ГДЗ От Путина Мерзляк 8 – Telegraph
➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!
ГДЗ От Путина Мерзляк 8
Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по алгебре для 8 класса, А .Г . Мерзляк , В .Б . Полонский, М .С . Якир Алгоритм успеха от Путина . В этом им поможет ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк . Этот ресурс знаком многим ученикам – решение заданий подглядывают как . .
ГДЗ по алгебре для 8 класса Мерзляка – это онлайн-сборник готовых домашних заданий по задачам и примерам из учебника Чтобы разобраться в теории и научиться применять ее на практике можно опираться на готовые домашние задания . ГДЗ для 8 класса от Путина . .
ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир Вентана-Граф . Лучше усвоить новые темы, быстро восстановить в памяти пройденный материал и легко наверстать упущенные знания поможет решебник по алгебре, который подготовили А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир .
Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 8 (восьмой) класс авторы: Мерзляк, Полонский, Якир издательство Вентана-граф, 2019 год .
Авторы: А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир . Издательство: Вентана-граф 2019 год . Тип: Учебник, Алгоритм успеха .
ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 8 класс, решебник Мерзляк, Алгоритм успеха ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU . Мерзляк, Полонский и Якир стали разработчиками учебника с содержанием ответов по алгебре для восьмиклассников .
Одним из наиболее популярных по алгебре в 8 классе является учебник Мерзляк Полонский, поэтому востребованность всевозможных решебников Ответы на практически все задания не всегда является решающим аргументом, чаще важно и качество решения и его доступность .
ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк содержит девятьсот тридцать восемь номеров, где даны примеры решения по всем имеющимся в школьной программе задачам . Исчерпывающие ответы помогут школьникам проверить себя и поработать над ошибками . Помимо этого, в сборнике . .
ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк окажет так необходимую подросткам поддержку и поможет преодолевать различные преграды при изучении Решебник к учебнику «Алгебра 8 класс (углубленный уровень)» Мерзляк позволяет познать данную науку более объемно и при этом .
.
ГДЗ Учебники с видеорешениями По Геометрии А .Г . Мерзляк 8 класс . Решебник и ГДЗ Видео по Геометрии для 8 класса , авторы учебника: А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир Алгоритм успеха ФГОС .
Решения с подробным объяснением и ГДЗ : Алгебра 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир — Учебник . Польза Готового Домашнего Задания . Авторы издательств книг по учебным дисциплинам повышают строгость материала, не учитывая разные степени подготовки . .
Готовые домашние задания с 1 по 11 класс . Главная »» ГДЗ Геометрия 8 класс »» ГДЗ решебник по Геометрии 8 класс Мерзляк А .Г ., Полонский В .Б .
Выберите задание .
ГДЗ — это просто и удобно . Книги с готовыми ответами полностью повторяют учебники школьной программы и по сути, у школьника не Чтобы найти необходимый пример или задачу нужно воспользоваться содержанием ГДЗ за 8 класс ГДЗ по алгебре А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский . .
«Геометрия . 8 класс .» ГДЗ . Мерзляк А . Г ., Полонский В . Б ., Якир М .
С . Відповіді до підручника з геометрії для 8 класу Мерзляк . Ответы к учебнику по геометрии для 8 класса Мерзляк . Задания
Решебники (ГДЗ ) для школьников . ГДЗ к учебнику Мерзляк А .Г ., Полонский В .Б . Геометрия 8 класс ОНЛАЙН . Домашняя работа по геометрии за 8 класс к учебнику авторов А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир .
Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по алгебре для 8 класса, А .Г . Мерзляк , В .Б . Полонский, М .С . Якир Алгоритм успеха от Путина . В этом им поможет ГДЗ по алгебре за 8 класс Мерзляк . Этот ресурс знаком многим ученикам – решение заданий подглядывают как . .
ГДЗ по алгебре для 8 класса Мерзляка – это онлайн-сборник готовых домашних заданий по задачам и примерам из учебника Чтобы разобраться в теории и научиться применять ее на практике можно опираться на готовые домашние задания . ГДЗ для 8 класса от Путина . .
ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир Вентана-Граф . Лучше усвоить новые темы, быстро восстановить в памяти пройденный материал и легко наверстать упущенные знания поможет решебник по алгебре, который подготовили А .
Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир .
Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 8 (восьмой) класс авторы: Мерзляк, Полонский, Якир издательство Вентана-граф, 2019 год . Авторы: А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир . Издательство: Вентана-граф 2019 год . Тип: Учебник, Алгоритм успеха .
ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 8 класс, решебник Мерзляк, Алгоритм успеха ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU . Мерзляк, Полонский и Якир стали разработчиками учебника с содержанием ответов по алгебре для восьмиклассников .
Одним из наиболее популярных по алгебре в 8 классе является учебник Мерзляк Полонский, поэтому востребованность всевозможных решебников Ответы на практически все задания не всегда является решающим аргументом, чаще важно и качество решения и его доступность .
ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк содержит девятьсот тридцать восемь номеров, где даны примеры решения по всем имеющимся в школьной программе задачам . Исчерпывающие ответы помогут школьникам проверить себя и поработать над ошибками .
Помимо этого, в сборнике . .
ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк окажет так необходимую подросткам поддержку и поможет преодолевать различные преграды при изучении Решебник к учебнику «Алгебра 8 класс (углубленный уровень)» Мерзляк позволяет познать данную науку более объемно и при этом . .
ГДЗ Учебники с видеорешениями По Геометрии А .Г . Мерзляк 8 класс . Решебник и ГДЗ Видео по Геометрии для 8 класса , авторы учебника: А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир Алгоритм успеха ФГОС .
Решения с подробным объяснением и ГДЗ : Алгебра 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир — Учебник . Польза Готового Домашнего Задания . Авторы издательств книг по учебным дисциплинам повышают строгость материала, не учитывая разные степени подготовки . .
Готовые домашние задания с 1 по 11 класс . Главная »» ГДЗ Геометрия 8 класс »» ГДЗ решебник по Геометрии 8 класс Мерзляк А .Г ., Полонский В .Б .
Выберите задание .
ГДЗ — это просто и удобно . Книги с готовыми ответами полностью повторяют учебники школьной программы и по сути, у школьника не Чтобы найти необходимый пример или задачу нужно воспользоваться содержанием ГДЗ за 8 класс ГДЗ по алгебре А .
Г . Мерзляк, В .Б . Полонский . .
«Геометрия . 8 класс .» ГДЗ . Мерзляк А . Г ., Полонский В . Б ., Якир М . С . Відповіді до підручника з геометрії для 8 класу Мерзляк . Ответы к учебнику по геометрии для 8 класса Мерзляк . Задания
Решебники (ГДЗ ) для школьников . ГДЗ к учебнику Мерзляк А .Г ., Полонский В .Б . Геометрия 8 класс ОНЛАЙН . Домашняя работа по геометрии за 8 класс к учебнику авторов А .Г . Мерзляк, В .Б . Полонский, М .С . Якир .
ГДЗ От Путина По Русскому 9 Класс
Английский Язык 10 Класс Эванс Дули ГДЗ
ГДЗ Поспелова 3 Класс
ГДЗ По Биологии 8 Класс Тетрадь Маш
ГДЗ По Английскому Языку 6 Starlight Учебник
ГДЗ Математика Страница 46
ГДЗ По Алгебре 7 Атанасян Бутузов
ГДЗ По Русскому 8 Класс Богданова Рабочая
Русский Язык 4 Класс ГДЗ Проверочные Работы
Наглядная Геометрия 5 6 ГДЗ Ответы
Решебник По Английскому Языку 9 Класс Юнхель
Решебник По Географии 7 Класс Учебник Климанова
ГДЗ Проверочные Канакина 4 Класс
Л С Атанасян 7 Класс ГДЗ
ГДЗ 3 Кл Перспектива
ГДЗ По Физике 9 Класс 2020
