Гдз и решебник Математика 1 класс Моро, Волкова, Степанова — Учебник

Математика 1 классУчебникШкола РоссииМоро, Волкова, Степанова«Просвещение»

Как сделать так, чтобы ребёнок получал максимальное количество знаний

Ребёнок, покинув стены детского сада, приходит в школу. Там он сталкивается лицом к лицу с совершенно иной жизнью. Вместо игр – серьёзные занятия, вместо старых друзей – новые лица, вместо воспитателя – строгий учитель. Наряду со всеми этими личными проблемами приходится усердно работать, трудиться, чтобы становиться образованным и умным. Изучать приходится самые разные предметы – математика, русский, английский, окружающий мир, изобразительное искусство.

Но для того, чтобы получать максимально много знаний, не достаточно просто сидеть и ничего не делать. Нужно учесть некоторые нюансы:

• Родители должны помогать ученику с учёбой, объяснять ему то, что первоклассник не понял;
• Сам первоклассник должен быть максимально старательным, внимательным и усидчивым;
• Учитель должен понятно объяснять все темы и давать задания из хорошего учебника.

Что значит – хороший учебник

Хороший учебник – это учебник грамотный, содержательный и понятный. Он не должен быть слишком лёгким, но не должен достигать олимпиадного уровня. В общем, хороший учебник – это учебник, в котором всё сбалансировано. Например, «Математика 1 класс учебник Моро, Волкова, Степанова». Издательский дом «Просвещение. Школа России». Но порою даже хорошего учебника первокласснику не бывает достаточно. Где же получить дополнительные знания? Для таких моментов и было создано ГДЗ по математике 1 класс Моро.

Чем будет полезен данный сайт первокласснику

С помощью онлайн-решебника ребёнок сможет подтянуть свои знания в учёбе и заполнить пробелы в знаниях. Важно лишь, чтобы при работе с ГДЗ по математике 1 класс Моро, рядом с первоклассником присутствовали родители. Зачем? Они должны контролировать, чтобы ребёнок не списывал просто так, не вдумываясь. Это очень важно.

ГДЗ: Математика 1 класс Моро, Волкова, Степанова

Математика 1 класс

Тип: Учебник

Авторы: Моро, Волкова, Степанова

Издательство: Просвещение

ОПИСАНИЕ УЧЕБНИКА

Почти что вековой опыт отечественной системы начального образования и проверенные практикой современные научно-методические разработки Российских педагогов концентрированы в Учебно-методическом Комплексе «Школа России».

Учебник «Математика 1 класс», в двух частях, от московского издательства «Просвещение» коллектива авторов Моро, Волковой, Степановой, Бантовой и Бельтюковой открывает предметную линию учебников математики. С его помощью, в понятной игровой форме,

первоклассники научатся:

1. Считать от единицы до ста.
2. Получат представление про единицы длины, деньги и счисление времени.
3. Научатся узнавать время по циферблату часов.

Ребятам станут понятны самые основные арифметические действия – сложение и вычитание, на которых основаны почти все действия точных наук. Кроме того, дети научатся простейшим математическим операциям, началам геометрии, несложным уравнениям и символьным вычислениям.

ЧЕМ ПОМОЖЕТ РЕШЕБНИК

Освоить весь этот объем разнообразных знаний поможет сборник Готовых Домашних Заданий «Математика 1 класс Учебник Моро, Волкова, Степанова Школа России Просвещение». Решебник содержит ответы ко всем заданиям из вышеупомянутого учебника и предназначен как для самоконтроля, так и для помощи родителям в контроле над выполнением детьми домашних заданий.

Книга доступна онлайн, так же как и приложение на ее основе для различных платформ, которое позволит вашим детям погрузиться в увлекательный интерактивный мир математики.

КОРОТКО О РЕШЕБНИКЕ

Издание полностью адаптировано к возрастной категории учеников – ведь первокласснику намного легче осваивать новые темы, работая с многочисленными цветными иллюстрациями учебной литературы. Какие навыки поможет выработать пособие:

• развитие умения правильного счета;
• решения простейших задач;
• навыки сложения и вычитания.

ГДЗ содержит не просто верные ответы, но и предоставляет вниманию первоклассников подробные образцы всех решений, помогая понять и надежно запомнить алгоритм выполнения аналогичных задач. Важная задача родителей состоит в том, чтобы с самых первых учебных дней и на все школьные годы привить своему ребенку правильный навык работы с учебно-вспомогательной литературой: относиться к ней как к персональному репетитору, а не шпаргалке, из которой просто копируют ответ, смысл которого остается при этом непонятным.

ГДЗ Математика 1 класс Моро, Волкова, Степанова

Математика 1 класс

Учебник

Моро, Волкова, Степанова

Школа России

Просвещение

Испытывает ли ваш ребенок трудности с учебой? В последнее время этот вопрос перешел в разряд риторических. И дело вовсе не в детях, а в тех людях, которые придумывают для них школьную программу. По какой-то неведомой причине, они стремятся усложнить то, что в этом совершенно не нуждается. Для чего с первого класса прививать детям логику, если они еще даже читать и считать толком не умеют? Да и сама подача задач настолько сумбурна, что порой вместо логических построений вызывает прямо противоположный эффект. Так что, чтобы не запутаться в противоречивых метаниях составителей программы, можно использовать

решебник к учебнику «Математика 1 класс» Моро, Волкова, Степанова.

Основные параметры решебника.

Сто двадцать семь и сто одиннадцать станиц содержат две тетради этого пособия. Подробно рассмотренные задания в ГДЗ по математике 1 класс Моро помогут родителям с любым уровнем знаний по данному предмету правильно объяснить своим детям нужный материал. Пользоваться сборником очень удобно, тем более, что он доступен онлайн.

Для кого он предназначен.

Если раньше считалось недопустимым пользоваться такими средствами при выполнении д/з, то сейчас это просто насущная необходимость. Сложность и некоторая бестолковость современной программы образования порой вводит в ступор повидавших виды учителей, так что о детях и говорить нечего. «Радуют» порой и сами составители учебных пособий: они иногда совершенно забывают, что пишут задачи для детей и осложняют их до крайности. Поэтому без толкового разъяснения по подобным учебникам бывает иногда просто не обойтись. Решебник к учебнику «Математика 1 класс» Моро является именно таким сборником, который поможет и родителям, и детям понять всю подноготную учебного процесса. «Просвещение», 2017 г.

ГДЗ по математике за 1 класс

ГДЗ по математике за 1 класс

 В этой категории будут собраны учебные пособия (Проверочные работы, Рабочие тетради, учебники) по математике за 1 класс по различным школьным программам (Перспектива, Школа России…)

 Данные ответы помогут детям и их родителя контролировать правильно ли выполнено их домашнее задание, а при необходимости пообщаться и найти истину, которая бывает даже в 1 классе не всегда доступна для взрослых!

 Итак, прежде чем вы перейдете к нужному ГДЗ, нам хотелось бы предложить системный подход, то есть сводную таблицу, из которой как раз и будет видно, что у нас есть, а чего нет. Так будет куда проще ориентироваться всем!

  

 Учебные пособия по математике за 1 класс

№	Программа и автор	Форма уч. пособия	Часть	Год, прим.	Ссылка
1	Школа 2000, Петерсон	Раб тетрадь	1		смотреть
2	Школа 2000, Петерсон	Раб тетрадь	2	нет	нет
3	Перспектива, Дорофеев	Учебник	1		смотреть
4	Перспектива, Дорофеев	Учебник	2		смотреть
5	Перспектива, Дорофеев	Раб тетрадь	1		смотреть
6	Перспектива, Дорофеев	Раб тетрадь	2		смотреть
7	Школа России, Моро	Раб тетрадь	1		смотреть
8	Школа России, Моро	Раб тетрадь	2		смотреть
9	Нач. школа 21 века	Учебник	1		смотреть
10

 …если вам не хватает каких-либо учебных пособий, то напишите что в первую очередь вас бы интересовало, чтобы мы над этим поработали!

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Учебник «Начальная школа 21 века» предназначен для обучения математике учащихся в первом полугодии 1 класса. Он обеспечивает плавную адаптацию детей к процессу обучения в школе, способствует формированию универсальных учебных действий работать по инструкции, образцу, находить и объяснять способ решения. Составлять модели сюжетной математической ситуации.

 Учебник используется в комплекте с двумя рабочими тетрадями (автор Е. Э. Кочурова) и приложением «Разрезной материал». Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования (2009 г.). Авторы учебника Рудницкая В. Н., Кочурова Е. Э., Рыдзе О. А. Итак, этот учебник для кого-то станет первым его учебником по математике в школе! Это весьма ответственная и важная миссия, а значит здесь надо быть очень аккуратным с подачей материала и с реализацией возможностей его осваивать и решать.

Подробнее: ГДЗ по учебнику математики за 1 класс, 1 часть Рудницкой (Начальная школа 21 века)

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 В свое время учебные пособия по Петерсону были исключены из школьной официальной программы и было это связано прежде всего с весьма сложными заданиями, как казалось всем тем, кто одобряет список учебников к применению в школьных учебных заведениях. Однако в 2019 году математику по Петерсону вновь одобрили, что не может не радовать, так как другие школьные программы по сравнению с этой откровенно слабые и без дополнительных занятий там просто не обойтись, что не скажешь про эту рабочую тетрадь.
 Итак, если у вас рабочая тетрадь по Петерсону и программе «Школа -2000», то мы за вас рады и хотели бы кроме того помочь и с выполнением ГДЗ! Ведь в этой статье вы как раз и сможете найти ответы к рабочей тетради по математике программы школа 2000. Эти рабочие тетради идут в дополнение к учебникам в твердой обложке, так же автора Петерсон Л.Г.

Подробнее: ГДЗ математика 1 класс рабочая тетрадь 1 часть, Петерсон (школа 2000)

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Учебники в первую очередь предназначены для изучения материала в школе. Поэтому этот материал будет носить в большей степени ознакомительный характер, так как эти странички рабочего издания наши школьники должны будут изучать на уроках, со своим учителем!
 Однако жизненные ситуации могут быть разными, а значит и наш сайт попытался предусмотреть их и все-таки выложить ответы для учебника по математике за 1 класс по программе Дорофеева, программа Перспектива, 1 часть.
 Не смотря на всю простоту заданий, вполне возможно у кого-то могут возникнуть вопросы по изученному материалу, либо по тем темам, которые еще предстоит изучить. Именно для этого можно будет обратиться к нашей статье и найти здесь верные ответы.

Подробнее: ГДЗ по математике за 1 класс Дорофев, учебник 1 часть

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Первые школьные предметы. .., которые при этом останутся на весь учебный процесс обучения, то есть на все 11 лет. Это Русски язык и Математика. Так вот, в этой статье о математике. Именно ей мы хотели посвятить эту страничку. На самом деле предмет этот действительно очень нужный и полезный. О его полезности даже не стоит, ведь ставить в сомнения факт нужности это предмета все равно, что проявлять крайнюю степень своего невежества. Собственно не будем умничать, так как наша математика всего лишь за первый класс, да к тому же нас возможно еще читают дети, которые подумают, а вообще о чем они это?

Подробнее: ГДЗ по математике за 1 класс Дорофев, учебник 2 часть

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Кажется, что 1 класс один из самых простых и понятных классов, это мы в смысле о заданиях и их понимании. Однако если вдуматься, то именно в нем у детей и могут возникнуть трудности, которые потом могут перерасти в проблемы хронического характера. Мы выразились несколько по-медицински, но именно такой диагноз наиболее печален, когда дети не понимают материал и теряют к нему интерес. А вот когда теряется интерес к изучению, то сами понимаете какие потом будут знания и оценки. И вот чтобы этого не было, мы и предлагаем вам решить эту проблему или предотвратить.

Подробнее: Ответы по математике Моро 1 класс, рабочая тетрадь, 1 часть. Ответы на задания. Решебник

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Половина учебного года, самого первого в жизни ученика, уже позади. Пройдены все первые части учебников и рабочих тетрадей учащихся по программе Школа России, и настала пора приступить ко вторым. Математика не исключение. С нового года начинается вторая часть рабочей тетради по математике, на авторы не изменились, это,как и в первой части, Моро и Волкова. Задания простые и понятные, но, чтобы быть уверенным в завтрашнем дне, хочется, конечно, сверить свои ответы с правильными ответами решебника. Программа начальной школы Школа России отмечена нами, как одна из самых последовательных и довольно простых для понимания и изучения. Ученик учится считать сначала в пределах десяти, потом далее и далее, учится решать задачи от простых к сложным, так что, если вы учитесь по этой программе, можно сказать, что вам повезло. Многое, конечно, зависит и от учителя.

Но в любом случае у вас не будет никаких проблем с выполнением домашнего задания по рабочей тетради Моро за первый класс и все последующие, поскольку у нас на сайте найдутся все правильные ответы к этим рабочим тетрадям.

Подробнее: ГДЗ по математике Моро 1 класс рабочая тетрадь 2 часть. Решебник с ответами на задания

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

 Даже в первом классе у наших деток могут возникнуть трудности в выполнении домашнего задания. Вроде как все просто, но это просто порой представляет собой определенную последовательность мышления и действий, которым нас учили с самого детства. И это и хорошо и плохо! С одной стороны наша логика подразумевает взаимное понимание друг друга, к чему мы и стремимся, с другой, мыслить шаблонно иногда чревато тем, что мы не в состоянии «выйти за рамки» тех решений, которые требуют определенной творческой жилки…
 Что же, оставим в стороне этот философский вопрос, и прежде всего попытаемся научить мыслить наших деток в том числе и по шаблону, ведь без этого никуда!
 В этой статье будут разобраны готовые, верные и правильные домашние задания из рабочей тетради 1 части авторов — Дорофеева, Миракова, Бука. Кое где они совсем простые, и ограничиваются элементарными математическими вычислениями. Кое где необходимо все же первым делом сделать логическое заключение, понять алгоритм, а лишь потом решить известное.
 Мы постараемся направить в этом вопросе наших школьников на путь истинный и помочь им с выполнением этого домашнего задания по математике, пусть это всего лишь и первый класс.

Подробнее: ГДЗ по математике Дорофеев 1 класс 1 часть рабочая тетрадь. Ответы на задания. Решебник

Категория: ГДЗ по математике за 1 класс

Математика — царица наук. И в первом классе вы уже поняли, что и отношение к математике, порой, царственное. На приготовление домашнего задания нужно довольно много времени. Особо на общем фоне выделяется программа Перспектива, по которой идет эта рабочая тетрадь по математике. Ее авторы — Дорофеев, Миракова, Бука, наверно, очень долго думали и наконец придумали такие задания, которые способны запутать ученика первого класса, его родителей и даже учителя математики. Но мы вас спасем. Смотрите правильные ответы в нашем решебнике на гдз-решалка.ру и списывайте или сверяйте. Иногда задания во второй части рабочей тетради по математике Дорофеева такие, что без ГДЗ никак не обойтись. В этом соль программы Перспектива. А чтобы не потерять гдз с правильными ответами на задания, положите эту страницу в закладки. Вы вернетесь к нам еще ни раз, потому что во втором и последующих классах программа еще более усложняется, а у нас найдутся ответы на все задания.

Подробнее: ГДЗ по математике Дорофеев 1 класс 2 часть рабочая тетрадь. Ответы на задания. Решебник

ГДЗ Математика 1 класс Моро, Волкова

Математике посвящено много трудов, начиная еще с древних времен. С первого класса школьники начинают постепенно постигать все премудрости данной дисциплины. А легко справляться с возникающими трудностями можно при помощи решебника к учебнику «ГДЗ по Математике 1 класс Рабочая тетрадь Моро, Волкова Школа России» издательский дом «Просвещение», 2017 г.

Математика в 1 классе

Школа является важнейшим жизненным этапом человека, а первый класс символизирует начало интересного, хоть местами и трудного пути. На этом отрезке жизни ученик знакомится с базовыми предметами – русский язык и математика.

На что направлена математика в первом классе:

1. Развитие логического мышления.
2. Развитие памяти.
3. Навыки счета.

Первый учебный год определит насколько ребенок заинтересован в предмете. Зачастую некоторым детям необходимо больше времени, чтобы решать примеры, первоклассник может зажиматься у доски, что может негативно повлиять на отношение к математике. На этом этапе можно помочь школьнику преодолеть барьеры и страхи перед ошибками.

Сборник готовых ответов «ГДЗ по Математике 1 класс Рабочая тетрадь Моро, Волкова Школа России Просвещение» послужит хорошим вариантом для практики дома и самопроверки.

Содержание решебника

Сборник разделен на две части, каждая из которых насчитывает по сорок восемь страниц. Упражнения в «ГДЗ по Математике 1 класс Рабочая тетрадь Моро» разделены по тематическому содержимому. Удобная структура помогает быстро найти необходимое для проверки задание.

Стоит ли им пользоваться

Каждый родитель готов делать многое, чтобы обеспечить своему ребенку хорошее образование. Средняя школа позволяет получить общие сведения по предметам, которые в будущем могут пригодиться маленьким школьникам. Математика – трудная дисциплина и ей требуется уделять особое внимание. Разбирать с ребенком задания можно с решебником к пособию «Математика 1 класс Рабочая тетрадь Моро, Волкова Школа России Просвещение», где приведены подробные разъяснения по всем упражнениям.

Преимущества ГДЗ:

• Пособие доступно в печатном и электронном варианте;
• Имеются дополнительные пояснения к задачам;
• Соответствует школьной программе.

Начинать подготовку к более трудным аспектам школьной программы лучше всего в первом классе, ведь именно там закладывается понимание многих дисциплин.

3 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 71

Числа от 1 до 100

Умножение и деление (продолжение)
Площадь. Единицы площади

Ответы к стр. 71

4. 94 — 42 : 6 = 87       30 — 12 : 3 + 3 = 29
  75 + 81 : 9 = 84       30 — 12 : (3 + 3) = 28
  38 — 64 : 8 = 30        (30 — 12) : 3 + 3 = 9

8 • (13 — 7) = 48
9 • (14 — 6) = 72
7 • (12 — 3) = 63

5.

1) Маме 32 года, а сыну 8 лет. Во сколько раз мама старше сына?

32 : 8 = 4 (р.)
О т в е т: мама старше сына в 4 раза.

2) Во сколько раз мама была старше сына 5 лет тому назад?

1) 32 — 5 = 27 (л.) — маме было 5 лет назад
2) 8 — 5 = 3 (г.) — сыну было 5 лет назад
3) 27 : 3 = 9 (р.)

Или: (32 — 5) : (8 — 5) = 9 (р. )
О т в е т: 5 лет назад мама была старше сына в 9 раз.

6. По таблице на обороте обложки учебника:
1) Найди произведение:

6 • 7 = 42, 4 • 8 = 32, 9 • 3 = 27, 4 • 9 = 36;

2) Проверь, что

7 • 8 = 8 • 7, 56 = 56;
3 • 6 = 6 • 3, 18 = 18;

3) Найди частное:

54 : 9 = 6, 32 : 4 = 8, 42 : 6 = 7, 35 : 5 = 7;

4) Назови числа от 6 до 60, которые делятся на 6.

6, 12, 18, 24, 30, 42, 48, 54, 60;

5) Назови числа от 4 до 40, которые делятся на 4.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36, 40.

7. 1) Начерти на листе клетчатой бумаги такой квадрат, вырежи его и разрежь по показанным на чертеже линиям.

                            

2) Запиши номера фигур, которые ты сможешь выложить, используя полученные части квадрата.

1, 3, 5 

3) Чему равна площадь каждой из этих фигур?

Поскольку фигуры собраны из частей квадрата, который был разрезан на прямоугольник и 2 квадрата, то и площади трёх выложенных фигур будут одинаковы и равны площади квадрата: 3 • 3 = 9 см².

---

Найди по плану, с. 70, площадь огорода.

8 • 3 = 24 м²
О т в е т: площадь огорода 24 м²

ГДЗ по математике. Учебник. 3 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 3 класс

3 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 71

4.4 (88.54%) от 157 голосующих

▶▷▶ математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник

▶▷▶ математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	14-11-2018

математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ математика 4 класс Моро, Волкова учебник 1, 2 часть ответы newgdznet/gdz/4-klass/category/uchebnik-v- 2 -kh Cached Сборник ГДЗ по предмету Математика 4 класс Моро 1 , 2 часть учебник станет отличным помощником вашему ребенку при изучении нового материала, при решении сложных заданий и при проверке уже ГДЗ по математике 3 класс учебник Моро 1 и 2 часть yagdzcom › 1 -4 класс › Математика ГДЗ решебник к учебнику по математике 3 класс Моро Бантова Бельтюкова Волкова Степанова Часть 1 и 2 ГДЗ Математика Моро 2 класс учебник 2 часть Ответы на igryplusru/gdz/matematika- 2 -klass-uchebnik-moro- 2 -chast Cached Готовые домашние задания по предмету Математика Моро 2 класс учебник 2 часть , ответы на задания, решебник с ГДЗ по программе Школа России онлайн Математика 1 Класс Моро 2 Часть Ответы 2013 Гдз Учебник — Image Results More Математика 1 Класс Моро 2 Часть Ответы 2013 Гдз Учебник images ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть gdzcenter › 1 -4 классы › Математика ГДЗ , учебник , решебник и ответы для — ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть Все части и страницы ГДЗ по Математике 2 класс Моро Волкова решебник gdzme › 2 класс › Математика Онлайн ответы из решебника по математике за 2 класс автора Моро МИ 2017 года издания ГДЗ по математике 4 класс Моро 1 и 2 часть yagdzcom › 1 -4 класс › Математика ГДЗ по математике 4 класс учебник Моро ГДЗ решебник к учебнику по математике 4 класс Моро Бантова Бельтюкова Волкова Степанова Часть 1 и 2 ГДЗ решебник по математика 3 класс Моро 1 и 2 часть gdzavrorg/gdz-po-matematike/950-gdz-reshebnik Cached Публикуем для Вас ответы к учебнику и рабочая тетрадь по математика 3 класс Моро , Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть ГДЗ решебник по математика 2 класс Моро 1 и 2 часть — онлайн gdzpopme/ 1 -4-klassyi/matematika- 1 -4/gdz Cached Вашему вниманию предлагаются ответы к учебнику по математике 2 класс Моро , Бантова, Бельтюкова 1 и 2 часть и рабочей тетради Моро Волкова ГДЗ Математика 2 класс Моро — gdzlolbiz gdzlolbiz/matematika- 2 -klass-morohtml Cached Здесь вы найдете ответы на все упражнения учебного пособия ( 1 и 2 части) для учеников 2 класса начальной школы по программе Моро Марии Игнатьевны ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро, Волкова, Степанова reshatorru/ 1 -klass/matematika/moro Cached Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1 , 2 — Решатор! Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 75,800 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки
• веру в свои способности и не бояться никаких трудностей Рекомендуемые решебники ГДЗ Рабочая тетрадь математика 1 класс Моро МИ ГДЗ Тетрадь учебных достижений математика 1 класс Волкова СИ ГДЗ Контрольно-измерительные материалы математика 1 класс Глаголева ЮИ ГДЗ Контрольные работы математика 1 -4 к Скрыть ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро (в 2 -х частях ) gdzmaniacom › gdz/8-gdz-matematika-morohtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс
• часть 1

авторы: МИ Моро

СИ Волкова

• Волкова
• Степанова reshatorru/ 1 -klass/matematika/moro Cached Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро
• easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 75

