Математические программы для средней школы
РАСПИСАНИЕ ОЦЕНКИ
Учебник по классической алгебре и геометрии
Наши учащиеся средних классов свободно овладевают алгеброй и геометрией, становятся уверенными в себе и готовы преуспеть.
Как это работает
Мы проводим наших студентов через глубокое изучение алгебраических понятий, помогая им решать сложные математические задачи. Геометрия преподается с упором на формальные доказательства, что является ключом к дальнейшему развитию логики и навыков рассуждения.
Абстрактное мышление
Мы вводим элементы алгебры более высокого уровня и геометрии, основанной на доказательствах, оттачивая ум наших студентов и способность рассуждать на основе сложных идей.
Умственная гибкость
Учащиеся совершенствуют свои знания, регулярно решая нестандартные интересные задачи, заставляя их применять существующую математическую основу для получения новых концепций.
Вызов
Учащиеся выходят из своей зоны комфорта, чтобы решить сложные задачи, которые углубят их понимание и подготовят к тестам и математическим соревнованиям, которые могут их ожидать.
Классная среда
Учащиеся погружены в научный дискурс и дебаты, должны представить логические аргументы в поддержку своих идей и регулярно участвуют в здоровом соревновании друг с другом.
I — Ускоренный уровень
Эта учебная программа, часто лучше всего подходящая для новых учащихся, разработана для того, чтобы помочь учащимся достичь того уровня, на котором они находятся, и вывести их на уровень международных стандартов.
II — Продвинутый уровень
Большинство учащихся переходят на этот уровень, где мы предлагаем сложную учебную программу по математике, которая обеспечивает глубокое понимание, навыки рассуждения и уверенность, необходимые для успеха от начальной до средней школы с отличием и далее.
III — Уровень с отличием
Этот строгий учебный план очень подробно рассматривает темы, охватываемые на продвинутом уровне, и регулярно использует задачи соревновательного уровня, которые побуждают учащихся расширять границы своих способностей.
Многие учащиеся с отличием также предпочитают участвовать в математических олимпиадах.
Конкурсные программы
Успех в математических олимпиадах прежде всего зависит от глубокой и широкой основы, которая лучше всего реализуется на наших основных занятиях. Для тех, кто заинтересован в более целенаправленном изучении конкурсных материалов, мы предлагаем программу выборочных соревнований, которая готовит как новичков, так и опытных участников к полному спектру национальных и международных математических соревнований.
Узнать больше
Узнать больше
2–3,5 часа в неделю
Учащиеся могут выбрать алгебру, геометрию или и то, и другое, при этом продолжительность занятий варьируется от 2 до 3,5 часов.
Класс
Атмосфера в классе является ключом к нашей методологии. Классы состоят в среднем из 12 учеников, а опытный учитель ведет интерактивный урок.
Домашнее задание
Домашнее задание задается каждую неделю, чтобы закрепить то, чему учили в классе.
Уникальная учебная программа
Наша учебная программа, совершенствовавшаяся в течение двух десятилетий нашей командой талантливых ученых, вдохновлена элитными математическими школами бывшего Советского Союза и адаптирована для образовательной среды США.
1st
Лучшая школа мира по версии Центра талантливой молодежи Джонса Хопкинса!
4-й
Каждый 4-й студент RSM, участвовавший в программе, попал в 5% лучших на AMC8!
21к
21 000 победителей Math Kangaroo по всей стране!
50k+
Выпускники RSM поступают в лучшие университеты мира
Читать далее
Просмотреть все результаты
Дорогая мисс Р.! С вами я обрел уверенность в математике, которой раньше не было. Вы помогли мне получить отличные оценки в школе и развить сильную трудовую этику.Вы были таким замечательным учителем.
Вы были таким замечательным учителем.RSM Студент
7 класс
Почему вас называют «русской» математической школой?
«Русский» происходит от нашего подхода, который основан на элитных математических школах бывшего Советского Союза, адаптированных к условиям США. По русской традиции изучение математики является важнейшим средством умственного развития. Мы преподаем математику таким образом, чтобы не только развивать математические способности, но и развивать интеллект и характер.
Откуда взялась ваша учебная программа?
