Контрольная работа: степени, корни | Тренажёр по алгебре (10 класс):

Опубликовано 08.12.2020 — 17:58 — Ромаева Наталия Сергеевна

контрольная работа

Скачать:

Предварительный просмотр:

Контрольная работа №1

По теме «Корни, степени, преобразование алгебраических выражений»

Вариант 2

1. Упростите выражение:

1) ;                                2) ;

2. Вычислите:

     1) ;                  2) ;         3);                4)            5)

3. Упростите выражение   .                              
4. Вычислите:               1) 5-4 ∙ 52                2) 12-3 : 12-4                          3)(3-1)-3
5. Упростите:                1) (а-5)4 ∙а22                             2)0,4 х6 у—8 ∙ 50х—5 у9
6. Найдите значение выражения:

   1)                2)                3)

7. Выполните действия:

  .

8.  Упростите выражение:     .
9. Вычислите степени с рациональным показателем:

1
2
3
4	5-1	3-4
5
6	53	25

---

Контрольная работа №1

По теме «Корни, степени, преобразование алгебраических выражений»

Вариант 1

1. Упростите выражение:

1. ;                                            2) ;                        

 

2. Вычислите:

1) ;         2)                   3);                    4)             5)  

3. Упростите выражение  

4. Вычислите:               1) 411 ∙ 4- 9                2) 6-5 : 6-3                          3)(2-2)3
5. Упростите:                1) (х -3)4 ∙ х14                             2)1,5а2в-3 ∙ 4а-3в4
6. Найдите значение выражения:

   1)                2)                                  3)        

7. Выполните действия:

  .

8. Упростите выражение:     .
9. Вычислите степени с рациональным показателем:

1
2
3
4	2-3	7-2
5
6	33	50

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа «Степени сравнения имен прилагательных! 3кл.

Данная контрольная работа направленна на проверку знаний учащихся 3классов школ с углубленным изучением английского языка по теме «Степени сравнения имен прилагательных»….

Контрольная работа Степени сравнения 5 класс

Текущая контрольная / проверочная работа по теме «степени сравнения прилагательных» для 5 классов…

Контрольная работа «Правописание Корней -лаг- и -лож-«

Контрольная работа «Правописание корней -лаг- и -лож-«…

Контрольная работа «Степенная функция» 10 класс

Контрольная работа в новой форме. Подробное описание типа работы здесь http://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2016/11/05/kontrolnaya-rabota-v-novoy-forme-umnozhenie-i-delenie…

Контрольная работа «Степенная функция».

Контрольная работа составлена в 4-х вариантах одинакового уровня сложности, состоит из трех частей: А, В и С (базовый, повышенный, высокий уровни). 10 класс, УМК Алимов Ш.А. и др.)…

Контрольная работа «Степень с рациональным показателем»

Данная работа является итоговой по теме: «Степень с рациональным показателем». …

Контрольная работа Квадратные корни

Контрольная работа…

Поделиться:

 

▶▷▶ контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни

▶▷▶ контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	17-11-2018

контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа по теме: «Корни и степени» infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme-korni-i Cached › Тесты › Контрольная работа по теме : « Корни и степени » Контрольная работа по теме : « Корни и степени » скачать материал Контрольная работа по теме «Степени и корни» — 11 класс multiurokru/files/kontrolnaia-rabota-po-teme Cached Контрольная работа по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме » Степени и корни » (два варианта) Контрольная работа №3 в 11 классе (профиль) по теме: степени libznateru/docs/index-59081html Cached Контрольная работа по теме «Механика», 10 класс Двухчасовая контрольная работа в 14 вариантах по теме «Механика» в 10 классе проводится с целью оценить уровень учебных достижений Контрольная работа по теме степени и корни infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme-stepeni-i Cached cкачать: Контрольная работа по теме степени и корни Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС» Контрольная работа по теме Степенная функция Степени и корни znanioru/media/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Контрольная работа №2 по теме : «Степенная функция Степени и корни » 1 вариант №1 Контрольная работа по теме: «Степенная функция Степени и корни» znanioru/media/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Степени и корни » составлена по учебнику «Алгебра 10 -11 класс» под редакцией АГМордкович и др Контрольная работа состоит из двух вариантов Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Логарифмы globuss24ru/doc/kontrolynaya-rabota-po-algebre Cached Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Логарифмы Логарифмические и показательные уравнения и неравенства» Контрольная работа №2 по теме «Корень степени n» — Документ gigabazaru/doc/51653html Cached четной и нечетной степеней 1 35 Арифметический корень 1 36 Свойства корней степени п 2 Контрольная работа № 2 по теме «Корень степени п» 1 4 Степень положительного числа 10 41 Степень с Контрольная работа номер 2 по теме корни степени и логарифмы docplayerru/71486249-Kontrolnaya-rabota-nomer-2 Cached 1 Контрольная работа номер 2 по теме корни степени и логарифмы Контрольная работа 1 Степени и корни Проверочная работа по теме «Степени и корни» — Математика 10 easyenru/load/math/ 10 _klass/proverochnaja Cached По кнопке ниже вы можете скачать Проверочная работа по теме » Степени и корни » категории Математика 10 класс бесплатно Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 33,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• разработан в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике
• разработан в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике
• так и для индивидуальных домашних заданий Просмотр содержимого документа Дидактические материалы по теме : Корень n — ой степени (26 вариантов с ответами) Профильный уровень ЕГЭ

Наталья Александровна

• 10 класс Двухчасовая контрольная работа в 14 вариантах по теме «Механика» в 10 классе проводится с целью оценить уровень учебных достижений Контрольная работа по теме степени и корни infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme-stepeni-i Cached cкачать: Контрольная работа по теме степени и корни Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС» Контрольная работа по теме Степенная функция Степени и корни znanioru/media/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Контрольная работа №2 по теме : «Степенная функция Степени и корни » 1 вариант №1 Контрольная работа по теме: «Степенная функция Степени и корни» znanioru/media/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Степени и корни » составлена по учебнику «Алгебра 10 -11 класс» под редакцией АГМордкович и др Контрольная работа состоит из двух вариантов Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Логарифмы globuss24ru/doc/kontrolynaya-rabota-po-algebre Cached Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Логарифмы Логарифмические и показательные уравнения и неравенства» Контрольная работа №2 по теме «Корень степени n» — Документ gigabazaru/doc/51653html Cached четной и нечетной степеней 1 35 Арифметический корень 1 36 Свойства корней степени п 2 Контрольная работа № 2 по теме «Корень степени п» 1 4 Степень положительного числа 10 41 Степень с Контрольная работа номер 2 по теме корни степени и логарифмы docplayerru/71486249-Kontrolnaya-rabota-nomer-2 Cached 1 Контрольная работа номер 2 по теме корни степени и логарифмы Контрольная работа 1 Степени и корни Проверочная работа по теме «Степени и корни» — Математика 10 easyenru/load/math/ 10 _klass/proverochnaja Cached По кнопке ниже вы можете скачать Проверочная работа по теме » Степени и корни » категории Математика 10 класс бесплатно Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
• easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 33
• smarter

контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни — Все результаты Контрольная работа «Степени и корни» — Инфоурок › Алгебра 1 мар 2018 г — Контрольная работа на тему : «Арифметический корень и и календарно- тематическое планирование по алгебре 10 класс 2017 — 2018 Контрольная работа по теме: «Корни и степени» — Инфоурок › Математика Похожие 6 окт 2015 г — Скачать: Контрольная работа по теме : Корни и степени указав свой предмет (категорию), класс , учебник и тему : Выберите Контрольная работа в 10 классе по теме: «Корень степени n и его › Математика 17 нояб 2016 г — Контрольная работа №2 » Корень степени n и его свойства» Вариант 1 1 Имеет ли смысл запись: а) б) в) г) д) е) 2 Вычислить: а) б) в) г) Контрольная работа 10 кл Корень n-й степени Степень с › Алгебра 13 февр 2018 г — Cкачать: Контрольная работа 10 кл Корень n-й степени Степень с указав свой предмет (категорию), класс , учебник и тему : Выберите Контрольная работа по теме «Степени и корни» — 11 класс 22 мая 2018 г — Контрольная работа по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме » Степени и корни » (два варианта) Контрольные работы по темам 10 класса — Социальная сеть 19 окт 2013 г — Методическая разработка по алгебре ( 10 класс ) по теме : Контрольные Контрольная работа по теме : Корни и степени 1 вариант 2 Контрольная работа №2 по теме «Корень степени n» — Документ Вычислите: а) б) 9 Найдите значение выражения: при 10 Решите уравнение: а) б) в) г) Контрольная работа № 2 по теме « Корень степени n» Вариант Картинки по запросу контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни «crea»:»Виктор»,»id»:»15IYHvYwA_U7SM:»,»iss»:0,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:74,»oh»:717,»ou»:» «,»ow»:640,»pt»:»videourokinet/img/files/uf/2013/01/98660652-13591″,»rh»:»videourokinet»,»rid»:»ciyZFHwJBm2QXM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Видеоуроки»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRosR8US9DsbHZWqod0RCVA7M_IEs80j2jX4lGRmhhxU7jcKuflJLUPPQ»,»tw»:80 «id»:»5bMpM5OPGGhGZM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:111,»oh»:1098,»ou»:» «,»ow»:2537,»pt»:»ds04infourokru/uploads/ex/1022/000505a9-4073b638″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»1ZLWfvzY7_8RyM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRC-HAc1kBjGgn6OX-r054T-uNRW3MmZrc8wgTQz1swF_38OqXaB_1Ww_Ao»,»tw»:208 «ct»:3,»id»:»06vcKb0kGACrpM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:111,»oh»:433,»ou»:» «,»ow»:1261,»pt»:»ds02infourokru/uploads/ex/134a/000270c1-c06ec0b4″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»UItBpTGEyMzpZM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQkOcwUBDDT5H577Od44aDgrOSQP3s85RkntKh3-oYTeS3Vc7Bi0X7x_nhe»,»tw»:262 «ct»:3,»id»:»aqYSNVZY1CH76M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:111,»oh»:273,»ou»:» «,»ow»:1061,»pt»:»ds02infourokru/uploads/ex/134a/000270c1-c06ec0b4″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»UItBpTGEyMzpZM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTFZSVYhFbSe0UJcrmXlRHkhf_XMVy80YoumfHSZ71I79Wf8dM5XhHbgTE»,»tw»:350 «id»:»Hcng0L_kCmxJkM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:1307,»ou»:» «,»ow»:1000,»pt»:»ipinimgcom/originals/46/2c/df/462cdf0e8ff15b4bce»,»rh»:»pinterestcom»,»rid»:»17gzJKiPrMnh3M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Pinterest»,»th»:96,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQUj8TBZ41WWDKhfH-_ur8KM0CL-61CMGh7a3Mk9xvL7kAPKRI7XR6qm-M»,»tw»:73 «cb»:6,»cr»:3,»ct»:3,»id»:»nFbVA7sjbGmfHM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:109,»oh»:989,»ou»:» «,»ow»:2048,»pt»:»ds01infourokru/uploads/ex/10f8/00005f17-bf8b13f2″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»QY7Jx7iza3JaiM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQJY_KKWA3wt4IxQFrTMlt6k_w1u2nuhCvXxhlmigcDZysCU0TFc-kgNCk»,»tw»:186 Другие картинки по запросу «контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Контрольная работа 2 по теме корень степени n уч никольский 10 9 июл 2018 г — Контрольная работа 2 по теме корень степени n уч никольский 10 класс Контрольная работа «Корень n-ой степени» 10 класс скачать uchitelyacom/matematika/44387-kontrolnaya-rabota-koren-n-oy-stepeni-10-klasshtml Похожие Урок в 10 классе Контрольная работа №2 Тема « Корень n-ой степени » Цель: выявить уровень усвоения учащимися темы « Корень степени n [DOC] Степени и корни Степенные функции filesinformioru/files/main/documents//Metodicheskaja_razrabotka_po_matdoc Похожие В данной разработке представлена только одна тема « Степени и корни Для этого после текста контрольной работы даны критерии оценки работы даны по учебнику автора АГ Мордкович 10 -11 класс , часть 2 ( задачник) Алгебра 10 класс Тема ‘Корни степени n и их свойства’ — Пройти Тема ‘ Корни степени n и их свойства’ — Пройти онлайн тест собой итоговый контрольный срез для проверки знаний учеников 10 -х классов При выполнении работы не разрешается пользоваться учебником, рабочими КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Степени и корни» В а р и а н т КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 « Степени и корни » В а р и а н т Расположите 4 lg ( 10x ) = Решите неравенство x x Решите уравнение = Вычислите В а р и а Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Контрольная работа по теме Степени и корни Степенные Контрольная работа по теме Степени и корни ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА 11 класс к УМК А Г Мордковича Контрольная работа по теме:`Степени и корни` 10кл к уч Г К Рабочая программа по математике 5 класс по учебнику ГКМуравину, Рабочая программа по Контрольная работа по теме :` Степени и корни ` 10кл к уч контрольная работа 11 класс степени и корни степенные функции immanuelenglishcom//kontrolnaia-rabota-11-klass-stepeni-i-korni_-stepennye-funk контрольная работа 11 класс степени и корни степенные функции работа по теме « Степени и корни Контрольная работа для 11 класса ( базовый учащихся 10 — 11 классов и реализуется на основе Контрольная работа №1 контрольная работа степень с действительным — Univem wwwunivemedubr/kontrolnaia-rabota-stepen-s-deistvitelnym-pokazatelem-otvetyxml Контрольная работа 10 класс » Степень с действительным показателем по теме :» Корень н-ой степени Степень с действительным показателем Контрольная работа №2 по теме: «Степенная функция Степени и 24 нояб 2017 г — контрольная работа составлена на два варианта №2 по теме : « Степенная функция Степени и корни » Геометрия 10 класс ФГОС Задания из контрольной работы по алгебре по теме «степени и › 10 — 11 классы › Алгебра 6 нояб 2018 г — Задания из контрольной работы по алгебре по теме » степени и корни «, в-1, 10 класс Во втором задании такая проблема: в первом а ▷ контрольная работа на тему логарифмы 10 класс с ответами wwwzstelceu/content//kontrolnaia-rabota-na-temu-logarifmy-10-klass-s-otvetamix 5 дней назад — контрольная работа на тему логарифмы 10 класс с ответами работа №1 Контрольная работа по теме : quot; Степени , корни , ▷ контрольная работа по математике корни степени логарифмы metrolru/userfiles/file/kontrolnaia-rabota-po-matematike-korni-stepeni-logarifmyxml 5 дней назад — контрольная работа по математике корни степени логарифмы Cached Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема : « Логарифмы Урок 35 Контрольная работа unimathru › › Степени и корни Степенная функция Похожие Алгебра 10 класс по учебнику АГ Мордковича и др Поурочные Контрольная работа Цели урока: проверить знания и умение учащихся по теме « Степени и корни Степенная Приветствие, сообщение темы и задач урока Урок Контрольная работа по теме «Степени и корни Степенные schooltaskru/urok-kontrolnaya-rabota-po-teme-stepeni-i-korni-stepennye-funkcii/ Похожие Урок Контрольная работа по теме « Степени и корни Сообщение темы и цели уроков Решите систему уравнении 10 5 График проведения самостоятельных и контрольных работ в 3 классе · Тема И А ▷ контрольная работа по математике корни степени и логарифмы wwwkosfostorkr//kontrolnaia-rabota-po-matematike-korni-stepeni-i-logarifmyxm 6 нояб 2018 г — контрольная работа по математике корни степени и логарифмы и корни Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме Ответы@MailRu: срочно нужно решить контрольную по алгебре,10 › Образование › Школы Похожие 4 ответа 16 нояб 2011 г — Ты бы хоть для приличия выложила контрольную ) Курс: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10, : Повторение Степень с Похожие АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10 Корень n-ой степени и его свойства Задание по теме » Степень с рациональным показателем» Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Входное тестирование по алгебре для 10 классов Контрольная работа по теме «Функции Уравнения Неравенства» · Понятие о Контрольная работа 10 класс «Степень с действительным pedsovetsu › › Математика, алгебра, геометрия › Оценка знаний учащихся Похожие 27 мар 2013 г — Методическая разработка « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным ТЕМА 2 filesschool-collectioneduru/dlrstore/86a08004-3c97-4b83/Lessons-10-2html Похожие ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ — 10 КЛАСС ТЕМА 2 КОРНИ , СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ Всего: 25 часов + 4 часа (резерв) 21 Корни Всего: 6 часов 211 Корень n-ой степени Контрольная работа Кр » Степени » 23 [DOC] График контрольных точек по геометрии-10 класс(1 полугодие) wwwtyuiuru//rejtingovaja-sistema-otsenki-obuchennosti-algebra-10-klass-i-polugo График контрольных точек по алгебре и началам анализа 10 класс Тема Вид контроля Кол-во баллов Дополнительная деятельность Дата 1 Арифметический корень натуральной степени Контрольная работа 25 Арифметический корень натуральной степени Алгебра, Архив › Архив › Алгебра › Средняя школа Урок по теме Арифметический корень натуральной степени Теоретические материалы Средняя школа, Алгебра, Архив Степени, корни, логарифмы — Видеоуроки Похожие Контрольная работа проводится с целью проверить степень усвоения знаний и умений учащихся и представлена в 4 вариантах Цель работы: проверить степень усвоения знаний и умений по теме Алгебра 10 класс ФГОС Контрольная работа по алгебре «Степени и корни» (11 класс) Похожие 10 янв 2015 г — Контрольная работа по алгебре » Степени и корни » (11 класс ) Вычислите: 10 ∙∙ hello_html_m17858b67gif hello_html_m40c0c0c5gif Контрольная работа по алгебре и началам анализа в форме теста 26 апр 2017 г — Контрольная работа по алгебре и началам анализа в форме теста за 1-ое полугодие Нажмите 10 класс , Алгебра и начала анализа, 1-ое полугодие Задания теста следуют в том порядке, в котором соответствующие темы изучаются в учебнике П36 Свойства корней степени n 1 час Контрольная работа по алгебре «Корень n-ой степени» (11 класс best-4inforu/vyborka/finansy/116413/ 30 дек 2017 г — Контрольная работа по алгебре для 11 класса по теме « Корень 10 Уметь применять метод равносильных переходов при решении Контрольные работы vorontsova06spbedusiteru/p7aa1html Контрольные работы 5 класс Контрольная работа по повторению · Контрольная работа по теме «Натуральные числа и шкалы» Контрольная работа по теме «Квадратные корни » — II вариант Контрольная работа по теме » Степень с рациональным показателем» — II вариант · Контрольная работа по теме сборник контрольных работ по алгебре в 11 классеdocx — Знанио добавьте 10 материалов Грамота за работа №2 по теме : « Степени и корни Контрольная работа по алгебре и началам анализа №3 по теме [DOC] Математика, 10 класс — Электронное образование в Республике Похожие Методические рекомендации к учебникам математики для 10 -11 классов , жу рнал «Математика Контрольная работа №2 по теме : « Корень степени » § Контрольная работа Логарифмы 10 класс math-prostoru/?page=pages/tests/10th_grade/logarithmsphp Похожие Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема : «Логарифмы Свойства логарифмов» [PDF] Демоверсия годовой контрольной работы по математике в 10 gym1531svmskobrru/files/_мат10pdf в 10 классе Спецификация годовой контрольной работы по математике 10 класс Арифметический корень натуральной степени и его свойства Урок алгебры в 10-м классе по теме «Степень с рациональным открытыйурокрф/статьи/612186/ Повторительно-обобщающий урок в 10 -м физико-математическом Урок алгебры в 10 -м классе по теме » Степень с рациональным показателем» Если вас заинтересовала данная работа , пожалуйста, загрузите полную версию Решение заданий, приготовленных в качестве домашнего задания Контрольная работа по теме: «Корни, степени и логарифмы» (10 metodistyru/m/files/view/kontrolnaya_rabota_po_teme_korni-_stepeni_i_logarifmy Похожие 7 окт 2012 г — Контрольная работа по теме : » Корни , степени и логарифмы» ( 10 -11 класс ) Каждая карточка контрольной работы содержит девять [PDF] Итоговая контрольная работа по математике за курс 10 класса 2) engschool16ru/files/promejutochnai_attestazia/2016_2017/10_matematikapdf Итоговая контрольная работа по математике за курс 10 класса Блок I Корень n- ой степени Иррациональные уравнения №1 Найдите значение [PDF] Пояснительная записка Рабочая программа по — kirovspbru wwwkirovspbru/sc/378/doc1/121pdf Похожие Рабочая программа по алгебре и началам анализа 11 класса Вводную диагностику, промежуточные контрольные работы и итоговую работа и тестирование по теме каждого раздела или модуля учащихся на сайте: Повторение курса 10 класса : 10 часов • Многочлены:11 часов • Степени и корни [PDF] 10 класс Рабочая программа учебного курса алгебры для 10 класса составлена на основе Примерной Контрольная работа №2 по теме « Корень степени п» 1 [PDF] Рабочая программа учебного курса «Математика» 10-11 класс newbor-schoolucozru/prog/matematika/assistant_1510338740_3970592227_0pdf недель в год в 10 классе и 34 учебных недели в год в 11классе картину усвоения материала по пройденной теме , выявить плохо усвоивших и не усвоивших тему учащихся, с Контрольная работа № 2 « Корень степени n » 1 Алгебра 10-11 класс Корни n-й степени Степень с рациональным Похожие Степень с рациональным показателем Степенная функция Иррациональные уравнения и неравенства Самостоятельные и контрольные работы [PDF] Календарно-тематическое планирование Математика 10 класс wwwaduby/wp-content/uploads/2015//ktp-matematika-10kl-povysh-kuznecovapd Похожие 10 класс Повышенный уровень (6 ч в неделю, 210 ч) Алгебраический компонент (140 ч) Коррекция знаний по теме жений, содержащих корни n-й степени Устранение иррациональности в Контрольная работа « Степень [DOC] Арифметический корень натуральной степени Свойства корней iro23ru/sites/default/files/method_k_kaf/120827-algebra10kl_1docx материала алгебра и начала анализа, 10 класс Номер урока, Содержание (разделы, темы ), Количество часов, Примерные Преобразование числовых выражений, содержащих корни п-й степени Контрольная работа [PDF] Рабочая программа по математике среднего общего образования leonidovoschoolru/storage/app/media/Rabochie_programmy/math_10-11pdf и «Геометрия 10 -11 классы» Атанасян ЛС,Бутузов ВФ,Кадомцев СБ и др 2004г 10 класс Числовые функции ( 9ч) Определение функции, способы её задания, 2 Контрольная работа № 1 по теме « Корни n –ой степени » 8 класс — 01Math — онлайн учебник по математике Похожие Классы · Темы 801 Возведение в отрицательную степень 804 Корень квадратный и его свойства 8KP Контрольные работы для 8-го класса Вместе с контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни часто ищут контрольная работа степени и корни 10 класс контрольная работа по алгебре 10 класс корень степени n контрольная работа по теме корни и степени ответы контрольная работа степени и корни 11 класс контрольная работа по теме степени и корни 10 класс ответы контрольная работа корень n-й степени ответы контрольная работа по степеням 10 класс самостоятельная работа корни 10 класс Навигация по страницам 1 2 3 Следующая Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Реклама Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Контрольная работа » Корень n-ой степени » 10 класс uchitelyacom › …kontrolnaya-rabota…n-oy-stepeni-10… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Урок в 10 классе Контрольная работа №2 Тема « Корень n-ой степени » Цель: выявить уровень усвоения учащимися темы « Корень степени n», развивать навыки Читать ещё Урок в 10 классе Контрольная работа №2 Тема « Корень n-ой степени » Цель: выявить уровень усвоения учащимися темы « Корень степени n», развивать навыки самостоятельной учебной деятельности, воспитывать культуру письменной математической речи Ход урока 1 Оргмомент 2 Инструкция по выполнению контрольной работы Контрольная работа состоит из двух частей – обязательной и дополнительной Обязательная часть включает в себя 8 заданий базового уровня , дополнительная – 1 задание повышенного уровня сложности Время выполнения контрольной работы – 45 минут Скрыть 2 Проверочная работа по теме » Степени и корни » easyenru › load…10…rabota_po_teme_stepeni_i_korni… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Проверочную работу целесообразно использовать для тематического контроля усвоения теоретических знаний и практических умений обучающихся 10 класса (1 курса ССУЗа) по теме » Степени и корни » В работе проверяются знания свойств Читать ещё Проверочную работу целесообразно использовать для тематического контроля усвоения теоретических знаний и практических умений обучающихся 10 класса (1 курса ССУЗа) по теме » Степени и корни » В работе проверяются знания свойств арифметического корня Странно даже Поздравляю, Наталья Александровна, Вас и Ваши Готовимся к ВПР по русс Спасибо, Ольга Михайловна, за помощь и терпение! Утепляемся к зиме Скрыть 3 Контрольная работа по теме : « Корни и степени » infourokru › kontrolnaya-rabota…teme-korni…stepeni… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте 5* Вычислите значение выражения Контрольная работа по теме : « Корни и степени » Вариант 1 Похожие материалы Разработка урока по теме «Арифметическая прогрессия» (9 класс ) 06 10 2015 Читать ещё 5* Вычислите значение выражения Контрольная работа по теме : « Корни и степени » Вариант 1 Вычислите: а) ; б) ; в) Похожие материалы Разработка урока по теме «Арифметическая прогрессия» (9 класс ) 06 10 2015 642 Тест по геометрии по теме «Призма» 06 10 2015 4919 Разработка урока рефлексии по теме «Применение распределительного свойста умножения» (6 класс ) 06 10 2015 518 Методические рекомендации по теме «Элементарные и опорные задачи по теме «Треугольник»» 06 10 2015 1108 Скрыть 4 Контрольная работа по теме » Степени и корни » multiurokru › …kontrolnaia…teme-stepeni…kornihtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа состоит из трех частей Первая часть — с выбором правильного ответа, вторая- краткий ответ, третья- развернутое решение с ответом 5 Контрольная работа в 10 классе по теме : » Корень » infourokru › kontrolnaya…v-klasse-po-teme…stepeni… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Инфоурок › Математика › Тесты › Контрольная работа в 10 классе по теме : » Корень степени n и его свойства» по учебнику Никольского Контрольная работа №2 » Корень степени n и его свойства» Вариант 1 1 Имеет ли смысл запись Читать ещё Инфоурок › Математика › Тесты › Контрольная работа в 10 классе по теме : » Корень степени n и его свойства» по учебнику Никольского Контрольная работа в 10 классе по теме : » Корень степени n и его свойства» по учебнику Никольского библиотека материалов Контрольная работа №2 » Корень степени n и его свойства» Вариант 1 1 Имеет ли смысл запись Скрыть 6 Методическая разработка по алгебре ( 10 класс ) по теме nsportalru › Школа › Алгебра › …-raboty-po-temam-10… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Хочу представить свой вариант контрольных работ по темам 10 класса , отличающийся от аналогичных контрольных работ в Предварительный просмотр: Контрольная работа по теме : Корни и степени 1 вариант 2 вариант 7 Контрольная работа №2 по теме « Корень степени » gigabazaru › doc/51653html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте четной и нечетной степеней 1 35 Арифметический корень 1 36 Свойства корней степени п 2 Контрольная работа № 2 по теме « Корень степени п» 1 4 Степень положительного числа 10 41 Степень с рациональным показателем 8 Дидактические материалы по теме : Корень n — ой kopilkaurokovru › …po-tiemie…variantov…otvietami…10 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Профильный уровень ЕГЭ, задание 10 Дидактические материалы по теме » Корень n — ой степени » составлены по материалам Открытого Методическую разработку можно использовать как для самостоятельных работ на уроке, так и для Читать ещё Профильный уровень ЕГЭ, задание 10 Дидактические материалы по теме » Корень n — ой степени » составлены по материалам Открытого Банка Заданий Единого Государственного Экзамена по математике (задание 10 ЕГЭ — 2015) Дидактические материалы составлены в 26 вариантах, ответы прилагаются Методическую разработку можно использовать как для самостоятельных работ на уроке, так и для индивидуальных домашних заданий Просмотр содержимого документа Дидактические материалы по теме : Корень n — ой степени (26 вариантов с ответами) Профильный уровень ЕГЭ, задание 10 Скрыть 9 Контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольная работа в 10 классе по теме степени и Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 Контрольная работа 10 класс » Степень » — Pedsovetsu pedsovetsu › Файлы › 135-1-0-35772 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным показателем» Материал предназначен для оценки знаний учащихся 10 класса по данной теме , разработан в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учетом Читать ещё « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным показателем» Автор: Мелихова Анна Геннадьевна, учитель математики Материал предназначен для оценки знаний учащихся 10 класса по данной теме , разработан в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учетом требований федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике, и основан на УМК ША Алимова Контрольная работа представлена в 8 вариантах, что позволяет использовать материал не только для тематического контроля, но и для отработки типичных в данной теме заданий Скрыть Контрольная работа по теме :` Степени и корни ` 10 кл proshkoluru › user/svetarad68/file/749036/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа состоит из 6 вариантов, содержит уровень А,В,С Автор: Радченко СГ Променяв Советы на самодержавие, коммунисты утратили креативностьи приобрели потенциальный господствующий класс Читать ещё Контрольная работа состоит из 6 вариантов, содержит уровень А,В,С Автор: Радченко СГ Променяв Советы на самодержавие, коммунисты утратили креативностьи приобрели потенциальный господствующий класс Меня всегда гораздо больше занимал вопрос `что делать?` ▫ Спасибо!!! Спасибо!!! ▫ Благодарю! ▫ `Многоходовочка`? Скрыть Вместе с « контрольная работа в 10 классе по теме степени и корни » ищут: контрольные работы по математике 3 класс контрольная закупка контрольные работы итоговая контрольная работа по математике 6 класс готовые контрольные работы контрольные работы по математике 2 класс итоговая контрольная работа по алгебре 7 класс итоговая контрольная работа по математике 5 класс контрольные работы по математике 4 класс итоговая контрольная работа по математике 3 класс школа россии фгос 1 2 3 4 5 дальше Браузер Интересное в ленте рекомендаций лично для вас 0+ Скачать

Тесты по алгебре онлайн | Online Test Pad

11 класс 10 класс 9 класс 8 класс 7 класс Показательные уравнения Степень Теорема Виета Свойства функций Прогрессия

• Алгебра 10 класс.