ГДЗ Рабочая Тетрадь По Русскому Языку Кузнецова
Химия 8 Просвещение ГДЗ
ГДЗ По Математике 3 Волкова Учебник
ГДЗ По Геометрии 8 Класс Бутузов Кадомцев
Ответы Перспектива Учебник ГДЗ По Математике
ГДЗ По Математик 6 Класса
ГДЗ По Матем 5 Класс Автор Мерзляк
ГДЗ По Геометрии 8 Класс Атасян Атанасян
Spotlight 2 Класс Тетрадь ГДЗ
ГДЗ Упражнение 103
ГДЗ По Русскому 10 Класс База Гольцова
ГДЗ По Английскому Языку Focus
Решебник По Русскому 5 Класс Ответы
ГДЗ Английский 5 Класс Михеева Баранова
Окружающий Мир 2 Готовое Домашнее Задание
ГДЗ Математика Четвертый Класс Дорофеев Миракова Бука
Решебник По Физике 11 Буховцев
ГДЗ Афанасьева Михеева 3
ГДЗ По Алгебре 10 Класс Уроки
ГДЗ По Истории 9 Класс 2020 Год
Русский Решебник Львова
ГДЗ С Переводом По Английскому 5 Класс
Мираков ГДЗ
ГДЗ Математика Стр 85
ГДЗ По Русскому З Класс Планета Знаний
ГДЗ Английский 4 Класс Комарова Ларионова
ГДЗ Ракета Математика 2 Класс
ГДЗ По Русскому 2 Класс Горецкий
Решебник По Бел Язу 8 Клас
ГДЗ Матем Тетрадь 2 Часть
Решебник Габриелян 11 Класс
Арсентьев 9 Класс ГДЗ
ГДЗ По Задачнику 8 Класс Лукашик
ГДЗ По Алгебре 10 11 Класс Мордович
Гдз Впр По Русскому
ГДЗ По Математике 9 Класс Виленкин
Решебник Кузнецова Русский Язык
Лады 6 Класс Ладыженская ГДЗ
ГДЗ По Английскому Языку Работы 4
Санкт-Петербург Город МО 2008-21 IX-XI (Россия) 72р
задачи по геометрии из Санкт-Петербургской математической олимпиады
со ссылками на аопс в названиях
начато в 1934 г.
как Ленинградское МО,
переименовано в 1992 г. в Санкт-Петербург
(Ленинград должен быть собран здесь)
2008 — 2021
2008 Санкт-Петербург МО класс IX P3, класс XI P2
В Пентагон $ABCDE$ вписан круг $S$. Сторона $BC$ касается стороны $S$ в точке $K$. Если $AB=BC=CD$, докажите, что угол $EKB$ прямой.
2008 Санкт-Петербург МО класс Х Р2
Точка $O$ является центром окружности, в которую вписан четырехугольник $ABCD$. Если оба угла $AOC$ и $BAD$ равны $110$ градусам и угол $ABC$ больше угла $ADC$, докажите, что $AB+AD>CD$.
2008 г. Санкт-Петербург МО класс X P5
2008 Санкт-Петербург МО класс XI Р5
Все грани тетраэдра $ABCD$ — остроугольные треугольники.
$AK$ и $AL$ — высоты в гранях $ABC$ и $ABD$. Точки $C,D,K,L$ лежат на окружности. Докажите, что $AB\perp CD$
2009 Санкт-Петербург МО класс IX Р4
Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на $BC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ . $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в $K$. Окружности $AA_1B,CC_1B$ пересекаются в $P$ — в центре $AKC$.
Докажите, что $P$ — ортоцентр $ABC$ .
2009 г. Санкт-Петербург МО класс IX П5
$ABC$ – остроугольный треугольник. $AA_1,BB_1,CC_1$ — высоты. $X,Y$ — середины $AC_1,A_1C$. $XY=BB_1$. Докажите, что одна сторона $ABC$ в $\sqrt{2}$ больше другой стороны.
2009 Санкт-Петербург МО класс Х П2
$ABCD$ — выпуклый четырехугольник с $AB=CD$. $AC$ и $BD$ пересекаются в $O$. $X,Y,Z,T$ — середины $BC,AD,AC,BD$. Докажите, что центр описанной окружности $OZT$ лежит на $XY$.
2009 г. Санкт-Петербург МО сорт Х Р4 , XI сорт Р3
Улицы Москвы представляют собой окружности (кольца) с общим центром $O$ и несколькими прямыми линиями из центра $O$ во внешнее кольцо.
Точка $A,B$ — два перекрестка на внешнем кольце. Трое друзей хотят переехать из $A$ в $B$. Дима идет по внешнему кольцу, Костя идет от $A$ до $O$, потом до $B$. Сергей говорит, что есть другой путь, самый короткий. Докажите, что он не прав.
