Итоговая контрольная работа по английскому языку, 11 класс, УМК Millennium | Тест по английскому языку (11 класс) на тему:

ENGLISH-11                                                                                                                   OVERALL

TEST

I. LISTENING

Вы услышите 6 высказываний. Соотнесите говорящих и утверждения a — g. Одно утверждение в списке лишнее. Вы услышите высказывания два раза.

a) Everyone travels for learning.

b) Travelling can help to begin the personal changes.

c) Travel broadens the mind, doesn’t it?

d) The best thing about travelling is communication with people.

e) Travel can change your mind about the places.

f) Travelling is the best teacher.

g) There is no place like home.

Говорящий	1	2	3	4	5	6
Утверждение

II. READING

1. Заполните пропуски в тексте 1 — 6 частями предложений A — G. Одна часть в списке лишняя.

The study of life

Biology means the study of life and it is the science that investigates all living things. Even in the days before recorded history, people knew and passed on information about plants and animals. Prehistoric people survived by learning 1) ______. Farming would not have developed if they had not begun to understand that animals could produce food like milk and eggs.

The ancient Egyptians studied the life cycle of insects and understood the part that they played in the life cycle of plants. The Mesopotamians even kept animals in «ancient zoos» 2) ______. The ancient Greeks, too, were greatly interested in understanding the world around them. Aristotle recorded his observations of plants and animals, and his successor, Theophrastus, wrote the first books on plant life, 3) ______.

Modern biology really began in the 17th century. At that time, Anton van Leeuwenhoek, in Holland, invented the microscope and William Harvey, in England, described the circulation of blood. The microscope allowed scientists to discover bacteria, 4) ______. And new knowledge about how the human body works allowed others to find more effective ways of treating illnesses. In the middle of the 19th century, unnoticed by anyone else, the Austrian monk Gregor Mendel, created his Laws of Inheritance, beginning the study of genetics 5) ______. At the same time, while travelling around the world, Charles Darwin was formulating the central principle of modern biology-natural selection as the basis of evolution.

In the 20th century, biologists began to recognize how plants and animals live and pass on their genetically coded information to the next generation. Since then, partly because of developments in computer technology, there have been great advances in the field of biology, 6) ______.

A) who were very dangerous

B) that is such an important part of biology today

C) which had been the basis for the study of botany

D) which plants were good to eat and which could be used for medicine

E) which led to an understanding of the causes of disease

F) which were the earliest zoological gardens

G) which is an area of ever-growing knowledge

2. Прочитайте текст и выберите подходящий вариант для завершения предложений 1 — 7.

My school life

In the United Kingdom compulsory education ends at the age of sixteen. However, many students stay on and complete two more years. For some (and I include myself in this category) school just becomes a habit, something you don’t want to give up as it is so familiar to you. School is your world and you know nothing else and so you just keep on going.

Imagine my feelings when sixth form was over and there were no more classes to complete! Instead of feeling a sense of joy and relief I panicked — what was I, Jack McHall, to do? The logical and the best option was to go to university and continue my studies there, so that is, of course, what I did.

Unfortunately, the end of secondary education in the U.K. is not marked by any sense of celebration, like in other countries, for example, like the USA where students graduate at the age of 18 and have a fancy ball. (In the UK you have to wait until you finish college or university before you can have that privilege). In the UK you just ‘finish school!’ The lucky ones have a respectable collection of qualifications to their name as souvenirs; the unlucky ones may have slipped through the net somehow and end up going back to education at a later date when they feel more like studying. Education is more than qualifications, I admit that. But they are what count at the end of the day.

Ask anyone what they remember most about school and they’d probably say the teachers. They are what makes education a humanistic experience and, therefore, are the most memorable: the good ones, the bad ones, the kindest ones, the most generous ones… I was sad to leave them all, but I always was far too nostalgic.

School dinners, as for me, are remembered for a lot of wrong reasons: the long queues, the fat dinner ladies, the tasteless food. Thank goodness, they have introduced healthy eating plans in schools! Pupils are luckier nowadays!

Principally, school is all about belonging to a certain community and sitting in and making a contribution. I remember difficult times in the year, trying to find time for musical productions and athletics competitions. I wanted to do everything and make my school proud. What was more – an athlete or a musician? I was both, and a scholar too; an ‘all-rounder’, I suppose you could say. Luckily, I was able to rely on my natural ability to get me through the exams and didn’t have to spend too much time studying. I just listened to my teachers and got through that way. I thank them, really I do.