  Тема «Корни степени n и их свойства»

  02.11.2015 18883

  тест по алгебре и началам анализа проверяет знания учащихся по теме: «Корень степени n и его свойства»

• Степень с натуральным показателем.

  06.12.2018 6983 0

  Тест для закрепления понятия степени с натуральным показателем. Учебник Ю.М. Колягина.

• Линейное уравнение с одной переменной

  19.09.2021 2193

  Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова: a ⋅ x = b a·x=b, где  x x – переменная,  a a и  b b – некоторые числа.

• Сложение и вычитание алгебраических дробей. 1 вариант.

  22.10.2020 2523 0

  Тест по алгебре. Ориентирован на учебник А.Г. Мордкович » Алгебра, 8 класс». 

• Алгебра множеств

  13.03.2019 2007

  Данный тест является промежуточным контролем по теме «Алгебра множеств»

• Свойства функций

  14.05.2020 2837

  «Свойства функций». Данный тест предназначен для проверки знаний учащися 9-10 кл. по данной теме. Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. 

• ВПР математика 8 класс

  04.05.2020 4275 0

  Назначение ВПР по математике — оценить уровень общеобразовательной подготовки обучающихся 8 класса. В работе 19 заданий. 14 заданий курса алгебре и 5 заданий курса геометрии. Максимальное количество баллов 25.

• Тест по алгебре по теме «Решение показательных уравнений»_1

  22.01.2015 7966 0

  Тест предназначен для учащихся 10 класса при изучении темы «Показательные уравнения».

• Неполные квадратные уравнения. Уравнение x2 =a.

  20.12.2020 196 0

  Тест предназначен для учащихся средней школы  для проверки уровня знаний по  теме «Уравнение  x2 =a».

• Алгебраические выражения. Алгебра 7 класс. Контрольная работа.

  26.11.2020 551 0

  Контрольная работа №1 по теме: «Алгебраические выражения». Алгебра 7 класс. Авторы учебника Ю.М.Колягин и др.

• Производная сложной функции.

  31.

  10.2020 5274 0

  Данный тест будет полезным  учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.

• Алгебра 9 класс.

  27.04.2017 23518

  Тест предназначен для учеников девятых классов общеобразовательных школ для самоконтроля.

• Векторы в пространстве

  28.04.2019 6821 0

  Тест влючает в себя задания по следующим темам раздела «Векторы в пространстве»:  1. Понятие вектора в пространстве. Виды векторов, длина вектора.

  2. Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства операций над векторами. 3. Компланарные векторы. Условия компланарности. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Критерии оценивания (процент правильных ответов): — если Вы наборали 85-100%, то Вам выставляется оценка «отлично»;  — если Вы наборали 65-84%, то Вам выставляется оценка «хорошо»; — если Вы наборали 40-64%, то Вам выставляется оценка «удовлетворительно»;  — если Вы наборали менее 40%, то Вам выставляется оценка «неудовлетворительно».  В случае, если Вы успешно прошли тест, набрав более 65% баллов, то Вы можете скачат сертификат о прохождении теста.  

• Квадратные корни

  16.11.2020 6027 0

  Тест по  теме  «Квадратные  корни»  для  учащихся  8  класса.  Тест     из  вариантов  с  ответами.  Каждый  тест   состоит  из  двух  частей.  Первая  часть  с  выбором  ответа  десять  заданий,  вторая   часть  более  сложная  состоит  из  двух  заданий.   Тест  служит  для  быстрой   проверки   теории  или   домашнего  задания.

• Свойства тригонометрических функций

  29.11.2020 2468

  Тест предназначен для проверки у учащихся 10-х классов знаний по теме «Свойства тригонометрических функций». 

• Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

  17.12.2020 2738 0

  Тест предназначен для учащихся 8 классов для проверки уровня подготовки по  теме «Применение свойств арифметического квадратного корня».

• Тест по алгебре за 1 четверть — 7 класс

  11.10.2013 23334

  Тест содержит 12 заданий. Пять из них предполагают выбор одного ответа из четырёх предложенных (уровень А). В других пяти заданиях требуется записать ответ(уровень В). Задания С1 и С2 направлены на проверку владения материалом на высоком уровне.

• Выражения с переменными

  19.04.2020 736 0

  Тест соответствует учебнику «Алгебра. 7 класс» под редакцией С.А. Теляковского. 

• Линейные неравенства с одной переменной.

  

  23.05.2021 1451 0

  Тематический тест, объединяющий две темы: «Линейные неравенства» и «Числовые промежутки» предназначен для учащихся 8 классов. Данный тест нацелен на определение уровня усвоения учебного материала по теме «Линейные уравнения» за основу взят учебник Макарычева — самый распространенный учебник по алгебре для 8 класса. 

• Функция y=ax2

  02.04.2018 782 0

  В тесте рассматриваются вопросы по теме: «Квадратичная функция»

• Задания 1-5 ОГЭ «Бумага»

  04.01.2021 6061 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

• Рациональные и иррациональные числа

  10.11.2020 947 0

  Тест «Рациональные и иррациональные числа» может использоваться при закреплении темы в 8 классе. В тесте представлены вопросы разного вида: вопрос с одиночным ответом, вопросы с множественными верными ответами, запись ответа и др.

• Производная. Формулы.

  25.10.2020 7866

  Данный тест будет полезным  учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.

• Степенная функция

  30.11.2020 590 0

  Тест предназначен для студентов 1 курса СПО. Данный тест позволяет организовать проверку знаний об основных свойствах  степенной функции в  теме «Степенная функция, её свойства и график».

• Тригонометрия в заданиях ЕГЭ

  31.05.2020 491 0

  Тест предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре и началам анализа, в нём содержатся задачи по разделу «Тригонометрия». Используются свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, формулы двойного угла и основные тригонометрические тождества. В тесте 10 задач из Открытого банка.

• Системы линейных неравенств с одной переменной

  04.10.2022 41 0

  Образовательный тест «Системы линейных неравенств с одной переменной» призван проверить знания обучающихся по теме. Уровень сложности: средний. 

• Корень п-степени

  12.11.2020 2260 0

  Данный тест по теме «Корень п-степени» предназначен для учащихся 9 классов. 

• Нахождение корней квадратных уравнений (полных и неполных)

  18. 12.2020 5644 0

  Тест содержит 15 заданий на нахождение корней квадратных уравнений. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий (50 полных уравнений и 50 неполных). Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста. 

• Алгебра 8 класс

  08.01.2019 47510

  Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 8 класса.

• Тест по теме :»Степень с рациональным показателем» 11 кл.

  15.05.2020 958 0

  Тест по теме «Степень с рациональным показателем» 11 кл. Алгебра и начала математического анализа.

• Статистические характеристики

  19.10.2021 633 0

  Тест по алгебре «Статистические характеристики» предназначен для проверки уровня усвоения материала обучающимися 7 класса

• Зачетик 10-1А: «Арифметический корень натуральной степени»

  15.09.2019 865 0

  Данный тест предназначен для закрпления темы «Арифметический корень натуральной степени». Тест состоит из 5 вопросов образовательной программы школьного курса по математике.По результату теста выставляется отметка  с комментарием. 

• Классическое определение теории вероятности

  01. 04.2020 2115 0

  Данный тест ориентирован на проверку знаний по теме «Теория вероятности», в нем встречаются задачи, взятые из банка ОГЭ

• Свойства степени с целым показателем

  20.04.2020 8560 0

  Тест предназначен для проверки знаний по теме «Свойства степени с целым показателем».

• Логарифм и его свойства

  21.10.2020 2857 0

  Данный тест предназначен для студентов 1 курса СПО, а также будет полезен для старшеклассников общеобразовательных школ. В тесте имеются задания, проверяющие знание понятия логарифма и умение вычислять логарифмы с применением свойств.

• Итоговый тест по алгебре за курс 7 класса

  21.04.2013 17721

  Итоговый тест по алгебре для 7 класса охватывает следующие темы: Выражения,тождества, уравнения, статистические характеристики, функции, степень с натуральным показателем, многочлены, формулы сокращенного умножения.

• Тест по алгебре по теме «Решение показательных уравнений»_2

  26.12.2015 2114

  Тест предназначен для учащихся 10 класса при изучении темы «Показательные уравнения» (применение свойств степеней).

• Решение квадратных неравенств

  22. 12.2020 4313 0

  Тест по теме «Решение квадратных неравенств» для 9 класса. Тест состоит из 10 вопросов с выбором одного правильного овета из предложенных четырех.Тест имеет ограничение по времени прохождения — 5 минут.

• Тождественные преобразования

  19.09.2018 1254

  тест состоит из 10 вопросов раскрывающих тему «Тождественные преобразования»

• Алгебра 10 класс

  07.01.2019 9039

  Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра » за курс 10 класса.

• Входной тест Алгебра 9

  24. 07.2020 448 0

  Тест по Алгебре 9 класса направленный на выявление остаточных знаний учащихся.По времени не ограничен. Не торопитесь.

• Тест по теме «Прогрессия»

  07.12.2021 61 0

  Интересный тест для всех желающих проверить свои знания по теме Прогрессия

• 7 класс. Алгебра. Степень с целым показателем. Степень числа 2.

  05.08.2017 2498

  Тест предназначен для учащихся 7 (6) классов при отработке навыков устного счета. Тема «Целая степень числа 2»

• ВПР-2020.

  8 класс. Математика. Тест 1

  07.02.2020 6082 0

  Тест 1 — подготовка к Всероссийской проверочной работе по математике. 8 класс.

• Тест по алгебре для 7 класса. Преобразование целых выражений. Применение различных способов для разложения на множители.

  03.05.2020 6054 0

  Тест по алгебре для 7 класса.  Преобразование целых выражений. Применение различных способов для разложения на множители.

• Контрольный тест «Квадратные уравнения»

  05.09.2020 1323 0

  Итоговый проверочный тест на закрепление темы «Решение квадратных уравнений». Состоит из 9 вопросов. За каждый правильный ответ ученик набирает 1 балл. В основном включает в себя задания с вводом нужного ответа.

• Основное свойство алгебраической дроби

  14.08.2022 380 0

  Тест по теме «Основное свойство алгебраической дроби» (8 класс). Тест содержит 10 заданий. У вас есть всего лишь одна попытка пройти тест. По окончании теста вы можете увидеть свою отметку и скачать подтверждающий сертификат.

• Задания 1-5 ОГЭ «План квартиры»

  01.01.2021 3726 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

• Свойства степени с натуральным показателем.

  08.12.2018 5812

  Тест предназначен для закрепления свойств умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

• 7 класс. Алгебраические дроби. Общий знаменатель.

  14.02.2020 4113

  Тест состоит из 10 заданий по теме «Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю». Время прохождения теста не ограничено.

• Стандартный вид числа

  27. 04.2020 5597 0

  Тест содержит задания по теме «Стандартный вид числа». Алгебра 8 класс.

• Числовые промежутки

  11.04.2020 3633

  Тест онлайн состоит из 10 заданий и помогает отработать навык установления соответствия между неравенством и соответствующим ему промежутком, а также их изображением на координатной прямой.

• Вероятность события 7 класс

  20.04.2020 1324 0

  Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Вероятность события 7 класс». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! 

• Прогрессии (арифметическая и геометрическая)

  01.04.2019 874

  Данный тест состоит из 8 вопросов по теме «Прогрессии». Можно использовать при закреплении темы. Вопросы представлены и с одиночным ответом, и с множественными ответами.

• Основные понятия тригонометрии. Повторение

  27.05.2020 1343 0

  Данный тест предназначен для проверки уровня знаний по основным формулам и понятиям тригонометрии. Расчитан для учащихся старших классов и студентов 1 курса СПО. Задания соответствуют 1 части профильного уровня ЕГЭ по математике.

• Основное свойство дроби

  18.08.2020 352 0

  Тест на проверку преобретения первичных навыков сокращения алгебраических дробей и приведения их к новому знаменателю

• Степень с действительным показателем

  17.10.2020 589 0

  Данный тест предназначен для старшеклассников и студентов 1 курса СПО. Цель данного теста проверить уровень усвоения темы Степень числа с действительным показателем и её свойства», а так же знание и умение вычислять степени и корни. Тест будет полезен при обобщении материала по данной теме, при самостоятельной подготовке к контрольной работе.

• Задания 1-5 ОГЭ «Маршрут»

  01.01.2021 1650 0

  Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста. 

• Свойства функций, заданных графически.

  24.10.2021 1094 0

  Тест для проверки умения читать графики функций и указывать их свойства. Для 9-10 классов.

• Тест по теме «Свойства арифметического квадратного корня.

  Применение его свойств»

  04.02.2022 257 0

  Тест проверяет знания по теме «Арифметический квадратный корень, свойства корня и применение свойств корня»

• Таблицы истинности

  11.03.2019 283 0

  Данный тест является промежуточным контролем по теме «Табицы истинности»

• Показательная функция и ее свойства.

