ГДЗ решебник по Геометрии 7-11 класс Погорелов

ГДЗ / Решебники / 7 класс / Геометрия 👍 / 7-11 класс Погорелов

Авторы: Погорелов А.В.
Издательство: 1995
Тип материала УМК: 7-11 класс

В дополнение к ответам и разлогим решениям, в ГДЗ по геометрии за 7-11 класс, приведены рисунки и схематические пояснения, которые необходимы для написания правильных выводов и грамотного оформления своей работы. Теоремы и аксиомы здесь приводятся в качестве небольших выкладок из теории и могут быть использованы даже на уроке. Издание 1995-2008 года включает основные параграфы из школьного учебника.

Решебник по геометрии автора для 7-11 классов Погорелова А.В. содержит материал о свойствах фигур, смежных и вертикальных углах, на примерах можно уяснить все признаки равенства треугольником и научиться выполнять графические построения.

Быстрый поиск

19 — 1 20 — 2 20 — 3 20 — 4 20 — 5 20 — 6 20 — 7 20 — 8 20 — 9 20 — 10 20 — 11 20 — 12 20 — 13 20 — 14 21 — 15 21 — 16 21 — 17 21 — 18 21 — 19 21 — 20 21 — 21 21 — 22 21 — 23 21 — 24 22 — 25 22 — 26 22 — 27 22 — 28 22 — 29 22 — 30 22 — 31 22 — 33 22 — 34 22 — 35 22 — 36 22 — 37 22 — 38 22 — 39 23 — 40 23 — 41 23 — 42 23 — 43 23 — 44 23 — 45 23 — 46 23 — 47 23 — 48 23 — 49 24 — 50 24 — 51 30 — 1 30 — 2 30 — 3 30 — 4 30 — 5 31 — 6 31 — 7 31 — 8 31 — 9 31 — 10 31 — 11 31 — 12 31 — 13 31 — 14 31 — 15 31 — 16 31 — 17 31 — 18 31 — 19 31 — 20 31 — 21 32 — 22 32 — 23 32 — 24 32 — 25 32 — 26 43 — 1 44 — 2 44 — 3 44 — 4 45 — 5 45 — 6 45 — 7 45 — 8 45 — 9 45 — 10 45 — 11 45 — 12 45 — 13 46 — 14 46 — 15 46 — 16 46 — 17 46 — 18 46 — 19 46 — 20 46 — 21 47 — 22 47 — 23 47 — 24 47 — 25 47 — 26 47 — 27 47 — 28 47 — 29 47 — 30 47 — 31 47 — 32 47 — 33 47 — 34 47 — 35 48 — 36 48 — 37 48 — 38 48 — 39 48 — 40 61 — 1 61 — 2 62 — 3 62 — 4 62 — 5 62 — 6 62 — 7 62 — 8 62 — 9 62 — 10 62 — 11 62 — 12 62 — 13 62 — 14 62 — 15 62 — 16 63 — 17 63 — 18 63 — 19 63 — 20 63 — 21 63 — 22 63 — 23 63 — 24 63 — 25 63 — 26 63 — 27 63 — 28 64 — 29 64 — 30 64 — 31 64 — 32 64 — 33 64 — 34 64 — 35 64 — 36 64 — 37 64 — 38 64 — 40 64 — 41 65 — 42 65 — 43 65 — 44 65 — 45 65 — 46 65 — 47 65 — 48 65 — 49 65 — 50 65 — 51 76 — 1 76 — 2 76 — 3 76 — 4 77 — 5 77 — 6 77 — 7 77 — 8 77 — 9 77 — 10 77 — 11 77 — 12 77 — 13 77 — 14 77 — 15 77 — 16 78 — 17 78 — 18 78 — 19 78 — 20 78 — 21 78 — 22 78 — 23 78 — 24 78 — 25 79 — 26 79 — 27 79 — 28 79 — 29 79 — 30 79 — 31 79 — 32 79 — 33 79 — 34 79 — 35 79 — 36 79 — 37 79 — 38 79 — 39 79 — 40 80 — 42 80 — 43 80 — 44 80 — 45 80 — 46 80 — 47 80 — 48 80 — 49 80 — 50 96 — 1 96 — 2 96 — 3 97 — 4 97 — 5 97 — 6 97 — 7 97 — 8 97 — 9 97 — 10 97 — 11 97 — 12 97 — 13 97 — 14 97 — 15 97 — 16 97 — 17 97 — 18 97 — 19 97 — 20 98 — 21 98 — 22 98 — 23 98 — 24 98 — 25 98 — 26 98 — 27 98 — 28 98 — 29 98 — 30 98 — 31 98 — 32 99 — 33 99 — 34 99 — 35 99 — 36 99 — 37 99 — 38 99 — 39 99 — 40 99 — 41 99 — 42 99 — 43 99 — 44 99 — 45 100 — 46 100 — 47 100 — 48 100 — 49 100 — 50 100 — 51 100 — 52 100 — 53 100 — 54 100 — 55 100 — 56 100 — 57 100 — 58 100 — 59 100 — 60 101 — 61 101 — 62 101 — 63 101 — 64 101 — 65 101 — 66 101 — 67 101 — 68 101 — 69 101 — 70 101 — 71 101 — 72 101 — 73 101 — 74 114 — 1 114 — 2 114 — 3 114 — 4 114 — 5 114 — 6 114 — 7 114 — 8 114 — 9 114 — 10 114 — 11 114 — 12 114 — 13 114 — 14 114 — 15 114 — 16 115 — 17 115 — 18 115 — 19 115 — 20 115 — 21 115 — 22 115 — 23 115 — 24 115 — 25 115 — 26 115 — 27 115 — 28 115 — 29 116 — 30 116 — 31 116 — 32 116 — 33 116 — 34 116 — 35 116 — 36 116 — 37 116 — 38 116 — 39 117 — 40 117 — 41 117 — 42 117 — 43 117 — 44 117 — 45 117 — 46 117 — 47 118 — 48 118 — 49 118 — 50 118 — 51 118 — 52 118 — 53 118 — 54 118 — 55 118 — 56 118 — 57 118 — 58 118 — 59 118 — 60 118 — 61 118 — 62 119 — 63 119 — 64 119 — 65 119 — 66 119 — 67 119 — 68 119 — 69 119 — 70 119 — 71 119 — 72 120 — 73 120 — 74 134 — 1 134 — 3 134 — 4 134 — 5 134 — 6 134 — 7 134 — 8 134 — 9 134 — 10 134 — 11 134 — 12 134 — 13 134 — 14 134 — 15 134 — 16 134 — 17 134 — 18 135 — 19 135 — 20 135 — 21 135 — 22 135 — 23 135 — 24 135 — 25 135 — 26 135 — 27 135 — 28 135 — 29 135 — 30 135 — 31 135 — 32 135 — 33 135 — 34 135 — 35 135 — 36 135 — 37 135 — 38 135 — 39 136 — 40 136 — 41 136 — 42 136 — 43 136 — 44 136 — 45 136 — 46 136 — 47 136 — 48 136 — 49 136 — 50 136 — 51 136 — 52 136 — 53 136 — 54 136 — 55 136 — 56 137 — 57 137 — 58 137 — 59 137 — 60 137 — 61 137 — 62 152 — 1 152 — 2 152 — 3 152 — 4 152 — 5 152 — 6 152 — 7 152 — 8 152 — 9 152 — 10 152 — 11 152 — 12 152 — 13 152 — 14 152 — 15 153 — 16 153 — 17 153 — 18 153 — 19 153 — 20 153 — 21 153 — 22 153 — 23 154 — 24 154 — 25 154 — 26 154 — 27 154 — 28 154 — 29 154 — 30 154 — 31 154 — 32 154 — 33 154 — 34 154 — 35 154 — 36 154 — 37 154 — 38 169 — 1 169 — 2 169 — 3 169 — 4 169 — 5 169 — 6 169 — 7 169 — 8 169 — 9 169 — 10 169 — 11 169 — 12 169 — 13 170 — 14 170 — 15 170 — 16 170 — 17 170 — 18 170 — 19 170 — 20 170 — 21 170 — 22 170 — 23 170 — 24 171 — 25 171 — 26 171 — 27 171 — 28 171 — 29 171 — 30 171 — 31 171 — 32 171 — 33 171 — 34 171 — 35 171 — 36 171 — 37 171 — 38 171 — 39 171 — 40 171 — 41 171 — 42 172 — 43 172 — 44 172 — 45 172 — 46 172 — 47 172 — 48 172 — 49 172 — 50 186 — 1 186 — 2 186 — 3 186 — 5 186 — 6 186 — 7 186 — 8 186 — 9 186 — 10 186 — 11 186 — 12 186 — 13 186 — 14 186 — 15 187 — 16 187 — 17 187 — 18 