Страница 28 — ГДЗ Математика 4 класс. Моро, Бантова. Учебник часть 1
- Главная
- ГДЗ
- 4 класс
- Математика
- Моро, Бантова. Учебник
- Числа, которые больше 1000. Нумерация
-
Страница 28.
Вернуться к содержанию учебника
Числа, которые больше 1000. Нумерация
Вопрос
125. 1) Числа 57, 90, 200 увеличь в 10 раз; в 100 раз.
2) Числа 4000, 60000, 152000 уменьши в 1000 раз.
Ответ
Вопрос
126.
| 67000 : 1000 | 39000 • 10 | 102000 : 10 |
| 9600 : 100 | 9600 • 100 | 102000 : 100 |
Ответ
Вопрос
127. Сравни числа.
| 99999 и 100000 | 415760 и 415670 |
Ответ
Вопрос
128.
В альбоме 100 листов. Сколько таких альбомов получится из 15000 листов? Сколько листов в 1000 таких альбомов?
Ответ
Вопрос
129. Сравни пары уравнений. Сравни их решения.
| — 260 = 340 | 96 : = 4 | 16 + = 80 |
| + 260 = 340 | 96 — = 4 | 16 • = 80 |
Вопрос
130. Длина участка прямоугольной формы 70 м, а ширина — 30 м. Сколько шагов надо сделать, чтобы пройти по его периметру? (Два шага составляют 1 м)
Ответ
Вопрос
131. Начерти: 1) отрезок АВ, длина которого равна половине длины отрезка в 1 дм;
2) отрезок СВ, длина половины которого равна 2 см.
Ответ
Вопрос
132. Проверь, верны ли равенства.
| 800 — 296 = 168 • 3 | 888 : 3 = 703 — 407 |
Ответ
Вопрос
133. Записали подряд все трёхзначные числа. Сколько всего цифр записано в этом ряду?
Ответ
Вопрос
| 34800 : 10 | 4900 : 100 | 540 • 10 |
Ответ
Вопрос
Ответ
Вернуться к содержанию учебника
Страница 9 — ГДЗ Математика 4 класс.
Моро, Бантова. Учебник часть 1- Главная
- ГДЗ
- 4 класс
- Моро, Бантова. Учебник
- Числа от 1 до 1000
- Страница 9. Часть 1
Вернуться к содержанию учебника
Числа от 1 до 1000
Вопрос
29.
Вычисли с устным объяснением.
Вопрос
30. В хор записалось 36 человек, а в кружок по рисованию — на 5 человек меньше. Сколько человек записалось в кружок по рисованию?
Ответ
Вопрос
31. Начерти и вырежи 4 таких треугольника, сложи из них квадрат, начерти его в тетради. Вычисли периметр полученного квадрата в миллиметрах.
Ответ
Вопрос
32. В купейном вагоне 36 мест, а в плацкартном — на 18 мест больше. Сколько мест в плацкартном и купейном вагонах вместе?
Ответ
Вопрос
33.
Найди значения выражений + 347 и — 39, если = 40, = 53, = 282, = 558.
Ответ
Вопрос
34. Сравни выражения:
| 200 — 30 • 4 и (200 — 30) • 4 | 480 : 2 • 3 и 480 : (2 • 3) |
| 72 : (4 • 2) и 72 : 4 • 2 | 350 : 5 • 2 и 350 : (5 • 2) |
Ответ
Вопрос
35. 1) Найди сумму: 236 + 189 + 308
2)
| (200 — 30) • 5 | 50 • 4 + 90 • 3 | 27 : (9 • 3) |
| 300 + 90 : 3 | 70 • 3 + 80 : 10 | 68 : 2 : 2 |
Ответ
Вопрос
36.
1) Как убрать 1 палочку, чтобы осталось 3 квадрата?
2) По тому же рисунку скажи, как добавить 2 палочки, чтобы получилось 5 одинаковых квадратов.