So, it will come as no surprise to you to find out that I became a teacher after I finished university. I couldn’t get enough of school and so I stayed there! But this time it’s different. Now I can give something back to society. I face many challenges everyday but keep going.

1) When Jack completed sixth form he

a) felt relaxed.

b) started working.

c) went on to further education.

d) took a break from studying.

2) In the UK students have special celebration

a) earlier than in the USA.

b) when they finish school.

c) at the age of 18.

d) on completion of university.

3) In paragraph 3 «slipped through the net» means that some students

a) did not have many qualifications.

b) got a good number of qualifications.

c) were lucky at school.

d) left school later.

4) According to Jack, school dinners

a) were a pleasant experience.

b) are remembered by all students.

c) are bad for you.

d) are better now than before.

5) Jack had difficulty at school

a) deciding what to be.

b) combining the activities.

c) studying for exams.

d) listening to teachers.

6) Jack had returned to school because

a) he wanted to serve the people.

b) school was everything to his children.

c) it was the easiest way to live.

d) he had little experience of education.

7) When Jack says he «couldn’t get enough of school» in the last paragraph, he means that

a) he was tired of it.

b) he really liked it.

c) he found it entertaining.

d) he was afraid to leave.

III. GRAMMAR&VOCABULARY

1. Измените слова в скобках так, чтобы они грамматически соответствовали содержанию предложений.

1) If I (BE) to London, I would have visited Hyde Park.

2) Your way to live is (IMPRESSIVE) than mine.

3) During the current trip he (ASK) to tell his story every day.

4) While she (LISTEN) to the radio, her cat run away.

5) My brother is fond of (BUY) old manuscripts.

6) These (WOMAN) were great scientists.

7) Nobody has seen the (RESTORE) statue yet.

2. Измените слова в скобках так, чтобы они лексически соответствовали содержанию предложений.

1) We will discuss all (GLOBE) problems.

2) He is afraid of federal (INVESTIGATE).

3) The editor had rejected my work so I had to (WRITE) the article.

4) She speaks Japanese (RARE).

5) These devices can be used together because of their (COMPATIBLE).

6) Broadway is full of (BELEIVE) performances.

3. Выберите подходящие варианты для заполнения пропусков.

TV for all

After more than fifty years of television, it might seem only obvious to conclude that it is here to stay. There have been many objections to it during this time but it’s still 1) ______ us.

Did it cause eyestrain? Was the screen bombarding us with radioactivity? Did the advertisements 2) ______ special messages, persuading us to buy more? Did children turn to violence through watching it, either because so many programmes taught them how to shoot, rob, and 3) ______? Or did it simply create a passive audience, drugged by glamorous serials and silly situation 4) ______. On the other hand, did it increase anxiety by sensationalising the news and filling 5) ______ living rooms with war and political problems?

All in all, television proved to be the all-purpose scapegoat and object to hate for the second half of the century, criticized for 6) ______, but above all, watched by everyone. It doesn’t matter how much we blamed it, were bored by it, or felt that it took us 7) ______ from the old paradise of family conversation and hobbies such as collecting stamps, we never turned it off. We staring at the screen, aware that our own tiny reflection was in it if we looked carefully.

1) a) of                         b) from                         c) with                 d) out

2) a) contain                 b) having                         c) of                         d) take

3) a) help                         b) be happy                 c) look for                 d) kill

4) a) perhaps                 b) comedies                 c) programme         d) often

5) a) our                         b) us                                 c) ourselves         d) we

6) a) nothing                 b) everything                 c) anything         d) something

7) a) on                         b) in                                 c) up                         d) away

IV. WRITING

Рассмотрите фотографию, которую прислали в редакцию одной из газет. Какую бы вы написали статью под данным заголовком? Объём письменного высказывания — не менее 15 предложений.

ENGLISH-11                                                                                                          OVERALL

TEST

TEACHER’S PAPER

Текст для аудирования

Speaker 1

I’ve learnt from first-hand experience what winter is like, I’ve seen places I’ve heard of or learnt about at school, places I’ve read about in books or seen in the movies. Now I know what it’s like to travel by air, sea and rail and, of course, by road. I can say I’ve interacted with people in Europe, Asia, North America, South America and in the Middle East. I have tried their life and I have seen all the wonders of the world. And I would say that travelling helped me to get more experience and more knowledge about the world we live in than education could give me.

