Почему российские школьники не справляются с «домашкой». Отвечают учителя
Комсомольская правда
ОбществоОбразованиеОбразование: Родительское собрание
Анна ЛУКЬЯНОВА
9 ноября 2021 7:00
Просиживают над ней вдвое больше разрешенного времени, а в конце концов списывают или просят помощи у родителей
Дети не хотят делать уроки и всячески увиливают: сдирают ответы с решебников или друг у друга, изводят родителей просьбами о помощи или просто забивают.Фото: Shutterstock
Дети не хотят делать уроки и всячески увиливают: сдирают ответы с решебников или друг у друга, изводят родителей просьбами о помощи или просто забивают. Сначала на домашку, а потом и на учебу вообще. И какой в этом смысл?
ОБЪЯТЬ НЕОБЪЯТНОЕ
— Летом мы провели эксперимент: взяли скриншоты из реальных дневников школьников со всей страны и неделю пытались выполнять все, что задано на дом. Убедились: домашка детям не интересна. Да и задают так много, что делать все качественно невозможно, — рассказывает Александр Ларьяновский, управляющий партнер онлайн-школы для детей и подростков Skysmart.
Вот пример. В один день «прилетело» сразу по пяти предметам: нарисовать пейзаж по ИЗО, сделать выкройку юбки по технологии, 10 заданий по математике, 5 упражнений по английскому и 3 – по русскому. Причем одно из них, мягко говоря, морально устарело: написать изложение по рассказу о том, как дети в классе ходили на экскурсию по автозаводу, видели, как собирают самосвал, одному ученику рабочий предложил закрутить гайку, и ребенок почувствовал причастность.
На все это уйдет часа четыре. Добавьте шесть уроков в школе, и получится, что добросовестный школьник вкалывает больше, чем его родители. А еще секции и кружки… Отдыхать когда, спрашивается в задачке?
ЛУЧШИЙ УЧЕБНИК – РЕШЕБНИК
Вот многие и приловчились списывать. Есть книжки-решебники с ответами, есть сайты готовых домашних заданий, бесплатные – ГДЗ называются (готовые домашние задания). За год такие порталы фиксируют до 1,6 млрд посещений! Примерно по 130 на школяра получается. Младшеклассники не в счет: в началке у детей за спиной верные помощники – родители.
70% пап и мам, по данным Mail.ru, делают домашку с детьми, тратя до двух часов в день. В основном мурыжат русский и математику. Нередко как в анекдоте: мама охрипла, сын оглох, соседи запомнили, а собака пересказала. А две трети из опрошенных признались, что полностью делают уроки за ребенка.
— Родители сами нам говорили, что поощряют списывание, особенно по предметам, которые не нужны для поступления в вуз, — уточнил Александр Ларьяновский. — Хотя это даже и не списывание, а избавление от страданий. Ведь все заинтересованы в том, чтобы ребенок рос здоровым и счастливым, а нагрузка в школе была адекватной.
УЧИТЕЛЯ ДЕРЖАТ ОБОРОНУ
— Списывание – серьезная проблема, — сокрушается учитель биологии московской школы им. Н. М. Карамзина Елена Жуковская. – В итоге дети не усваивают материал по целым темам, пробелы в знаниях копятся. Ленятся, просиживают над учебниками часами, прокрастинируя (откладывая выполнение работы — прим. Ред.). А еще родители, бывает, специально перегружают ребенка, чтобы был при деле, пока они на работе.
Как лучшие педагоги с этим борются? Дают на дом задания в нескольких вариантах, а злостным списывальщикам индивидуальные. Проверяют не ответы, а решения, не оценивают списанную домашку или ставят «три». Устраивают перепроверку на уроке, давая аналогичные задания. Но все равно «мафия» ГДЗ непобедима. Даже с цифровой домашкой, выполнениями заданий на образовательных сайтах, детвора разобралась: скидывают задания в чаты, кто-то один решает, остальные передирают.
Идею отменить домашние задания три года назад поднимали в Госдуме.Фото: Светлана МАКОВЕЕВА
МОЖЕТ, НУ ЕЕ?
Идею отменить домашние задания три года назад поднимали в Госдуме. Депутат Борис Чернышов как будто мысли миллионов родителей озвучил: школьники из-за перегрузок не только здоровье гробят, но и теряют интерес к учебе, пусть лучше вместо зубрежки погуляют на свежем воздухе, в футбол погоняют. В Белгородской области даже запустили программу по переводу школ в формат полного дня, чтобы дети все успевали в урочное время.