Ответ
Вопрос
Вычисли.
| 503 — 229 | 705 — 386 |
Ответ
Вопрос
Ребусы
Ответ
Вернуться к содержанию учебника
Урок математики из 4 частей | Распаковка эффективного урока математики
Распаковка эффективного урока математики
Когда дело доходит до преподавания математики, мы часто слышим об эффективных стратегиях, которые могут быть полезны во время урока, но мало говорят о том, что на самом деле представляет собой полный и эффективный урок из начать заканчивать.
В следующем видео (или в кратком изложении ниже) я разбиваю урок из 3 частей на 4 части:
(Не можете посмотреть видео? Нажмите здесь)
Урок математики из 3-х частей
В Онтарио урок математики из 3-х частей Джона Ван Де Валле был передан от Министерства образования к округам, от округов к школьным администраторам и от администраторов к учителям. Несмотря на усилия по предоставлению ресурсов для учителей, часто руководства предоставляют только схему структуры урока или относительно простой пример того, как он может выглядеть в классе. Если предоставляется пример урока, я заметил, что темы ориентированы на начальные или младшие классы, и фактическая проблема, которую необходимо решить, не вызывает любопытства.
Некоторые примеры уроков математики из 3 частей можно найти здесь, здесь и здесь.
Как и в телефонной игре, сообщение может искажаться по мере продвижения по линии.
Общие интерпретации
К тому времени, когда сообщение «Урок математики из 3-х частей» доходит до учителя, его интерпретация может легко выглядеть следующим образом:
- Урок из 3-х частей — это эффективный способ преподавания математики.
- Эти три части называются умы на, действие и консолидация или до, во время и после (или подобные).
- Minds on — это разминка перед уроком.
- Действие — это когда учащиеся изучают новую концепцию.
- Консолидация — это то, где мы берем наши новые знания и обобщаем их/практику.
Однако есть некоторые проблемы.
Многие учителя уходят, не понимая, как это должно выглядеть в классе. Некоторые считают, что они «по сути» проводят урок математики, состоящий из трех частей, потому что они уже решают разминку, проводят урок, а ученики закрепляют свое обучение (т.
е. решают практические задачи).
Другие учителя усердно работают над повышением вовлеченности учащихся в уроки математики, используя математические задачи из 3 актов в стиле Дэна Мейера, но используют их только ближе к концу раздела. Я думаю, что ожидание, пока все учебные цели для модуля не будут достигнуты с помощью традиционных, бесконтекстных задач, — это упущенная возможность вовлечь учащихся в процесс обучения.
Из-за этих и других неправильных представлений, которые могут быть связаны с использованием урока математики из 3 частей, и из-за упущенных возможностей при интеграции математических задач из 3 действий, я разберу эффективную структуру урока из 4 частей на более мелкие части и смоделирую, как это может выглядеть в средней/средней математической школе.
Урок математики из 4-х частей
Что, как мне кажется, чаще всего отсутствует в большинстве уроков математики из 3-х частей, так это часть исследования/открытия, которая должна быть встроена в фазу действия/во время фазы.
Вот почему я думаю, что очень важно разбить часть действия/во время на более мелкие части:
- Мысли об этом
- Запрос
- Выполнение соединений
- Консолидация
Давайте перейдем к каждой части.
Часть 1: Мысли о
Как и на уроке математики, состоящем из 3 частей, мы начинаем с мыслей. Это может занять 5 минут в некоторые дни или до 25 минут в другие дни. В то время как большинству ясно, что умы на этапе и перед ним — это разминка, самое большое заблуждение, с которым я сталкиваюсь, заключается в том, что это любая случайная проблема, чтобы начать класс. Урок математики Джона Ван Де Валле, состоящий из трех частей, показал, что разум способствует активизации предыдущих знаний, чтобы:
… подготовьте учащихся к когнитивной задаче на уроке, заставив их подумать об идеях и стратегиях, которые они изучили и использовали ранее. Учитель организует повторное рассмотрение концепции, процедуры или стратегии, связанных с целью урока.
