ГДЗ параграф 4 20 геометрия 7‐9 класс Погорелов – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ параграф 4 20 геометрия 7‐9 класс Погорелов

Подробное решение параграф 4 № 20 по геометрии для учащихся 7 ‐9 класса , авторов Погорелов . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Геометрии за 7 ‐9 (седьмой‐девятый ) класс — готовый ответ параграф -4 — 20 . Авторы учебника: Погорелов . 

ГДЗ по Геометрии 7 -9 класс : Погорелов А .В . Издание: Геометрия . 7 -9 классы .  Использовать решебник по геометрии Погорелова за 7 -9 класс могут и родители, которые стремятся помочь в выполнении домашней работы и проверить успеваемость своих чад по . . 

Погорелов А .В . ГДЗ к учебнику геометрии за 7 класс .  Вашему вниманию предлагаются решения к учебнику по геометрии за седьмой класс авторов Погорелов А .В . — года издания . 

Coby . Интересная и достаточно сложная для изучения, особенно в старших классах , наука – геометрия . Сборник ГДЗ по этому предмету школьной программы для 9 класса Погорелова может частично облегчить . .
ГДЗ (готовые домашние задания ), решебник онлайн по геометрии за 7 , 8, 9 классы автор Погорелов параграф 4 задание(номер) 20 — вариант решения задания 20 к параграфу 4 . 

Готовые Домашние Задания . Решебник по Геометрии 7 -9 классы . Погорелов .
Решебник . Готовые Домашние Задания для 7 -9 классов по Геометрии . Погорелов А .В . .
Готовые домашние задания по геометрии по учебнику: Геометрия 7 -11 класс . Погорелов А .В .  9 КЛАСС . Параграф 11 (стр . 186-191) . 

«Геометрия . 7 -9 класс .» ГДЗ . Погорелов А . В . Ответы к учебнику по геометрии для 7 -9 класса Погорелов . Решения так же подходят к 

Номер № 20 , Параграф § 4 из решебника ГДЗ на по Геометрии 7 , 8, 9 классов от авторов А . В . Погорелов . 

Решение большинства задач из учебника «Геометрия . 7 -9 класс », автор А .В .Погорелов . Задачи на темы Подобие фигур, Решение треугольников, Многоугольники, Площади фигур . 

Подробный решебник ГДЗ к учебнику по Геометрии 7 -11 класс Погорелов А . В . 2009, онлайн ответы на  В дополнение к ответам и разлогим решениям, в ГДЗ по геометрии за 7 -11 класс, приведены  Издание 1995-2008 года включает основные параграфы из школьного учебника . 

ГДЗ Погорелов за 7 класс к учебнику Геометрия : Учебник для 7 -9 классов общеобразовательных учреждений, Погорелов А .В . — 2002 Решебник доступен на нашем сайте онлайн Разделы учебной программы 7 класса по геометрии 

Решебник . Готовые Домашние Задания по Геометрии для 7 -9 классов . А .В . Погорелов . 2008 .
Подробное решение параграф 4 № 20 по геометрии для учащихся 7 ‐9 класса , авторов Погорелов . 

Подробный решебник (ГДЗ ) по Геометрии за 7 ‐9 (седьмой‐девятый ) класс — готовый ответ параграф -4 — 20 . Авторы учебника: Погорелов . 

ГДЗ по Геометрии 7 -9 класс : Погорелов А .В . Издание: Геометрия . 7 -9 классы .  Использовать решебник по геометрии Погорелова за 7 -9 класс могут и родители, которые стремятся помочь в выполнении домашней работы и проверить успеваемость своих чад по . . 

Погорелов А .В . ГДЗ к учебнику геометрии за 7 класс .  Вашему вниманию предлагаются решения к учебнику по геометрии за седьмой класс авторов Погорелов А .В . — года издания . 

Coby . Интересная и достаточно сложная для изучения, особенно в старших классах , наука – геометрия . Сборник ГДЗ по этому предмету школьной программы для 9 класса Погорелова может частично облегчить . .
ГДЗ (готовые домашние задания ), решебник онлайн по геометрии за 7 , 8, 9 классы автор Погорелов параграф 4 задание(номер) 20 — вариант решения задания 20 к параграфу 4 . 