Мы предлагаем одну непрерывную учебную программу, начиная с K-12. Наша учебная программа и методология, совершенствовавшиеся в течение 20 лет нашей командой одаренных ученых, вдохновлены элитными математическими школами бывшего Советского Союза и адаптированы к американской образовательной среде.
Насколько велики ваши классы? Каково соотношение учителей и учеников?
В нашем классе в среднем 12 человек, и с тремя уровнями в классе мы можем гарантировать, что каждый ребенок будет помещен в класс, который будет достаточно сложным. Классы являются неотъемлемой частью нашей методологии и учебной программы, поскольку окружающая среда позволяет учащимся озвучивать и обсуждать свои идеи и знакомит их с различными способами мышления.
Как долго длятся ваши занятия?
В средней школе продолжительность занятий зависит от того, изучает ли учащийся алгебру, геометрию или и то, и другое. Курсы алгебры проходят раз в неделю по 2,5 часа, геометрии по 1,5 часа.
Зачем моему ребенку геометрия?
Математическое образование не обходится без геометрии. Это новый язык, на освоение которого уходят годы, как с точки зрения продвинутого логического, так и пространственного мышления. Большинство государственных школ предлагают геометрию не более одного года, а некоторые даже меньше, но невозможно полностью выучить геометрию менее чем за три года.
Если ваш ребенок увлекается олимпиадами, подготовка по геометрии также необходима, так как регулярно встречаются задачи по геометрии.
Сколько домашних заданий я должен ожидать?
Целью домашнего задания является закрепление того, что было изучено в классе. Наши учителя задают ровно столько, чтобы закрепить навыки, полученные в классе. Домашнее задание — отличный инструмент для оценки знаний вашего ребенка. Это должно занять примерно половину продолжительности урока вашего ребенка. Если домашнее задание занимает неоправданно много времени или слишком мало, это может быть красным флажком, указывающим на то, что ваш ребенок не находится на соответствующем уровне.
Кто ваши учителя?
Все наши учителя имеют опыт работы в области математики или смежных областях и страстно увлечены этим предметом. Они также проходят обширную подготовку, чтобы преподавать в соответствии с нашей специальной методологией и учебным планом.
В каком возрасте лучше всего присоединиться?
Требуется много лет, чтобы разработать глубокую математическую основу, а также тип мышления, на формировании которого мы сосредоточены. С математикой, как с языком или спортом, чем раньше ребенок начнет, тем лучше. Наши учащиеся начинают рассуждать абстрактными понятиями в начальной школе, а к средней школе они не только знакомы с основными элементами алгебры, но и могут легко применять их при решении задач.
Какова ваша плата за обучение?
Для получения подробной информации об обучении посетите раздел «обучение» в выбранном вами отделении RSM.
Подходит ли ваша программа для моего ребенка?
Мы разработали несколько уровней для каждого класса специально для того, чтобы помочь развитию каждого ребенка на основе его знаний и способностей. Мы рекомендуем запланировать бесплатную оценку, так как эти занятия позволяют нам понять потребности каждого ребенка и порекомендовать класс, который лучше всего подходит для него или нее.
Не будет ли ваша программа путать моего ребенка в школе?
Концепции, которые мы рассматриваем, являются фундаментальными, и мы изучаем их глубоко.
Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста
Автор(ы):
Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси)
Примечание редактора
Следующий исследовательский отчет был подготовлен для класса 255 профессора Юдит Кардос по математике, который проводился в Колледже Нью-Джерси. Это был 3-кредитный вводный курс по истории математики. Этот отчет был засчитан в 30% итоговой оценки. Это пример того, какие исторические исследования студенты могут проводить с использованием вторичных источников.
Решение Леонарда Эйлера проблемы Кенигсбергского моста
Königsberg
Наша история начинается в 18 веке, в причудливом городке Кенигсберг, Пруссия, на берегу реки Прегель. В 1254 году тевтонские рыцари основали город Кенигсберг под предводительством чешского короля Оттокера II после своего второго крестового похода против пруссаков. В средние века Кенигсберг стал очень важным городом и торговым центром благодаря своему расположению на берегу реки. Произведения искусства восемнадцатого века изображают Кенигсберг как процветающий город, где флотилии кораблей заполняют Прегель, а их торговля обеспечивает комфортный образ жизни как для местных купцов, так и для их семей. Здоровая экономика позволила горожанам построить семь мостов через реку, большинство из которых соединялись с островом Кнайпхоф; их расположение можно увидеть на прилагаемой картинке [источник: MacTutor History of Mathematics Archive].
