Найдите длину №31 ГДЗ Геометрия 7-9 класс Погорелов А.В. – Рамблер/класс

Найдите длину №31 ГДЗ Геометрия 7-9 класс Погорелов А.В. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если:
1) АВ= 1,5 м, АС = 0,3 м;
2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.

ответы

Нашла:

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Экскурсии

Мякишев Г.Я.

Досуг

Химия

похожие вопросы 5

Самостоятельная работа 19. Вариант 2. № 2 ГДЗ Геометрия 9 класс Зив Б.Г. Помогите доказать, используя параллельный перенос

Используя параллельный перенос, докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой.
 

ГДЗЭкзаменыГеометрия9 классЗив Б. Г.

ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А.В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.

Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости.

(Подробнее…)

ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс

Не могу справиться с заданием, §8№26. Какой высоты должна быть….Геометрия 11 класс ГДЗ Погорелов

Не могу справиться с заданием, §8№26.
Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного ци-
линдром. Какой высоты должна (Подробнее…)

ГДЗ11 классГеометрияПогорелов А.В.

9. Определите ряд, в котором в обоих словах пропущена одна и та же буква. ЕГЭ-2017 Русский язык Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.

9.
Определите ряд, в котором в обоих словах пропущена одна и та же буква. Выпишите
эти слова, вставив пропущенную букву. (Подробнее…)

ГДЗРусский языкЕГЭЦыбулько И.П.

11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.

11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее.. .)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §2. Контрольные вопросы, ответы — Решебник

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.  Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a₁b) и угол (a₂b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a₁ и a₂ развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a₁b) и (a₂b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a₁b) и (c₁d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a₂b) и (c₂d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a₁b + a₂b = 180° и c₁d + c₂d = 180°. Отсюда, a₂b = 180° — a₁b и c₂d = 180° — c₁d. Так как углы (a₁b) и (c₁d) равны, то мы получаем, что a₂b = 180° — a₁b = c₂d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a₂b = c₂d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т. е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения  перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a₁ одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a₁ угол (a₁b₁), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁.
Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

ag.алгебраическая геометрия — Существует ли голоморфная версия теоремы трубчатой ​​окрестности?

спросил 9 лет, 11 месяцев назад

Изменено 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Этот вопрос возник, когда я изучал книгу Бовиля «Комплексные алгебраические поверхности». 9n$, который стягивает $E$, а затем из некоторых топологических соображений следует, что образ $S$ на самом деле гладкий.

2=-1$ легко следует $N_E\cong\mathcal{O}_{E}(-1)$, так что $E$ можно сжать в $U$ напрямую. Таким образом, мы не только доказываем теорему Кастельнуово, но и обобщаем ее на неалгебраические поверхности.

Существует симплектическая версия теоремы о трубчатой ​​окрестности, так что я полагаю, что голоморфный случай также верен.

Приветствуются любые ответы или комментарии. Я буду очень признателен за вашу помощь.

• аг.алгебра-геометрия
• комплексная геометрия

$\endgroup$

4

$\begingroup$

К сожалению, теорема о трубчатой ​​окрестности в общем случае неверна в голоморфном контексте. Чтобы увидеть препятствие, рассмотрим точную последовательность голоморфных векторных расслоений над $E$: $0\to TE\to TS|_E \to NE \to 0$. Если бы мы имели голоморфное вложение окрестности нулевого сечения $NE$ в $S$, мы, в частности, получили бы расщепление этой точной последовательности.

