех темах разобрался, а Вы порой и сами не знаете, как ему все объяснить? Это проблема многих семей со школьниками. Предлагаем Вам немного упростить процесс и поберечь свои нервы, воспользовавшись решебником по математике для пятых классов. Это вовсе не значит, что нужно каждый вечер бездумно переписывать ответы и не вникать в задачки, хотя даже такой сценарий лучше, чем если ребенок просто закроет учебник и не сделает ничего. Даже переписав готовый ответ, он что-то запомнит. А если Вы вместе возьмете решенное задание, разберетесь в алгоритме, то следующее аналогичное он уже сделает сам.

Готовые задачки по математике за пятый класс

На нашем сайте Вы найдете ответы ко всем учебникам, которые используются в актуальной школьной программе. В этом разделе можно воспользоваться ГДЗ по математике за 5 класс к пособию Зубарева. Все издания предложены в удобном формате, легко найти необходимый решебник по категориям – класс, предмет. Теперь не нужно ходить по книжным магазинам города в поисках ГДЗ именно к Вашему учебнику, покупать отдельные решебники к каждому предмету, тратя на это немало денег, и собирая дома макулатуру, которая в следующем учебном году уже не пригодится. Просто пользуйтесь нашим сервисом и доступ к необходимым изданиям получайте онлайн совершенно бесплатно. Современные технологии работают на наше удобство во всех аспектах.

Домашние задания без слез и ошибок

Если Вы ранее пользовались печатными ГДЗ к учебнику Зубарева, Мордкович или какому-либо другому, то могли замечать там ошибки. И эти неточности касаются не только опечаток в тексте, очень часто там встречаются откровенно неправильные решения. В нашем ГДЗ к учебникам за пятый класс Вы не найдете таких оплошностей. Все ответы проверяются вручную, поэтому высшая оценка за домашку и хорошее настроение на весь день Вашему школьнику гарантированы.

ГДЗ по Математике за 5 класс: Зубарева и Мордкович

Решебник по математике для 5 класса Зубарева, Мордкович – это совокупность готовых домашних заданий, онлайн-решения по одноименному учебнику арифметики, составленному российскими математиками – И.И. Зубаревой, А.Г. Мордоковичем и др. Это практическое пособие раскроет перед школьниками алгоритм выполнения примеров и задач, а их родителям обеспечит базу для контроля успеваемости.

Решебник для 5 класса по математике к Зубаревой и Мордковичу поможет усвоить материал по предмету

Не всем школьникам легко дается математика. Но это не повод при любых затруднениях в решении задач обращаться за помощью к репетиторам или посещать дополнительные занятия. ГДЗ по математике за 5 класс Зубарева – способ быстро и качественно решить домашние задачки и подготовиться к контрольным работам.

Ныне для использования готовых домашних заданий не придется копаться в увесистых сборниках: достаточно взять на вооружение интеллектуальный поиск сайта ВИП-ГДЗ. Как он работает? В поисковую строку потребуется вбить номер задания или часто его условия – система сразу же выведет на экран все подходящие ответы и решения.

Иными достоинствами ресурса выступают:

• регулярное обновление базу решебников, что исключает несоответствие номеров упражнений и ответов;
• приведение различных способов решения одной и той же задачи;
• возможность загрузки базы ответов и решения на базе телефона, планшета, компьютера.

На сайте представлен решебник, составленный на основе 14-го издания учебника Зубаревой И.И. 2013 года. Для использования материалов ресурса не потребуются оплата и регистрация. Все ответы доступны пользователям в круглосуточном режиме.

Учебник по математике за 5 класс Зубарева и Мордковича – какие темы включает учебная программа?

В учебнике Зубаревой И.И. приведены материалы, которые выступают основой дальнейшего изучения алгебры, геометрии, химии, физики и иных точных дисциплин в старших классах. Оттого в ГДЗ приведены упражнения по таким темам

• использование десятичной системы исчисления;
• сравнение и измерение прямых, отрезков, лучей, углов;
• действия с натуральными числами и их округление;
• упрощение выражений и законы арифметических действий;
• правильные и неправильные дроби и действия с ними;
• сравнение и измерение углов, биссектриса угла;
• свойства и площадь треугольников;
• десятичные дроби и арифметические действия с ними;
• многогранники и геометрические тела, их измерение;
• основы теории вероятности и комбинаторики.

Сайт ВИП-ГДЗ помогает школьникам самостоятельно разобрать решение сложных примеров и задач, запомнить алгоритм решения и оформление примеров, научиться использовать формулы и теоремы. Эти знания станут ключом к дальнейшим успехам в изучении математических дисциплин, гарантией высоких отметок на контрольных и экзаменах.

Учебник Математика 5 класс И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович 2013

Добываем хорошие оценки и знания с Вклассе

Обучение в школе предполагает постоянное освоение огромного количества различной информации. Особенно много ее школьники должны познать по математике. Ученики пятого класса не испытывают абсолютно никаких трудностей с этим. Они знают, что в любой момент могут прибегнуть к помощи учебника на Vklasse. Этот справочник на нашем ресурсе принесет ребятам весь необходимый запас данных, которые понадобятся для качественного усвоения предмета, значительного улучшения общего уровня знаний и получения высоких оценок.

Благоприятное воздействие учебника на Vklasse

Не просто так учебные книги являются популярными на протяжении столетий. Они уже успели доказать свою невероятную эффективность. Такой представитель как учебник по математике 5 класс (Зубарева, Мордкович) также стал незаменимым атрибутом учебы.

Он приносит в жизнь ребят множество приятных моментов, среди которых, в первую очередь, следует выделить добывание полезных и правильных знаний. Именно хорошее владение предметом в дальнейшем поможет ребятам на отлично справляться с заданиями по нему и получать за свои труды высокие баллы.

Современные дети любят пособия

На наш портал мы отбираем лучшие учебные материалы. Среди них и электронное пособие по математике. Оно характеризуется превосходным уровнем и одобрено Министерством образования. Данная учебная книга была написана профессионалами своего дела и полностью совпадает со школьной программой. В ней содержится много различной информации и примеров, важных в освоении дисциплины. Все сведения разделены на отдельные тематические блоки: «Натуральные числа», «Десятичные дроби» и др., для более комфортного их использования.