Готовые Домашние Задания . Решебник по Геометрии 7 -9 классы . Погорелов .
Решебник . Готовые Домашние Задания для 7 -9 классов по Геометрии . Погорелов А .В . .
Готовые домашние задания по геометрии по учебнику: Геометрия 7 -11 класс . Погорелов А .В .  9 КЛАСС . Параграф 11 (стр . 186-191) . 

«Геометрия . 7 -9 класс .» ГДЗ . Погорелов А . В . Ответы к учебнику по геометрии для 7 -9 класса Погорелов . Решения так же подходят к 

Номер № 20 , Параграф § 4 из решебника ГДЗ на по Геометрии 7 , 8, 9 классов от авторов А . В . Погорелов . 

Решение большинства задач из учебника «Геометрия . 7 -9 класс », автор А .В .Погорелов . Задачи на темы Подобие фигур, Решение треугольников, Многоугольники, Площади фигур . 

Подробный решебник ГДЗ к учебнику по Геометрии 7 -11 класс Погорелов А .В . 2009, онлайн ответы на  В дополнение к ответам и разлогим решениям, в ГДЗ по геометрии за 7 -11 класс, приведены  Издание 1995-2008 года включает основные параграфы из школьного учебника . 

ГДЗ Погорелов за 7 класс к учебнику Геометрия : Учебник для 7 -9 классов общеобразовательных учреждений, Погорелов А .В . — 2002 Решебник доступен на нашем сайте онлайн Разделы учебной программы 7 класса по геометрии 

Решебник . Готовые Домашние Задания по Геометрии для 7 -9 классов . А .В . Погорелов . 2008 .

ГДЗ страница 198 английский язык 11 класс Афанасьева, Михеева
ГДЗ упражнение 297 русский язык 4 класс Нечаева, Яковлева
ГДЗ глава №8 / § 53 2 физика 7 класс рабочая тетрадь Ханнанова, Ханнанов
ГДЗ учебник 2009 / вопрос §11 физика 9 класс Перышкин, Гутник
ГДЗ глава 1 96 русский язык 6 класс Шмелев, Флоренская
ГДЗ § 40 40. 15 алгебра 8 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ часть 1. страница 4 английский язык 3 класс Верещагина, Притыкина
ГДЗ упражнение 481 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 513 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ упражнение 398 математика 6 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева
ГДЗ часть 2. страница 50 английский язык 3 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ упражнение 358 русский язык 5 класс Львова, Львов
ГДЗ задание для самоконтроля 34 алгебра 9 класс Никольский, Потапов
ГДЗ часть 2 (страница) 34 окружающий мир 2 класс рабочая тетрадь Плешаков, Новицкая
ГДЗ параграф 7 7.26 алгебра 8 класс задачник Мордкович, Александрова
ГДЗ упражнение 406 математика 4 класс Аргинская, Ивановская
ГДЗ § 29 10 химия 8 класс рабочая тетрадь Еремина, Кузьменко
ГДЗ § 32 3 химия 8 класс Еремин, Кузьменко
ГДЗ упражнение 399 русский язык 5 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ упражнение 458 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 33 окружающий мир 2 класс рабочая тетрадь Дмитриева, Казаков
ГДЗ задача П. 15 алгебра 11 класс учебник, задачник Мордкович, Денищева
ГДЗ §27 8 алгебра 8 класс Задачник Мордкович, Александрова
ГДЗ номер 134 алгебра 10‐11 класс Колмогоров, Абрамов
ГДЗ параграф 26 6 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова
ГДЗ упражнение 26 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ задача 746 геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов
ГДЗ учебник 2009 / вопрос §30 физика 9 класс Перышкин, Гутник
ГДЗ параграф 17 12 алгебра 8 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова
ГДЗ приложение 66 география 8 класс контрольно-измерительные материалы Жижина
ГДЗ unit 2 / section 5 12 английский язык 6 класс рабочая тетрадь 1 Биболетова, Денисенко
ГДЗ повторение 15 алгебра 9 класс Учебник, Задачник (2018) Мордкович, Семенов
ГДЗ обучающие работы / О-29 2 алгебра 8 класс дидактические материалы Евстафьева, Карп
ГДЗ вариант 3 14 алгебра 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
ГДЗ вправа 298 алгебра 8 класс Кравчук, Пидручна
ГДЗ сторінка 40 геометрия 11 класс комплексная тетрадь для контроля знаний Роганин
ГДЗ страница 72 английский язык 11 класс spotlight Эванс, Дули
ГДЗ упражнение 401 русский язык 5 класс Практика Купалова, Еремеева
ГДЗ номер 722 алгебра 9 класс Алимов, Колягин
ГДЗ упражнение 863 математика 5 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева
ГДЗ самостоятельная работа / вариант 2 67 математика 5 класс дидактические материалы Чесноков, Нешков
ГДЗ номер 118 биология 6 класс рабочая тетрадь Пасечник
ГДЗ страница 56 химия 9 класс тетрадь-тренажёр Гара
ГДЗ упражнение / параграф 15 15. 19 геометрия 7 класс Смирнов, Туяков
ГДЗ упражнение 271 русский язык 7 класс Львова, Львов
ГДЗ упражнение 308 алгебра 10‐11 класс Алимов, Колягин
ГДЗ Учебник 2019 / часть 1 750 (748) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ параграф 19 биология 7 класс Тихонова, Романова
ГДЗ часть 1. страница 85 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Ерина
ГДЗ упражнение 748 математика 5 класс Муравин, Муравина