1(NE,TE)$, в чем можно убедиться, применив точный слева функтор $Hom(NE,\cdot)$ и расширив его справа до точной последовательности. 91(СВ,ТЕ)$. По определению $f$ является расщеплением приведенной выше короткой точной последовательности тогда и только тогда, когда $qf$ является тождественной картой на $NE$. По точности такой $f$ существует тогда и только тогда, когда $\delta(id_N)=0$, поэтому этот класс является препятствием; это может быть или не быть легко вычислить в любом данном примере. (в последнем уравнении «N» означает «NE»… Я не смог правильно его набрать)

Кроме того, хотя я и не эксперт, насколько я понимаю, существует конструкция, известная как «деформация для нормальный конус», что позволяет обойти несостоятельность теоремы о голоморфной трубчатой ​​окрестности в моих ситуациях. В частности, я слышал, что это часто полезно в теории пересечений, поэтому это может иметь некоторое отношение к проблеме, которую вы описываете в своем вопросе. 9n$ ограничено на $Q$. Но позднее невозможно.

В самом деле, при этом по возможности через каждую точку $Q$ можно было бы провести прямую, касающуюся этого нормального подрасслоения $N$. Такое семейство прямых порождало бы инволюцию $Q$ без неподвижной точки, что абсурдно.

$\endgroup$

$\begingroup$

Этот ответ довольно поздний, но одна из версий голоморфной трубчатой ​​теоремы о окрестности доказана в: «H. Grauert, Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen, Math. Ann. 146 (19\nu)=0$ для всех $\nu\geq1$, то окрестность $A$ в $X$ биголоморфна окрестности $A$ в тотальном пространстве его нормального расслоения.

$\endgroup$

$\begingroup$

Трубчатые окрестности могут не существовать в сильном смысле: может случиться, что для полного гладкого подмногообразия $X$ гладкого комплексного многообразия $V$ не существует окрестности (в классической топологии) $X$ в $V$, обладающее голоморфной ретракцией на $X$. Например, пусть $V$ — проективная плоскость, а $X$ — гладкая кривая степени не ниже $3$; в любой окрестности $U$ точки $X$ в $V$ существуют возмущения $X’$ точки $X$, не изоморфные $X$ (в случае степени $3$ они будут иметь неравные $j$-инвариантные ), в то время как любая ретракция $U$ на $X$ дала бы отображение $X’\to X$ степени $1$, т. е. изоморфизм. 9n$ с голоморфной трубчатой ​​окрестностью. Тогда $X$ — линейное подпространство. (Они также доказывают аналогичное утверждение для подмногообразий комплексных торов.)

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Возможно, стоит сказать, что, хотя комплексное подмногообразие комплексного многообразия вообще не допускает голоморфной трубчатой ​​окрестности, оно допускает специальную гладкую трубчатую окрестность; сжимаемые слои представляют собой комплексные многообразия, но они не меняются голоморфно.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Анджей Дердзиньски

Анджей Дердзиньски

Департамент математики
Университет штата Огайо
231 W. 18th Avenue
Columbus, OH 43210
USA

Офис: MW 442 (математическая башня)
. факс: (614) 292-1479
Электронная почта: andrzej(символ at)math.ohio-state.edu

---

Обучение

• Весенний семестр 2019 г.:

  Математика 3345 (Основы высшей математики), Пн-Сб-Пт 11:30. общая информация, программа, курс описание

  Math 6702 (Дифференциальная геометрия), M-W-F 13:50

---

Препринты

• Плоские коллекторы и приводимость (совместно с Паоло Пиччоне), 23 страницы.
• Максимально искаженные метрики с гармоникой кривизна (совместно с Паоло Пиччоне), 12 страниц.
• Коллекторы Кэлера с геодезическими голоморфные градиенты (совместно с Паоло Пиччоне), 52 страницы.
  