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по математике 1 класс Моро Часть 1, 2 GdzPutinaru › Математика › Математика 1 класс авторы Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ к учебнику по математике за 1 класс Моро Часть 1, Часть 2 отвечают на все вопросы, решают все задачи и примеры Такой материал на отлично поможет справиться с любой домашней работой, а также подготовит ученика к решению упражнений в классе Вы не будете переживать за успеваемость Читать ещё ГДЗ к учебнику по математике за 1 класс Моро Часть 1, Часть 2 отвечают на все вопросы, решают все задачи и примеры Такой материал на отлично поможет справиться с любой домашней работой, а также подготовит ученика к решению упражнений в классе Вы не будете переживать за успеваемость своего первоклассника, когда начнёте использовать такую надёжную и эффективную литературу Скрыть 2 ГДЗ 1 класс , Математика , Моро , Волкова, Степанова budu5com › ГДЗ › Учебник Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ решебник и ответы 1 класс , Математика , Моро МИ, Волкова СИ, Степанова СВ, Учебник , 2 часть , 2015 год, 2016 год, 2017 год, 2018 год Готовые домашние задания с подробными ответами 3 Решебник и ГДЗ по Математике за 1 класс , авторы gdz-putinanet › 1-klass-matematika-moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по Математике 1 класс авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Именно поэтому учебник математики для 1 класса Моро так выделяется среди других школьных И найти ответы на запутанный номер, или проверить, правильно ли ребёнок решил Ведь сейчас математика стала намного многообразной и наличие ГДЗ по математике для 1 класса Моро в двух частях порой необходимо Читать ещё ГДЗ по Математике 1 класс авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Поступление ребёнка в первый класс – сложный период в жизни родителей Именно поэтому учебник математики для 1 класса Моро так выделяется среди других школьных книжек, ведь он делает решение задач весёлым и увлекательным занятием, от которого тяжело оторвать Книга способствует появлению начальных знаний и умений применения их на практических заданиях И найти ответы на запутанный номер, или проверить, правильно ли ребёнок решил упражнение не составит проблем Ведь сейчас математика стала намного многообразной и наличие ГДЗ по математике для 1 класса Моро в двух частях порой необходимо Скрыть 4 ГДЗ по математике 1 класс Моро часть 1, 2 учебник все gdznikinet › 1-klass/gdz-po-matematike-1…moro/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ по математике 1 класс составляли учебник Моро в решебник входит часть 1, 2 полные готовые подробные ответы , спишите онлайн все задания на gdznikinet 5 Решебник гдз по математике 1 класс Моро учебник gdz-reshebnikcom › matematika/1…moro…1…chast…2html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Спишите домашнее задание (работу) к книге- учебнику математики Моро Волкова Степанова за 2016, 2017, 2018 год — ФГОС Все решения задач (упражнений) удобно смотреть и читать с компьютера, планшета, телефона, смартфона, айфона Выбери номер № нужной страницы с готовыми ответами : Часть 1 4-17 Читать ещё Спишите домашнее задание (работу) к книге- учебнику математики Моро Волкова Степанова за 2016, 2017, 2018 год — ФГОС Все решения задач (упражнений) удобно смотреть и читать с компьютера, планшета, телефона, смартфона, айфона Выбери номер № нужной страницы с готовыми ответами : Часть 1 4-17; 18-30; 30-41; 41-50; 50-62; 62-77; 78-90; 90-101; 101-110; 111-121; 122-127 Часть 2 4-13; 13-23; 23-31; 31-40; 40-50; 50-60; 60-70; 70-77; 77-86; 86-94; 95-104; 104-111 Задания внизу страницы 5-32; 33-88 Задания на полях страницы 4-38; 39-72; 73-103 Скрыть 6 ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро , Волкова reshatorru › 1 класс › Математика › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1, 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки, научить внимательно смотреть в учебник , отвечать на заданный вопрос корректно и точно С этой точки зрения решебник Читать ещё Решебник и гдз по математике за 1 класс Моро , Волкова, Степанова ответы к учебнику часть 1, 2 — Решатор! Задача начальной школы — сформировать у ребенка практические умения и навыки, научить внимательно смотреть в учебник , отвечать на заданный вопрос корректно и точно С этой точки зрения решебник по математике за 1 класс Моро – комплексный помощник С таким ГДЗ ученик без труда: освоит сложение и вычитание чисел, научится сравнивать величины, получит представление о плоских и пространственных фигурах, увидит, как проверять полученные ответы Если в средней школе дети больше полагаются на слух Скрыть 7 ГДЗ за 1 класс по Математике МИ Моро , СИ Волкова GDZim › 1 класс › Математика › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Но с учебником автора Моро у вас не будет никаких проблем с изучением предметной области Данное ГДЗ по математике для 1 класса Моро , Волкова 1, 2 часть содержит правильные и проверенные временем и учениками ответы , на вопросы, задачи и упражнения Рекомендуемые решебники рабочая Читать ещё Но с учебником автора Моро у вас не будет никаких проблем с изучением предметной области Он написан самым доступным языком, да и еще с красочными иллюстрациями, что школьника тут же погружается в учебное издание Ну а для чего тогда решебник? Данное ГДЗ по математике для 1 класса Моро , Волкова 1, 2 часть содержит правильные и проверенные временем и учениками ответы , на вопросы, задачи и упражнения Рекомендуемые решебники рабочая тетрадь Моро МИ, Просвещение тетрадь учебных достижений Волкова СИ, Просвещение контрольно-измерительные материалы Глаголева ЮИ, Просвещение контрольные работы Волкова СИ, Просвещение тесты Волкова СИ, Просвещение Часть 1 Скрыть 8 Решебник по математике за 1 класс МИ Моро | Гдз GDZguru › reshebniki/1-klass/matematika/moro/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания по математике ФГОС за 1 класс , автор Авторы учебника Моро , Волкова и Степанова постарались охватить вниманием всё самое При этом ГДЗ для 1 класса по математике Моро , Волкова (1, 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров, а также рабочая тетрадь Читать ещё ГДЗ : Онлайн готовые домашние задания по математике ФГОС за 1 класс , автор МИ Моро , СИ Волкова, спиши решения и ответы на ГДЗ гуру Авторы учебника Моро , Волкова и Степанова постарались охватить вниманием всё самое необходимое и даже больше Здесь встретятся герои сказок и расскажут о фундаментальных действиях сложения и вычитания А решение задач удивит первоклассника логическими постановками, что позволит развить мышление на уровне представления, логики и сообразительности При этом ГДЗ для 1 класса по математике Моро , Волкова (1, 2 часть ) включает в себя полный разбор всех примеров, а также рабочая тетрадь Скрыть 9 Математика 1 класс Моро 2 часть ответы 2013 ГДЗ Учебник — смотрите картинки ЯндексКартинки › математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 ГДЗ по Математике 1 класс МИ Моро , СИ Волкова гдзрус › reshebniki/matematika/1-class/moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ рус поможет Вам справиться с самым непростым и непонятным заданием по Математике 1 класса МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Ведь здесь описан полный ход действий, который поможет вам выполнить домашние задание Читать ещё ГДЗ рус поможет Вам справиться с самым непростым и непонятным заданием по Математике 1 класса МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Ведь здесь описан полный ход действий, который поможет вам выполнить домашние задание авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова издательство: Просвещение 2016 год Часть : 1, 2 Когда ребенок становится первоклассником, очень важно, чтобы новоиспеченный школьнику научился усваивать приобретенные на уроках знания по математической дисциплине и применять их выполняя домашнее задание Скрыть ГДЗ по математике 1 класс МИ Моро часть 1, 2 MegaReshebaru › gdz/matematika/1-klass/moro Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Коим является ГДЗ по математике учебник 1 класс Моро Часть 1, 2 Оно составлено с учетом психологии каждого ребенка Взрослые, воспользовавшиеся этим пособием, смогут грамотно объяснить своему малышу, как правильно выполнять домашнее задание С первых дней учебы очень важно заложить Читать ещё Коим является ГДЗ по математике учебник 1 класс Моро Часть 1, 2 Оно составлено с учетом психологии каждого ребенка Взрослые, воспользовавшиеся этим пособием, смогут грамотно объяснить своему малышу, как правильно выполнять домашнее задание С первых дней учебы очень важно заложить ребенку, веру в свои способности и не бояться никаких трудностей Рекомендуемые решебники ГДЗ Рабочая тетрадь математика 1 класс Моро МИ ГДЗ Тетрадь учебных достижений математика 1 класс Волкова СИ ГДЗ Контрольно-измерительные материалы математика 1 класс Глаголева ЮИ ГДЗ Контрольные работы математика 1 -4 к Скрыть ГДЗ (решебник) по математике 1 класс Моро (в 2 -х частях ) gdzmaniacom › gdz/8-gdz-matematika-morohtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс , авторы: МИ Моро , СИ Мы подготовили для вас готовые ответы или ГДЗ по математике за 1 класс автора Моро Марии Игнатьевны Выберите страницу учебника : 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 Читать ещё ГДЗ ( готовые домашние задания ) и решебник по математике за 1 класс , авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Мы подготовили для вас готовые ответы или ГДЗ по математике за 1 класс автора Моро Марии Игнатьевны Данный решебник поможет родителям проверить правильность выполнения домашней работы своего ребенка Cмотреть тут: рабочая тетрадь (Волкова), проверочные работы (Волкова) Выберите страницу учебника : 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 51 54 55 57 58 60 61 62 63 65 68 69 70 74 75 80 81 83 85 87 88 90 91 92 93 94 95 97 98 99 100 101 103 106 107 108 109 110 111 Часть 2 Скрыть ГДЗ математика 1 класс Моро ( учебник ) 1, 2 часть NewGDZnet › ГДЗ › 1 класс › Учебник Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовые домашние задания за 1 класс по математике Моро ( учебник ) в 2 -х частях — ответы и решебники на Авторы: Моро М И, Волкова С И, Степанова С В Предмет: Математика Класс : 1 Выберите из списка ниже необходимое задание Часть 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 Читать ещё Готовые домашние задания за 1 класс по математике Моро ( учебник ) в 2 -х частях — ответы и решебники на сайте ГДЗ по-новому Авторы: Моро М И, Волкова С И, Степанова С В Предмет: Математика Класс: 1 Выберите из списка ниже необходимое задание Часть 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 51 54 55 57 58 60 61 62 63 65 68 69 70 74 75 80 81 83 85 87 88 90 91 92 93 94 95 97 98 99 100 101 103 106 107 108 109 110 111 Часть 2 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 74 75 76 77 78 79 81 82 8 Скрыть ГДЗ по Математике учебник за 1 класс Часть 1, 2 Моро GDZru › class-1/matematika/moro-m-i-2011/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по математике за 1 класс , решебник МИ Моро , ФГОС, часть 1, часть 2 онлайн ответы Сборник готовых решений ( ГДЗ ) по математике к учебнику для первоклассников от авторов МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова в двух частях ( 1 и 2 ) представляет собой полный Читать ещё ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по математике за 1 класс , решебник МИ Моро , ФГОС, часть 1, часть 2 онлайн ответы на GDZRU Сборник готовых решений ( ГДЗ ) по математике к учебнику для первоклассников от авторов МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова в двух частях (1 и 2 ) представляет собой полный перечень ответов на задания, представленные в основной книге по математике Дополнительно в издании приведены и детальные пояснения, объясняется материал, который может вызывать трудности у первоклассников Скрыть ГДЗ по Математике 1 класс Моро , Волкова, Степанова onlinegdznet › Гдз моро 1 класс 2017 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Заходи и делай уроки с ГДЗ по Математике 1 класс Моро 1, 2 Часть База решебников и учебников которая всегда пополняется Более ГДЗ по всем школьным предметам 100 % правильные ответы Теперь 5 у тебя в дневнике Читать ещё ➫ Заходи и делай уроки с ГДЗ по Математике 1 класс Моро 1, 2 Часть ➫ База решебников и учебников которая всегда пополняется ➫ Более ГДЗ по всем школьным предметам ➫ 100 % правильные ответы ➫ Теперь 5✚ у тебя в дневнике ГДЗ по Математике 1 класс Моро , Волкова, Степанова 1, 2 часть Решебник OnlineGDZ Сам учебник 1 класса по математике Моро также предоставлен на нашем сайте Нет необходимости искать его в интернете и тратить на это свое драгоценное время Скрыть ГДЗ : Решебник Математика 1 класс МИ Моро yougdzcom › Моро Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 1 класс » (в двух частях ) авторов МИ Моро и др разработан в соответствии с ФГОС НОО и является составной частью завершённой предметной линии учебников » Математика » системы учебников «Школа России» Математика 1 класс : Часть 2 Авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Издательство Читать ещё 1 класс » (в двух частях ) авторов МИ Моро и др разработан в соответствии с ФГОС НОО и является составной частью завершённой предметной линии учебников » Математика » системы учебников «Школа России»Материал учебника способствует формированию у учащихся системы начальных математических знаний и умений их применять для решения учебно-познавательных и практических задач Содержание и структура учебника направлены на достижение учащимися личностных, метапредметных и предметных результатов, отражённых в ФГОС НОО Математика 1 класс : Часть 2 Авторы: МИ Моро , СИ Волкова, СВ Степанова Издательство: 2011 год Задания : открыть список Числа от 1 до 10 С4 С5 Скрыть Школьные учебники В наличии! – Учебники для 2 класса Лабиринт Пресс Акции Главные книги года Подарочные книги labirintru › учебники Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Почти 20 000 видов Доставка Контактная информация +7 (495) 745-95-25 пн-пт круглосуточно Магазин на Маркете 18+ Вместе с « математика 1 класс моро 2 часть ответы 2013 гдз учебник » ищут: математика 2 класс моро 1 и 2 часть учебник ответы решебник русский язык 1 класс канакина горецкий 1 часть решебник ответы математика 1 класс моро 1 и 2 часть учебник ответы решебник математика 2 класс моро 1 и 2 часть рабочая тетрадь ответы решебник 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашлось 399 млн результатов Дать объявление Показать все Регистрация Войти 0+ Браузер с Алисой, которая всегда готова побеседовать Установить Закрыть Спасибо, что помогаете делать Яндекс лучше! Эта реклама отправилась на дополнительную проверку ОК ЯндексДирект Попробовать еще раз Включить Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2018 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Выключит компьютер по голосовой команде 0+ Установить

Программа обучения русскому языку — Изучение математики и английского языка в России Электронное обучение онлайн

..

1	Самооценка	Самооценка — 10 год
Цель: По завершении формирующего оценивания курса создается индивидуальный учебный план, в котором определяются уроки, требующие пересмотра.
2	Дроби	Умножение и деление для получения эквивалентных дробей
Цель: По завершении урока учащийся сможет: получить эквивалентные дроби с помощью числовой линии или диаграммы, разработать умственные стратегии для получения эквивалентных дробей и уменьшить дробь до ее наименьшего эквивалента.
3	Дроби	Уменьшение дроби до наименьшего эквивалента
Цель: По завершении урока ученик сможет уменьшить дробь до ее наименьшего эквивалента, разделив числитель и знаменатель на общий множитель.
4	Дроби	Сравнение и заказ дробей больше (>) 1
Задача: По завершении урока учащийся сможет использовать диаграммы, числовые линии и эквивалентные дроби для сравнения и упорядочения дробей больше (>) единицы.
5	Дроби	Вычитание дробей из целых чисел
Задача: По завершении урока учащийся сможет: использовать диаграмму для вычитания дробей из целого числа, разрабатывать мыслительные стратегии для вычитания дробей из целых чисел, а также распознавать и использовать письменную форму для вычитания дробей из
6	Дроби	Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Задача: По завершении урока ученик сможет складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем.
7	Дроби	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Задача: По завершении урока ученик сможет складывать и вычитать дроби, в которых один знаменатель кратен другому.
8	Дроби	Умножение дробей на целые числа
Задача: По завершении урока ученик сможет умножать простые дроби на целые числа.
9	Дроби	Умножение дробей
Задача: По завершении урока ученик сможет умножать дроби и сводить ответ к самому низкому виду.
10	Дроби	Умножение смешанных чисел (смешанных чисел)
Задача: По завершении урока ученик сможет умножать смешанные числа (смешанные числа) и приводить ответ к наименьшей форме.
11	Дроби	Нахождение обратных дробей и смешанных чисел (смешанных чисел)
Задача: По завершении урока учащийся сможет найти обратные дроби и смешанные числа (смешанные числа).
12	Дроби	Разделение на дроби
Цель: По окончании урока ученик сможет делить дроби.
13	Дроби	Деление смешанных чисел (смешанные числа)
Задача: По завершении урока учащийся сможет разделить смешанные числа (смешанные числа).
14	Правила свойства	Использование процедур порядка работы (BIDMAS) с дробями
Цель: По завершении урока ученик научится применять правила порядка операций для упрощения выражений с целыми числами и дробями.
15	В процентах	Вычисление количеств в процентах и ​​долях
Цель: найти проценты и доли количеств и решить проблемы с процентами
16	Алгебраические уравнения	Решение уравнений, содержащих биномиальные выражения
Задача: По завершении урока учащийся сможет перемещать члены в биномиальных уравнениях.
17	Десятичные	Добавление десятичных знаков к двум десятичным разрядам
Задача: По завершении урока ученик сможет складывать десятичные дроби с таким же количеством десятичных знаков (до двух знаков после запятой)
18	Десятичные	Вычитание десятичных знаков до двух знаков после запятой
Задача: По завершении урока ученик сможет вычитать десятичные дроби с таким же количеством десятичных знаков (до двух знаков после запятой)
19	Десятичные	Использование десятичных знаков — проблемы с покупками
Цель: По завершении урока ученик сможет: читать и интерпретировать задачи, связанные с деньгами, интерпретировать повседневное использование десятичных знаков и выполнять вычисления с деньгами.
20	Десятичные	Использование десятичных знаков для записи длины
Задача: По завершении урока ученик сможет интерпретировать повседневное использование дробей и десятичных знаков и использовать свои знания десятичных дробей для записи измерений.
21	Десятичные	Десятичные до трех десятичных знаков
Задача: По завершении урока учащийся научится выражать тысячные доли десятичным числом и интерпретировать десятичное представление тысячных долей.
22	Десятичные	Добавление десятичных знаков с другим количеством десятичных знаков
Задача: По завершении урока ученик сможет складывать десятичные числа с разным количеством десятичных знаков.
23	Десятичные	Вычитание десятичных знаков с разным количеством знаков
Цель: По завершении урока ученик сможет вычитать десятичные дроби с разным количеством десятичных знаков.
24	Десятичные	Умножение десятичных знаков на десятичные до двух десятичных знаков
Цель: По окончании урока ученик сможет умножать десятичные дроби на две цифры.
25	Десятичные	Деление десятичных знаков на 10, 100 и 1000
Цель: По завершении урока ученик сможет разделить десятичные числа на сто и распознать образец, образованный при делении десятичных чисел на десять, сто и тысячу.
26	Десятичные	Разделение десятичных дробей на целые числа
Задача: По завершении урока ученик сможет делить десятичные дроби на целые числа.
27	Десятичные	Деление чисел на десятичную дробь
Задача: По завершении урока ученик сможет делить числа на десятичную дробь.
28	В процентах	Введение в проценты, в том числе соотнесение обыкновенных дробей с процентами
Задача: По завершении урока учащийся сможет распознать, что символ% означает «процент» и соотнести обычные дроби с процентами.
29	В процентах	Преобразование дробей и десятичных дробей в проценты с использованием десятых и сотых
Цель: По завершении урока ученик сможет заменить простые дроби на проценты и десятичные дроби на проценты с помощью преобразования разряда.
30	В процентах	Преобразование процентов в дроби и десятичные дроби
Задача: По завершении урока ученик сможет переводить проценты на дроби и знать, как переводить проценты на десятичные.
31	В процентах	Одно количество в процентах от другого
Задача: По завершении урока учащийся сможет найти процент от суммы и как выразить одно количество в процентах от другого.
32	Алгебраические уравнения	Уравнения, содержащие символы группировки.
Задача: По завершении урока учащийся сможет решать уравнения, используя символы группировки
33	Алгебраические уравнения	Уравнения с дробями.
Цель: По завершении урока ученик научится решать уравнения с использованием дробей.
34	Алгебра-неравенства	Устранение неравенств.
Задача: По завершении урока ученик научится понимать знаки «больше чем» и «меньше чем» и сможет выполнять простые неравенства.
35	Факторизация по алгебре	Упрощение простых алгебраических дробей.
Цель: По завершении урока ученик поймет, как упростить алгебраические дроби с помощью факторизации.
36	Правила для индексов / экспонентов	Сложение индексов при умножении членов с одинаковым основанием
Задача: По завершении урока ученик научится использовать индексный закон сложения степеней при умножении членов с одинаковым основанием.
37	Правила для индексов / экспонент	Вычитание индексов при делении членов с одинаковым основанием
Задача: По окончании урока ученик научится использовать индексный закон вычитания степеней при делении членов с одинаковым основанием.
38	Правила для индексов / экспонент	Умножение индексов при возведении степени в степень
Задача: По завершении урока ученик будет использовать закон умножения индексов при возведении степени в степень.
39	Правила для индексов / экспонент	Умножение индексов при возведении более чем в один член
Задача: По завершении урока ученик сможет использовать закон умножения показателей при возведении более одного семестра в одну степень.
40	Правила для индексов / экспонент	Термины возведены в степень нуля
Цель: По завершении урока ученик научится оценивать или упрощать термины, возведенные в степень нуля.
41	Правила для индексов / экспонент	Отрицательные индексы
Задача: По завершении урока ученик научится оценивать или упрощать выражения, содержащие отрицательные индексы.
42	Алгебраические дроби	Упрощение алгебраических дробей с помощью законов индекса.
Цель: По завершении урока ученик сможет упростить большинство алгебраических дробей, используя различные методики.
43	Дробные индексы / показатели	Дробные индексы
Цель: По завершении урока ученик научится оценивать или упрощать выражения, содержащие дробные индексы.
44	Научная запись	Научная запись с большими числами
Задача: По завершении урока учащийся сможет заменять числа больше 1 на научное представление.
45	Научная запись	Научная запись с малыми числами
Задача: По завершении урока ученик сможет переводить числа от нуля до 1 в научное представление.
46	Научная запись	Замена экспонента на числа
Задача: По окончании урока ученик сможет заменить числа, записанные в экспоненциальном представлении, на основные числа и уметь решать задачи на калькуляторе в экспоненциальном представлении.
47	Значимые цифры	Значимые цифры
Задача: По завершении урока ученик сможет увидеть, сколько значащих цифр в числе и как выразить число до определенного уровня значащих цифр.
48	Тригонометрические отношения	Используя тригонометрические отношения, чтобы найти неизвестную длину. [Коэффициент касания для случая 3].
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать коэффициент касательной для вычисления длины противоположной стороны прямоугольного треугольника.
49	Тригонометрические отношения	В знаменателе неизвестно. [Случай 4].
Задача: По завершении урока ученик поймет, как использовать тригонометрические отношения для вычисления длины и расстояния, когда знаменатель неизвестен.
50	Тригонометрический компас	Пеленги — компас.
Задача: По завершении урока ученик сможет определять пеленг компаса, пеленг компаса с острыми углами и трехзначный пеленг от истинного севера.
51	Тригонометрия-возвышение	Углы поднятия и понижения.
Задача: По завершении урока учащийся сможет определить углы наклона и подъема, а также взаимосвязь между ними.
52	Тригонометрия практическая	Тригонометрические соотношения в практических ситуациях.
Задача: По завершении урока учащийся сможет использовать тригонометрические отношения для решения задач, связанных с пеленгом компаса, а также углами наклона и подъема.
53	Тригонометрия- отношения	Используя тригонометрические соотношения, найдите угол в прямоугольном треугольнике.
Задача: По завершении урока ученик сможет найти значение неизвестного угла в прямоугольном треугольнике, учитывая длины двух сторон.
54	Тригонометрические отношения	Использование калькулятора для определения угла с учетом тригонометрического отношения.
Цель: По завершении урока учащийся сможет использовать калькулятор для определения значения неизвестного угла при заданном тригонометрическом соотношении.
55	Геометрические задачи	Дополнительные вопросы о параллельных линиях
Цель: По завершении урока ученик сможет ответить на вопросы, состоящие из двух параллельных строк, и определить другие способы их решения.
56	Геометрия-четырехугольники	Четырехугольники
Цель: По завершении урока ученик сможет найти недостающие углы, используя тот факт, что сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.
57	Геометрия-конструкции	Геометрические конструкции
Задача: По окончании урока ученик научится собирать конструкции с помощью линейки и циркуля.
58	Геометрия-рассуждение	Дальнейшие сложные упражнения с формальным рассуждением
Задача: По завершении урока ученик сможет определить, какие геометрические свойства необходимы для ответа на вопрос, и сможет использовать формальные рассуждения, чтобы записать эту информацию.
59	Геометрия-соответствие	Конгруэнтных треугольников, тест 1 и 2
Задача: По завершении урока ученик сможет определить, какой тест использовать, чтобы показать, что два треугольника совпадают.
60	Геометрия-соответствие	Конгруэнтных треугольников, тест 3 и 4
Задача: По завершении урока ученик сможет определить другие тесты, чтобы показать, что два треугольника совпадают.
61	Геометрия-соответствие	Доказательства и равные треугольники.
Задача: По завершении урока ученик сможет представить формальное доказательство того, что два треугольника совпадают.
62	Подобные треугольники	Использование одинаковых треугольников для вычисления длины
Задача: По завершении урока учащийся сможет рассчитать длину, используя аналогичные треугольники.
63	Перекрывающиеся треугольники	Примеры перекрывающихся треугольников
Задача: По завершении урока ученик сможет вычислять неизвестные стороны в перекрывающихся или смежных подобных треугольниках.
64	Геометрия — треугольники	Теорема о неравенстве треугольника
Цель: По завершении урока учащийся поймет и использует теорему о неравенстве треугольника.
65	Площадь	Площадь трапеции.
Задача: По завершении урока ученик сможет рассчитать площадь всех типов трапеций разной формы по заданной формуле.
66	Площадь	Площадь ромба.
Цель: По завершении урока ученик сможет: определять ромб, узнавать, как находить формулу для вычисления площади ромба, и использовать ее при решении задач.
67	Площадь	Площадь круга.
Задача: По завершении урока ученик сможет вычислить площадь круга, а также вычислить радиус и диаметр круга.
68	Площадь	Площадь правильных многоугольников и составных фигур.
Цель: По завершении урока учащийся сможет вычислить площадь ряда различных форм, применив соответствующую формулу.
69	Площадь	Площадь поверхности куба / прямоугольной призмы.
Цель: По завершении урока учащийся сможет вычислить площадь поверхности ряда различных форм, применив соответствующую формулу.
70	Площадь	Площадь поверхности треугольной / трапециевидной призмы.
Цель: По завершении урока ученик сможет вычислить площадь поверхности ряда треугольных и трапециевидных форм, применив соответствующую формулу.
71	Площадь	Площадь поверхности цилиндра и сферы.
Цель: По завершении урока ученик сможет вычислить площадь поверхности различных цилиндрических и сферических форм, применяя соответствующую формулу.
72	Площадь	Площадь пирамид
Задача: По завершении урока ученик сможет находить поверхности пирамид.
73	Площадь	Площадь конусов
Задача: По завершении урока учащийся сможет найти участки поверхности конусов путем нахождения участка или основания ‘p r. ‘И площадь криволинейной поверхности‘ p r l ’. Студент также сможет найти наклонную высоту «l» с учетом перпендикуляра
74	Площадь	Площадь поверхности сложных твердых тел
Задача: По завершении урока учащийся сможет находить площади поверхности композитных тел.
75	Объем	Объем пирамид и конусов.
Задача: По завершении урока учащийся сможет: использовать формулы для определения объема правильных пирамид и конусов, а также вычислять объем различных пирамид и конусов.
76	Объем	Составные твердые тела.
Цель: По завершении урока учащийся сможет: разбивать составные твердые тела на более простые формы, чтобы можно было рассчитать объем, рассчитывать объем различных составных твердых тел и соответствующим образом использовать формулы.
77	Координатная геометрия — плоскость	Формула расстояния.
Задача: По завершении урока ученик сможет вычислить расстояние между любыми двумя точками на числовой плоскости и интерпретировать результаты.
78	Координата Геометрия-середина, уклон	Формула средней точки
Задача: По завершении урока ученик сможет понять формулу средней точки и использовать ее на практике.
79	Координатная геометрия-градиент	Градиент
Цель: По завершении урока ученик сможет вычислить уклон линии с учетом ее наклона или угла к положительному направлению оси x; или его взлет и бег.
80	Координатная геометрия-градиент	Формула градиента.
Цель: По завершении урока ученик сможет рассчитать уклон линии с учетом любых двух точек на линии, а также сможет проверить, лежат ли 3 или более точки на одной линии и какая неизвестная точка. сделаю параллельными линиями.
81	Координатная геометрия-прямая	Прямая.
Задача: По завершении урока ученик сможет нарисовать линию, параллельную любой оси, и прокомментировать ее градиент там, где этот градиент существует.
82	Координата Геометрия-наклон и т. Д.	Строки через исходную точку.
Задача: По завершении урока ученик сможет нарисовать линию, проходящую через начало координат формы y = mx, и прокомментировать ее градиент по сравнению с градиентами других линий через начало координат и использовать эту информацию для решать задачи.
83	Координатная геометрия-уравнение прямой	Общий вид линии и пересечения по осям x и y.
Задача: По завершении урока учащийся сможет преобразовать уравнение прямой из формы, записанной как y = mx + c, в общую форму и наоборот.
84	Координатная геометрия-пересечение	Форма пересечения линии с наклоном.
Цель: По завершении урока учащийся сможет найти наклон и точку пересечения по уравнению, а также по наклону и точке пересечения и вывести уравнение.
85	Координата Геометрия-точка наклона	Точечный уклон прямой
Цель: По завершении урока ученик поймет, как вывести уравнение прямой линии с учетом уклона и точки на прямой.
86	Статистика	Таблица распределения частот
Цель: По завершении урока учащийся сможет построить таблицу частотного распределения для необработанных данных и интерпретировать эту таблицу.
87	Статистическая вероятность	Суммарная частота
Задача: По завершении урока учащийся сможет построить столбцы совокупной частоты, гистограммы и многоугольники.
88	Статистическая вероятность	Вычисление медианы по частотному распределению
Задача: По завершении урока учащийся сможет определить медианное значение по многоугольнику совокупной частоты.
89	Статистическая вероятность	Древовидные диаграммы — вне зависимости от предыдущих результатов
Задача: По завершении урока учащийся будет уверенно рисовать древовидные диаграммы для перечисления результатов многоэтапной вероятностной задачи, а затем находить вероятности определенных событий, не зависящих от предыдущих результатов.
90	Статистическая вероятность	Древовидные диаграммы — в зависимости от предыдущих результатов
Задача: По завершении урока учащийся будет уверенно рисовать древовидные диаграммы для перечисления результатов других многоэтапных вероятностных задач, а затем находить вероятности определенных событий в зависимости от предыдущих результатов.
91	Экзамен	Экзамен — 10 курс
Цель: Экзамен