Speaker 2

Lots of people believe that travel broadens the mind. In fact, it can sometimes confirm people in their own prejudices. A friend of mine went to Cyprus and when he came back, he complained bitterly that he could not find English food and everything was so foreign! If one travels with that kind of attitude, this person never learns anything about other places and people. Today many people travel not in order to learn or broaden their mind, but to «have a good time» and usually on their terms. I think travel can broaden the mind; but only when there’s room in it to expand.

Speaker 3

I’ve just got back from a trip to Japan and what I learned by just being there is more than I’ve ever learned on the Internet. There are so many opinions and I found that whatever people had to say about Japan was radically different from my own experience there. Talking to some locals, I rethink my position on this country. Travel lets you see other people’s lives, cultures, customs and traditions from different parts of the world with fresh look. I admit that people who never leave their countries are narrow-minded and ignorant.

Speaker 4

I don’t feel the need to travel anywhere as much I did when I lived in Europe. Canada has a lot of the things I’m looking for: beautiful scenery, quiet places, no beaches full of people with horrible accents demanding fish and chips, nice weather in the summer. I don’t like hot places, so there isn’t really anything I’m missing. I love my house and I don’t like leaving. Seriously, I love hanging on the sofa. My life’s pretty full these days, so when I have the chance to do nothing, I’m as happy as a child.

Speaker 5

I feel sad for those people who have never travelled outside of their own hometown. There’s a whole world of different cultures to meet out there, ninety-nine per cent of which you can’t have by just sitting in the living room in front of the TV. When you travel to other countries you can see, feel and touch other ways of living. Some places will shock you, others will please you, but you will never be untouched by experiencing other cultures. You will then appreciate your own life and see it in a different way. You learn and start thinking and perhaps it will change you forever.

Speaker 6

I’ve been lucky enough to work all around the world and I have to say it has enlightened me in so many ways. The thing for me is that you have to meet people. Why travel if you’re just going to hang out with the same people? For me, learning how other people think, what they do, what’s important for them and how they live is the “mind-expanding“ side of travel that I enjoy. It’s useful because it puts into question all of the habits and beliefs that you take for granted, and shows us that all lifestyles and points of view are equally valid.

ENGLISH-11                                                                                                                               OVERALL

TEST

TEACHER’S PAPER

ОТВЕТЫ И БАЛЛЫ

I. LISTENING

1	2	3	4	5	6
f	c	e	g	b	d

Каждый верный ответ – 2 балла. Всего – 12 баллов.

Всего за раздел «LISTENING» – 12 баллов.

II. READING

Задание 1

1	2	3	4	5	6
D	F	C	E	B	G

Каждый верный ответ – 1 балл. Всего – 6 баллов.

Задание 2

1	2	3	4	5	6	7
c	d	a	d	b	a	b

Каждый верный ответ – 1 балл. Всего – 7 баллов.

Всего за раздел «READING» – 13 баллов.

III. GRAMMAR&VOCABULARY

Задание 1

1) had been                         4) was listening                 7) restored

2) more impressive                 5) buying

3) is asked                                 6) women

Каждый верный ответ – 1 балл. Всего – 7 баллов.

Задание 2

1) global                                 3) rewrite                        5) compatibility                

2) investigation                         4) rarely                          6) unbelievable

Каждый верный ответ – 1 балл. Всего – 6 баллов.

Задание 3

1	2	3	4	5	6	7
c	a	d	b	a	b	d

Каждый верный ответ – 1 балл. Всего – 7 баллов.

Всего за раздел «GRAMMAR&VOCABULARY» – 20 баллов.

IV. WRITING

Эссе оценивается по структуре, содержанию и языковому оформлению из максимума в 15 баллов.