Набросок урока из трех частей . Колледж учителей Онтарио. Март 2010.
Расширяя то, что предлагает Джон Ван Де Валле, мы должны также попытаться создать умы, которые расширяют контекст , использованный во время предыдущего урока, чтобы помочь нам медленно продвигаться к новой учебной цели на этот день. Если мы также сможем сохранить контекст предыдущего урока, это будет огромным преимуществом, которое поможет учащимся построить свои новые знания на основе предыдущих знаний.
На недавнем семинаре я использовал математическую задачу Stacking Paper 3 Act и алгебраическое решение задач с пропорциями в качестве примера цели обучения: содержание и контекст одинаковы:
Часть 2: Исследование
После того, как учащиеся поделились, обсудили и обсудили решения, учитель затем представляет задачу на этот день. В идеале, это задание будет поддерживать тот же контекстуальный сценарий, чтобы позволить учащимся легко использовать свои предыдущие знания, расширяя предыдущую цель обучения до новой цели обучения для этого урока.
Прилагая все усилия к тому, чтобы задачи соответствовали реальному миру с помощью математической задачи из трех актов или аналогичной задачи, вы максимизируете эффективность этой части урока.
Задача, используемая для исследования/обнаружения, является самой важной частью 4-частного урока математики . Общая эффективность урока тесно связана с тем, насколько хорошо спланирована эта часть. Хорошо разработанное задание на исследование/открытие тщательно направляет учащихся по пути, по которому они в конечном итоге «натолкнутся» на цель обучения. Когда это возможно, используйте одну и ту же контекстуальную ситуацию от одной цели обучения к другой, чтобы позволить учащимся легче формировать свои новые знания посредством связей, сделанных с их предыдущими знаниями.
В видеоролике «Урок математики из 4 частей» я расширяю математическую задачу «Складывание бумаги», акт 3, до продолжения «Складывание бумаги». В первом учащиеся просматривали видео с 5 стопками бумаги, сложенными на полу, и использовали информацию, чтобы определить, сколько пачек потребуется, чтобы достичь потолка.
На следующий день, во время исследовательской части урока, учащиеся видят те же 5 стопок бумаги, теперь сложенные на столе с указанной общей высотой.
Теперь вопрос звучит так:
Какой высоты стол?
Хотя учащимся никогда раньше не приходилось решать что-то подобное, они могут использовать свои предварительные знания и немного решить задачи, чтобы прийти к выводу.
Вот несколько примеров:
Решение Пример № 1:
Решение Пример № 2:
Решение Пример № 3:
Часть 3: Соединения
После того и обсудив решения, учитель затем предлагает учащимся пообщаться со своим партнером по локтю, чтобы решить, какой метод, по их мнению, наиболее эффективен. При обсуждении в классе учитель должен подсказывать учащимся, задавая такие вопросы, как:
- при изменении контекста всегда ли будет использовать арифметику/логику так же просто, как здесь? Что, если мы удалим весь контекст?
- сколько времени занимает создание таблицы? … график?
- есть ли способ создать несколько шагов, которые облегчат нам решение подобных проблем?
В группе с ведущим учителем в качестве фасилитатора можно установить связь между решениями учащихся и алгебраическим методом или процедурой, относящейся к намеченной цели обучения.
После того, как желаемая цель обучения была установлена в группе, мы официально вводим предполагаемую цель обучения для этого урока:
Цель обучения:
Я могу определить уравнение линейной зависимости с помощью алгебры, зная наклон/скорость изменения и точку.