  25.10.2021 793 0

  Небольшой тест по теме «Показательная функция и ее свойства» позволяет проверить знания по данной теме. Рассчитан на 5-10 минут.

• 10 класс. Радианная мера угла.

  04.02.2022 196 0

  Тест содержит задания, соответствующие материалу учебника, пункты 7.1-7.2

• Комбинаторика: Перестановки

  12.04.2020 1350 0

  В тесте проверяются знания, умения и навыки по теме «Перестановки»

• Аттестационный тест по математике за курс 10 класса

  24.05.2020 766 0

  Аттестационный тест по математике за курс 10 класса содержит задания по алгебре и геометрии. Задания теста составлены по темам учебника Алгебра и начала математического анализа под редакцией Ш.А. Алимов и Геометрия под редакцией Л.С. Атанасян.  

• Преобразование тригонометрических выражений

  24.05.2020 2501 0

  Тест предназначен для проверки знания тригонометрических формул, умения применять тригонометрические формулы для преобразования тригонометрических выражений..

• Алгебра 8 класс тема «Неравенства»

  24.11.2015 22040

  Тест предназначен для проверки знаний учащихся 8 класса по теме «Неравенства». Состоит из 5 вопросов с единственным выбором ответа.

• 7 класс. Алгебра. Свойства степени с натуральным показателем (теория).

  15.10.2017 10802

  Тест предназначен для учащихся 7 классов при изучении или повторении свойств степени с натуралным показателем.

• Олимпиада по математике 7 класс (школьный этап)

  18.10.2019 1900 0

  Тест для подготовки к олимпиаде по математике 7 класса (школьный этап).

• Элементарная алгебра III. Логарифмы Тренировочный

  25. 05.2020 630 0

  Элементарная алгебра III. Логарифмы (вычисление выражений, содержащих логарифмы)

• Решение линейных уравнений (со скобками)

  03.12.2020 2243 0

  В тест включены задания на решение линейных уравнений, в записи которых есть скобка. В тест случайным образом выбираются 5 уравнений из общей базы заданий. Сколько уравнений верно решите, такая и будет оценка. Время выполнения не ограничено.

• Алгебра 9 класс

  08.01.2019 15135

  Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 9 класса.

• Тест для подготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике

  21.02.2019 3274

  Тест предназначен для самоподготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике

• Итоговый тест по алгебре для 9 класса.

  30.05.2020 705

  Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. В тесте 10 задач из Открытого банка задач ОГЭ .

• Контрольная работа №2 «Рациональные дроби»

  25. 11.2020 1658 0

  Контрольная работа№2 по теме «Рациональные дроби» состоит из 6 заданий разных тем. 

• Числовые неравенства. Алгебра 8-9 класс.

  18.08.2021 945 0

  Тест для учащихся 8- 9 классов по теме «Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств»

• Законы алгебры логики

  12.03.2019 1671 0

  Данный тест является промежуточным контролем по теме «Законы и тождества алгебры логики»

• Дробно рациональные уравнения

  23. 04.2020 6291 0

  Тест предназначен для проверки умения решать дробно рациональные уравнения средней сложности. Может быть использован для контроля усвоения темы при дистанционном обучении. Учебник «Алгебра 8» Мерзляк А.Г. и др.

• Итоговый тест по алгебре за 8 класс

  14.05.2020 7621

  Предлагается проити итоговое тестирование за курс алгебры 8 класс. Рассматриваются основные темы курса. В тесте 9 заданий, требующих решения и выбора ответа. 

• Преобразование алгебраических дробей.8 класс.

  09.11.2020 1414

  В тесте 39 заданий на упрощение выражений и нахождение их значения при заданном значении переменной. Для решения предлагается случайным образом выбранные 7 заданий.Время на выполнение — 30 минут. Всего можно набрать 10 баллов.

• Арифметический квадратный корень

  17.11.2020 1651 0

  Проверочный тест по теме «Арифметический квадратный корень». Алгебра 8 класс.

• Простейшие текстовые задачи

  26.09.2022 29 0

  Данный тест предназначен для оценки знаний учащихся. Состоит из 5 вопросов базового уровня. Целесообразно тестировать учащихся для закрепления или при повторении изученного материала

• Степень с целым показателем

  05. 04.2020 20887 0

  Тест по теме «Степень с целым показателем». Для учащихся 8 класса. Содержит 17 вопросов

• тест по теме: Линейная функция, 7 класс- АЛГЕБРА

  05.04.2020 7475

  тест по теме: Линейная функция, 7 класс- АЛГЕБРА Данный тест предназачен для закрепления темы: Линейная функция.  

• Геометрическая прогрессия

  15.04.2020 6491 0

  Геометрическая прогрессия тест для учащихся 9 класса по предмету «Алгебра»

• Алгебра.

  8 класс. Решение неравенств первой степени.

  05.05.2020 2716

  Данный тест проверяет умение решать неравенства первой степени.

• Функции и графики

  25.10.2020 1697 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса. Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, умением соотнести функцию с ее значениями.

• Дискриминант квадратного уравнения

  13.12.2020 3206 0

  В тест включено 11 заданий по теме «Дискриминант квадратного уравнения». Критерии: «3» от 50 до 69%, «4» от 70 до 90%, «5» от 91 до 100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста. 

• Алгебраические дроби

  05.08.2022 178 0

  Тест для 8 класса по теме «Алгебраические дроби». Подходит для любого УМК, утвержденного ФПУ.

• Комбинаторика: Размещения

  12.04.2020 1271 0

  Тест для учащихся 9 класса по теме «Комбинаторика: Размещения». 

• Квадратные и биквадратные уравнения

  16. 04.2020 2057 0

  Тест для проверки умения решать квадратные и биквадратные уравнения, раскладывать квадратный трёхчлен на множители. Составлен по учебнику «Алгебра 8 класс» Мерзляк А.Г. и др. Задания с вводом числа и выбором из предложенных. Уровень сложности средний.

• 9 класс. Теория вероятностей на ОГЭ

  03.03.2021 4334 0

  Тест составлен из задач открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ, раздел «Статистика и теория вероятностей», предназначен для подготовки к ОГЭ. 7 заданий (каждое генерируется в 6 вариантах). Время прохождения — 20 минут.

• Тест по теме: «Нахождение первообразных»

  10. 02.2022 740 0

  Данный тест поможет закрепить знания по теме: «Нахождение первообразных».

• Алгебра. одночлен и его стандартный вид.

  07.01.2019 3946 0

  Завершив этот тест, вы проверите, как вы научились представлять одночлен в стандартном виде.

• Квадрат разности.

  28.03.2020 3795 0

  Работа предназначена для закреплениея темы » Квадрат разности двух чисел»

• Формулы сокращенного умножения

  05. 04.2020 6612 0

  Тест сопоставлен с учебником «Алгебра. 7 класс» под редакцией С.А. Теляковского. 

• Пропорция. Основное свойство пропорции.

  15.05.2020 1591 0

  Тест для проверки знаний учащихся по теме: «Пропорции. Основное свойство пропорции.». Тест рассчитан на проверку знания теории, умения решать пропорции и уравнения с пропорцией.

• Решение неравенств методом интервалов

  26.05.2020 3133 0

  Тест предназначен для проверки умения решать неравенства методом интервалов, строить графическую интерпретацию . решения.

• Вступительный экзамен по математике (для поступающих в 10 класс)

  26.07.2020 2415 0

  Здравствуйте! Мы рады приветствовать вас на вступительном экзамене по математике

• Парабола и ее график

  20.10.2020 1903 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Парабола и ееграфик». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. 

Как найти степень многочлена

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Переменные » Полиномы » Полиномиальные операции » Как найти степень многочлена

Укажите степень многочлена.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень отдельного члена многочлена является показателем степени его переменной; показатели членов этого полинома равны, по порядку, 5, 4, 2 и 7.

Степень полинома является наивысшей степенью любого из членов; в данном случае это 7.

Сообщить об ошибке

Какова степень многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень многочлена, вам сначала нужно идентифицировать каждый член [термин, например ], поэтому, чтобы найти степень каждого члена, вы добавляете показатели степени.

EX:   — Степень 3

Высшая степень  

Сообщить об ошибке

Какова степень многочлена?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень полинома, сложите показатели каждого члена и выберите наибольшую сумму.

12x ² Y ³ : 2 + 3 = 5

6xy ⁴ z: 1 + 4 + 1 = 6

2xz: 1 + 1 = 2

Степень — 6.

4. Сообщить об ошибке

 

Какова степень полинома?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень — это наивысшее значение показателя степени переменных в полиноме.

Здесь самый высокий показатель -x ⁵ , поэтому степень составляет 5.

Отчет о ошибке

Упрощение:

Возможные ответы:

5

-1

2x

из вышеперечисленных

1

Правильный ответ:

-1

Объяснение:

Данное выражение может быть переписано как:

Отмена (2x — 5):

Отчет о ошибке

Найдите степень полинома:

Возможные ответы:

:

. Правильный ответ:

Объяснение:

Члены полинома могут иметь переменные, возведенные только в положительные целые степени. Не допускаются квадратные корни, дробные степени и переменные в знаменателе.

Правильный ответ:  

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень полинома — это самая высокая степень полинома.

Наивысшая степень данного терма:  

Следовательно, степень многочлена равна .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Степень многочлена с одной переменной (в нашем случае ), просто найдите наибольший показатель степени этой переменной в выражении. Термин  показывает возведение в седьмую степень, и ни один другой  в этом выражении не возводится во что-либо большее, чем семь. Следовательно, степень этого выражения равна .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Многочлен имеет более одной переменной. Степень полинома — это наибольшая сумма показателей ВСЕХ переменных в термине.

Первый член .

Степень этого члена 

Второй член .

Степень этого термина .

Степень полинома – наибольшее из этих двух значений или .

Сообщить об ошибке

Какова степень следующего многочлена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти степень многочлена, просто найдите самый высокий показатель степени в выражении. Поскольку семь является наивысшим показателем выше, это также степень многочлена.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Квадратное уравнение – Формула, Примеры

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют форму ax ² + bx + c = 0. Слово «квадратичное» происходит от слова «квадратное». что означает квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение второй степени». Существует множество сценариев, в которых используется квадратное уравнение. Знаете ли вы, что когда ракета запускается, ее траектория описывается квадратным уравнением? Кроме того, квадратное уравнение имеет множество приложений в физике, технике, астрономии и т. д.

Квадратные уравнения — это уравнения второй степени относительно x, которые имеют максимум два ответа относительно x. Эти два ответа для x также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

1.	Что такое квадратное уравнение?
2.	Корни квадратного уравнения
3.	Квадратичная формула
4.	Природа корней квадратного уравнения
5.	Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям
6.	Методы решения квадратных уравнений
7.	Факторизация квадратного уравнения
8.	Метод завершения квадрата
9.	График квадратного уравнения
10.	Квадратные уравнения, имеющие общие корни
11.	Максимальное и минимальное значение квадратного выражения
12.	Часто задаваемые вопросы о квадратных уравнениях

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени относительно x. Квадратное уравнение в стандартной форме имеет вид ax ² + bx + c = 0, где a и b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член. Первым условием для того, чтобы уравнение было квадратным уравнением, является коэффициент x ² — ненулевой член (a ≠ 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x ² , затем член x и, наконец, записывается постоянный член. Числовые значения a, b, c обычно не записываются в виде дробей или десятичных знаков, а записываются в виде целых значений.

Далее в реальных математических задачах квадратные уравнения представляются в разных формах: (x — 1)(x + 2) = 0, -x ² = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x , х ³ = х(х ² + х — 3). Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения — это два значения x, полученные путем решения квадратного уравнения. Эти корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения. Например, корни уравнения x ² — 3x — 4 = 0 равны x = -1 и x = 4, поскольку каждое из них удовлетворяет уравнению. т. е.

• При x = -1, (-1) ² — 3(-1) — 4 = 1 + 3 — 4 = 0
• При х = 4, (4) ² — 3(4) — 4 = 16 — 12 — 4 = 0

Существуют различные методы нахождения корней квадратного уравнения. Использование квадратичной формулы является одним из них.

Квадратичная формула

Квадратная формула — самый простой способ найти корни квадратного уравнения. Есть некоторые квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители, и здесь мы можем удобно использовать эту квадратную формулу, чтобы найти корни самым быстрым способом. Корни квадратного уравнения дополнительно помогают найти сумму корней и произведение корней квадратного уравнения. Два корня в квадратной формуле представлены как одно выражение. Положительный знак и отрицательный знак могут быть альтернативно использованы для получения двух различных корней уравнения.

Квадратная формула: Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равны x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.

Пример: Найдем корни того же уравнения, которое было упомянуто в предыдущем разделе x ² — 3x — 4 = 0, используя квадратичную формулу.

а = 1, б = -3 и с = -4.

х = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a
= [-(-3) ± √((-3) ² — 4(1)(-4))]/2(1)
= [3 ± √25] / 2
= [3 ± 5] / 2
= (3 + 5)/2 или (3 — 5)/2
= 8/2 или -2/2
= 4 или -1 являются корнями.

Доказательство квадратной формулы

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0

Чтобы определить корни этого уравнения, поступим следующим образом:

ax ² + bx = -c ⇒ x ² + bx/a = -c/a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

x ² + bx/a + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²

Левая сторона теперь идеальна квадрат:

(x + b/2a) ² = -c/a + b ² /4a ² ⇒ (x + b/2a) ² = (b ² — 4ac)/ 4a ²

Это хорошо для нас, потому что теперь мы можем извлекать квадратные корни, чтобы получить:

x + b/2a = ±√(b ² — 4ac)/2a

x = (-b ± √(б ² — 4ac))/2a

Таким образом, заполнив квадраты, мы смогли выделить x и получить два корня уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения обычно представляются символами альфа (α) и бета (β). Здесь мы узнаем больше о том, как найти природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения. А также ознакомьтесь с формулами, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения может быть найдена без фактического нахождения корней (α, β) уравнения. Это возможно, взяв значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Величина b ² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой ‘D’. На основе значения дискриминанта можно предсказать характер корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b

² — 4ac

• D > 0, корни действительны и различны
• D = 0, корни вещественные и равные.
• D < 0, корни не существуют или корни мнимые.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения

Коэффициент при x ² , член x и постоянный член квадратного уравнения ax ^{2 + bx + c = 0 полезны для определения суммы и произведение корней квадратного уравнения. Сумма и произведение корней квадратного уравнения могут быть вычислены непосредственно из уравнения, без фактического нахождения корней квадратного уравнения. Сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному значению коэффициента при х, деленному на коэффициент при х 2 . Произведение корня уравнения равно постоянному члену, деленному на коэффициент при x 2 . Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 сумма и произведение корней следующие.}

• Сумма корней: α + β = -b/a = — Коэффициент x/ Коэффициент x ²
• Произведение корней: αβ = c/a = постоянный член/коэффициент x ²

Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения. Если α, β являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

х ² — (α + β)x + αβ = 0

Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям

Следующий список важных формул полезен для решения квадратных уравнений.

• Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
• Дискриминант квадратного уравнения равен D = b ² — 4ac
• При D > 0 корни вещественны и различны.
• При D = 0 корни вещественные и равные.
• При D < 0 действительные корни не существуют или корни мнимые.
• Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a.
• Сумма корней квадратного уравнения равна α + β = -b/a.
• Произведение корня квадратного уравнения равно αβ = c/a.
• Квадратное уравнение, корни которого равны α, β, равно x ² — (α + β)x + αβ = 0,
• Условие для квадратных уравнений 0 Имея те же корни (A ₁ B ₂ — A ₂ B ₁ ) (B ₁ C ₂ — B ₂ C ₁ ) = _{92) =} ) = ) = ) = ). c ₁ — a ₁ c ₂ ) ² .
• Когда a > 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет минимальное значение при x = -b/2a.
• Когда a < 0, квадратное выражение f(x) = ax ² + bx + c имеет максимальное значение при x = -b/2a.
• Область определения любой квадратичной функции — это множество всех действительных чисел.
• Для a > 0 диапазон квадратичной функции f(x) = ax ² + bx + c равен [-(b ² — 4ac)/4a, ∞)
• Для a < 0 диапазон квадратичной функции f(x) = ax ² + bx + c равно: (-∞, -(b ² — 4ac)/4a]

Методы решения квадратных уравнений

Можно решить квадратное уравнение, чтобы получить два значения x или два корня уравнения. Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

• Факторизация квадратного уравнения
• Используя квадратичную формулу (которую мы уже видели)
• Способ завершения квадрата
• Графический метод поиска корней

Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

Факторизация квадратного уравнения

Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее мы можем взять общие члены из имеющегося члена, чтобы окончательно получить требуемые коэффициенты. Для понимания факторизации общую форму квадратного уравнения можно представить следующим образом.

• x ² + (a + b)x + ab = 0
• x ² + топор + bx + ab = 0
• х(х + а) + б(х + а)
• (х + а) (х + б) = 0

Давайте разберемся с факторизацией на следующем примере.

• х ² + 5х + 6 = 0
• х ² + 2х + 3х + 6 = 0
• х (х + 2) + 3 (х + 2) = 0
• (х + 2) (х + 3) = 0

Таким образом, два полученных множителя квадратного уравнения равны (x + 2) и (x + 3). Чтобы найти его корни, просто установите каждый множитель равным нулю и найдите x. т. е. x + 2 = 0 и x + 3 = 0, что дает x = -2 и x = -3. Таким образом, x = -2 и x = -3 являются корнями x ² + 5x + 6 = 0.

Далее есть еще один важный метод решения квадратного уравнения. Метод заполнения квадрата квадратного уравнения также полезен для нахождения корней уравнения.

Способ завершения квадрата

Метод завершения квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении для получения требуемых корней уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, упростим его следующим образом:

• топор ² + Ьх + с = 0
• топор ² + Ьх = -с
• x ² + bx/a = -c/a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) ² с обеих сторон:

• x ² + bx/a + (b/2a) ² = -с/а + (б/2а) ²
• (x + b/2a) ² = -c/a + b ² /4a ²
• (x + b/2a) ² = (b ² — 4ac)/4a ²
• х + b/2а = + √(b ² — 4ас)/2а
• х = — б/2а + √(б ² — 4ас)/2а

Теперь, с помощью этого метода заполнения квадрата, мы можем консолидировать значение корней уравнения. Далее, при упрощении и извлечении квадратного корня два возможных корня квадратного уравнения: x = (-b + √(b ² — 4ач))/2а. Здесь знак «+» соответствует одному корню, а знак «-» соответствует другому корню квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только квадратичная формула.

Графическое изображение квадратного уравнения

График квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно получить, представив квадратное уравнение в виде функции y = ax ² + bx + c. Далее, решая и подставляя значения x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки можно представить на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения. Для получения подробной информации о построении графика квадратичной функции нажмите здесь.

Точки, в которых график пересекает горизонтальную ось х (обычно точки пересечения х), являются решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax ² + bx + c и найдя x.

Квадратные уравнения, имеющие общие корни

Пусть два квадратных уравнения имеют общие корни:0592 = 0 и a ₂ x ² + b ₂ x + c ₂ = 0. Решим эти два уравнения, чтобы найти условия, при которых эти уравнения имеют общий корень. Два уравнения решаются относительно x ² и x соответственно.

(x ² ) (B ₁ C ₂ — B ₂ C ₁ ) = (-x)/(A ₁ C ₂ — A ₂ C ₂ — A ₂ C ₂ — A ₂ C ₂ — A ₂ C ₂ — A ) = 1/(а ₁ б ₂ — а ₂ б ₁ )

x ² = (B ₁ C ₂ — B ₂ C ₁ ) / (A ₁ B ₂ ) / (A ₁ B ₂ ) / (A ₁ B ₂ ) / (A ₁ B ) / (A ₁ B ) / (A ₁ B ) / (A ₁ B ).

x = (A ₂ C ₁ — A ₁ C ₂ ) / (A ₁ B ₂ — A ₂ B ₁ — A ₂ B ₁ ). выше двух выражений мы имеем следующее условие для двух уравнений, имеющих общий корень.

( ₁ b ₂ — a ₂ b ₁ ) (b ₁ c ₂ — b ₂ c ₁ ) = (a ₂ c ₁ — a ₁ с ₂ ) ²

Максимальное и минимальное значение квадратного выражения

Максимальное и минимальное значение для четырехъядерного уравнения F(x) = ax ² + bx + c = 0 можно увидеть на графиках ниже. При положительных значениях a (a > 0) квадратное выражение имеет минимальное значение при x = -b/2a, а при отрицательном значении a (a < 0) квадратное выражение имеет максимальное значение при x = -b /2а. x = -b/2a — координата x вершины параболы.

Максимальное и минимальное значения квадратного выражения помогают найти диапазон квадратного выражения: Диапазон квадратного выражения также зависит от значения a. Для положительных значений a(a > 0) диапазон составляет [ F(-b/2a), ∞), а для отрицательных значений a ( a < 0) диапазон составляет (-∞, F(-b/ 2а)].

Для a < 0, диапазон: (-∞, f(-b/2a)]

Обратите внимание, что областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т. е. (-∞, ∞).

Советы и рекомендации по квадратным уравнениям:

Некоторые из приведенных ниже советов и рекомендаций по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

• Квадратные уравнения обычно решаются с помощью факторизации. Но в случаях, когда она не может быть решена факторизацией, используется квадратичная формула.
• Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
• Для квадратных уравнений с отрицательными значениями дискриминанта корни представлены комплексными числами.
• Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно использовать для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

☛Похожие темы:

• Калькулятор корней
• Калькулятор корней квадратного уравнения

 

Примеры квадратных уравнений

1. Пример 1: Меган занимается фитнесом и каждое утро ходит на пробежку. Парк, в котором она бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 х 8 м. Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка. Это позволит увеличить общую площадь до 140 кв.м. Какова будет ширина дорожки?

   Решение:

   Обозначим ширину пути через x.

   Тогда длина и ширина внешнего прямоугольника равны (12+2x) м и (8+2x) м.

   Учитывая, что площадь = 140

   (12 + 2x)(8 + 2x) = 140

   2(6 + x) 2(4 + x) = 140

   (6 + x)(4 + x) = 35

   24 + 6х + 4х + х ² = 35

   х ² + 10х -11 = 0

   х ² + 11х — х — х — 900 = 0 (01 х — 900 ) — 1(х + 11) = 0

   (х + 11)(х — 1) = 0

   (х + 11) = 0 и (х — 1) = 0

   х = -11 и х = 1

   Поскольку длина не может быть отрицательной, мы принимаем x = 1.

   Ответ: Следовательно, ширина дорожки равна 1 м.

2. Пример 2: Давайте узнаем, как вопрос о квадратном уравнении находит свое применение в области движения. Рита бросает мяч вверх с платформы, находящейся на высоте 20 м над землей. Высота мяча над землей в момент времени «t» обозначается буквой «h». Предположим, что h = -4t ² + 16t + 20. Найдите максимальную высоту, на которую поднялся мяч.

   Решение:

   Мы можем переставить члены квадратного уравнения

   h = -4t ² + 16t + 20

   таким образом, чтобы легко найти максимальное значение этого уравнения.

   h = -4t ² + 16t + 20

   = -4t ² + 16t + 20

   = -4(t ² — 4t — 5) — 4 = 2(t ) ² — 9)

   = -4(t — 2) ² + 144

   Мы должны сохранить минимальное значение (t-2) ² , чтобы найти максимальное значение h.

   Итак, минимальное значение (t-2) ² равно 0.

   Ответ: Следовательно, максимальная достигнутая высота равна 144 м.

3. Пример 3: Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 5 и 8 соответственно.

   Решение:

   Квадратное уравнение с корнями α, β равно x ² — (α + β)x + αβ = 0,

   При α = 5 и β = 8.

   Следовательно квадратное уравнение:

   x ² — (5 + 8)x + 5×8 = 0

   x ² — 13x + 40 = 0

   40 = 0

4. Пример 4: Квадратное уравнение 2x ² + 9x + 7 = 0 имеет корни α, β. Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 1/α и 1/β.

   Решение:

   Метод 1:

   Квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения ось ² + bx + c = 0, is cx ² + bx + a = 0,

   Данное квадратное уравнение имеет вид 2x ² + 9x + 7 = 0,

   Следовательно, искомое уравнение, имеющее обратные корни, имеет вид 7x ² + 9x + 2 = 0.

   Метод 2: Из данного уравнения

   α + β = -9/2 и α β = 7/2.

   Корни нового уравнения должны быть 1/α и 1/β.

   Их сумма = 1/α + 1/β = (α + β) / α β = -9/7
   Их произведение = 1/α β = 2/7
   Таким образом, искомое уравнение:
   х ² — (1/α + 1/β)x + 1/α β = 0
   х ² — (-9/7)х + 2/7 = 0
   Умножение обеих сторон на 7,
   7x ² + 9x + 2 = 0

   Ответ: Следовательно, уравнение 7x ² + 9x + 2 = 0,

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по квадратному уравнению

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратном уравнении

Что такое определение квадратного уравнения?

Квадратное уравнение в математике представляет собой уравнение второй степени вида ax ² + bx + c = 0. Здесь a, b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответа. Корни квадратного уравнения можно найти либо путем факторизации, либо с помощью квадратной формулы.

Что такое квадратичная формула?

Квадратная формула для решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0: x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a. Здесь мы получаем два значения x, применяя символы плюс и минус в этой формуле. Отсюда два возможных значения x: [-b + √(b ² — 4ac)]/2a и [-b — √(b ² — 4ac)]/2a.

Как найти характер корней квадратного уравнения?

Дискриминант помогает предсказать природу корней квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения ось ² + bx + c = 0 is b ² — 4ac. Дискриминант обозначается как D = b ² — 4ac. Если D > 0, то корни вещественные и различные, при D = 0 корни равны, а при D < 0 корни являются мнимыми комплексными числами.

Как применять квадратную формулу?

Значения a, b и c подставляются в квадратную формулу x = [-b ± √(b ² — 4ac)]/2a, чтобы получить два корня квадратного уравнения. Не забывайте применять знаки + и — отдельно.

Что такое определитель в квадратной формуле?

Величина b ² — 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой D. Дискриминант является частью квадратичной формулы. Дискриминанты помогают нам найти природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней квадратного уравнения.

Каковы некоторые реальные приложения квадратных уравнений?

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии. Есть много реальных приложений квадратных уравнений. Например, его можно использовать в задачах на время бега для оценки скорости, расстояния или времени при путешествии на машине, поезде или самолете. Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара. Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами квадратного уравнения. Также можно отметить, что форма спутниковой антенны или телескопа-рефлектора определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

Линейная степень — это уравнение одной степени и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение двух степеней и одной переменной. Линейное уравнение имеет форму ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа. Кроме того, квадратное уравнение является произведением двух линейных уравнений.

Как упростить квадратное уравнение?

Первым шагом в процессе упрощения квадратного уравнения является преобразование его в стандартную форму ax ² + bx + c = 0. Кроме того, его можно упростить, найдя его множители в процессе факторизации. Также для уравнения, которое трудно разложить на множители, оно решается с помощью формулы. Кроме того, есть несколько других способов упростить квадратное уравнение.

Каковы 4 способа решения квадратного уравнения?

Ниже приведены четыре способа решения квадратного уравнения.

• Метод факторизации
• Метод формулы
• Способ заполнения квадратов
• Графический метод

Как решить квадратное уравнение с помощью факторинга?

Квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, состоящей из трех шагов. Сначала разделите средний член так, чтобы произведение разделенных членов было равно произведению первого и последнего членов. Предположим, что квадратное уравнение имеет вид x ² + (a + b)x + ab = 0, и его можно разделить как x ² + ax + bx + ab = 0. В качестве второго шага возьмите общий член из первых двух и последнего два термина. x(x + a) + b(x + a) = 0, (x + a)(x + b) = 0. Наконец, приравняем каждый из множителей к нулю и получим значения x. x + a = 0 и x + b = 0, и, следовательно, мы можем получить x = -a и x = -b

Как решить квадратное уравнение, заполнив квадрат?

Квадратное уравнение решается методом завершения квадрата по формуле (a + b)^2 = a 92 = а ² — 2аб + б ² .

Как найти значение дискриминанта?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении можно найти из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. Значение дискриминанта D = b ² — 4ac, и это помогает предсказать природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней уравнения.

Как решать квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение можно решить аналогично линейному равенству с помощью графика. Возьмем квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, поскольку y = ax ² + bx + c. Здесь мы берем набор значений x и y и строим график. Две точки, где этот график встречается с осью x, являются решениями этого квадратного уравнения.