Подключились и педиатры с психологами, поясняя, что недостаток полноценного отдыха приводит к нарушению сна, близорукости, сколиозу, гастриту, неврозам и депрессии. Повсеместной отмены домашки в госшколах, впрочем, так и не случилось.
— Домашние задания нужны, чтобы ученик хорошо усвоил материал и научился применять новые знания. К тому же в процессе повторения развиваются память, мышление, восприятие… — уверена Елена Жуковская. — Но задания должны быть оптимальными по объему — чтобы ребенок тратил на один предмет 30-40 минут. Например, в виде проблемного вопроса: что будет, если исчезнет сила трения? Да и многие навыки реально отработать на уроке.
Выходит, все упирается в педагогов, не желающих или не способных перестроить преподавание. В мае Минпросвещения пообещало разгрузить учителей от рутинной бумажной работы, перевести в облако отчеты, автоматизировать проверку домашних заданий. Эксперимент по внедрению цифровой образовательной среды (ЦОС) в госшколах продлится до конца 2022 года.
Однако в частных гимназиях, онлайн-школах уже обходятся без домашки или придумывают увлекательные игровые форматы. Кто сделает алгебру, получит 10 золотых монет, а если с заданиями справится весь класс, откроется доступ к сундуку с сокровищами! Прописывают критерии оценивания, цели, отслеживают промежуточные результаты. Дают альтернативные задания: что аватарка в соцсетях может о тебе рассказать? Или: сделай три сложных механизма с помощью редстоуна в Майнкрафт (компьютерная игра), начни карьеру в ТикТоке. Но так, с выдумкой подходить к заданиям могут те, у кого в классе 10 — 15 человек, да еще, как правило, отобранные в результате тестов, как это обычно бывает в частных школах. А если за партами сидит 42 подростка самого разного уровня развития, индивидуализировать задание особо не выйдет…
Еще один путь, которым идут творческие педагоги в лучших гимназиях и лицеях: создать собственные решебники, декриминализируя злополучные ГДЗ. Идея такая: помимо ответа подробно описать, как выполнять задание, тут же прицепить короткие видеоролики по теме, если вдруг у ребенка возникнут вопросы или захочется узнать больше.
В итоге ученик все равно списывает, зато с пользой.
ДЕЛО НЕ В ЛЕНИ
Влияют ли домашние задания на успеваемость? Об этом расспросили Анну АДАСКИНУ, кандидата психологических наук, доцента кафедры Педагогической психологии им. профессора В.А. Гуружапова Московского государственного психолого-педагогического университета.
— Зарубежные исследования (свежих российских мы не нашли) признают полезность домашних заданий: школьники, выполняющие их, успешнее в учебе, лучше планируют свое время и умеют учиться самостоятельно, — говорит эксперт. – По данным международного исследования PISA, страны делятся на три группы: где дети много учатся и показывают высокие результаты (азиатские страны), где учатся умеренно и показывают высокие результаты (например, Финляндия с тремя часами д\з в неделю) и такие, где тратят много времени на домашние задания, но показывают невысокие результаты. Россия, к сожалению, в их числе.
— Дети засиживаются за уроками из-за лени?
— Не будем обвинять школьников в лени, а лучше задумаемся над тем, что же не так в нашей практике домашних заданий?
Время выполнения.
В США популярно правило «10 минут» – время на д\з равняется классу, умноженному на 10. В третьем классе это 30 минут, в старшей школе – до 2 часов. Сравним с нормами российского СанПина: 4-5 классы — до 2 часов, 6-8 классы — до 2,5 часов, 9-11 классы — до 3,5 часов. Реально времени уходит намного больше – до 4-6 часов в день в 8-11 классах. Практика показывает, что учителя-предметники не согласуют между собой объем домашнего задания, а школьники не выдерживают такой режим учебы (около 48-52 часов в неделю) и стараются снизить перегрузки всеми доступными им способами.
Содержание. Учебные темы можно отрабатывать на разном материале. Например, американские школьники выполняют много творческих заданий (эссе, сочинения, проекты). В России тоже есть интересные программы. Например, в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова много заданий исследовательского и творческого характера, однако школ, работающих по этой системе, крайне мало. В обычной школе традиционно преобладают традиционные же упражнения, вызывающие скуку у большинства школьников.