Группа американских подростков отлично разбирается в математике

Знойным вечером в июле прошлого года высокий 17-летний Дэвид Стоунер с тихим голосом и почти 600 других математиков со всего мира сидели небольшими группами за плетеными столиками в бистро, разговаривая тихо и одержимо освежая браузеры на своих ноутбуках.Воздух в просторном вестибюле отеля Lotus Pang Suan Kaew в Чиангмае, Таиланд, был влажным, вспоминает Стоунер, чей легкий акцент в Южной Каролине согревает его тщательно подобранные слова. Напряжение в комнате делало его особенно тяжелым, как атмосфера на покерном турнире с высокими ставками.

Стоунер и пять товарищей по команде представляли Соединенные Штаты на 56-й Международной математической олимпиаде. Они посчитали, что за два дня соревнований они набрали неплохо и . Бог знает, что бы тренировался. Стоунер, как и его товарищи по команде, более года терпел изнурительный режим — решал сложные задачи за завтраком перед школой и брал на себя еще больше задач поздно вечером после того, как выполнил домашнее задание на уроках математики в колледже. Иногда он делал наброски корректуры на большой доске для сухого стирания, которую его отец установил в его спальне. По ночам он засыпал, читая такие книги, как Новые задачи евклидовой геометрии и Введение в диофантовы уравнения .

Тем не менее, было трудно понять, как его команда выступила против тех из вечных держав Китая, России и Южной Кореи. «Я имею в виду золото? Достаточно ли хорошо мы справились, чтобы получить золото? он сказал. «В тот момент было трудно сказать». Внезапно из вестибюля послышался крик команды, а затем коллективный вздох, когда олимпийцы приблизились к своим ноутбукам. Когда Стоунер попытался впитать в себя то, что он видел на экране своего компьютера, уровень шума в вестибюле вырос с гудения до аплодисментов. Затем один из членов его команды издал возглас, закончившийся скандированием «США! США! », И аплодисменты других олимпийцев стали более сильными и, наконец, громовыми. Сияя, один из товарищей по команде Стоунера вытащил из своего рюкзака небольшой американский флаг и начал им размахивать. Стоунер усмехался. Впервые за 21 год команда США заняла первое место. Выступая прошлой осенью из своего общежития в Гарварде, где он сейчас учится на первом курсе, Стоунер вспомнил триумф своей команды с тихим удовлетворением.«Это был действительно великий момент. Действительно здорово. Особенно, если вы любите математику ».

«С американскими студентами, которые хотят изучать математику на высоком уровне, происходит нечто очень важное».

Это тоже не было отклонением от нормы. Вы не увидите этого в большинстве классов, вы не узнаете этого, посмотрев на резкое падение средних результатов тестов по стране, но кадры американских подростков достигают высот в математике мирового класса — их больше, чаще, чем когда-либо. перед. Это явление выходит далеко за рамки горстки претендентов на математическую олимпиаду.Учащиеся воспитываются в новой педагогической экосистеме — почти полностью внеклассной — которая развивалась онлайн, в богатых прибрежных городах и технических мекках страны. В этих местах учащиеся ускоренного курса учатся больше и учатся быстрее, чем 10 лет назад, занимаясь более сложным материалом, чем многие люди в сообществе продвинутой математики считали возможным. «Скамья американских подростков, которые могут выполнять математику мирового уровня, — говорит По-Шен Ло, главный тренер сборной США, — значительно шире и сильнее, чем раньше.

Изменения ощутимы в наиболее конкурентоспособных колледжах. В то время как призывы к своего рода академическому разоружению начали эхом разноситься в богатых сообществах по всей стране, фракция студентов движется в прямо противоположном направлении. «Все больше первокурсников поступает в элитные колледжи с изучением математических тем, выходящих далеко за рамки того, что традиционно преподавалось в американских средних школах», — говорит Ло. «С американскими студентами, у которых есть аппетит к изучению математики на высоком уровне, — говорит Пол Зейтц, профессор математики Университета Сан-Франциско, — происходит нечто очень важное.Это очень драматично и происходит очень быстро ».

В прошлом небольшое количество старшеклассников могло посещать строгие и чрезвычайно избирательные национальные летние математические лагеря, такие как Летние занятия по математике в Хэмпширском колледже в Массачусетсе или математическую программу Росса в штате Огайо, оба из которых прошли обучение. на протяжении десятилетий. Но в последнее время появились десятки новых математических лагерей с такими названиями, как MathPath, AwesomeMath, MathILy, Idea Math, sparc, Math Zoom и Epsilon Camp, которые открывают двери для детей, у которых есть способности и энтузиазм к математике, но не обязательно вундеркинды.В Кремниевой долине и в районе залива математические кружки — некоторые из них управляются крошечными некоммерческими организациями или одним профессором и предлагают небольшим группам любителей математики средних и старших классов возможность решать проблемы под руководством аспирантов, учителей и профессоров , инженеры и разработчики программного обеспечения — теперь у них длинные списки ожидания. Прошлой осенью в Нью-Йорке было проще получить билет на популярный мюзикл Гамильтон , чем записать ребенка в определенные математические кружки. Некоторые кружки в программе New York Math Circle, в которой участвуют 350 студентов, выходят из Нью-Йоркского университета, и заполняются примерно за пять часов.*

Соревнования по математике тоже становятся все популярнее. Число участников из США в Math Kangaroo, международном конкурсе для учеников с первого по двенадцатый класс, который прибыл на американские берега в 1998 году, выросло с 2576 в 2009 году до 21 059 в 2015 году. Более 10 000 учеников средних и старших классов часто посещают чаты. , покупайте учебники и посещайте занятия на веб-сайте «Искусство решения задач» для изучающих математику. Этой осенью основатель Art of Problem Solving Ричард Рушик, бывший математик-олимпиец, оставивший свою работу в сфере финансов 18 лет назад, откроет два обычных центра в регионах Роли, Северная Каролина, и Роквилле, штат Мэриленд, с упором на продвинутую математику. Затем последует онлайн-программа для учеников начальной школы. Прошлой осенью Зейтц — вместе с другим профессором математики, учителем и менеджером по частному капиталу — открыл в Сан-Франциско небольшую независимую среднюю школу Proof School, которая также специализируется на углубленной математике. Еще до того, как начался первый учебный год, школьные чиновники получали запросы от родителей, которые интересовались, когда же на Восточном побережье откроется Proof School и смогут ли они поставить своего ребенка в лист ожидания. «Аппетит семей к такому виду обучения математике, — говорит Рушик, — кажется безграничным.

Родители учащихся из сообщества ускоренной математики, многие из которых зарабатывают на жизнь в основном поля, зачислили своих детей в одну или несколько из этих программ, чтобы дополнить или заменить то, что они рассматривают как поверхностное и часто запутанное обучение математике. общественными школами, особенно в конце начальной и средней школы. У них есть на это основания. По данным Бюро статистики труда, большая часть роста нашей национальной экономики будет обеспечиваться за счет рабочих мест, связанных с побочными эффектами, некоторые из которых очень хорошо оплачиваются.Первокурсники колледжа слышали это сообщение; число тех, кто говорит, что они хотят стать специалистами по основам, выросло. Но показатели отсева очень высоки: в период с 2003 по 2009 год 48 процентов студентов, получивших степень бакалавра в основной области, перешли на другую специальность или бросили учебу — многие обнаружили, что у них просто не было количественного фона, необходимого для успеха.

Корни этой неудачи обычно восходят ко второму или третьему классу, говорит Инесса Рифкин, соучредитель Русской математической школы, которая в этом году набрала 17 500 учеников в вечерние и выходные математические академии в 31 месте. по США.В этих классах, как сетуют многие эксперты в области образования, обучение — даже в лучших школах — осуществляется плохо подготовленными учителями, которые сами не очень хорошо разбираются в математике. В 1997 году Рифкин, который когда-то работал инженером-механиком в Советском Союзе, убедился в этом воочию. Ее детей, которые учились в государственной школе в богатом Ньютоне, штат Массачусетс, учили решать проблемы, запоминая правила, а затем следуя им, как шаги в рецепте, не понимая общей картины. «Я просматривал их домашнее задание, и то, что я видел, не выглядело так, как будто их учили математике», — вспоминает Рифкин, который говорит категорично, с сильным русским акцентом.«Я бы сказал своим детям:« Забудьте о правилах! Подумайте только! »И они отвечали:« Здесь не так учат. Учитель не хочет, чтобы мы этого делали ». В том же году она и Ирина Хавинсон, одаренная учительница математики, которую она знала, основали Русскую школу вокруг ее обеденного стола.

Учителя в русской школе помогают ученикам овладеть арифметикой, основами алгебры и геометрии, а затем и математикой высшего порядка. На каждом уровне и с возрастающей интенсивностью по мере взросления учащиеся должны продумывать логические задачи, которые могут быть решены только при творческом использовании математики, которую они выучили.

Перерыв в воскресном классе в Бенсонхерсте, Бруклин, который проводится Русской математической школой, в которой обучается около 17 500 студентов по всей стране. Один из соучредителей школы, бывший инженер-механик из Советского Союза, считает, что математическое образование в США начинает давать сбой уже во втором или третьем классе. (Эрин Патрис О’Брайен)

Одним холодным декабрьским воскресеньем в школе в Бенсонхерсте, Бруклин, семь второклассников прошли мимо глянцевого плаката с изображением учеников русской школы, недавно завоевавших медали на соревнованиях по математике.Они уселись на свои места, пока их учительница Ирин Робер показывала им концептуальные примеры сложения и вычитания, разрывая бумагу пополам и добавляя веса с каждой стороны весов, чтобы сбалансировать их. Все просто. Затем ученики по очереди подходили к доске, чтобы объяснить, как они использовали сложение и вычитание для решения уравнения для x , что потребовало немного больше размышлений. После короткого перерыва Робер попросил каждого ребенка придумать рассказ, объясняющий, что означает выражение 49+ (18–3). Дети придумывали сказки о фруктах, об выпадении и росте зубов и, ко всеобщему веселью, о туалетных монстрах.

Хотя студенты смеялись, в их объяснениях не было ничего поверхностного или поверхностного. Робер и ее класс внимательно выслушали логику, заложенную в каждой из историй. Когда один мальчик, Шон, запутался в своих рассуждениях, Робер сразу указал на то место, где его мысли пошли наперекосяк (в восторженном рассказе истории о фермерах, обильном урожае и варминтах, поедающих яблоки, Шон начал рассказывая о том, что случилось с 49 яблоками, когда порядок операций требовал, чтобы он сначала описал сокращение количества 18 яблок).Робер осторожно поправил его. Позже дети рассказали истории о 49– (18 + 3) и 49– (18–3) тоже.

Рифкин учит своих учителей ожидать сложных вопросов от учеников любого уровня, даже от учеников в возрасте 5 лет, поэтому уроки переключаются между очевидным и умопомрачительно абстрактным. «Самые молодые, естественно, по-другому смотрят на математику», — сказала она мне. «Обычно они могут задать простые вопросы, а затем, в следующую минуту, очень сложные.Но если учитель недостаточно знает математику, она ответит на простой вопрос и отбросит другой, более сложный. Мы хотим, чтобы дети задавали сложные вопросы, занимались, чтобы не было скучно, чтобы они могли заниматься алгеброй в раннем возрасте, конечно, но также видели, что это такое: инструмент для критического мышления. Если их учителя не могут помочь им в этом, что ж… — Рифкин искала слово, которое выражало ее тревогу. «Это предательство».

По предмету, существовавшему почти со времен самой цивилизации, среди экспертов по-прежнему существуют удивительные разногласия по поводу того, как лучше всего преподавать математику.На протяжении десятилетий велись ожесточенные битвы за то, чему учат, в каком порядке, почему и как. Вообще говоря, было два противостоящих лагеря. С одной стороны, те, кто предпочитает концептуальное знание — понимание того, как математика соотносится с миром — механическому запоминанию и тому, что они называют «тренируй и убивай». (Некоторые уважаемые гуру математических инструкций говорят, что запоминание чего-либо в математике контрпродуктивно и подавляет любовь к обучению.) С другой стороны, есть те, кто считает, что запоминание таблиц умножения и тому подобное необходимо для эффективных вычислений.Они говорят, что обучение студентов правилам и процедурам, регулирующим математику, является основой хорошего обучения и сложного математического мышления. Они возмущаются фразой «сверлить и убить » и предпочитают называть это просто «практикой».

Common Core State Standards Initiative идет узким путем через это минное поле, призывая учителей уделять одинаковое внимание «математическому пониманию» и «процедурным навыкам». Пока еще рано говорить о том, какой эффект будет иметь эта инициатива.Конечно, сегодня большинство учеников не изучают математику: только 40 процентов четвероклассников и 33 процента восьмиклассников считаются, по крайней мере, «хорошо знающими». На международном тесте в 2012 году только 9 процентов 15-летних в Соединенных Штатах получили высокие баллы по математике по сравнению с 16 процентами в Канаде, 17 процентами в Германии, 21 процентом в Швейцарии, 31 процентом в Южная Корея и 40 процентов в Сингапуре.

Новые внешкольные математические программы, такие как «Русская школа», различаются по своим учебным планам и методам преподавания, но у них есть общие ключевые элементы.Возможно, наиболее заметным является упор на то, чтобы научить студентов мыслить о математике концептуально, а затем использовать эти концептуальные знания в качестве инструмента для предсказания, исследования и объяснения окружающего мира. Не хватает механического заучивания и не так много времени тратится на составление списка заученных формул. Скорость вычислений — не достоинство. («Крам-школы» с механистическим подходом к изучению математики с подготовкой к тестам стали обычным явлением в некоторых иммигрантских общинах, и многие наставники состоятельных детей также используют этот подход, но это противоположно тому, чему учат в этом новом тип программы ускоренного обучения.) Чтобы не отставать от своих одноклассников, ученики быстро усваивают математические факты и формулы, но это скорее побочный продукт, чем суть.

Педагогическая стратегия, лежащая в основе занятий, в общих чертах называется «решением проблем» — банальным термином, недооценивающим, насколько разным может быть этот подход к математике. Подход, основанный на решении задач, долгое время был основным элементом математического образования в странах бывшего Советского Союза и в элитных колледжах, таких как MIT и Cal Tech. Это работает следующим образом: инструкторы представляют небольшие группы студентов, обычно сгруппированных по способностям, с небольшим количеством открытых, многогранных ситуаций, которые можно решить, используя разные подходы.

Вот пример с зарождающегося математико-научного сайта Expii.com:

Представьте себе веревку, которая полностью проходит вокруг экватора Земли, ровно прилегая к земле (предположим, что Земля представляет собой идеальную сферу без гор и долин) . Вы перерезаете веревку и привязываете к ней другой кусок веревки длиной 710 дюймов или чуть меньше 60 футов. Это увеличивает общую длину веревки немного больше, чем длина автобуса или высота 5-этажного здания. Теперь представьте, что веревка поднимается во всех точках одновременно, так что она парит над Землей на одной высоте по всей своей длине.Какая самая большая вещь может поместиться под веревкой?

Возможные варианты: бактерии, божья коровка, собака, Эйнштейн, жираф или космический корабль. Затем инструктор обучает всех студентов, пока они рассуждают. В отличие от большинства классов математики, где учителя изо всех сил стараются передать знания учащимся — которые должны пассивно усваивать их, а затем извергать их на тесте — классы решения проблем требуют, чтобы учащиеся выполняли познавательный жим лежа: исследуя, предполагая, предсказывая, анализируя и т. Д. наконец, проверка собственной математической стратегии.Дело не в том, чтобы точно выполнять алгоритмы, хотя, конечно, есть правильный ответ (Эйнштейн в задаче выше). По-настоящему обдумать проблему — творчески применить то, что вы знаете о математике, и придумать возможные решения — важнее. Сидеть на обычном уроке алгебры в девятом классе и наблюдать за классом решения задач в средней школе — все равно что смотреть, как детям читают лекции по основам нотной грамоты, а не слушать, как они поют арию из Tosca .

Участники программы «Bridge to Enter Advanced Mathematics» отбираются за их сильную аргументацию, выносливость и коммуникативные навыки, а также за удовольствие, которое они получают от решения сложных задач. По часовой стрелке от среднего ряда слева: Нью-Йорк, восьмые, девятые и десятые классы Зиан Эспиналь, Джонтае Мартин, Иезебель Гомес, Назмул Хок, Айча Кейта и Уильям Лоуренс. В нижнем ряду слева: Сотрудник Оскана Джеймс. (Эрин Патрис О’Брайен)

По моему опыту, обычная эмоция в New York Math Circle, в Русской школе, в чатах Art of Problem Solving и аналогичного веб-сайта — это подлинное волнение — среди студентов, но также среди учителей — о самом предмете.Даже в самых ранних классах преподаватели, как правило, обладают глубокими знаниями и страстно увлечены. «Многие из них работают в областях, связанных с математикой, — химии, метеорологии и инженерии — и преподают на полставки», — говорит Рифкин. Это люди, которые сами находят предмет доступным и глубоко интересным, и их поощряют передать это.

Но если не обращать внимания на азарт, педагогика очень продумана. В Русской школе уроки тщательно структурированы, и план урока каждого учителя просматривается и корректируется наставником.Преподаватели смотрят видеоролики, в которых учителя-мастера ловко помогают прояснить непонимание учащимися определенных концепций. Учителя собираются по видеоконференции, чтобы критиковать методы обучения друг друга.

Многие из этих программ — особенно лагеря, соревнования и математические кружки — создают уникальную культуру и сильное чувство принадлежности к учащимся, у которых есть интерес к предмету, но вся неловкость и неравномерность развития типичного подростка. «Когда я посетил свои первые математические соревнования», в возрасте 11 лет, «я впервые понял, что мое племя существует», — сказал Дэвид Стоунер, который год спустя присоединился к математическому кружку и вскоре после этого стал его завсегдатаем. Искусство решения проблем.Свободное сотрудничество независимо от возраста, пола и географии — это базовая ценность. Хотя сообщество специалистов по ускоренной математике исторически состояло в основном из мужчин, число девочек растет, и их присутствие ощущается. Дети выпускают пар, играя в стратегические настольные игры, такие как «Доминион» и «Поселенцы Катана», или в шахматы «дом жуков», высокоскоростную многоплатную вариацию старого режима ожидания. Юмор инсайдера изобилует. Типичный слоган на футболке: √-1 2 ³ ∑ π… и это было вкусно! (Перевод: «Я съел кусок пирога…») В летней программе математической олимпиады, тренировочном полигоне для будущих олимпийцев, в июне прошлого года в шоу талантов участвовала группа молодых людей, разрабатывающих компьютерный код в позе доски.

О карьерных амбициях студенты говорят с редкой уверенностью. Они знают, что решение проблем ради развлечения ведет к решению проблем ради прибыли. Ссылка может быть очень прямой: некоторые из самых узнаваемых компаний в сфере высоких технологий регулярно просматривают проспекты, например, на Brilliant.org, веб-сайте продвинутого математического сообщества, запущенном в Сан-Франциско в 2012 году. «Деньги следуют за математикой». общий припев.

Хотя на многих направлениях предпринимаются усилия по улучшению математического образования в государственных школах с использованием некоторых методов, используемых в этих расширенных классах, измеримые успехи в обучении оказались недостижимыми.

Практически каждый в сообществе ускоренной математики говорит, что толчок к развитию сложных математических умов должен начинаться рано и включать в себя множество продуманных концептуальных навыков обучения в начальной и средней школе. Доля американских студентов, которые могут заниматься математикой на очень высоком уровне, могла бы быть намного больше, чем сегодня. «Смогут ли они все выучить это с одинаковой скоростью? Нет, не пойдет, — говорит Ло, главный тренер математической команды США. «Но я уверяю вас, что при правильном обучении и постоянных усилиях многие, многие американские студенты смогли бы туда попасть.

Студентам, которые проявляют склонность к математике, нужны дополнительные математические возможности — и шанс быть рядом с другими энтузиастами математики — так же, как ребенку, владеющему футбольным мячом, может в конечном итоге потребоваться присоединиться к путешествующей команде. И раньше лучше, чем позже: тема неизменно последовательна и иерархична. «Если вы подождете до старшей школы, чтобы попытаться подготовить учащихся к ускоренному изучению математики, — сказал мне Ло, — опоздавшие обнаружат, что им не хватает основополагающего мышления, и им будет сложно наверстать упущенное за четыре года до колледжа.«В наши дни это редкий ученик, который может перейти от« хороших в математике »в обычной государственной средней школе к поиску места в сообществе продвинутых математиков.

Все это создает серьезный барьер. Большинство родителей из среднего класса могут исследовать спортивные программы и летние лагеря для своих 8- и 9-летних детей, но редко думают о дополнительной математике, если их ребенок не борется. «Вы должны знать об этих программах, жить в районе, где есть эти ресурсы, или, по крайней мере, знать, где искать», — говорит Сью Хим, соучредитель Brilliant.орг. А поскольку многие программы являются частными, они недоступны для бедных. (Семестр в математическом кружке может стоить около 300 долларов, год в русской школе — до 3000 долларов, а четыре недели в программе обучения математике на дому — возможно, вдвое больше. ) Данные о национальных достижениях слишком четко отражают этот пробел в доступе к обучению по математике. Отношение богатых математиков к бедным составляет 3: 1 в Южной Корее и 3,7: 1 в Канаде, если взять две репрезентативные развитые страны. В США это 8: 1.И хотя доля американских студентов, набравших высокие баллы по математике, растет, эти достижения почти полностью ограничиваются детьми высокообразованных и в значительной степени исключают детей из бедных слоев населения. К концу средней школы процент учащихся с низким уровнем дохода, изучающих продвинутую математику, округляется до нуля.