ГДЗ Литература 7 Класс Меркин Часть

Готовые Домашние Задания По Чтению 2

ГДЗ глава 6 59 русский язык 6 класс Шмелев, Флоренская

ГДЗ По Бел Яз 10 Класс 2020

ГДЗ занимательные и нестандартные задачи / уроки 1-6 10 математика 4 класс дидактические материалы Козлова, Гераськин

А.В. Погорелов. Геометрия. 9 класс. §11. Контрольные вопросы, ответы — Решебник

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Что такое преобразование подобия?
Ответ. Преобразование фигуры \(F\) в фигуру \(F’\) называется преобразованием подобия, если при этом проеобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки \(X\), \(Y\) фигуры \(F\) при преобразовании подобия переходят в точки \(X’\), \(Y’\) фигуры \(F’\), то \(X’Y’ = k\cdot XY\), причем число \(k\) — одно и то же для всех точек \(X\), \(Y\). Число \(k\) называется коэффициентом подобия. При \(k = 1\) преобразование подобия, очевидно, является движением.

Вопрос 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
Ответ. Пусть \(F\) — данная фигура и \(O\) — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку \(X\) фигуры \(F\) луч \(OX\) и отложим на нем отрезок \(OX’\), равный \(k\cdot OX\), где \(k\) — положительное число. Преобразование фигуры \(F\), при котором каждая ее точка \(X\) переходит в точку \(X’\), построенную указанным способом, называется

гомотетией относительно центра \(O\). Число \(k\) называется коэффициентом гомотетии, фигуры \(F\) и \(F’\) называется гомотетичными.

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Доказательство. Пусть \(O\) — центр гомотетии, \(k\) — коэффициент гомотетии, \(X\) и \(Y\) — две произвольные точки фигуры (рис. 235).

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X’\) и \(Y’\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline{OX’} = k\overline{OX},\, \overline{OY’} = k\overline{OY}\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline{OY’} — \overline{OX’} = k(\overline{OY} — \overline{OX})\).

Так как \(\overline{OY’} — \overline{OX’} = \overline{X’Y’}\), \(\overline{OY} — \overline{OX} = \overline{XY}\), то \(\overline{X’Y’} = k\overline{XY}\). Значит, \(|\overline{X’Y’}| = k|\overline{XY}|\), т.е. \(X’Y’ = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ.

Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F’\) читается так: «Фигура \(F\) подобна фигуре \(F’\)».

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac{AB}{A_1B_1}\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Проведем высоту \(CD\) из вершины прямого угла (рис. 243).