187 — 19 187 — 20 187 — 21 187 — 22 187 — 23 187 — 24 187 — 25 187 — 26 188 — 27 188 — 28 188 — 29 188 — 30 188 — 32 188 — 33 188 — 34 188 — 35 189 — 37 189 — 38 189 — 39 189 — 40 189 — 41 189 — 42 189 — 43 189 — 44 189 — 45 189 — 46 190 — 47 190 — 48 190 — 49 190 — 50 190 — 51 190 — 52 190 — 53 190 — 54 190 — 55 190 — 56 190 — 57 190 — 58 191 — 59 191 — 60 191 — 61 191 — 62 191 — 63 191 — 64 198 — 1 198 — 2 198 — 3 198 — 4 198 — 5 198 — 6 198 — 8 198 — 9 198 — 10 198 — 11 198 — 12 198 — 14 198 — 15 198 — 16 198 — 18 198 — 19 199 — 20 199 — 21 199 — 22 199 — 23 200 — 24 200 — 25 200 — 26 200 — 27 200 — 28 200 — 29 212 — 2 212 — 3 212 — 4 212 — 5 212 — 6 212 — 7 212 — 8 213 — 10 213 — 11 213 — 12 213 — 13 213 — 14 213 — 15 213 — 17 213 — 18 213 — 19 213 — 20 213 — 21 213 — 22 213 — 23 213 — 24 213 — 25 213 — 26 214 — 27 214 — 29 214 — 30 214 — 31 214 — 32 214 — 33 214 — 34 214 — 35 214 — 36 214 — 37 214 — 38 214 — 39 214 — 40 214 — 41 214 — 42 214 — 43 215 — 44 215 — 45 215 — 46 215 — 47 215 — 48 215 — 49 215 — 50 215 — 51 226 — 1 226 — 2 226 — 3 226 — 4 226 — 5 226 — 6 226 — 7 226 — 8 227 — 9 227 — 10 227 — 11 227 — 12 227 — 13 227 — 14 227 — 15 227 — 16 227 — 17 227 — 18 227 — 19 227 — 20 227 — 21 227 — 22 227 — 23 227 — 24 227 — 25 227 — 26 227 — 27 228 — 28 228 — 30 228 — 31 228 — 32 228 — 33 228 — 34 228 — 35 228 — 36 228 — 37 228 — 38 228 — 39 228 — 41 229 — 43 229 — 44 229 — 45 229 — 46 229 — 47 229 — 48 229 — 49 229 — 50 229 — 51 229 — 52 229 — 53 229 — 54 230 — 55 230 — 56 230 — 57 230 — 58 230 — 59 230 — 60 230 — 61 230 — 62 237 — 1 237 — 2 237 — 3 238 — 4 238 — 5 238 — 6 238 — 7 238 — 8 238 — 9 238 — 10 238 — 11 238 — 12 238 — 13 239 — 14 247 — 1 247 — 2 247 — 3 247 — 4 248 — 5 248 — 6 248 — 7 248 — 8 248 — 9 248 — 10 248 — 11 248 — 12 249 — 13 249 — 14 249 — 15 249 — 16 249 — 17 249 — 18 249 — 19 249 — 20 249 — 21 249 — 22 250 — 23 250 — 24 250 — 25 250 — 26 250 — 27 250 — 28 251 — 29 251 — 30 251 — 31 251 — 32 251 — 33 251 — 34 251 — 35 252 — 36 252 — 37 252 — 38 252 — 39 252 — 40 252 — 41 252 — 42 264 — 1 264 — 2 264 — 3 264 — 4 264 — 5 264 — 6 265 — 7 265 — 8 265 — 9 265 — 10 265 — 11 265 — 12 265 — 13 265 — 14 265 — 15 266 — 16 266 — 17 266 — 18 266 — 19 266 — 20 266 — 21 266 — 22 266 — 23 266 — 24 266 — 25 266 — 26 266 — 27 266 — 28 267 — 29 267 — 30 267 — 31 267 — 32 267 — 33 267 — 34 267 — 35 267 — 36 267 — 37 267 — 38 267 — 39 268 — 40 268 — 41 268 — 42 268 — 43 268 — 44 268 — 45 268 — 46 268 — 47 268 — 48 268 — 49 268 — 50 268 — 51 269 — 52 269 — 53 269 — 54 269 — 55 269 — 56 269 — 57 269 — 58 269 — 59 269 — 60 269 — 61 270 — 62 287 — 1 287 — 2 287 — 3 287 — 4 288 — 5 288 — 6 288 — 7 288 — 8 288 — 9 288 — 10 288 — 11 288 — 12 288 — 13 288 — 14 288 — 15 288 — 16 288 — 17 288 — 18 288 — 19 288 — 20 288 — 21 288 — 22 289 — 23 289 — 24 289 — 25 289 — 26 289 — 27 289 — 28 289 — 29 289 — 30 289 — 31 289 — 32 289 — 33 289 — 34 289 — 35 290 — 36 290 — 37 290 — 38 290 — 39 290 — 40 290 — 41 290 — 42 290 — 43 290 — 44 290 — 45 291 — 46 291 — 47 291 — 48 291 — 49 291 — 50 291 — 51 291 — 52 291 — 53 291 — 54 291 — 55 291 — 56 291 — 57 291 — 58 292 — 59 292 — 60 292 — 61 292 — 62 292 — 63 292 — 64 312 — 1 312 — 2 312 — 3 312 — 4 312 — 5 312 — 6 313 — 7 313 — 8 313 — 9 313 — 10 313 — 12 313 — 13 313 — 14 313 — 15 313 — 16 314 — 17 314 — 18 314 — 19 314 — 20 314 — 21 314 — 22 314 — 23 314 — 24 314 — 26 314 — 27 314 — 28 314 — 29 314 — 30 314 — 31 315 — 32 315 — 33 315 — 34 315 — 35 315 — 36 315 — 37 315 — 38 315 — 39 315 — 40 315 — 41 316 — 42 316 — 43 316 — 44 316 — 45 316 — 46 316 — 47 316 — 48 316 — 49 316 — 50 316 — 51 316 — 52 316 — 53 316 — 54 316 — 55 317 — 56 317 — 57 317 — 58 317 — 59 317 — 60 317 — 61 317 — 62 317 — 63 317 — 64 317 — 65 317 — 66 318 — 67 318 — 68 318 — 69 318 — 70 318 — 71 318 — 72 318 — 73 318 — 74 318 — 75 318 — 76 318 — 77 318 — 78 318 — 79 319 — 80 319 — 81 319 — 82 319 — 83 319 — 84 334 — 1 334 — 2 334 — 3 334 — 4 334 — 5 334 — 6 334 — 7 335 — 8 335 — 9 335 — 10 335 — 11 335 — 12 335 — 13 335 — 14 335 — 15 335 — 16 335 — 17 336 — 18 336 — 19 336 — 20 336 — 21 336 — 22 336 — 23 336 — 24 336 — 25 336 — 26 336 — 27 336 — 36 336 — 37 336 — 2 336 — 1 337 — 28 337 — 29 337 — 30 337 — 31 337 — 32 337 — 33 337 — 34 337 — 35 338 — 38 338 — 39 338 — 40 338 — 41 338 — 42 338 — 43 338 — 44 338 — 45 338 — 46 339 — 47 339 — 48 339 — 49 339 — 50 339 — 51 339 — 52 339 — 53 339 — 54 349 — 1 349 — 2 349 — 3 349 — 4 349 — 5 349 — 6 349 — 7 349 — 8 349 — 9 349 — 10 350 — 11 350 — 12 350 — 13 350 — 14 350 — 15 350 — 16 350 — 17 350 — 18 350 — 19 350 — 20 350 — 21 350 — 22 350 — 23 350 — 24 350 — 25 351 — 26 351 — 27 351 — 28 351 — 29 351 — 30 351 — 31 351 — 32 351 — 33 351 — 34 352 — 35 352 — 36 352 — 37 352 — 38 352 — 39 352 — 40 352 — 42 352 — 43 352 — 44 352 — 45 352 — 46 353 — 47 353 — 48 353 — 49 360 — 1 360 — 2 360 — 3 360 — 4 361 — 5 361 — 6 361 — 7 361 — 8 361 — 9 361 — 10 361 — 11 361 — 12 361 — 13 361 — 14 361 — 15 361 — 16 361 — 17 361 — 18 361 — 19 362 — 20 362 — 21 362 — 22 362 — 23 362 — 24 362 — 25 362 — 26 362 — 27 362 — 28 362 — 29 362 — 30 362 — 31 362 — 32 362 — 33 362 — 34 362 — 35 362 — 36 362 — 37 363 — 38 363 — 39 363 — 40 363 — 41 363 — 42 363 — 43 363 — 44 363 — 45 363 — 46 363 — 47 363 — 48 363 — 49 363 — 50