ИТОГО: 60 баллов

Перевод баллов в оценку:

54 — 60 баллов – “5”               18 — 39 баллов – “3”

40 — 53 балла – “4”              менее 18 баллов – “2”

ГДЗ по английскому языку для 11 класса от Спиши фан

• Рабочая Тетрадь С Контрольными Работами по английскому языку 11 класс М.З. Биболетова

  Авторы: М.З. Биболетова, Н.Н. Трубанева

• Student’s book по английскому языку 11 класс В.П. Кузовлев

  Авторы: В.П. Кузовлев, Н.М. Лапа, Э.Ш. Перегудова

• org/Book»>

  Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс М.З. Биболетова

  Авторы: М.З. Биболетова, Н.Н. Трубанева

• Starlight по английскому языку 11 класс Баранова К.М., Углубленный уровень

  Авторы: Баранова К.М., Эванс В., Дули Д., Копылова В.В., Мильруд Р.

• Книга Для Чтения по английскому языку 11 класс В.П. Кузовлев

  Авторы: В.П. Кузовлев, Н.М. Лапа, Э.Ш. Перегудова

• New Millennium English Student’s Book по английскому языку 11 класс Гроза О. Л.

  Авторы: Гроза О.Л., Дворецкая О.Б.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Эванс В.

  Авторы: Эванс В., Афанасьева О. В., Дули Д., Михеева И. В., Оби Б.

• Радужный английский по английскому языку 11 класс Афанасьева О.В., Базовый уровень

  Авторы: Афанасьева О.В., Михеева И.В., Баранова К.М.

• Контрольные Задания по английскому языку 11 класс В. Эванс

  Авторы: В. Эванс, Д. Дули, О. Афанасьева, И. Михеева

• org/Book»>

  Enjoy English по английскому языку 11 класс М.З. Биболетова

  Авторы: М.З. Биболетова, Н.Н. Трубанева

• Решебник по английскому языку 11 класс Кауфман К.И.

  Авторы: Кауфман К.И., Кауфман М.Ю.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Афанасьева О.В., Базовый уровень

  Авторы: Афанасьева О.В., Михеева И.В., Баранова К.М.

• Spotlight по английскому языку 11 класс Эванс В.

  Авторы: Эванс В., Дули Д., Оби Б., Афанасьева О. В., Михеева И.

  В.

• Student’s book по английскому языку 11 класс Н. В. Юхнель

  Авторы: Н. В. Юхнель, Н. Г. Наумова, Н. В. Демченко

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс В.П. Кузовлев

  Авторы: В.П. Кузовлев, Н.М. Лапа, Э.Ш. Перегудова

• Решебник по английскому языку 11 класс Афанасьева О.В., Углубленный уровень

  Авторы: Афанасьева О.В., Михеева И.В.

• Enterprise 4 по английскому языку 11 класс В. Эванс

  Авторы: В. Эванс, Д. Дули

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Афанасьева О.В., Углубленный уровень

  Авторы: Афанасьева О.В., Михеева И.В., Баранова К.М., Мичугина С.В.

• Решебник по английскому языку 11 класс Ю.А. Комарова, Базовый уровень

  Авторы: Ю.А. Комарова, И.В. Ларионова, Р. Араванис, С. Кокрейн

• Forward по английскому языку 11 класс Вербицкая М. В.

  Авторы: Вербицкая М. В., Каминс К. Д., Парсонс Д., Миндрул О. С.

• org/Book»>

  Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Вербицкая М.В.

  Авторы: Вербицкая М.В., Фрикер Р., Миндрул О.Л.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Баранова К.М., Углубленный уровень

  Авторы: Баранова К.М., Дули Д., Эванс В., Копылова В., Мильруд Р.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Кауфман К.И.

  Авторы: Кауфман К.И., Кауфман М.И.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Комарова Ю.А.

  Авторы: Комарова Ю. А., Ларионова И.В., Стайлз Э.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Гроза О.Л.

  Авторы: Гроза О.Л., Дворецкая О.Б.

• Сборник Упражнений по английскому языку 11 класс Мильруд Р.П., Углубленный уровень

  Автор: Мильруд Р.П.

• Решебник по английскому языку 11 класс Кузовлев В.П.

  Авторы: Кузовлев В.П., Лапа Н.М., Перегудова Э.Ш.

• Контрольные Задания по английскому языку 11 класс Баранова К. М., Углубленный уровень

  Авторы: Баранова К.М., Дули Д., Эванс В., Копылова В., Мильруд Р.

• Enjoy English по английскому языку 11 класс Биболетова М.З.

  Авторы: Биболетова М.З., Бабушис Е.Е., Снежко Н.Д.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Биболетова М.З.

