{\frac{17}{10}}$.
3. $y=(-\frac{1}{128}+196608)x-8194+\frac{1}{2048}$.
4. $\frac{255}{1792}$.
5. $\frac{b-4}{b(b-2)}$.

Ответы на контрольную работу №4 «Показательная и логарифмическая функция. Показательные уравнения и неравенства»

Вариант I
1. а) б) 2. 1.
3. $(-∞;-3)U(6;+∞)$.
4. 3,5.
5. $log_46$.
6. $x≥1$.

Вариант II
1. а) б) 2. 1.
3. $(-∞;-4)U(4;+∞)$.
4. $\frac{16}{3}$.
5. 0.
6. $х≤1$.

Ответы на контрольную работу №5 «Логарифмические уравнения и неравенства. Дифференцирование показательной и логарифмической функции»

Вариант I
1. а)0,25 и 256; б) 3.
2. $(-\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3})$.
3. $-\frac{7}{3}$ — точка минимума.
4. (1;1).
5. $y=\frac{x}{4e}$.

Вариант II
1. а) 19681; б) 10.
2. $x>7$.
3. $х=0,5$ — точка максимума.
4. (-3;1).
5. $y=\frac{4x}{e}$.

Ответы на контрольную работу №6 «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Вариант I
1. {k}arcsin(\frac{(3-\sqrt{13}}{2})+πn$.
2. $(-\frac{2}{3};2,5)U(10;+∞)$.
3. $(-∞;-1,5]U[1;+∞)$.
4. $x=3+3n$.

Вариант II
1. а) $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$; б) $\frac{π}{2}+πn$.
2. (3;8).
3. $(-∞;-4]U[0;+∞)$.
4. $[-3+12n;-1+12n]U[1+12n;3+12n]$.

» Страница не найдена

---

---

• 10/08/22: Психологическая служба
• 10/05/22: Безопасность и здоровье
• 09/02/22: Об ответственности за «телефонный» терроризм (статья 207 Уголовного кодекса Российской Федерации))
• 08/26/22: Всероссийская олимпиада школьников 2022-2023.
• 06/30/22: ПАМЯТКА ДЛЯ ДЕТЕЙ, РОДИТЕЛЕЙ, ПЕДАГОГОВ ПОМОЩЬ НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИМ, ПРИЗНАННЫМ ПОТЕРПЕВШИМИ В РАМКАХ УГОЛОВНОГО СУДОПРОИЗВОДСТВА
• 06/21/22: Памятка по мерам безопасности при купании в водоемах.
• 03/02/22: «Уполномоченная по правам ребенка в Ставропольском крае»
• 01/24/20: НОВОСТИ
• 12/03/17: Информационно-образовательные ресурсы
• 05/05/17: 5 мая — Великой победе посвящается…
• 04/22/17: 22 апреля — Тест по истории Великой Отечественной войны
• 04/05/17: 5 апреля — Совет родителей
• 02/01/17: «Импульс добра»
• 01/20/17: 20 января — Общешкольная тематическая линейка, посвященная освобождению города Невинномысска от немецко-фашистских захватчиков
• 12/23/16: Акция «Смелые сердца»
• 12/21/16: Акция «Дари добро»
• 12/17/16: Уроки доброты
• 11/14/16: Телефон доверия для несовершеннолетних с 14 ноября 2016 года
• 09/12/16: Конкурс рисунков «Мы не хотим войны и слез»
• 05/17/16: 17 мая — Минута телефона доверия
• 04/14/16: 14 апреля — Акция «Дерево Победы»
• 04/13/16: Мы готовы к ГТО
• 04/09/16: Физкультурно-оздоровительная зарядка
• 04/03/16: 3 апреля — Всероссийская олимпиада школьников МГУ СУНЦ по математике и физике
• 03/28/16: 28 марта — Беседа с инспектором отдела ГИБДД
• 03/22/16: Мероприятия ко дню присоединения Крыма к России
• 03/15/16: 15 марта — VIII научно — практическая конференция «Ярмарка идей»
• 12/25/15: 25 декабря — Урок доброты
• 12/09/15: 9 декабря — День борбы с коррупцией
• 11/28/15: 28 ноября — «Я выбираю спорт как альтернативу пагубным привычкам»
• 11/25/15: 25 ноября — мероприятия ко Дню толерантности
• 11/02/15: Квест по цифровой грамотности «Сетевичок» 
• 11/01/15: Акция «Сообщи, где торгуют смертью» (ноябрь 2015года)
• 11/01/15: Горячая линия на базе ГБОУ «Краевой психологический центр»
• 10/31/15: 31 октября — Всероссийский урок безопасности школьников в сети Интернет
• 10/22/15: 22 октября — Самый Большой Урок в Мире
• 10/03/15: Зарегистрироваться в ГТО
• 10/03/15: 3 октября  — Городской субботник
• 10/02/15: 2 октября — Всероссийский урок ОБЖ
• 10/02/15: 2 октября 2015 — День самоуправления
• 10/01/15: 1 октября 2015 — «День пожилого человека» совместно с ТОС № 2
• 09/18/15: 18 сентября 2015. Субботник на улице Белово
• 09/03/15: День солидарности в борьбе с терроризмом
• 09/01/15: 1 сентября прошел праздник, посвященный «Дню знаний»
• 07/27/15: Мы рады приветствовать вас на нашем сайте!