Возможность выбора. Мотивация к учебе повышается, когда человек чувствует себя активным участником процесса, влияющим на его результат. Способов ввести вариативность в домашнее задание не так уж и мало: можно предложить ученикам выбрать тип задания, сложность, форму презентации результата, формат выполнения (групповой или индивидуальный). К сожалению, это используется крайне редко.
Степень родительского участия. Располагаем только иностранными исследованиями, результаты которых неоднозначны. Согласно одним, компетентность и поддержка родителей во время выполнения домашних заданий положительно влияет на умение ребенка управлять своим временем и его успеваемость. Другие подтверждают: школьники, которые воспринимали участие родителей как контроль или давление, обычно отличались низкой мотивацией и невысокой учебной успеваемостью.
— Есть ли у нас успешный опыт отказа от домашних заданий?
— Домашнее задание — обязательная часть учебного процесса практически во всех российских школах.
Исключение составляют Вальдорфские школы, где почти ничего не задают на дом в начальной школе. В средней и старшей задают, но доля творческих заданий у них выше, чем в обычных школах. В школах, работающих по системе М. Монтессори, домашние задания, в целом, не практикуются: считается, что ребенок и так освоит программу, отрабатывая необходимые умения на разнообразном материале в течение учебного дня. Но и там часто вынуждены давать домашние задания некоторым детям, потому что их индивидуальный темп, например, по математике, очень неспешный. Однако задания небольшие и понятные ребенку. Однако школ, работающих в таком формате, в России мало, и те в основном частные. И сравнительных с результатами других школ исследований уровня знаний учеников найти не удалось.
Таким образом, видимо, полностью избежать домашних заданий не получится, но вопросы об объеме, содержании, способе обратной связи со стороны учителя необходимо обсуждать на всех уровнях.
Повсеместной отмены домашки в госшколах, впрочем, так и не случилось.
Фото: Николай ОБЕРЕМЧЕНКО
А КАК У НИХ?
В Израиле не задают обязательных заданий на дом ученикам 1-6 классов. Так же и в Японии, где до шестого класса акцент делают на музыке, рисовании, физкультуре, ОБЖ, ведении домашнего хозяйства. В Канаде и Норвегии на дом задают редко. Снизили объемы домашки Италия и Испания. В Великобритании отменили домашку в начальной школы и рекомендовали тратить освободившееся время на семейный просмотр познавательных фильмов и чтение вслух.
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ
Кому разрешили получить второе высшее образование бесплатно
Правительство утвердило правила приема и перечень вузов (подробно)
КСТАТИ
С 14 по 24 ноября 2021 года пройдет международная просветительская акция Русского географического общества — Географический диктант. С 2015 года в нем приняли участие почти 1,8 млн. человек по всему миру. А в этом году диктант впервые напишут в Антарктиде.
Присоединиться и узнать подробности можно на сайте Географического диктанта.
Читайте также
Возрастная категория сайта 18+
Сетевое издание (сайт) зарегистрировано Роскомнадзором, свидетельство Эл № ФС77-80505 от 15 марта 2021 г.
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР — НОСОВА ОЛЕСЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА.
ШЕФ-РЕДАКТОР САЙТА — КАНСКИЙ ВИКТОР ФЕДОРОВИЧ.
АВТОР СОВРЕМЕННОЙ ВЕРСИИ ИЗДАНИЯ — СУНГОРКИН ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ.
Сообщения и комментарии читателей сайта размещаются без предварительного редактирования. Редакция оставляет за собой право удалить их с сайта или отредактировать, если указанные сообщения и комментарии являются злоупотреблением свободой массовой информации или нарушением иных требований закона.
АО «ИД «Комсомольская правда». ИНН: 7714037217 ОГРН: 1027739295781 127015, Москва, Новодмитровская д. 2Б, Тел. +7 (495) 777-02-82.
Исключительные права на материалы, размещённые на интернет-сайте
www.kp.ru, в соответствии с законодательством Российской
Федерации об охране результатов интеллектуальной деятельности
принадлежат АО «Издательский дом «Комсомольская правда», и не
подлежат использованию другими лицами в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения правообладателя.
Приобретение авторских прав и связь с редакцией: [email protected]
«Отмените домашние задания! Мы все равно списываем с решебников»
Комсомольская правда
ОбществоИнтересное
Раиса ЮДИНА
20 августа 2015 15:10
Медики предлагают школам отказаться от домашних заданий, потому что учеба занимает у детей слишком много времени [обсудим!]