Теперь мы решаем задачу-продолжение Stacking Paper с помощью алгебраического метода:
Часть 4: Объединение
На этапе объединения мы начинаем удалять контекст из проблемы и двигаться к типичным типам задач, которые вы видите в традиционных учебниках. и на стандартизированных тестах. Может показаться, что вы отступаете от больших проблем реального мира, которые вызывают любопытство и сбивают с толку учащихся, но, к сожалению, те типы задач, которые в настоящее время должны решать учащиеся в традиционных учебниках и на стандартизированных тестах, содержат большое количество текста и лишены какого-либо значимого контекста. или цель.
Теперь, когда учащиеся понимают цель обучения, и мы установили связь между реальной проблемой реального мира и алгебраическим представлением, учащиеся могут использовать эти знания для решения задач практически без контекста.
Вот пример задачи, которую мы могли бы теперь использовать для закрепления обучения:
Я думаю, следует отметить, что вышеприведенная задача была ПЕРВОЙ задачей, которую я представлял на этапе «Действие» из 3 частей. урок математики. Это было настолько просто, насколько я мог это сделать; тем не менее, студенты все еще боролись с этой концепцией. Теперь, когда им была поставлена контекстуальная проблема, и они получили возможность «натолкнуться» на цель обучения через часть урока, посвященную исследованию/обнаружению, эта тема не вызывает беспокойства.
После завершения этих 4 частей вашего урока математики учащиеся теперь должны иметь понимание и уверенность, необходимые для выполнения необходимой практики для достижения намеченной цели обучения.
Следующий день…
Ранее я упоминал, что построение одного и того же контекста от каждой учебной цели к следующей может принести огромную пользу. Чтобы продолжить деконструкцию этого конкретного урока, заданием, которое я бы использовал для исследовательской части следующего урока, было математическое задание «Толстые стопки 3 акта».
В этом задании учащимся предоставляется изображение двух стопок бумаги на более коротком столе и указывается общая высота каждой стопки на столе. Затем учащиеся должны определить:
Какова высота этого стола?
В процессе опроса учащиеся могут определить высоту стола, и мы проследим, установив связи, когда поймем, что нам дали две замаскированные точки. Цель обучения на следующий день:
Цель обучения:
Я могу определить уравнение линейного отношения, используя алгебру, если даны две точки на прямой.
По моему опыту, это может быть одной из самых сложных целей обучения в 9 классе.академические студенты, пока не будут установлены связи. Это задание позволяет учащимся установить эти связи быстро и, казалось бы, естественным образом.
Вот несколько возможных решений этой задачи, а также консолидация (т. е. задача без контекста), которую я бы использовал для этого урока: Урок математики, состоящий из 4 частей, кажется, обеспечивает хороший баланс и предлагает возможности для доступа к предыдущим знаниям, обучения через исследование / открытие, создания новых знаний путем установления связей с тем, что мы уже знаем, и возможностей для решения традиционных математических задач.
Одним из других дополнительных преимуществ является возможность регулярно решать задачи в стиле Dan Meyer 3 Act Math, не дожидаясь окончания раздела, чтобы привлечь учащихся. Занятия не должны проводиться один раз в группе или даже раз в неделю; нам нужно ежедневно вовлекать наших студентов, предлагая контекстуальные задачи, которые пробуждают любопытство и волнуют учащихся.
Исчисление III — Линейные интегралы
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.
Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 16.2: Линейные интегралы — Часть I
В этом разделе мы собираемся представить новый вид интеграла. Однако, прежде чем мы это сделаем, важно отметить, что вам нужно будет помнить, как параметризовать уравнения, или, другими словами, вам нужно будет уметь записывать набор параметрических уравнений для данной кривой. Вы должны были видеть некоторые из них в своем курсе исчисления II. Если вам нужен обзор, вы должны вернуться и просмотреть некоторые основы параметрических уравнений и кривых.
Вот некоторые из наиболее простых кривых, которые нам нужно знать, как сделать, а также ограничения на параметры, если они потребуются.
В последнем мы дали как векторную форму уравнения, так и параметрическую форму, и если нам нужна двумерная версия, мы просто опускаем компоненты \(z\).