Оцените решебник:

Загрузка. ..

Решебник и ГДЗ по Геометрии 11 класс

• Геометрия Дидактические материалы Б.Г. Зив 11 класс

• Геометрия Атанасян Л.С. 10-11 класс

• Геометрия А.В. Погорелов 10-11 класс

• Геометрия В.В. Шлыков 11 класс

• Геометрия Погорєлов О. В. 10-11 класс

• Геометрия Бевз Г.П. 11 класс

• Геометрия Апостолова Г.В. 11 класс

• Геометрия МГУ — школе Рабочая тетрадь Бутузов В.Ф. 11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия Александров А. Д. 10-11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия Александров А. Д. 11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Контрольно-измерительные материалы (КИМ) Рурукин А.Н. 11 класс

• Геометрия МГУ — школе Бутузов В.Ф. 10-11 класс Базовый и углубленный уровень

• Геометрия Алгоритм успеха Мерзляк А.Г. 11 класс Базовый уровень

• Геометрия Смирнова И. М. 10-11 класс Базовый уровень

• Геометрия Алгоритм успеха Мерзляк А.Г. 11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М. 11 класс Уровень стандарта

• Геометрия Комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М. 11 класс Академический уровень

• Геометрия Смирнова И. М. 10-11 класс Базовый и профильный уровни

• Геометрия Гусев В. 11 класс

• Геометрия Дидактические материалы Мерзляк А.Г. 11 класс Базовый уровень

• Геометрия Самостоятельные и контрольные работы Мерзляк А.Г. 11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Контрольные работы Иченская М. А. 10-11 класс Базовый уровень

• Геометрия Самостоятельные работы Иченская М.А. 11 класс Базовый уровень

• Геометрия Солтан Г.Н. 10-11 класс Общественно-гуманитарное направление

• Геометрия Задачник Зив Б.Г. 7-11 класс

• Геометрия Задачник Потоскуев Е. В. 11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Солтан Г.Н. 11 класс Естественно-математическое направление

• Геометрия Латотин Л.А. 11 класс Базовый и повышенный уровни

• Геометрия Алгоритм успеха Контрольные работы (Методическое пособие) Буцко Е.В. 11 класс Углубленный уровень

• Геометрия Алгоритм успеха Контрольные работы (Методическое пособие) Буцко Е. В. 11 класс Базовый уровень

В конце одиннадцатого класса учащихся ждет сдача выпускных экзаменов и поступление в ВУЗ. Одним из обязательных является математика, в которую входят несколько заданий из курса геометрии. Поэтому одиннадцатиклассникам следует обратить особое внимание на изучение данной дисциплины. Но, к сожалению, школьная программа настолько насыщена и объемна, что времени на подготовку совсем не остается. Необходимо успевать и не пропускать ни один раздел, предлагаемый для изучения, ведь эти знания могут потребоваться в дальнейшем обучении и, конечно же, для сдачи ЕГЭ. Чтобы изученный материал был полностью разобран и понят, необходимо решать большое количество упражнений на закрепление и выполнять домашнюю работу. А на помощь старшеклассникам приходит решебник.

В ГДЗ по геометрии за 11 класс содержатся не только готовые ответы, но и подробно разобранные решения к каждому номеру из учебников и рабочих тетрадей. Также на нашем сайте вы найдете ответы к задачам из дидактических материалов, сборников задач и других дополнительных книг по предмету. Просто выберите издание любого автора: Атанасян, Глазков, Погорелов, Александров, Зив или Мерзляк. Теперь «пятерка» будет твоей заслуженной оценкой за знания.

Решебник для 11 класса по Геометрии на Гитем ми

• Геометрия дидактические материалы Б.Г. Зив 11 класс

  издательство: Просвещение

  автор: Б.Г. Зив

• Геометрия Атанасян Л.

  С. 10-11 класс

  издательство: Просвещение

  авторы: Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф.

• Геометрия А.В. Погорелов 10-11 класс

  издательство: Просвещение

  автор: А.В. Погорелов

• Геометрия В.В. Шлыков 11 класс

  издательство: Народная асвета

  автор: В. В. Шлыков

• Геометрия рабочая тетрадь Бутузов В.Ф. 11 класс Базовый и углубленный уровень

  издательство: МГУ — школе Просвещение

  авторы: Бутузов В.Ф. Глазков Ю.А.

• Геометрия математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия Александров А. Д. 10-11 класс Базовый и углубленный уровень

  издательство: Просвещение

  авторы: Александров А. Д. Вернер А.Л.

• Геометрия Александров А.Д. 11 класс Углубленный уровень

  издательство: Просвещение

  авторы: Александров А.Д. Вернер А.Л.

• Геометрия контрольно-измерительные материалы Рурукин А.Н. 11 класс

  издательство: ВАКО

  автор: Рурукин А. Н.

• Геометрия Бутузов В.Ф. 10-11 класс Базовый и углубленный уровень

  издательство: МГУ — школе Просвещение

  авторы: Бутузов В.Ф. Прасолов В.В.

• Геометрия Мерзляк А.Г. 11 класс Базовый уровень

  издательство: Алгоритм успеха Вентана-граф

  авторы: Мерзляк А. Г. Номировский Д.А.

• Геометрия Смирнова И.М. 10-11 класс Базовый уровень

  издательство: Мнемозина

  автор: Смирнова И.М.

• Геометрия Мерзляк А.Г. 11 класс Углубленный уровень

  издательство: Алгоритм успеха Вентана-граф

  авторы: Мерзляк А. Г. Номировский Д.А.

• Геометрия комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М. 11 класс Уровень стандарта

  издательство: Ранок

  автор: Роганин О.М.

• Геометрия комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин О.М. 11 класс Академический уровень

  издательство: Ранок

  автор: Роганин О. М.

• Геометрия Смирнова И.М. 10-11 класс Базовый и профильный уровни

  издательство: Мнемозина

  авторы: Смирнова И.М. Смирнов В.А.

• Геометрия Гусев В. 11 класс

  издательство: Мектеп

  авторы: Гусев В. Кайдасов Ж.

• Геометрия дидактические материалы Мерзляк А.Г. 11 класс Базовый уровень

  издательство: Вентана-граф

  авторы: Мерзляк А.Г. Полонский В.Б.

• Геометрия самостоятельные и контрольные работы Мерзляк А.Г. 11 класс Углубленный уровень

  издательство: Вентана-граф

  авторы: Мерзляк А. Г. Полонский В.Б.

• Геометрия контрольные работы Иченская М.А. 10-11 класс Базовый уровень

  издательство: Просвещение

  автор: Иченская М.А.

• Геометрия самостоятельные работы Иченская М.А. 11 класс Базовый уровень

  издательство: Просвещение

  автор: Иченская М. А.

• Геометрия Солтан Г.Н. 10-11 класс Общественно-гуманитарное направление

  издательство: Келешек-2030

  авторы: Солтан Г.Н. Солтан А.Е.

• Геометрия задачник Зив Б.Г. 7-11 класс

  издательство: Просвещение

  авторы: Зив Б. Г. Мейлер В.М.

• Геометрия задачник, учебник Потоскуев Е.В. 11 класс Углубленный уровень

  издательство: Дрофа

  авторы: Потоскуев Е.В. Звавич Л.И.

• Геометрия Солтан Г.Н. 11 класс Естественно-математическое направление

  издательство: Келешек-2030

  авторы: Солтан Г. Н. Солтан А.Е.

• Геометрия Латотин Л.А. 11 класс Базовый и повышенный уровни

  издательство: Белорусская Энциклопедия имени Петруся Бровки

  авторы: Латотин Л.А. Чеботаревский Б.Д.

• Геометрия Контрольные работы (из Методического пособия) Буцко Е.В. 11 класс Углубленный уровень

  издательство: Алгоритм успеха Вентана-граф

  авторы: Буцко Е. В. Мерзляк А.Г.

• Геометрия Контрольные работы (из Методического пособия) Буцко Е.В. 11 класс Базовый уровень

  издательство: Алгоритм успеха Вентана-граф

  авторы: Буцко Е.В. Мерзляк А.Г.

8.2 Круговая геометрия | Евклидова геометрия

Аксиома – это установленный или принятый принцип. Для этого раздела в качестве аксиом принимаются следующие положения.

Теоремы (EMBJB)

Теорема – это гипотеза (предложение), истинность которой можно доказать с помощью принятых математических операций и аргументы. Доказательство — это процесс подтверждения правильности теоремы.

Обратная теорема есть обратная сторона гипотезы и вывода. Например, учитывая теорему «если \(A\), то \(B\)», обратное: «если \(B\), то \(A\)». 92 & \\ \поэтому AP &= BP & \конец{массив}\] Следовательно, \(OP\) делит пополам \(AB\).

Альтернативное доказательство:

В \(\треугольник OPA\) и в \(\треугольник OPB\), \[\begin{массив}{rll} O\шляпа{P}A &= O\шляпа{P}B & (\text{данные} OP \perp AB) \\ OA &= OB & \text{(равные радиусы)} \\ OP &= OP & \text{(общая сторона)} \\ \поэтому \треугольник OPA & \equiv \triangle OPB & \text{(RHS)} \\ \поэтому AP &= PB & \конец{массив}\] Следовательно, \(OP\) делит пополам \(AB\).

Окружность с центром \(O\) и линией \(OP\) до середины \(P\) хорды \(AB\).

\(OP \perp AB\)

Нарисовать \(OA\) и \(OB\).

В \(\треугольник OPA\) и в \(\треугольник OPB\), \[\begin{массив}{rll} OA &= OB & \text{(равные радиусы)} \\ AP &= PB & \text{(дано)} \\ OP &= OP & \text{(общая сторона)} \\ \поэтому \треугольник OPA & \equiv \triangle OPB & \text{(SSS)} \\ \поэтому O\шляпа{P}A &= O\шляпа{P}B & \\ \text{и } O\шляпа{P}A + O\шляпа{P}B &= \text{180}\text{°} & (\angle \text{ на стр. линии}) \\ \поэтому O\шляпа{P}A = O\шляпа{P}B &= \text{90}\текст{°} & \конец{массив}\] Поэтому \(OP \perp AB\).

Окружность с серединой \(P\) на хорде \(AB\).

Линия \(QP\) рисуется так, что \(Q\hat{P}A = Q\hat{P}B = \text{90}\text{°}\).

