Зеркальная симметрия. Параллельный перенос 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Некоторые виды движения мы уже изучали на предыдущих уроках. Еще одним видом движения является зеркальная симметрия.

 

Разумеется, все вы с ней сталкивались, когда пользовались зеркалом (Рис. 1).

Рис. 1. Пример зеркальной симметрии из жизни

Конечно, чтобы пользоваться им, не нужно знать математику, но давайте задумаемся, что происходит с геометрической точки зрения?

 

Зеркальная симметрия

 

 

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей относительно плоскости  точку . Что значит симметричную ей? Это значит, что отрезок  перпендикулярен плоскости  и делится ею пополам (Рис. 2).

 

Рис. 2.  симметрична  относительно

Так что в зеркале мы видим образ, в точностью копирующий нас. Но кто сказал, что образ в точности копирует? Для этого надо доказать, что зеркальное отражение сохраняет расстояния, то есть является движением.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат  так, чтобы плоскость  совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек  и ,  и  симметричных относительно плоскости  (Рис. 3).

Рис. 3. Координаты введенных точек

Найдем длину отрезков  и  по формуле расстояния между точками:

Отсюда , значит, зеркальная симметрия является движением.

 

Пример. Зеркальная симметрия

 

 

Как нужно написать слово РЕАНИМАЦИЯ на капоте машины скорой помощи, чтобы водитель впереди едущей машина увидел в зеркале верную надпись (Рис. 4)?

 

Рис. 4. Иллюстрация к условию примера

Решение: написать нужно следующим образом (Рис. 5).

Рис. 5. Правильный ответ

Почему так? Потому что в зеркале все видится симметрично (Рис. 6).

Рис. 6. Зеркальная симметрия

Если отразить эту надпись, то в зеркале водитель впереди едущей машины видит РЕАНИМАЦИЯ (Рис. 7). И сразу пропустит такой автомобиль.

Рис. 7. Как видит надпись водитель впереди едущей машины

Кстати, зеркальная симметрия часто встречается и в природе. Человек, многие животные, рыбы и насекомые практически зеркально симметричны. Почему «практически»? Судите сами на примере человека: строение внутренних органов у человека не симметричное, зато внешне, руки, ноги, глаза, уши и т.д. человек симметричен.

---

Симметрично ли наше лицо?

Так симметрично ли наше лицо? Сейчас в Интернете можно найти много изображений, которые сделаны так: взята левая половинка лица, которая отражена симметрично направо в компьютерной программе, а потом аналогично с правой. Смотрите, что получается (Рис. 1).

Рис. 1. Слева направо: зеркальное отражение правой половины лица, исходное лицо, зеркальное отражение левой половины лица

---

 

 

Задача.

Зеркальная симметрия

 

 

Пусть дана точка . Какие координаты будет иметь ее образ при зеркальной симметрии относительно плоскости а) , б) , в)  (Рис. 8)?

 

Рис. 8. Иллюстрация к условию задачи

Решение

А) Когда мы отражаем относительно , то меняется знак :  (Рис. 9).

Рис. 9. Пояснение касательно отражения относительно

Аналогично остальные ответы: б)  и в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

 

Параллельный перенос

 

 

Приведем еще один пример движения пространства. Возьмем какой-нибудь вектор . Параллельным переносом на вектор  называется отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в такую точку , что  (Рис. 10).

 

Рис. 10. Параллельный перенос

Докажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор любые две точки  и  переходят в точки  и . Требуется доказать, что  (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к условию доказательства

Рассмотрим вектор . По правилу треугольника (Рис. 12) или  (Рис. 13).

Рис. 12.

Рис. 13.

Так как , значит, .

Мы доказали, что при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется, значит, параллельный перенос является движением.

 

Задачи. Параллельный перенос

 

 

Пример 1. В кубе  найти угол между прямыми  и  (Рис. 14).

 

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 1

Решение

Перенесем прямую  параллельно на вектор  (Рис. 15).

Рис. 15. Перенос на вектор

Тогда прямая перейдет в прямую, параллельную ей, – прямую  (Рис. 16). Ну а угол между  и  – прямой, так как это диагонали квадрата.

Рис. 16.

Ответ: .

Пример 2. Точка  была параллельно перенесена на вектор . Какие координаты будут у ее образа?