На самом деле, в этом разделе мы будем использовать двумерную версию.
Для эллипса и окружности мы дали две параметризации, одна из которых описывает кривую по часовой стрелке, а другая против часовой стрелки. Как мы в конечном итоге увидим, направление, в котором прослеживается кривая, может иногда изменить ответ. Кроме того, оба они «начинаются» на положительной оси \(x\) в точке \(t = 0\).
Теперь перейдем к линейным интегралам. В исчислении I мы интегрировали \(f\left(x\right)\), функцию одной переменной, по интервалу \(\left[{a,b} \right]\). В этом случае мы думали, что \(x\) принимает все значения в этом интервале, начиная с \(a\) и заканчивая \(b\). С линейными интегралами мы начнем с интегрирования функции \(f\left({x,y} \right)\), функции двух переменных и значений \(x\) и \(y\), которые мы будем использовать точки \(\left( {x,y} \right)\), которые лежат на кривой \(C\). Обратите внимание, что это отличается от двойных интегралов, с которыми мы работали в предыдущей главе, где точки выходят из некоторой двумерной области.
Начнем с кривой \(C\), от которой исходят точки. Будем считать, что кривая гладкая (определена кратко) и задана параметрическими уравнениями
\[x = h\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,a \le t \le b\ ]
Нам часто нужно записать параметризацию кривой в виде векторной функции. В этом случае кривая задается как
\[\vec r\left( t \right) = h\left( t \right)\,\vec i + g\left( t \right)\vec j\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} а \ле т \ле б\]
Кривая называется гладкой , если \(\vec r’\left( t \right)\) непрерывна и \(\vec r’\left( t \right) \ne 0\) для всех \( т\).
линейный интеграл от \(f\left( {x,y} \right)\) вдоль \(C\) обозначается как
\[\int\limits_{C}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}}\]
Мы используем \(ds\) здесь, чтобы подтвердить тот факт, что мы движемся вдоль кривой \(C\), а не по оси \(x\) (обозначается \(dx\)) или \(y\)-ось (обозначается \(dy\)).
Из-за \(ds\) это иногда называют 92} = 16\), прочерченных против часовой стрелки.
Показать решение
Сначала нам нужна параметризация окружности. Это дано,
\[x = 4\cos t\hspace{0,25 дюйма}y = 4\sin t\]
Теперь нам нужен диапазон \(t\), который даст правую половину круга. Следующий диапазон \(t\) сделает это.
\[ — \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}\] 9{\ frac {\ pi} {2}} \\ & = \ frac {{8192}} {5} \ end {align *} \]
Далее нужно поговорить об интегралах по кусочно-гладким кривым . Кусочно-гладкая кривая — это любая кривая, которую можно записать в виде объединения конечного числа гладких кривых, \({C_1}\),…,\({C_n}\), где конечная точка \({C_i}\ ) является отправной точкой \({C_{i + 1}}\). Ниже приведена иллюстрация кусочно-гладкой кривой.
Вычисление линейных интегралов по кусочно-гладким кривым относительно просто. Все, что мы делаем, это оцениваем линейный интеграл по каждой из частей, а затем складываем их. Линейный интеграл для некоторой функции по приведенной выше кусочной кривой будет равен 93}\,ds}}\\ & = — 16 + 2,268 + 8\\ & = — 5,732\end{align*}\]
Обратите внимание, что в приведенном выше примере мы поместили стрелки направления на кривую. Направление движения по кривой может изменить значение линейного интеграла, как мы увидим в следующем разделе. Также обратите внимание, что кривую можно рассматривать как кривую, которая ведет нас от точки \(\left( {- 2, — 1} \right)\) к точке \(\left( {1,2} \right) \). Давайте сначала посмотрим, что произойдет с линейным интегралом, если мы изменим путь между этими двумя точками. 93}\,ds}}\) где \(C\) — отрезок от \(\left( { — 2, — 1} \right)\) до \(\left( {1,2} \right )\).