Для Даниэля Захарополя, основателя и исполнительного директора некоммерческой организации Bridge to Enter Advanced Mathematics (луч), базирующейся в Нью-Йорке, краткосрочное решение является логичным.«Мы знаем, что математические способности универсальны, и интерес к математике распространяется в значительной степени среди населения, — говорит он, — и мы видим, что среди студентов-математиков с низким доходом почти нет высокоэффективных учеников. Итак, мы знаем, что есть очень много учеников, у которых есть потенциал для высоких достижений в математике, но у которых не было возможности развить свой математический ум просто потому, что они родились не от тех родителей или с неправильным почтовым индексом. Мы хотим их найти ».

В ходе эксперимента, за которым внимательно наблюдают преподаватели и члены сообщества продвинутых математиков, Захарополь, который специализировался на математике в Массачусетском технологическом институте, прежде чем получить степень магистра по математике и преподаванию математики, каждую весну посещает средние школы в Нью-Йорке, которые служить детям из малообеспеченных семей.Он ищет студентов, которые при правильном обучении и некоторой поддержке могут занять их место, если не на Международной математической олимпиаде, то на менее избирательных соревнованиях, в математическом кружке и, в конечном итоге, на основной программе на соревнованиях. колледж.

Даниэль Захарополь ( справа ), основатель и исполнительный директор BEAM, считает, что слишком много детей с низким и средним уровнем дохода остались за бортом революции продвинутого обучения. (Эрин Патрис О’Брайен)

Захарополь не ищет лучших универсальных учеников для допуска к своей программе, которая обеспечивает всестороннюю поддержку, которую получают богатые математики: трехнедельный математический лагерь с проживанием в семье летом перед восьмым учебным годом. оценка, усиленное обучение после школы, помощь с подачей заявления в математические кружки и подготовка к соревнованиям по математике, а также базовые советы по выбору в старшую школу и поступлению в колледж.Те, кто получает отличные оценки по математике, ему интересны, но лишь в определенной степени. «Им не обязательно нравиться школа или даже уроки математики», — говорит он. Вместо этого он ищет детей с совокупностью определенных способностей: сильное рассуждение, ясное общение, выносливость. Четвертое, более невыразимое качество имеет решающее значение: «Я ищу детей, которым нравится решать сложные проблемы», — говорит Захарополь. «На самом деле математика должна приносить им радость».

Пять лет назад, когда Захарополь поступил в М. S. 343, квадратное здание в суровом районе Южного Бронкса, и сел с семиклассником Завьером Дженкинсом, у которого была широкая улыбка и ирокез, ничто в обстановке не было благоприятным. Всего 13 процентов детей успевают по английскому языку и 57 процентов по математике. 343 казался маловероятным инкубатором для будущего технического магната или инженера-медика.

Но в тихом разговоре Захарополь узнал, что у Дженкинса было то, что его братья, сестры и сверстники считали причудливой привязанностью к шаблонам и склонностью к числам.В последнее время, признался Дженкинс Захарополю, наступило определенное разочарование. Он мог точно выполнять свои математические задания, но ему становилось скучно.

Захарополь попросил Дженкинса выполнить несколько простых вычислений, с которыми он легко справился. Затем Захароль бросил головоломку в Дженкинса и стал ждать, что же произойдет:

У вас есть ящик, полный носков, каждый из которых красный, белый или синий. Вы начинаете вынимать носки, не глядя на них. Сколько носков нужно вынуть из ящика, чтобы убедиться, что вы вынули хотя бы два носка одного цвета?

«Впервые мне была поставлена ​​математическая задача, на которую не было простого ответа», — вспоминает Дженкинс.Сначала он просто умножил два на три, чтобы получить шесть носков. Недовольный, он начал искать другие стратегии.

«Меня это очень воодушевило», — сказал мне Захарополь. «Многие дети просто предполагают, что у них есть правильный ответ». Через несколько минут он предложил Дженкинсу один из способов решить проблему. Энергия в комнате изменилась. «Мало того, что Завьер придумал правильный ответ» — четыре, — но он действительно очень хорошо его понял, — сказал Захарополь. «И он, казалось, наслаждался этим опытом.Четыре месяца спустя Дженкинс жил с шестнадцатью другими подрастающими восьмиклассниками в общежитии летней программы лучевого обучения в кампусе Бард-колледжа в северной части штата Нью-Йорк, где его обучали теории чисел, рекурсии и теории графов у математиков, учителей математики. и профессора математики из ведущих университетов страны. Получив некоторую консультацию от Beam, он поступил на программу программирования, которая привела к стажировке в Microsoft. Теперь, когда он учится в старшей школе, он подал документы в некоторые из ведущих инженерных школ страны.Луч

, которому пять лет, уже увеличился в четыре раза: в прошлом году он принял 80 учеников средней школы на своей летней программе, а в его сети учатся около 250 высокоэффективных учеников с низким доходом. Но его финансирование остается ограниченным. «Мы знаем, что есть еще очень много детей из малообеспеченных семей, которых мы не охватываем и которые просто не имеют доступа к этим программам», — сказал Захарополь.

Уже есть название для инициативы, которая могла бы частично принести пользу балке, математическим кружкам, русской школе или искусству решения задач более широкому кругу учащихся, включая учащихся среднего и низкого уровня. доходные: программы для одаренных и талантливых, которые финансируются государством и могут начинаться в начальной школе. Но история этих программ чревата. Критерии приема различаются, но они, как правило, благоприятствуют состоятельным детям. Учителей можно лоббировать за рекомендацию; некоторые стандартизированные вступительные тесты измеряют словарный запас и общие знания, а не творческое мышление. В некоторых местах родители платят за обучение своих детей к вступительным экзаменам или даже за частное тестирование для поступления.

В результате, хотя многие такие программы все еще существуют, они все чаще отвергаются руководителями школ, которые придерживаются принципа справедливости. и политики, которые видят в них средство, с помощью которого преимущественно состоятельные белые и азиатские родители направляют скудные государственные доллары на дополнительное обогащение для своих и без того богатых детей.(Само по себе несколько неприятное название — «одаренный и талантливый» — не помогло.)

Дети должны видеть математику «такой, какая она есть: инструмент критического мышления. Если их учителя не могут помочь им в этом, что ж, это предательство ».

Закон «Ни одного отстающего ребенка», который формировал образование на протяжении почти 15 лет, еще больше способствовал игнорированию этих программ. Игнорируя детей, у которых могли быть способности или интерес к ускоренному обучению, он требовал, чтобы государства обратили внимание на то, чтобы научить испытывающих трудности учащихся, чтобы они успевали должным образом — благородная цель.Но в результате в течение многих лет многие преподаватели в школах в бедных кварталах, ориентированные на малоуспевающих детей, отвергали предположения о том, что умы их самых способных детей лежали в забвении. Некоторые отрицали, что в их школах вообще есть одаренные дети.

Совокупный эффект этих действий, наоборот, заключался в том, чтобы вытеснить ускоренное обучение за пределы государственных школ — приватизировать его, еще более сосредоточив внимание на детях, родители которых имеют деньги и средства, чтобы ими воспользоваться.Сегодня ни в одном предмете нет такой ясности, как в математике.

Хорошая новость в том, что политика в области образования, возможно, начинает откатываться назад. Федеральные законодательные органы и законодатели штатов, похоже, все больше соглашаются с тем, что все подростки могут извлечь выгоду из возможностей ускоренного обучения, которые когда-то были предоставлены детям с высокими способностями в богатых районах, и многие государственные средние школы были вынуждены предлагать больше классов для продвинутого обучения и расширять набор учащихся. в онлайн-курсах колледжа. Но для многих студентов со средним и низким доходом, которые, возможно, научились любить математику, эти возможности открываются слишком поздно.

Возможно, это обнадеживающий знак, что недавно утвержденный Закон о достижении успеха каждым учащимся, который недавно заменил «Ни одного отстающего ребенка», требует от штатов признать, что такие учащиеся могут существовать в каждом районе, и отслеживать их успехи. Впервые в истории страны закон также прямо разрешает школам использовать федеральные доллары для экспериментов со способами отбора учащихся с низким доходом и высокими способностями в ранние годы и для подготовки учителей для работы с ними. Универсальный скрининг в начальной школе может стать хорошим началом.С 2005 по 2007 год официальные лица школы в округе Бровард, штат Флорида, обеспокоенные тем, что бедных детей и изучающих английский язык не принимают во внимание в программах для одаренных детей, дали всем второклассникам, богатым и бедным, тест на невербальное мышление и высокие баллы. тест на IQ. Критерии «одаренного» статуса не были ослаблены, но количество детей из неблагополучных семей, определенных как обладающих способностью к ускоренному обучению, выросло на 180 процентов.

Принимают ли отдельные штаты эту задачу и делают ли это эффективно, — это их решение, но сторонники защиты говорят, что для начала они проводят кампанию.Возможно, настал подходящий момент для членов сообщества продвинутых математиков, которые так преуспели в развитии молодых математических умов, чтобы вмешаться и показать большему количеству преподавателей, как это можно сделать.

---

Видео по теме

«Нам нужно работать над тем, чтобы привыкнуть к трудностям в обучении».

---

* В эту статью добавлено название программы, проводимой в Нью-Йоркском университете.

Пег Тайр — директор по стратегии в Фонде Эдвина Гулда и автор книги «Хорошая школа: как умные родители получают своим детям образование, которого они заслуживают».

Бесплатные математические ресурсы для школ во время вспышки COVID-19 — Журнал

Коронавирус и дистанционное обучение

Обновлено: бесплатные математические ресурсы для школ во время вспышки COVID-19

• Дайан Шаффхаузер
• 08.06.20

(Обновлено 8 июня) Образовательные технологические компании и организации выступили вперед, чтобы помочь преподавателям предоставить учащимся возможности STEM и STEAM виртуальными способами во время закрытия COVID-19. Ниже приводится список бесплатных ресурсов по математике для PreK – 12. Он будет регулярно обновляться по мере появления объявлений. (Если вам известна компания, которую следует включить в этот список, отправьте подробные сведения на [адрес электронной почты защищен].)

ASSISTments уже бесплатно для учителей математики средних школ. Программа позволяет им назначать домашнее задание или классное задание и предоставлять студентам немедленную обратную связь по мере выполнения ими своих заданий; учителя получают отчет, показывающий индивидуальный прогресс ученика и класса.Есть библиотека контента, который включает открытые учебники, уроки, практику государственного тестирования и наборы задач по развитию навыков. Теперь эта некоммерческая организация составляет расписание текущих занятий, чтобы помочь учителям настроить ПОМОЩНИКИ для дистанционного обучения. https://new.assistments.org/distance-learning

Carnegie Learning LONG + LIVE + MATH собрал бесплатное сочетание учебников и программных ресурсов для помощи в занятиях математикой. Сюда входят уроки математики, отработка навыков и обучающие видеоролики для учащихся 6–12 классов. Компания также предлагает бесплатный доступ к своему программному обеспечению для обучения математике MATHia до конца учебного года. https://www.carnegielearning.com/help-center/at-home-resources/at-home-resources-for-teachers/long-live-math-at-home/

Casio предлагает несколько ресурсов, помогающих с математическим образованием. Компания предоставляет бесплатный доступ к ClassPad.net, веб-калькулятору для вычислений, построения графиков, геометрии и статистики.Также есть программное обеспечение для эмуляции самых популярных научных и графических калькуляторов Casio, а также загружаемые калькуляторы, которые учителя могут назначать для начальной, средней и старшей школы. https://www.casioeducation.com/remote-learning

ExploreLearning предоставляет бесплатные 60-дневные пробные версии трех программ: Для математики и естественных наук существует 400 «штуковин», охватывающих темы и понятия математики и естественных наук для 3–12 классов. «Рефлекс» помогает студентам освоить основы математики для сложения, вычитания, умножения и деления.А Science4Us охватывает исследования, физику, науку о жизни, а также науку о Земле и космосе с уроками для учащихся K-2. https://web.explorelearning.com/coronavirus-response/

Хорошие калькуляторы предоставляет множество бесплатных онлайн-калькуляторов для выполнения математических и статистических операций, инженерных расчетов и преобразований. На сайте также есть специализированные калькуляторы для финансов, даты и времени, логистики, продаж, спорта и здоровья. https://goodcalculators.com/

справочная просьба — советские русские книги по математике

Продолжение ответа Артема:

Веб-сайт MCCME, вероятно, в настоящее время является «официальным» местом, где можно найти такие книги, как классические, так и новые.См. Их библиотеку, их коллекции бесплатных книг и их книжные серии; Насколько я понимаю, (почти?) все это можно бесплатно загрузить (если вы видите только HTML, прокрутите его до самого низа, чтобы найти ссылку DjVU). Я понятия не имею, содержится ли одна из этих ссылок в других.

Мне особенно нравятся «Популярные лекции по математике» (они тоже есть на сайте MCCME, но их DjVU-ссылки в настоящее время не работают) и «Библиотека математического кружка». Названия переводятся как «Популярные лекции по математике» и «Библиотека математического кружка», и означают именно это: популярные лекции написаны для «нормальных» заинтересованных студентов, и, e.g. Воробьевский доклад о числах Фибоначчи посвящен математической индукции; книга Скорнякова дает очень базовое введение в линейную алгебру; Калужнин доказывает уникальность факторизации целых чисел, прежде чем он решится на $ \ mathbb Z \ left [i \ right] $; и т. д. Библиотека математического кружка (начиная со знаменитого сборника задач Шклярского-Ченцова-Яглома, первый том которого был переведен на английский язык) более развита и, как правило, написана в стиле сборника задач; я считаю, что это своего рода проблемные книги, в которых решения написаны для чтения, а не просто для чтения. Я подозреваю, что обе эти серии восполнят пробелы в западном образовании, если будут переведены (хотя некоторые из них уже были — например, числа Фибоначчи Воробьева или Головиной / Яглома «Индукция в геометрии» — и пара библиотечных серий на самом деле это переводы).

math.ru, опять же, насколько я могу судить, объединяет перечисленные выше библиотеки и некоторые другие. Конечно, вы можете получить еще больше книг в Library Genesis, если знаете, что искать.

Среди авторов можно узнать Юджина Б.Дынкин, Игорь Шафаревич, Александр Гельфонд. Вы, наверное, тоже слышали о братьях Яглом, если увлекаетесь математическими олимпиадами; ряд их книг переведен на английский язык (см. ссылки в Википедии). У меня сейчас нет текстов Арнольда и Гельфанда, смотрящих на меня с экрана, но я почти уверен, что они написали некоторые.

Виктор Прасолов является активным толкователем, и большинство его книг можно загрузить с его веб-сайта, включая 2-е издание его «Задач и теорем линейной алгебры». Переведено 1-е издание; 2-го пока нет.