2009 Санкт-Петербург МО класс X P7
Точки $Y,X$ лежат на $AB,BC$ $\треугольника ABC$ и $X,Y,A,C$ концикличны. $AX$ и $CY$ пересекаются в $O$. Точки $M,N$ являются серединами $AC$ и $XY$. Докажите, что $BO$ касается описанной окружности $\треугольника MON$ 9o$
2010 г. Санкт-Петербург МО сорт X P5, XI сорт P2
$ABC$ – треугольник с $AB=BC$. $X,Y$ — середины $AC$ и $AB$. $Z$ — основание перпендикуляра из $B$ в $CY$. Докажите, что центр описанной окружности $XYZ$ лежит на $AC$
2010 г. Санкт-Петербург МО класс XI P5
$SABCD$ является четырехугольной пирамидой. Боковые грани представляют собой остроугольные треугольники с ортоцентрами, лежащими в одной плоскости.
$ABCD$ — основание пирамиды, а $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, где $SP$ — высота пирамиды. Докажите, что $AC \perp BD$ 9o$ Докажите, что площадь $ABCD$ больше $\frac{1}{4}(AB\cdot CD+AB\cdot BC+BC\cdot CD)$
2011 г. Санкт-Петербург МО класс X P3, класс XI P2
$ABC$-треугольник с центром описанной окружности $O$ и $\углом B=30$. $BO$ пересекают $AC$ в точке $K$. $L$ — середина дуги $OC$ описанной окружности $KOC$, не содержащей $K$. Докажите, что $A,B,L,K$ концикличны.
2011 Санкт-Петербург МО класс Х Р7
$ABCD$ — выпуклый четырехугольник. $P$ — это такая точка на $AC$ и внутри $\треугольника ABD$, что $\угол ACD+\угол BDP = \угол ACB+ \угол DBP = 9о $ .
2011 Санкт-Петербург МО XI класс П6
$ABCD$ — выпуклый четырехугольник. $M$ — середина $AC$ и $\угол MCB=\угол CMD =\угол MBA=\угол MBC -\угол MDC$. Докажите, что $AD=DC+AB$.
2012 Санкт-Петербург МО класс IX Р3
$ABCD$ вписан. Биссектриса угла между диагоналями пересекает $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$.
$M,N$ — середины $AD,BC$. $XM=YM$ Докажите, что $XN=YN$.
2012 Санкт-Петербург МО класс IX Р6
$ABC$ треугольник. Точка $L$ лежит внутри $ABC$ и лежит на биссектрисе $\угла B$. $K$ на $BL$. $\угол KAB=\угол LCB= \alpha$. Точка $P$ внутри треугольника такова, что $AP=PC$ и $\угол APC=2\угол AKL$. Докажите, что $\angle KPL=2\alpha$
2012 Санкт-Петербург МО класс Х Р2
Точки $C,D$ лежат на стороне $BE$ треугольника $ABE$, такие что $BC=CD=DE$. Точки $X,Y,Z,T$ являются центрами описанных окружностей $ABE,ABC,ADE,ACD$. Докажите, что $T$ — центр тяжести $XYZ$ .
2012 Санкт-Петербург МО класс Х Р6
$ABCD$ параллелограмм. Прямая $l$ перпендикулярна $BC$ в точке $B$. Через $D,C$ проходят две окружности такие, что $l$ касается точек $P$ и $Q$. $M$ — середина $AB$. Докажите, что $\angle DMP=\angle DMQ$.
2012 Санкт-Петербург МО XI класс П3
В основании пирамиды $SABCD$ лежит выпуклый четырехугольник $ABCD$ такой, что $BC \cdot AD = BD \cdot AC$.
2013 Санкт-Петербург МО класс IX Р3
$ABC$ треугольник. $l_1$- прямая проходит через $A$ и параллельно $BC$, $l_2$ — прямая проходит через $C$ и параллельно $AB$. Биссектрисы $\угла B$ пересекают $l_1$ и $l_2$ в точках $X,Y$. $XY=AC$. Какое значение может принимать $\angle A- \angle C$ ?