Линия \(RP\) проведена так, что \(R\hat{P}A = R\hat{P}B = \text{90}\text{°}\).

Центр окружности \(O\) лежит на прямой \(PR\)

Начерти линии \(QA\) и \(QB\).

Рисование линий \(RA\) и \(RB\).

В \(\треугольник QPA\) и в \(\треугольник QPB\), \[\begin{массив}{rll} AP &= PB & \text{(дано)} \\ QP &= QP & \text{(общая сторона)} \\ Q\шляпа{P}A = Q\шляпа{P}B &= \text{90}\text{°} & \text{(дано)} \\ \поэтому \triangle QPA & \equiv \triangle QPB & \text{(SAS)} \\ \поэтому QA &= QB & \end{array}\]

Аналогично можно показать, что в \(\треугольнике RPA\) и в \(\треугольнике RPB\) \(RA = RB\). 2 &= 41 & \\ х &= \sqrt{41} & \конец{массив}\] 92 &= \текст{12,75} & \\ \поэтому ОС &= \text{3,6} & \конец{массив}\]

Углы, опирающиеся на дугу в центре и на окружности

1. Измерьте углы \(x\) и \(y\) на каждом из следующих графиков:

2. Заполните таблицу:

   \(х\)	\(у\)

3. Используйте полученные результаты, чтобы сделать предположение об отношениях между углами, опирающимися на дугу в центр окружности и углы при окружности окружности.
4. Теперь нарисуйте три своих собственных подобных диаграммы и измерьте углы, чтобы проверить свою гипотезу.

Окружность с центром \(O\), дугой \(AB\), стягивающей \(A\hat{O}B\) в центре окружности, и \(A\шляпа{P}B\) по окружности.

\(A\hat{O}B= 2A\hat{P}B\)

Нарисуйте \(PO\) до \(Q\) и пусть \(A\hat{O}Q = \hat {O}_1\) и \(B\шляпа{O}Q = \шляпа{O}_2\).

\[\begin{массив}{rll} \hat{O}_1&= A\hat{P}O + P\hat{A}O & (\text{ext.} \angle \triangle = \text{sum int. opp.} \angle \текст{ы} ) \\ \text{и} A\шляпа{P}O &= P\шляпа{A}O & (\text{равные радиусы, равнобедренные} \треугольник APO)\\ \поэтому \шляпа{O}_1&= A\шляпа{P}O + A\шляпа{P}O & \\ \шляпа{O}_1&= 2A\шляпа{P}O & \конец{массив}\]

Точно так же мы можем показать, что \(\hat{O}_2 = 2B\hat{P}O\).

Для первых двух диаграмм, показанных выше, мы имеем следующее: \[\begin{массив}{rll} A\шляпа{O}B &= \шляпа{O}_1 + \шляпа{O}_2 & \\ &= 2A\шляпа{P}O + 2B\шляпа{P}O & \\ & = 2 (А \ шляпа {P} O + B \ шляпа {P} O) & \\ \поэтому A\шляпа{O}B &= 2(A\шляпа{P}B) & \конец{массив}\] И последняя схема: \[\begin{массив}{rll} А\шляпа{О}В &= \шляпа{О}_2 — \шляпа{О}_1 & \\ &= 2B\шляпа{P}O — 2A\шляпа{P}O & \\ &= 2(В\шляпа{Р}О — А\шляпа{Р}О) & \\ \поэтому A\шляпа{O}B &= 2(A\шляпа{P}B) & \конец{массив}\]

Рабочий пример 2: угол в центре круга равен удвоенному углу на окружности

Дано \(HK\), диаметр окружности, проходящей через центр \(O\).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы и стороны на диаграмме

Решите для \(a\)

В \(\треугольник HJK\): \[\begin{массив}{rll} H\hat{O}K &= \text{180}\text{°} & (\angle \text{ на строке строки)} \\ &= 2a & (\угол \текст{ по центру } = 2 \угол \текст{ по окружности}) \\ \поэтому 2a &= \text{180}\text{°} & \\ a &= \frac{\text{180}\text{°}}{2} & \\ &= \текст{90}\текст{°} & \конец{массив}\]

Заключение

Диаметр окружности опирается на прямой угол при окружности (углы в полуокружности).

Угол в центре круга равен удвоенному углу окружности

Учебник Упражнение 8.2

\[\begin{массив}{rll} b &= 2 \times \text{45}\text{°} & (\angle \text{ в центре } = 2 \angle \text{ в окружности.}) \\ \поэтому б &= \текст{90}\text{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} c &= \frac{1}{2} \times \text{45}\text{°} & (\angle \text{ в центре } = 2 \angle \text{ в об. }) \\ \поэтому c &= \text{22,5}\text{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} d &= 2 \times \text{100}\text{°} & (\angle \text{ в центре } = 2 \angle \text{ в окружности}) \\ \поэтому d &= \text{200}\text{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} e &= \text{100}\text{°} — \text{90}\text{°} — \text{35}\text{°} & (\angle \text{ в полукруг} ) \\ \поэтому e &= \text{55}\text{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} f &= \frac{1}{2} \times \text{240}\text{°} & (\angle \text{ в центре } = 2 \angle \text{ в об.}) \\ \поэтому f &= \text{120}\text{°} & \конец{массив}\]

Скрытые углы в одном сегменте окружности

1. Измерьте углы \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\) на диаграмме ниже:

2. Выберите любые две точки на окружности и обозначьте их \(A\) и \(B\).

3. Нарисуйте \(AP\) и \(BP\) и измерьте \(A\шляпу{P}B\).

4. Нарисуйте \(AQ\) и \(BQ\) и измерьте \(A\шляпу{Q}B\).

5. Что ты видишь? Сделайте предположение об этих типах углов.

Окружность с центром \(O\) и точками \(P\) и \(Q\) на окружности окружности. Дуга \(АВ\) стягивает \(A\hat{P}B\) и \(A\hat{Q}B\) в одном сегменте окружности.

\(A\шляпа{P}B = A\шляпа{Q}B\)

\[\begin{array}{rll} A\шляпа{O}B &= 2 A\шляпа{P}B & (\угол \text{ в центре} = 2 \угол \text{в окружности}) \\ A\шляпа{O}B &= 2 A\шляпа{Q}B & (\угол \text{ в центре} = 2 \угол \text{в окружности}) \\ \поэтому 2 A\шляпа{P}B &= 2 A\шляпа{Q}B & \\ A\шляпа{P}B &= A\шляпа{Q}B & \конец{массив}\]

Равные дуги образуют равные углы

Из приведенной выше теоремы мы можем сделать вывод, что если углы на окружности опираются на дуги равной длины, то углы равны. На рисунке ниже обратите внимание, что если бы мы переместили две хорды с равной длины ближе друг к другу, пока они не пересекутся, у нас была бы та же ситуация, что и с теоремой выше. Это показывает, что углы, образуемые дугами одинаковой длины, также равны.

Если отрезок прямой образует равные углы в двух других точках на одной стороне отрезка прямой, то эти четыре точки концикличны (ложатся на окружность).

Отрезок \(AB\), образующий равные углы в точках \(P\) и \(Q\) по одну сторону от отрезка \(АВ\).

\(A\), \(B\), \(P\) и \(Q\) лежат на окружности.

Доказательство от противного:

Точки на окружности: мы знаем, что есть только два возможных варианта относительно данного точка — она либо лежит на окружности, либо нет.

Будем считать, что точка \(P\) не лежит на окружности.

Нарисуем окружность, пересекающую \(AP\) в точке \(R\) и проходящую через \(A\), \(B\) и \(Q\). \[\begin{массив}{rll} A\hat{Q}B &= A\hat{R}B & (\angle \text{s в одном сегменте}) \\ \text{но} A\шляпа{Q}B &= A\шляпа{P}B & (\text{данный}) \\ \поэтому A\шляпа{R}B &= A\шляпа{P}B & \\ \text{но} A\шляпа{R}B &= A\шляпа{P}B + R\шляпа{B}P & (\text{расш.} \angle \triangle = \text{sum int. соч.}) \\ \поэтому R\шляпа{B}P &= \text{0}\text{°} & \конец{массив}\] Поэтому предположение, что окружность не проходит через \(P\), должно быть ложным.

Можно заключить, что \(A\), \(B\), \(Q\) и \(P\) лежат на окружности (\(A\), \(B\), \(Q\ ) и \(P\) являются конциклический).