математика в фокусе 5 класс ответы

ISBN-13: 97806628. Математика в фокусе 1 класс. Математика в центре внимания: Сингапур Математика: Учебное пособие для учащихся, книга A 3 класс Купите учебное пособие 5 по математике в книжном онлайн-магазине Nelsons … 3–8 классы; Math Focus 5 Workbook (5 Pack) Math Focus 5 Workbook (5 Pack) Поделиться: Math Focus 5 Workbook (5 Pack) 24-feature1: Дополнительная практика на каждом уроке. 178 страниц, мягкая обложка; тесты бывают перфорированными, перфорированными с тремя отверстиями и воспроизводимы.24-feature2: Встроенная домашняя помощь. математика в фокусе calvert ответ ключевой класс 5 Фрэнк Г. Слотер ИДЕНТИФИКАТОР ФАЙЛА cf4079 Доступны бесплатные версии библиотеки мультимедиа математика в фокусе homeschool pkg w ans key gr 5, затем отработайте эти математические навыки 4-го класса, мысленно практикуйте математическую сетку, добавляя сетку и проверяйте свои ответы when youre done mental Дата публикации: 21. 03.2014. Обратите внимание: этот продукт доступен для покупки только домашними школами, потребителями и государственными учреждениями. Этот документ включает согласование навыков IXL® с учебной программой Houghton Mifflin Harcourt «Математика в фокусе» (2013).Отображение всех рабочих листов, связанных с — Математика в фокусе 5 класс. Математика в Фукусе 5b — Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для этой концепции. 5 класс, первый семестр. Классы: 4, 5. Этот предмет: Math in Focus: Singapore Math: Homeschool Answer Key Grade 5 by HOUGHTON MIFFLIN HARCOURT Мягкая обложка $ 35,46 Остался только 1 — закажите в ближайшее время. 24-feature3: Включает 5 копий книги в формате мягкой обложки. Учебник 5Б, 334 стр., Твердая обложка. Глава 1: Шаблоны в математике: Глава 2: Нумерация: Глава 3: Сложение и вычитание десятичных знаков: Глава 4: Отношения данных.Элемент № 047453. О математике в центре внимания: Сингапурская математическая домашняя школа. Ключ ответов для 5-го класса. Ключи с ответами для 5-го класса содержат уменьшенные страницы учащихся и ответы на учебник для учащихся (на лицевой стороне) и в рабочую тетрадь (на обороте). Родительский надзор приветствуется. 3-8 класс; Math Focus 5 Workbook (5 Pack) Math Focus 5 Workbook (5 Pack) Поделиться: Math Focus 5 Workbook (5 Pack) 24-feature1: Дополнительная практика на каждом уроке. Элемент № 061470. Базовые материалы также похожи: оба имеют два уровня (A и B) для учителей, непотребные тексты для учащихся и рабочие тетради для каждого класса; и у обоих есть дополнительные материалы, такие как дополнительные учебники, оценочные (тестовые) книги и дополнительные (сложные) книги.Выбор Значок типа файла Имя файла Описание Размер Редакция Время Пользователь; Ċ: End of the Year Review.pdf View Download 3673k: v. 1: 23 апреля 2018 г., 17:06: [электронная почта защищена] Math In Focus Answer Keys; Файл выбора… Math in Focus издается в Соединенных Штатах теми же людьми, которые публикуют Saxon Math, хотя между этими двумя программами мало общего. Здесь вы найдете все главы с разбивкой на видео, которые помогут вам понять концепции. Рабочие листы по математике в соответствии с темами Рабочие листы по математике в соответствии с оценками Интерактивная зона Уроки математики для 5-го класса Эти бесплатные интерактивные рабочие листы по математике подходят для 5-го класса. Math in Focus Комплект для домашнего обучения 5-го класса с Answer Key Math in Focus®: Singapore Math от Маршалла Кавендиша предлагает сингапурскую учебную программу мирового класса по математике в вашем классе K-8. IXL предоставляет услуги по повышению квалификации учителей, учеников и родителей. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: математика в 4-м классе, учебные документы по математике для 4-го класса, математика для 1-го класса, математика, мамонт, южноафриканская версия, 4-й класс, рабочий текст, ответы на 3-й класс по математике, образец рабочей тетради, пример работы из, четвертый номер класса разговоры.Его можно отправить на домашнее задание или заполнить в классе. Singapore Math — 5A — Ответные ключи Slideshare использует файлы cookie для улучшения функциональности и производительности, а также для предоставления вам релевантной рекламы. Предметы: Математика. и оцените разумность ответов (например, распознать неправильный результат 2/5 + 1/2 = 3/7, заметив, что 3/7 Школа> Математика K-8> Математика 5> Родительский центр> Ответы из рабочей тетради: Ответы из рабочей тетради. Этот пакет домашнего обучения «Математика в фокусе» содержит книги «Математика в фокусе», необходимые учащимся 5-го класса, а также ключ для ответов.Глава 1: Паттерны в математике. Календарь оценок заданий по математике Тесты по математике в фокусе, которые можно использовать для просмотра дома. Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для — Math In Focus 4 класс. Кроме того, вы найдете рабочие листы, которые помогут вам практиковаться. Математика в фокусе 5 класс — Обзор продуктов — Ресурс Rainbow. Твердая обложка. Издатель: Marshall Cavendish Homeschool. Математика в фокусе. Ключ к ответам в рабочей тетради 5-го класса, 15-я филиппинская математическая олимпиада вопросы и ответы, как г-н. utterson развивает в этих отрывках эссе, вопросы о тесте на гражданство США и ответы на русском, возобновление интернационализации в Starbucks, анализ кейсов эссе, hoja de respuestas del examen de sexto grado segundo bimestre, закон о толерантности на полках, эссе о холокосте, кто dr eckleburg в великом гэтсби подсказки для эссе, азад хинд фаудж, сформированный в которой эссе, америка и я, рассказ анции езерской. ISBN-13: 9780547579061. Добавить в корзину) Доступны 1 выгодная версия. Ниже вы найдете презентацию PowerPoint, которой поделились учителя. Math in Focus замечательно подходит для подготовки учеников к алгебре после пятого класса. В корзину) Математика в центре внимания Учебное пособие для 1 класса A. Глава 14 — Дроби. Оценка: 6, Название: Математика в фокусе Общий основной курс Сингапурской математики 1 A, Издатель: Маршалл Кавендиш, ISBN: 547559364 Его можно воспроизвести в одном классе. Глава 13 — Гистограммы и линейные графики.Рабочая тетрадь 5Б, 218 стр., Мягкая обложка. Предоставляя эту услугу, я не беру на себя никакой ответственности за информацию или публикации третьих лиц в Интернете, даже если вы получаете к ним доступ через эти страницы. Переучить: … 5 класс. Вот некоторые из рабочих листов для этой концепции: «Повторное обучение и отработка навыков», оценочный тест по начальной математике в Сингапуре 5a, разметка целых чисел в главе 1, рабочая тетрадь 5a, ответ ключевой pdf, математика мамонт 5 класс, рабочий текст, математика… Этот комплект для домашнего обучения Включает: Рабочая тетрадь 5А, 264 стр. , мягкая обложка.ISBN-13: 978-06631. Уровни навыков предоставляются IXL и не связаны, не спонсируются, не рассматриваются, не одобряются и не одобряются Houghton Mifflin Harcourt или любой другой третьей стороной. 5184 кб / с. Ниже вы найдете презентацию PowerPoint, которой поделились учителя. 24-feature3: Включает 5 копий книги в формате мягкой обложки. Товары (28) Сортировать по 1 2 Следующая страница 1 из 2. Осталось 2 шт. На складе. Этот обзор имитирует «Подготовка к тесту» из оценочной книги и представляет собой отличный обзор теста.Оценка: 5, Название: Математика в фокусе: подход Сингапура, Учебник для учащихся 5A, Издатель: Маршалл Кавендиш, ISBN: 6620 В центре внимания математика, 5 класс. Следующая страница. Математика в фокусе Ключ с ответами в учебном пособии 5-го класса | обновлено. Предоставляя эту услугу, я не беру на себя никакой ответственности за информацию или публикации третьих лиц в Интернете, даже если вы получаете к ним доступ через эти страницы. Math In Focus Рабочие листы 5-го класса — Learny Kids Math In Focus 5-й класс — Отображение 8 лучших заданий, найденных для этой концепции.. Глава 10 — Деньги. Уровни навыков предоставляются IXL и не связаны, не спонсируются, не рассматриваются, не одобряются и не одобряются Houghton Mifflin Harcourt или любой другой третьей стороной. Nelson Education> Школа> Математика K-8> Math Focus> 5 класс> Студенческий центр: 5 класс: во всемирной паутине есть множество увлекательных математических заданий и игр. Щелкните главу, чтобы просмотреть ссылки «Попробовать». Nelson Education> Школа> Математика K-8> Math Focus> 5 класс> Студенческий центр> Попробуй: СОДЕРЖАНИЕ.Главы. Ключ ответа включен. Оценок: 5. Дата публикации: 21.03.2014. Предоставляя эту услугу, я не беру на себя никакой ответственности за информацию или публикации третьих лиц в Интернете, даже если вы получаете к ним доступ через… Вы можете получить доступ к другим сайтам в Интернете через эти страницы. Отображение 8 лучших заданий, найденных для — Math In Focus 5a Reteach. Singapore Math — 5A — Ответные ключи Slideshare использует файлы cookie для улучшения функциональности и производительности, а также для предоставления вам релевантной рекламы.Классы: 2, 3. Наша цена: 29,95 $. Результаты поиска. Math In Focus Singapore Math Grade 5 Answer Key.pdf — Бесплатная загрузка электронных книг, справочников, учебников, руководств пользователя в формате PDF в Интернете быстро и легко. Прилагаются ответы и зачетный лист. Если вы продолжаете просматривать сайт, вы соглашаетесь на использование файлов cookie на этом сайте. Математика в центре внимания: Сингапурская математическая школа на дому. Ответ Ключевой класс 5 Пункт №: 061470 Класс: 5 Розничная цена: 32,60 доллара Цена Rainbow: 29,95 доллара. Технологическая поддержка родителей; Домашний доступ / Семейное приложение; Панель управления для родителей NYSED; Социально-эмоциональная поддержка; Школьная информация о чрезвычайных ситуациях; Продолжая Эд; Ресурсы учебной программы; Закон о достоинстве; Запросы выпускников; Полезные ссылки; Студенческие ресурсы; Молодежные службы в округе Патнам … Математика в фокусном курсе 3 Контрольные работы для 8-го класса.Учебник 5А, 348 стр., Твердая обложка. Не торопитесь и почаще пробуйте их. Math in Focus 5 класс Вы можете получить доступ к другим сайтам в Интернете через эти страницы. Сингапурская математика — Учебное пособие по математике уровня 1А для 1-го и 2-го классов по математике, в мягкой обложке, для детей 7–8 лет с ответом Key Singapore Asian Publishers 4,5 из 5 звезд 314 Math in Focus Singapore Math Common Core Course 1 Учебное пособие для 6-го класса и ответы на вопросы онлайн . Некоторые из рабочих листов для этой концепции: математика мамонт 5 класс, рабочий текст, тест на конец года, практическое пособие Скачать файл PDF Математика в фокусе 5 класс Ответ Ключевые слова 5-й класс абзацы 5-й класс 5.Оценка: 5. Формат: 5… Математика в центре внимания: Сингапурская математическая школа на дому Ответ ключевой класс 5. Математика в центре внимания 5a Повторное обучение. Это также является отличным обзором или повторным обучением в шестом классе. Поставляется и продается на ecampus. Математика в фокусе 5a Повторное обучение рабочим листам — учащиеся дети. Математика в фокусе: Сингапурский подход, Учебник для учащихся 5A, учебное пособие для 5 класса и ответы онлайн. 3122. Его можно отправить на домашнее задание или выполнить в классе. В оценочной книге «Математика в фокусе» 3 для 8-го класса есть предварительный тест и тест по главам для каждой главы в учебнике.. Список $ 40,73. Добро пожаловать; Напоминать; Математика 7 ENR и Математика 7; Математика 7 ACC; ЛЕТНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПАКЕТ; Математика в центре внимания Учебная программа для 7-го класса; Необходимые материалы; Целочисленные игры и… Этот обзор имитирует «Подготовка к тесту» из оценочной книги и представляет собой отличный обзор теста. Уровень детского сада оформлен иначе, чем другие уровни, с пятью оценками, требующими помощи учителя. Глава 15 — Обычная длина, вес и вместимость. Типы: учебные пособия, оценки, печатные издания. 15-я филиппинская математическая олимпиада вопросы и ответы на эссе Макиавелли корня мандрагоры ответы на экзамен по вождению в университете как … Предоставляя эту услугу, я не беру на себя никакой ответственности за информацию или публикации третьих лиц в Интернете, даже если вы получаете к ним доступ через эти страницы .Математика в фокусе: сингапурская книга для повторного обучения математике 5-й класс дает больше знаний о концепциях учащимся, которым нужно больше времени для овладения новыми навыками или концепциями. Рабочая тетрадь 5Б, 218 стр., Мягкая обложка. Издатель: Marshall Cavendish Homeschool. В центре внимания математика для 3-го класса. ISBN. Работают как 13-значные, так и 10-значные форматы. Математика в центре внимания: Сингапурский подход к 5 классу (97806693) Глава 11 — Метрическая длина, масса и объем. Nelson Education> Школа> Математика K-8> Math Focus> 5-й класс: 5-й класс Попробуйте вопросы и множество интересных ссылок на другие веб-сайты.Этот пакет для домашнего обучения «Математика в фокусе» содержит книги «Математика в фокусе», необходимые учащимся 5-го класса, а также ключ для ответов. В 2013-2014 учебном году учителя 5-х классов провели родительский вечер по математике. Родительский надзор приветствуется. Math in Focus Пакет домашнего обучения для 5 класса (с ключом ответа) Основанный на сингапурском методе преподавания математики, Math in Focus предлагает проблемно-ориентированный подход, основанный на прогрессии от конкретного к графическому к абстрактному. Математика в фокусе 5а Повторное обучение.С самого начала программы большое внимание уделяется алгебраическим понятиям, поэтому учащиеся лучше подготовлены к работе с алгеброй, когда она будет полностью представлена ​​в более поздних классах. Nelson Education> Школа> Математика K-8> Math Focus> 5 класс> Студенческий центр> Попробовать СОДЕРЖАНИЕ Щелкните главу, чтобы просмотреть ссылки «Попробовать». Если вы продолжаете просматривать сайт, вы соглашаетесь на использование файлов cookie на этом сайте. Вот некоторые из рабочих листов для этой концепции: математический гигант 5-й класс рабочий текст, тест на конец года, практическая рабочая тетрадь 2-го класса, практический тест по математике для 5-го класса, математика 5-й класс, начальная математика, моделирование шаблонов, словарный запас 5-го класса абзацы пятый 5 класс.Вы можете получить доступ к другим сайтам в Интернете через эти страницы. Мягкая обложка на 232 страницах. Также есть два эталонных теста, промежуточный тест и тест на конец года на каждом уровне. Этот обзор имитирует «Подготовка к тесту» из оценочной книги и представляет собой отличный обзор теста. Почему ISBN важен? Math in Focus — это подлинная программа Singapore Math®, которая сочетает в себе сингапурский подход к математике с простой в использовании и понимаемой конфигурацией. Проведу тесты по главам в созданном мной классе.Розничная торговля: 33,40 доллара. 24-feature2: Встроенная домашняя помощь. Математика в центре внимания 5 класс. Математика в центре внимания: математика Сингапура, книга B 5 класс. Математика в фокусе. Ключ к ответу на рабочую тетрадь 5-го класса Pdf.pdf — бесплатно загружайте электронные книги, справочники, учебники, руководства пользователя в формате PDF в Интернете быстро и легко. Используйте их, чтобы попрактиковаться и улучшить свои математические навыки. Математика в фокусе К-5; Записки медсестер; Школьные услуги; Районные технологии; Транспорт; Родители и сообщество. Для каждого уровня «Math in Focus» есть по одной книге.Математика в фокусе 5 класс. Математика в фокусе 5 класс. Ответы на вопросы домашнего обучения, 187 газетных страниц, мягкая обложка. Если вы ранее использовали Primary Math, переход к Math in Focus должен быть плавным. В центре внимания математика для 3-го класса. 30,30 канадских долларов. Глава 1 — Числа до 10 000. Математика в фокусе Оценка 3b — Отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции. Глава 12 — Проблемы реального мира: Измерение. Math in Focus — это подлинная программа Singapore Math®, которая сочетает в себе сингапурский подход к математике с простой в использовании и понимаемой конфигурацией.Помощь онлайн. Обычная длина, вес и родители). В центре внимания Учебник по математике для 1 класса.! 1 Рабочая тетрадь — промежуточный тест, и еще 1 из 2 — глава 5 Math Focus. Сортировать по 1 2 Следующая страница 1 из 2 издание Книги ученики. Есть одна книга для каждой главы в задней части каждой книги функциональности и производительности и! Этот документ включает в себя согласование навыков IXL® в качестве обзора мягкой обложки Рабочей тетради. И посмотрите, как вы делаете 187 газетных страниц, мягкая обложка даст тесты глав в тесте класса ».Школьные услуги; Районные технологии; Транспорт; Родители и сообщество 2013) учебная программа решает эту проблему. Вы получаете именно ту версию или издание Book it Out. Ссылки можно отправить домашнее задание! 1 Рабочую тетрадь а также можно использовать для просмотра дома «Фокус на родительском вечере» с …, полезными аннотированными веб-ссылками, профессиональными ресурсами и Рабочей тетрадью 1 класса с ресурсами Rainbow с объемом 27 … Математика в фокусе 5A Повторное обучение 8-му классу …. Также два контрольных теста, промежуточный тест и родительский 11 — Метрическая длина ,,… Выравнивание навыков Ixl® в качестве обзора теста из главы 5 Фокусного курса 3 по математике для … Оценка (выпуск 2015/2018), а также Ответа на ключевую математику Homeschool Ответ | … Эта концепция дома Файл PDF Математика в центре внимания 5 класс Отличный источник Обзор 6-го класса для тестовой главы. Глава 5 математики в фокусе 5 класс — Обзор продуктов — Rainbow Resource Education. Детская математика в фокусе 5A Reteach СОДЕРЖАНИЕ; Школьные услуги; Округ ;. Общий базовый курс 1 учебное пособие и ответы для 6-го класса в Интернете Out: TABLE of…. Как вы понимаете, пакет концепций содержит ответ на 5-й класс «Математика в фокусе» |! Проведите тесты по главам в классе, созданном мной 28) Сортировать по 1 2 Следующая страница 1 из .. Вы найдете презентацию в формате PowerPoint, которую поделили учителя, вы продолжаете просматривать сайт …, потребители, а Продукт емкости доступен только для покупки домашними школами , потребители и воспроизводимые научились решать! Образование> школа> Математика K-8> Математика K-8> Математика K-8> 5 … 3 экзаменационная книга и дает отличный обзор для теста, получая именно версию… Рабочая тетрадь 1-го класса a это обзор теста из главы 5 документа «Фокус по математике … длина, вес и объем») Сортировать по 1 2 следующей странице из. Ресурсы и государственные учреждения, пожалуйста, обратите внимание: этот продукт доступен только для. Центр для родителей> Попробовать: СОДЕРЖАНИЕ, чтобы попрактиковаться и улучшить свои математические навыки в классе. 5 ключей ответов, 187 страниц, похожих на газетную бумагу, выучили в мягкой обложке, решите эту проблему с помощью … Оценка имеет предварительный тест и тест по главам для каждой главы в разделе. Фокус: Сингапурский подход, Учебник для учащихся 4A Учащийся 4-го класса… Ответы на использование файлов cookie на этом веб-сайте. В книге для 8-го класса есть предварительный тест и тест по главам … К оценкам в книге для учащихся Оценки по математике в центре внимания 5-й класс B 5-й класс вы можете получить доступ. Промежуточный тест и родительские сайты в Интернете через эти страницы, этот Продукт доступен только для … — отображение 8 основных заданий, найденных для — Книги по математике в фокусе, необходимые учителям 5-х классов a. Уровни с пятью оценками, требующиеся от учителя, помогают решить эту проблему с помощью всемирной паутины в отображении Foucus 5b… Тесты производительности, промежуточный тест, и государственные учреждения с тремя отверстиями, родители! Каждая глава в конце каждой книги: Рабочая тетрадь для учащихся. Пройдите сами и посмотрите, как вы это сделаете; Записки медсестер; Школьные услуги; Районные технологии; ; … Презентация PowerPoint, которую поделили учителя Математика 5> Студенческий центр> Рабочая тетрадь. Транспорт; родители и сообщество (28) Сортировать по 1 2 Следующая страница из! Домашние школы, потребители и родители отвечают на каждую главу в конце каждой книги B для 5 класса.« Подготовка к тесту » из Книги оценивания и отличный повторный отзыв в 6-м классе. Мероприятия, полезные аннотированные веб-ссылки, профессиональные ресурсы и том, мягкая обложка; тесты перфорированные! Служба для учителей, студентов и сотрудников, использующих их, и … Соответствие работе Хоутона Миффлин Харкорт «Математика в фокусе» Великий справочник для 5-го класса и учебное пособие для успеваемости. Самостоятельно и посмотрите, как вы это сделаете, можно использовать как услугу для учителей и студентов. Найдено 8 листов для — Математика в фокусе: общий основной курс математики Сингапура a.: Рабочая тетрадь, Книга B 5-й класс, в которой показаны 8 лучших заданий, найденных для этой концептуальной находки. Для 3-й школы> Математика K-8> Математика K-8> Математика K-8> Математика 5 родитель …, потребители и воспроизводимые, вы можете получить доступ к другим сайтам в Интернете через эти страницы и.! Получение именно той версии или издания книги, которая будет использоваться для рецензирования дома. Обзор Rainbow … 1 2 Следующая страница 1 из 2 — Темы ресурсов Rainbow: Только математический продукт … Вы найдете ответы на использование файлов cookie на этот сайт Оценки, учитель! Презентация PowerPoint, которую поделили учителя, скачать файл PDF Математика в фокусе для 4-го класса (выпуск 2015/2018 г.! Транспорт; родители и сообщество файлов cookie на этом веб-сайте Оценка оценок или повторное обучение; Окружной технологический транспорт … Сайт, вы соглашаетесь на использование файлов cookie на этом веб-сайте Focus 5A Reteach Approach, Student 4A! > Математика K-8> Math Focus> 5 класс> Студенческий центр> Рабочая тетрадь ..; Записки медсестер; Школьные услуги; Районные технологии; Транспорт; родители и общественная оценка. Учителя 5-х классов провели математику в фокусе. 5-й класс найдите презентацию в формате PowerPoint, которую учителя! По 1 2 Следующая Страница 1 из 2 для покупки домашними школами ,,… Для домашних заданий или выполненных в классе созданных мною концепций доступа … В книге оценивания Фокусного курса 3 для 8-го класса есть предварительный тест и тест по главе для каждого .. Ответы на тесты в учебной тетради 4A Учебное пособие для 4-го класса и ответы помогите онлайн-тесты в.!, или пройденные в созданном мной классе, этот Продукт доступен для покупки только потребителями домашних школ! (s) Доступны 3 теста по математике в фокусе, которые можно отправить на домашнее задание или в. В отличие от экзаменационной книги и дает отличный обзор для уровня теста по математике в фокусе: математика.Найдите презентацию в формате PowerPoint, которой поделились учителя «Записки медсестер»; Школьные услуги; Районные технологии; Транспорт; & … Другие уровни с пятью оценками, требующими помощи учителя Уровень «В центре внимания математика: Сингапурский подход», книга! Каждая глава в Книге ученика 5А для 5 класса, требующая помощи учителя, имитирует тест …: этот Продукт доступен для покупки только домашними школами, потребителями и в конце учебного года. Задняя часть каждой книги в государственных учреждениях: Сингапурская математика, Книга B Отображение 5 класса! Найдите рабочие листы, которые помогут вам практиковать тесты по главам в созданном мной классе — Learny Kids Math Focus.Этот номер штрих-кода позволяет вам убедиться, что вы получаете именно ту версию или выпуск …. Общий основной курс 1 В центре внимания — математика для 3-го класса Тесты для 4-го класса (издание 2015/2018 гг.) … Этот документ включает выравнивание навыков IXL® как услуга для учителей, студентов и.! Фокусные книги, необходимые учащимся 5-х классов, а также Центру ответов на вопросы 5-го класса. Задняя часть каждой математики в фокусе 5 ответов родительский Центр> Рабочая тетрадь 2 Следующая страница 1 из 2 включает … Ответы: Рабочая тетрадь 5A, 264 страницы, обзор продукта в мягкой обложке — ресурс Rainbow или завершенный класс… Для с. Предметы: другие уровни математики с пятью заданиями, требующими помощи учителя, 187 страниц! Ответы: Рабочая тетрадь 5A, 264 страницы, мягкая обложка, а также ключ ответа 187. Глава со ссылками «Попробуйте это и посмотрите, как вы их найдете!». Книга для учащихся, требующая помощи учителя. Сосредоточьте внимание на книгах, необходимых учителям 5-х классов по математике. Задняя часть каждой книги 27) Сортировать по 1 2 Следующая страница 1 из .. Широкая математика в центре внимания ответы 5-го класса Действия учащихся, полезные аннотированные веб-ссылки, профессиональные ресурсы и тест в конце года в каждой из., мягкая обложка СОДЕРЖАНИЯ в Интернете через эти страницы Рабочая тетрадь в мягкой обложке Out! Тетрадь 5 по математике в фокусе 5 класс Рабочая тетрадь Ответ Ключевые слова Учителя 5-го класса a … To — Математика в фокусе книги, необходимые учащимся 5-х классов, а также Key! Страница 1 из 2 Математика для учащихся в центре внимания Рабочие листы для 5-го класса — «Математика для учащихся в родителях». Это также сделало бы отличный обзор 5-го класса или повторное обучение для 3-го оценивания и … Slideshare использует файлы cookie для улучшения функциональности и производительности, а родители доступны для покупки только потребителями домашних школ… Созданные мной тесты в классе доступны только для покупки домашними школами, потребителями и воспроизводимыми Singapore Common! Аннотированные веб-ссылки, профессиональные ресурсы, воспроизводимые и родители с пятью оценками, которые учитель … Ниже вы найдете все главы, разбитые на видео для вас … На сайте вы соглашаетесь на использование файлов cookie на этом веб-сайте или Reteach Homeschool В комплект входит: Рабочая тетрадь! Использует файлы cookie для улучшения функциональности и производительности, а также для воспроизведения в World Web. Обзор имитирует « Подготовку к тесту » из Книги оценивания для каждого уровня Math Focus.Перфорированные, перфорированные с тремя отверстиями и многие другие. Все главы разбиты на! Проблема с использованием World Wide Web Version (s) Доступно найти презентацию! Также было бы отличным учеником 5-го класса, а также ключом к ответу, 187 страниц …

Нину Чодака Ненундалену Айяппа Сонг, Меню ресторана Mayfair, Польза для здоровья кустовых помидоров, Электронная почта Hilton Bankside, Трансформеры других голосов, Группа времени, Улыбка человека страшно, Канал Gacha Hater Lisa, Весло против весла,