Насколько важен дискриминант в определении природы корней квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко найти природу корней квадратного уравнения. Без дискриминанта нахождение природы корней уравнения — долгий процесс, так как сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня. Следовательно, дискриминант является важной и необходимой величиной, которая помогает легко найти природу корней квадратного уравнения.

Где найти программу решения квадратных уравнений?

Чтобы получить программу решения квадратных уравнений, щелкните здесь. Здесь мы можем ввести значения a, b и c для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, тогда оно даст вам корни вместе с пошаговой процедурой.

Когда четверные уравнения имеют одинаковые корни?

Данное четверное уравнение имеет одинаковые корни, если дискриминант равен нулю. Для квадратного уравнения формы ax ² + bx + c = 0 дискриминант равен D = b ² — 4ac = 0. Здесь оба корня равны, и каждый имеет значение x = -b/2a.

Какая польза от дискриминантов в квадратичной формуле?

Дискриминант (D = b ² — 4ac) полезен для предсказания природы корней квадратного уравнения. При D > 0 корни действительны и различны, при D = 0 корни действительны и равны, а при D < 0 корни не существуют или являются мнимыми комплексными числами. С помощью этого дискриминанта и с наименьшими вычислениями мы можем найти природу корней квадратного уравнения.

Сколько корней у квадратного уравнения?

Это уравнение второй степени по x, поэтому получается два корня. Мы можем получить эти корни квадратного уравнения, используя квадратную формулу. Один корень можно получить с помощью положительного знака, а другой корень можно получить с помощью отрицательного знака в формуле.

Как решить квадратное уравнение, не используя квадратную формулу?

Существует два альтернативных метода квадратичной формулы. Один метод заключается в решении квадратного уравнения с помощью факторизации, а другой метод заключается в завершении квадратов. Всего существует три метода нахождения корней квадратного уравнения.

Как вывести квадратную формулу?

Алгебраическая формула (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² используется для решения квадратного уравнения и вывода квадратной формулы. Эта алгебраическая формула используется для управления квадратным уравнением и получения квадратной формулы для нахождения корней уравнения.

полиномы

Проект улучшения математического образования в школах (TIMES)

вернуться к оглавлению

Полиномы

Число и алгебра : Модуль 39 Годы : 9-10

Июнь 2011

PDF-версия модуля

Предполагаемые знания

• Содержание модулей Квадратные уравнения, Квадратичные функции.
• Знакомство с координатной геометрией и элементарными графиками, включая график
  y = x2.

Мотивация

Полиномы представляют следующий уровень алгебраической сложности после квадратичных. Действительно, квадратное число является многочленом степени 2. Мы можем факторизовать квадратные выражения, решать квадратные уравнения и строить графики квадратичных функций, возникает очевидный вопрос относительно
, как эти вещи могут быть выполнены с алгебраическими выражениями более высокой степени.

Квадратичный x2 − 5x + 6 размножается как (x − 2)(x − 3). Следовательно, уравнение x2 − 5x + 6 = 0
имеет решения x = 2 и x = 3.

Аналогичным образом мы можем разложить кубическое число x3 − 6×2 + 11x − 6 как 3), что позволяет нам показать, что решения x3 − 6×2 + 11x − 6 = 0 равны x = 1, x = 2 или x = 3. В этом модуле мы увидим, как получить эту факторизацию.

Многочлены во многих отношениях ведут себя как целые числа или целые числа. Мы можем складывать, вычитать и умножать два или более многочлена вместе, чтобы получить другой многочлен. Точно так же, как мы можем разделить одно целое число на другое, получив частное и остаток, мы можем разделить один многочлен на другой и получить частное и остаток, которые также являются многочленами.

Квадратное уравнение вида ax2 + bx + c имеет 0, 1 или 2 решения в зависимости от того, является ли дискриминант отрицательным, нулевым или положительным. Число решений этого уравнения помогло нам нарисовать график квадратичной функции y = ax2 + bx + c. Точно так же информация о корнях полиномиального уравнения позволяет нам дать грубый набросок соответствующей полиномиальной функции.

Помимо того, что полиномы представляют интерес по своей сути, они имеют важные приложения в реальном мире. Одно такое приложение к кодам исправления ошибок обсуждается в Приложении к этому модулю.

Содержание

Терминология

Полином представляет собой такое выражение, как x5 − 2×3 + 8x + 3 или x4 − x2 + 1. Может быть любое количество членов, но каждый член должен быть кратен целой степени числа Икс. Таким образом, 2×3 − x не является полиномом.

Член с наибольшей степенью называется ведущим членом, а его коэффициент называется старшим коэффициентом. Если старший коэффициент равен 1, то полином называется моническим. Индекс старшего члена называется степенью многочлена. Член, не зависящий от, называется постоянным членом.

Таким образом, x5 − 2×3 + 8x + 3 является унитарным многочленом степени 5 с постоянным членом 3, а
x4 − x2 + 1 является немоническим многочленом степени 4 со старшим коэффициентом и постоянным членом 1.

В первый многочлен, все коэффициенты целые, а второй многочлен имеет иррациональный коэффициент. По большей части мы будем рассматривать только многочлены первого типа, но многое из того, что будет сказано ниже, в равной степени применимо и ко второму типу.

Чтобы назвать многочлены, мы будем использовать обозначение функции, такое как p(x) или q(x). Таким образом, мы можем записать p(x) = x5 − 2×3 + 8x + 3 или q(x) = x4 − x2 + 1. Это позволяет нам удобно подставлять значения x, когда это необходимо.

Общий многочлен имеет вид

p(x) = anxn − an − 1xn − 1 + … + a1x + a0,

, где an ≠ 0, а n — целое число. Коэффициенты, как правило, действительные числа.

УПРАЖНЕНИЕ 1

Запишите старший член, старший коэффициент, степень и постоянный член в приведенном выше общем многочлене.

Для полиномов малых степеней мы используем следующие имена.

• многочлен степени 1 называется линейным
• полином второй степени называется квадратичным
• многочлен степени 3 называется кубическим
• полином степени 4 называется квартикой
• многочлен степени 5 называется квинтикой

Многочлен, состоящий только из ненулевой константы, называется постоянным многочленом и имеет степень 0. Многочлен p(x) = 0 называется нулевым многочленом. У него нет терминов, а значит, нет и ведущего члена. Лучше не определять степень нулевого полинома. В некоторых книгах его степень указывается как −1 или −∞.

Сложение, вычитание и умножение многочленов

Чтобы сложить или вычесть два многочлена, собираем одинаковые члены.

ПРИМЕР

Пусть p(x) = 3×4 − 2×2 + x − 1, q(x) = 7×5 + 2×2.

Найдите a p(x) + q(x) b p(x) − q(x) c2p(x) − 3q(x).

Решение

a p(x) + q(x) = 7×5 + 3×4 + x − 1

b p(x) − q(x) = −7×5 + 3×4 − 4×2 − 1

c2p(x) − 3q (x) = 14×5 − 9×4 + 10×2 − 3x + 3.

Обратите внимание, что мы обычно записываем члены полинома от наибольшей степени к наименьшей. Это иногда называют стандартной формой многочлена.

Чтобы умножить два многочлена, мы умножаем каждый член первого многочлена на второй многочлен и собираем одинаковые члены.

ПРИМЕР

Многочлены P(x), Q(x) и R(x) задаются формулой P(x) = x3 − 2×2 + x − 1, Q(x) = 3×3 − 2×2 и R(x) = −x4 + 2×3 − 3×2. Найти:

a P(x)Q(x) b Q(x)R(x)

Решение

a		П(х)В(х)	= (х3 — х2 + х — 1)(3х3 — 2х2)
			= х3(3х2 — 2х2) — х2(3х3 — 2х2) + х(3х3 — 2х2) — (3х3 — 2х2)
			= 3×6 — 2×5 — 3×5 + 2×4 + 3×4 — 2×3 — 3×3 + 2×2
			= 3х6 — 5х5 + 5х4 — 5х3 + 2х2
б		К(х)Р(х)	= (3×3 — 2×2)(-x4 + 2×3 — 3×2)
			= 3×3(−x4 + 2×3 − 3×2) − 2×2(−x4 + 2×3 − 3×2)
			= -3×7 + 6×6 — 9×5 + 2×6 — 4×5 + 6×4
			= -3×7 + 8×6 — 13×5 + 6×4

УПРАЖНЕНИЕ 2

a Возведение в квадрат многочлена p(x) = 2×3 − x + 1.

b Закончите утверждения:

i При умножении двух ненулевых многочленов степень произведения равна .. …..

ii Постоянный член произведения двух многочленов равен ……….

Деление многочленов

При делении одного целого числа на другое получается частное и остаток. Таким образом, получается 7, остаток 2. Есть разные способы записать этот результат.

• 37 ÷ 5 равно 7 остаток 2
• 37 ÷ 5 = 7
• 37 = 7 × 5 + 2

В выражении 37 ÷ 5 равно 7 остаток 2

• число 5, на которое мы делим, называется делителем
• число 37, на которое мы делим, называется делимым
• число 7 называется частным
• число 2 называется остатком

Ключевым моментом остатка является то, что он неотрицательный, но строго меньше делителя. Таким образом, используя третье представление, при делении двух целых чисел p и d > 0 мы можем записать

p = dq + r, где 0 ≤ r ≤ d.

Если остаток равен нулю, то мы можем сказать, что d является фактором p.

Эти основные положения арифметики имеют аналоги, когда мы приходим к делению одного многочлена на другой. Мы будем использовать ту же терминологию при обсуждении полиномиального деления. Процесс выполнения этого смоделирован на длинном делении.

Деление многочлена p(x) на многочлен d(x) также дает частное q(x) и остаток r(x), поэтому мы можем записать

p(x) = d(x)q (х) + г(х).

Основная идея при выполнении деления состоит в том, чтобы продолжать работать с ведущими терминами, как показано в следующем примере.

ПРИМЕР

Разделим многочлен p(x) = 5×4 − 7×3 + 2x − 4 на многочлен d(x) = x − 2, а затем представим деление в виде p(x) = d(x )q(x) + r(x).

Решение

	5×3	+	3×2	+	6x	+	14
х — 2	5×4	—	7×3			+	2x	—	4		(Разделить x на 5×4, получится 5×3. )
	5×4	—	10×3								(Умножьте x − 2 на 5×3, а затем вычтите.)
			3×3			+	2x	—	4		(Разделить x на 3×3, получится 3×2.)
			3×3	—	6×2						(Умножить x − 2 на 3×2 и затем вычесть. )
					6×2	+	2x	—	4		(Разделить х на 6х2, получится 6х.)
					6×2	—	12x				(Умножьте x − 2 на 6x, а затем вычтите.)
							14x	—	4		(Разделить х на 14х, получится 14. )
							14x	—	28		(Умножьте x − 2 на 14, а затем вычтите.)
									24		(Это последний остаток.) ​​

Следовательно, 5×4 − 7×3 + 2x − 4 = (x − 2)(5×3 + 3×2 + 6x + 14) + 24. (1)

В этом примере мы видим, что частное равно q(x) = 5×3 + 3×3 + 6x − 14, а остаток равен r(x) = 24.

Мы можем выполнить частичную проверку, подставив x = 2 в последнюю строку.

Из приведенного примера видно, что степень остатка меньше степени делителя, так как в противном случае мы могли бы продолжить деление. Таким образом, в случае, когда — линейный множитель, остаток будет постоянным, и поэтому мы можем записать его как .

В общем, теперь мы можем написать p(x) = d(x)q(x) + r(x), где r(x) = 0, или 0 ≤ степеней (r(x)) < степеней ( д(х)).

УПРАЖНЕНИЕ 3

Разделите p(x) = 5×4 − 7×3 + 2x − 4 на d(x) = x2 − 2. Результат представим в виде
p(x) = d(x)q(x) + r(x), где степень r(x) меньше степени d(x).

Обратите внимание, что в этом случае, поскольку делитель имеет степень 2, остаток будет либо равен 0, либо будет иметь степень не более 1.

Теорема об остатках интересует остаток. Это не появляется до конца вычисления. Когда мы делим многочлен p(x) на линейный множитель (x − a), мы можем довольно легко найти остаток.

Поскольку делитель линейный, p(x) = (x − a)q(x) + r, где r — константа. Подставив x = a в обе части, мы получим r = p(a).

Таким образом, остаток равен многочлену, вычисленному при x = a.

Этот удивительный результат называется теоремой об остатках. Мы должны иметь в виду, что он вообще ничего не говорит о частном q(x) и работает только тогда, когда мы делим на линейный множитель (x − a).

ПРИМЕР

Найдите остаток при делении p(x) = x4 − 3×2 − 10x + 2 на 9.0005

а (х — 3) б (х + 4) в (2х — 1)

раствор

а

Остаток равен p(3) = 81 − 27 − 30 + 2 = 26

b

Поскольку (x + 4) = (x − (−4)), остаток равен p(−4) = 256 − 48 + 40 + 2 = 250

c

Запишите p(x) = (2x − 1)q(x) + r, так что мы можем получить r, подставив x = в обеих частях. Следовательно, остаток равен r = − − 5 + 2 = −.

УПРАЖНЕНИЕ 4

Многочлен p(x) = x5 − 7×3 + ax + 1 имеет остаток 13 после деления на x − 1. Найдите значение коэффициента a.

Факторная теорема

Квадратичная факторизация — важный метод, который мы использовали для решения квадратных уравнений. Аналогичным образом мы хотели бы иметь возможность разработать некоторые методы факторизации многочленов.

Если линейный полином (x − a) является множителем полинома p(x), то мы можем написать
p(x) = q(x)(x − a), и поэтому остаток, когда p(x) равно деленное на (x − a), равно 0.
Используя теорему об остатках, мы доказали:

Теорема

(x − a) является фактором полинома p (x), если p (a) = 0. Если p (a) ≠ 0, то

(x − a) не является фактором p (x).

Число a, которое дает p(a) = 0, называется нулем многочлена.

ПРИМЕР

Что из следующего является множителями p(x) = x3 − 6×2 + 11x − 6?

а(х — 2) б (х + 1) с (х — 1).

Раствор

и

p(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0, поэтому (x − 2) является множителем p(x).

б

p(−1) = − 1 − 6 − 11 − 6 ≠ 0, поэтому (x + 1) не является множителем p(x).

в

p(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, поэтому (x − 1) является множителем p(x).