Решение

Мы знаем, что образом точки  будет такая точка, что , то есть .

Тогда мы добавляем к координатам точки координаты данного вектора. Получается .

Ответ: .

Пример 3. В кубе  найти угол между прямыми  и  (Рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к примеру 3

Решение

Эту задачу можно решить и в координатах, но мы решим следующим образом. Перенесем наш куб параллельно наверх на вектор , поставив, так сказать, новый куб на старый (Рис. 18).

Рис. 18. Параллельный перенос куба

Тогда отрезок  перейдет в отрезок . Значит, искомый угол – это угол  (Рис. 19).

Рис. 19. Искомый угол

Этот угол легко ищется из треугольника  по теореме косинусов (как мы уже делали, сторону возьмем за ):  (из прямоугольного треугольника ).

Осталось вспомнить, что угол между прямыми должен быть острым, то есть он равен .

Ответ: .

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы рассмотрели ещё два вида движения – зеркальная симметрия и параллельный перенос. Также мы решили несколько задач с помощью этих видов движения.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. — М.: Просвещение, 2009.
2. Геометрия 11 класс. А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002.
3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
2. Интернет портал «edufuture.biz» (Источник)
3. Интернет портал «author24.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Точке  симметрична относительно прямой  точка… (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи 1

2. Известно, что в параллельном переносе точка  переходит в точку . Определите координаты точки, в которую в этом параллельном переносе переходит точка ?

3. В координатной плоскости от начала координат отложен вектор  Вычислите координаты конечной точки вектора, который получится из данного вектора параллельным переносом на вектор .

 

Рабочая тетрадь по теме «Метод координат», геометрия, 11 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Пинежская средняя школа

№ 117» муниципального образования «Пинежский муниципальный район»

 

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «МЕТОД КООРДИНАТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор — составитель: Балинова Елена Васильевна, учитель МБОУ «Пинежская СШ № 117», высшая квалификационная категория по должности «учитель»

 

 

 

Предисловие

 

Рабочая тетрадь  является дополнением к школьному учебнику «Геометрия – 10-11» и предназначены для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым методом решения задач  на нахождение угла между прямыми, угла между плоскостями, расстояния между прямыми и расстояния от точки до плоскости. На этом этапе учащиеся делают первые шаги по осознанию нового материала, освоению основных действий с изучаемым материалом. Поэтому в тетрадь включены только базовые задачи, обеспечивающие необходимую репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает ученику выполнение действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет осуществлять во время урока оперативный контроль и коррекцию деятельности учащихся.

Кроме этого, рабочая тетрадь может быть эффективно использоваться при организации элективного курса по математике в 10-11 классах, а также при организации повторения и подготовки к государственной итоговой аттестации.

Структура рабочей тетради представляет собой следующее: краткое теоретическое содержание рассматриваемой темы; задание № 1 на нахождение основных (необходимых) для решения задач элементов; примеры решения задач с подробным описанием решения; набор дополнительных задач разного уровня сложности для организации соответствующей деятельности обучающихся учителем. Такая структура рабочей тетради  позволяет ученику самостоятельно изучить данный раздел школьного учебника геометрии.

Пособие адресовано школьникам  и учителям.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМА № 1. Углы между прямыми

 

Теоретический материал:

 

Даны точки с координатами А (х₂ ; у₂ ; z₂ ), В(х₁ ; у₁ ; z₁ )   

а) координаты вектора   = {х₂ – х₁;  у₂ – у₁; z₂ – z₁}

б) Дан вектор  { х₁ ; у₁ ; z₁}   и вектор  { х₂ ; у₂ ; z₂} , тогда  скалярное произведение векторов    ·   =

в) длина вектора  || =

г) косинус угла между прямыми

 

Задание № 1 (базовые задачи)

1.       Найдите координаты точек фигур в плоскости ХУ, если сторона многоугольника равна 1:

а) А  (   ;    ),   В (   ;  ), С (   ;   ), L (   ;   ),  K (   ;   )   

                       

                                                                      

                                                                                  

                                                                       б) А  (   ;    ),   В (   ;  ), С (   ;   ), L (   ;   ),  K (   ;   )  

 

 

 

 