Поскольку река текла вокруг Кнайпхофа, что буквально означает паб, и другого острова, она разделяла город на четыре отдельных района. Семь мостов назывались Мост Кузнеца, Соединительный мост, Зеленый мост, Купеческий мост, Деревянный мост, Высокий мост и Медовый мост. Согласно преданиям, жители Кенигсберга проводили воскресные дни, гуляя по своему прекрасному городу. Во время прогулки жители города решили создать для себя игру, их цель состояла в том, чтобы придумать способ, которым они могли бы ходить по городу, пересекая каждый из семи мостов только один раз. Хотя никто из жителей Кенигсберга не мог придумать маршрут, который позволил бы им пересечь каждый из мостов только один раз, но они не могли доказать, что это невозможно. К счастью для них, Кенигсберг находился недалеко от Санкт-Петербурга, где жил знаменитый математик Леонард Эйлер.
Эйлер и проблема моста
Зачем Эйлеру интересоваться проблемой, столь не связанной с областью математики? Зачем такому выдающемуся математику тратить много времени на решение тривиальной задачи вроде проблемы Кенигсбергского моста? Эйлер, очевидно, был занятым человеком, опубликовавшим за свою жизнь более 500 книг и статей. Только в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью в неделю, а в течение своей жизни он писал на множество тем, помимо математики, включая механику, оптику, астрономию, навигацию и гидродинамику. Неудивительно, что Эйлер считал эту проблему тривиальной, заявив в письме 1736 года Карлу Леонхарду Готлибу Элеру, мэру Данцига, который попросил его решить проблему [цитируется по Hopkins, 2]:
. . . Таким образом, вы видите, благороднейший сэр, как этот тип решения имеет мало отношения к математике, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что его даст математик, а не кто-либо другой, ибо решение основано только на разуме, и его открытие не зависит ни от какого математического принципа. Из-за этого я не знаю, почему даже вопросы, имеющие столь малое отношение к математике, математики решают быстрее, чем другие.
Несмотря на то, что Эйлер нашел проблему тривиальной, он все равно был заинтригован ею. В письме, написанном в том же году Джованни Маринони, итальянскому математику и инженеру, Эйлер сказал [цитируется по Хопкинсу, 2],
Этот вопрос так банален, но показался мне достойным внимания тем, что [ни] геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета не было достаточно для его решения.
Эйлер полагал, что эта проблема связана с темой, которую Готфрид Вильгельм Лейбниц когда-то обсуждал и над которой очень хотел поработать, то, что Лейбниц называл geometria situs , или геометрия положения. Эта так называемая геометрия положения — это то, что теперь называется теорией графов, которую Эйлер вводит и использует при решении этой знаменитой проблемы.
Доказательство Эйлера
26 августа 1735 года Эйлер представляет статью, содержащую решение проблемы Кенигсбергского моста. Он обращается как к этой конкретной проблеме, так и к общему решению с любым количеством участков суши и любым количеством мостов. Эта статья под названием «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis» была позже опубликована в 1741 г. [Hopkins, 2]. Статья Эйлера разделена на двадцать один пронумерованный абзац, и далее будет представлена упрощенная версия абзацев Эйлера.
В первых двух абзацах доказательства Эйлера он вводит проблему Кенигсбергского моста. В параграфе 1 Эйлер заявляет, что, по его мнению, эта проблема касается геометрии, но не той геометрии, которая хорошо известна его современникам и включает в себя измерения и расчеты, а нового вида геометрии, которую Лейбниц называл геометрией положения. Затем в параграфе 2 Эйлер объясняет своей аудитории, как работает проблема Кенигсберга. Эйлер набросал проблему (см. 9).0177 Рисунок Эйлера 1 ), и назвал семь различных мостов: a, b, c, d, e, f и, g. В этом абзаце он формулирует общий вопрос задачи: «Можно ли узнать, можно ли пересечь каждый мост ровно один раз?»