Обратите внимание, что поскольку (x − 2) и (x − 1) оба являются множителями p(x), то и их произведение
(x − 2)(x − 1) = x2 − 3 x + 2. Мы могли бы таким образом, найдите третий множитель делением в длину.
Деление p(x) на x2 − 3x + 2 дает (x − 3) в качестве третьего множителя, и поэтому мы имеем
после факторизации,

р(х) = х3 — 6х2 + 11х — 6 = (х — 1)(х — 2)(х — 3).

Альтернативный метод

Поскольку p(2) = 0 и p(1) = 0, а p(x) имеет степень 3, мы можем записать p(x) = (x − 2)(x − 1) (x − а)

Где а — число, подлежащее определению. Поскольку p(0) = −6, то −2a = −6, поэтому a = 3.

УПРАЖНЕНИЕ 5

Многочлен p(x) = 3×6 − 5×3 + ax2 + bx + 10 делится на x + 1 и x − 2. Найдите значения коэффициентов a и b.

Факторные полиномы

Наша цель — взять многочлен с целыми коэффициентами и записать его как произведение многочленов меньшей степени, которые также имеют целые коэффициенты. Этот процесс называется факторингом целых чисел.

Факторная теорема позволяет нам проверить, имеет ли полином p(x) линейный множитель (x − a). Если это так, то мы можем использовать длинное деление, чтобы найти полином q(x) такой, что p(x) = (x − a)q(x) и q(x) имеет степень на единицу меньше, чем степень p(x ). Таким образом, мы можем повторять процесс над q(x) и так далее как можно чаще, чтобы получить полную факторизацию p(x).

Например,

Начнем с многочлена p(x) = x3 + 4×2 — 7x — 10.

• Мы систематически ищем один линейный множитель, проверяя числа a = 1, — 1, 2, -2 , … пока не найдем целочисленное значение a такое, что p(a) = 0,

p(1) = −12 ≠ 0, p(−1) = 0, поэтому (x + 1) является множителем.

• Затем мы используем длинное деление, чтобы разделить p(x) на (x + 1), чтобы получить p(x) = (x + 1)(x2 + 3x — 10).

Теперь квадратное число q(x) = x2 + 3x − 10 можно разложить на множители, используя наши знания о квадратичных уравнениях, как (x + 5)(x − 2), и поэтому полная факторизация p(x) равна

р(х) = (х+1)(х + 5)(х — 2).

Чтобы помочь нам найти целочисленный нуль полинома, мы используем следующий результат.

Теорема

Если многочлен

p(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0

имеет целое число нуль a, то a является множителем постоянного члена a0.

Таким образом, в приведенном выше примере единственными возможными целыми нулями являются ±1, ±2, ±5 или ±10.

УПРАЖНЕНИЕ 6

Объясните, почему приведенная выше теорема верна.

ПРИМЕР

Разложите полином p(x) = x4 − 2×3 − 8x + 16 на множители.

Решение

• Нам нужно только проверить положительные и отрицательные множители числа 16.
  P(1) = 1 − 2 − 8 + 16 ≠ 0, поэтому x — 1 не является множителем p (x).
  P(−1) = 1 + 2 + 8 + 16 ≠ 0, поэтому x + 1 не является множителем p(x).
  P(2) = 16 — 16 — 16 + 16 = 0, поэтому x — 2 является множителем.
  После деления p(x) на x − 2 в длину p(x) = (x − 2)(x3 − 8)
  
• Пусть Q(x) = x3 − 8,
  x − 1 и x + 1 не являются факторами Q(x), поскольку P(x) = (x − 2)Q(x), и они не являются факторами P(x).
  Однако Q(2) = 8 − 8 = 0, поэтому x − 2 также является фактором Q(x).
  После длинного деления Q(x) на x − 2 получается Q(x) = (x − 2) (x2 + 2x + 4).
  
• Квадратное число x2 + 2x + 4 нельзя разложить на множители, см. ниже.
  Следовательно, P(x) = (x − 2)2(x2 + 2x + 4) является полной факторизацией P(x).

Обратите внимание, что квадратное число x2 + 2x + 4 = (x + 1) 2 + 3, которое всегда больше или равно 3, следовательно, квадратичное число не имеет множителей.

УПРАЖНЕНИЕ 7

Сначала удалив очевидный общий множитель, разложите на множители многочлен
p(x) = 2×5 − 22×4 + 78×3 − 90×2.

Полиномиальные уравнения

Одним из основных методов решения квадратных уравнений был метод факторизации. Точно так же одно из основных применений факторинговых полиномов — решение полиномиальных уравнений.

ПРИМЕР

Решить x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0

Решение

В предыдущем примере мы разложили полином 9 на множители. 1359 p(x) = x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0 как (x + 1)(x + 5)(x — 2).

Таким образом, уравнение x3 + 4 x2 — 7x — 10 = 0 становится (x + 1)(x + 5)(x — 2) = 0

Поскольку произведение трех множителей равно нулю, мы можем приравнять каждое фактор к нулю, чтобы найти решения. Таким образом, x + 1 = 0 или x — 2 = 0 или x + 5 = 0, что дает x = -1, x = 2 или x = -5.

Примечание. Полином p(x) = (x − 1)(x − 2) 2(x − 4) 3 имеет степень 6, но уравнение полинома (x − 1)(x − 2)2(x − 4) 3 = 0 имеет только 3 (различных) решения x = 1 или x = 2 или x = 4. Таким образом, количество (различных) решений может быть меньше степени, но никогда не может превышать степень.

УПРАЖНЕНИЕ 8

Используйте факторизацию p(x) = 2×5 − 22×4 + 78×3 −90×2 из приведенного выше упражнения, чтобы решить уравнение 2×5 − 22×4 + 78×3 − 90×2 = 0.

В некоторых ситуациях результаты факторизации в квадратном уравнении, не имеющем действительных решений или иррациональных решений. В этом случае нам может понадобиться завершить задачу, используя квадратичную формулу.

ПРИМЕР

Решить x4 + 7×3 − 2×2 − 7x + 1 = 0 1).

Следовательно, уравнение принимает вид (x − 1)(x + 1)( x2 + 7x − 1) = 0.

Таким образом, решения равны x = 1, x = −1, а решения x2 + 7x − 1 = 0.

Используя формулу квадратного уравнения, b2 − 4ac = 49 + 4 = 53, поэтому квадратное уравнение имеет решения
x = и x = .

Следовательно, квартика имеет четыре решения x = 1, −1 и x = .

Обратите внимание, что существуют полиномиальные уравнения с иррациональными корнями, которые нельзя решить с помощью описанной выше процедуры. Например, многочлен p(x) = x5 − 3×3 − 2×2 + 6 делит на
(x2 − 3)(x3 − 2), поэтому уравнение x5 − 3×3 − 2×2 + 6 = 0 имеет решения, x = , x = − и x = .

В общем, разложение полиномов над целыми числами — сложная задача. Многочлен
x3 − 2, например, нельзя разложить на множители по целым числам, но он имеет одно действительное решение, x = .

Зарисовка полиномиальных функций

Полиномиальная функция — это функция вида y = p(x), где p(x) — многочлен.

В модуле «Квадратичные функции» мы увидели, как нарисовать график квадратичной
, найдя

• перехваты
• нахождение вершины.

Вершина является примером поворотной точки.

Для многочленов степени выше 2 нахождение точек поворота не является элементарной процедурой и обычно требует использования исчисления, однако:

Чтобы найти точки пересечения по оси x, положим y = 0 и, если возможно, решим соответствующее полиномиальное уравнение.

Возьмем многочлен y = x3 + x2 − 6x = x(x − 2)(x − 3).

Пересечение по оси y равно 0, а пересечение по оси x происходит, когда x(x − 2)(x − 3) = 0, то есть когда x = 0, 2 и 3.

Чтобы получить представление об общей форме кривой, мы можем заменить некоторые контрольные точки.

Мы можем представить знак y, используя диаграмму знаков:

Имея эту информацию, мы можем начать рисовать график y = x(x − 2)(x + 3).

Диаграмма знаков говорит нам о том, что график пересекает ось x в точках x = −3, 0 и 2, а также о том, находится ли график выше или ниже оси a по обе стороны от этих точек. Он не сообщает нам максимальное и минимальное значения y между нулями.

Обратите внимание, что если x — большое положительное число, то p(x) также большое и положительное число. Например, если x = 10, то y = 1040. Если x — большое отрицательное число, то p(x) — также большое отрицательное число. Например, если x = -10, то y = -840.

УПРАЖНЕНИЕ 9

Нарисуйте график y = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2).

Графики полиномов с повторяющимися множителями

Полиномиальные функции, такие как p(x) = 3(x − 1)2(x + 3)5(x − 4), которые содержат повторяющиеся множители, требуют особого внимания.

Если мы исследуем, например, размер x4 для различных значений x, мы заметим, что

• x4 положителен как для положительных, так и для отрицательных значений x
• для значений x между −1 и 1 размер x4 меньше, чем значение x.

Графически это говорит нам о том, что график y = x4 имеет минимум при x = 0 и что вблизи x = 0 график довольно плоский, но начинает резко возрастать при x > 1 и при x < −1.

Графики y = x2 и y = x4 показаны для сравнения.

Оба этих графика имеют минимум при x = 0. В случае параболы мы называем это вершиной, но обычно не используем это слово для многочленов более высокой степени. Вместо этого мы говорим о поворотной точке и далее классифицируем ее как максимум или минимум.

Графики y = −x2 и y = −x4 имеют максимум при x = 0.

Четные степени

То же самое происходит для всех положительных четных степеней x и для четных степеней (x − а). Следовательно, вблизи нуля полинома, который возникает из множителя с четной степенью, график имеет минимум или максимум и является «плоским» вблизи этого нуля.

Нечетные степени

График y = (x − 2) пересекает ось x в точке x = 2, но не имеет там ни максимума, ни минимума. Поскольку это прямая линия, график в этой точке не плоский, а имеет уклон в 45°. С другой стороны, график y = (x − 2)3 ведет себя несколько иначе при
x = 2. В дальнейшем мы будем рассматривать нечетные степени, большие или равные 3.

Поскольку нечетная степень отрицательного числа отрицательна, диаграмма знаков показывает, что
значений y графика y = x3 перемещаются от от отрицательного к положительному по мере того, как значения x изменяются от -1 до 1. Как и выше, график плоский вблизи начала координат.

Отсюда график y = x3 выглядит так:

В начале координат нет ни максимума, ни минимума. Точка x = 0 называется точкой заражения кривой.

ПРИМЕР

Постройте график y = 2×3(x − 2)2.

Решение

График проходит через начало координат и пересекает ось x в точках x = 0 и x = 2. При x = 0 график имеет точку перегиба, а при x = 2 имеет минимум. Схема знака есть.

График:

УПРАЖНЕНИЕ 10

Нарисуйте график полиномиальной функции p(x) = (x + 3)3(x − 1)3. (Вы должны обнаружить, что граф симметричен относительно x = −1, понимаете, почему?)

Ссылки Вперед

Основная теорема алгебры

Нули полинома также называют корнями соответствующего полиномиального уравнения.

Полиномиальное уравнение x2− 4 = 0 имеет два целых корня, x = 2, x = −2, а уравнение x2 − 2 = 0 имеет два действительных корня, x = , x = −. С другой стороны, уравнение x2 + 2 = 0 не имеет действительных корней. Более того, уравнение x3 − 1 = 0, которое факторизуется как (x − 1)(x2 + x + 1 = 0), имеет только один действительный корень, поскольку квадратное выражение x2 + x + 1 = 0 не имеет решений.

Чтобы правильно понять, сколько решений может иметь полиномиальное уравнение, нам нужно ввести комплексные числа. Комплексное число — это число вида a + ib, где a, b — действительные числа, а i2 = − 1. Комплексное число i часто называют мнимым числом. Обратите внимание, что если мы положим b = 0, мы получим действительное число, и поэтому комплексные числа содержат множество всех действительных чисел.

Таким образом, хотя уравнение x2 + 1 = 0 не имеет действительных решений, оно имеет два комплексных решения, x = i и x = −i, и многочлен x2 + 1 можно разложить на множители как (x − i)( х + я).

Великий математик Гаусс (1777−1855) впервые доказал следующий удивительный результат, который стал известен как Основная теорема алгебры.

Теорема

Каждое полиномиальное уравнение степени больше 0 имеет хотя бы одно комплексное решение.

Учитывая этот результат, несложно показать, что:

Следствие

Каждое полиномиальное уравнение степени n, большей 0, имеет ровно n решений, учитывая кратность, над комплексными числами.

УПРАЖНЕНИЕ 11

Объясните, как можно вывести следствие из теоремы.

Следовательно, каждый полином степени n, большей 0, может быть разложен на n линейных множителей с использованием комплексных чисел.

Обратите внимание, что выражение с подсчетом кратности означает, что, например, для полиномиального уравнения (x − 2)3(x + 1) 2 = 0 мы говорим, что его корни равны x = 2, 2, 2, −1, − 1. Таким образом, мы говорим, что x = 2 является корнем кратности 3, а x = −1 является корнем кратности 2. Однако уравнение имеет только два (различных) корня.

Поворотные точки

Вершина параболы является примером поворотной точки. Координата x точки поворота параболы y = ax2 + bx + c определяется выражением x = −. Координаты x точек поворота многочлена найти не так просто и требуют использования дифференциального исчисления, которое изучается в высшей математике.

Корни многочлена

Предположим, что мы можем разложить моническую квадратичную функцию x2 + bx + c как (x − α)(x − β). Раскрывая, мы видим, что сумма корней α + β равна −b, а произведение корней ab равно c.

Мы можем выполнить аналогичное упражнение на моник-кубиках. То есть, если корнями куба
x3 + bx2 + cx + d являются α, β, γ, то можно показать, что

α + β + γ = −b, αβ + αγ + βγ = c и αβγ = −d,

Эти тождества задают отношения между корнями многочлена и его коэффициентами.

УПРАЖНЕНИЕ 12

Выведите приведенные выше формулы.

История

Изучение уравнений степени больше двух восходит к арабской математике. Омар Хайям (1048–1141 гг.) провел большую часть своей жизни, пытаясь решить различные случаи кубического уравнения. Только в эпоху Возрождения было получено общее решение кубического. Точные детали отрывочны, но итальянский математик Кардано (1501–1576 гг.) сумел разгадать тайну решения кубического уравнения своего соотечественника Тартальи и включил ее в свой труд Ars Magna («Великое искусство»), опубликованный в 1545 году9.0005

Кубик

Кардано показал, как привести любое кубическое уравнение к виду x3 + px + c = 0, а затем, сделав замену x = u − v, свести задачу к решению квадратного уравнения. На практике проще положить x = u + v.