Простое сотрудничество

Пользоваться учебным справочником за 2013 год можно без затруднений и проблем. Просто заходите к нам на Vklasse. Мы сделали все возможное, чтобы процесс взаимодействия с книгой был оптимально комфортным. Структура нашего сайта очень понятна и доступна, что позволяет быстро проводить поиск материалов. Кроме того, что книгу у нас легко найти, с ней еще и удобно сотрудничать. Она открыта всегда, поэтому пятиклассники могут просматривать ее в любой момент. За это не нужно ничего платить, так как справочник у нас бесплатный!

Математика. 5 класс. Учебник — Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

 

Теоретический материал, в предлагаемом для скачивания учебнике 5 класса Зубаревой, Мордкович по математике, преподносится таким образом, чтобы дать возможность преподавателю использования проблемного подхода при обучении. В учебнике с помощью специальных разметочных знаков выделены упражнения 4 уровней сложности. Каждый параграф содержит контр. задания. В конце учебника приведены домашние контрольные работы с ответами. Цветные рисунки и схемы гарантируют высокий уровень наглядности материала.

Возможно использование Учебника как продолжение курса НШ (традиционного или развивающего направления).

-Содержание-

ОГЛАВЛЕНИЕ 4
Предисловие для учителя 5
Натуральные числа 6
Десятичная система счисления 7
Числовые — буквенные выражения 13
Язык геометрических рисунков 19
Прямая. Отрезок. Луч 24
Сравнение отрезков. Дл. отрезка 30
Ломаная 33
Координатный луч 36
Округление натуральных чисел 43
Прикидка результата действия 48
Вычисления с многозн. числами 53
Прямоугольник 57
Формулы 61
Законы арифметических действий 66
Уравнения 69
Упрощение выражений 71
Математический язык 75
Математическая модель 79

Обыкновенные дроби 83
Деление с остатком 83
Обыкновенные дроби 86
Отыскание части … 94
Основное свойство дроби 100
Правильные — неправильные дроби…107
Окружность и круг 114
Сложение — вычитание обыкнов. дробей 119
Сложение — вычитание смеш. чисел 127
Умножение — деление обыкнов. дроби на натур. число 129
Геометрические фигуры 136
Определение угла. Развер. угол 136
Сравнение углов наложением 141
Измерение углов 142
Биссектриса угла 146
Треугольник 150
Площадь треугольника 155
Свойство углов треугольника 160
Масштаб 165
Перпендикулярные прямые 168
Серединный перпендикуляр 172
Свойство биссектрисы угла 177
Десятичные дроби 180
Понятие десятичной дроби… 180
Умножение — деление десят. дроби .. 188
Перевод величин в др. единицы измерения 191
Сравнение десятичных дробей 193
Сложение — вычитание десятич. дробей 196
Умножение десятичных дробей 203
Степень числа 206
Среднее арифметическое. … 211
Деление десятичной дроби … 217
Понятие процента 222
Задачи на проценты 225
Микрокалькулятор 228
Геометрические тела 234
Прямоугольный параллелепипед 233
Развертка прямоугольного параллелепипеда 237
Объем прямоугольного параллелепипеда 244
Введение в вероятность 250
Достоверные, невозможные — случ. события 250
Комбинаторные задачи 251
Домашние контрольные работы 259
Темы для проек. деятельности  264
Ответы 263

 

Размер файла: 24 Мб; Формат: pdf/

Вместе с «учебником Математика 5 класс Зубарева, Мордкович» скачивают:

06.11.2018Admin

Зубарева, Мордкович. Математика 5 класс. Репетитор о новом учебнике

Уже давно работаю с опорой на собственные методические наработки, однако репетитору по математике неизбежно приходится корректировать уроки с оглядкой на типовые программы, продиктованные школой. Вот и сейчас судьба свела с относительно новым комплектом учебников авторов Зубарева/Мордкович для 5-6 класса. Хочу поделиться своими впечатлениями и провести подробный анализ содержащего в них материала.

Репетитор об особенностях учебника по математике Зубарева/Мордкович

Любые книжки для начальной или средней школы должны рассматриваться исключительно комплектами, так как один и тот же набор тем разные авторы разбрасывают по разным классам. Например, как в нашем случае, что то вводится уже в 5 классе, а что то оставляется для 6-го. Поэтому речь пойдет в том числе и об учебнике Зубарева/Мордкович — 6 класс.

Дидактика

Долгие годы Мордковича относился к средней школе (7-9 класс) и его коньком являлась подборка задач. Она отличалась от других программ хорошим объемом и разнообразием упражнений. В ней можно было найти задачки для самых разных целей обучения, что несомненно помогало репетитору по математике в работе с разными учениками. В исследуемом программном комплекте эта традиция нарушилась. Возможно из за того, что коллектив авторов задумал соединить учебник с задачником, что соответственно наложило ограничения на дидактику и снизило ее качество. Однако подчерк Мордковича узнается. По прежнему репетитор найдет в нем отдельные полезные и интересные по формату и типу задания, правда их количество невелико.

Методика учебника Мордковича

А вот здесь начинается. Первое что я всегда смотрю — оглавление. Кроме распространенных нестыковок (например в главе «Натуральные числа» присутствует геометрия) есть несколько лишних тем, которые явно не по возрасту: «серединный перпендикуляр», «свойство биссектрисы угла». Задач на отработку и закрепление практически никаких нет, а содержащиеся в параграфах геометрические сведения подаются в довольно сложной для ребенка форме. Авторы пытаются объяснять факты и учить строить выводы, при этом приближаясь к механике взрослых рассуждений с использованием терминологической основы старшей школы (что крайне нежелательно). Подобная акселерация банально отвлекает маленького ученика и его репетитора, мешая сконцентрироваться на формировании главных навыков для 5 класса (вычислительных и образных).
P.S. Как Вы думаете, уважаемые репетиторы и родители, пятиклассник разберется в подобном объяснении?