Рисунок Эйлера 1 из «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: Архив Эйлера MAA] нахождения решения. В параграфе 3 Эйлер говорит читателю, что для решения этой конкретной проблемы он мог бы записать все возможные пути, но этот метод занял бы много времени и не работал бы для более крупных конфигураций с большим количеством мостов и участков суши. Из-за этих проблем Эйлер решил выбрать другой метод решения этой проблемы.
В параграфе 4 он начинает упростить задачу, изобретая удобную систему для представления пересечения моста. Эйлер решает, что вместо того, чтобы использовать строчные буквы для обозначения пересечения моста, он будет писать заглавными буквами, обозначающими массивы суши. Например, ссылаясь на свой Рисунок 1 , AB будет означать путешествие, которое началось с суши A и закончилось в B. Более того, если после путешествия с суши A на B кто-то решит переместиться на сушу D, это будет просто обозначено , АБД. В параграфе 5 Эйлер продолжает свое обсуждение этого процесса, объясняя, что в ABDC, хотя есть четыре заглавных буквы, было пересечено только три моста. Эйлер объясняет, что сколько бы ни было мостов, будет еще одна буква для обозначения необходимого перехода. Из-за этого вся проблема Кенигсбергского моста требовала пересечения семи мостов и, следовательно, восьми заглавных букв.
В параграфе 6 Эйлер продолжает объяснять детали своего метода. Он говорит читателю, что если есть более одного моста, который можно пересечь при переходе с одного участка суши на другой, не имеет значения, какой мост используется. Например, даже если есть два моста, a и b, которые могут привести путешественника из A в B, в системе обозначений Эйлера не имеет значения, какой мост будет взят. В этом абзаце Эйлер также обсуждает конкретную проблему, с которой он имеет дело. Он объясняет, используя свой исходный рисунок, что в задаче Кёнигсберга требуется ровно восемь букв, где пары (A, B) и (A, C) должны стоять рядом друг с другом ровно два раза, независимо от того, какая буква появляется первой. Кроме того, пары (A,D), (B,D) и (C,D) должны встречаться вместе ровно один раз, чтобы путь, пересекающий каждый мост один и только один раз, существовал.
Рисунки Эйлера 2 и 3 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: Архив Эйлера MAA]
последовательность букв, которая удовлетворяет задаче, или ему нужно доказать, что такой последовательности не существует. Прежде чем сделать это для проблемы Кенигсбергского моста, он решает найти правило, чтобы выяснить, существует ли путь для более общей задачи. Он делает это в параграфе 8, рассматривая гораздо более простой пример массивов суши и мостов. Эйлер рисует Рисунок 2 , и он начинает оценивать ситуации, в которых проходит область А. Эйлер утверждает, что если мост а пройден один раз, то путь А либо начинался, либо заканчивался, и поэтому использовался только один раз. Если все мосты a, b и c пройдены один раз, A используется ровно дважды, независимо от того, является ли он начальным или конечным местом. Точно так же, если пять мостов ведут к А, участок суши А будет встречаться на пути ровно три раза. Эйлер утверждает, что «в общем случае, если количество мостов равно любому нечетному числу и если его увеличить на единицу, то количество вхождений A составляет половину результата». Другими словами, если существует нечетное количество мостов, соединяющих A с другими массивами суши, добавьте один к количеству мостов и разделите его на два, чтобы узнать, сколько всего раз A должно быть использовано на пути, где каждый мост используется один и только один раз (т. е. Общее количество вхождений A, где A имеет нечетное количество мостов = (количество мостов + 1) / 2 ).
Используя этот факт, Эйлер решает задачу Кенигсбергского моста в параграфе 9. В этом случае, поскольку есть пять мостов, ведущих к А, это должно произойти три раза (см. его рис. 1 выше). Точно так же B, C и D должны появиться дважды, так как все они имеют три моста, ведущих к ним. Следовательно, 3 (для A) + 2 (для B) + 2 (для C) + 2 (для D) = 9, но Эйлер уже заявил, что для семи мостов должно быть только восемь вхождений. Это противоречие! Поэтому по мостам в городе Кёнигсберг нельзя проехать один и только один раз. Конец или нет? В то время как жители Кенигсберга могут быть довольны этим решением, великий математик Леонард Эйлер не был удовлетворен. Эйлер продолжает свое доказательство, чтобы иметь дело с более общими ситуациями.