2013 Санкт-Петербург МО класс IX П6, класс Х П5
Дан четырехугольник $ABCD$ с $AB=BC=CD$. Пусть $AC\cap BD=O$, $X,Y$ — точки симметрии $O$ относительно середины $BC$, $AD$, а $Z$ — точка пересечения прямых, перпендикулярно делящих $AC пополам. $, $BD$. Докажите, что $X,Y,Z$ коллинеарны.
2013 г. Санкт-Петербург МО класс X P2
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $M,N$ являются серединами $BC,AD$ соответственно. Если $AM=BN$ и $DM=CN$, то докажите, что $AC=BD$.
С. Берлов
2013 г. Санкт-Петербург МО класс XI P3
Пусть $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$, $AN=DM$ и $СМ=МЛРД$.
Докажите, что $AC=BD$.
Берлов С.
2013 Санкт-Петербург МО класс XI Р6
Пусть $(I_b)$, $(I_c)$ — вписанные окружности треугольника $ABC$. Дана окружность $\omega$, проходящая через $A$ и внешне касающаяся окружностей $(I_b)$ и $(I_c)$ так, что она пересекается с $BC$ в точках $M$, $N$. Докажите, что $ \angle BAM=\angle CAN $.
Смирнов А.
2014 г. Санкт-Петербург МО класс IX P2
Все углы $ABC$ выражены в $(30,90)$. Центр окружности $ABC$ равен $O$, а радиус описанной окружности равен $R$. Точка $K$ — проекция $O$ на биссектрису угла $\угла B$, точка $M$ — середина $AC$. Известно, что $2KM=R$. Найдите $\угол B$ .
2014 г. Санкт-Петербург МО IX класс Р6
Точки $A,B$ лежат на окружности $\omega$. Точки $C$ и $D$ перемещаются по дуге $AB$ так, что $CD$ имеет постоянную длину. $I_1,I_2$ — центры вложений $ABC$ и $ABD$. Докажите, что прямая $I_1I_2$ касается некоторой неподвижной окружности. 9о $ . Докажите, что $AB>
AC$. 2014 г.
Санкт-Петербург МО класс X P5
Вписанная окружность $\omega$ $ABC$ касается $AC$ в точке $B_1$. Точка $E,F$ на $\omega$ такая, что $\angle AEB_1=\angle B_1FC=90$. Касательные к $\omega$ в точках $E,F$ пересекаются в $D$, а $B$ и $D$ лежат по разные стороны прямой $AC$. $M$- середина $AC$. Докажите, что $AE,CF,DM$ пересекаются в одной точке.
2014 г. Санкт-Петербург МО класс XI Р4
Точки $B_1,C_1$ лежат на $AC$ и $AB$ и $B_1C_1 \параллельно BC$. Окружность $ABB_1$ пересекает $CC_1$ в точке $L$. Окружность $CLB_1$ касается окружности $AL$. Докажите $AL \leq \frac{AC+AC_1}{2}$. 9о$.
2015 Санкт-Петербург МО класс IX Р2
$AB=CD,AD \параллельно BC$ и $AD>BC$. $\Omega$ описанная окружность $ABCD$. Точка $E$ лежит на $\Omega$ так, что $BE \perp AD$. Докажите, что $AE+BC>DE$.
2015 г. Санкт-Петербург МО IX класс П5, XI класс П4
$ABCD$ – выпуклый четырехугольник. Окружности $ABC$ пересекают $AD$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$. Окружности $ADC$ пересекают $AB$ и $BC$ в точках $S$ и $R$.
Докажите, что если $PQRS$ — параллелограмм, то $ABCD$ — параллелограмм.
2015 Санкт-Петербург МО класс Х П3
$ABCD$ — выпуклый четырехугольник. Биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в $K$, Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в $L$. Докажите $2KL \geq |AB-BC+CD-DA|$.
2015 г. Санкт-Петербург МО класс X P5
$ABCDE$ – выпуклый пятиугольник. $\угол BCA=\угол BEA = \frac{\angle BDA}{2}, \угол BDC =\угол EDA$. Докажите, что $\angle DEB=\angle DAC$.
2015 Санкт-Петербург МО класс XI Р7
Пусть $BL$ — биссектриса остроугольного треугольника $ABC$. На $BL$ выбрана точка $K$ такая, что $\measuredangle AKC-\measuredangle ABC=90º$.точка $S$ лежит на продолжении $BL$ из $L$ так, что $\measuredangle ASC=90º$. Точка $T$ диаметрально противоположна точке $K$ на описанной окружности $\треугольника AKC$ .Докажите, что $ST$ проходит через середину дуги $ABC$.