---

Публикации, 2010 – настоящее время

• Теория Тейхмюллера и коллапс плоских коллекторов (совместно с Ренато Г. Беттиолем и Паоло Пиччоне), 16 страниц, Аннали ди Математика Чистый и прикладной , об. 197 (2018), нет. 4, стр. 1247-1268. DOI :  10.1007/s10231-017-0723-7
• Витольд Ротер (1932-2015) , 8 страниц, Colloquium Mathematicum , vol. 150 (2017), нет. 1, стр. 1–8. DOI :  10.4064/cm7409s-9-2017
• О дороге науковим Витольд Rotera , 15 страниц, Wiadomości Matematyczne , об. 52 (2016), вып. 2, стр. 299-313. DOI :  10.14708/wm.v52i2.3299
• Неопределенные метрики Эйнштейна на простых Группы Ли (со Святославом Р. Галем), 43 страницы, Математический журнал Университета Индианы , том. 63 (2014), нет. 1, стр. 165–212. DOI :  10.1512/iumj.2014. 63.5191
• Спектры кривизны простых Ли группы (со Святославом Р. Галем), 12 страниц, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Гамбург , том. 83 (2013), вып. 2, стр. 219-230. DOI :  10.1007/s12188-013-0085-z
• Потенциалы убийства с геодезическими градиенты на келеровых поверхностях , 21 страница, Математический журнал Университета Индианы , том. 61 (2012), нет. 4, стр. 1643-1666. DOI :  10.1512/iumj.2012.61.4687
• Специальные биконформные изменения Kähler Surface metrics , 16 страниц, Монатшефте für Mathematik , том. 167 (2012), нет. 3-4, стр. 431-448. DOI :  10.1007/s00605-011-0345-x
• Двухструйные конформные поля вдоль их нулевых множеств , 16 страниц, Central European Journal математики , вып. 10 (2012), вып. 5, стр. 1698-1709. DOI :  10.2478/s11533-012-0049-z
• Солитоны Риччи , 32 страницы, Английский перевод Солитони Ricciego , Wiadomości Matematyczne , об. 48 (2012), вып. 1, стр. 1–32 (файл в формате pdf из PTM ). URL :  http://wydawnictwa.ptm.org.pl/index.php/wiadomosci-matematyczne/article/view/211 ДОИ :  10.14708/wm.v48i1.211
• Нули конформных полей в любой метрике подпись , 26 страниц, Classical and Quantum Гравитация , об. 28 (2011), вып. 7, 075011. DOI : 10.1088/0264-9381/28/7/075011
• Некомпактность и максимальная мобильность тип III Риччи-плоский самодвойной нейтральный четырехколлекторный Уокер , 31 страница, The Quarterly Journal of Mathematics , об. 62 (2011), вып. 2, стр. 363–395. DOI :  10.1093/qmath/hap033
• Полностью реальные погружения поверхности (совместно с Тадеушем Янушкевичем), 62 страницы, Труды Американского математического общества , об. 362 (2010), нет. 1, стр. 53–115. DOI :  10.1090/S0002-9947-09-04940-X
• Компактные псевдоримановы многообразия с параллельным тензором Вейля (с Витольдом Ротером), 19 страниц, Анналы глобального анализа и геометрии , том. 37 (2010), нет. 1, стр. 73-90. DOI :  10.1007/s10455-009-9173-9
  