Показать решение
Из формул параметризации в начале этого раздела мы знаем, что отрезок, начинающийся в \(\left( { — 2, — 1} \right)\) и заканчивающийся в \(\left( {1,2} \справа)\) определяется как,
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \left( {1 — t} \right)\left\langle { — 2, — 1} \right\rangle + t\left \langle {1,2} \right\rangle \\ & = \left\langle { — 2 + 3t, - 1 + 3t} \right\rangle \end{align*}\]
91\\ & = 12\sqrt 2 \left( { — \frac{5}{4}} \right)\\ & = — 15\sqrt 2 = — 21.
213\end{align*}\]
При выполнении этих интегралов не забывайте о простых заменах Calc I, чтобы избежать таких действий, как вычисление члена в кубе. Выделить его не так сложно, но это больше работы, чем простая замена.
Таким образом, предыдущие два примера предполагают, что если мы изменим путь между двумя точками, то значение линейного интеграла (относительно длины дуги) изменится. Хотя это будет происходить довольно регулярно, мы не можем предполагать, что это будет происходить всегда. В следующем разделе мы рассмотрим эту идею более подробно. 93}\,ds}}\) где \(C\) — отрезок от \(\left( {1,2} \right)\) до \(\left( { — 2, — 1} \right )\).
Показать решение
С точки зрения работы этот не сильно отличается от предыдущего примера. Вот параметризация кривой.
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \left( {1 — t} \right)\left\langle {1,2} \right\rangle + t\left\langle { — 2, — 1} \right\rangle \\ & = \left\langle {1 — 3t,2 — 3t} \right\rangle \end{align*}\]
91\\ & = 12\sqrt 2 \left( { — \frac{5}{4}} \right)\\ & = — 15\sqrt 2 = — 21.
213\end{align*}\]
Получается, что при изменении направления кривой линейный интеграл (относительно длины дуги) не изменится. Это всегда будет верно для таких линейных интегралов. Однако есть и другие виды линейных интегралов, в которых это не так. Мы увидим больше примеров этого в следующих нескольких разделах, так что не вбивайте себе в голову, что изменение направления никогда не изменит значение линейного интеграла.
Прежде чем работать с другим примером, давайте несколько формализуем эту идею. Предположим, что кривая \(C\) имеет параметризацию \(x = h\left( t \right)\), \(y = g\left( t \right)\). Предположим также, что начальная точка кривой — \(A\), а конечная точка кривой — \(B\). Параметризация \(x = h\left( t \right)\), \(y = g\left( t \right)\) затем определит ориентацию для кривой, где положительное направление — это направление, которое прослеживается по мере увеличения \(t\). Наконец-то,
пусть \(-C\) будет кривой с теми же точками, что и \(C\), однако в этом случае кривая имеет \(B\) в качестве начальной точки и \(A\) в качестве конечной точки, снова \ (t\) увеличивается по мере того, как мы пересекаем эту кривую.
Другими словами, если задана кривая \(C\), кривая \(-C\) является той же кривой, что и \(C\), за исключением того, что направление было изменено на противоположное.
Тогда мы имеем следующий факт о линейных интегралах по длине дуги.
Факт
\[\int\limits_{C}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}} = \int\limits_{{ — C}}{{f\left( {x,y} \справа)\,дс}}\]
Итак, для линейного интеграла по длине дуги мы можем изменить направление кривой, но не изменить значение интеграла. Это полезно помнить, так как некоторые линейные интегралы будут проще в одном направлении, чем в другом.
92},\,\,\, — 1 \le x \le 1\)Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
Прежде чем работать с любым из этих линейных интегралов, заметим, что все эти кривые являются путями, соединяющими точки \(\left( { — 1,1} \right)\) и \(\left( {1,1} \ верно)\).