Берлов С.
2016 Санкт-Петербург МО класс IX Р3
На стороне $AB$ неравнобедренного треугольника $ABC$ пусть
точки $P$ и $Q$ таковы, что $AC = AP$ и $BC = BQ$.
o$.
2016 Санкт-Петербург МО класс IX P6
Вписанная окружность $\треугольника ABC$ касается $AC$ в точке $D$. $BD$ пересекают вписанную окружность в точке $E$. Точки $F,G$ на вписанной окружности — это такие точки, что $FE \параллельны BC,GE \параллельны AB$. $I_1,I_2$ являются центрами $DEF,DEG$. Докажите, что биссектриса угла $\angle GDF$ проходит через середину угла $I_1I_2 $.
2016 Санкт-Петербург МО класс Х П3
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и стороны $BC$ в точке $A_1$. На стороне $AB$ есть точка $K$ такая, что $AK = KB_1, BK = KA_1$. Докажите, что $ \angle ACB\ge 60$
2016 Санкт-Петербург МО класс Х Р5
В плоскости отмечены точки $A$ и $P$, не лежащие на прямой $\ell$. Для всех прямоугольных треугольников $ABC$ с гипотенузой на $\ell$ покажите, что описанная окружность треугольника $BPC$ проходит через фиксированную точку, отличную от $P$.
2016 г. Санкт-Петербург МО класс XI П3
В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
2016 г. Санкт-Петербург МО класс XI Р5
Вписанная окружность $\треугольника ABC$ касается $AC$ в точке $D$. $BD$ пересекают вписанную окружность в точке $E$. Точки $F,G$ на вписанной окружности — это такие точки, что $FE \параллельны BC,GE \параллельны AB$. $I_1,I_2$ являются центрами $DEF,DEG$. Докажите, что $I_1I_2 \perp $ биссектриса $\угла ABC$
2017 г. Санкт-Петербург МО IX класс P2
Дан треугольник $ABC$, на стороне $AB$ есть точка $X$ такая, что $2BX = BA + BC$. Пусть $Y$ — точка, симметричная центру вписанной $I$ треугольника $ABC$ относительно точки $X$. Докажите, что $YI_B\perp AB$, где $I_B$ — эксцентр $B$ треугольника $ABC$. 9{\circ}$. Пусть $H$ будет основанием высоты из $B$. $D$ и $E$ — точки на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, такие, что $DH=EH$ и $ADEC$ — вписанный четырехугольник.
Найдите $\угол{DHE}$.
2017 г. Санкт-Петербург МО класс X P3
Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с медианой $AM$, высотой $AH$ и биссектрисой внутреннего угла $AL$. Предположим, что $B, H, L, M, C$ коллинеарны в указанном порядке и $LH
2017 г. Санкт-Петербург МО класс Х Р6
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $BM$. Точка $D$ лежит на описанной окружности треугольника $BHM$ так, что $AD \параллельные BM$ и $B,D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Докажите, что $BC=BD$.
2017 Санкт-Петербург МО XI класс П2
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ повторно в точках $P$ и $Q$ соответственно . Учитывая, что медиана из вершины $C$ делит дугу окружности $PQ$ пополам. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
2017 г. Санкт-Петербург МО класс XI Р5
Для тетраэдра $PABC$ проведите высоту $PH$ из вершины $P$ в $ABC$.
Из точки $H$ провести перпендикуляры $HA’,HB’,HC’$ к прямым $PA,PB,PC$. Предположим, что плоскости $ABC$ и $A’B’C’$ пересекаются по прямой $\ell$. Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH\perp\ell$. 9о$. $T$ — проекция $B$ на $XY$. Докажите, что все точки $T$ лежат на прямой.
2018 Санкт-Петербург МО IX класс П5
Можно ли построить $\треугольник ABC$ и точки $X,Y$, такие что $AX=BY=AB$, $BX = CY = BC$,
$CX = AY = канадский доллар?