Обобщение Эйлера
В параграфе 10 Эйлер продолжает свое обсуждение, отмечая, что если ситуация включает все массивы суши с нечетным числом мостов, то можно определить, можно ли совершить путешествие по каждому мосту только один раз. Эйлер утверждает, что если сумма количества раз, которое должна появиться каждая буква, на единицу больше, чем общее количество мостов, путешествие можно совершить. Однако, если количество вхождений более чем на один больше, чем количество мостов, путешествие невозможно, как в задаче о Кенигсбергском мосту. Это потому, что правило, которое Эйлер дает для нечетного числа мостов, используя свой рисунок 2, верно для общей ситуации, есть ли только один другой массив суши или более одного.
В абзацах 11 и 12 Эйлер рассматривает ситуацию, когда к региону прикреплено четное число мостов. Эта ситуация не возникает в кенигсбергской задаче и поэтому до сих пор игнорировалась. В ситуации с массивом суши X с четным числом мостов могут возникнуть два случая. Первый случай, когда X является отправной точкой путешествия. В этом случае X появится дважды, один раз как начальная точка и еще раз как конечная точка. В другом случае X не является отправной точкой. Если бы это произошло, X появился бы только один раз, так как путешествие должно было бы начинаться через один мост и немедленно выходить через единственный другой доступный мост. Точно так же, если к X подключено четыре моста, количество вхождений X зависит от того, является ли он начальной точкой. Если путешествие начинается в X, оно должно появиться три раза, но если оно не начинается в X, оно появится только дважды. Таким образом, в общем, если к X подключено четное количество мостов, то, если путешествие не начинается в X, X появляется в половине случаев как мосты (т.е. Вхождения X, где X четное, а не начальная точка = (# мостов) / 2). Если путешествие действительно начинается в X, то X появляется в половине случаев в виде мостов плюс один (т. е. число вхождений X, где X четно, а начальная точка = ((количество мостов) / 2) + 1).
В абзацах с 13 по 15 Эйлер объясняет, как выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз, и представляет свой собственный пример, чтобы показать, как это работает. Эйлер сначала объясняет свой простой шестишаговый метод решения любой общей ситуации с массивами суши, разделенными реками и соединенными мостами. Первый Эйлер обозначает каждый массив суши с заглавной буквы. Во-вторых, он берет общее количество мостов, добавляет один и записывает это над таблицей, которую собирается составить. Далее он берет заглавные буквы, ставит их в столбик, а рядом пишет количество мостов. В-четвертых, он указывает звездочками участки суши, на которых имеется четное число мостов. Затем рядом с каждым четным числом он пишет ½ числа, а рядом с каждым нечетным числом ставит ½ числа плюс один. Наконец, Эйлер складывает числа, записанные в крайнем правом столбце, и если сумма на единицу меньше или равна количеству мостов плюс один, то требуемое путешествие возможно. Однако важно отметить, что если сумма на один меньше, чем количество мостов плюс один, то путешествие должно начинаться с одного из участков суши, отмеченных звездочкой. Если сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться в регионе, не отмеченном звездочкой.
Примеры
Использование задачи Конигсберга в качестве его первого примера Эйлера показывает следующее:
Количество мостов = 7, количество мостов плюс один = 8
Региона мостов. 2
C 3 2
D 3 2
Однако 3 + 2 + 2 + 2 = 9 невозможно, а это больше 8.