---

Публикации, 2003 — 2009

• Не-Уокер самодвойственный нейтральный Эйнштейн четырехмногообразия Петрова типа III , 47 страниц, Журнал Геометрический анализ , том. 19 (2009), вып. 2, стр. 301–357. DOI :  10.1007/s12220-008-9066-3
• Локальная структура конформно симметричные коллекторы (совместно с Витольдом Ротером), 12 страниц, Бюллетень Бельгийского математического общества — Саймон Стевин , об. 16 (2009), вып. 1, стр. 117–128. DOI :  http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1235574196
• Соединения с кососимметричным Риччи тензор на поверхностях , 23 страницы, Результаты по математике — Resultate der Mathematik , vol. 52 (2008), вып. 3-4, стр. 223-245. DOI :  10.1007/s00025-008-0307-3
• О компактных многообразиях, допускающих неопределенные метрики с параллельным тензором Вейля (с Витольдом Ротером), 24 страницы, Journal of Geometry and Physics , об. 58 (2008), вып. 9, стр. 1137-1147. DOI :  10.1016/j.geomphys.2008.03.011
• Проекционно плоские поверхности нулевые параллельные распределения и конформно-симметричные коллекторы (с Витольд Ротер), 40 страниц, Tohoku Mathematical Journal , об. 59 (2007), вып. 4, стр. 565-602 (файл в формате pdf с открытым доступом). DOI :  10.2748/tmj/1199649875
• Глобальные свойства неопределенного метрика с параллельным тензором Вейля (с Витольдом Ротером), 10 страниц, в : Чистый и прикладной Дифференциальная геометрия — PADGE 2007, под редакцией Ф. Диллена и I. Van de Woestyne, в серии Berichte aus der Mathematik , Shaker Verlag, Aachen, 2007, стр. 63–72.
• Специальные потенциалы Кэлера-Риччи на компактных коллекторах Кэлера (с Гидеоном Машлером), 44 страницы, Journal für die reine und angewandte Математика , том. 593 (2006 г. ), стр. 73–116. DOI :  10.1515/CRELLE.2006.030
• Теорема Уокера без координаты (совместно с Витольдом Ротером), 8 стр., Журнал Математическая физика , вып. 47 (2006), вып. 6, 062504, г. 8 стр. (pdf файл из АИП ). DOI : 10.1063/1.2209167
• Теорема типа Майерса и компакт Риччи солитоны , 4 страницы, Proceedations of the American Математическое общество , том. 134 (2006), вып. 12, стр. 3645–3648 (pdf-файл в открытом доступе). DOI :  10.1090/S0002-9939-06-08422-X
• Кривая модуля А для компактных конформно-эйнштейновские многообразия Кэлера (с Гидеоном Машлером), 52 стр., Композиция Mathematica , том. 141 (2005), вып. 4, стр. 1029–1080 (pdf-файл в открытом доступе). DOI : 10.1112/S0010437X05001612
• Погружение поверхностей в спин ^c -многообразия с общим положительным спинором (с Тадеуш Янушкевич), 25 страниц, Анналы глобального анализа и Геометрия , вып. 26 (2004), вып. 2, стр. 175–199. и нет. 3, с. 319. DOI :  10.1023/B:AGAG.0000031163.94882.де
• Местная классификация конформно-эйнштейновские метрики Кэлера в высших измерениях (с Гидеон Машлер), 41 страница, Proceedings of the London Mathematical Общество (3), том. 87 (2003), вып. 3, стр. 779-819. DOI : 10.1112/S0024611503014175
• Однородная по кривизне неопределенная Метрики Эйнштейна в четвертом измерении: диагонализируемый случай , 18 страниц, в : Последние достижения в римановой и лоренцевской геометриях, материалы специальной сессии AMS, состоявшейся в Балтиморе, штат Мэриленд, 15-18 января, 2003 г., под редакцией К. Л. Дуггала и Р. Шармы, Contemporary. Математика, том. 337, Американский Mathematical Society, Providence, RI, 2003, стр. 21–38 (доступно по адресу book.google.com)
  