                                                                                              в) А  (   ;    ),   В (   ;  ), С (   ;   ),  D (   ;   ),  E (   ;   ),

  F  (   ;    ),   O (   ;  )

 

 

 

 

 

 

2.      Найдите координаты вершин шестиугольной призмы, если длина ребра  равна 1:

А  (   ;    ),   В (   ;  ), С (   ;   ),  D (   ;   ),  E (   ;   ), 

 F  (   ;    ),   O (   ;  )

 

 

 

 

Примеры решения задач

Задача №1

В правильной четырехугольной призме АВСТA₁B₁C₁Т₁ сторона основания относится к высоте как 1:2. Найдите угол между прямыми АМ и KС, где М и К – точки пересечения диагоналей граней ВСС₁В₁ и АТТ₁А₁ соответственно.

                                                           Решение: 1. Найдем координаты точек:

                                                                       К (  ;    ;   ),   А (   ;   ;   ),   М (   ;   ;   )  и С (   ;   ;   )

                                                                       2. Вычислим координаты векторов:

 КС {  ;   ;   }, АМ {  ;   ;    }

                                                                       3. Найдем скалярное произведение векторов:

                                                                       a × b =            

                                                                       КС × АМ =______________________________________

4. Найдем длины векторов:

                                                           | KC| =                       = √ __________________________

 

                                                           |AM|=                          = √ ________________________

 

3.       Вычислим cos φ =

 

Ответ:  φ = __________

 

Задача  № 2

 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой

 равны 1, найти косинус угла между прямыми BA₁ и DB₁.

Решение: 1. Найдем координаты точек:

                        A₁ (   ;     ;    ),   B (   ;   ;   ),   D (   ;   ;   )  и   B₁ (   ;   ;    )

            2. Вычислим координаты векторов: A₁B {    ;     ;     }, DB₁ {     ;     ;      }

                                                                       3. Найдем скалярное произведение векторов:

                                                                       КС × АМ =    _______________________________

4.      Найдем длины векторов:

  | A₁B | =  _________________________________

| DB₁|=  _____________________________________

5.

   Вычислим cos φ =

Ответ:

 

Задача № 3

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет с диаметром  угол 60⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС.

Решение:

1.      Найдите РА из ∆АРС,  докажите, что ∆ОВС — равносторонний

2.      Найдите   {   ;    ;   },     {   ;   ;   }

 

3.       

 

 

Ответ: ____________

 

 

Дополнительные задания по теме «Угол между прямыми»

1.      Дан  единичный  куб А…D_1.  Найдите: 

уровень А: а) угол между прямыми   CB₁  и  AD₁

уровень В: б)  угол между прямыми AC и BD₁

      в)  угол между прямыми BC

1  И  CА₁

уровень С: г)   тангенс угла между прямыми AB     И   DB₁

д) угол между прямыми  CА₁  и AC₁

2. Дан правильный тетраэдр ABCD , точка Е и F– середины ребер соответственно  ВD  и СD. Найдите угол между прямыми AD  и   EF (уровень В).

3.В правильной  треугольной  призме  ABCA₁B₁C₁  все ребра которой равны 1,

   Найдите (уровень С):

а ) косинус  угла между прямыми AB₁   и  BC₁

б) косинус  угла между прямыми  AB и C B₁

4. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1. Найдите:

уровень А:   а) угол между прямыми AB  и  DЕ₁

уровень В:   б)  угол между прямыми AC и B₁F₁;

                    в)  угол между прямыми B₁Е  и  BA_1.

 

уровень С:   г)  косинус  угла между прямыми ВA₁   и   FВ₁

 д) косинус  угла  между прямыми ВA₁  и  CВ₁

5.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите  угол между прямыми  SВ и АС  (уровень В).           

6.В правильной треугольной призме ABCА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус  угла между прямыми AВ₁ и  BС₁(уровень С).

ОТВЕТЫ:     1. а) 90°  б) 90°   в) 90°   г)  √2  д)     2.    90°   

3.  а)     б)      4.  а) 45°   б)   60° в) 90°  г)   д)   5.  90°    6.

 

 

ТЕМА № 2. Углы между плоскостями

 

Алгоритм применения скалярного произведения для вычисления угла между плоскостями:

1. Составить систему уравнений, используя уравнение плоскости , проходящей через три точки.