Математика вычислений

Главная роль учебников для 5 и 6 класса — научить работе с разными рациональными дробями в разных практических условиях. Мне не нравится половинчатый стиль изложения, когда тему проходят частично, то есть разбираются не все случаи и не все виды операций, а только какие то самые простые, а затем через некоторое время к этой теме возвращаются. Именно так излагается математика по Мордковичу для 5 класса. Например, в тему «сложение обыкновенных дробей» уже в 5 классе подмешиваются примеры на разные знаменатели (с объяснениями, рассчитанными на смекалку). Полноценный алгоритм приведения к общему знаменателю раскрывается только после отрицательных чисел аж во второй половине 6 класса. Соответствующих упражнений мало и они практически сразу смешиваются с «минусами». Такая же ерунда с темами «умножение и деление дробей на натуральное число». Если уж изучать эти действия, то полностью и с соответствующей базой упражнений.

Рваный характер учебного плана повышает вероятность упущения каких-нибудь важных навыков и является лишней помехой в работе репетиторов по математике. Я не нашел отдельной темы по округлению десятичных дробей, правила заключения в скобки (вынос общего множителя), а также изучения параллелепипеда и куб, хотя встретилась задачка с условием «ребро куба равно 5см…»

Качество объяснений

Про характер геометрических истолкований я уже писал выше. Если касаться главных программных тем, то с их качеством тоже не все хорошо. Частично объяснения (например, в теме «делимость») заимствованы у учебника «Математика, Петерсон, 5 класс», некоторые являются плагиатом программы Виленкина. Те, что сделаны самостоятельно довольно запутанные и неубедительные (в основном это касается 6 класса). Стоит отметить довольно сложный язык, которым написан учебник. Режет слух математика сочетание детского стиля в слове с взрослыми фразами типа «констатация факта», «конфигурация на рисунке» и подобные.

Вывод: Попытка написать лучший учебник математики для 5 класса явно провалилась. Я бы поставит этот учебник после группы Виленкин, Петерсон, Мерзляк, Никольский.

С Уважением, репетитор по математике, Колпаков. А.Н Качественные занятия в Строгино.

Метки: Репетиторам по математике, Учебники

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 5 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 5 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатной учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Дорофеева и Шарыгина, Зубарева и Мордкович.Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучения основам математики, в частности, такие темы как: дроби, целые числа, правила арифметики, математические модели, шкала; математика игры используются.

Последняя версия продукта от 11 ноября 2012 г .:

Скачать «Интерактивная математика», 5 класс v1.4.2.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Вы можете увеличивать рисунки ↓

Версия 1.4.2.21 из 11 ноября 2012 (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.2.20 от 9 октября 2011 г.

Версия 1.4.2.19 от 28 июня 2011 г.

Версия 1.4.2.18 от 22 июня 2011 г.

Версия 1.4.2.17 от 22 июня 2011 г.

Версия 1.4.2.16 от 21 июня 2011 г.

Версия 1.4.2.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.2.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.2.11 от 19 января 2011

Версия 1.4.2.10 от 4 января 2011

Версия 1.4.2.9 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.2.8 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.2.7 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.2.6 от 25 августа 2010 г.

Версия 1.4.2.5 от 16 августа 2010 г.

Версия 1.4.2.4 от 13 июня 2010 г.

Версия 1.4.2.2 от 10 мая 2010

Версия 1.4.2.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.2 от 19 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.1 от 19 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.0 от 17 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.9.0 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.8 от 16 января 2010

Версия 1.3.7 от 15 января 2010

Версия 1.3.6 от 17 декабря 2009 г.

Версия 1.3.5 от 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 из 4 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 из 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.2 из 29 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 из 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1.0.3 от 22 мая 2009 г.

Версия 1.0.2 от 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 из 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 6 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 6 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатной учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Зубарева и Мордковича, Шарыгин.Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучение основам математики, в частности, таким темам как: целые числа и отрицательные целые числа, делимость, пропорции, десятичные дроби, основы выражений упрощение, координатная линия, координатная плоскость, понятие математической модель; используются математические игры.

Последняя версия продукта от 12 августа 2015 г .:

Скачать «Интерактивная математика» 6 класс v1.4.3.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Вы можете увеличивать рисунки ↓

Версия 1.4.3.21 от 12 августа 2015 (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.3.20 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.19 от 11 августа 2015 г.

Версия 1.4.3.18 от 17 ноября 2012 г.

Версия 1.4.3.17 от 9 октября 2011 г.

Версия 1.4.3.16 от 28 июня 2011 г.

Версия 1.4.3.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.3.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.3.12 от 23 января 2011

Версия 1.4.3.11 от 4 января 2011

Версия 1.4.3.10 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.9 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.8 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.3.7 от 5 сентября 2010

Версия 1.4.3.6 от 24 августа 2010

Версия 1.4.3.5 от 16 августа 2010

Версия 1.4.3.4 от 13 июня 2010

Версия 1.4.3.3 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.2 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.3.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.2.0 от 17 марта 2010

Версия 1.4.1.0 от 1 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.15.0 от 10 февраля 2010 г.

Версия 1.3.14 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.13 от 10 января 2010 г.

Версия 1.3.12 от 5 января 2010 г.

Версия 1.3.11 от 25 декабря 2009 г.

Версия 1.3.10 от 24 декабря 2009 г.

Версия 1.3.9 от 15 декабря 2009 г.

Версия 1.3.8 от 14 декабря 2009 г.

Версия 1.3,6 от 11 октября 2009 г.

Версия 1.3.5 от 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 от 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 от 27 сентября 2009 г.

Версия 1.3.2 от 20 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 от 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1.0,2 из 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 из 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Математика как язык символов

Обучая своих студентов по предварительному исчислению и AP-исчислению, я понял, что использование математических символов для создания алгебраических выражений и решения текстовых задач обычно является для них большой проблемой. Они изо всех сил пытаются перевести словесную постановку проблемы в символические математические выражения и уравнения.

