109 Математическое мышление
109 Математическое мышление Инструктор: Дэвид А. МЕЙЕР
Часы работы: AP&M 7218, WF 11:05–11:45 или по предварительной записи
Лекция A: Pepper Canyon Hall 122, MWF 10:00–10:50
Лекция C: Pepper Canyon Hall 122 , MWF 12:00nn-12:50pm
Email: dmeyer «at» math «dot» ucsd «dot» edu
Ассистент преподавателя: Yucheng TU
Часы работы: AP&M 5720, Чт с 14:00 до 15:00 или по предварительной записи
Раздел A01: AP&M B412, Вт с 16:00 до 16:50; раздел не будет встречаться вт 3 апр
Электронная почта: y7tu «at» ucsd «dot» edu
Ассистент преподавателя: Zihao LI
Часы работы: AP&M 5801, Сб с 16:00 до 18:00 или по предварительной записи
Раздел A02: AP&M B412, Вт с 17:00 до 17:50; секция не будет встречаться Вт 3 апреля
Секция A03: AP&M B412, Вт 18:00-18:50; раздел не будет соответствовать вт 3 апр
Email: zil108 «at» ucsd «dot» edu
Ассистент преподавателя: Yiwei SANG
Часы работы: AP&M 5218, вторник с 14:00 до 16:00 или по предварительной записи
Электронная почта: yisang «at» ucsd «dot» edu
Ассистент преподавателя: Roshil PAUDYAL
Часы работы: AP&M 6414, M 13:00-14:00, Вт 15:00-16:00 или по предварительной записи
Раздел C02: AP&M B402A, Вт 17:00-17:50; секция не будет встречаться Вт 3 апреля
Секция C03: AP&M B402A, Вт 18:00-18:50; раздел не будет соответствовать Вт 3 апреля
Email: ropaudya «at» ucsd «dot» edu
Описание курса
Этот курс представляет собой введение в математические рассуждения.
Для любого, пожалуй
наиболее полезным последствием изучения математики является повышенная способность
анализировать задачи, математические или иные, логически. В продвинутых
курсы математики, и в математических исследованиях эта способность развертывается
прежде всего до доказать , что определенные утверждения верны. Цель
этот курс предназначен для того, чтобы студенты узнали, что значит делать математику,
помимо простого выполнения расчетов. Это включает в себя изучение того, какие виды
утверждения нуждаются в доказательстве, что представляет собой доказательство и как читать и писать доказательства.
Предпосылками для этого курса являются Math 18/20F/31AH и Math 20C, или согласие инструктора. Учебник P. J. Eccles, An Introduction to Математическое рассуждение (Кембридж: издательство Кембриджского университета, 1997). Его экземпляры хранятся в резерве в Научно-технической библиотеке.
Будут еженедельные домашние задания, которые будут сдаваться по вторникам.
Пожалуйста
следуйте рекомендациям по форматированию. Ученики
разрешено обсуждать домашнюю работу между собой, но ожидается, что они сдадут
свою собственную работу — копирование чужой недопустимо. Баллы за домашнее задание
внесет 20% в итоговую оценку.
Будет два промежуточных срока, в третью и седьмую недели квартала. Финал лекции А запланирован на понедельник, 11 июня; финал лекции C запланирован на среду, 13 июня. Результаты двух промежуточных и final внесет 20%, 25% и 35% в итоговую оценку соответственно. Тестов макияжа не будет.