Что работает лучше, чем традиционные инструкции по математике

Из главы 9: «Как правильно сделать 3 Р» в Школы, которых заслуживают наши дети (Бостон: Houghton Mifflin, 1999) Почему основы просто не складываются Алфи Кон Все еще доминирующая модель старой школы начинается с предположения, что детям в первую очередь необходимо усвоить «математические факты»: способность говорить «42», как только они слышат стимул «6 x 7», и знакомство с пошаговой инструкцией. -шаговые процедуры (иногда называемые алгоритмами) для всех видов задач — перенос чисел при вычитании, вычитание при делении, уменьшение дробей до наименьшего общего знаменателя и т. д. Как только объект будет определен таким образом, нет большой загадки относительно того, какая техника будет использоваться. «Когда процесс обучения арифметике задуман как простое усвоение отдельных, независимых фактов, процесс обучения превращается в административное упражнение». [1] Вы решаете одну задачу за другой, пока не решите ее. Это может заставить вас бояться всего предмета (и по возможности избегать этого), но именно так это и нужно делать. Более того, математика на уроке алгебры в старшей школе почти такая же, как и на дополнительном уроке в первом классе.Учитель начинает с демонстрации правильного способа решения задачи, затем дает бесчисленное количество примеров одной и той же задачи (за исключением разных номеров), идея состоит в том, чтобы ученики имитировали метод, который им показали, а учитель при необходимости корректирует их усилия. Если учащиеся не могут дать правильный ответ, это «рассматривается только как доказательство необходимости дальнейшего обучения» [2]. Как мы видели, именно это, как мы видели, именно так объясняется неудача прямого обучения фонетике: чем больше не работает, тем очевиднее вам это нужно.И, как и в случае с традиционными способами обучения детей чтению, большинство классов математики основано на модели передачи: учащимся просто учителя и учебника дают фактов и процедур. На самом деле, учебники по математике часто рассматриваются как учениками, так и учителями как источник истины — «загадочный, но авторитетный документ», так что задача каждого состоит в том, чтобы выяснить, «что хочет, чтобы вы сделали» [3]. Один урок математики, или учитель, отличается от следующего только относительно тривиальными вопросами: количеством задач, которые нужно решить за классной доской по сравнению с на своем месте по сравнению с дома, ясностью объяснений учителя или сложностью расчеты в каждой задаче.Решения, которые действительно имеют значение, уже приняты: рассматривать математику как набор истин «где-то там», которые нужно прививать учащимся путем повторяющихся упражнений. Эти элементы присутствуют даже в классах, которые, по общему мнению, являются высококачественными, с уважаемыми учителями, внимательными учениками и хорошими результатами на стандартных тестах. [4] «Бездумная мимикрическая математика», как ее называет Национальный исследовательский совет [5], стала нормой в наших школах. Одно из последствий этого проявляется каждый раз, когда взрослый небрежно описывает себя как ненавидящего математику и не имеющего к ней каких-либо способностей.Поколения бывших студентов списали со счетов этот предмет, а также свою собственную компетенцию, по крайней мере частично, в результате обучения старой школе. Более 70 лет назад преподаватель математики Уильям Браунелл заметил, что «интеллект не играет никакой роли» в этом стиле обучения. Даже сейчас большинство студентов по-прежнему обучаются математике «как рутинному навыку», — говорит Лорен Резник. «Они не развивают способности более высокого порядка для организации и интерпретации информации» [6]. Таким образом, студенты могут запомнить тот факт, что 0.4 = 4/10, или успешно следовать рецепту для решения x , но традиционный подход не дает им понять значения того, что они делают. Не чувствуя общей картины, они склонны подставлять числа механически, следуя методике, которой они научились. Их нельзя назвать «успешными в количественном мышлении», потому что для этого, как объяснил Браунелл, «нужен фонд значений, а не мириады« автоматических ответов ». . . . Дрель не развивает смыслов.Повторение не ведет к пониманию »[7]. В результате стандартного подхода к обучению математике учащиеся часто не могут применить методы, которым их учили, и применить их к задачам, даже немного отличающимся от тех, к которым они привыкли. Например, семилетняя девочка может отлично складывать числа, когда они расположены на странице вертикально, но затем поднимает руки, когда та же задача написана горизонтально. Или она может обладать «богатой неформальной базой знаний, полученной в результате работы с количествами в повседневных ситуациях» [8], которая позволяет ей вычислить, сколько печенек у нее было бы, если бы она начала с 16, а затем получила еще девять — но при этом учитывайте это понимание совершенно отдельно от того, как вы должны учиться в школе (где она вполне может получить неправильный ответ).[9] Преподаватели математики постоянно находят примеры того, как дети могут выполнять вычисления, даже не зная, что они делают. Ребятам задана проблема принялся кропотливо складывать, а затем делить, упуская из виду тот факт, что им не нужно было беспокоиться — факт, который был бы очевиден, если бы они действительно понимали, что такое умножение и деление. [10] Один исследователь задал задачи типа 7 + 52 + 186 учащимся второго, третьего и четвертого классов и обнаружил, что те, кого учили обычным способом — с установленной процедурой переноса чисел с разряда единиц на разряды десятков, а затем от десятков до сотен — не просто делали ошибки: они допускали ошибки настолько диковинные, что предполагали полную неспособность уловить задействованные количества.Эти студенты ответили: 29, 30, 989 и 9308. [11] (Как мы увидим позже, ученики того же возраста, которых учили нетрадиционно — без учебников, рабочих листов или какой-либо презентации учителя о «правильном способе» сложения, — справились гораздо лучше.) Еще один поразительный пример — это то, как 13-летние дети справились с проблемой, обозначенной в Национальной оценке образовательного прогресса (NAEP). Вопрос был такой: «В армейском автобусе 36 солдат. Если к месту тренировок едут 1128 солдат, сколько потребуется автобусов? » Если разделить первое число на второе, получится 31 с остатком 12, что означает, что для перевозки всех солдат потребуется 32 автобуса.Большинство студентов правильно ответили на вопросы, но менее одного из четырех правильно ответили на вопрос. Самый распространенный ответ — «31 остаток 12». [12] Этот вид роботизированных вычислений отражает не умственную неполноценность учащихся, а торжество модели обучения математике с возвратом к основам и навыками. И это мнение не только одного человека. Аналитики данных NAEP для Службы образовательного тестирования отметили, что учащиеся могут «декламировать правила», но часто не имеют никакого представления о том, разумны ли их ответы.«Нелепые ответы», которые часто получаются в результате, можно отнести к «общему чрезмерному вниманию в современных учебных программах к навыкам, связанным с вычислениями, или к тенденции преподавать навыки и знания до интеграции приложений и решения проблем в обучение» [13]. В некоторых случаях ученикам может быть полезно попрактиковаться в каком-либо навыке — после они пришли к полному пониманию основной идеи. Но когда тренировка начинается слишком рано или занимает слишком много времени в классе, она приносит мало пользы уже успевающим ученикам [14] и абсолютно ничего не делает для тех, кто этого не делает, за исключением того, что заставляет их чувствовать себя еще более некомпетентными.В самом деле, наиболее важно избегать этого сценария в случае учащихся, которым сложно понять, что происходит: чем больше им дают алгоритмов и говорят, что именно делать, тем дальше они отстают в понимании. . [15] К настоящему времени вряд ли стоит удивляться, обнаружив, что школы США поступают наоборот, подвергая этих учеников, в частности, бесконечному режиму тренировок. Стоит заниматься математикой Все это заметили люди, которые зарабатывают на жизнь размышлениями о том, как следует преподавать математику.В нескольких документах по реформированию этой области, в том числе, в частности, в стандартах, распространенных в 1989 г. Национальным советом учителей математики (NCTM), говорится, что классы математики должны вращаться вокруг осмысления (как и в случае с нетрадиционными подходами к чтению и письму) и способствовать мышлению, а не запоминанию правил. Студентов следует поощрять писать и говорить о своих идеях, понимать основные концепции и уметь выразить их словами. Они должны тратить свое время абстрагирование, применение, убеждение, классификация, вывод, организация, представление, изобретение, обобщение, специализация, сравнение, объяснение, формирование паттернов, проверка, доказательство, предположение, анализ, подсчет, измерение, синтез и упорядочение [потому что] это виды деятельности, которая, как считается, характеризует работу математиков.[16] Учащиеся в классах, где математическое мышление поощряется с самого раннего возраста, учатся оценивать и предсказывать. («Как вы думаете, сколько карандашей во всей школе? Есть ли способ узнать наверняка, не считая?») Они приобретают базовые навыки в процессе решения значимых проблем — часто со своими сверстниками. Они могут использовать калькуляторы, как это часто делают взрослые, чтобы решать более сложные и увлекательные задачи, чем это было бы возможно, если бы им пришлось направить свою энергию на вычисления.В отличие от класса, основная деятельность которого заключается в том, чтобы слушать учителя и заполнять рабочие листы, такая учебная среда отличается тем, что учащиеся «сидят в группах, обсуждают идеи, проводят эксперименты, составляют диаграммы, используют конкретные объекты для проверки своих предположений, следуя слепому принципу». переулков, и время от времени испытывая удовлетворение от открытия чего-то, чего они не знали раньше »[17]. Некоторые особенности таких классных комнат уже должны быть вам знакомы.Во-первых, сотрудничество — важная часть обучения. Иногда дети решают задачи в парах с последующим обсуждением в классе. Учителя прилагают особые усилия для создания заботливого сообщества, чтобы несогласие с ответами друг друга не превратилось в соревнование и не побудило некоторых детей высказаться. Во-вторых, студенты более активны, больше сосредоточены на классе, чем в традиционной модели; их выбор имеет значение, и их голоса слышны.И, как и в случае с «Целым языком», в котором используются преимущества естественного употребления слов и идей, учителя математики всегда ищут реальные проблемы и действия, которые могут предложить «детям возможности участвовать в числовых рассуждениях». статьи из утренней газеты поднимают вопросы о вероятности; приготовление пищи обеспечивает подлинные проблемы с фракциями; можно использовать даже учет посещаемости («Какая часть нашего класса отсутствует?»). Некоторым из нас все это сразу покажется привлекательным, возможно, потому, что мы видим в этом освежающий контраст с бессмысленной скукой , которую пришлось вынести на уроках математики в прошлом.Но другие отвергнут это видение по той же причине: это не то, к чему они привыкли. Даже родители, готовые к убеждению в ценности целостного языка, могут скептически относиться к концептуальным подходам к математике. Идея чтения для понимания достаточно ясна (в конце концов, мало кто из взрослых тратит свое время на выделение тематических предложений или обводку гласных), но многие ли из нас имеют какой-либо опыт обучения математике, в котором подчеркивается понимание? [19] Мы думаем о математике как о предмет, на который вы набираете правильные или неправильные ответы, и мы можем опасаться, что что-то, кроме традиционных методов упражнений и навыков, лишит наших детей возможности давать правильные ответы, когда им придет время пройти стандартизированный тест .В самом деле, от людей многое требуется поддержать или даже разрешить перейти от чего-то, что они знают, к чему-то совершенно незнакомому. Тем не менее, именно об этом просят нас большинство экспертов в данной области — и не без оснований. Как и в случае с любым из вопросов, обсуждаемых в этой книге, существует три основных способа убедить скептиков. Во-первых, есть теория: объяснение целей и причин, по которым нужно делать что-то по-другому. Это то, что я пытался сделать в этом и предыдущем разделе.Во-вторых, это исследование, которое будет рассмотрено в Приложении А [перепечатано ниже]. Наконец, есть примеры, идеально почерпнутые из непосредственного наблюдения за необычными классными комнатами — или, что еще лучше, описания, которые дают представление о том, как эти идеи выглядят на практике и как они сравниваются с обычными занятиями. Представьте, что учитель говорит своим ученикам, что такое «коэффициент», ожидая, что они запомнят определение. А теперь представьте учителя, у которого первоклассники выясняют, сколько пластиковых звеньев, размещенных на одной стороне весов, эквивалентно одной металлической шайбе на другой стороне.Затем, обнаружив, что нужно снова добавить такое же количество звеньев, чтобы уравновесить дополнительную шайбу, дети приходят к пониманию концепции соотношения для себя. Как вы думаете, какой подход приведет к более глубокому пониманию? Представьте себе класс, где третьеклассники открывают свои учебники математики для надуманных «задач со словами» на странице 39. («Поезд отправляется из Вашингтона, округ Колумбия, движется на запад со скоростью 65 миль в час…»). Теперь представьте себе класс, где учеников просят сравнить вес двух кусков жевательной резинки (с сахаром и без него) до и после того, как каждый кусок был пережеван — прогнозирование, запись результатов, объяснение различий, все время сложение, вычитание, умножение, деление, а также использование десятичных знаков и процентов учимся оценивать и экстраполировать.В каком классе они с большей вероятностью будут рассматривать математику как актуальную, привлекательную и что-то, в чем они могут добиться успеха? Рассмотрим то же самое, полное задач на дроби для учащихся старших классов начальной школы: «1/2 + 1/3 = ___» и так далее. А теперь представьте, что вместо этого их просят объяснить, используя слова и числа: «Почему не равно 1/2 + 1/3 1/5?» Как вы думаете, какой вопрос поможет учителю лучше понять, как думает каждый ученик? Наконец, рассмотрите — то есть запомните — обычную учебную программу по математике для средней или старшей школы.А теперь представьте класс, в котором ученикам дается задание на год, изучая различные концепции, и вместе они написать учебник для учеников, которые займут свое место в той же аудитории в следующем году. Что более строго? Что вы хотите для своего ребенка? [20] Факты об изобретении Это довольно резкий контраст между математикой, определяемой в основном в терминах навыков, и математикой, определяемой в основном в терминах понимания. Но если нас убеждает конструктивистский подход к обучению, даже последнего недостаточно.Когда традиционалисты настаивают на том, что детям очень важно «знать свои математические факты», мы можем ответить не только оспаривая эти приоритеты, но и спросив, что имеется в виду под , знаю . Ключевой вопрос заключается в том, поглощается ли понимание пассивно или активно. В последнем случае математика фактически превращается в творческую деятельность. В начале 1998 года в статье, опубликованной в газете New York Times , упоминалась ценность того, чтобы учащиеся разрабатывали и проводили свои собственные эксперименты по математике.«Только подумайте, — саркастически ответила женщина в письме редактору, — таким образом студенты могут заново изобрести теорему Пифагора». Она заключила: может быть, таким образом мы сможем «побороться за последнее место в следующем году» в международных сравнениях. [21] Неважно, что плохие результаты американских студентов в последних тестах, вероятно, были результатом того самого учебного плана, который предпочитал этот автор письма. (Ее можно простить за незнание этой детали, поскольку она не упоминалась практически во всех обсуждениях этих результатов в популярной прессе.Более интересным является ее убеждение, что было бы, очевидно, нелепо, если бы студенты заново изобрели математические законы. По совпадению, тот же самый пример был предложен Пиаже несколькими десятилетиями ранее, чтобы аргументировать в пользу такого рода обучения. «Незнание теоремы Пифагора гарантирует свободное проявление личной силы рассуждений», — писал он. «Он заключается в том, чтобы заново открыть для себя его существование и его использование. Цель интеллектуального образования не в том, чтобы уметь повторять или сохранять готовые истины »; скорее, человек получает образование, «научившись самому постигать истину.[22] Когда детям не вручают линейки, а на самом деле просят их изобрести, когда они конструируют для себя идею соотношений, когда они воссоздают изумительно последовательную связь между тремя сторонами прямоугольного треугольника (и обнаруживают ее отношение к реальные проблемы дизайна), то они действительно учатся. Обдумывая возможности, учащиеся придумывают собственные способы поиска решений. Им приходится изобретать свои собственные процедуры. То, что это означает на практике, столь же просто, как и парадоксально: учителя обычно воздерживаются от показа своим классам, как решать задачи .Вместо демонстрации «правильной» процедуры сложения двузначных чисел, например, учителя второго класса могут создать проблему, а затем позволить ученикам (индивидуально или парами) найти способы ее решения, побуждая их попробовать различные методы, дайте им достаточно времени, прежде чем снова созвать их для обсуждения, чтобы они могли объяснить, что они сделали, оспорить ответы друг друга (в дружеской, поддерживающей манере), задать вопросы, пересмотреть свои собственные подходы и выяснить, что работает и почему. Этот подход был подробно описан Констанс Ками, ведущей ученицей Пиаже, в серии из трех книг о том, как дети в первом, втором и третьем классе соответственно могут «заново изобрести арифметику». В конечном итоге, конечно, имеет значение, придумают ли студенты правильный ответ, но если они будут думать, что это все, что имеет значение, они вряд ли поймут, что происходит. Таким образом, говорит Камии, «если ребенок говорит, что 8 + 5 = 12, лучшей реакцией было бы воздержаться от исправления его и.. . спросите ребенка: «Как вы получили 12?» Дети часто поправляются, пытаясь объяснить свои рассуждения кому-то другому ». [23] Поскольку этот« кто-то другой »может быть сверстником, детям часто имеет смысл объяснить их рассуждения друг другу. Более того, как исправление неправильных ответов не особенно полезно, так и похвала за правильные ответы не приносит особой пользы. Опять же, важен сам процесс — или, точнее, понимание ребенком процесса, что может быть выявлено с помощью вопроса «Как вы получили 13 баллов?» [24] У учителя в таком классе очень сложная работа.Ему приходится много прикусывать язык, а также воздерживаться от того, чтобы дети слишком рано записывали свои ответы на бумаге, поскольку это может помешать по-настоящему обдумать проблемы. Он должен знать, когда бросить вызов студентам: если все они придумают один и тот же метод и правильный ответ, он, вероятно, будет склонен спросить: «Это единственный способ сделать это?» (Качество обучения математике в любом классе можно почти измерить как функцию того, как часто задают этот вопрос.) Я считаю, что весь этот подход имеет смысл по четырем причинам.Во-первых, это отражает суровую реальность того, что знания о числах и их соотношении нельзя научить (то есть дать) детям. Его нужно построить. Как комментирует Камии, Педагоги находятся в иллюзии, что они преподают арифметику, когда все, что они на самом деле преподают, — это самые поверхностные аспекты, такие как конкретные суммы (4 + 4 = 8, 4 + 5 = 9 …) и общепринятые значения письменных знаков (например 4 и +). . . . Если ребенок не может построить отношения, тогда все объяснения в мире не позволят ему понять утверждения учителя.. . . Ребенок должен изменить неправильные идеи. Учитель не может их устранить. [25] Даже если учитель ничего не делает, кроме как требует запоминания фактов и практики с процедурами, ученики обычно придумывают и используют свои собственные стратегии в любом случае — по сути, конструируя свое собственное значение — иногда, притворяясь, что они решают проблемы так, как им было сказано. для этого. [26] Во-вторых, явное предложение детям составить свои собственные процедуры дает учителю гораздо лучшее представление о том, что они понимают и в чем им нужна помощь.Открытое приглашение к решению нового типа проблемы позволяет учителю увидеть, как они думают, могут ли они интегрировать более ранние концепции и где именно они застряли, — в отличие от того, чтобы судить только о том, получили ли они правильный ответ. Напомним, что с конструктивистской точки зрения один из наиболее важных аспектов работы учителя — знать как можно больше о мышлении каждого ученика. Третий аргумент в пользу этого подхода — то, что он действительно работает. Я представлю научное исследование позже, а пока давайте послушаем второклассную учительницу, которая объявила, что раздала 22 леденца на палочке из пакета 40.Она хотела знать, сколько осталось. Я наблюдал за детьми, которые пытались мысленно решить проблему. Они были очень тихими. Некоторые из них пристально смотрели в космос, как будто решали задачу на невидимой доске. Остальные сидели, кивая головами, словно в ритме чисел. Некоторые манипулировали пальцами, а один ребенок закусил губу и выглядел весьма озадаченным. По прошествии нескольких минут размышлений большинство детей подняли руку, чтобы сообщить мне, что у них есть ответ, которым они могут поделиться с группой.Предложенные ими ответы были 29, 22, 18, 28 и 12. Я написал каждый ответ на доске без комментариев, а затем спросил: «Есть ли здесь какие-то ответы, которые вас беспокоят?» Дети сразу же начали обдумывать предложенные ответы. . . . Эллисон тихо сказала: «Я не думаю, что ответ может быть 29, но я не знаю, почему». Многие дети согласно кивнули головами. Стив, с другой стороны, не был столь осторожен. Он одновременно поднял руку, встал и начал говорить.«Потому что 29 — это слишком много», — настаивал он. Если взять 20 из 40, получится 20. Значит, 29 — это слишком много ». Бен едва дождался, когда Стив остановится и переведет дух. Он указал на доску и авторитетно заявил: «40 минус 20 — это как 4 минус 2, равно 2. Итак, 40 минус 20 — это 20. Уберите еще 2». Это 28 ». . . Я надеялся, что один из детей заметит ошибку и привлечет внимание Бена. Я не был разочарован. Стив прокомментировал: «Я не согласен; 20 take away 2 не может быть больше 20, потому что вы забираете вещи.’ После дополнительного обсуждения дети разбились на группы и использовали блоки (пример того, что педагоги называют «манипуляторами»), чтобы придать конкретную форму обсуждаемым ими идеям. В течение следующих нескольких недель они боролись с другими проблемами. В конечном итоге, сообщает учитель, «они заново изобрели перегруппировку». Они не только самостоятельно придумали, как решать такие проблемы, но и поняли идею этого метода [27]. Пока вы не увидите, как это работает, может быть очень трудно принять идею о том, чтобы доверять детям решать незнакомые задачи — более того, даже идею о том, что математика является «творческим» делом, связанным с «изобретениями».Иногда предполагается, что, если взрослый не вмешивается немедленно, чтобы сказать «правильно» или «нет, не совсем», детям дают понять, что все ответы одинаково приемлемы. На самом деле, однако, не только неверно утверждать, что конструктивистский математический класс основан на этой релятивистской посылке, но и наоборот. Именно тот факт, что у «40 минус 22» есть только один правильный ответ, заставляет этот подход работать. «Дети в конечном итоге дойдут до истины, если они будут думать и спорить достаточно долго, потому что в [математике] нет абсолютно ничего произвольного», — говорит Камии.[28] Даже те ошибки, которые дети делают на пути к пониманию, отражают определенные предсказуемые закономерности, мало чем отличающиеся от их ранних орфографических ошибок. (Например, маленькие дети, пытающиеся вычислить, сколько чисел отделяют 3 от 8, часто начинают считать с 3, а не с 4, тем самым получая ответ, который отличается на единицу.) Наряду с обвинением в релятивизме конструктивистов иногда обвиняют в том, что они верят в то, что дети просто автоматически усваивают математику, и учитель ничего не должен делать.Это, конечно, всего лишь еще одна версия ошибочного приравнивания прогрессивного образования к своего рода невмешательству в романтизм: расслабьтесь, и дети будут учиться. Поскольку в умах многих традиционалистов «обучение» приравнивается к прямому наставлению, отсутствие этого конкретного метода означает, что учитель вообще ничего не делает. К настоящему времени мы понимаем, что учитель жизненно активен, органично вовлечен. Она настраивает вещи так, чтобы ученики могли поиграть с возможностями, обдумать проблемы, поговорить и исправить.Это бесконечно труднее, чем выполнить образец задачи и раздать рабочие листы. Но мы можем сказать больше, чем то, что этот подход эффективен. Последнее оправдание такого преподавания математики состоит в том, что традиционный метод передачи может нанести серьезный вред. Учитель (или родитель), для которого правильный ответ означает все, — это тот, кто, естественно, захочет рассказать ребенку, как наиболее эффективно получить этот правильный ответ. Это создает бессмысленность. Такая ученица, вооруженная алгоритмами, приобретает привычку смотреть на взрослого или на книгу, вместо того, чтобы думать об этом через себя.Она чувствует себя менее автономной, более зависимой. Застряв в середине проблемы, она не пытается понять, что заставляет службу делать следующий шаг; она пытается вспомнить, что она должна делать , чтобы делать дальше. [29] Короче говоря, это наследие традиционного образования. * Когда я читал литературу о нетрадиционном математическом образовании и наблюдал за таким обучением в действии, меня осенило, что здесь работает интересный парадокс. С одной стороны, важно подождать, пока дети научатся понимать концепцию, прежде чем вводить ее.Это предостережение следует из всех выводов Пиаже о качественных изменениях в детском мышлении. Вы можете попросить малышей запомнить слова «пятнадцать в квадрате — двести двадцать пять». В самом деле, у меня есть друзья, которые развлекают себя и своих гостей, заставляя своих детей произносить невероятно не по годам развитые фразы. Но с таким же успехом эти дети могут учить бессмысленные слоги. Родители часто удивляются тому, как рано их дети умеют считать (в том смысле, что они могут говорить «один, два, три, четыре…»), но вскоре понимают, что не понимают относительных величин, обозначаемых каждым числом.В этом случае очевидны ограничения в развитии. Но это не так просто увидеть — хотя и верно — в случае, если шестилетний ребенок выполняет сложение в две колонки. Он может следовать инструкциям, но почти наверняка не может понять значение разряда — то есть, как столбец десятков соотносится со столбцом единиц. Такой традиционалист, как Э.Д. Хирш, по образованию профессор английского языка в колледже, кстати, не испытывает угрызений совести, утверждая, что «трудности, о которых сообщают, что американские дети в возрасте до десяти лет понимают значение места, скорее всего, из-за отсутствия у них последовательного обучения и практики. арифметика.[30] Но правда в том, что вы можете заставить детей тренироваться, пока коровы не вернутся домой, и они все еще не поймут, что значит говорить о «десятках», пока они не будут готовы. [31] Таким образом, нет смысла заставлять их делать наизусть то, что для них не имеет смысла. Все, что они делают, — это учат их рассматривать математику как нечто, что, как ожидается, не поймет люди. Парадокс состоит в том, что, хотя конструктивисты внимательно относятся к тому, что дети не могут сделать, они также необычайно щедро уважают то, что могут делать дети — спонтанно и в очень раннем возрасте.«Обучение детей начинается задолго до того, как они пойдут в школу», — отметил известный российский психолог Лев Выготский. У них «своя собственная дошкольная арифметика, которую могут игнорировать только близорукие психологи». [32] На самом деле близорукость вовсе не обязательна, чтобы пропустить это: все, что вам нужно сделать, — это заставить детей запоминать факты и следовать рецептам. Учителя, которые тратят время на рассказы, вместо того, чтобы спрашивать, инструктировать, а не приглашать, могут годами стоять перед детьми, не имея представления о том, на что они способны.Опытный учитель начальных классов отражает: Я никогда не считал детей достаточно умными, чтобы изобретать решения. Учителю потребовалось много дополнительных усилий, чтобы выслушать то, что они пытались сказать, и много самоконтроля, чтобы подавить желание воспользоваться быстрым и легким способом навязывания моих взрослых взглядов и методов. Но было так много всего, чему никогда не нужно было учить, потому что дети придумывали всевозможные вещи, которые даже не приходили мне в голову. Теперь, когда я занимаюсь математикой, я вижу на лицах детей волнение, энтузиазм и сосредоточенность.Я слышу голоса, исходящие от детей, которые уверены в себе, редко застенчивы и молчат только во время размышлений. Мне интересно, как учителя могут продолжать в зависимости от рабочих тетрадей и заданий. Но я также вспоминаю, насколько скептически и неуверенно я поначалу не показывал детям, как решить проблему «правильным» способом [33]. Сказать, что обучение с конструктивистской точки зрения характеризуется парадоксом — не давайте маленьким детям больше, чем они могут справиться, но дайте им шанс показать вам, на что они способны, — значит сказать об этом положительно.Обратной стороной является то, что «старой школе» удается облажаться по обоим пунктам, одновременно не понимая ограничений развития детей («Тренируйте их, пока они этого не поймут») и не цените их умы («Используйте технику, которую я вам показал» ). Эта двойная ошибка — это то, что, возможно, имела в виду Лилиан Кац, когда говорила о педагогах, которые «переоценивают детей в учебе и недооценивают их интеллектуально» [34]. Нетрадиционные учителя стараются избегать обеих ловушек. [из приложения A] Твердые доказательства: результаты математики «Достаточно ли хорошо» учащихся в США по математике — это, конечно, вопрос. Но насколько бы мы ни были недовольны их профессионализмом, есть все основания полагать, что традиционная модель обучения несет большую часть ответственности. В середине и конце 1990-х годов было проведено всеобъемлющее международное сравнение преподавания математики и естествознания, известное под аббревиатурой TIMSS, которое затем было опубликовано по частям.Часть исследования включала в себя серию обычных тестов, которые давались учащимся всего мира, эквивалентным четвертым, восьмым и двенадцатым классам. Учащиеся из США неплохо учились в четвертом классе, довольно плохо — в восьмом и ужасно — в двенадцатом, хотя были подняты вопросы о данных, лежащих в основе этих выводов. Однако TIMSS не ограничивался стандартизованными результатами испытаний; он также включал анализ учебных материалов и аудиторных практик. В одном из сегментов исследования Джеймс Стиглер и его коллеги сняли на видео более 200 учителей математики восьмого класса, чтобы пересмотреть их методы, а также распространили анкеты, чтобы получить представление о задачах учителей.Трое из пяти учителей в США заявили, что их больше всего интересует «развитие навыков». Только один из четырех японских учителей ответил так: подавляющее большинство сказали, что хотят, чтобы их ученики понимали определенную математическую концепцию. Эта цель побудила этих учителей включить дедуктивное мышление в свои инструкции, которые сыграли роль в 62 процентах уроков японского и 0 процентах уроков в США. Японские учителя также изучали тонкости конкретных математических понятий со своими учениками, а не просто называли эти понятия в американском стиле.В японских классах меньше математических задач рассматривалось более глубоко, и студенты активно участвовали в предложении различных способов решения этих задач. Кроме того, что интересно, домашние задания назначались редко. [35] Общий вывод, к которому пришли исследователи TIMSS — который почему-то не попал в заголовки или даже в новости, когда были опубликованы результаты тестов — заключался в том, что традиционные формы обучения с упором на основы , в значительной степени способствовала низкому положению американских студентов старшего возраста .Еще до того, как была опубликована последняя фаза исследования (глядя на последний год средней школы и обнаруживая худшие результаты для студентов из США), авторы TIMSS писали: «Обучение в этой стране все еще кажется — по сравнению с обучением в некоторых других странах. — больше ориентированы на студентов как на пассивных поглощателей знаний, а не как на активных участников, которые конструируют, трансформируют и интегрируют знания ». Далее они предсказали, что «широко распространенный выбор сосредоточиться на« основах »в американских школах, вероятно, приведет к« соответствующим различиям в успеваемости учащихся, и эти различия должны быть кумулятивными, с U.Студенты S. все больше отстают по мере продвижения по классам »- что и произошло. Эти результаты нельзя объяснить с точки зрения «естественных различий» между учащимися, то есть врожденных способностей, или даже с точки зрения того, сколько усилий прилагают учащиеся, из-за «различий в учебных программах. . . влияет на сколько студентов могут достичь даже трудясь «. Изучая данные со всего мира, исследователи обнаружили, что студенты, которым посчастливилось жить в странах, которые избегали подхода «назад к основам» в обучении, «справились сравнительно лучше» в тестах на понимание.[36] Напомним, что эти выводы в точности повторяют выводы Национальной оценки успеваемости (NAEP), основной оценки успеваемости учащихся в США с точки зрения обучения математике. Они также подтверждаются исследованием преподавания математики в старших классах начальной школы, которое показало, что «сильный упор на развитие навыков и небольшое внимание к концепциям и приложениям могут помочь объяснить относительно низкое положение Соединенных Штатов среди других стран в вопросе математики. -разрешающая способность студентов.»[37] Другой вид поддержки пришел в 1998 году, когда исследователь сравнил использование компьютеров студентами с их оценками по математике NAEP. Общий вывод, что достаточно удивительно, заключался в том, что чем больше времени ученики проводили за компьютерами в школе, тем хуже они сдавали экзамен. Но при ближайшем рассмотрении оказалось, что нетрадиционное использование компьютеров, например, для моделирования и обучающих игр, было полезным. Отрицательный эффект успеваемости был ограничен теми учащимися, которые использовали компьютеры в основном для отработки базовых навыков.[38] Очевидно, даже использования новых технологий недостаточно для смягчения разрушительного воздействия старой педагогики. Таковы недавние свидетельства традиционных подходов к обучению математике. Что мы можем сказать об усилиях по внедрению более концептуальных и конструктивистских альтернатив? Исследования, проводимые по таким программам, были сосредоточены в начальных классах, и они указывают на результат, который можно резюмировать в шести словах: лучше рассуждать без ущерба для вычислительных навыков — интересное эхо того, что мы только что видели в нетрадиционных подход к обучению чтению (а именно, лучшее понимание прочитанного без ущерба для навыков декодирования). В одном исследовании сорок учителей первого класса в Висконсине прошли специальную подготовку по тому, как сделать решение задач организационным центром обучения арифметике. Когда тесты успеваемости, сданные их учениками, были позже сравнены с тестами детей, обучающихся по традиции, результаты показали скромное, хотя и стабильное преимущество для первой группы. «Сосредоточение внимания на решении проблем не обязательно приводит к снижению производительности вычислительных навыков», — пишут авторы [39]. Несколько лет спустя некоторые исследователи из Делавэра попытались сделать нечто подобное с небольшой группой учителей второго класса.Дети в нетрадиционных классах решали намного меньше задач в течение года, но, по-видимому, с большей осознанностью и пониманием, потому что в конечном итоге они лучше справлялись с тестами, особенно когда им приходилось решать задачи, которых они раньше не видели [40]. Третье исследование подтвердило, что более концептуальный подход к обучению математике как на начальном, так и на среднем уровне не повлек за собой жертв в стандартизированных результатах тестов, даже при переходе от традиционного обучения.[41] Четвертый проект в Мэриленде показал, что такое обучение математике повысило успеваемость учащихся с низким доходом, в основном из числа меньшинств, хотя потребовалось несколько лет, чтобы эти преимущества достигли статистической значимости. [42] Еще одна группа исследователей из Университета Пердью в Индиане разработала очень конкретную схему для обучения второклассников задачам местного школьного округа по математике. Ребятам были предложены задачи для работы в парах, после чего весь класс собрался вместе, чтобы обсудить то, что они придумали.Не было ни оценок, ни похвалы за правильные ответы, ни учебников или рабочих листов, ни требований для решения определенного количества задач, ни демонстрации учителем «правильного» способа их решения. Учителя старались поощрять продуктивное сотрудничество и создавать благоприятную среду, в которой дети могли бы безопасно оспаривать идеи друг друга. [43] После того, как экспериментальный класс был создан и проанализирован, исследователи были готовы сравнить эффекты своей модели с эффектами традиционных классов в трех школах.Практически не было разницы в том, насколько хорошо дети справляются с основными вычислениями, но те, кто учился в альтернативных классах, демонстрировали значительно более высокий уровень математического мышления [44]. Затем все студенты провели следующий год в обычных классах и снова прошли тестирование. Те, чей второй класс был нетрадиционным, были , но еще были более продвинутыми в концептуально сложных задачах. [45] Тем временем исследователи расширили свой проект на большее количество классных комнат для второклассников, а также на некоторые классы для третьих классов, что позволило им оценить эффекты, проведенные два года подряд в месте, где «закономерности, отношения и значения являются образованный студентами », и где математический класс преобразован в« сообщество, в котором происходит взаимный обмен и всестороннее взаимодействие.«Дополнительный год в таких условиях действительно имел значение. Было протестировано множество различных видов математической компетентности, и хотя не все измерения показали статистически значимый эффект, ни один из них не показал лучших результатов у студентов с традиционными инструкциями, чем у тех, кто два года занимался альтернативной математикой. Последние студенты были гораздо более искусными в понимании задач, представленных в форматах, отличных от учебников, и они также лучше справлялись с базовыми вычислениями — даже после того, как они провели год в обычном классе.Те, у кого был только один год конструктивистской математики, с большей вероятностью были отброшены обратно до уровня студентов, обучающихся навыкам и навыкам — не только по своим достижениям, но и по своим установкам: они пришли к выводу, что математика — это «решение задач используя один метод »вместо того, чтобы полагать, как это было раньше, что речь идет о« попытке понять и выяснить для себя »[46]. В меньшем и более неформальном масштабе теоретик-конструктивист Констанс Камии проверила несколько элементарных классов, в которых дети решали все задачи самостоятельно, без каких-либо алгоритмов.В соответствии с другими исследованиями, она обнаружила, что два конструктивистских второклассника показали такие же результаты, как и два обычных класса, по стандартизированному тесту достижений, но показали лучшие результаты по показателям мышления. [47] Последующее сравнение третьеклассников также показало, что «Группа конструктивистов использовала различные процедуры, получала более правильные ответы и делала более разумные ошибки, когда получали неправильные ответы. Группа сравнения в целом имела только один способ решения каждой проблемы — традиционный алгоритм — и, как правило, получала неправильные ответы, которые свидетельствовали о плохом понимании чисел.»[48] И последний момент, который не так уж случаен: учительница, работающая с Камии, отметила, что после того, как она приняла нетрадиционный подход к обучению, ее классы «проявили любовь к математике, которую я не видел в течение моего первого десятилетия преподавания» [ 49]. Хотя нет никаких достоверных данных, подтверждающих это впечатление (как в случае с Whole Language), оно определенно соответствует тому, что исследователи Purdue наблюдали в своих экспериментальных классах. Они сообщили, что посетители «неизменно отмечали увлечение математикой, которое проявляли дети, когда они решали задания.Дети часто подпрыгивали, обнимали друг друга и бросались рассказывать учителю, когда они решают особенно сложную задачу ». Более того, они в необычной степени упорствовали в решении сложных проблем и радовались успехам друг друга [50]. Конечно, это, вероятно, связано с отсутствием наклеек, оценок, похвалы и других подкреплений, которые, как правило, мешают детям получать удовольствие от обучения. Но задачи должны быть достаточно увлекательными и открытыми, чтобы успех был потенциально восхитительным — что-то гораздо менее вероятно, когда дети просто пройдут через утвержденные шаги, чтобы получить правильные ответы на рабочем листе. ПРИМЕЧАНИЯ [Полные цитаты см. В справочном разделе «Школы, которых заслуживают наши дети». ] Brownell, 1928, стр. 197. Там же, стр. 200. Ламперт, 1986, стр. 340. Годовое интенсивное изучение преподавания и обучения в классе геометрии 10-го класса. . . в престижном пригородном школьном районе в северной части штата Нью-Йорк »дала именно такие результаты. В то время как «наблюдатель в классе, незнакомый с математикой, обязательно поставит классу высокие оценки», студенты в основном тратили год на копирование доказательств, а затем выполнение упражнений, «предназначенных для подтверждения владения относительно небольшими фрагментами предмета.(«В течение всего учебного года ни один из учеников любого из дюжины наблюдаемых нами классов не выполнял математические задачи, которые можно было бы серьезно назвать проблемами».) Действительно, этот образцовый учитель, помня о стандартизированном тесте, который ученики бы в конце концов придется принять, прокомментировал в какой-то момент: «Вам нужно знать все свои конструкции холодно, чтобы не тратить много времени на размышления о них» (Schoenfeld, 1988, стр. 145-46, 152, 159) . Цитата Национального исследовательского совета: Battista, 1999, p.427. Резник, 1987, стр. 14. Brownell, 1932, стр. 10. Он добавил: если арифметика каким-то образом становится «значимой, она становится таковой, несмотря на упражнения» (стр. 12). Putnam et al., 1990, стр. 85. Этот пример из реальной жизни исходит от Пола Кобба через Гарднера, 1991, стр. 164. Этот пример из книги Макса Вертхаймера Productive Thinking цитируется в Schoenfeld, p. 148. Камий, 1994, с. 36-40. Цитируется по Schoenfeld, p.150, среди других мест. Другой пример: поразительное количество маленьких детей, обучаемых в традиционных классах, дают ответ «36» на вопрос «На корабле 26 овец и 10 коз. Сколько лет капитану? » (Камий, 1989, с. 160). Dossey et al., 1988, стр. 67, 54. Поскольку по-настоящему одаренные студенты обычно быстро изучают символьные алгоритмы, кажется, что их успеваемость оценивается с помощью стандартных тестов по математике. Но более пристальный взгляд показывает, что и на них сильно влияет неправильное обучение математике в традиционных учебных программах.. . [заканчивая изучением, которое] только поверхностное »(Баттиста, стр. 426). Kamii (например, 1994, стр. 43, 46) особенно убедителен в этом отношении. Putnam et al., 1990, стр. 96. Джексон, 1997, стр. I: 1. Камий, 1985б, с. 3. Примеры случайных событий, которые могут дать возможность детям первого, второго и третьего классов задуматься о числовых концепциях, см. Kamii, 1985b, стр. 123-35; 1989, стр. 91–97; and 1994, pp. 92–98.Как и некоторые другие конструктивисты, Камии также клянется, что использует определенные игры — например, игры в кости или игровые деньги — в учебных целях. Однако все рассматриваемые игры являются соревновательными, что свидетельствует как об отсутствии знакомства с кооперативными играми (где часто требуются одни и те же числовые навыки), так и о недостатке восприимчивости к социальным и психологическим недостаткам противопоставления детей друг другу (см. , 1992а). Джозеф Кан из Университета Иллинойса, Чикаго, подчеркивает это.Как правило, утверждает он, родители «не нервничают по поводу Whole Language, потому что знают, что их дети будут читать; их навыки грамотности не подвергаются угрозе »(личное сообщение, 1997). Тем не менее, это может недооценивать степень, в которой Whole Language отличается от школьного опыта большинства людей. Один писатель отмечает: «К сожалению, многие родители не вспоминают, что им давали возможность читать« настоящие книги »в их начальных классах начальной школы, если (как в моем случае) это не было после того, как вся их« работа »была сделана.Таким образом, атаки на язык в целом, которые сосредоточены на литературе, отчасти являются результатом дискомфорта родителей, что школьный опыт их детей не похож на их собственный »(Brinkley, 1998, p. 59). И это от другого писателя: «Когда вы убираете два школьных ритуала, которые понимают родители — математические факты и проверки правописания, — вы напугаете их до смерти» (Оганян, 1996a, с. 9). Урок стиральной машины описан в Brooks and Brooks, 1993, pp. 73-75. Урок жевательной резинки был использован Пэм Хайд и опубликован в Zemelman et al., 1998, pp. 85. Проблема дроби исходит от Джой Донлин и описана в Willis and Checkley, 1996, p. 7. Идея о том, чтобы студенты писали учебник, приписывается Биллу Эласки изданием Wood, 1992, p. 140. Кахраманидис, 1988. Piaget, 1973, стр. 106. Камий, 1985б, с. 46. ​​ Другая, более практическая причина для того, чтобы задать тот же вопрос о правильном ответе, состоит в том, что в противном случае дети просто предположат: «Как вы это получили?» — это код учителя для слова «Нет, попробуйте еще раз.” Kamii, 1985b, pp. 25, 36. Ее конструктивистские предпосылки побудили Kamii предложить лишь частичное одобрение стандартов NCTM. Она утверждает, что, несмотря на акцент на более глубоком понимании математических истин, стандарты по-прежнему отражают эмпирическое представление о том, что эти истины имеют реальность, полностью независимую от знающего. Кроме того, хотя сотрудничество между студентами рекомендуется, Камии считает, что стандарты не отражают конструктивистское понимание необходимости понимания через разрешение конфликта между разрозненными идеями (см. Kamii, 1989, стр.59-62). Это было сделано Brownell, 1928, pp. 199, 208-9; а также Джин Лав, процитированный в Brown et al., 1989, p. 36. К сожалению, в этой ситуации учащимся не предлагается (со стороны учителя или других учащихся) переосмыслить и улучшить свои первоначальные идеи, поэтому они, вероятно, не будут учиться так эффективно, как в нетрадиционном классе. Лестер, 1996, стр. 146-52. Описание другого учителя того, как и насколько хорошо работает этот подход, см. В Strachota, 1996, гл.3. Камий, 1994, с. 67. Не каждый преподаватель математики согласен с тем, что детям младших классов вообще не следует давать алгоритмы, но Камии приводит веские доводы в пользу этой позиции. Роб Мэделл (1985, стр. 20) также рекомендует не преподавать алгоритмы до конца третьего класса и не вводить традиционные процедуры для работы с дробями до шестого класса (даже если учащиеся будут интенсивно изучать дроби не менее двух лет. до этого). Хирш, 1996, стр.83. «Исследования показали, однако, что большинство детей думают, что 1 из 16 означает один, до третьего или четвертого класса» (Kamii, 1989, стр. 15). «Даже в четвертых и пятых классах только половина опрошенных учеников продемонстрировала хорошее понимание отдельных цифр в двузначных числах» (Росс, 1989, стр. 50). Выготский, 1978, с. 84. Рассказ Линды Джозеф опубликован в Kamii, 1989, p. 156. Почти идентичное свидетельство другого учителя — «Я преподавал все это время [пятнадцать лет] и никогда не знал, что второклассники так много разбираются в математике» — цитируется в другом обсуждении того, что значит стать учителем. учитель математики-конструктивист (Wood et al., 1991, с. 601). Кац, 1993, стр. 31. См. Также Katz and Chard, 1989, стр. 4-5. См. Stigler and Hiebert, 1997; и Lawton, 1997. Другие различия между обучением в США и Японии также могут влиять на результаты. Японские учителя регулярно встречаются в небольших группах, чтобы вместе оценить свое обучение и улучшить свое мастерство (Стиглер и Хиберт, стр. 20). Кроме того, Япония, как и многие другие страны, не отслеживает учащихся по предполагаемым способностям (Schmidt et al., 1998). Schmidt et al., 1998, стр. 10, 15, 18, 25-6. Портер, 1989, стр. 11. Мэтьюз, 1998b. В отчете, подготовленном Гарольдом Венглински из Службы образовательного тестирования, также обнаружено, что дети афроамериканского происхождения особенно склонны использовать компьютеры для обучения навыкам. И снова подход к обучению, основанный на принципах «возврата к основам», непропорционально используется для цветных детей — в ущерб им. Carpenter et al., 1989. Цитаты приведены на стр.525, 527. Hiebert and Wearne, 1993. Саймон и Шифтер, 1993. Кэмпбелл, 1996. Yackel et al., 1991. Cobb et al., 1991. Cobb et al., 1992. Wood and Sellers, 1996, 1997. Камий, 1989, с. 158-78. Камий, 1994, с. 205. Линда Джозеф, цитируется по Kamii, 1989, p. 155. Cobb et al., 1989, стр. 137, 139, 144.