Допустим, ученики должны решить следующую задачу: «Найдите площадь поверхности сферы в тот момент, когда скорость увеличения объема сферы в девять раз превышает скорость увеличения радиуса». ¹ (На самом деле, эта постановка задачи не очень удачная. В задаче упоминается «сфера», но речь идет не об одной сфере. Это о семействе сфер, радиус которых варьируется, в зависимости от какая переменная не объясняется.) Как видите, в этой задаче нет ни одного математического символа.Это всего лишь одно предложение, написанное на английском языке. Студенты должны уметь «переводить» его на математический язык с помощью формул и создавать модели на основе полученных данных. Это чрезвычайно сложная задача для моих учеников. Большинство из них готовы сдаться, даже не пытаясь.

Истоки этой борьбы восходят к арифметике и простой алгебре. Их нужно было научить писать алгебраические выражения и создавать математические модели задачи со словами. Эти навыки необходимы для их успеха в математике, физике и химии на высшем уровне.К сожалению, у большинства из них очень скромные навыки такого рода. Итак, моя цель при разработке этого модуля — помочь учителям и ученикам восполнить этот пробел.

Боязнь математики похожа на боязнь говорить на иностранном языке. Некоторые слова на иностранном языке мы просто не знаем и поэтому испытываем трудности с переводом. Чтобы добиться успеха в математике, мы должны уметь «переводить» задачу с английского на математический язык. Частично это знание того, что означает каждое слово.Более глубокая трудность состоит в том, что перевод не может быть дословным. Он должен передавать общий смысл.

Возвращаясь к вышеупомянутой связанной задаче скорости, студенты узнают, что словосочетание «скорость увеличения объема» переводится на математический язык очень просто: dV / dt . Анализируя задачу, студенты должны прийти к выводу, что объем меняется во времени. Они должны ввести переменную t (время) и подчеркнуть, что t была неопределенной переменной в результате неполноты задачи.Акт введения переменной t должен быть явным. Аналогичным образом «скорость увеличения радиуса» составляет др / дт .

Чтобы перевести его дальше, нам нужно будет создать алгебраическое выражение:

dV / dt = 9 dr / dt

Это выражение кажется изучающим алгебру сложным и «полностью греческим». Однако концепция, которую мы использовали при написании этого выражения, такая же, как и при написании очень простого алгебраического выражения «число A в девять раз больше, чем число B ».

A = 9 B

Итак, студентов нужно научить писать алгебраические выражения как можно раньше.

Я преподаю в небольшой средней школе, куда дети должны подать заявление, чтобы их приняли. Большая часть политики приема — это привлечение студентов с самым разным опытом. Поэтому студенческий состав очень разнообразен. У нас есть дети из элитных частных школ, а также дети из действительно неблагополучных городских средних школ. В результате навыки студентов сильно различаются.Я должен соответствующим образом скорректировать свой стиль преподавания и подойти к своим ученикам индивидуально. Хотя некоторые из них берут самые строгие классы AP, многие из них испытывают трудности с простыми математическими концепциями. Моя цель как учителя — удовлетворить потребности каждого ученика и дать им возможность добиться успеха.

Англо-математический «словарь»

В первый день в школе я всегда говорю своим ученикам-математикам, что математика — это язык. И одна из его ключевых особенностей — очень лаконичный.Компактность символьных выражений — важная особенность, позволяющая нам эффективно с ними работать. Компромисс заключается в увеличении трудозатрат, необходимых для перевода между символическими и словесными выражениями. Цифры и буквы, а также некоторые специальные символы представляют собой «слова» этого удивительного языка. Когда мы соединяем «слова» с помощью знаков <,>, +, -, = и т. Д., Мы пишем предложения на математическом языке.

Большинство из них выглядят сбитыми с толку. Затем я прошу их перевести несколько случайных английских слов на испанский или французский.Делают это легко и с удовольствием. Следующее задание — перевести слова «сложить», «вычесть», «равно» на математический язык символов. Важно отметить, что существуют разные способы выражения на английском языке вещей, которые в конечном итоге будут одинаковыми символически. Например, «сумма a и b », «возьмите a и добавьте его к b » и « a плюс b » все приведут к выражению a + б .Это отправная точка их путешествия в чудесный мир математических символов. Мое заявление о математике как о языке становится для них ясным.

Теперь настала очередь моих учеников привести свои собственные примеры. Они очень взволнованы. Мы создаем наш первый англо-математический «словарь». Вот как это может выглядеть:

Английский	Математика
добавить	+
вычесть	–
умножить	×
делить	÷
равно	=
примерно равно	≈
корень квадратный	√
больше или равно	≥
меньше или равно	≤

Мое любимое слово, к которому я всегда подхожу особым образом, — это слово «ноль».Ноль означает «ничего».

Я обращаю особое внимание на 0, потому что учащиеся не чувствуют себя уверенно с этим числом, особенно когда они решают уравнения, и ничего не остается по обе стороны от уравнения. Они очень сбиты с толку и не могут решить задачу. «0» — очень важная и значимая цифра для математиков. Само открытие этой цифры дало нам возможность записывать числа, используя таблицу разрядов. Это также важная концепция при написании алгебраических выражений.Иногда я говорю, что важность ничего была большим математическим открытием.

Еще одна глава в этом разговоре — надстрочные и подстрочные индексы. Надстрочные индексы — это маленькие символы, расположенные немного выше линии; нижние индексы находятся ниже обычной строки шрифта. Верхний или нижний индекс может быть числом, буквой или специальным математическим символом.

Традиционно учащиеся знают следующие надстрочные индексы:

градусов (45 градусов)	45 °
процентов	%
число в квадрате (показатель степени)	x 2

Обычно используемый нижний индекс обозначает базовые системы, например log ₂ 10 _{(логарифм по основанию 2 числа 10).В какой-то момент студенты также встречают индексы как обозначающие термины в последовательности.}

Следующие логические вопросы будут: «Можно ли использовать, например, другой символ для сложения? Зачем нужны символы? Почему бы нам просто не описать словами методы решения некоторых математических задач? » Кроме того, какова ценность согласования фиксированного символа для конкретной идеи, например объединения чисел путем сложения?