Если сложить вместе время уроков и выполнение заданий дома — у старшеклассников получается как минимум полноценный рабочий день.Фото: Павел МАРТИНЧИК
За полторы недели до начала учебного года медики снова подняли вопрос о чрезмерной загруженности школьников.
— По-моему, одной из задач должен стать отказ от домашних заданий, — считает Алла Малахова, заведующая отделением гигиены детей и подростков Республиканского центра гигиены, эпидемиологии и общественного здоровья. — Особенно для старших классов, которые в школах занимаются часов до четырех. А потом еще минимум 2,5 часа тратят на домашние задания. Времени на то, чтобы заняться физической культурой, занятиями по интересам, остается очень мало.
Мы не раз отмечали, что образовательная нагрузка в школе опережает психолого-физиологические возможности ребенка на год-полтора. Причин тому несколько: и переход с шестидневной недели на пятидневку, и то, что программы были рассчитаны на семилетних детей, а в школу пошли шестилетки. И в учебниках зачастую материал изложен так сложно, что детям приходится разбираться с помощью родителей. Хотелось бы, чтобы Министерство образования побыстрее занялось этой проблемой.
У современных детей учеба действительно занимает много времени — к урокам и домашним заданиям у многих добавляются еще и занятия с репетиторами. Уложиться в отведенные санитарными нормами часы* просто нереально.
МНЕНИЕ ПЕДАГОГА
«Дети на уроке не успевают усвоить и закрепить материал»
— Повысить эффективность образования — это только на словах звучит легко, а на самом деле на это уйдут годы, — считает Александр Семенов, учитель физики.
— Сначала надо придумать, как ее повысить, и не факт, что эта перестройка даст хороший результат. Посмотрите, что получилось с так называемыми срезами — самостоятельными письменными работами, которые мы должны давать, чтобы дети закрепили новый материал. Еще толком не разобравшись в теме, они уже должны продемонстрировать свои знания, а учитель — оценить их. Поэтому я категорически против отмены домашних заданий, пока мы не будем знать, за счет чего действительно повысить эффективность образования.
МНЕНИЕ ЧИТАТЕЛЕЙ
«Потом не жалуйтесь, что наши дети бездарные»
На нашем сайте kp.by идет активное обсуждение новости.
— Ну что ж, останется отменить еще и сами учебные занятия и школы закрыть на замок, — иронизирует один из гостей сайта. — Пусть дети занимаются своим хобби или физическими нагрузками. Только потом не нужно сетовать на то, что наши дети становятся бездарными. Их и сейчас на переменах (а порой и на уроках) от телефонов и планшетов не оторвать, так пусть и дома занимаются этим же.
Смысл большинства мнений сводится к тому же. Есть и конкретные предложения: серьезно упростить школьную программу, убрать решебники, из-за которых дети не хотят думать своими мозгами, вернуть советскую систему образования, но не отменять домашние задания ни в коем случае.
А у школьников свои взгляды на этот счет.
— Да-да, пожалуйста, отмените домашнее задание! — пишет один из них. — Оно бесполезно, потому что мы все равно списываем с решебников, тратим время на переписывание. Может, кто-то хочет стать музыкантом, но тратит свое время на решение никому не нужных уравнений. Можно отменить домашнее задание уже к этому году? Все дети будут очень признательны, счастью не будет предела!
КСТАТИ
*По санитарным нормам и правилам, утвержденным Минздравом, домашние задания в учреждениях образования должны задаваться с расчетом возможности их выполнения во 2-м классе — до 1,2 часа, 3 — 4-м классах — 1,5 часа, 5 — 6-м классах — 2 часов, 7 — 8-м классах — 2,5 часа, 9 — 11-м (12-м) классах — 3 часов.
Возрастная категория сайта 18+
Сетевое издание (сайт) зарегистрировано Роскомнадзором, свидетельство Эл № ФС77-80505 от 15 марта 2021 г.ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР — НОСОВА ОЛЕСЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА.
ШЕФ-РЕДАКТОР САЙТА — КАНСКИЙ ВИКТОР ФЕДОРОВИЧ.
АВТОР СОВРЕМЕННОЙ ВЕРСИИ ИЗДАНИЯ — СУНГОРКИН ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ.