Рабочий пример 3: Конциклические точки

Учитывая \(FH \parallel EI\) и \(E\hat{I}F = \text{15}\text{°}\), определите значение \(b\).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Найдите \(b\)

\[\begin{массив}{rll} H\hat{F}I &= \text{15}\text{°} & (\text{alt. } \angle, FH \parallel EI) \\ \text{and} b &= H\hat{F}I & (\angle \text{s в одном сегменте}) \\ \поэтому b &= \text{15}\text{°} & \конец{массив}\]

Скрытые углы в одном сегменте

Учебник Упражнение 8.3

\[\begin{массив}{rll} a &= \text{21}\text{°} & (\angle \text{s в одном сегменте}) \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} c &= \text{24}\text{°} & (\angle \text{s в одном сегменте}) \\ d &= \text{102}\text{°} — \text{24}\text{°} & (\text{ext. } \angle \triangle = \text{сумма внутр. соч.}) \\ \поэтому d &= \text{78}\text{°} & \\ \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} d &= \hat{N} & (\text{alt.} \angle, PO \parallel QN ) \\ \hat{N} &= \frac{1}{2} \times \text{17}\text{°} & (\angle \text{ в центре } = 2 \angle \text{ по кругу. }) \\ \шляпа{O} &= \шляпа{N} & (\угол \текст{s в одном сегменте}) \\ \text{17}\text{°} &= \hat{O} + d & ( \text{ внешний угол } \треугольника) \\ \поэтому 2d &= \text{17}\text{°} & \\ \поэтому d &= \text{8,5}\text{°} & (\text{alt. } \angle, PO \parallel QN ) \конец{массив}\]

Учитывая \(T\hat{V}S = S\hat{V}R\), определите значение \(e\).

\[\begin{массив}{rll} \text{In } \triangle TRV, \hat{T} &= \text{180}\text{°} — (\text{80}\text{°} + \text{30}\text{°}) & (\angle \text{s sum of } \triangle) \\ \поэтому \шляпа{T} &= \text{70}\text{°} & \\ \поэтому e &= \text{15}\text{°} + \text{70}\text{°} & \\ &= \text{85}\text{°} & \\ \конец{массив}\]

Является ли \(TV\) диаметром круга? Поясните свой ответ.

Нет, так как \(\text{45}\text{°} + \text{35}\text{°} \ne \text{90}\text{°}\)

Дана окружность с центром \(O\), \(WT = TY\) и \(X\hat{W}T = \text{35}\text{ °}\). Определять \(ф\).

\[\begin{массив}{rll} \text{In } \triangle WTZ &\text{ и in } \triangle YTZ, \\ WT &= YT & (\text{дано}) \\ ZT &= ZT & (\text{общая сторона}) \\ Y\шляпа{T}Z = W\шляпа{T}Z &= \text{90}\text{°} & (\text{ линия от центра круга до середины }) \\ \поэтому T\шляпа{Z}Y &= T\шляпа{Z}W & (\text{SAS}) \\ T \ шляпа {Z} Y = T \ шляпа {Z} W & = f & \\ \text{And } T\hat{Z}Y &= \text{35}\text{°} & (\angle \text{s в одном сегменте}) \\ \поэтому T\hat{Z}W = f &= \text{35}\text{°} & \конец{массив}\]

Вписанные четырехугольники

Вписанные четырехугольники — это четырехугольники, все четыре вершины которых лежат на окружности. (конциклический).

Вписанные четырехугольники

Рассмотрите схемы, приведенные ниже:

Круг \(\text{1}\)	Круг \(\text{2}\)	Круг \(\text{3}\)

1. Выполните следующее:

   \(ABCD\) является вписанным четырехугольником, потому что \(\ldots \ldots\)

2. Заполните таблицу:

   	Круг \(\text{1}\)	Круг \(\text{2}\)	Круг \(\text{3}\)
   \(\шляпа{А} =\)
   \(\шляпа{В} =\)
   \(\шляпа{С} =\)
   \(\шляпа{D} =\)
   \(\шляпа{А} + \шляпа{С} =\)
   \(\шляпа{B} + \шляпа{D} =\)

3. Используйте полученные результаты, чтобы сделать предположение об отношении между углами вписанных четырехугольников.

Окружность с центром \(O\) с точками \(A, B, P\) и \(Q\) на окружности такая, что \(ABPQ\) является циклический четырехугольник.

\(A\шляпа{B}P + A\шляпа{Q}P = \text{180}\text{°}\) и \(Q\шляпа{A}B + Q\шляпа{P}B = \текст{180}\текст{°}\)

Нарисуйте \(AO\) и \(OP\). Метки \(\шляпа{O}_1\) и \(\шляпа{O}_2\). \[\begin{массив}{rll} \шляпа{O}_1 &= 2A\шляпа{B}P & (\угол\текст{в центре} = 2\угол \текст{в окружности})\\ \шляпа{O}_2 &= 2A\шляпа{Q}P & (\угол\текст{в центре} = 2\угол \текст{в окружности})\\ \text{and } \hat{O}_1 + \hat{O}_2 &= \text{360}\text{°} & (\angle\text{s вокруг точки}) \\ \следовательно, 2A\шляпа{B}P + 2A\шляпа{Q}P &= \text{360}\text{°} & \\ A\шляпа{B}P + A\шляпа{Q}P &= \text{180}\text{°} & \конец{массив}\] Точно так же мы можем показать, что \(Q\hat{A}B + Q\hat{P}B = \text{180}\text{°}\).

Обратная сторона: внутренние противоположные углы четырехугольника

Если внутренние противоположные углы четырехугольника дополнительные, то четырехугольник вписанный.

Внешний угол вписанного четырехугольника

Если четырехугольник вписанный, то внешний угол равен внутреннему противолежащему углу.

Рабочий пример 4: Противоположные углы вписанного четырехугольника

Дана окружность с центром \(O\) и вписанный четырехугольник \(PQRS\). \(SQ\) рисуется и \(S\hat{P}Q = \text{34}\text{°}\). Определите значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решить для \(b\)

\[\begin{array}{rll} S\hat{P}Q + c &= \text{180}\text{°} & (\text{opp.} \angle \text{s циклический четырехъядерный супп.}) \\ \поэтому c &= \text{180}\text{°} — \text{34}\text{°} & \\ &= \text{146}\text{°} & \конец{массив}\] \[\begin{массив}{rll} &= \текст{90}\text{°} & (\угол \text{в полукруге}) \конец{массив}\] В \(\треугольник PSQ\): \[\begin{массив}{rll} a + b + \text{34}\text{°} &= \text{180}\text{°} & (\angle \text{ сумма } \triangle) \\ \поэтому b &= \text{180}\text{°} — \text{90}\text{°} — \text{34}\text{°} & \\ &= \текст{56}\текст{°} & \конец{массив}\]

Методы доказательства вписанности четырехугольника

Есть три способа доказать, что четырехугольник является вписанным четырехугольником:

	Метод доказательства	Причина
	Если \(\шляпа{P} + \шляпа{R} = \text{180}\text{°}\) или \(\шляпа{S} + \шляпа{Q} = \text{180}\text {°}\), тогда \(PQRS\) циклическая четверка.	опп. внутр. углы доп.
	Если \(\hat{P} = \hat{Q}\) или \(\hat{S} = \hat{R}\), то \(PQRS\) является циклической четверкой.	угла в одном сегменте.
	Если \(T\hat{Q}R = \hat{S}\), то \(PQRS\) циклическая четверка.	доб. угол равен внутр. опп. угол

Рабочий пример 5: Доказательство того, что четырехугольник является вписанным четырехугольником

Докажите, что \(ABDE\) вписанный четырехугольник.

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Докажите, что \(ABDE\) — вписанный четырехугольник

\[\begin{массив}{rll} D\hat{B}C &= \text{90}\text{°} & (\angle \text{в полукруге}) \\ \text{и} \шляпа{E} &= \text{90}\text{°} & (\text{данный}) \\ \поэтому D\шляпа{B}C &= \шляпа{E} & \\ \поэтому ABDE \text{ является циклическим} & \text{четырехугольник} & \text{(ext. \@ \(\angle\) equals int.\@ опп.\@ \(\угол\))} \конец{массив}\]

Вписанные четырехугольники

Учебник Упражнение 8.4

\[\begin{массив}{rll} a + \text{87}\text{°} &= \text{180}\text{°} & (\text{противоположные углы циклического четырехугольника. супп. }) \\ \поэтому &= \text{93}\text{°} & \\ b + \text{106}\text{°} &= \text{180}\text{°} & (\text{противоположные углы циклического четырехугольника. супп. }) \\ \поэтому b &= \text{74}\text{°} & \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} a &= H\hat{I}J & \angle (\text{внешний угол, циклический четырехугольник = внутр. opp }) \\ &= \text{114}\text{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} \hat{W} + \text{86}\text{°} &= \text{180}\text{°} & (\text{противоположные углы циклического четырехугольника. супп. }) \\ \поэтому \шляпа{W} &= \text{94}\text{°} & \\ a + \hat{W} + \text{57}\text{°} &= \text{180}\text{°} & (\text{сумма углов} \треугольник)\\ \поэтому &= \text{29}\текст{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} A\hat{M}B &= \text{32}\text{°} + D\hat{B}C & (\text{внешний угол} \triangle = \text{сумма внутр. опп. углы}) \\ \поэтому \text{72}\text{°} &= \text{32}\text{°} + D\hat{B}C & \\ \поэтому D\шляпа{B}C &= \text{40}\text{°} & (\text{сумма углов} \треугольник) \\ \поэтому D\шляпа{B}C &= D\шляпа{A}C & \\ \text{Поэтому } ABCD &= \text{ является циклической четверкой. } & ( \text{ углы в одном сегменте}) \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} \text{In } \triangle ABD, \quad A\hat{B}D = A\hat{D}B &= \text{35}\text{°} & (\angle \text{с опп. равные стороны }) \\ \поэтому \text{35}\text{°} + \text{35}\text{°} + D\hat{A}B &= \text{180}\text{°} & (\угол \текст{s сумма} \треугольник) \\ \поэтому D\шляпа{A}B &= \text{110}\text{°} & (\text{сумма углов} \треугольник) \\ \text{И} D\шляпа{A}B + D\шляпа{C}B &= \text{180}\text{°} & \\ \text{Поэтому } ABCD &= \text{ является циклической четверкой. } & ( \text{ напр. внутр. углы супп.}) \конец{массив}\]

Касательная к окружности

Касательная — это линия, которая касается окружности только в одном месте. Радиус круга перпендикулярно касательной в точке касания.