Алгебра обобщенная Арифметика

Это хорошее время, чтобы вернуться в доисторические времена и вкратце проследить по стопам человечества в его попытке разработать эффективный инструмент для описания вычислений и измерений.

«Современный способ записи чисел, простой и удобный, европейцы позаимствовали у арабов. В свою очередь арабы позаимствовали эту систему у индейцев. Поэтому европейцы называют современные цифры «арабскими», а арабы — «индийскими». Интересно, что арабская и индийская версии этих символов несколько отличаются от стандартных европейских. Английский ученый и путешественник Аделард представил европейцам эту систему примерно в 1120 году.Подавляющее большинство стран приняли его только к 1600 году ». ² Фибоначчи (Леонардо Пизанский) также следует упомянуть в этом развитии. Итак, человечеству потребовалось довольно много времени, чтобы даже символизировать числа, которые мы используем для счета.

Следующая длинная цитата очень хорошо передает идею моего устройства:

«Хотя то, что мы сейчас называем« задачами алгебры слов », изучались и решались со времен Древнего Египта и Вавилонии, около 4000 лет назад, а может и больше, символическая алгебра — гораздо более позднее изобретение, впервые примененное Франсуа Виете незадолго до этого. 1600 и развивалась в течение следующих 50 лет.(Использование размера x для обозначения неизвестного было популяризировано Декартом.) Символическая алгебра, в свою очередь, была основным двигателем научной революции, в частности математического анализа. Представьте себе науку без формул. Представьте, что вы пытаетесь даже говорить о производных, не говоря уже о их вычислении, без компактной записи, чтобы выразить разностный фактор.

Упор в последнем предложении должен быть сделан на «компактный». Придумайте простое выражение, например 3 x +2. По сути, это рецепт вычисления.Он неявно говорит: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Однако он существенно короче! Составное выражение, например 4 y (3 x + 2) — 7, можно перевести как: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Возьмите другое число и и умножьте его на 4. Умножьте первый результат на второй, а затем вычтите 7.

По мере того, как выражения становятся более сложными, резко возрастает контраст между длиной полного набора словесных инструкций, необходимых для перефразирования символического выражения, и краткостью самого выражения.Компактность символической формы вместе с компактным и элегантным набором правил (правил арифметики) для преобразования (часто в целях упрощения) выражений позволяет практикующему составлять выражения, словесные переводы которых были бы неуправляемыми, и манипулировать ими. Такое сочетание краткости и формальности помогает сделать символическую алгебру мощным инструментом.

Однако, как и в случае с другими предметами математики, та же компактность, которая делает символические обозначения мощными, также усложняет преподавание.Студенты, особенно студенты, которые могут приходить к алгебре, не будучи уверенными в значениях числовой записи и с ограниченным пониманием операций, не сразу адаптируются к символической алгебраической записи или осознают возможности, которые она предлагает ». ³

«Основная задача начинающих студентов алгебры — научиться работать с переменными и, в частности, работать с символьными выражениями — интерпретировать их, создавать их, манипулировать ими и использовать их для формулирования и решения уравнений, а также для интерпретации решения.” ⁴

Основная посылка этого модуля заключается в том, что «обучение символической алгебре и ее использование при решении словесных задач может быть полезно с лингвистической точки зрения; чтобы учащиеся могли увидеть, изучить, обсудить и проработать перевод на алгебру многих примеров словесно сформулированных ситуаций, включая работу по решению этих задач как с алгеброй, так и без нее, а также сравнение алгебраических и арифметических решений этих задач. Делая это, они могут постепенно познакомиться с языком алгебраической нотации, словарем и грамматикой полиномиальных выражений, а также с правилами, позволяющими перефразировать в пределах этого языка (т.е., принципы преобразования выражений и уравнений). Кроме того, они могут попрактиковаться в переводе арифметики в алгебру и алгебру в арифметику. Испытывая сильную связь между ними, они могут прийти к пониманию максимы о том, что «алгебра — это обобщенная арифметика», вместо того, чтобы думать о них как о далеких странах, разделенных огромным океаном, что является ситуацией слишком многих американских студентов (см. например, Ли и Уиллер (1989)) ». ⁵

Чем раньше мы, учителя, приступим к этой работе, тем лучших результатов добьются ученики.

Набор прогрессивных задач

Для этого модуля я написал набор задач, которые развиваются от очень простых одношаговых арифметических задач, подходящих для первоклассников и второклассников, до более сложных алгебраических задач, содержащих переменные.

Числовые и алгебраические выражения.

Задача I. Буханка хлеба стоит 2 доллара. Большая пицца стоит 20 долларов. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоят пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?

Задачи I 1) – I 5) — это одноэтапные задачи для сложения / вычитания и умножения / деления.Здесь важно, чтобы учащиеся сначала записали выражение, а не просто вычислили ответ. Например, в задаче I 3) выражение должно выглядеть так:

Цена пиццы и хлеба вместе: 20 долларов +2 доллара = 22 доллара. Важно потребовать, чтобы учащиеся выражали окончательный ответ в правильных единицах, и они должны знать единицы, прикрепленные к каждому числу, которое они используют. Все члены в уравнении сложения должны относиться к одной и той же единице.

Проблемы 6) с по 8) — это трехэтапные задачи. Например, выражение для Задачи I 6) :

Цена двух больших пицц и пяти буханок хлеба в долларах = 2 (20) + 5 (2) = 50.

Студенты должны заметить, что все эти выражения содержат только числа и символы арифметических операций. Такие выражения называются числовыми выражениями .

Следующий шаг — дать студентам ту же задачу, но заменить числовые значения цен буквами.

Проблема II. Буханка хлеба стоит х доллара. Большая пицца стоит у доллара. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоят пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?

Например, решение Задачи II 1) :

Буханка хлеба на у-х доллара дешевле большой пиццы.

Здесь важно научить детей, что эту задачу можно сформулировать по-другому. Мы можем спросить: насколько большая пицца в долларах дороже буханки хлеба? Студенты должны заметить, что решение проблемы остается неизменным.