Copyright © 2023 Управление образования администрации города Невинномысска

25.2 — Силовые функции | СТАТ 415

Давайте рассмотрим еще один пример, связанный с вычислением мощности проверки гипотезы.

Пусть \(X\) обозначает IQ случайно выбранного взрослого американца. Предположим, что немного нереально, что \(X\) нормально распределено с неизвестным средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением 16. Возьмите случайную выборку из \(n=16\) студентов, чтобы после установки вероятности совершения ошибки типа I при \(\alpha=0,05\), мы можем проверить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) против альтернативной гипотезы, что \(H_A:\mu>100\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=108\)?

Ответ

Установка \(\alpha\) вероятности совершения ошибки рода I равной 0,05 означает, что мы должны отвергнуть нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\) или, что то же самое, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше:

, потому что мы преобразуем тестовую статистику \(Z\) в среднее значение выборки посредством:

\(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu} {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}}} \ qquad \ Rightarrow \ bar {X} = \ mu + Z \ dfrac {\ sigma} {\ sqrt {n}} \ qquad \ bar {X} = 100+1,645\влево(\dfrac{16}{\sqrt{16}}\вправо)=106,58\)

Теперь это означает, что мощность, то есть вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда \(\mu=108\) равна 0,6406, как рассчитано здесь (напомним, что \(Phi(z)\) является стандартным обозначением для кумулятивная функция распределения стандартной нормальной случайной величины):

\( \text{Power}=P(\bar{X}\ge 106,58\text{когда} \mu=108) = P\left(Z\ge \dfrac{106. 58-108}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right) \\ = P(Z\ge -0,36)=1-P(Z<-0,36)=1-\Phi (-0,36)=1-0,3594=0,6406 \)

и показано здесь:

Таким образом, мы определили, что у нас есть (только) 64,06% шанс отвергнуть нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативной гипотезы \(H_A:\mu>100\ ), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности равно \(\mu=108\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=112\)?

Ответ

Поскольку мы устанавливаем \(\alpha\), вероятность совершения ошибки рода I, равной 0,05, мы снова отклоняем нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\), или эквивалентно, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше. Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы при \(\mu=112\) равна 0,9.131, как рассчитано здесь:

\( \text{Power}=P(\bar{X}\ge 106.58\text{когда}\mu=112)=P\left(Z\ge \frac{106. 58- 112}{\frac{16}{\sqrt{16}}}\right) \\ = P(Z\ge -1,36)=1-P(Z<-1,36)=1-\Phi(-1,36)= 1-0,0869=0,9131 \)

и проиллюстрировано здесь:

Таким образом, мы определили, что теперь у нас есть 91,31% шанс отвергнуть нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативная гипотеза \(H_A:\mu>100\), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности \(\mu=112\). Хм… должно быть понятно, что вероятность отклонения нулевой гипотезы больше для значений среднего, таких как 112, которые далеки от предполагаемого среднего значения при нулевой гипотезе.

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=116\)?

Ответ

Опять же, поскольку мы устанавливаем \(\альфа\), вероятность совершения ошибки типа I, равной 0,05, мы отклоняем нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 1,645\), или эквивалентно , когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 106,58 или больше.

Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы при \(\mu=116\) равна 0,9909, как рассчитано здесь:

\(\text{Power}=P(\bar{X}\ge 106.58\text{, когда }\mu=116) =P\left(Z\ge \dfrac{106.58-116}{\frac{16} {\sqrt{16}}}\right) = P(Z\ge -2,36)=1-P(Z<-2,36)= 1-\Phi(-2,36)=1-0,0091=0,9909 \)

и проиллюстрировано здесь:

Таким образом, мы определили, что в этом случае у нас есть 99,09% шанс отклонить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) в пользу альтернативной гипотезы \(H_A: \mu>100\), если истинное неизвестное среднее значение генеральной совокупности в действительности равно \(\mu=116\). Вероятность отклонения нулевой гипотезы является наибольшей из рассчитанных нами, потому что среднее значение, равное 116, дальше всего отстоит от предполагаемого среднего значения при нулевой гипотезе.