2. Найти координаты вектора нормаль к первой плоскости.

3. Аналогично для второй плоскости.

4. Вычислить cos  φ   по формуле

 

 

 

Примеры решения задач

 

Задача  № 4

 

      В правильной шестиугольной призме АВСDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой

равны 1, через вершины A, E и D₁ проведена плоскость. Найдите двугранный угол между этой плоскостью и плоскостью основания призмы.

Решение:

1.      Рассмотрим (АВС). Вектор-нормаль к ней будет любое боковое ребро, н- р ЕЕ_1. Тогда координаты вектора  {0; 0; 1}

2.      Рассмотрим плоскость  (АЕD₁) проходящей через

три точки A,  E  и  D_1. Найдем координаты вектора –нормали   {a ; b ; c} к этой плоскости. Для этого найдем координаты точек

А (√3; 0 ; 0),  Е (0; 0; 0), D₁ (0; 1; 1) и

составим систему уравнений.

   

система имеет бесконечное число решений, т.к. векторов   ┴  плоскости бесконечно много.

 Выберем из данного множества ненулевой вектор, положив b = 1, тогда с = -1, а = 0.

Вектор – нормаль имеет координаты  {0; 1 ; -1}

3.                  Имеем  {0; 0; 1}   и   {0; 1 ; -1}

4.                  Вычислим угол между плоскостями:                                                             ;  

 

 

 

=             φ = 45° .     Ответ:  45° 

Задача № 5

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра АВ=8, АD=6, СС₁=5. Найдите угол между плоскостями ВDD₁ и АD₁B₁.

Решение:

1.      Рассмотрим плоскость  (АD₁В₁) проходящей через

три точки A,  В₁  и  D_1. Найдем координаты вектора –нормали   {a ; b ; c} к этой плоскости. Для этого найдем координаты точек

А (6; 0 ; 0),  В₁ (6; 8; 5), D₁ (0; 0; 5) и

составим систему уравнений.

   

Решив систему,  получаем, что с = —  , а = — . b = . 

Вектор – нормаль имеет координаты    {- ;   ; —  }

2.                  Рассмотрим плоскость  (ВDD₁).  Найдем координаты вектора – нормали   {a ; b ; c} к этой плоскости. Для этого найдем координаты точек  В (6; 8 ; 0),  D (0; 0; 0), D₁ (0; 0; 5) и   составим систему уравнений:

Данная система имеет бесконечное число решений, т. к. векторов,   перпендикулярных  плоскости, бесконечно много.  Выберем из данного множества ненулевой вектор,  положив b = 3, тогда а = -4,  с = 0.  Следовательно, вектор – нормаль имеет координаты  {- 4; 3 ; 0}.

3.                  Имеем   {- ;   ; —  }  и   {- 4; 3 ; 0}.

4.                  Вычислим угол между плоскостями:                                                               ;  

 

=   ·   = ;

φ = arccos  

ТЕМА № 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние   от точки до плоскости

 

Теоретический материал:

Формула расстояния от точки до плоскости  d =  , где А, В, С – координаты вектора нормали к плоскости, х_0, у₀, z₀ –координаты точки.

 

Примеры решения задач

Задача № 6

Найдите расстояние от точки В до плоскости АВ₁D₁  в единичном  кубе.

                                                                        Решение: решим задачу методом координат

1. Найдем координаты точек:

                                                                                   A₁ (1; 0 ; 0 ),   D₁ (0; 0; 1)  и   B₁ (1; 1; 1)

                                                                                   2. Составим систему уравнений.

Решив систему получаем, что с = — 1, а = -1. b = 1.

 

Вектор – нормаль к плоскости имеет координаты  {- 1; 1 ; -1}         

4.      Найдем расстояние от точки В до плоскости (АВ₁D₁) по формуле

 

5.      d =  =    =   =.         ОТВЕТ:  .

 

Задача № 7

В единичном кубе найдите расстояние между прямыми ВА₁ и В₁D₁

Решение: решим задачу методом координат

1.      Нахождение расстояния между прямыми сведем к расстоянию от точки до плоскости. Плоскость необходимо построить. Она будет параллельна каждой из этих прямых. При этом желательно, чтобы она проходила через одну из этих прямых (допустим через ВА₁).

2.      Для этого найдем направляющий вектор этих прямых.

