Количество GMAT: Практические вопросы по координатной геометрии

Дополнительные сведения о Координатной геометрии на GMAT см. В следующих статьях:

1) Квадранты в плоскости xy

2) Особые свойства y = x

3) Расстояние между двумя точками

4) Склоны

5) Средние точки и параллельные и перпендикулярные линии

Вот пять новых практических задач по этим темам.

1. Центр окружности Q находится на оси Y, а окружность проходит через точки (0, 7) и (0, –1).Окружность Q пересекает положительную ось x в точке (p, 0). Каково значение p?

2. На диаграмме выше даны координаты трех вершин четырехугольника ABCD. Четырехугольник ABCD имеет площадь больше 30?

Утверждение № 1: точка B имеет координату x 4

Утверждение № 2: четырехугольник ABCD является параллелограммом

3. В плоскости x-y точка F = (3, –2).Точка G находится в точке (3, k), где k — целое число, такое что 5 ≤ k ≤ 40. Если FG должна формировать сторону квадрата, сколько разных квадратов можно создать?

(A) 35
(B) 36
(C) 70
(D) 72
(E) 140

4. В системе координат выше, какое из следующих уравнений является уравнением линии p ?

(A) 3x + 7y = 18
(B) 7x + 3y = 18
(C) 3x — 7y = 18
(D) 7x — 3y = 18
(E) 3x + 7y = –18

5.На графике выше показана линия H. Линия J (не показана) не проходит через первый квадрант. Что из следующего может быть правдой?

I. линия J перпендикулярна линии H

II. линия J параллельна линии H

III. линия J пересекает линию H в третьем квадранте

(A) только I
(B) только II
(C) только I и II
(D) только I и III
(E) I, II и III

Если вы хотите что-то сказать или задать вопрос, сообщите нам об этом в разделе комментариев ниже!

Решения практических задач

1) Центр круга должен быть посередине между (0, 7) и (0, –1) в точке C = (0, 3).Мы знаем, что радиус равен 4. Теперь рассмотрим, как это выглядит:

Здесь C = (0, 3) — центр. От C до (0, 7) — радиус 4, а от C до (0, –1) — также радиус 4. Ну, AC — это другой радиус, поэтому он также имеет длину AC = 4. Обратите внимание, Теперь этот ОСА — прямоугольный треугольник. Мы знаем, что OC = 3 и AC = 4

Ответ = D

2) В этой задаче нижний треугольник ACD имеет основание AC = 8 и высоту от начала до Д, оф 4.Следовательно, площадь ACD = (1/2) (b) (h) = (1/2) (8) (4) = 16. Нам нужно кое-что знать о верхнем треугольнике ABC, чтобы узнать ответ на подскажите вопрос. Мы знаем основание треугольника ABC, AC = 8, но ничего не знаем о высоте.

Утверждение №1: если мы знаем координату x точки B, это нам не поможет. Мы все еще знаем основание AC = 8, но не знаем высоты, а знаем только вертикальную линию, вдоль которой будет проходить точка B. Возможна любая высота. Это заявление, само по себе, является недостаточным .

Утверждение № 2: диагональ любого параллелограмма (т. Е. Линия, соединяющая две противоположные вершины) делит его на два равных треугольника. Что ж, если ABCD — параллелограмм, тогда прямая AC — диагональ, а это значит, что треугольники ADC и ABD должны быть конгруэнтны и иметь одинаковую площадь. Это позволит рассчитать общую площадь и ответить на быстрый вопрос. Одного этого утверждения достаточно .

Ответ = B

3) Идея №1: инклюзивный подсчет.С 5 по 40 включительно не 35, а 36 значений.

Идея № 2: точки F и G имеют одинаковые координаты x, поэтому FG должен быть вертикальным сегментом.

Есть 36 возможных вертикальных сегментов. Любой квадрат со сторонами, параллельными осям x и y, имеет две вертикальные стороны и две горизонтальные стороны. Вертикальный сегмент FG может быть правой или левой стороной квадрата, поэтому для любого вертикального сегмента есть два возможных квадрата.