Связанные события
| 1 июня 2018 г. | Общество студентов бакалавриата по математике Integration Bee AP&M B402A, с 17:00 до 19:00 [запись] |
Программа (возможны изменения)
| 2 апр | обзор курса гл.  1. Язык математики логические вентили и булева алгебра [дополнение] |
| 4 апр | Глава. 2. Импликации неопределенные термины, аксиомы/постулаты, утверждения [1, гл. 4] HWK (до вторника, 10 апреля). Пример. 1.2, 2.1, 2.4, 2.6, 3.1, 3.2, 3.3, 3.7 |
| 6 апр | Глава. 3. Доказательства свойства целых чисел [1, гл. 8] Пятничное математическое развлечение [2] |
| 9 апр | Глава. 4. Доказательство от противного проблемы с мозаикой [3] |
| 11 апр | фон по хроматическому числу плоскости [4] Гл. 5. Индукционный принцип HWK (сдается вт, 17 апр).  4.1, 4.2, 4.4, 4.7, 5.1, 5.4, 5.6, 5.7 |
| 13 апр | Глава. 5. Принцип индукции. |
| 16 апр | принцип сильной индукции Обзор обзор курса [практические экзаменационные задачи] [практические решения] |
| 18 апр | Промежуточный семестр 1, охватывающий главы 1-5 Пожалуйста, возьмите с собой учебники и студенческий билет. Вы можете принести страницу рукописных заметок, но больше ничего. [распределение мест на лекции A] [распределение мест на лекции C] [экзамен на лекции A] [решения] [результаты] [экзамен на лекции C] [решения] [результаты] |
| 20 апр | Глава. 6. Язык теории множеств HWK (дата выхода вторник, 24 апреля).  Пример. 6.2, 6.3, 6.4, 6.6, 7.3, 7.4, 7.5, 7.8 Математическое развлечение по пятницам [6] |
| 23 апр | обновление хроматического числа плоскости [7] гл. 7. Кванторы определение предела последовательности утверждения и доказательства о пределах последовательности [примечания] |
| 25 апр | Глава. 8. Функции HWK (срок выполнения вт, 1 мая). Пример. 8.1, 8.2, 8.3; упражнения в конце примечаний по ограничениям |
| 27 апр | Пятничная математика [8] |
| 30 апр | Глава. 9. Инъекции, сюръекции и биекции |
| 2 мая | Глава. 10. Подсчет HWK (до вторник, 8 мая). Пример. 9.1, 9.3, 9.5, 9.7, 10.1, 10.3, 10.4 |
| 4 мая | Глава. 11. Свойства конечных множеств Friday math fun [9] |
| 7 мая | Глава. 11. Свойства конечных множеств |
| 9 мая | Глава. 12. Счетные функции и подмножества HWK (до вторник, 15 мая). Пример. 11.2, 11.3, 11.4, 11.6, 12.3, 12.5, 12.6 |
| 11 мая | Без лекций [пробные экзаменационные задачи] [практические решения] |
| 14 мая | функции подсчета Обзор обзор курса |
| 16 мая | Промежуточный семестр 2, охватывающий главы 1-12 Пожалуйста, возьмите с собой учебники и студенческий билет.  Вы можете принести страницу рукописных заметок, но больше ничего. [распределение мест на лекции A] [распределение мест на лекции C] [экзамен на лекции A] [решения] [результаты] [экзамен на лекции C] [решения] [результаты] |
| подсчет подмножеств гл. 13. Системы счисления HWK (доставка вт, 22 мая). Пример. 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5 Математическое развлечение по пятницам [10] | |
| 21 мая | иррациональность квадратного корня из 2 [11] [графический] |
| двадцать третье мая | Глава. 14. Подсчет бесконечных наборов HWK (дата доставки вторник, 29 мая). Пример. 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 15.2, 15.3, 15.4, 15.5 |
| 25 мая | количественные против порядковых чисел Гл.  15. Алгоритм деления Пятничная математическая забава [12] |
| 28 мая | Нет лекции; День памяти |
| 30 мая | Глава. 16. Алгоритм Евклида HWK (доставка вт, 5 июня). Пример. 16.1, 16.2, 16.3, Проб. IV.1, IV.2, IV.3, IV.7 |
| 1 июня | Без лекций |
| 4 июня | Глава. 19. Сравнение целых чисел Гл. 21. Классы конгруэнтности и арифметика остатков |
| 6 июня | правила деления пределы функций [примечания] HWK (не сдавать). Пример. 19.2, 19.3, 19.4, 21.3, 21.4, 21.6 |
| 8 июня | непрерывность функций обзор/обзор курса [пробные экзаменационные задачи] [практические решения] |
| 11 июня | Заключительный экзамен по лекции А в 8:00. Будет всеобъемлющим. Пожалуйста, возьмите с собой учебники и студенческий билет. Вы можете принести страницу рукописных заметок, но больше ничего. [распределение мест на лекции A] [экзамен на лекции A] [решения] |