Также обратите внимание, что \({C_3} = — {C_2}\) и, следовательно, по факту выше эти два должны давать один и тот же ответ. 91 = 0\]
b \({C_2}\): сегмент линии от \(\left( { — 1,1} \right)\) до \(\left( {1,1} \right)\). Показать решение
Здесь для этой кривой можно использовать две параметризации. Первый — использовать формулу, которую мы использовали в предыдущих примерах. Эта параметризация
\[\begin{align*}{C_2}:\vec r\left( t \right) & = \left( {1 — t} \right)\left\langle { — 1,1} \right\rangle + t\left\langle {1,1} \right\rangle \\ & \hspace{0.25in}\,\,{\kern 1pt} = \left\langle {2t — 1,1} \right\rangle \end {выровнять*}\]
для \(0 \le t \le 1\).
Иногда у нас нет другого выбора, кроме как использовать эту параметризацию. Однако в этом случае есть вторая (вероятно) более легкая параметризация. Второй использует тот факт, что мы на самом деле просто рисуем часть линии \(y = 1\).
Используя это параметрирование,
\[{C_2}:x = t,\,\,y = 1,\,\,\, — 1 \le t \le 1\]
Это будет гораздо более простая параметризация, поэтому мы будем использовать ее. Вот линейный интеграл для этой кривой. 91 = 0\]
Обратите внимание, что на этот раз, в отличие от линейного интеграла, с которым мы работали в примерах 2, 3 и 4, мы получили одно и то же значение интеграла, несмотря на то, что пути разные. Это будет происходить при случае. Мы также не должны ожидать, что этот интеграл будет одинаковым для всех путей между этими двумя точками. На данный момент все, что мы знаем, это то, что для этих двух путей линейный интеграл будет иметь одинаковое значение. Вполне возможно, что между этими двумя точками есть другой путь, который даст другое значение линейного интеграла.
c \({C_3}\): сегмент линии от \(\left( {1,1} \right)\) до \(\left( { — 1,1} \right)\).
Показать решение
Теперь, согласно нашему факту выше, нам действительно не нужно ничего здесь делать, так как мы знаем, что \({C_3} = — {C_2}\). Факт говорит нам о том, что этот линейный интеграл должен быть таким же, как и вторая часть (, т.е. нулей). Тем не менее, давайте проверим это, плюс здесь нужно сделать замечание о параметризации.
Вот параметризация этой кривой.
\[\begin{align*}{C_3}:\vec r\left( t \right) & = \left( {1 — t} \right)\left\langle {1,1} \right\rangle + t \left\langle { — 1,1} \right\rangle \\ & \hspace {0.25in}\,\,{\kern 1pt} = \left\langle {1 — 2t,1} \right\rangle \end {выровнять*}\]
для \(0 \le t \le 1\).
Обратите внимание, что на этот раз мы не можем использовать вторую параметризацию, которую мы использовали в части (b), поскольку нам нужно двигаться справа налево по мере увеличения параметра, а вторая параметризация, использованная в предыдущей части, будет двигаться в противоположном направлении.
. 91 = 0\]
Конечно, мы получили тот же ответ, что и во второй части.
До сих пор в этом разделе мы рассматривали только линейные интегралы по двумерной кривой. Однако нет причин так себя ограничивать. Мы также можем выполнять линейные интегралы по трехмерным кривым.
Предположим, что трехмерная кривая \(C\) задана параметризацией,
\[x = x\left( t \right),\,\hspace{0.25in}y = y\left(t\right)\hspace{0.25in}z = z\left(t\right)\hspace{ 0,25 дюйма}a \le t \le b\] 92}} \,дт}}\]
Обратите внимание, что часто при работе с трехмерным пространством параметризация задается векторной функцией.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right\rangle \ ]
Обратите внимание, что мы немного изменили обозначение для параметризации. Поскольку мы редко используем имена функций, мы просто сохранили \(x\), \(y\) и \(z\) и добавили к части \(\left( t \right)\), чтобы обозначить, что они могут быть функциями параметра.