(36 сегментов) x (2 возможных квадрата) = 72 квадрата

Ответ = D

4) Во-первых, прямая p явно имеет отрицательный наклон.Если наклон отрицательный, это означает, что x и y имеют противоположных знаковых коэффициентов при записи в форме пересечения наклона (т.е. y = mx + b). Таким образом, если мы переместим x на противоположную сторону, чтобы x и y были на одной стороне, тогда они должны будут иметь одинаковых знаковых коэффициентов . Коэффициенты x и y могут быть как положительными, так и отрицательными. Последний вариант не входит в число возможных вариантов ответа. У нас должен быть знак плюса, поэтому ответы (C), и (D), будут удалены сразу.

Обратите внимание, что точка пересечения x приблизительно равна (6, 0) — она ​​может быть точно равна или приблизительно равна этому. Подключите это к трем оставшимся вариантам и посмотрите, что произойдет.

(A) 3 (6) + 7 (0) = 18 ДА, точно верно

(B) 7 (6) + 3 (0) ≠ 18 нет, даже не близко

(E) 3 (6) + 7 (0) = –18 нет, даже не близко

Ответ = A

5) Если линия J не проходит через первый квадрант, то она должна быть линией с отрицательным наклоном и отрицательным пересечением по оси Y.Такая линия может быть перпендикулярна линии H:

Следовательно, Утверждение I равно возможным .

Линия H имеет положительный наклон, а линия J должна иметь отрицательный наклон, поэтому у них нет абсолютно никакого способа иметь одинаковый наклон. Они абсолютно не могут быть параллельны. Следовательно, Заявление II — это невозможно .

И линия H, и линия J проходят через QIII, поэтому нет причин, по которым они не могут там пересекаться.Например:

Следовательно, Заявление III возможно .

Ответ = D

Специальное примечание:

Чтобы узнать, какое место занимает координатная геометрия в «большой картине» GMAT Quant и какие другие концепции Quant вам следует изучить, ознакомьтесь с нашим сообщением под названием:

Какой вид математики входит в GMAT? Разбивка количественных концепций по частотам

Самые популярные ресурсы

О Майке МᶜГарри

Geometry: Answer Key

Answer Key

Здесь представлены ответы и решения для задания «Поместите меня, тренер!». ящики для упражнений, организованные по секциям.

Снятие бремени доказательств

1. Да
2. Теорема 8.3: Если два угла дополняют один и тот же угол, то эти два угла конгруэнтны.

∠A и ∠B дополняют друг друга, а ∠C и ∠B дополняют друг друга.

Дано: ∠A и ∠B дополняют друг друга, а ∠C и ∠B дополняют друг друга.

Докажите: ∠A ~ = ∠C.

Подтверждение взаимосвязи сегментов и углов

1. Если E находится между D и F, тогда DE = DF — EF.

E находится между D и F.

Дано: E находится между D и F

Доказательство: DE = DF — EF.

2. Если → BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC, то m∠ABC = m∠ABC — m∠DBC.

→ BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC.

Дано: → BD делит ABC на два угла, ∠ABD и ∠DBC

Докажите: m∠ABD = m∠ABC — m∠DBC.

3.Биссектриса угла уникальна.

∠ABC с двумя биссектрисами: → BD и → BE.

Дано: ∠ABC с двумя биссектрисами: → BD и → BE.

Доказательство: m∠DBC = 0.

4. Дополнением прямого угла является прямой угол.

∠A и ∠B — дополнительные углы, а ∠A — прямой угол.

Дано: ∠A и ∠B — дополнительные углы, а ∠A — прямой угол.

Докажите: ∠B — прямой угол.

Доказательство взаимосвязи между линиями

1. м∠6 = 105º, м∠8 = 75º
2. Теорема 10.3: Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то альтернативные внешние углы совпадают.

l ‌ ‌ m разрезать поперечно t.

Дано: l ‌ ‌ m с поперечным разрезом t.

Докажите: ∠1 ~ = ∠3.

3. Теорема 10.5: Если две параллельные прямые разрезаются поперечный, то внешние углы на той же стороне поперечного являются дополнительными углами.

l ‌ ‌ m разрезать поперечно t.

Дано: l ‌ ‌ m с поперечным разрезом t.

Доказательство: 1 и ∠3 являются дополнительными.

4. Теорема 10.9: Если две прямые разрезаются трансверсалью так, чтобы чередующиеся внешние углы совпадали, тогда эти прямые параллельны.

Линии l и m нарезаны поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются трансверсалью t, причем ∠1 ~ = ∠3.

Доказательство: l ‌ ‌ m.