| 13 июня | Заключительный экзамен по лекции C в 11:30. Будет всеобъемлющим. Пожалуйста, возьмите с собой учебники и студенческий билет. Вы можете принести страницу рукописных заметок, но больше ничего. [распределение мест по лекции C] [экзамен по лекции C] [решения] |
Рекомендуемое чтение
| [1] | Д. Р. Хофштадтер, Гёдель, Эшер, Бах: Вечная золотая коса (Нью-Йорк: Основные книги, 1979). |
| [2] | И. Тепер,
«Секретный номер», Strange Horizons (20 ноября 2000 г.) [рассказ]; К. Леви, «Секретный номер» (2012) [короткометражный фильм]. |
| [3] | М. Блэк, Критическое мышление. Введение в логику и научный метод (Нью-Йорк: Прентис Холл, 1946). |
| [4] | А. Д. Н. Дж. де Грей, «Хроматическое число плоскости не менее 5», arXiv: 1804.02385v2 [math.CO] (2018). |
| [5] | К. Фицджеральд, «Хлеб и поцелуи» (2010) [короткометражный фильм]. |
| [6] | Д. Клифтон, «Исчисление любви» (2011) [короткометражный фильм]. |
| [7] | Д. Г. Миксон,
«Polymath26, вторая тема: что нужно, чтобы стать 5-хроматичным?» (22 апреля 2018 г. ). |
| [8] | В. Харт, «Рисование на уроке математики: бесконечные слоны» (2 декабря 2010 г.) [видео]. |
| [9] | К. Ягнемма, «Теорема Зилковского», Zoetrope: All-Story 5 № 3 (осень 2001 г.). |
| [10] | А. Конан Дойл, Мемуары Шерлока Холмса , Приключение XI, «Последняя проблема» (Лондон: George Newnes, Ltd., 1894 г.) 234–252. |
| [11] | С. Дж. Миллер и Д. Монтегю, «Иррациональность из книги», arXiv:0909.4913 [математика.HO]. |
| [12] | Н. Я. Виленкин,
«Необыкновенная гостиница, или Тысяча первое путешествие Иона Тихого»
в В поисках бесконечности , пер. А. Шенитцер при редакционном содействии Х. Гранта и С. Микитюка
(Бостон: Биркхоузер, 1995). |
| [13] | Г. Поля, Как решить: новый аспект математического метода (Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, 1945). |
| [14] | Д. Солоу, Как читать и делать доказательства: введение в математические мыслительные процессы , 4-е издание (Хобокен, Нью-Джерси: Wiley 2005). |
Последнее изменение: 14 июня 2018 г.
Что было до Большого Взрыва?
Это самый фундаментальный вопрос космологии: как возникла Вселенная?
Этот вопрос предполагает, что у Вселенной была реальная отправная точка, но с тем же успехом можно предположить, что Вселенная всегда была и всегда будет. В этом случае не было бы никакого начала — просто постоянно развивающаяся история, которую мы видим лишь мельком.
«У нас есть очень веские доказательства того, что Большой Взрыв был, поэтому вселенная, какой мы ее знаем, почти наверняка началась около 14 миллиардов лет назад. Но было ли это абсолютным началом или что-то было до него?» — спрашивает Александр Виленкин, космолог из Университета Тафтса недалеко от Бостона. Кажется, что это вопрос, на который никогда нельзя дать правильный ответ, потому что каждый раз, когда кто-то предлагает решение, кто-то другой может продолжать задавать раздражающий вопрос: что произошло до этого?
Но теперь Виленкин говорит, что у него есть убедительные доказательства: у Вселенной было отчетливое начало — хотя он не может точно определить время. По его словам, после 35 лет оглядки назад он обнаружил, что до нашей Вселенной не было ничего, совсем ничего, даже самого времени.
На протяжении всей своей карьеры, в том числе 20 с лишним лет, когда он руководил Институтом космологии Тафтса, Виленкин выдвинул ряд диких ослепительных идей, хотя со стороны он не выглядит ни диким, ни ослепительным.
64-летний профессор тихий, подтянутый и скромного телосложения. Он одет аккуратно, в нейтральных, сдержанных тонах, которые не привлекают к нему внимания.
Несмотря на сдержанную манеру поведения, граничащую с подавленностью, Виленкин — творческая сила, которая постоянно находит способы рассеять туман, окружающий одни из самых густых затруднений, какие только можно вообразить, — триумфы, которые снискали ему уважение ученых всего мира. «Алекс — очень оригинальный и глубокий мыслитель, внесший важный и глубокий вклад в наши представления о сотворении Вселенной», — говорит космолог из Стэнфорда Андрей Линде.