Сообщения и комментарии читателей сайта размещаются без предварительного редактирования. Редакция оставляет за собой право удалить их с сайта или отредактировать, если указанные сообщения и комментарии являются злоупотреблением свободой массовой информации или нарушением иных требований закона.
АО «ИД «Комсомольская правда». ИНН: 7714037217 ОГРН: 1027739295781 127015, Москва, Новодмитровская д. 2Б, Тел. +7 (495) 777-02-82.
Исключительные права на материалы, размещённые на интернет-сайте
www.kp.ru, в соответствии с законодательством Российской
Федерации об охране результатов интеллектуальной деятельности
принадлежат АО «Издательский дом «Комсомольская правда», и не
подлежат использованию другими лицами в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения правообладателя.
Приобретение авторских прав и связь с редакцией: [email protected]
Решатель систем уравнений: Wolfram|Alpha
О-о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.
Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.
WolframAlpha
Решение уравнений и систем уравнений с помощью Wolfram|Alpha
Мощный инструмент для поиска решений систем уравнений и ограничений
Wolfram|Alpha способен решать самые разные системы уравнений. Он может решать системы линейных уравнений или системы, включающие нелинейные уравнения, и может специально искать целочисленные решения или решения в другой области. Кроме того, он может решать системы, включающие неравенства и более общие ограничения. 92 = 4, y = x
- Посмотреть другие примеры »
Доступ к инструментам мгновенного обучения
Немедленная обратная связь и рекомендации с помощью пошаговых решений и Генератора проблем Wolfram
Узнайте больше о:
- Шаг пошаговые решения »
- Генератор задач Wolfram »
Что такое системы уравнений?
Система уравнений представляет собой набор из одного или нескольких уравнений, включающих ряд переменных.
Решениями систем уравнений являются такие отображения переменных, что удовлетворяются все уравнения компонентов, другими словами, места, в которых все эти уравнения пересекаются. Решить систему — значит найти все такие общие решения или точки пересечения.
Системы линейных уравнений — распространенное и применимое подмножество систем уравнений. В случае двух переменных эти системы можно рассматривать как линии, проведенные в двумерном пространстве. Если все прямые сходятся в одной точке, то говорят, что система непротиворечива и имеет решение в этой точке пересечения. В противном случае система называется несовместной, не имеющей решений. Системы линейных уравнений, включающие более двух переменных, работают аналогично, имея либо одно решение, либо отсутствие решений, либо бесконечное количество решений (последнее в случае, если все уравнения для компонентов эквивалентны).
Возможны и более общие системы, включающие нелинейные функции. Они обладают более сложными наборами решений, включающими одно, нулевое, бесконечное или любое количество решений, но работают аналогично линейным системам в том смысле, что их решениями являются точки, удовлетворяющие всем задействованным уравнениям.
Идя дальше, возможны более общие системы ограничений, например, включающие неравенства или требующие, чтобы определенные переменные были целыми числами.
Решение систем уравнений является очень общей и важной идеей, которая является фундаментальной во многих областях математики, техники и естественных наук.
Решение неравенств с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В этой главе мы разработаем некоторые приемы, помогающие решать задачи, сформулированные словами. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, сформулированная задача
«Найдите число, которое при прибавлении к 3 дает 7»
может быть записана как:
3 + ? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1
и т. д., где символы ?, n и x представляют число, которое мы хотим найти. Такие сокращенные версии поставленных задач мы называем уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку показатель степени равен 1.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными. Уравнение:
3 + x = 7
будет ложным, если вместо переменной подставить любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой уравнение верно (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.
Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения
4x — 2 = 3x + 1
Решение Подставим значение 3 вместо x в уравнение и посмотрим, равен ли левый член правому член.
4(3) — 2 = 3(3) + 1
12 — 2 = 9 + 1
10 = 10
Ответ. 3 это решение.
Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем проверки.
Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем проверки.
а. х + 5 = 12
б. 4 · x = -20
Решения а. 7 является решением, так как 7 + 5 = 12,
б. -5 является решением, поскольку 4(-5) = -20.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В разделе 3.1 мы решили некоторые простые уравнения первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу очевидны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эквивалентные уравнения – это уравнения, имеющие одинаковые решения. Таким образом,
3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5
эквивалентны уравнениям, поскольку 5 является единственным решением каждого из них. Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при проверке, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при проверке.
Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов генерирования эквивалентных уравнений.
Если к обоим элементам добавляется или вычитается одно и то же количество уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.