Окружность с центром \(O\) и касательными \(PA\) и \(PB\), где \(A\) и \(B\) — соответствующие точки контакт для двух линий.

\(AP = BP\)

В \(\треугольник AOP\) и \(\треугольник BOP\), \[\begin{массив}{rll} O\шляпа{A}P = O\шляпа{B}P &= \text{90}\text{°} & (\text{тангенс} \perp \text{радиус})\\ AO &= BO & (\text{равные радиусы}) \\ OP &= OP & (\text{общая сторона}) \\ \поэтому \triangle AOP &\equiv \triangle BOP & (\text{RHS}) \\ \поэтому AP &= BP & \конец{массив}\]

Рабочий пример 6: Касательные из одной и той же точки вне круга

На приведенной ниже диаграмме \(AE = \text{5}\text{см}\), \(AC = \text{8}\text{см}\) и \(CE = \text{9}\текст{ см}\). Определите значения \(a\), \(b\) и \(c\).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решите для \(a\), \(b\) и \(c\)

\[\begin{массив}{rll} AB = AF&= a & (\text{касательные от } A) \\ EF = ED&= c & (\text{касательные от } E) \\ CB = CD&= b & (\text{касательные от } C) \\ \поэтому AE = a + c &= 5 & \\ \text{и} AC = a + b &= 8 & \\ \text{и} CE = b + c &= 9& \конец{массив}\]

Решите неизвестные переменные с помощью системы уравнений

\[\begin{массив}{rll} а + с &= 5 & \ldots (1)\\ a + b &= 8 & \ldots (2)\\ б + с &= 9 & \ldots (3) \конец{массив}\]

Вычесть уравнение \((1)\) из уравнения \((2)\) и затем подставить в уравнение \((3)\):

\[\begin{массив}{rll} (2) — (1) \quad b-c &= 8-5 & \\ &= 3 & \\ \поэтому b &= c + 3 & \\ \text{Подставить в } (3) \quad c + 3 + c &= 92 &= \text{6,25} & \\ \поэтому e &= \text{2,5}\text{ см} & \end{массив}\]

\(f=\text{3}\text{см}\)

Теорема о касательной хорде

Рассмотрите схемы, приведенные ниже:

Диаграмма \(\text{1}\)	Диаграмма \(\text{2}\)	Диаграмма \(\text{3}\)

1. Измерьте транспортиром следующие углы и заполните таблицу:

   	Диаграмма \(\text{1}\)	Диаграмма \(\text{2}\)	Диаграмма \(\text{3}\)
   \(А\шляпа{В}С =\)
   \(\шляпа{D} =\)
   \(\шляпа{Е} =\)

2. Используйте полученные результаты, чтобы решить следующее: угол между касательной к окружности и хордой равен \(\ldots \ldots\) на угол в альтернативном сегменте.

Окружность с центром \(O\) и касательной \(SR\), касающейся окружности в точке \(B\). Аккорд \(AB\) стягивается \(\шляпа{P}_1\) и \(\шляпа{Q}_1\).

1. \(A\шляпа{B}R = A\шляпа{P}B\)
2. \(А\шляпа{В}S = А\шляпа{Q}В\)

Нарисуйте диаметр \(BT\) и соедините \(T\) с \(A\).

Пусть \(A\hat{T}B = T_1\). \[\begin{массив}{rll} A\шляпа{B}S + A\шляпа{B}T &= \text{90}\text{°} & (\text{тангенс} \perp \text{радиус}) \\ B\hat{A}T &= \text{90}\text{°} & (\angle \text{в полукруге}) \\ \поэтому A\шляпа{B}T + T_1 &= \text{90}\text{°} & (\angle \text{ сумма } \треугольник BAT) \\ \поэтому A\шляпа{B}S &= T_1 & \\ \text{но } Q_1 &= T_1 & (\angle \text{s в одном сегменте}) \\ \поэтому Q_1 &= A\шляпа{B}S & \конец{массив}\] \[\begin{массив}{rll} A\шляпа{B}S + A\шляпа{B}R &= \text{180}\text{°} & (\angle \text{s на строке}) \\ \hat{Q}_1 + \hat{P}_1 &= \text{180}\text{°} & (\text{opp. } \angle \text{s циклический quad. supp.}) \\ \поэтому A\шляпа{B}S + A\шляпа{B}R &= Q_1 + P_1 & \\ \text{и} A\шляпа{B}S &= Q_1 & \\ \поэтому A\шляпа{B}R &= P_1 & \конец{массив}\]

Рабочий пример 7: теорема о касательной хорде

Определите значения \(h\) и \(s\).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Найдите \(h\)

\[\begin{массив}{rll} O\hat{Q}S &= S\hat{R}Q & (\text{теорема о касательной хорде}) \\ ч + \text{20}\text{°} &= 4h — \text{70}\text{°} & \\ \text{90}\text{°} &= 3h & \\ \поэтому h &= \text{30}\text{°} & \конец{массив}\]

Найдите \(s\)

\[\begin{массив}{rll} P\hat{Q}R &= Q\hat{S}R & (\text{теорема о касательной хорде}) \\ с &= 4ч & \\ &= 4(\текст{30}\текст{°}) & \\ &= \text{120}\text{°} & \конец{массив}\]

Теорема о касательной хорде

Учебник Упражнение 8. 6

\[\begin{массив}{rll} a &= \text{33}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ b &= \text{33}\text{°} & (\text{высокие углы, } OP \parallel SR ) \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} c &= \text{72}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ d &= \dfrac{\text{180}\text{°} — \text{72}\text{°} }{2} & (\text{равнобедренный треугольник}) \\ &= \text{54}\text{°} & (\text{высокие углы, } OP \parallel SR ) \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} f &= \text{38}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ g &= \text{47}\text{°} & (\text{тангенс-аккорд}) \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} \шляпа{O}_1 = \шляпа{Q}_1 &= \text{66}\text{°} & (\text{равнобедренная, касательная-хорда}) \\ \поэтому l &= \text{180}\text{°} — 2 \times \text{66}\text{°} & (\text{сумма углов } \треугольник)\\ &= \текст{48}\текст{°} & \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} i &= \text{180}\text{°} — \text{101}\text{°} — \text{39}\text{°} & (\angle \text{s на ул. линия }) \\ \поэтому я &= \text{40}\text{°} & \\ j &= \text{101}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ k = i &= \text{40}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \конец{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} n &= \text{34}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ o &= \text{180}\text{°} — \text{90}\text{°} — \text{34}\text{°} & (\text{angles сумма } \треугольник) \\ \поэтому о &= \text{56}\text{°} & \\ m &= \text{56}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \end{массив}\]

\[\begin{массив}{rll} q &= \text{52}\text{°} & (\text{тангенс-хорда}) \\ р &= \текст{90}\text{°} — \text{52}\text{°} & (\text{тангенциальный относительный радиус}) \\ \поэтому p &= \text{38}\text{°} & \\ r &= \text{90}\text{°} & ( \angle \text{в полукруге}) \end{array}\]

\(O\) — центр окружности и \(SPT\) — касательная, с \(OP \perp ST\). Определить \(а\), \(b\) и \(c\) с указанием причин.

\[\begin{массив}{rll} a &= \text{90}\text{°} — \text{64}\text{°} & (\text{тангенциальный относительный радиус}) \\ &= \текст{26}\текст{°} & \\ b &= \text{64}\text{°} & (\text{касательная хорда}) \\ c &= 2 \times \text{64}\text{°} & (\angle\text{ в центре} = 2\angle \text{ в окружности}) \\ &= \text{128}\text{°} & \\ \конец{массив}\]

\(PAL\) является касательной к окружности \(ABC\).

\[\begin{массив}{rll} \hat{A}_1 &= A\hat{C}B & (\text{высокие углы}, AP \параллельно BC) \\ A\шляпа{C}B &= A\шляпа{B}C & (\угол \text{s против равных сторон}, AB = AC) \\ \поэтому \шляпа{A}_1 &= A\шляпа{B}C & \\ \text{Поэтому } PAL & \text{является касательной к окружности } ABC & (\angle\text{между хордой линии} = \угол\текст{ на альт. сегмент}) \конец{массив}\]

\(AB\) является касательной к окружности \(ADP\).

\[\begin{массив}{rll} \шляпа{A}_2 &= \шляпа{B}_2 & (\text{дано}) \\ \text{И } A\шляпа{P}B &= \шляпа{B}_2 & (\text{альт. углы}, AP \параллельно ВС) \\ \text{Следовательно} A\hat{P}B &= \hat{A}_2 ABC & \\ \text{Поэтому } AB & \text{является касательной к окружности } ADP & (\angle\text{ между хордой линии} = \угол\текст{ на альт. сегмент}) \конец{массив}\]

Обратное: теорема о касательной хорде

Если линия, проведенная через конечную точку хорды, образует угол, равный углу, образуемому хордой в альтернативный сегмент, то линия является касательной к окружности.