5. Теорема 10.11: Если две прямые пересекаются поперечником, то что внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

Линии l и m нарезаны t поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются поперечиной t, ∠1 и ∠3 — дополнительные углы.

Доказательство: l ‌ ‌ m.

Two’s Company. Тройка — это треугольник

1. Равнобедренный тупой треугольник
2. Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

ΔABC — прямоугольный треугольник.

Дано: ΔABC — прямоугольный треугольник, а ∠B — прямой угол.

Докажите: ∠A и ∠C являются дополнительными углами.

3.Теорема 11.3: Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренних углов.

ΔABC с внешним углом ∠BCD.

4.12 шт. ²

5. 30 шт. ²

6. Нет, треугольник с такими длинами сторон нарушил бы неравенство треугольника.

Конгруэнтные треугольники

1. Отражающее свойство: ΔABC ~ = ΔABC.

Симметричное свойство: Если ΔABC ~ = ΔDEF, то ΔDEF ~ = ΔABC.

Переходное свойство: Если ΔABC ~ = ΔDEF и ΔDEF ~ = ΔRST, то ΔABC ~ = ΔRST.

2. Доказательство: Если ¯AC ~ = ¯CD и ∠ACB ~ = ∠DCB, как показано на рисунке 12.5, то ΔACB ~ = ΔDCB.

3. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ∠ACB ~ = DCB, как показано на рисунке 12.8, то ΔACB ~ = ΔDCB.

4. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ∠CAB ~ = ∠CDB, как показано на рисунке 12.10, то ΔACB ~ = ΔDCB.

5. Если ¯CB ⊥ ¯AD и ¯AC ~ = ¯CD, как показано на рисунке 12.12, то ΔACB ~ = ΔDCB.

6. Если ∠P ~ = ∠R и M является средней точкой ¯PR, как как показано на рисунке 12.17, тогда ∠N ~ = ∠Q.

Smiliar Triangles

1. x = 11
2. x = 12
3. 40º и 140º
4. Если ∠A ~ = ∠D, как показано на рисунке 13.6, затем ^BC / _AB = ^CE / _DE .

5. 150 футов.

Открывающиеся двери с похожими треугольниками

1. Если линия параллельна одной стороне треугольника и проходит через середину второй стороны, то она будет проходить через середину третьей стороны.

¯DE ‌ ‌ ¯AC, а D — средняя точка ¯AB.

Дано: ¯DE ‌ ‌ ¯AC, а D — средняя точка ¯AB.

Доказать: E — середина ¯BC.

2. AC = 4√3, AB = 8√, RS = 16, RT = 8√3

3. AC = 4√2, BC = 4√2

Размещение четырехугольника на переднем плане

1. AD = 63, BC = 27, RS = 45
2. ¯AX, ¯CZ и ¯ DY

Трапеция ABCD с ее XB CY на четырех высотах.

3. Теорема 15.5: В воздушном змее одна пара противоположных углов конгруэнтна.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите: ∠B ~ = ∠D.

4. Теорема 15.6: Диагонали воздушного змея перпендикулярны, а диагональ, противоположная конгруэнтным углам, делит другую диагональ пополам.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите: ¯BD ⊥ ¯AC и ¯BM ~ = ¯MD.

5. Теорема 15.9: Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Параллелограмм ABCD.

Дано: Параллелограмм ABCD.

Докажите: ∠ABC ~ = ∠ADC.

6. 144 единиц ²

7 180 шт. ²

8. Кайт ABCD имеет площадь 48 шт. ² .

Параллелограмм ABCD имеет площадь 150 единиц ² .

Прямоугольник ABCD имеет площадь 104 единицы ² .

Ромб ABCD имеет площадь ³⁵ / ₂ шт. ² .

Анатомия круга

1. Окружность: 20π футов, длина ˆRST = ¹⁵⁵ / ₁₈ π футов
2. 9π футов ²
3. 15π футов ²
4. 28º
Окружность

1. ³ / _√34 = ^3√34 / ₃₄
2. ¹ / _√3 = ^√3 / ₃

35 отношение тангенса / ₃ , коэффициент синуса = ^√40 / ₇

коэффициент касания = ⁵ / _√56 = ^5√56 / ₅₆ , коэффициент косинуса = ^√56 / ₉

Выдержки из Полное руководство для идиотов по геометрии © 2004 Дениз Сечей, Ph.D .. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.