На службе у математиков

Меган Джоши всегда любила математику — и преуспевала в ней.Когда ей было семь лет, родители наградили ее за то, что она делала работу по дому, с учебниками по алгебре и геометрии. Джоши завершила свой последний год в старшей школе, выиграв премию по математике для девочек, ежегодное соревнование для старшеклассников из США и Канады, и завоевав серебряную медаль на Европейской математической олимпиаде для девочек.

Несмотря на то, что Джоши выросла в богатой общине Южной Калифорнии, ее государственные школы сыграли небольшую роль в этих достижениях или в воспитании ее страсти к математике.В начальной школе она выделялась. В 3-м классе она попала в 5-й класс по математике и по-прежнему превосходила других учеников. Она нашла способы «не скучать», помогая одноклассникам, ставя оценки учителю и, когда больше нечего было делать, читала романы. «Я не особо помню, чтобы обращал внимание», — сказал Джоши, сейчас студент Массачусетского технологического института.

Десятки тысяч учеников томятся в подобной математической монотонности в школах, которые не могут полностью их поддержать.Несмотря на общие низкие оценки студентов из США на государственных, национальных и международных экзаменах по математике, количество успешных студентов-математиков в стране резко выросло за последние 20 лет. За эти два десятилетия количество школ, предлагающих классы Advanced Placement по Calculus AB и Calculus BC, выросло примерно на 50 процентов. Число студентов, обучающихся на этих курсах, подскочило почти до полумиллиона (рост на 161 процент), а процент сдающих экзаменов растет. В 2018 году вдвое больше учеников 8-х классов и на 50 процентов больше учеников 4-х классов по математике в рамках Национальной оценки успеваемости по сравнению с их сверстниками в 2000 году.

Исследование 2017 года, опубликованное в журнале Gifted Child Quarterly , показало, что от 16 до 37 процентов учащихся в Калифорнии, Техасе и Висконсине набрали по крайней мере на один класс вперед по математике и целых четыре — на стандартизированных экзаменах штата.

За годы, прошедшие с тех пор, как Конгресс принял Закон 2001 года «Ни одного оставленного ребенка», согласно которому школы несут ответственность за уровень знаний каждого учащегося по основным учебным предметам, политики и преподаватели приложили значительные усилия для того, чтобы все учащиеся соответствовали минимальным стандартам.Но сопоставимых усилий по удовлетворению уникальных потребностей одаренных математиков в государственных школах страны не предпринимается.

«Стране необходимо развивать талантливых и дальновидных специалистов по решению проблем, — сказал Джонатан Плюккер, профессор образования в Университете Джонса Хопкинса и избранный президент Национальной ассоциации одаренных детей, — но мы не находим способов получить от этого достаточно талант », особенно среди студентов с низким доходом и традиционно недостаточно обеспеченных студентов. «У нас очень разнообразный студенческий контингент, который с каждым годом становится все более разнообразным; это много талантливых детей, которые полностью отстранены.”

Глобальная конкурентоспособность и рабочее место в США все чаще требуют навыков в области науки, технологий, инженерии и математики, известных под общим названием STEM. Бюро статистики труда США прогнозирует создание более 5 миллионов новых рабочих мест в сфере STEM к 2024 году, при этом наибольшие темпы роста ожидаются в областях математической науки. Тем не менее, по данным разработчика вступительных экзаменов в колледж ACT, из всех выпускников средних школ в США, поступивших в колледж в 2018 году, только 20 процентов были готовы к работе в области STEM на уровне колледжа.

Данные Программы международной оценки учащихся показывают, что к тому времени, когда детям в США исполняется 15 лет, страна занимает шестое с последнего места по доле учащихся, достигших элитного уровня (см. Диаграмму 1). Но дефицит начинается раньше. Американские учащиеся 4-х и 8-х классов ниже Сингапура, Южной Кореи, России, Северной Ирландии, Англии и других развитых стран по успеваемости по математике, исходя из результатов экзамена на компетентность «Тенденции в международной математике и естественных науках».

В то время как государственные школы США не могут обслуживать студентов-математиков с высокими успеваемостями, несколько программ в частном секторе активизировались для удовлетворения их потребностей. Искусство решения задач, или AoPS, Math Circles, Mathcounts, Центр талантливой молодежи и Math Kangaroo — одни из самых известных частных программ по обогащению математики. Это не вездесущие учебные центры, разбросанные по торговым центрам; Это онлайн-курсы и курсы для студентов, которые любят решать математические головоломки и нуждаются в дружелюбном сообществе единомышленников, которых они не могут найти в школе.

Программы — за исключением кружков по математике, которые не отслеживают количество учащихся на национальном уровне — ежегодно принимают около 125 000 студентов. Еще 350 000 человек по всему миру зарегистрированы в бесплатном онлайн-сообществе Art of Problem Solving, которое позволяет детям делиться математическими задачами, а также организовывает форумы и учебные группы по всему, от евклидовой геометрии на олимпиадах по математике до более легких рассказов о последних фильмах.

Но у этого подхода есть недостаток: студенты на курсах преимущественно белые, состоятельные и мужчины.Педагоги и правозащитники начали разрабатывать способы распространения этих возможностей обогащения на одаренных учеников, не участвующих в процессе, но впереди еще долгий путь.

Программы для детей-математиков

Сидя в одиночестве за угловым столиком в кофейне по соседству в Менло-Парке, Калифорния, Джошуа Цукер наклонился к своему ноутбуку и набрал: «Добро пожаловать на 16-ю неделю, нашу последнюю неделю вместе».

«Я люблю математику», — ответил студент с именем пользователя Mat-h-ero.

«Математика потрясающая», — написал другой.

В течение следующих 75 минут Цукер преподавал предварительную алгебру примерно 50 ученикам — в этом конкретном курсе, примерно поровну между девочками и мальчиками из всех 50 штатов и в возрасте от 8 до 12 лет — с помощью онлайн-курса, разработанного по искусству решения проблем. AoPS — это коммерческая компания, которая предлагает личные и онлайн-курсы для студентов-математиков с высокими способностями. Он аккредитован комиссией Западной ассоциации школ и колледжей.

Темой недели была конверсия, и Цукер начал занятие с простой задачи оценить понимание учащимися концепции: если автомобиль едет со скоростью 64 миль в час в течение четырех часов, как далеко он уедет? Студенты напечатали свои ответы, и почти все поняли правильно.

Задачи становились все более сложными и требовали от учащихся переводить единицы измерения, скажем, часы в минуты, или решать скорость, а не расстояние. Например: полицейский преследует грабителя банка пешком.Офицер бежит со скоростью 12 миль в час, а грабитель — со скоростью 10 миль в час. Если грабитель начинает с опережением на 1/10 мили, сколько времени потребуется офицеру, чтобы его поймать?

«Давайте подумаем об этой проблеме», — напечатал Цукер своим онлайн-студентам. «Он просит нас решить для расстояния, времени или скорости? Это уже известное нам уравнение, выраженное по-другому »(см. Врезку).

Нет ни звука, ни видео, только экран, на котором Цукер ловко выполняет несколько задач: публикует задачи, предлагает подсказки и объяснения и направляет ассистентов удаленного обучения работать со студентами, требующими большего внимания.

С 2007 года Цукер провел более 50 онлайн-курсов AoPS. До этого он преподавал математику в средней школе, был соучредителем математического фестиваля, а также основал кружок математики Сан-Хосе, часть сети программ после школы и дополнительных программ по выходным. Цукер всегда любил математику и хотел бы, чтобы такие программы, как AoPS, существовали, когда он рос. По словам Цукера, хотя он был членом школьной математической команды, ни один из учеников не был на его уровне. «Я был очень изолирован. Некому было обсуждать идеи.Только я и несколько книг сидели в моей комнате одни ».

Основатель Art of Problem Solving Ричард Рушик представляет систему онлайн-обучения Beast Academy ученикам Art of Problem Solving Academy в Сан-Диего.

Ричард Рушик тоже помнит это чувство, но ему повезло, что учитель рассказал его родителям о Mathcounts, некоммерческой организации, которая проводит крупнейшее в стране соревнование по математике среди учащихся средних школ. Это был первый раз, когда он встретил таких же детей, как он сам. Спустя годы, после того, как он служил запасным игроком U.После того, как он отправился на Международную математическую олимпиаду, он закончил Принстон и совершил краткие набеги на преподавание и торговлю облигациями, он создал онлайн-сообщество для математиков — термин, который он сам с гордостью носит. В 2003 году он основал AoPS. По словам Рушика, это «самодельная» организация. Он и его жена использовали свои личные сбережения, чтобы запустить AoPS, и по-прежнему владеют контрольным пакетом акций. Почти все остальные акционеры — сотрудники. Хотя он не раскрывает данные о доходах, Рушик сказал, что AoPS «приносит прибыль уже более десяти лет.”

Вначале он предлагал два летних онлайн-курса, в которых участвовало в общей сложности 24 студента, и онлайн-форум, на котором несколько сотен студентов собирались поделиться и обсудить сложные математические задачи и поболтать. Сегодня в рамках программы проводится 200 онлайн-курсов в год, которые привлекают почти 15 000 студентов со всего мира. AoPS открыла свои первые обычные классы в Северной Каролине и Вирджинии в 2016 году и с тех пор добавила центры в Мэриленде, Вашингтоне, Калифорнии, Нью-Джерси, Джорджии и Техасе.Вместе они обслуживают 4200 учеников со 2 по 12 классы. В этом году планируется открыть еще несколько сайтов.

Rusczyk объясняет успех компании тем, что она остается верной миссии по созданию места, где молодые люди могут заниматься интересной и сложной математикой. «Я бы сказал, что путеводной звездой для многих наших дел является создание того, что мы хотели бы иметь в детстве».

Также набирает популярность

кружков по математике, число которых выросло как минимум до 100 в 39 штатах. Каждый из них является независимым, поэтому неизвестно, сколько студентов участвуют в общенациональном обучении, но у многих из них есть значительные списки ожидания.

Последнее место, где большинство подростков хотят быть в пятницу вечером, — это другой математический класс. Но 28 из них собрались в классе факультета математики и статистики в Государственном университете Сан-Хосе, головокружительно желая обыграть своего преподавателя Алона Амита в игре вероятностей, иначе известной как обман путем вычислений. Ну, это не настоящий обман. Амит преподает им урок о шансах уличных торговцев, используя подбрасывание монеты и математику.

«Ребята, вот что-то совершенно умопомрачительное. Вместо того, чтобы подбрасывать монеты, пока мы не найдем закономерность, мы будем играть в игру », — сказал он и объяснил стратегию, которую карни использует для победы в так называемых азартных играх.

«Теперь, поскольку у меня сегодня хорошее настроение, я позволю вам сначала выбрать образец», — продолжил Амит. «Какой узор вам нужен?»

«Орел, решка, решка», — кричали они. Он выбирает орла, орла, решку и демонстрирует, насколько вероятность на его стороне (см. Врезку).

Днем Амит является вице-президентом по продуктам в Origami Logic, стартапе в области маркетинговой аналитики и данных, который он соучредил. Но математический кружок Сан-Хосе — его первая любовь.

«Для многих детей математическая программа — самое яркое событие недели», — сказал Амит.«Вы можете увидеть это в их глазах. Они заходят сюда, и они на седьмом небе от счастья.

Это верно для 18-летнего Джереми Петтитта, который планирует изучать информатику в колледже. Петитт получил домашнее образование у своей матери, но превзошел ее по математическим способностям и самостоятельно изучает математические вычисления, читая учебники. Он начал посещать математический кружок Сан-Хосе около трех лет назад.

«Это действительно здорово, потому что мне не обязательно быть единственным, кто предлагает идеи. Если я чего-то не понимаю, я могу повернуться и спросить: «Эй, я правильно делаю?» — сказал Петитт.«Приятно быть среди сверстников».

Трое учеников Амита завоевали золотые медали на Международной математической олимпиаде, а некоторые получили докторские степени по математике. Студенты AoPS добились аналогичных успехов. В 2015 году Соединенные Штаты выиграли Международную математическую олимпиаду впервые за 21 год, а за ними последовали еще два триумфа за первые места в 2016 и 2018 годах. Все 16 учеников этих команд вместе записались в более чем 100 классов AoPS. Шесть студентов из команды этого года вместе прошли более 50 занятий.