В символах
a — b, a + c = b + c и a — c = b — c
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
x + 3 = 7
, вычитая 3 из каждого члена.
Решение Вычитание 3 из каждого члена дает
x + 3 — 3 = 7 — 3
или
x = 4
Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одно и то же. для обоих, а именно 4. Следующий пример показывает, как мы можем сгенерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.
Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное
4x- 2-3x = 4 + 6
путем объединения одинаковых терминов, а затем добавления 2 к каждому элементу.
Объединение одинаковых членов дает
x — 2 = 10
Прибавление 2 к каждому члену дает
x-2+2 = 10+2
x = 12
Чтобы решить уравнение, мы используем сложение-вычитание свойство преобразовывать данное уравнение в эквивалентное уравнение формы x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.
Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.
Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому элементу (или вычтем из него 1), мы получим
2x + 1- 1 = x — 2- 1
2x = x — 3
Если теперь мы прибавим -x к каждому элементу (или вычтем x из него), мы получим
2x-x = x — 3 — х
х = -3
где решение -3 очевидно.
Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.
Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнение
2(-3) + 1 = (-3) — 2
-5 = -5
Симметричное свойство равенства также полезно при решении уравнений. Это свойство гласит:
Если a = b, то b = a
Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не заботясь о смене знака. Таким образом,
Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4
Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3
Если d = rt, то rt = d
Может быть несколько различные способы применения вышеуказанного свойства сложения. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.
Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)
Решение Если мы сначала прибавим -3x к каждому элементу, мы получим
2x — 3x = 3x — 9 — 3x
-x = -9
где переменная имеет отрицательный коэффициент.
Хотя при проверке мы видим, что решение равно 9, поскольку -(9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавляя -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем
2х-2х + 9 = 3х- 9-2х+ 9
9 = х
из чего решение 9очевидно. Если мы хотим, мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
3x = 12
Решением этого уравнения является 4. Также обратите внимание, что если мы разделим каждую часть уравнения на 3, мы получим уравнения
, решение которого также равно 4. В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.
Если оба члена уравнения разделить на одно и то же (отличное от нуля) полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
эквивалентны уравнениям.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
-4x = 12
, разделив каждый член на -4.
Решение Деление обоих членов на -4 дает
При решении уравнений мы используем вышеуказанное свойство для получения эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.
Пример 2 Решить 3y + 2y = 20.
Сначала мы объединяем одинаковые члены, чтобы получить
5y = 20
Затем, разделив каждый член на 5, мы получаем
В следующем примере мы используем сложение — свойство вычитания и свойство деления для решения уравнения.
Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.
Решение Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому элементу, чтобы получить
4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1
Далее , объединение одинаковых членов дает
3x = -9
Наконец, мы делим каждый член на 3, чтобы получить
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
Решение этого уравнения умножая каждый член уравнения на 4, мы получаем уравнения
, решение которых также равно 12.
В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.
Если оба члена уравнения умножить на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
В символах
a = b и a·c = b·c (c ≠ 0)
являются эквивалентными уравнениями.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
, умножив каждый член на 6.
Решение Умножив каждый член на 6, получим
дроби.
Пример 2 Решите
Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить
Теперь разделите каждый член на 3,
Пример 3 Решите .
Решение Сначала упростим над дробной чертой, чтобы получить
Затем умножим каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, разделив каждый член на 5, получим
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ190 все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.
Нет определенного порядка, в котором следует применять свойства. Любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102, могут быть подходящими.Шаги для решения уравнений первой степени:
- Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
- Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
- Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
- Используйте свойство умножения для удаления дробей.
- Используйте свойство Division, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.
Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить
5x — 7 = -2x + 14
Затем мы добавляем +2x и +7 каждому члену и объединяем одинаковые члены, чтобы получить
5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1
7x = 21
Наконец, мы делим каждый член на 7, чтобы получить
В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой, прежде чем применять свойства, которые мы изучали.
Пример 2 Решить
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 4x — 2x, чтобы получить
Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем
Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить
РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ
Уравнения, которые включают переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую переменную в формуле, если известны значения других переменных. Мы подставляем известные значения в формулу и находим неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.
Пример 1 В формуле d = rt найдите t, если d = 24 и r = 3.
Решение Мы можем найти t, подставив 24 вместо d и 3 вместо r. То есть
d = rt
(24) = (3)t
8 = t
Часто бывает необходимо решать формулы или уравнения, в которых имеется более одной переменной для одной из переменных в терминах другие.