  Авторы: Биболетова М.З., Бабушис Е.Е., Снежко Н.Д.

• Рабочая Тетрадь по английскому языку 11 класс Юхнель Н.В.

  Авторы: Юхнель Н.В., Наумова Н.Г., Демченко Н.В.

• org/Book»>

  Лексико-Грамматический Практикум по английскому языку 11 класс Афанасьева О.В.

  Авторы: Афанасьева О.В., Михеева И.В., Баранова К.М.

• City Stars по английскому языку 11 класс Мильруд Р.П.

  Авторы: Мильруд Р.П., Дули Д., Эванс В., Баранова К.М.

• Контрольные Работы по английскому языку 11 класс Мильруд Р.П.

  Авторы: Мильруд Р.П., Дули Д., Эванс В., Баранова К.М.

• Решебник по английскому языку 11 класс Алексеев А.А., Базовый уровень

  Авторы: Алексеев А. А., Смирнова Е.Ю., Дерков Б.

• Книга Для Чтения по английскому языку 11 класс Демченко Н.В., Повышенный уровень

  Автор: Демченко Н.В.

• Решебник по английскому языку 11 класс Аяпова Т.

  Авторы: Аяпова Т., Абильдаева З., Тутбаева Ж.

• Решебник по английскому языку 11 класс Комарова Ю.А., Углубленный уровень

  Авторы: Комарова Ю.А., Ларионова И.В.

• Решебник по английскому языку 11 класс Тер-Минасова С. Г.

  Авторы: Тер-Минасова С.Г., Мишиева Е.М., Жура Е.М.

• Лексический Практикум по английскому языку 11 класс Баранова К.М., Углубленный уровень

  Авторы: Баранова К.М., Дули Д., Копылова В.В., Мильруд Р.П., Эванс В.

• Контрольно-Измерительные Материалы (Ким) по английскому языку 11 класс Дзюина Е.В.

  Автор: Дзюина Е.В.

• Решебник по английскому языку 11 класс Маневич Е.Г., Базовый уровень

  Авторы: Маневич Е.Г., Полякова А.А., Дули Д., Эванс В.

• org/Book»>

  Решебник по английскому языку 11 класс Вербицкая М.В., Углубленный уровень

  Авторы: Вербицкая М.В., Каминс К.Д., Парсонс Д., Миндрул О.С., Нечаева Е.Н., БеляеваТ.Н.

• Решебник по английскому языку 11 класс Мишин А.В., Базовый уровень

  Авторы: Мишин А.В., Громова И.А., Ёлкина К.И.

• Решебник по английскому языку 11 класс Демченко Н.В., Повышенный уровень

  Авторы: Демченко Н.В., Бушуева Э.В., Севрюкова Т.Ю., Лапицкая Л.М., Романчук В.Р.

Теорема правильного порядка в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Содержание

Контекст

Основы

Основы

Основа всего

• математическая логика

• система дедукции, естественная дедукция, последовательное исчисление, лямбда-исчисление, суждение

• теория типов, теория простых типов, теория зависимых типов

• коллекция, объект, тип, термин, набор, элемент

• равенство, оценочное равенство, типовое равенство

• Вселенная

  , проблемы с размером

• логика высшего порядка

 теория множеств

теория множеств

• основы теории множеств
  • пропозициональная логика
  • логика первого порядка
  • типизированная логика предиката
  • отношение членства
  • пропозициональное равенство
  • набор, элемент, функция, отношение
  • вселенная, маленький набор, большой набор
• теория набора материалов
  • отношение принадлежности, пропозициональное равенство, аксиома экстенсиональности
  • структура спаривания, аксиома спаривания
  • структура объединения, аксиома объединения
  • структура набора мощности, аксиома набора мощности
  • структура натуральных чисел, аксиома бесконечности
• презентаций по теории множеств
  • теория множеств первого порядка
  • несортированная теория множеств
  • просто отсортированная теория множеств
    • односортная теория множеств
    • теория двухсортных множеств
    • трехсортная теория множеств
  • теория зависимо отсортированных множеств
  • структурно представленная теория множеств
• структурализм в теории множеств
  • теория множества материалов
    • ЗФК
    • ЗФА
    • Теория множеств Мостовского
    • Новые фундаменты
  • структурная теория множеств
    • категориальная теория множеств
      • ETCS
        • полностью формальный ETCS
        • ETCS с элементами
        • Trimble на ETCS I
        • Trimble на ETCS II
        • Trimble на ETCS III
      • структурный ZFC
    • аллегорическая теория множеств
      • ПОЯВЛЕНИЕ
• теория набора классов
  Класс
  • , соответствующий класс
  • универсальный класс, вселенная
  • категория классов
  Категория
  • со структурой классов
• конструктивная теория множеств
• алгебраическая теория множеств