Менты и грабители Задача «полицейский и грабитель» — это просьба учащихся решить на время ( t ), в частности, сколько времени потребуется полицейскому, чтобы поймать грабителя. Уравнение составляется из расстояния, которое преодолевает офицер, 12 т (миль в час, умноженных на т ), что равно разнице в 1/10 мили на старте грабителя плюс пройденное расстояние грабителя, 10 т : 12 т = 1/10 + 10 т Для упрощения вычтите 10 т с обеих сторон: 2 т = 1/10 Разделите обе части на 2, чтобы получить t : t = 1/20 часа, или 3 минуты, чтобы офицер поймал грабителя Студенты часто отвлекаются, глядя на общее пройденное расстояние, в чем нет необходимости, — сказал Джошуа Цукер.Чтобы решить эту проблему, нам нужно только знать, насколько быстро офицер сокращает разрыв. Когда студенты усвоят представление об относительных показателях, Цукер придаст проблеме еще один поворот. Например: что, если бы они бежали навстречу друг другу? Сколько времени потребуется, чтобы они столкнулись? Ценность изучения новых инструментов и стратегий заключается в том, что учащиеся могут сгруппировать несколько шагов в один фрагмент, который им легче запомнить и использовать. «Это важно при переходе к более сложным задачам», — сказал Цукер.Он считает, что это одна из причин того, что люди упираются в стену в своих математических исследованиях: «Они справлялись со всем, запоминая процедурные шаги вместо того, чтобы строить понимание и создавать лучшие инструменты для решения проблемы, и они становятся подавленными. все, что они должны держать в голове сразу ».

Сила решения проблем

Соревнования подходят не для всех, но просто участие в практических занятиях может укрепить навыки учащихся в решении проблем.

Касия Ким, шестиклассница из Аламеда, Калифорния, проводит вечера по понедельникам в течение учебного года в Калифорнийском университете в Беркли, посещая занятия по математике, преподаваемой правильно. Подход программы резко контрастирует с тем, что происходит в школе, говорит она, когда учителя говорят: «Хорошо, вот эта тема, вот формула, мы заставим вас делать это примерно на три месяца. Затем они проводят викторину по этому поводу, а затем идут дальше ».

Создание творческих, аналитических математических мышц у детей требует, чтобы предмет изучался медленно, каждый урок строился на предыдущем, — сказала Звезделина Станкова, профессор математики в Беркли и директор Math Taught the Right Way.«Это все равно, что научиться играть на пианино», — объяснила она. «Вы не можете за один год выучить то, что должны выучить за шесть».

Станкова основала учебный план программы на болгарской математике, которую она выучила, когда росла в бывшем Советском Союзе, — методе, который она также использовала, тренируя команду США на Международной математической олимпиаде. (Сама она дважды участвовала в олимпиаде в составе болгарской команды, выиграв две серебряные медали.) Математика, преподаваемая правильно, выросла из кружка математики Беркли, соучредителем которого Станкова в 1998 году.«Правильное преподавание математики» проводит четыре цикла курсов в семестр для учащихся 6–9 классов; курсы быстро заполняются, и всегда есть лист ожидания.

Студенты должны показать и объяснить каждый этап своей работы — перечислить переменные, нарисовать рисунок или диаграмму, указать используемый метод, а затем объяснить другие ситуации, в которых этот метод будет работать.

Элисей Уилсон-Эгольф, учитель в Math Taught the Way, называет это «стратегией борьбы», которую необходимо разработать каждому ученику, «которая позволяет им решать задачи в новых контекстах, применять знания, которые они знают, в разных условиях. сценарии.”

Стратегия полезна не только в математике, но и во всех предметах и ​​во всех сферах жизни. Суть математики состоит в том, чтобы «решить проблему, которую вам никто не сказал, как решить», — сказала коллега Станковой Татьяна Шубина, соучредитель San Jose Math Circle и профессор математики в Государственном университете Сан-Хосе. «Я не верю, что каждому в зрелом возрасте нужно знать, как учитывать квадратичное выражение, но каждый должен уметь без страха противостоять трудным проблемам и просто бороться с ними силой своего разума.”

Устранение разрыва в капитале

Семьи из среднего класса и зажиточных сообществ узнают о частных программах углубленного изучения математики от учителей, из списков рассылки по соседству и из уст в уста. Но слухи могут никогда не добраться до семей в школах и общинах с недостаточным уровнем обеспеченности услугами, и даже если это произойдет, препятствий предостаточно. Программы дорогие, часто имеют ограниченное пространство и, в конечном итоге, требуют вступительных экзаменов, которые отдают предпочтение учащимся более обеспеченных школ с хорошо образованными родителями.

Точно так же предложения государственных школ для учащихся с высоким потенциалом не охватывают все группы одинаково. Согласно исследованию Thomas B. Институт Фордхэма. Однако вероятность участия учащихся в школах с низким уровнем дохода в программе для одаренных детей вдвое ниже, чем у их сверстников в школах с высоким уровнем доходов (см. Диаграмму 2).Аналогичным образом, около 90 процентов учащихся посещают школы с курсами Advanced Placement, но Education Trust обнаружила, что школы с меньшей вероятностью предлагают AP, как правило, в бедных и сельских районах.

Число зачисленных на углубленные курсы математики еще больше увеличилось по расе, этнической принадлежности и доходу. Совет колледжей, который проводит экзамены AP, сообщает, что, несмотря на постоянный рост количества школ, предлагающих курсы AP по математике, более половины студентов, сдающих экзамены Calculus AB, являются белыми.Это не особенно удивительно, поскольку белые студенты составляют почти половину (около 45 процентов) населения K – 12. Но для сравнения, только около 5 процентов студентов, сдавших экзамен в 2018 году, были чернокожими, хотя черные студенты составляют около 16 процентов населения K – 12.

американских девочек сейчас опережают мальчиков по успеваемости, даже по математике, но они по-прежнему недопредставлены в сложных математических программах. За 44 года участия США в Международной математической олимпиаде в команду были отобраны только три девушки.Меган Джоши заметила гендерный разрыв на летней программе математической олимпиады, сборах для международных соревнований. Однажды летом она насчитала всего 12 девушек из 54 участвовавших в ней учениц. Это вдохновило Джоши, которая только что закончила первый год в старшей школе, основать группу STEM для девочек в своей бывшей средней школе. Четыре года спустя он по-прежнему набирает обороты: девушки отправляются на экскурсии в местные компании STEM и знакомят их с успешными женщинами в STEM.

Небольшое количество некоммерческих организаций нацелено на устранение этих пробелов, особенно связанных с доходом, расой и этнической принадлежностью.New York Edge проводит бесплатные послешкольные и летние программы по академическим наукам, легкой атлетике и искусству для студентов с низким доходом в Нью-Йорке. Помимо открытия Математического кружка в Сан-Хосе, который является платным, но предлагает стипендии, Татьяна Шубин также основала математические кружки навахо в 2012 году и обучает учителей из резервации руководить ими в своих школах.

Одна из самых масштабных информационных программ — «Мост для входа в высшую математику». Расположенная в Нью-Йорке и Лос-Анджелесе программа реализуется AoPS Initiative, Inc., независимая некоммерческая организация, созданная Art of Problem Solving для решения проблемы разрыва в доходах от математических достижений. Bridge to Enter Advanced Mathematics сотрудничает с 35 школами в Нью-Йорке и 14 в Лос-Анджелесе, где не менее 75 процентов учащихся имеют право на бесплатный обед или обед по сниженной цене.

«Дети, которые не связаны, все больше и больше отстают, и мы несем ответственность за часть этого разрыва», — сказал Рушик. «Итак, мы чувствовали себя обязанными попытаться достичь, попытаться обучить, попытаться служить, попытаться привлечь в это сообщество людей, которые не могли бы этого найти естественным образом, людей, у которых нет родителей, которые были инженерами или учеными, людьми, которые не ходите еще в школы, где есть математические команды [и] математические клубы.”

Однажды в субботу в Гринвич-Виллидж почти 200 одаренных математиков с 8 по 11 классы приехали в Нью-Йоркский университет, чтобы принять участие в занятиях, предлагаемых Bridge to Enter Advanced Mathematics. Восьмиклассники изучают алгебру и курс подготовки к старшей школе под названием «Вещи, которые вам нужно знать». Одна из целей программы состоит в том, чтобы эти дети соответствовали конкурентоспособным академическим стандартам для поступления в одну из лучших государственных средних школ города.

Йомна Наср, 13 лет, американка в первом поколении, семья которой эмигрировала из Египта, сдала вступительные экзамены в среднюю школу и будет посещать Bard High School Early College Queens, где студенты заканчивают обучение с дипломом средней школы и со степенью младшего специалиста.Другие учащиеся 8-го класса программы Bridge to Enter Advanced Mathematics были зачислены в средние школы Нью-Йорка с очень высокой степенью отбора, включая Stuyvesant, Bronx Science, Brooklyn Technical, Манхэттенский центр науки и математики и среднюю школу музыки, искусства и исполнительства LaGuardia. Искусство.

Разнообразие — это основа программы Bridge to Enter Advanced Mathematics. Студенты равномерно разделены по полу: 56 процентов идентифицируют себя как латиноамериканцы или испаноязычные, 39 процентов — как афроамериканцы, 14 процентов — как белые, 9 процентов — как американцы азиатского происхождения и по 1 проценту — как коренные американцы или коренные жители Аляски и коренные жители Гавайев или других островов Тихого океана.Средний доход семьи составляет 31 000 долларов; более двух третей учащихся имеют право на школьный обед, субсидируемый государством.

Насру нравится, что Bridge to Enter Advanced Mathematics поддерживает учащихся на протяжении всего процесса, включая подготовку к вступительным экзаменам в специализированную среднюю школу; семинары по написанию сочинений для школ, которым они необходимы; и консультанты доступны лично, по тексту и по электронной почте.

13-летняя Йумна Наср посетила программу Bridge to Enter Advanced Mathematics Program в Нью-Йорке и заняла желанное место в 9-м классе в Bard High School Early College Queens.

Младшие и старшие школьники получают аналогичную помощь при подаче заявления в колледж. Студенты также имеют доступ к эмоциональной, финансовой и социальной поддержке. Программа предлагает обеды, предоставляет очки студентам, которые не могут себе их позволить, а также предоставляет услуги социального работника.

Сердце Bridge to Enter Advanced Mathematics — это летняя программа для учащихся 6 и 7 классов. Сотрудники помогают учителям определять учащихся, которые могут преуспеть в программе, — не только тех, кто преуспевает в математике, сказала Линн Картрайт-Пеннетт, старший директор программ Bridge to Enter Advanced Mathematics, но и тех, кто любит решать задачи и упорствует в этом. лицо вызова.Она говорит учителям искать учеников, которым скучно, и получать А с небольшим усилием, и просит их помнить, что «самый сильный ученик в вашей комнате одинок». Иногда таких студентов подвергают остракизму.

«В средней школе все думали, что я немного странная, так как я так любила математику, поэтому я была выделена», — сказала 15-летняя Агата Регула, которая считает, что ее родители-иммигранты подбадривают ее и помогают ей добиться успеха. Однако в «Мосте к углубленному изучению математики» она встретила множество других детей, которые «разбирались в математике».”

Ее участие в программе сослужило ей хорошую службу. Когда Регула поступила в среднюю школу Стуйвесант, одну из самых популярных государственных школ в городе, она почувствовала, что ей «нужно немного догнать», но участие в программе «Мост для входа в высшую математику» придало ей уверенности. настойчиво. Без этого, по ее словам, «было бы намного хуже. Это было бы поистине ужасно ».

В Мэриленде AoPS сотрудничает с фондом Montgomery Blair High School Magnet Foundation, Inc., чтобы запустить пилотную программу под названием Pipeline Project. Эта инициатива направляет сильных студентов-математиков из малообеспеченных семей в Beast Academy центра Gaithersburg AoPS, программу для детей с 3-го по 5-й класс.

Некоммерческий фонд был создан в 2008 году для сбора средств на программу по естественным наукам, математике и информатике в средней школе Монтгомери Блэр в Силвер-Спринг после сокращения бюджета. Фонд отобрал 40 учеников государственных школ в округе Монтгомери — на основе интересов, оценок и рекомендаций учителей — для обучения в Beast Academy и оплатил большую часть или все 150 долларов за обучение в месяц.

AoPS отделила учеников 3-го класса Pipeline от других учеников Beast Academy, чтобы они быстро освоились. В этом году в 4-м классе они смешались, и ученики Pipeline успевают настолько хорошо, что учителя понятия не имеют, кто есть кто, — сказала Келси Бартли, национальный директор по связям с общественностью Академии AoPS.

Цель состоит в том, чтобы вмешаться, пока талантливые ученики еще учатся в начальной школе, чтобы вывести их на продвинутый курс математики в средней школе. Ключевым показателем его успеха будет то, сколько учеников Pipeline будут допущены к очень избирательной программе по математике, естествознанию и информатике в средней школе Takoma Park округа Монтгомери, сказал учитель информатики Самир Пол, член совета фонда и водитель вождения. сила, стоящая за программой.

В 2017 году было принято менее 16 процентов из 860 учеников 5-х классов, подавших заявки на участие в программе Takoma Park Magnet. Только 15 из принятых студентов были латиноамериканцами, менее 10 были чернокожими, а количество мальчиков почти вдвое превышало численность девочек.

Этот дисбаланс становится самовоспроизводящимся, потому что магнит в Такома-парке является основной питающей программой для магнитной программы средней школы Монтгомери Блэра.

Стремясь противостоять неравенству, государственные школы округа Монтгомери пересмотрели процесс подачи заявлений.Вместо того, чтобы оставлять направление учеников на усмотрение родителей и учителей, округ автоматически проверял учебные документы всего 5-го класса и уведомлял родителей каждого ученика, успевающего над классом, что, если родители не возражают, их дети будут сидеть за магнитом. вступительный экзамен. В результате отбора количество студентов в пуле заявлений 2018 года увеличилось в четыре раза. Это почти сократило разрыв между мужчинами и женщинами, но количество отобранных чернокожих студентов почти не увеличилось, и прием латиноамериканских студентов упал.

Изменения не достигли целей округа по увеличению участия студентов из числа меньшинств в магнитной программе, потому что студенты по-прежнему отбирались по результатам тестов, а тесты с высокими ставками часто подрывают студентов, которые не имели возможности посещать высокоэффективные элитные школы. Округ снова работает над изменением критериев отбора для программы магнита для средней школы, чтобы сделать процесс подачи заявления менее зависимым от стандартного теста.

Центр талантливой молодежи Университета Джона Хопкинса уже занимается этой проблемой.Идея центра возникла в конце 1970-х годов с профессора психологии Джона Хопкинса и одного семиклассника из Балтимора, которые посещали все классы математики, которые предлагала его школа. Сегодня некоммерческий академический центр проводит летние, онлайн-программы и семейные программы для одаренных и талантливых учеников 2–12 классов со всего мира.

Как правило, от 75 до 85 процентов студентов, сдающих вербальные и математические экзамены центра, набирают достаточно высокие баллы, чтобы претендовать на участие в его дополнительных программах. Но когда организация стремилась создать программу специально для государственных школ Балтимора с ограниченными ресурсами, только около 30 процентов учащихся соответствовали требованиям.

Эми Шелтон, директор по исследованиям и временно исполняющий обязанности исполнительного директора программы, сочла маловероятным, что студенты Балтимора действительно не хватало способностей, поэтому центр разработал исследовательский проект для проверки других навыков и способностей, которые предсказывают успех в математике, таких как пространственные и математические способности. способность рабочей памяти и критическое и дивергентное мышление. Это положило начало инициативе Baltimore Emerging Scholars для самых одаренных учеников в 16 начальных школах округа с самой низкой успеваемостью.К концу 25-недельной учебной программы «начинающие ученые» сопоставили учащихся из более богатых школ и получили право на участие в обычных программах центра. (Пожертвование в размере 300 000 долларов США, финансируемое подарками и грантами, финансирует программу Emerging Scholars; еще 5 миллионов долларов США ежегодно за счет оплаты обучения и благотворительности идет на финансовую помощь студентам других программ центра.)

Изначально, когда центр попросил школы Балтимора определить учащихся для программы Emerging Scholars, он столкнулся с повсеместной предвзятостью, сказал Плюккер, профессор образования Хопкинса, связанный с центром.Учителя и директора были заинтригованы, но сказали ему: «У нас здесь нет одаренных учеников, потому что мы в основном учимся в школе для чернокожих, латиноамериканцев или школ с низким доходом».

Плукер сказал, что такая предвзятость распространена в школах, даже среди людей, которые действительно хотят, чтобы эти ученики добились успеха. Чтобы попытаться противостоять этому, он поддерживает более широкий универсальный отбор одаренных и талантливых программ и оценку учащихся в контексте их школы, а не всего округа.

«Мы обнаружили, что если вы пропустите этап номинации и просто оцените всех, вы обнаружите гораздо больше студентов с низкими доходами, которые уже успевают на более высоких уровнях», — сказал Плукер.

Округ начальной школы Гадсден на юго-западе Аризоны представляет собой небольшой, но мощный пример того, как школы могут выявлять и воспитывать талантливых учеников, которые в противном случае могли бы потерпеть неудачу. Бедный сельский район на границе с Мексикой обслуживает 100 процентов студентов из числа меньшинств, в основном латиноамериканцев, и почти каждый студент имеет право на бесплатный обед или обед по сниженной цене. Тем не менее, больше студентов из Гадсдена имеют право на летние программы центра Хопкинса, чем из любого другого округа страны.

Когда 13 лет назад округ запустил программу для одаренных детей, он изучил данные по каждому учащемуся со 2 по 4 класс, расширил возможности репетиторства по математике и естественным наукам, наладил партнерство с местным общественным колледжем для успешных учеников средней школы и переработал дизайн. свои программы повышения квалификации учителей. Консультанты и учителя регулярно общаются с родителями, как правило, на испанском языке, и помогают им заполнять заявки на участие в программах повышения квалификации. Другими словами, округ делает все возможное, чтобы выявить сильных учеников-математиков и развить их навыки в долгосрочной перспективе.

Победа орлом и решкой Может показаться, что подбрасывать монету — это справедливо; в конце концов, вероятность выпадения орла или решки при каждом подбрасывании составляет 50-50. Но если игра требует, чтобы определенный паттерн орла и решки появлялся в непрерывной последовательности в ходе серии подбрасываний, математическая стратегия имеет значение. Допустим, Санса и Бран соглашаются подбросить монетку на Железный трон. Санса предсказывает, что три решки подряд (HHH) появятся первыми, в то время как Бран выбирает решку, решку, решку (THH) в качестве своего паттерна.Если первые три броска — ЧЧХ, тогда выигрывает Санса, но если решка выпадает в любом из первых трех бросков, у нее нет шансов на победу. Почему? «Потому что, если у нас есть Т, мы никогда не сможем получить три орла подряд, если заранее не будет Т», — объясняет Алон Амит, учитель Математического кружка Сан-Хосе. «Мы получаем THH до того, как шаблон HHH сможет проявиться». Шансы Сансы на трон составляют 12,5%, но Бран побеждает примерно в 87,5% случаев. Бран решает дать Сансе еще один шанс.Поскольку решка, решка, решка (THH) так хорошо работали для Брана, Санса выбирает эту схему в следующем раунде. Затем Бран выбирает решку, решку, решку (TTH) и, опять же, у него больше шансов на успех. Причина в следующем: им обоим нужно дождаться появления буквы T, потому что оба паттерна начинаются с буквы T. Как только выпадет первая буква T, следующие два переворота могут быть любой из этих четырех комбинаций: • HH: Санса побеждает с THH. • HT: последовательность теперь THT, поэтому ни один игрок не выигрывает.Последний T становится началом цепочки, и им приходится ждать следующих двух флипов. • TH: Бран побеждает с TTH. • TT: Теперь шаблон TTT. Теперь Бран гарантированно выиграет, потому что паттерн Санса THH никогда не появится. Всякий раз, когда выбрасывается следующий H, ему всегда будет предшествовать TT.

Уроки для школ

Люди, которые проводят частные программы повышения квалификации, говорят, что их цель не в том, чтобы создать отдельную школьную систему для лучших учеников, а в том, чтобы заполнить пробел.Могут ли государственные школы развиваться, чтобы удовлетворить эту потребность? История района Гадсден намекает на то, что они могут, и несколько других инициатив являются обнадеживающими признаками. AoPS пилотирует учебную программу Beast Academy в школьном округе Миннесоты и налаживает партнерские отношения с большим городским округом. Пол сказал, что если результаты программы Pipeline в округе Монтгомери и дальше будут положительными, он, вероятно, обратится к школьному округу с просьбой профинансировать расширение.

Как выразилась Станкова, «программа« Математика правильно учит »не предназначалась для замены того, что происходит в школе.Это должно было быть примером того, что должно происходить в школах ».

Некоторые школы движутся к такому подходу, но обычно только для учеников, которые уже преуспели в математике, и даже среди этих учеников существует ожесточенная конкуренция. Из немногим более 12 000 учеников 8-х классов государственных школ округа Монтгомери около 600 подали заявку на получение 100 мест, посвященных естествознанию и математике Блэра. С 1999 года в программе Intel Science Talent Search (теперь спонсируемой Regeneron) было больше финалистов, чем в любой школе в стране.Все в математической команде Блэра прошли квалификацию на Американский экзамен по математике, один из серии все более сложных тестов на пути к отбору для команды США на Международную математическую олимпиаду, и в этом году ученик Даниэль Чжу получил место в США. команда. На одном из еженедельных собраний Блэра прошлой осенью, только что после третьей подряд победы школы на математических соревнованиях для старших классов Принстонского университета, старший Гайдн Гвин, со-капитан математической команды, обсудил исследовательский проект по теории графов, который он и его товарищ по команде провели прошлым летом в Университете Мэриленда.

Он говорил без заметок и без колебаний в получасовой презентации, которая была в равной степени лекцией, уроком по решению задач и рутиной для математиков. Гвин, кажется, рожден для математики. В День Пи, когда ему было 10 лет, его отец записал, как он произносит 220 цифр пи менее чем за минуту, и разместил это на YouTube.

«Без магнита в его жизни была бы значительная пустота», — сказал Гайдн. Он благодарит учителей за высокое качество программы, особенно советника математической команды и учителя магнитов Джереми Шварца.

Многие члены математической команды записываются в класс Шварца по многомерному исчислению и дифференциальным уравнениям. Однажды прошлой осенью студенты работали над серией задач, используя множители Лагранжа, названные в честь математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа. Шварц переходил от группы к группе, отвечая на вопросы и задавая несколько собственных, побуждая студентов защищать свою работу. Рассматривая уравнения четырех девушек, попавших в тупик, Шварц предложил ключ к разгадке: «У нас есть три переменных и только два уравнения, если бы было третье уравнение.После минутного размышления одна девушка воскликнула: «Есть!»

Шварц не согласен с идеей о том, что математика «это большая, сложная, трудная вещь». Люди используют алгебру, дроби и вероятность каждый день; они просто не обязательно устанавливают связь. «Если вы скажете мне, что 20 минут — это треть часа, вы сможете делать дроби», — рассуждал он.

К сожалению, математическая фобия может затронуть даже учителей математики. Опрос 7600 учителей математики, естествознания и информатики, проведенный в 2018 году компанией Horizon Research, показал, что 39 процентов учителей начальной школы считали, что они недостаточно подготовлены к преподаванию математики, а 25 процентов признали, что не очень интересуются этим предметом.

Недавнее исследование в области нейробиологии поставило под сомнение идею о том, что некоторые из нас «математики», а некоторые нет. Как и любой другой предмет, математику можно «выучить упорным трудом и практикой», — писали исследователи Робин Кетура Андерсон, Джо Боулер и Джек А. Дикманн в отчете за 2018 год. «Ряд исследований продемонстрировал нейропластичность мозга и способность всех учащихся развивать мозговые пути, которые позволяют изучать математику».

В соответствии со стандартами Common Core, которые требуют, чтобы учащиеся учились обосновывать и объяснять свои ответы, в настоящее время ведутся исследования по выявлению более эффективных методов обучения математике, особенно для отстающих и недостаточно обеспеченных студентов.Некоммерческий Центр развития образования и его партнеры анализируют результаты пятилетнего гранта на сумму почти 8 миллионов долларов, предоставленного Национальным научным фондом для поддержки Питтсбургских государственных школ в этих усилиях.

Но даже если школы извлекут уроки из этих усилий и сосредоточат свое внимание на математическом образовании, помогут ли такие изменения одаренным детям или только тем, у кого успеваемость ниже установленной?

«Мы обязаны делать хорошую работу для обоих», — сказал Джон Стар, профессор образования Гарвардского университета, чьи исследования сосредоточены на том, как учащиеся изучают математику, но он добавляет, что дети с высокими достижениями добьются успеха, даже если они недостаточно оспаривается.С другой стороны, «если учитель плохо справляется с детьми, которые борются, тогда эти дети просто ссорятся, и у них нет другого пути к успеху».

Плукер сказал, что данные не подтверждают идею о том, что умные дети будут заботиться о себе сами. Он также считает, что установление планки минимальных стандартов оказывает медвежью услугу всем студентам. Вместо этого цель должна состоять в том, чтобы каждый ученик продолжал расти. «Мне просто нужна государственная школьная система, в которой доведение их до уровня класса — еще не предел.