2018 Санкт-Петербург МО класс Х Р5
$ABCD$ четырехугольник вписанный. Прямая, перпендикулярная $BD$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ и лучи $DA,DC$ в точках $P,Q,R,S$ . $PR=QS$. $M$ — середина $PQ$. Докажите, что $AM=CM$
2018 Санкт-Петербург МО XI класс P3
Точка $T$ лежит на биссектрисе $\угла B$ остроугольного $\треугольника ABC$. Окружность $S$ с диаметром $BT$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Окружность, проходящая через точку $A$ и касающаяся $S$ в точке $P$, пересекает прямую $AC$ в точке $X$.
Окружность, проходящая через точку $C$ и касающаяся $S$ в точке $Q$, пересекает прямую $AC$ в точке $Y$. Докажите, что $TX=TY$
2018 Санкт-Петербург МО класс XI P7
Точки $A,B$ лежат на окружности $S$. Касательные к $S$ в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $C$. $M$ — середина $AB$. Окружность $S_1$ проходит через точки $M,C$ и пересекает точки $AB$ в точках $D$ и $S$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что касательные к $S$ в точках $K$ и $L$ пересекаются в одной точке на отрезке $CD$.
2019 г. Санкт-Петербург МО класс IX Р3
Докажите, что расстояние между серединой стороны $BC$ треугольника $ABC$ и серединой дуги $ABC$ описанной в нем окружности не меньше $AB / 2$
2019 Санкт-Петербург МО класс IX П6
Биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. На продолжениях отрезков $BB_1$ и $CC_1$ отмечены точки $B’$ и $C’$ соответственно. Итак, четырехугольник $AB’IC’$ является параллелограммом.
o$, то прямая $B’C’$ проходит через точку пересечения описанных окружностей треугольников $BC_1B’$ и $CB_1C’$. 9о$. Докажите, что $\угол AKD = \угол MKC$.
2019 г. Санкт-Петербург МО класс XI Р4
Неравносторонний треугольник $\треугольник ABC$ периметра $12$ вписан в окружность $\omega$ . Точки $P$ и $Q$ являются серединами дуг $ABC$ и $ACB$ соответственно. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает прямую $PQ$ в точке $R$. Получается, что середина отрезка $AR$ лежит на прямой $BC$. Найдите длину отрезка $BC$.
2020 г. Санкт-Петербург МО класс IX Р5
Точка $I_a$ является центром $A$-внекругности $\треугольника ABC$, касающейся $BC$ в точке $X$. Пусть точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ относительно описанной окружности $\треугольника ABC$. На отрезках $I_aX, BA’$ и $CA’$ выбираются соответственно точки $Y,Z$ и $T$ такие, что $I_aY=BZ=CT=r$, где $r$ — внутренний радиус $\треугольника ABC.
$. Докажите, что точки $X,Y,Z$ и $T$ концикличны.
2020 г. Санкт-Петербург МО класс IX Р3, Х Р3
На стороне $AD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ с острым углом $B$ отмечена точка $E$. Известно, что $\угол CAD = \угол ADC=\угол ABE =\угол DBE$. [10] Докажите, что $\треугольник BCE$ равнобедренный. (Здесь условие остроты $\угла B$ не требуется.) 2020 г. Санкт-Петербург МО класс X Р5 Лучи $\ell, \ell_1, \ell_2$ имеют одинаковую начальную точку $O$, так что угол между $\ell$ и $\ell_2$ острый и луч $\ell_1$ лежит внутри этого угла. Луч $\ell$ содержит неподвижную точку $F$ и произвольную точку $L$. Окружности, проходящие через $F$ и $L$ и касающиеся $\ell_1$ в точке $L_1$, и проходящие через $F$ и $L$ и касающиеся $\ell_2$ в точке $L_2$. Докажите, что описанная окружность $\треугольника FL_1L_2$ проходит через фиксированную точку, отличную от $F$, независимую от $L$ 2020 г. $BB_1$ — биссектриса $\треугольника ABC$, а $I$ — его центр вписанной стороны. Серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ пересекает описанную окружность $\треугольника AIC$ в точках $D$ и $E$. Точка $F$ лежит на отрезке $B_1C$ так, что $AB_1=CF$. Докажите, что четыре точки $B, D, E$ и $F$ концикличны. 