Основополагающие аксиомы

Основополагающие аксиомы

• основные конструкции:

  • аксиома декартовых произведений
  • аксиома непересекающихся союзов
  • аксиома пустого множества
  • аксиома полноты
  • аксиома функциональных наборов
  • аксиома множеств мощности
  • аксиома частных множеств

• материальных аксиомы:

  • аксиома экстенсиональности
  • аксиома основания
  • аксиома антиосновы
  • Аксиома Мостовского
  • аксиома спаривания
  • аксиома транзитивного замыкания
  • аксиома союза

• структурных аксиомы:

  • аксиома материализации

• тип теоретических аксиом:

  • аксиомы усечения множества
    • уникальность доказательств личности
    • аксиома К
    • граница разделения
    • равенство отражение
    • аксиома локализации типа окружности
  • аксиом теории гомотопического типа:
    • аксиома однолистности
    • Принцип Уайтхеда

• аксиомы выбора:

  • аксиома выбора
  • аксиома счетного выбора
  • аксиома зависимого выбора
  • аксиома исключенного третьего
  • аксиома существования
  • аксиома множественного выбора
  • аксиома Маркова
  • аксиома презентации
  • аксиома выбора малой мощности
  • аксиома малых нарушений выбора
  • аксиома слабо инициальных множеств покрытий

• больших кардинальных аксиомы:

  • аксиома бесконечности
  • аксиома вселенных
  • аксиома регулярного расширения
  • недоступный кардинал
  • измеримое кардинальное число
  • элементарное вложение
  • сверхкомпактный кардинал
  • Принцип Вопенки

• сильные аксиомы

  • аксиома разделения
  • аксиома замены

• далее

  • Принцип отражения

• аксиома пространств неравенств

Удаление аксиом

• конструктивная математика
• предикативной математики

Изменить эту боковую панель

• Идея
• Заявление и доказательство
• Последствия
• По конструктивной математике
• Связанные записи
• История
• Ссылки

Идея

Теорема о правильном порядке — известный результат теории множеств, утверждающий, что каждое множество может быть хорошо упорядоченным.

Основополагающий для подхода Г. Кантора к порядковой арифметике, он оставался открытой проблемой до тех пор, пока Э. Цермело не дал в 1904 г. доказательство с использованием аксиомы выбора (которой она фактически эквивалентна).

Следовательно, теорема о правильном порядке является одной из многих эквивалентных формулировок аксиомы выбора, как, например, Лемма Цорна.

Для любого набора SS существует правильный порядок ≺\prec на SS.

Первое доказательство было дано в (Zermelo 1904). В nLab статья «Лемма Цорна» дает стандартное неформальное доказательство, которое может быть формализовано в ZFC в соответствии с классической логикой, а также простой аргумент, что, наоборот, принцип хорошего порядка (в его классической форме «наименьшего элемента»; см. ниже) следует аксиома выбора и лемма Цорна.

Последствия

Если каждое множество может быть хорошо упорядочено, то естественное отображение порядковых чисел в количественные является сюръекцией. Поскольку они образуют собственные классы, обычная аксиома выбора не будет автоматически разделять эту сюръекцию; однако мы можем легко разделить его, назначив каждому количественному числу наименьшее порядковое число с этой кардинальностью. (Однако для этого требуется исключенная середина.) Таким образом, кардинальное число может быть определено как как порядковое число, равное 9.0367 начальный : такой, что ни одно меньшее порядковое число не имеет такой же мощности.

Как и в приведенном выше аргументе, следует аксиома выбора; для любой сюръекции f: A→Bf: A \ to B, поместите правильный порядок на AA, а затем разделите ff, сопоставив элемент yy из BB с наименьшим элементом xx из AA таким, что y = f (x) y = f (Икс). Опять же, здесь используется исключенное среднее, чтобы показать, что такой наименьший элемент существует, поэтому принцип правильного упорядочения не подразумевает (кажется) конструктивно аксиому выбора.