(Причина: \(\угол\) между линией и хордой \(= \угол\) в альтернативном сегменте)

Рабочий пример 8: Применение теорем

\(BD\) является касательной к окружности с центром \(O\), с \(BO \perp AD\).

Докажите, что:

1. \(CFOE\) — вписанный четырехугольник

2. \(ФБ=БК\)

3. \(\угол A\шляпа{O}C = 2 B\шляпа{F}C\)

4. Будет ли \(DC\) касательной к окружности, проходящей через \(C,F,O\) и \(E\)? Мотивируйте свой ответ.

Докажите, что \(CFOE\) является вписанным четырехугольником, показав, что противоположные углы являются дополнительными

\[\begin{массив}{rll} BO & \perp OD & (\text{данный}) \\ \поэтому F\шляпа{O}E &= \text{90}\text{°} & \\ F\hat{C}E &= \text{90}\text{°} & (\angle \text{в полукруге}) \\ \поэтому CFOE & \text{является циклической четверкой.} & (\text{opp. } \angle \text{s suppl.}) \конец{массив}\]

Докажите, что \(BFC\) равнобедренный треугольник

Чтобы показать, что \(FB = BC\), мы сначала докажем, что \(\треугольник BFC\) является равнобедренным треугольником, показав, что \(B\шляпа{F}C = B\шляпа{C}F\).

\[\begin{массив}{rll} B \ шляпа {C} F & = C \ шляпа {E} O & (\ text {тангенс-хорда}) \\ C\hat{E}O &= B\hat{F}C & (\text{ext.} \angle \text{циклический квадр. } CFOE) \\ \поэтому B\шляпа{F}C &= B\шляпа{C}F \\ \следовательно, FB &= BC & (\треугольник BFC \text{равнобедренный}) \конец{массив}\]

Докажите \(A\шляпа{O}C = 2 B\шляпа{F}C\)

\[\begin{массив}{rll} A\шляпа{O}C &= 2 A\шляпа{E}C & (\угол \text{ в центре} = 2 \угол \text{в окружности.}) \\ \text{and} A\hat{E}C &= B\hat{F}C & (\text{ext.} \angle \text{циклический квадрат. } CFOE) \\ \поэтому A\шляпа{O}C &= 2 B\шляпа{F}C \конец{массив}\]

Определить, является ли \(DC\) касательной к окружности, проходящей через \(C\), \(F\), \(O\) и \(E\)

Доказательство от противного.

Предположим, что \(DC\) является касательной к окружности, проходящей через точки \(C\), \(F\), \(O\) и \(Е\): \[\begin{массив}{rll} \поэтому D\шляпа{C}E = C\шляпа{O}E \quad (\text{касательная-аккорда}) \конец{массив}\] И используя окружность с центром \(O\) и касательной \(BD\), мы имеем это: \[\begin{массив}{rll} D \ шляпа {C} E & = C \ шляпа {A} E & (\ text {тангенс-аккорд}) \\ \text{но } C\hat{A}E &= \frac{1}{2} C\hat{O}E & (\angle \text{ в центре} = 2 \angle \text{ в об. }) \\ \поэтому D\шляпа{C}E &\ne C\шляпа{O}E & \конец{массив}\] Следовательно, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что \(DC\) не является касательной к окружности. проходящей через точки \(C\), \(F\), \(O\) и \(E\).

Рабочий пример 9: Применение теорем

\(FD\) проводится параллельно касательной \(CB\)

Докажите, что:

1. \(FADE\) — вписанный четырехугольник

2. \(F\шляпа{E}A = \шляпа{B}\)

Докажите, что \(FADE\) является вписанным четырехугольником, используя углы в одном сегменте

\[\begin{массив}{rll} F\шляпа{D}C &= D\шляпа{C}B & (\text{alt. } \angle\text{s } FD \parallel CB) \\ \text{и} D\шляпа{C}B &= C\шляпа{A}E & (\text{тангенс-аккорд}) \\ \поэтому F\шляпа{D}C &= C\шляпа{A}E \\ \поэтому FADE & \text{является циклическим четырехугольником. } & (\angle \text{s в одном сегменте}) \конец{массив}\]

Докажите \(F\hat{E}A = \hat{B}\)

\[\begin{массив}{rll} F\hat{D}A &= \hat{B} & (\text{соответственно} \angle\text{s} FD \parallel CB) \\ \text{and} F\hat{E}A &= F\hat{D}A & (\angle \text{s тот же сегмент\@ циклический квадрат.\@ } FADE) \\ \поэтому F\шляпа{E}A &= \шляпа{B} \конец{массив}\]

Геометрия левого желудочка и тяжелая гипертрофия левого желудочка у детей и подростков с гипертонической болезнью

Сохранить цитату в файл

Формат: Резюме (текст) PubMedPMIDAbstract (текст) CSV

Добавить в коллекции

• Создать новую коллекцию
• Добавить в существующую коллекцию

Назовите свою коллекцию:

Имя должно содержать менее 100 символов

Выберите коллекцию:

Невозможно загрузить вашу коллекцию из-за ошибки
Повторите попытку

Добавить в мою библиографию

• Моя библиография

Не удалось загрузить делегатов из-за ошибки
Повторите попытку

Ваш сохраненный поиск

Название сохраненного поиска:

Условия поиска:

Тестовые условия поиска

Эл. адрес: (изменить)

Который день? Первое воскресеньеПервый понедельникПервый вторникПервая средаПервый четвергПервая пятницаПервая субботаПервый деньПервый рабочий день

Который день? воскресеньепонедельниквторниксредачетвергпятницасуббота

Формат отчета: РезюмеРезюме (текст)АбстрактАбстракт (текст)PubMed

Отправить максимум: 1 шт. 5 шт. 10 шт. 20 шт. 50 шт. 100 шт. 200 шт.

Отправить, даже если нет новых результатов

Необязательный текст в электронном письме:

Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированием

Полнотекстовые ссылки

Атыпон

Полнотекстовые ссылки

. 1998 19 мая; 97 (19): 1907-11.

doi: 10.1161/01.cir.97.19.1907.

СР Дэниелс ¹ , Дж. М. Логги, П. Хури, Т. Р. Кимбалл

принадлежность

• ¹ Отделение кардиологии, Медицинский колледж Университета Цинциннати и Медицинский центр детской больницы, Огайо 45229, США.

• PMID: 9609083
• DOI: 10.1161/01.около 19.97.1907

SR Daniels et al. Тираж. 1998 .

. 1998 19 мая; 97 (19): 1907-11.

дои: 10.1161/01.cir.919.07.1907.

Авторы

СР Дэниелс ¹ , Дж. М. Логги, П. Хури, Т. Р. Кимбалл

принадлежность

• ¹ Отделение кардиологии, Медицинский колледж Университета Цинциннати и Медицинский центр детской больницы, Огайо 45229, США.

• PMID: 9609083
• DOI: 10.1161/01.около 19.97.1907

Абстрактный

Фон: Установлено, что гипертрофия левого желудочка (ЛЖ) является независимым фактором риска сердечно-сосудистых заболеваний у взрослых. В недавних исследованиях была уточнена эта взаимосвязь путем определения порогового значения 51 г/м (2,7) для индекса массы ЛЖ, указывающего на повышенный риск, и определения геометрических паттернов ЛЖ, связанных с повышенным риском. Целью данного исследования было оценить тяжелую гипертрофию ЛЖ и геометрию ЛЖ у детей и подростков с гипертонической болезнью.

Методы и результаты: Проведено поперечное исследование молодых пациентов (n=130) со стойким повышением артериального давления выше 90-го процентиля. У 19 пациентов (14%) масса ЛЖ превышала 99-й процентиль; 11 из них также были выше порогового значения для взрослых, равного 51 г/м (2,7). Мужчины, субъекты с более высоким индексом массы тела и те, у кого была более низкая частота сердечных сокращений при максимальной нагрузке, имели значительно (P <0,05) более высокий риск тяжелой гипертрофии ЛЖ. Кроме того, у 22 пациентов (17%) была концентрическая гипертрофия ЛЖ, геометрическая картина, связанная с повышенным риском сердечно-сосудистых заболеваний у взрослых. Семь пациентов имели индекс массы ЛЖ выше порогового значения и концентрическую гипертрофию. У этих детей и подростков с артериальной гипертензией не было выявлено значимых значимых детерминант геометрии ЛЖ.

Выводы: Тяжелая гипертрофия ЛЖ и аномальная геометрия ЛЖ относительно распространены у молодых пациентов с гипертонической болезнью. Эти данные свидетельствуют о том, что эти пациенты могут быть подвержены риску сердечно-сосудистых заболеваний в будущем, и подчеркивают важность выявления и лечения повышения артериального давления у детей и подростков. Снижение массы тела является важным компонентом терапии молодых пациентов с гипертонической болезнью, имеющих избыточную массу тела.

Похожие статьи

• Прогностическое значение массы и геометрии левого желудочка при системной гипертензии с гипертрофией левого желудочка.

  Вердеккиа П., Скиллачи Г., Борджони К., Чуччи А., Гаттобиджио Р., Дзампи И., Сантуччи А., Сантуччи С., Ребольди Г., Порчеллати К. Вердеккиа П. и др. Ам Джей Кардиол. 1996 г., 15 июля; 78 (2): 197–202. дои: 10.1016/s0002-9149(96)-1. Ам Джей Кардиол. 1996. PMID: 8712142

• Естественная история геометрии левого желудочка в обществе: клинические корреляты и прогностическое значение изменения геометрического рисунка ЛЖ.