УПРАЖНЕНИЕ 13

Положим x = y − в уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0, чтобы показать, что полученное уравнение не содержит членов степени 2.

ПРИМЕР

Решите x3 + 3x — 1 = 0, используя замену x = u + v.

Решение

Преобразовывая уравнение и подставляя, мы имеем

(u + v)3 = −3(u + v) + 1.

Теперь мы расширяем левую часть и делим 3uv от двух членов, чтобы получить

u3 + v3 + 3uv(u + v) = 1 −3(u + v).

Приравнивая коэффициенты (u + v) с обеих сторон и приравнивая остальные члены,
получаем

u3 + v3 = 1 , 3uv = −3.

Кубирование второго уравнения дает

u3 + v3 = 1 , u3v3 = −1 ,

На этом этапе у нас есть два числа u3, v3, сумма и произведение которых нам известны. Отсюда
они будут удовлетворять квадратному уравнению z2 − z − 1 = 0, имеющему решения z = или
z = . Эти решения представляют числа u3 + v3 в любом порядке, поэтому, взяв кубические корни, мы получим следующее решение исходного уравнения:

x = u + v = + .

Это единственное реальное решение уравнения.

УПРАЖНЕНИЕ 14

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы выразить это в десятичной форме и проверить, удовлетворяет ли оно исходному уравнению
.

Квартика

Решение общего уравнения четвертой степени вскоре было найдено учеником и протеже Кардано Феррари. Он открыл способ сведения задачи решения
квартики к задаче решения кубики.

В обоих случаях решение данного уравнения можно выразить с помощью квадратных и высших корней и обычных арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Такой раствор часто называют раствором с использованием радикалов. Решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 равны x = и x = −, поэтому квадратное уравнение также можно решить с помощью радикалов.

Прошло несколько сотен лет, прежде чем Абель (1802−1829) и Галуа (1811−1832) поняли, что невозможно найти решение общего уравнения пятой степени или общего уравнения более высокой степени, используя радикалы. Очевидно, некоторые уравнения более высоких степеней можно решить с помощью радикалов, например, x5 − 32 = 0, но в общем случае это невозможно.

Корни многочленов

Несмотря на то, что работа Кардано стала крупным прорывом, оставалось еще много вопросов, касающихся многочленов, без ответа. В 17 веке Декарт нашел критерий, известный как правило знаков Декарта, для определения числа положительных действительных корней многочлена, а Ньютон открыл так называемые тождества Ньютона, которые находят и связывают формулы для суммы k-х степеней. корней многочлена. В 18 и 19века великие математики Эйлер, Лагранж, Эйзенштейн и Гаусс еще больше расширили наше понимание полиномов и полиномиальных уравнений. Это привело к развитию того, что сегодня называется современной алгеброй, которая занимается изучением алгебраических структур.

Разложение полиномов на множители

Выше мы видели, что при изучении полинома нам нужно указать, какие решения/факторы мы ищем. В частности, предположим, что p(x) — полином со степенью больше 0 и действительными коэффициентами

• над комплексными числами p(x) делит на линейные множители
• над действительными числами p(x) имеет все свои множители либо линейные, либо квадратичные
• над рациональными числами можно найти полиномы сколь угодно большой
  степени, которые являются неприводимыми, т. е. не могут быть выражены в виде произведения
  двух многочленов с рациональными коэффициентами, каждый меньшей степени.

Основная теорема алгебры используется для демонстрации первого из этих утверждений. Чтобы получить второе, нам нужно знать тот факт, что, когда у нас есть многочлен с действительными коэффициентами, любые комплексные корни будут встречаться парами, известными как сопряженные пары. То есть, если a + ib — корень, то и a — ib тоже. Этот факт можно использовать для доказательства второго утверждения.

УПРАЖНЕНИЕ 15

(Требуется небольшое знание комплексных чисел.)

Предположим, что все коэффициенты многочлена p(x) = anxn − an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 действительны.

и

Если α = a + ib является решением полиномиального уравнения, p(x) = anxn − an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 = 0, покажи, что = a − ib также является решением.

б

Покажите, что если x − α является множителем p(x), где α = a + ib является комплексным числом, то квадратное (x − α)(x − ) также является множителем p(x) и что (x − α)(x − ) имеет действительные коэффициенты.

в

Сделайте вывод, что каждый многочлен с действительными коэффициентами теоретически может быть разложен на множители как произведение линейных и/или квадратичных множителей с действительными коэффициентами. (Обратите внимание, что на практике это может быть очень сложной задачей.)

Эйзенштейн (ок. 1850 г.) предложил следующий остроумный тест на неприводимость полиномов над рациональными числами.

Рассмотрим многочлен p(x) = anxn − an − 1xn − 1 + … + a1x + a0, где все коэффициенты целые. Предположим, что мы можем найти простое число p, которое не делится на старший коэффициент an, но делит все остальные коэффициенты. Тест говорит, что если квадрат того же простого числа не делит постоянный член, т. е. p2 + a0, то p(x) неприводимо над рациональными числами.

ПРИМЕР

Многочлен p(x) = 5×7 + 6×6 − 15x 4 + 12x − 21 удовлетворяет критериям Эйзенштейна с простым числом p = 3, поэтому p(x) не может быть выражен в виде произведения двух многочленов, каждый из которых имеет меньшую степень с целыми коэффициентами. То есть р(х) неприводим.

УПРАЖНЕНИЕ 16

Объясните, как построить многочлен произвольно большой степени, который нельзя разложить на множители по рациональным числам.

Серия Маклорена

В 17-м и 18-м веках математики сделали замечательное открытие, что такие функции, как y = sin x и y = cos x, могут быть выражены с помощью «бесконечных многочленов», то есть многочленов, степени x которых продолжаются бесконечно . Они называются силовыми рядами. Так, например,

sin x = x − + − + …,

, где очевидная закономерность сохраняется навсегда. Обозначение n! (читается как n факториал) — это сокращение от n(n − 1)(n − 2) … 3.2.1. Таким образом 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Эти бесконечные ряды часто называют рядами Маклорена, и они имеют очень широкое применение как в математике, так и в физике.

До сих пор остаются нерешенными проблемы, связанные с полиномами. В приложении ниже в общих чертах обсуждается замечательное применение полиномов в современных телекоммуникациях.

Приложение

Применение полиномов к кодам с исправлением ошибок

Оцифровка информации

Информация обычно оцифровывается путем преобразования ее в последовательность нулей и единиц. Например, код ASCII для цифры 1 и буквы A — «1»  1000110 и «A»  1000001. Здесь мы будем предполагать, что все рассматриваемые сообщения представляют собой конечные последовательности нулей и единиц.

Когда ваш мобильный телефон отправляет или получает сообщения или данные отправляются со спутников, находящихся глубоко в космосе, информация может быть потеряна или повреждена по пути к месту назначения.

Поскольку информация отправляется в виде последовательностей 0 и 1, «искаженный» 0 становится 1 и наоборот.

Простая проверка на наличие ошибок заключается в добавлении контрольной цифры, чтобы в строке было четное количество единиц и, следовательно, сумма цифр была четной.

Таким образом, мы кодируем 1 как 10001101, а A как 10000010.

Теперь, если байт передан и один из битов поврежден, то количество единиц становится нечетным, и получатель может запросить повторную передачу.

Этот код может обнаружить одну ошибку, но не может ее исправить.

Многочлены по модулю 2

Многочлен по модулю 2 — это многочлен, коэффициенты которого равны 0 или 1. Затем выполняются арифметические действия по модулю 2, так что 0 + 1 = 1 + 0 = 1 и 1 + 1 = 2 = 0.

Выполняем сложение по модулю 2.

ПРИМЕР

Если p(t) = t3 + 1 + 1, q(t) = t4 + t3 + t2 + 1

Тогда p(t) + q(t) = t4 + 2t3 + t2 + 2t + 2 = t4 + t2.

Умножение выполняется аналогично.

Решение

p(t) = t3 + 1 + 1, q(t) = t + 1, тогда

p(t) × q(t) = (t3 + t + 1)(t + 1) = t4 + t3 + t2 + 2t + 1 = t4 + t3 + t2 + 1

Кодирование

Зафиксируем теперь многочлен m1(t) = t3 + t + 1.

Этот многочлен нельзя факторизовать по модулю 2, поскольку возможны только корни 0 и 1, и ни один из них не работает.

Теперь предположим, что многочлен m1(t) имеет корень a. То есть a обладает тем свойством, что
α3 + α + 1 = 0 или α3 = α + 1 (напомним, что по модулю 2, −1 = 1)

Это число α очень интересно, и, используя приведенное выше уравнение, мы можем составить таблицу его степеней.

Мощность | Упрощенная форма

	α	| α
	α2	| α2
	α3	| α + 1
	α4	| α2 + α
	α5	| α2 + α + 1
	α6	| α2 + 1
	α7	| 1

Например, чтобы получить α5, мы умножаем α4 = α2 + α на α5 = α3 + α2 и заменяем α3 на α + 1, чтобы получить α5 = α + 1 + α2.

Таким образом, мы можем записать все степени α как комбинации 1, α и α2 (!!)

Теперь о кодах.

Мы начинаем с сообщения (a, b, c, d) в двоичном формате длиной 4, добавляем 3 контрольных цифры, чтобы получить
(a, b, c, d, x, y, z). Мы используем их как коэффициенты многочлена

p(t) = at6 + bt5 + ct4 + dt3 + xt2 + yt + z.

Цифры x, y, z выбраны так, что p(t) делится на полином m1(t) = t3 + t + 1

Поскольку a является корнем m1(t), он также является корнем p(t) и поэтому p(a) = 0.

ПРИМЕР

Возьмите сообщение (1, 0, 0, 1) и закодируйте его как (1, 0, 0, 1, x, y, z). Преобразуя в многочлен, имеем

	р(т)	= t6 + t3 + xt2 + yt + z.
Подставив t = a и упростив таблицу, мы получим
	п(а)	= а6 + а3 + ха2 + уа + з.
		= (а2 + 1) + (а + 1) + ха2 + уа + г
		= а2 (х + 1) + а (у + 1) + z.

Теперь, если мы возьмем x = 1, y = 1, z = 0, то p(a) будет равно нулю. Следовательно, мы кодируем сообщение
(1, 0, 0, 1) как (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0). Мы назовем полином, соответствующий отправленному сообщению, C(t), поэтому C(a) = 0.

Исправление ошибок

Предположим, что в пятом числе слева возникает одна ошибка, поэтому мы получаем сообщение (1, 0 , 1, 1, 1, 1, 0).

Таким образом, коэффициент t4 неверен и полином для полученного сообщения равен

R(t) = C(t) + t4

Подставляя t = α, мы получаем

R(α) = C(α) + α4 = α4

и, таким образом, мы знаем, где ошибка.

В общем случае, если бы в й цифре была ровно одна ошибка, мы бы получили

R(t) = C(t) + ti.

Тогда R(α) = C(α) + αi = αi, и вычисление R(a) дает позицию неправильной цифры.

Если R(α) = 0, то ошибок не было. Этот процесс, конечно, предполагает, что не более 1
Возникла ошибка.

ПРИМЕР

Допустив не более одной ошибки, исправьте и расшифруйте сообщение (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1).

Решение

Преобразуя в многочлены, имеем

R(t) = t6 + t3 + 1

и, следовательно,

R(α) = α6 + α3 + 1 = α2 + 1 + α + 1 + 1 = α2 + α + 1 = α5

Итак, исправленное сообщение было (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1), которое декодируется как (1, 1, 0, 1).

Исправление более одной ошибки

Описанная выше процедура кодирования и исправления работает только в том случае, если при передаче произошла не более одной ошибки.

Полиномиальный метод может быть расширен для обнаружения и исправления более чем одной ошибки.
Детали этих кодов немного сложнее, но в них используются те же идеи, что и выше.

Коды, используемые для исправления множественных ошибок, называются кодами БЧХ и были открыты (независимо) Боузом и Чаудхури (в 1960 г.) и Хоквингемом (в 1959 г.) — отсюда и название БЧХ.

Хотя арифметика теперь становится очень сложной, она легко выполняется компьютером, и могут быть созданы коды, которые могут обнаруживать и исправлять произвольное количество ошибок.

Современные коды исправления ошибок, используемые в технологии мобильных телефонов, снова более сложны, но в основном используют механизмы, описанные выше.

В последнее время коды Рида-Соломона, которые являются типом кода BCH, использовались в таких приложениях, как спутниковая связь, проигрыватели компакт-дисков, DVD и дисководы.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

УПРАЖНЕНИЕ 1

Старший член: anxn

Старший коэффициент: an

Степень: n

Постоянный член: a0

УПРАЖНЕНИЕ 2

a 4×6 − 4×4 + 4×3 + x2 − 2x + 1

b i…. сумма степеней многочленов

ii… произведение констант

УПРАЖНЕНИЕ 3

5×4 − 7×3 + 2x − 4 = (x2 − 2)(5×2 − 7x + 10) + (−12x + 16)

УПРАЖНЕНИЕ 4

a = 18

УПРАЖНЕНИЕ 5

a = −33 и b = −15

УПРАЖНЕНИЕ 6

−а1а. Следовательно, а делит а0.

Упражнение 7

2×2 (x — 3) 2 (x — 5)

Упражнение 8

x = 0 или x = 3 или x = 5

Упражнение 9

. 11

Для полиномиального уравнения P(x) = 0 существует решение x = a по теореме. Следовательно, x − a является фактором P(x) и P(x) = (x − a)Q(x). Уравнение Q(x) = 0 также имеет решение, поэтому по теореме можно найти новый линейный множитель.

УПРАЖНЕНИЕ 12

(x − α)(x − β)(x − γ) = x3 − (α + β + γ)x2 + (αβ + αγ + βγ)x + αβγ = x3 + bx2 + cx + д

Отсюда результат, b = −(α + β + γ) , c = (αβ + αγ + βγ) и d = αβγ

УПРАЖНЕНИЕ 13

y3 — + — + d

УПРАЖНЕНИЕ 14

96 a96 a96

Возьмите конъюгаты обеих сторон. Сопряженное действительное есть то же самое действительное.

б

Непосредственное следствие теоремы о множителях и того факта, что сумма и произведение комплексного числа и его сопряженного числа действительны.

в

Основная теорема и b дают результат

 

Проект улучшения математического образования в школах (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Министерства образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

© Университет Мельбурна от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.