Но этой блестящей карьеры могло и не случиться. Родившийся в Советском Союзе в 1949 году и выросший в украинском городе Харькове, Виленкин увлекся космологией в старшей школе, прочитав о Большом взрыве книгу сэра Артура Эддингтона. Эта «одержимость» происхождением Вселенной, говорит Виленкин, «никогда не покидала меня. Я чувствовал, что если вы можете работать над этим вопросом, который может быть самым интригующим из всех, почему вы решили работать над чем-то еще?»
Будучи студентом Харьковского национального университета, Виленкин говорит, что ему посоветовали «заняться настоящей физикой», а не заниматься своей первой любовью — космологией.
Хотя он был отличником, он не мог поступить ни в одну аспирантуру по физике, потому что, как он подозревает, КГБ занес его в черный список за отказ стать правительственным осведомителем. Вместо этого Виленкин был вынужден выполнять ряд рутинных работ. Некоторое время он преподавал в вечерней школе для взрослых, но ушел с этой должности, потому что в его обязанности входило посещение домов прогульщиков, многие из которых были алкоголиками, чтобы попытаться затащить их в школу — незавидная задача.
Около полутора лет был ночным сторожем, в том числе в Харьковском зоопарке. Для защиты животных (на которых иногда охотились ради еды) ему дали ружье, которым он не умел пользоваться и, к счастью, никогда не стрелял. Когда у него было свободное время в течение этих долгих ночей, Виленкин изучал физику, что включало в себя чтение четырехтомного собрания сочинений Альберта Эйнштейна. Его уволили с этого прекрасного задания, когда кто-то решил — возможно, основываясь на его выборе материала для чтения — что он слишком квалифицирован для поставленной задачи.
Перспективы трудоустройства выглядели безрадостно, и он решил эмигрировать в Соединенные Штаты; он решил, что начнет мыть посуду, пытаясь проникнуть в академические круги. Но для выезда из Советского Союза требовался тщательно продуманный план: таким евреям, как он, разрешалось выезжать в Израиль в небольшом количестве, определяемом квотой, но сначала нужно было получить приглашение от израильских родственников. У Виленкина не было там настоящих родственников, поэтому он связался с другом, который знал людей в Израиле, и в конце концов нашел кого-то — незнакомого ему человека — достаточно любезного, чтобы написать письмо от его имени.
После того, как пришло письмо, он целый год ждал визы, но это обошлось ему слишком дорого. Прежде чем Виленкин и его жена смогли уехать, их родители должны были дать согласие на переезд. За то, что они дали свое разрешение, родители его жены лишились работы в лаборатории. Его отец, профессор университета, позже тоже потерял работу. Традиционной остановкой на пути в Израиль была Вена, но оттуда Виленкин, его жена и годовалая дочь вместо этого отправились в Рим, прибыв туда в 1976 году.
Они встретились с консульством США в Риме и после трехмесячного ожидания, наконец получили визу в США
Назад к Большому взрыву
Осенью 1977 года Виленкин занял постдокторскую должность в Case Western Reserve, где он должен был изучать электрические свойства нагретых металлов. Тем не менее, он нашел время, чтобы поразмышлять о вращающихся черных дырах и их таинственных магнитных полях. Год спустя ему повезло, когда Тафтс предложил ему годичный гостевой пост. Он рискнул, погрузившись в космологию, область, которая в то время считалась второстепенной.
Это скоро изменится. В конце 1979, постдоктор физики из Стэнфорда по имени Алан Гут предложил объяснение взрывной силы Большого Взрыва. Интеллектуальный скачок Гута проистекает из теорий физики элементарных частиц, которые утверждали, что при чрезвычайно высоких энергиях — намного выше, чем когда-либо может быть достигнуто в лаборатории — особое состояние материи переворачивает гравитацию с ног на голову, делая ее отталкивающей, а не притягивающей силой.
Участок пространства, содержащий крошечную частицу этого необычного вещества, может оттолкнуться так сильно, что буквально взорвется. Гут предположил, что мощный взрыв такого рода спровоцировал Большой взрыв, быстро расширив Вселенную настолько, что она удвоилась по крайней мере в 100 раз. Однако этот экспоненциальный всплеск роста, называемый космической инфляцией, был недолгим и длился всего крошечную долю секунды, потому что отталкивающий материал быстро распадался, оставляя после себя более знакомые формы материи и энергии, которые сегодня заполняют Вселенную.