В(1; 1; 0),  А₁ (1; 0; 1), тогда  {0; -1; 1}

В₁ (1; 1; 1), D₁ (0; 0; 1), тогда   {-1; -1; 0}

Так как наши прямые скрещивающиеся, то векторы не параллельны и определяют плоскость.

Плоскость будем строить с помощью матрицы (т.е. с помощью определителя). Для этого нужна еще одна произвольная точка М (х; у; z) и некоторая опорная точка из уже рассмотренных

(н-р точка В (х_0, у₀, z₀)).  Точки имеют координаты М (х; у; z), а В (1; 1; 0).  Тогда  {х-1; у-1; z}

3.      Составим матрицу из этих векторов и получим уравнение плоскости:

 

4.       = (х -1)·    — (у -1) ·    + z ·    = 0

 

(х -1) · 1 – (у -1) · 1 +  z · (-1) = 0. Тогда  х – у —  z = 0  — уравнение плоскости

5.       Расстояние между прямыми заменим вычислением расстояния от точки В до плоскости, содержащей прямую В₁D₁

d =  =    =   =      =.         ОТВЕТ:

 

Дополнительные задания по теме «Угол между плоскостями»

 

1.      Дан  единичный  куб А…D_1.  Найдите: 

уровень А:  а) угол между плоскостями ABC  и  ADD₁

 б)  угол между плоскостями ABC и AB₁C₁

уровень В:   в)  угол между плоскостями ABC₁  И  BCC₁

уровень С:   г)   тангенс угла между плоскостями A ₁B ₁C ₁    И   BDC₁

 д) угол между плоскостями BCD₁  и ACC_1.

2.  Дан правильный тетраэдр ABCD , точка Е – середина ребра АD. Найдите угол между плоскостями ACD  и   BCE (уровень В).

3. В правильной  треугольной  призме  ABCA₁B₁C₁  все ребра которой равны 1.

Найдите (уровень С):

а ) косинус  угла между плоскостями BCA₁   и  AB₁C₁

б) тангенс  угла между плоскостями  ABC и AB₁C_1.

4. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите:

уровень А:    а) угол между плоскостями ABC  и  BCC₁

уровень В:    б)  угол между плоскостями ABC и BDЕ₁

  в)  угол между плоскостями AСC₁  и  BFF₁

уровень С:   г)  тангенс угла между плоскостями ABC    и   AFE₁

 д) косинус  угла  между плоскостями AFE₁  и  CDE₁

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,  найдите тангенс угла между плоскостями SAD и SBD (уровень С).          

6. В правильной треугольной призме ABCА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AСВ₁ и А₁С₁B (уровень С).

ОТВЕТЫ:     1. а) 90°  б) 45°   в) 90°   г)  √2  д) 60°   2.    90° ;

3.  а)     б)      4.  а)  б)   90° в)   45° г)   д)   5.                     6.

 

Дополнительные задания по теме «Расстояние между прямыми. Расстояние от  точки до плоскости»

1. Дан  единичный  куб А…D_1.  Найдите: 

уровень А:     а) расстояние от точки В до плоскости АСС₁

уровень В:     б)  расстояние между прямыми AB   и  CD₁

в)  расстояние между прямыми  BA₁    и   CB₁

 г) расстояние между прямыми  BА₁  и DВ₁

2.  Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите расстояние между прямыми  AD  и   BC (уровень В). 

3.  В правильной  треугольной  призме  ABCA₁B₁C₁  все ребра которой равны 1,

найдите расстояние между прямыми  СС₁  и  АВ (уровень В).

4.  В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS, стороны основания равны 1, боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми  SB и АЕ (уровень С).

5.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,  найдите расстояние между прямыми  AD и SB (уровень С).          

6. В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  SВ и АF (уровень В).

7. В правильной  треугольной  призме  ABCA₁B₁C₁  все ребра которой равны 1

Найдите расстояние между прямыми (уровень С):  а)  ВА₁  и  АВ;    б) ВА₁  и DC₁;   в) ВА₁   и FE₁ 

 г) ВА₁  и  AF₁

     

ОТВЕТЫ:     1. а) 1  б) 1   в)      г)       2.    ; 3.        4.      5      6.    7.  а)      б)     в)      г)  

 

Список литературы

1.