Задача II 7) более сложная. Студенты должны усвоить, что термин, обозначающий более дорогой продукт, всегда является первым термином в выражении.

Две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба.2 y -5 x представляет разницу в цене. Опять же, дети должны иметь возможность изменить задачу, заменив «дороже» на «дешевле». Таким образом, проблема будет заключаться в следующем: насколько дешевле в долларах пять буханок хлеба, чем две большие пиццы?

Как и в Задача II 1) , решение не изменится.

Учащиеся должны ответить на вопрос: В чем разница между задачей I и задачей II ? Они должны указать, что выражения в задаче Задача II содержат не только числа и символы арифметических операций, но и буквы, обозначающие числа, то есть переменные.Такие выражения называются алгебраическими выражениями .

Проблема III . Напишите алгебраическое выражение, а затем найдите его значение по значению каждой переменной.

1. В три раза больше разницы между a и b . Найдите значение, если a = 5 и b = 4.
2. Частное 25 на сумму чисел x и y . Найдите значение, если x = 3 и y = 2.
3. Тройное число a и прибавьте его к b . Найдите значение, если a = 6 и b = 10.
4. Разница 72 и дважды c . Найдите значение, если c = 20.

Проблема III повторяет Проблема II , но на этот раз нет реальных сценариев. Студенты должны «перевести» каждое алгебраическое выражение с английского языка с помощью математических символов, а затем оценить их. Решение проблемы III 3) может выглядеть так:

3 a + b

3 (6) + 10 = 18 + 10 = 28

Важно, чтобы наборы задач включали разные сценарии, например, Проблемы IV и V ниже.Дети могут вообразить себя в этой реальной жизненной ситуации, что делает саму идею решения словесных задач более актуальной для них. Эти две задачи также дают учителю возможность подчеркнуть, что математика — это также язык науки. Физика учит, что для определения расстояния нужно умножать скорость на время. Если мы заменим каждое слово в этом правиле буквами, мы сможем описать его математическим языком. «Равенство, которое представляет собой правило для вычисления значения некоторой переменной, называется формулой .” ⁶

Проблема IV . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость велосипеда — 10 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
4. Какое расстояние проехала машина за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Проблема V .Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля составляет х миль / ч. Скорость велосипеда y миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
4. Какое расстояние проехала машина за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Числовое и алгебраическое выражение, записанное цифрами, буквами и символами арифметических операций, является «переводом» реальных событий с английского на математический язык.Как вы видели, несколько различных сценариев могут быть описаны с использованием одних и тех же математических моделей. По этой причине математика используется в строительстве, сельском хозяйстве, медицине, машиностроении и многих других областях жизни человека. Следующие две задачи подчеркивают эту важную особенность математики.

Проблема VI. Автомобиль преодолевает расстояние в 180 км за 2 часа, а грузовик преодолевает такое же расстояние за 3 часа. Когда встретятся машина и грузовик, если расстояние между ними 300 км и они начнут движение навстречу друг другу?

Проблема VII. Первая бригада трактористов вспахивает 180 акров за 2 дня. Вторая команда может проделать ту же работу за 3 дня. Сколько дней потребуется, чтобы вспахать 300 акров, если две команды будут работать вместе?

Для решения задач VI и VII ученики должны установить и найти значение того же алгебраического выражения:

300 ÷ (180 ÷ 2 + 180 ÷ 3)

Эти две задачи подчеркнут идею о том, что совершенно разные ситуации из реальной жизни могут быть описаны одинаково, используя математический язык.Это единственное числовое выражение представляет собой математическую модель обеих этих реальных жизненных ситуаций. Однако обратите внимание, что в Задаче VI единицы измерения — часы, а в Задаче VII — дни.

Обратный перевод.

Для студентов чрезвычайно важно уметь делать обратный «перевод». Они должны понимать, какую реальную жизненную ситуацию описывает данная математическая модель.

Задача VIII. Посмотрите на таблицу ниже. Объясните, как вы это понимаете.

Учитывая	Математическая модель	Перевод
В миске есть апельсины и b бананов.	a + b = 30	Общее количество плодов 30.
	a = 2 b	Количество апельсинов в два раза больше количества бананов.
	a = b + 10	Апельсинов на 10 больше, чем бананов.

В качестве примера ученики должны указать, что в первом столбце есть некоторые данные. Во втором столбце представлены математические модели, основанные на данных и некоторой новой информации. Третий столбец дает нам представление о том, как алгебраические выражения из второго столбца следует «переводить» на английский язык.

Проблема IX. Создайте сценарии, которые можно описать следующими числовыми выражениями:

1. 2 × 94 + 17.
2. 25 ÷ (18 ÷ 6 + 18 ÷ 9).

Задачи этого типа важны для развития навыков математического моделирования. Сценарии будут разными. Студенты могут бороться с этими проблемами. Я планирую провести в классе обсуждение такого рода проблем и приведу несколько примеров, прежде чем предлагать своим ученикам создавать свои собственные сценарии для выражений. После этого я попрошу добровольцев поделиться своими сценариями со всем классом.

Связанные ставки.

Задачи этого раздела предназначены для студентов, изучающих математику. Чтобы преуспеть в этой теме, они должны легко «переводить» текстовые задачи с английского на математический «язык», уверенно настраивать и оценивать алгебраические выражения и работать с формулами. Это высший уровень математики, доступный школьникам. Что касается этой темы, мои ученики всегда упоминают, что это помогает им понять, почему они тратят так много времени на овладение своими навыками алгебраических выражений.«Вся математика» теперь имеет для них смысл.

В качестве примера рассмотрим эту относительно простую задачу:

Задача X. «Точка движется по окружности радиусом 6 дюймов, закон ее движения равен

.