Идея одновременно решила ряд космологических загадок. Она объяснила, откуда взялся «взрыв», стоящий за Большим взрывом, и как космос стал таким большим. Быстрое расширение во всех направлениях также объясняет, почему Вселенная, которую мы сейчас наблюдаем, так однородна и почему температура фонового излучения, оставшегося от того первобытного взрыва, одинакова на каждом участке неба с точностью до одной стотысячной.
Инфляция также вдохнула новую жизнь в космологию, предоставив таким теоретикам, как Виленкин, пищу для размышлений — и немного больше респектабельности в придачу.
Бесконечная история
К 1982 году, через пару лет после прорыва Гута, Виленкин осознал: процесс инфляции должен быть вечным, а это означает, что однажды начавшись, он уже никогда полностью не остановится. Инфляция может резко прекратиться в одной области пространства, например той, в которой мы живем, но продолжится в другом месте, вызвав бесконечную серию больших взрывов. Каждый взрыв будет соответствовать рождению отдельной «карманной» вселенной, которую можно представить в виде расширяющегося пузыря — одного из бесчисленных пузырей, плавающих внутри «мультивселенной», как ее иногда называют.
По мнению Виленкина, вечная природа инфляции проистекает из двух конкурирующих свойств космического топлива, гравитационно-отталкивающего материала, который заставляет Вселенную быстро расширяться. С одной стороны, материал был нестабилен, как и радиоактивные вещества, а потому обречен на распад.
С другой стороны, материал расширялся гораздо быстрее, чем распадался, так что даже если распад мог остановить инфляцию в одних регионах, в других продолжался стремительный рост.
(Фото: Роэн Келли/Discover)
В качестве аналогии Виленкин предлагает сгусток бактерий, которые хотят продолжать размножаться и расти, в то время как убивающие бактерии антитела пытаются ограничить этот рост. Если бактерии размножаются намного быстрее, чем уничтожаются, они будут быстро размножаться и распространяться, даже если их размножение может быть сорвано в некоторых кругах. С какой бы стороны вы ни посмотрели на это, конечным результатом будет то, что инфляция (или рост бактерий) никогда не прекращается везде одновременно и всегда происходит в какой-то части мультивселенной — даже когда вы читаете этот журнал.
Чтобы лучше понять это явление, Виленкин в 1986 году объединился с аспирантом Тафтса Мукундой Арьялом для компьютерного моделирования, которое показало, как может выглядеть вечно расширяющаяся Вселенная.
В их симуляции надувающиеся области или пузыри начинались с малого и постепенно росли, в то время как пространство между пузырьками также растягивалось. Каждый пузырь — представляющий мини-вселенную, подобную нашей, — был окружен меньшими пузырьками, которые, в свою очередь, были окружены еще меньшими пузырьковыми вселенными.
Дорога в Вечность
В клокочущей Вселенной Виленкина инфляция по определению была вечной в будущем. Однажды начавшись, он не остановится. Но было ли оно также вечным в прошлом? Было ли когда-нибудь время, когда Вселенная не раздувалась? И если Вселенная всегда раздувается и всегда расширяется, значит ли это, что сама Вселенная вечна и не имеет начала?
Чтобы ответить на этот вопрос, Виленкин объединил усилия с Гутом и математиком из Университета Лонг-Айленда Арвиндом Борде. Используя математическое доказательство, они утверждали, что любая расширяющаяся Вселенная, подобная нашей, должна иметь начало. Мысленный эксперимент, который они поставили, состоял в следующем: представьте вселенную, наполненную частицами.
По мере его неуклонного расширения расстояние между частицами увеличивается. Из этого следует, что наблюдатели, разбросанные по этой расширяющейся Вселенной, будут удаляться друг от друга, пока, в конце концов, они не займут широко разбросанные области пространства. Если бы вы оказались одним из таких наблюдателей, то чем дальше от вас находился объект, тем быстрее он удалялся бы.
Теперь добавим сюда космического путешественника, движущегося в космосе с фиксированной скоростью: он пролетает мимо Земли со скоростью 100 000 километров в секунду. Но когда он достигнет следующей галактики, которая удаляется от нас, скажем, со скоростью 20 000 километров в секунду, тамошним наблюдателям он покажется движущимся со скоростью всего 80 000 километров в секунду. По мере того как он продолжает свое путешествие наружу, скорость космического путешественника будет казаться все меньше и меньше наблюдателям, мимо которых он проходит. Теперь прокручиваем фильм в обратном порядке. На этот раз скорость космического путешественника будет казаться все быстрее и быстрее в каждой последующей галактике.