  Либ В., Гона П., Ларсон М.Г., Арагам Дж., Зиле М.Р., Ченг С., Бенджамин Э.Дж., Васан Р.С. Либ В. и др. JACC Cardiovasc Imaging. 2014 сен;7(9):870-8. doi: 10.1016/j.jcmg.2014.05.008. Epub 2014 13 августа. JACC Cardiovasc Imaging. 2014. PMID: 25129518 Бесплатная статья ЧВК.

• Влияние геометрии левого желудочка на регионарную систолическую и диастолическую функцию у больных гипертонической болезнью.

  Балджи Б., Йылмаз О. Балчи Б. и др. Scand Cardiovasc J. 2002 Sep;36(5):292-6. дои: 10.1080/140174302320774500. Сканд Кардиоваск Дж. 2002. PMID: 12470397

• Гипертрофия левого желудочка при гипертонии: стимулы, закономерности и последствия.

  Деверо РБ, Роман МЮ. Деверо Р.Б. и соавт. Гипертензия рез. 1999 март; 22(1):1-9. doi: 10.1291/hypres.22.1. Гипертензия рез. 1999. PMID: 10221344 Обзор.

• Гипертоническая болезнь сердца у детей и подростков.

  Дэниелс С.Р. Дэниелс СР. Мониторинг кровяного давления. 1999 июнь-авг;4(3-4):165-70. Мониторинг кровяного давления. 1999. PMID: 104

• Обзор.

Посмотреть все похожие статьи

Цитируется

• Ориентация на артериальную гипертензию, вызванную ингибитором кальциневрина, у детей с трансплантацией печени с использованием гидрохлоротиазида.

  Хартлейф ​​С., Байер Х., Кумпф М., Хандгретингер Р., Кёниграйнер А., Надалин С., Штурм Э. Хартлейф ​​С. и др. J Pediatr Pharmacol Ther. 2022;27(5):428-435. дои: 10.5863/1551-6776-27.5.428. Epub 2022 6 июля. J Pediatr Pharmacol Ther. 2022. PMID: 35845561 Бесплатная статья ЧВК.

• Уровни натрийуретического пептида в плазме головного мозга у детей с хронической болезнью почек и реципиентов почечного трансплантата: исследование в одном центре.

  Гаруфи А., Компарелу А., Аскити В., Ликудис П., Мициони А., Драпаниоти С., Сервос Г., Пападаки М., Гургиотис Д., Мармаринос А. Гаруфи А. и др. Дети (Базель). 2022 19 июня; 9 (6): 916. дои: 10.3390/дети

  16. Дети (Базель). 2022. PMID: 35740855 Бесплатная статья ЧВК.

• Высокое кровяное давление у детей и подростков: текущие перспективы и стратегии для улучшения здоровья почек и сердечно-сосудистой системы в будущем.

  Робинсон Ч., Чанчлани Р. Робинсон С.Х. и соавт. Kidney Int Rep. 2022 Mar 1;7(5):954-970. doi: 10.1016/j.ekir.2022.02.018. Электронная коллекция 2022 май. Почечный международный представитель 2022. PMID: 35570999 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.

• Роль уратов в сердечно-сосудистом риске у подростков и молодых людей с артериальной гипертензией, оцененная по скорости пульсовой волны.

  Мочник М., Голоб Янчич С., Филипич М., Марчун Варда Н. Мочник М. и соавт. Front Cardiovasc Med. 2022 15 апр;9:867428. doi: 10.3389/fcvm.2022.867428. Электронная коллекция 2022. Front Cardiovasc Med. 2022. PMID: 35498002 Бесплатная статья ЧВК.

• Разница в распространенности повышенного артериального давления и гипертонии по ссылкам у корейских детей и подростков.

  Ким Дж.И., Чо Х., Ким Дж.Х. Ким JY и др. Front Med (Лозанна). 2022, 24 февраля; 9:793771. doi: 10.3389/fmed.2022.793771. Электронная коллекция 2022. Front Med (Лозанна). 2022. PMID: 35280904 Бесплатная статья ЧВК.

Просмотреть все статьи «Цитируется по»

Типы публикаций

термины MeSH

вещества

Грантовая поддержка

• R01-HL-34698/HL/NHLBI NIH HHS/США
• RR-08084/RR/NCRR NIH HHS/США

Полнотекстовые ссылки

Атыпон

Укажите

Формат: ААД АПА МДА НЛМ

Отправить по номеру

Этап шейдера геометрии — приложения Win32

Редактировать

Твиттер LinkedIn Фейсбук Эл. адрес

• Статья
• 24.05.2021
• 3 минуты на чтение

Этап геометрического шейдера (GS) запускает указанный приложением код шейдера с вершинами в качестве входных данных и возможностью генерировать вершины на выходе.

В отличие от вершинных шейдеров, которые работают с одной вершиной, входными данными геометрического шейдера являются вершины для полного примитива (две вершины для линий, три вершины для треугольников или одна вершина для точки). Геометрические шейдеры также могут вводить данные вершин для смежных с ребрами примитивов в качестве входных данных (две дополнительные вершины для линии, дополнительные три вершины для треугольника). На следующем рисунке показаны треугольник и линия с соседними вершинами.

	Тип
ТВ	Вершина треугольника
АВ	Смежная вершина
ЛВ	Вершина линии

 

Этап шейдера геометрии может использовать сгенерированное системой значение SV_PrimitiveID, которое автоматически генерируется IA. Это позволяет при необходимости извлекать или вычислять данные для каждого примитива.

Стадия шейдера геометрии способна выводить несколько вершин, образующих единую выбранную топологию (доступные топологии вывода стадии GS: тройная полоса, линейная полоса и список точек). Количество сгенерированных примитивов может свободно варьироваться при любом вызове геометрического шейдера, хотя максимальное количество сгенерированных вершин должно быть объявлено статически. Длины полос, выдаваемые при вызове шейдера геометрии, могут быть произвольными, а новые полосы можно создавать с помощью функции RestartStrip HLSL.

Выходные данные шейдера геометрии могут передаваться на этап растеризатора и/или в буфер вершин в памяти через этап потокового вывода. Вывод, поступающий в память, расширяется до отдельных списков точек/линий/треугольников (точно так же, как они будут переданы растеризатору).

Когда геометрический шейдер активен, он вызывается один раз для каждого примитива, переданного или сгенерированного ранее в конвейере. При каждом вызове геометрического шейдера в качестве входных данных используются данные для вызываемого примитива, будь то одна точка, одна линия или один треугольник. Полоса треугольников из более раннего конвейера приведет к вызову шейдера геометрии для каждого отдельного треугольника в полосе (как если бы полоса была развернута в список треугольников). Доступны все входные данные для каждой вершины в отдельном примитиве (например, 3 вершины для треугольника), а также данные соседних вершин, если они применимы/доступны.

Геометрический шейдер выводит данные по одной вершине за раз, добавляя вершины к объекту выходного потока. Топология потоков определяется фиксированным объявлением, выбирая один из: PointStream, LineStream или TriangleStream в качестве вывода для этапа GS. Доступны три типа объектов потока: PointStream, LineStream и TriangleStream, которые являются шаблонными объектами. Топология выходных данных определяется их соответствующим типом объекта, а формат вершин, добавляемых к потоку, определяется типом шаблона. Выполнение экземпляра геометрического шейдера является атомарным по отношению к другим вызовам, за исключением того, что данные, добавляемые в потоки, являются последовательными. Выходные данные данного вызова геометрического шейдера не зависят от других вызовов (хотя порядок соблюдается). Геометрический шейдер, генерирующий полосы треугольников, будет начинать новую полосу при каждом вызове.

Когда выходные данные шейдера геометрии идентифицируются как значение, интерпретируемое системой (например, SV_RenderTargetArrayIndex или SV_Position), оборудование просматривает эти данные и выполняет некоторые действия в зависимости от значения, в дополнение к возможности передать сами данные на следующий этап шейдера для ввода. Когда такие выходные данные из геометрического шейдера имеют значение для аппаратного обеспечения для каждого примитива (например, SV_RenderTargetArrayIndex или SV_ViewportArrayIndex), а не для каждой вершины (например, SV_ClipDistance[n] или SV_Position), для каждого примитива данные берутся из ведущей вершины, испускаемой для примитива.

Геометрический шейдер может генерировать частично завершенные примитивы, если геометрический шейдер завершается, а примитив неполный. Неполные примитивы молча отбрасываются. Это похоже на то, как IA обрабатывает частично завершенные примитивы.

Геометрический шейдер может выполнять операции загрузки и выборки текстуры, когда не требуются производные экранного пространства (samplelevel, samplecmplevelzero, samplegrad).

Алгоритмы, которые могут быть реализованы в шейдере геометрии, включают:

• Расширение точечного спрайта
• Динамические системы частиц
• Поколение меха/плавников
• Генерация теневого тома
• Однопроходный рендеринг в кубическую карту
• Замена материала для каждого примитива
• Настройка материала для каждого примитива — включает генерацию барицентрических координат в качестве данных примитива, чтобы пиксельный шейдер мог выполнять интерполяцию пользовательских атрибутов (пример интерполяции нормалей более высокого порядка см.