Ɵ = т ³ -6 т ² +9 т , (10)

, где t (время) измеряется в секундах, а Ɵ (угол против часовой стрелки, который радиус точки образует с осью x) в радианах.Найдите (а) угловую скорость ω , когда t = 4 секунды. Решение. (а) Из (10) получаем

ω = dƟ / dt = 3 t ² -12 t +9. (11)

Следовательно,… угловая скорость при t = 4 секунды равна

ω ₁ = 3 × 4 ² -12 × 4 + 9 = 9 радиан в секунду ». ⁷

Игнорировать вопрос вычисления производной; студенты должны уметь оценивать выражение (11).Эта задача — хороший пример, чтобы подчеркнуть важность обучения алгебраическим выражениям в средней и начальной школе.

Следующая задача более серьезная.

Проблема XI. «Точка движется по прямой таким образом, что пройденное расстояние (означает расстояние от позиции, когда t = 0) изменяется как куб времени. Если точка находится на расстоянии 3 фута от начальной точки в конце 2 секунд, каково будет ее расстояние от начальной точки и ее скорость в конце 6 секунд?

Решение.Общий закон движения, сформулированный в форме уравнения, становится

.

s = k × t ³ , (3)

, где k — некоторая константа, а s — пройденное расстояние. Более того, по гипотезе s = 3, когда t = 2.

Следовательно (3) дает 3 = k × 8, так что k = 3/8 фут / сек ³ . Таким образом, точный закон движения равен

.

S = (3 ̸8) × т ³ (4)

Таким образом, желаемое расстояние от начальной точки по истечении 6 секунд будет

.

S ₁ = 3/8 × 6 ³ = 81 фут.

Что касается скорости, то из (4)

dS / dt = 9/8 × т ² ,

Так что, в соответствии с пояснениями к этой статье, желаемая скорость по истечении 6 секунд будет

V ₁ = 9/8 × 6 ² = 40 ½ футов в секунду ”. ⁸

Примечание : Фактически, вам не нужно вычислять k. Если расстояние от начала пропорционально t ³ , то, поскольку 6 = 3×2, точка будет 3 ³ x 3 = 81 фут.

Как видите, на самом первом этапе ученики должны «перевести» первое предложение задачи с английского на математический язык. Соотношение между расстоянием и временем должно быть выражено в виде формулы. Если этот навык не был развит, они сразу же проваливают задачу. Эта проблема ясно иллюстрирует важность обучения студентов тому, как переводить текстовые задачи в математические модели, начиная с того момента, как это возможно.

В этом разделе я хотел бы обсудить, как я планирую использовать задачи, подобные упомянутым выше, чтобы помочь моим ученикам улучшить свои навыки перевода и решения.

Урок 1.

Цель: Студенты будут практиковаться в написании числовых и алгебраических выражений для перевода словесных задач в математические модели.

Задачи в блоке разработаны таким образом, чтобы постепенно повышать строгость, начиная с Задачи I , что относительно просто. Таким образом, Задача I может быть приведена в классе в качестве примера. Я планирую провести обсуждение в группе и помочь студентам записывать числовые выражения. Студенты должны найти значение каждого выражения без использования калькулятора.

Задача II основывается на Задаче I . Студенты должны выполнить ее самостоятельно, используя идеи, изложенные в задаче I . Студенты могут по очереди написать ответ на каждое утверждение на доске, чтобы проверить решения.

Я решу, какие еще задачи использовать для работы в классе, и поставлю аналогичные для домашнего задания. Однако я не планирую делать больше пяти или семи за первый урок. Я также считаю, что должно быть несколько уроков с одной и той же целью.

Урок 2.

.

Цель: Студенты будут практиковаться в интерпретации каждой математической модели в терминах заданных сценариев.

Проблемы этого типа традиционно сложны. Студентам сложно «расшифровать» математические модели. Начну, наверное, с Задачи VIII. В начале третий столбец «Перевод» должен быть пустым. Учитель поможет студентам проанализировать математические модели для каждого сценария и заполнить столбец. Учащиеся могут работать над другими задачами самостоятельно в парах или группах с последующим обсуждением в группе.

Опять же, в зависимости от целей, навыков учащихся и сроков обучения, я буду корректировать конкретные классные и домашние задания.

Урок 3.

.

Задача: учащиеся решат связанные с курсом задачи.

Тема сложная. Мой подход будет заключаться в том, чтобы начать с Задача X постепенно прогрессировать с точностью. Учащиеся могут работать над задачами X и XI самостоятельно или в группах с последующим обсуждением в группе.Особо обращу внимание на агрегаты. Это поможет студентам понять проблему физически.

Примечание : Вопрос о единицах в Задаче X даже сложнее, чем в XI. Цифры «3», «12» и «9» имеют разные единицы измерения.

Набор задач

Задача I. Фунт клубники стоит x долларов. Фунт вишни стоит y долларов. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы или вопроса ниже.

1. Цена 2 фунта клубники.
2. Цена за 3 фунта вишни.
3. На сколько денег фунт вишни дороже фунта клубники?
4. Во сколько раз фунт вишни дороже фунта клубники?
5. Цена 1 фунта клубники и 1 фунта вишни вместе.
6. Цена 2 фунта вишни и 3 фунта клубники.
7. На сколько денег 2 фунта вишни дороже 3 фунтов клубники?
8. Сколько раз 2 фунта.вишни дороже, чем 3 фунта клубники?

Чтобы найти значения алгебраических выражений, мы должны знать значение каждой переменной. Если нам известна цена 1 фунта клубники и вишни, мы можем найти значение каждого выражения в Задаче II .

Проблема II . Пусть в задаче I 1 фунт клубники равен 2 долларам, а 1 фунт вишни равен 6 долларам.

Теперь найдите значение каждого созданного вами выражения для Задача I .

Проблема III. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:

1. Произведение числа 100 и суммы чисел 8 и 7.
2. Произведение разности чисел 57 и 42 и числа 1000.
3. Отношение суммы чисел 32 и 24 к числу 7.
4. Частное числа 81 на разность чисел 77 и 68.

Проблема IV. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Произведение числа x и суммы чисел y и z .
2. Произведение разности чисел a и b и числа c .
3. Частное от суммы чисел t и w и числа q .
4. Частное числа f и разности чисел g и h .