Если мы предположим, что инфляция вечна в прошлом — что у нее не было начала — космический путешественник в конечном итоге достигнет скорости света и превзойдет ее. Расчет Борде, Гута и Виленкина показал, что это произойдет за конечное время. Но согласно законам относительности, любой массивный объект не может достичь скорости света, не говоря уже о том, чтобы превысить ее. «Этого не может быть, — говорит Виленкин. «Поэтому, когда вы проследите историю этого космического путешественника в прошлое, вы обнаружите, что его история подошла к концу».
Тот факт, что путешествие путешественника назад во времени заходит в тупик, означает, что с логической точки зрения существует проблема с предположением о постоянно расширяющейся Вселенной, на котором основан весь этот сценарий. Иными словами, Вселенная не могла всегда расширяться. Его расширение должно было иметь начало, и инфляция — особенно взрывоопасная форма космического расширения — тоже должна была иметь начало. Следуя этой логике, наша Вселенная также имела начало, поскольку она была порождена инфляционным процессом, который вечен в будущем, а не в прошлом.
Что-то из ничего
Вселенная с началом вызывает неприятный вопрос: как же она началась? Ответ Виленкина никоим образом не подтвержден и, возможно, никогда не будет подтвержден, но это все же лучшее решение, которое он слышал до сих пор: может быть, наша фантастическая, славная вселенная спонтанно возникла из ничего. Это еретическое утверждение противоречит здравому смыслу, который, по общему признанию, подводит нас, когда мы говорим о рождении вселенной, событии, которое, как считается, произошло при непостижимо высоких энергиях. Это также бросает вызов римскому философу Лукрецию, который более 2000 лет назад утверждал, что «ничто не может быть создано из ничего».
Конечно, Лукреций никогда не слышал о квантовой механике и инфляционной космологии, областях 20-го века, которые оспаривают его смелое утверждение. «Обычно мы говорим, что ничто не может быть создано из ничего, потому что мы думаем, что это нарушит закон сохранения энергии», — объясняет священный принцип физики, согласно которому энергию нельзя ни создать, ни уничтожить, — объясняет Виленкин. Так как же вы могли создать вселенную с материей там, где раньше ничего не было?
«Способ, которым Вселенная решает эту проблему, заключается в том, что гравитационная энергия отрицательна», — говорит Виленкин. Это следствие математически доказанного факта, что энергия замкнутой Вселенной равна нулю: энергия материи положительна, энергия гравитации отрицательна, и их сумма всегда равна нулю. «Поэтому создание замкнутой Вселенной из ничего не нарушает никаких законов сохранения».
Расчеты Виленкина показывают, что Вселенная, созданная из ничего, скорее всего, будет крошечной — намного, намного меньше, чем, скажем, протон. Если это крошечное царство будет содержать лишь небольшое количество материала с отталкивающей гравитацией, этого достаточно, чтобы гарантировать, что он зажжет неудержимый процесс вечной инфляции, ведущий к Вселенной, в которой мы живем сегодня. Если теория верна, мы обязаны своим существованием самому скромному происхождению: самому ничему.
Одно из достоинств этой картины, если она верна, состоит в том, что спонтанное создание нашей вселенной дает вещам определенную отправную точку. Время начинается в момент творения, кладя конец потенциально бесконечным вопросам о том, «что было до этого».
Однако объяснение по-прежнему оставляет без внимания огромную загадку. Хотя вселенная в схеме Виленкина может возникнуть из ничего в том смысле, что не существует ни пространства, ни времени, ни материи, что-то существует заранее, а именно законы физики. Эти законы управляют моментом творения «нечто из ничего», порождающим нашу вселенную, а также управляют вечной инфляцией, которая происходит в первую наносекунду времени.
Возникает несколько неудобных вопросов: где находились законы физики до того, как появилась Вселенная, к которой их можно было применить? Существуют ли они независимо от пространства и времени? «Это великая загадка, откуда взялись законы физики. Мы даже не знаем, как к этому подступиться», — признается Виленкин. «Но до того, как пришла инфляция, мы даже не знали, как подойти к вопросам, которые инфляция позже решила. Так что, кто знает, может быть, мы преодолеем и этот барьер».