2020 Санкт-Петербург МО класс X P5 Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $\треугольника ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность с центром в $O_b$ проходит через точки $A,C_1$ и середину $BH$. Окружность с центром в $O_c$ проходит через $A,B_1$ и середину $CH$. Докажите, что $B_1 O_b +C_1O_c > \frac{BC}{4}$ 2021 Санкт-Петербург МО IX класс Р3 В пирамиде $SA_1A_2 \cdots A_n$ все стороны равны. Пусть точка $X_i$ — середина дуги $A_iA_{i+1}$ в описанной окружности $\треугольника SA_iA_{i+1}$ для $1 \le i \le n$ с индексами, взятыми по модулю $n$. Докажите, что описанные окружности $X_1A_2X_2, X_2A_3X_3, \cdots, X_nA_1X_1$ имеют общую точку. 2021 Санкт-Петербург МО класс IX П6 Точка $M$ является серединой основания $AD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ с описанной окружностью $\omega$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает $\omega$ в точке $K$. Строка $CM$ снова встречается с $\omega$ в точке $N$. Из точки $B$ проведены касательные $BP, BQ$ к $(KMN)$. Докажите, что $BK, MN, PQ$ параллельны. 2021 Санкт-Петербург МО класс X P3 Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, точки $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ таковы, что $$AA_1 \perp BE, BB_1 \perp AC, CC_1 \perp BD, DD_1 \perp CE, EE_1 \perp DA.$$Кроме того, $AE_1 = AB_1, BC_1 = BA_1, CB_1 = CD_1$ и $DC_1 = DE_1$. Докажите, что $ED_1 = EA_1$ 2021 Санкт-Петербург МО класс X P6 Прямая $\ell$ проходит через вершину $C$ ромба $ABCD$ и пересекает продолжения $AB, AD$ в точках $ Х, Y $. Линии $DX,BY$ пересекаются с $(AXY)$ во второй раз в точке $P,Q$. Докажите, что описанная окружность $\треугольника PCQ$ касается $\ell$ 2021 Санкт-Петербург МО класс XI Р3 Дан вписанный четырехугольник $ABCD$ с ∠$A = 3$∠$B$. 2021 Санкт-Петербург МО класс XI P5 Дана равнобедренная трапеция $ABCD$, основания которой $AD$ и $BC$ и $AD=2AB$, и она вписана в круг $c$. На окружности $c$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $AC$ || $DE$ и $BD$ || $AF$. Прямая $BE$ пересекает прямые $AC$ и $AF$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BCX$ и $EFY$ касаются друг друга. oldies 1997 2000 Прямая S касается описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точке B. 2002 Год неизвестен
[9] Докажите, что $BE+CE
Санкт-Петербург МО класс XI Р3
На стороне $AB$ выбрана точка $C_1$, а на стороне $BC$ — точка $A_1$ так, что $AA_1 = AC = CC_1$. Докажите, что $3A_1C_1>BD$
Пусть $B’$ — антипод $B$ на описанной окружности треугольника $ABC$, $I$ — центр вписанной треугольника $ABC,$ и $M $ — точка, в которой вписанная окружность касается $AC.$ Точки $K$ и $L$ выбраны на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, так что $KB = MC,$ $LB=AM.$ Докажите что прямые $B’I$ и $KL$ перпендикулярны.
Пусть K — проекция
ортоцентр треугольника ABC на прямую S (т. е. K является основанием перпендикуляра из ортоцентра треугольника ABC на S). Пусть L — середина стороны AC. Докажите, что треугольник BKL равнобедренный.
Пусть $ABC$ — треугольник. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ соответственно. Перпендикуляр к прямой $AA_{1}$, проходящий через точку $A_{1}$, пересекает прямую $B_{1}C_{1}$ в точке $X$. Докажите, что прямая $BC$ делит отрезок $AX$ пополам.
Точка $I$ является центром вписанной треугольника $ABC$. Окружность с центром в $I$ пересекает $BC$ в точках $A_{1}$ и $A_{2}$, $CA$ в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ и $AB$ в точке $ C_{1}$ и $C_{2}$, где точки расположены по кругу в порядке $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $B_{2}$ , $C_{1}$, $C_{2}$. Пусть $A_{3}$, $B_{3}$, $C_{3}$ — середины дуг $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, $ C_{1}C_{2}$ соответственно.