Поскольку этот пример довольно простой, Эйлер решает создать свою собственную ситуацию с двумя островами, четырьмя реками и пятнадцатью мостами. Ситуацию, созданную Эйлером, можно увидеть на его Рис. 3 выше. Теперь Эйлер пытается выяснить, существует ли путь, позволяющий пройти по каждому мосту один и только один раз. Эйлер следует тем же шагам, что и выше, называя пять различных областей заглавными буквами и создавая таблицу, чтобы проверить это, если это возможно, например:0007
Количество мостов = 15, количество мостов плюс один = 16
Область мостов.0007
E 5 3
F*6 3
Кроме того . Поскольку сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться либо в D, либо в E. Теперь, когда Эйлер знает, что путешествие возможно, все, что ему нужно сделать, это указать, каким будет путь. Эйлер выбирает путь EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmenApBoElD, где он указывает, какие мосты пересекаются между буквами, представляющими массивы суши. Хотя эта информация является лишней, поскольку точный мост не имеет значения для понимания того, что путешествие возможно, она полезна при выборе пути. Это хороший пример, показывающий метод, которым воспользовался бы Эйлер при решении любой задачи такого рода.
Выводы Эйлера
В следующих нескольких абзацах Эйлер предлагает еще один способ выяснить, можно ли совершить путешествие по любому набору участков суши, мостов и рек. В параграфе 16 Эйлер указывает, что сумма чисел, перечисленных непосредственно справа от суши, в сумме в два раза превышает общее количество мостов. Позже этот факт станет известен как лемма о рукопожатии. По сути, лемма о рукопожатии утверждает, что каждый мост считается дважды, по одному разу для каждого участка суши, к которому он прикреплен. В параграфе 17 Эйлер продолжает утверждать, что сумма всех мостов, ведущих в каждую область, четна, поскольку половина этого числа равна общему количеству мостов. Однако это невозможно, если есть нечетное количество участков суши с нечетным количеством мостов. Таким образом, Эйлер доказывает, что если есть нечетные числа, связанные с массивами суши, то должно быть четное количество этих массивов суши.
Однако этого недостаточно для доказательства того, что существует путь, на котором каждый мост используется один и только один раз, поскольку в задаче о Кенигсбергском мосту имеется четное количество массивов суши с нечетным числом мостов, ведущих к ним. Из-за этого Эйлер добавляет дополнительные ограничения в параграфах 18 и 19. Эйлер объясняет, что, поскольку общее количество мостов, прикрепленных к каждому массиву суши, равно удвоенному количеству мостов (как видно из леммы о рукопожатии), поэтому, если вы добавьте два к этой сумме, а затем разделите на два, вы получите общее количество мостов плюс один. Этот номер такой же, как тот, который использовался ранее, и используется, чтобы сказать, возможен ли путь. Если все числа четные, то сумма в третьем столбце таблицы будет на единицу меньше, чем общее количество мостов плюс один.
Затем Эйлер объясняет, что очевидно, что если есть два участка суши с нечетным числом мостов, то путешествие всегда будет возможно, если путешествие начинается в одном из регионов с нечетным числом мостов. Это потому, что если четные числа разделить пополам, а каждое из нечетных увеличить на единицу и разделить пополам, то сумма этих половинок будет на единицу больше, чем общее количество мостов. Однако если имеется четыре или более массивов суши с нечетным числом мостов, то пути быть не может. Это потому, что сумма половин нечетных чисел плюс один вместе с суммой всех половинок четных чисел сделает сумму третьего столбца больше, чем общее количество мостов плюс один. Следовательно, Эйлер только что доказал, что может быть не более двух участков суши с нечетным числом мостов.
После этого Эйлер может сделать выводы относительно более общих форм проблемы Кенигсбергского моста. В параграфе 20 Эйлер дает три рекомендации, которые можно использовать, чтобы выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз. Во-первых, он утверждал, что если существует более двух участков суши с нечетным числом мостов, то такое путешествие невозможно. Во-вторых, если количество мостов нечетно ровно для двух участков суши, то путешествие возможно, если оно начинается на одном из двух участков суши с нечетными номерами. Наконец, Эйлер утверждает, что если нет регионов с нечетным количеством суши, то путешествие можно совершить, начав с любого региона. Установив эти три факта, Эйлер завершает свое доказательство параграфом 21, в котором просто говорится, что после того, как кто-то выяснил, что путь существует, он все равно должен приложить усилия, чтобы написать работающий путь. Эйлер считал, что метод достижения этого тривиален, и не хотел тратить на него много времени. Однако Эйлер действительно предлагал сконцентрироваться на том, как добраться с одного массива суши на другой, вместо того, чтобы сначала концентрироваться на конкретных мостах.