Тебе это надоело? Давайте обобщим несколько вещей, которые мы узнали из этого упражнения:

1. Во-первых, мой инструктор иногда может быть утомительным. .. э-э-э, я имею в виду, в первую очередь, сила проверки гипотезы зависит на значение исследуемого параметра. В приведенном выше примере мощность проверки гипотезы зависит от значения среднего \(\mu\).
2. По мере того, как фактическое среднее \(\mu\) отдаляется от значения среднего \(\mu=100\) при нулевой гипотезе, мощность проверки гипотезы увеличивается.

Это первая точка, которая приводит нас к тому, что называется степенной функцией проверки гипотезы . Если вы вернетесь назад и посмотрите, то увидите, что в каждом случае наш расчет мощности включал шаг, который выглядит следующим образом:

\(\text{Power } =1 — \Phi (z) \), где \(z = \frac{106,58 — \mu}{16 / \sqrt{16}} \)

То есть, если мы используем стандартное обозначение \(K(\mu)\) для обозначения степенной функции, как это зависит от \(\mu\), мы имеем:

\(K(\mu) = 1- \Phi \left( \frac{106.58 — \mu}{16 / \sqrt{16}} \right) \)

Итак, реальность такова, что ваш инструктор мог бы быть намного утомительнее, вычислив мощность для каждых возможных значений \(\mu\) при альтернативной гипотезе! Вместо этого мы можем построить график функции мощности со средним значением \(\mu\) по горизонтальной оси и мощностью \(K(\mu)\) по вертикальной оси. Сделав это, мы получим в данном случае график, который выглядит так:

Итак, что мы можем узнать из этого графика? Хорошо:

1. Мы видим, что \(\alpha\) (вероятность ошибки типа I), \(\beta\) (вероятность ошибки типа II) и \(K(\mu)\) все представлены на графике степенной функции, как показано здесь:

2. Мы видим, что вероятность ошибки первого рода равна \(\alpha=K(100)=0,05\), то есть вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда нулевая гипотеза верна, равна 0,05.

3. Мы можем видеть мощность теста \(K(\mu)\), а также вероятность ошибки второго рода \(\beta(\mu)\) для каждого возможного значения \(\mu\ ).

4. Мы видим, что \(\beta(\mu)=1-K(\mu)\) и наоборот, то есть \(K(\mu)=1-\beta(\mu)\).

5. И мы можем видеть графически, что действительно, поскольку фактическое среднее \(\mu\) удаляется дальше от нулевого среднего \(\mu=100\), мощность проверки гипотезы увеличивается.

Как вы думаете, что произойдет с силой нашей проверки гипотезы, если мы изменим нашу готовность совершить ошибку первого рода? Будет ли мощность при заданном значении \(\mu\) увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной? Предположим, например, что мы хотим установить \(\alpha=0,01\) вместо \(\alpha=0,05\)? Вернемся к нашему примеру, чтобы изучить этот вопрос.

Пример 25-2 (продолжение) Раздел

 

Пусть \(X\) обозначает IQ случайно выбранного взрослого американца. Предположим, что немного нереально, что \(X\) нормально распределено с неизвестным средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением 16. Возьмите случайную выборку из \(n=16\) студентов, чтобы после установки вероятности совершения ошибки типа I при \(\alpha=0,01\), мы можем проверить нулевую гипотезу \(H_0:\mu=100\) против альтернативной гипотезы, что \(H_A:\mu>100\).

Какова мощность проверки гипотезы, если истинное среднее значение генеральной совокупности равно \(\mu=108\)?

Ответ

Установка \(\alpha\) вероятности совершения ошибки рода I равной 0,01 означает, что мы должны отвергнуть нулевую гипотезу, когда тестовая статистика \(Z\ge 2,326\) или, что то же самое, когда наблюдаемое среднее значение выборки равно 109,304 или больше:

, потому что:

\(\bar{x} = \mu + z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) =100 + 2,326\влево(\frac{16}{\sqrt{16}} \вправо)=109. 304 \)

Это означает, что вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда \(\mu=108\), равна 0,3722, как вычислено здесь:

Итак, мощность, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,01\) меньше (0,3722), чем мощность, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,05\) (0,6406)! Возможно, мы можем увидеть это графически:

Кстати, мы могли бы снова посмотреть на стакан как наполовину пустой. В этом случае вероятность ошибки типа II при \(\mu=108\) и \(\alpha=0,01\) равна \(1-0,3722=0,6278\). В этом случае вероятность ошибки второго рода равна 9.0079 больше , чем вероятность ошибки типа II, когда \(\mu=108\) и \(\alpha=0,05\).

Все это можно увидеть графически, построив одновременно две степенные функции, одну где \(\alpha=0.01\), а другую где \(\alpha=0.05\). Сделав это, мы получим график, который выглядит следующим образом:

Этот последний пример иллюстрирует, что при условии, что размер выборки \(n\) остается неизменным, уменьшение \(\альфа\) вызывает увеличение \(\ beta\) , и по крайней мере теоретически, если не практически, уменьшение \(\beta\) вызывает увеличение \(\alpha\).