---

Некоторые старые документы, доступные по линии

• Самодуальные многообразия Кэлера и Эйнштейн коллекторы размерности четыре , 29 стр. , Состав Mathematica , том. 49 (1983), вып. 3, стр. 405-433 (pdf-файл из  NUMDAM ).
• Классификация некоторых компактных Римановы многообразия с гармонической кривизной и непараллельными Риччи тензор , 8 страниц, Mathematische Zeitschrift , vol. 172 (1980), нет. 3, стр. 273–280. (файл в формате pdf из ГДЗ ). DOI : 10.1007/BF01215090
• Exemples de Métriques de Kähler et d’Einstein auto-duales sur le plan complexe , 13 страниц, в: Риманская геометрия в измерении  4 , Семинар Артур Бесс 1978/79, Седик/Фернан Натан, Париж, 1981, стр. 334-346.
• О компактных римановых многообразиях с гармоническими кривизна , 6 страниц, Математическая летопись , об. 259 (1982), вып. 2, стр. 145–152. (файл в формате pdf из ГДЗ ). DOI : 10.1007/BF01457307
• Тензорные поля Кодацци, кривизна и Понтрягин формы (совместно с К. -Л. Шеном), 12 л., Материалы Лондонского математического общества (3), том. 47 (1983), нет. 1, стр. 15–26 (файл в формате pdf из LMS ). DOI :  10.1112/plms/s3-47.1.15
• Неплоские соединения в пучках из 3 сфер более S ⁴ (с А. Ригас), 9страницы, Труды Американского математического общества , об. 265 (1981), вып. 2, стр. 485-493 (файл в формате pdf с открытым доступом). DOI : 10.2307/1999745
• На конформно-симметричных многообразиях с метрика индексов 0 и 1 (совместно с В. Ротером), 5 стр., Tensor, новая серия , vol. 31 (1977), вып. 3, стр. 255-259.
• Компактные римановы многообразия с гармоническими кривизна и непараллельный тензор Риччи , 3 страницы, в: Global Дифференциальная геометрия и глобальный анализ, , материалы коллоквиум, прошедший в Техническом университете Берлина, 21 — 24 ноября, 1979, Конспект лекций по математике , том. 838 (1981), стр. 126-128. DOI : 10.1007/BFb0088848
• Нижняя граница для λ ₁ на многообразиях с краем (с C. B. Croke), 16 страниц, Комментарии Mathematici Helvetici , том. 62 (1987), нет. 1, стр. 106–121. (файл в формате pdf из ГДЗ ). DOI : 10.1007/BF02564440
• Эрмитовы метрики Эйнштейна , 10 страницы, в: Глобальная риманова геометрия, под редакцией Т. Дж. Уиллмора и Н. Хитчин, Ellis Horwood Ltd., Чичестер, 1984, стр. 105–114.
• Некоторые теоремы о конформно-симметричных коллекторы (с В. Ротером), 11 стр., Тензор, новая серия , том. 32 (1978), вып. 1, стр. 11–23.
• Условие положительности кривизна (совместно с Л. М. Чавесом и А. Ригасом), 13 страниц, Boletim da Sociedade Brasileira de Математика , том. 23 (1992), вып. 1-2, стр. 153–165. ДОИ : 10. 1007/BF02584817
• Римановы метрики с гармоникой кривизна на расслоениях 2-сфер над компактными поверхностями , 24 страницы, Bulletin de la Société mathématique de Франция , том. 116 (1988), вып. 2, стр. 133–156. (pdf-файл из  NUMDAM ).
• Римановы многообразия с гармоникой кривизна , 12 страниц, в: Глобальная дифференциальная геометрия и глобальный анализ 1984, материалы конференции, проходившей в Берлине 10-14 июня 1984 г., &nbsp Конспект лекций по математике , vol. 1156 (1985), стр. 74-85. DOI : 10.1007/BFb0075087
• Несколько замечаний по местной структуре тензоров Кодацци , 5 страниц, в: Глобальная дифференциальная геометрия и Global Analysis, материалы коллоквиума, состоявшегося в Технический университет Берлина, 21 — 24 ноября 1979 г., Конспект лекций по математике , том. 838 (1981), стр.  251–255. DOI : 10.1007/BFb0088867
  

---

Другие старые бумаги в электронном виде

---

Главы в книгах по дифференциальной геометрии

• Обобщения условия Эйнштейна, Глава 16 Книга Артура Л. Бесса Многообразия Эйнштейна , в серии Математические и математические исследования Grenzgebiete , об. 10 , Springer-Verlag, 1987, стр. 432–455. DOI :  10.1007/978-3-540-74311-8_17
• Метрики Эйнштейна в четвертом измерении, Глава 4 Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I (под редакцией Ф.Дж.Э. Диллен и L.C.A. Верстрален), Elsevier Science B.V., 2000, стр. 419-707. DOI : 10.1016/S1874-5741(00)80007-2. Щелкните здесь для двухстраничного список исправлений .
  

---

Работы по физике элементарных частиц

• Геометрия стандартной модели элементарных частиц , книга на серия Тексты и монографии по физике , Спрингер-Ферлаг, 1992 г.