Доказательство Эйлера и теория графов
Читая оригинальное доказательство Эйлера, можно обнаружить относительно простую и понятную математическую работу; однако не фактическое доказательство, а промежуточные шаги делают эту проблему известной. Великое нововведение Эйлера заключалось в том, что он рассматривал проблему Кенигсбергского моста абстрактно, используя линии и буквы для представления более крупной ситуации с массивами суши и мостами. Он использовал заглавные буквы для обозначения массивов суши и строчные буквы для обозначения мостов. Это был совершенно новый тип мышления для того времени, и в своей статье Эйлер случайно запустил новую область математики, названную теорией графов, где граф — это просто набор вершин и ребер. Сегодня путь в графе, который содержит каждое ребро графа один и только один раз, называется эйлеровым путем из-за этой проблемы. С тех пор, как Эйлер решил эту проблему, и до сегодняшнего дня теория графов стала важным разделом математики, лежащим в основе наших представлений о сетях.
Проблема Кенигсбергского моста — вот почему Биггс заявляет [Биггс, 1],
Истоки теории графов скромны, даже легкомысленны… Проблемы, которые привели к развитию теории графов, часто были не более чем головоломками, предназначенными для проверки изобретательности, а не для стимулирования воображения.
Как следует из заявления Биггса, эта проблема настолько важна, что упоминается в первой главе каждой книги по теории графов, которую просматривали в библиотеке.
После открытия Эйлера (или изобретения, в зависимости от того, как на это смотрит читатель) теория графов процветала благодаря крупным вкладам, внесенным такими великими математиками, как Огюстен Коши, Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Густав Кирхгоф и Джордж Полиа. Все эти люди внесли свой вклад в раскрытие «практически всего, что известно о больших, но упорядоченных графах, таких как решетка, образованная атомами в кристалле, или гексагональная решетка, созданная пчелами в улье [9].0169 ScienceWeek, 2]. Другие известные задачи теории графов включают в себя поиск способа выхода из лабиринта или лабиринта или поиск порядка ходов коня на шахматной доске, при котором каждое поле попадает только один раз, а конь возвращается на место, с которого он начал. [ ScienceWeek, 2]. Некоторые другие проблемы теории графов оставались нерешенными на протяжении столетий [ ScienceWeek, 2].
Судьба Кенигсберга
В то время как теория графов расцвела после того, как Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста, у города Кенигсберга была совсем другая судьба. В 1875 году жители Кенигсберга решили построить новый мост между узлами B и C, увеличив количество соединений этих двух массивов суши до четырех. Это означало, что только два массива суши имели нечетное количество связей, что давало довольно простое решение проблемы. Создание дополнительного моста могло быть или не быть подсознательно вызвано желанием найти путь, чтобы решить известную проблему города.
Однако новый мост не решил всех будущих проблем Кенигсберга, так как город не ожидал еще в девятнадцатом веке «печальной и измученной войной судьбы, которая ждала его как место проведения одного из самых ожесточенных сражений Второй мировой войны. ” В течение четырех дней августа 1944 года британские бомбардировщики уничтожили как старый город, так и северную часть Кенигсберга. В январе и феврале 1945 года район Кенигсберга окружен русскими войсками. Немецкое гражданское население начинает эвакуацию из города, но слишком поздно. Тысячи людей гибнут, пытаясь бежать на лодках и пешком по ледяным водам Куршского залива. 19 апреля45 года Красная Армия захватывает Кенигсберг, около девяноста процентов старого города лежат в руинах.
Текущая карта улиц Кенигсберга представлена ниже [источник: MacTutor History of Mathematics Archive]. Эта карта показывает, насколько сильно изменился город. Многие мосты были разрушены во время бомбардировок, и город больше не может задавать тот же интригующий вопрос, что и в восемнадцатом веке. Наряду с принципиально иной планировкой город Кенигсберг носит новое название Калининград, а река Прегель переименована в Преголю [Гопкинс, 6]. В то время как судьба Кенигсберга ужасна, старая кофейная проблема горожан пройти каждый из своих старых семи мостов ровно по одному разу привела к формированию совершенно нового раздела математики, теории графов.