В фильме Клинта Иствуда «Магнум Форс» Гарри Каллахан говорит: «Человек должен знать свои ограничения», но работа Виленкина является свидетельством выхода за традиционные рамки. Если мы проявим настойчивость перед лицом скептицизма и сомнений, как часто склонен делать Виленкин, вполне могут возникнуть интересные и неожиданные идеи — как вселенная, возникающая из ниоткуда.
Устранение лазеек
Лазейка #1
Чтобы подкрепить свою гипотезу, Виленкин изучил другие модели вселенных, устранив лазейки, противоречащие идее четкого космического дебюта. В статье 2012 года с аспиранткой Тафтса Одри Митани Виленкин исследовал «циклическую» вселенную, которую исследовали физики Пол Стейнхардт из Принстонского университета и Нил Турок, которые сейчас работают в Институте периметра.
В этой модели нет ни единого Большого Взрыва, ни единого начала. Вместо этого Вселенная постоянно проходит колебательные циклы расширения, сжатия, коллапса и нового расширения. Загвоздка в том, что циклическая Вселенная сталкивается со вторым законом термодинамики, согласно которому энтропия, или беспорядок, замкнутой системы неизбежно будет увеличиваться с течением времени.
Classic Cyclic Universe (Источник: Roen Kelly/Discover)
Например, богато украшенный кирпичный особняк строго упорядочен, тогда как груда кирпичей, разбросанная по земле — результат разрушительного действия природы и десятилетий или столетий забвения — является более неупорядоченным. А кирпичная пыль, разносимая ветром и водой после того, как сами кирпичи испортились, еще более неупорядочена. Предоставленная сама по себе, система — даже пузырьковая вселенная — естественным образом пойдет по этому пути. Мы не часто видим кирпичный особняк, самопроизвольно собирающийся из разбросанной пыли.
Если бы наша Вселенная существовала вечно и сохраняла стабильный размер, она тоже поддалась бы второму закону. Беспорядок неумолимо увеличился бы до такой степени, что Вселенная теперь превратилась бы в сглаженное, невыразительное пятно. Но это совсем не то, что мы видим. Вместо этого мы видим вселенную, заполненную грандиозными космическими структурами — галактиками, скоплениями галактик, скоплениями скоплений, называемыми сверхскоплениями, и скоплениями сверхскоплений, называемыми галактическими нитями — некоторые из последних простираются на миллиард или более световых лет в поперечнике.
Модифицированная циклическая вселенная (Источник: Roen Kelly/Discover)
По этой причине Виленкин исключает картину циклической вселенной, если только не сделать дополнительное предположение, что после каждого цикла расширения и сжатия Вселенная становится несколько больше, чем когда она началось. Условие оставило бы нас с другой расширяющейся вселенной, а это означает, что первоначальная теорема Борде-Гута-Виленкина по-прежнему применима: вечно расширяющаяся вселенная должна иметь единственное начало.
Лазейка №2
Еще одна возможная лазейка — это сценарий «космического яйца», модель вселенной, предложенная, в частности, южноафриканским космологом Джорджем Эллисом. Согласно этой точке зрения, Вселенная может вечно находиться в стабильной конфигурации с фиксированными размером и радиусом, пока она внезапно не начнет расширяться — подобно вылупившемуся яйцу после исключительно долгой фазы инкубации.
Теория космического яйца. (Источник: Roen Kelly/Discover)
Проблема с этим предположением, согласно Виленкину и Митани, заключается в том, что маленькая «стабильная» вселенная не так уж и стабильна. Когда-нибудь во время фазы долгого ожидания он рухнет в небытие, прежде чем достигнет экспансионистского периода — то есть, если верить законам квантовой механики.
Квантовая механика, преобладающая область физики для описания того, как вещи работают в атомных масштабах, тщательно проверена и чрезвычайно странна. Квантовая механика утверждает, что если есть хоть малейший шанс, что что-то произойдет, как бы абсурдно это ни звучало, это обязательно произойдет, если вы подождете достаточно долго.
Как оказалось, формулы квантовой механики предсказывают небольшой (но ненулевой) шанс того, что космическая яйцевидная Вселенная схлопнется до нулевого размера, после чего бывшая Вселенная полностью исчезнет.