Чтобы получить большую (или «глобальную») аксиому выбора (о том, что любая сюръекция между собственными классами расщепляется), нам нужна большая теорема о правильном порядке: каждый правильный класс может быть хорошо упорядочен. Большие принципы не следуют из малых.

В конструктивной математике

В конструктивной математике принцип упорядочения также эквивалентен аксиоме выбора. Это было доказано Эндрю Своном (2021 г.) и формализовано в Agda Томом де Йонгом (2021 г.) и в Coq Домиником Кирстом (2021 г.).

Лемма Цорна, с другой стороны, конструктивно слабее аксиомы выбора, так как она даже не предполагает исключенного третьего. Но вместе с исключенным третьим оно подразумевает выбор. Однако без исключенного третьего лемма Цорна бесполезна.

• Лемма Цорна

• аксиома выбора

• Номер Хартога

История

Георг Кантор впервые разработал теорию множеств в контексте изучения хорошо упорядоченных множеств действительных чисел, поэтому справедливость принципа правильного порядка стала важной для его теории порядковых чисел. В своей статье 1883 года он называет это числом 9.0367 «фундаментальный и весомый закон мысли, замечательный своей общностью» и обещал вернуться к нему позже (Cantor 1932, p. 169). Далее он объявил доказательства, но они не материализовались, так что он был вынужден принять это как предположение. ¹

Следовательно, принцип упорядочения закончился как «очень странное утверждение», второе место в гильбертовском списке открытых проблем математики на тысячелетие в 1900 г. Затем, в 1904 г., венгерский математик Й. не быть хорошо упорядоченным, но пришлось отозвать доказательство.

Вскоре после этого, в 1904 году, Эрнст Цермело, наконец, дал доказательство, используя аксиому выбора по предложению Э. Шмидта. Доказательство, хотя и правильное, было встречено резкой критикой со стороны видных математиков, так что Цермело опубликовал новое доказательство и защиту оспариваемой аксиомы выбора в 1908 году. в том же году опубликовать свои аксиомы теории множеств, которые позже стали частью теории множеств Цермело-Френкеля. Отсюда и 1904ff полемика оказалась решающим водоразделом для развития современной математики : спровоцировала появление теоретико-множественного основания математики и поставила на повестку дня проблему неконструктивных методов доказательства.

Ссылки

Оригинал доказательства находится в

• Ernst Zermelo, Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann , Mathematische Annalen 59 (190 4) с.514-516. (гдз)

Второе доказательство вместе с красноречивой защитой аксиомы выбора можно найти в

• Эрнст Цермело, Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Mathematische Annalen 65 (1908) стр. 107-128. (гдз)

Тексты Кантора собраны вместе с комментариями Цермело в

• Эрнст Цермело (ред.), Георг Кантор — Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts , Springer Berlin 1932. (gdz) 9001 8

Английские версии статей Цермело находятся по адресу

• J. van Heijenoort (ed.), От Фреге до Гёделя — Справочник по математической логике 1879-1931 , Harvard UP 1967.

О связи между АС и принципом упорядочения в целом см.

• Питер Фрейд, Выбор и упорядочение , APAL 35 (1987), стр. 149-166.

• М.-М. Mawanda, Правильное упорядочение и выбор топосов , JPAA 50 (1988), стр. 171-184.

• Питер Джонстон, Зарисовки слона об. II , Oxford UP 2002. (D4.5, стр. 987-998)

• Дж. Тодд Уилсон, «Интуиционистская версия доказательства Цермело того, что каждое множество выбора может быть хорошо упорядочено», J. Symbolic Logic, 66:3 (2001), 1121–1126; (JSTOR: с платным доступом), формализация в средстве доказательства теорем бережливого производства.

Доказательство того, что лемма Цорна не подразумевает исключенного третьего (и, следовательно, не подразумевает выбора без предположения исключенного третьего):

• Джон Лейн Белл, Лемма Цорна и полные булевы алгебры в интуиционистских теориях типов , The Journal of Symbolic Logic, 62(4):1265–1279, 1997 (doi:10.2307/2275642)

---

1. Это контрастирует с отношением Кантора к аксиоме выбора, которую он использовал имплицитно, но никогда не тематизировал эксплицитно.