Задача V. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:

1. Сумма произведения чисел 15 и 2 и частного числа 42 на 6.
2. Разница частного числа 270 на 3 и произведения чисел 25 и 3.
3. Сумма произведения чисел 17 и 3 и произведения чисел 4 и 13.
4. Разница частного числа 45 на 3 и частного числа 64 на 32.

Проблема VI. Автомобиль и автобус отправились в путь из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость автобуса — 50 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проезжает машина за два часа?
5. Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?

Проблема VII. Автомобиль и автобус начали движение из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля x миль / ч. Скорость автобуса y миль / ч. Машина ходит быстрее автобуса. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проезжает машина за два часа?
5. Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
8. Что означают выражения x-y и 2 x -3 y ?

Задача VIII. Цена одного тюльпана x доллара, роза на y доллара дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Букет из 5 тюльпанов и 4 роз стоит 25 долларов.
2. Три розы на 10 долларов дороже пяти тюльпанов.
3. Цена семи тюльпанов меньше 20 долларов.
4. Цена семи роз больше 20 долларов.
5. Что означают выражения 7 x +3 ( x + y ) и 12 ( x + y ) — 8 x ?

Примечание : Я попрошу своих студентов упростить эти выражения и указать, что означают эти упрощенные выражения, и имеет ли это смысл в контексте проблемы; то есть ясно, что упрощенные выражения должны иметь те же значения, что и исходные?

Проблема IX. Фунт яблок стоит м доллара; фунт груш на 4 доллара дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Цена 2 фунта. яблок и 3 фунта. груш 17 долларов.
2. Цена 7 фунтов. груш на 30 долларов больше, чем цена 5 фунтов. яблок.
3. Цена 2 фунта. груш меньше 12 долларов.
4. Цена 4 фунта. яблок стоит более 3 долларов.
5. Что означают выражения 3 m +2 ( m +4) и 4 ( m +4) -3 m ?

Проблема X. Объясните следующие математические модели, связанные с данными:

Учитывая	Математическая модель
В ресторане a стула и b стола.	1) a = 4 b 2) a = b +30

Проблема XI. Интерпретируйте каждую математическую модель в соответствии с заданными сценариями.

Сценарий	Математическая модель
В стаде a коровы и b лошади.	1) a + b = 30 2) a = 3 b 3) a = b +15 4) а-б = 17 5) a : 5 = b
Путешественник прошел a мили и проплыл b мили.
Человек заплатил a доллара за яблоки и b доллара за апельсины.
В классе a 90 492 девочек и 90 491 b 90 492 мальчика.

Примечание : Студенты должны интерпретировать все пять математических моделей для каждого сценария.

Проблема XII. Создайте сценарии, которые можно описать следующими математическими моделями.

1. 100 — 3 × 15.
2. 48 ÷ (10 ÷ 2 + 24 ÷ 8).

Проблемы, связанные с тарифами.

Список проблем, связанных с тарифами, и их решения предлагает KhanAcademy (см. Ресурсы). Здесь учителя и ученики могут найти все основные типы задач, которые появляются в тесте AP Calculus AB. Интернет-репетитор проведет вас через весь процесс решения проблемы.

Проблемы, связанные с тарифами

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/derivative-applications-ab/related-rates-ab/e/related-rates

Внедрение стандартов обучения математике в государственных школах Вирджинии

Четвертый класс

Расчет и оценка

4.4 Студент будет

e) создавать и решать одношаговые и многоступенчатые практические задачи, включающие сложение, вычитание и умножение, и одношаговые практические задачи, связанные с делением целых чисел.

Пятый класс

Паттерны, функции и алгебра

5.19 Студент

а) исследовать и описывать понятие переменной;

b) написать уравнение для представления заданной математической зависимости, используя переменную;

c) использовать выражение с переменной для представления данного словесного выражения, включающего одну операцию; и

г) создать проблемную ситуацию на основе заданного уравнения, используя одну переменную и одну операцию.

Шестой класс

Паттерны, функции и алгебра

6.14 Студент

а) представляют собой практическую ситуацию с линейным неравенством по одной переменной; и

b) решить одношаговые линейные неравенства с одной переменной, включая сложение или вычитание, и построить график решения на числовой прямой.

Седьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

7.11 Учащийся оценит алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.

восьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

8.14 Студент

a) оценить алгебраическое выражение для заданных значений замены переменных; и

б) упростить алгебраические выражения с одной переменной.

Выражения и операции

A.1 Студент будет

а) алгебраически изображать словесные количественные ситуации; и

b) вычислить алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.

Выше я перечислил соответствующие стандарты. Как видите, начиная с четвертого класса учащиеся должны уметь переводить практическую ситуацию в математическую модель, которая включает запись числового или алгебраического выражения и оценивает его. Они также должны быть компетентны в написании и решении уравнений для представления заданной математической зависимости. Таким образом, учителя начальной и средней школы смогут использовать задачи из моего раздела в своих классах. После того, как студенты овладеют содержанием моего модуля, они будут лучше подготовлены к математике и физике высшего уровня, где им придется переводить текстовые задачи в математические модели, используя математический язык.В моем классе модуль поможет мне исправить положение моих учеников, которые планируют сдавать AP Calculus в будущем.

Башмакова, Изабелла, Галина Смирнова Начало и эволюция алгебры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2000.

Блюман, Алан . Демистификация математических словесных задач. Нью-Йорк: McGrawHill, авторское право 2005.

Форд, Уолтер Бертон. Первый курс дифференциального и интегрального исчисления. Нью-Йорк: Генри Холт и компания, авторское право 1928.

Lam, Lay Yong, Tian Se Ang . Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае. Сингапур: World Scientific, авторское право 2004.

Ма, Уильям. 5 шагов к 5 AP Calculus AB 2017. Нью-Йорк: McGrawHill, 2016 .

Роджер Хоу, От арифметики к алгебре. Пекин: математический бюллетень, 2010.

Виленкин, Наум. Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 1997 .

Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 6 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

1. William Ma, 5 шагов к 5 AP Calculus AB 2017 , 178.
2. Наум Виленкин, Математика 5 класс , 44 (перевел с русского).
3. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 1.
4. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
5. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.