2 Cornell Notes Заголовок Тема: Геометрия 6 класс (Блок 9 стр.6)
E. Q .: Как связаны двухмерные и трехмерные фигуры? Имя: _____________________________ Дата: _____________________________ Класс: _____________________________ Гл. 10 Урок 5 — Твердые фигуры

3 Части трехмерной фигуры
грани — многоугольники, образующие твердую фигуру. край — отрезки, на которых встречаются грани фигуры.вершина — точка пересечения ребер. (Множественное число — вершины.) Ребра обращены к вершине

4 Подсчет граней, ребер и вершин напр.
Пр. Подсчитайте количество граней, ребер и вершин показанной квадратной пирамиды. граней: 5 ребер: 8 вершин:

5 Призма классифицирующих тел — твердое тело с двумя параллельными основаниями, которые являются конгруэнтными многоугольниками.Ex. прямоугольная призма и треугольный призматический цилиндр — твердое тело с двумя параллельными основаниями, которые являются конгруэнтными окружностями. Ex. пирамида — твердое тело из многоугольников. Основание может быть любым многоугольником, а другие многоугольники — треугольниками, имеющими общую вершину.

6 Классификация тел (продолжение)
конус — твердое тело с одним круговым основанием и вершиной, находящейся не в одной плоскости. Ex.сфера — совокупность всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром.

7 Как нарисовать твердое тело Нарисуйте треугольную призму. (учебник стр. 542) (1) Нарисуйте конгруэнтные основания (2) Соедините соответствующие вершины. (3) Сделайте скрытые линии, частично удалив линии.

Треугольник | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 9 класс> Обязательная математика> Геометрия

Отрезок линии : Определенная часть прямой линии называется отрезком прямой.Имеет фиксированное измерение.

Изогнутая линия : Линия, соединяющая две фиксированные точки без фиксированного направления, называется изогнутой линией.

Параллельные линии : Любые две или более двух прямых линий, которые пересекаются друг с другом после продолжения, или длина перпендикулярного расстояния между ними всегда одинакова, являются параллельными линиями.

Угол : Когда любые две прямые или отрезки пересекаются в одной точке, они образуют угол, который называется углом.

Связь между парой углов

1. Смежные углы
Пара углов, имеющих одинаковую вершину и общую сторону, называется смежными углами. Если внешние стороны обоих углов лежат на прямой, их сумма равна двум прямым углам.

2. Вертикально противоположные углы
Когда два прямых отрезка пересекаются в точке, тогда пара углов, образованных друг напротив друга, называется вертикально противоположными углами.

Классификация треугольников по сторонам

1. Равносторонние треугольники

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 ^o . Таким образом, равносторонний треугольник также называется равносторонним, то есть все внутренние углы также совпадают друг с другом и составляют 60 ^o каждый. Это правильные многоугольники.

2. Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого (как минимум) две стороны равны, называется равнобедренным треугольником. Углы основания равнобедренного треугольника равны. Следовательно, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В \ (\ треугольник \) ABC, ∠B = ∠C ∴ \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

3. Скаленовый треугольник

Треугольник, все три стороны которого не равны, называется разносторонним треугольником.В \ (\ треугольнике \) XYZ нет равных сторон. ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — разносторонний треугольник.

Классификация треугольников по углам

1. Треугольник с острыми углами: Треугольник, все углы которого являются острыми углами (меньше 90 ^o ), называется остроугольным треугольником. На данном рисунке все углы меньше 90 ^o , так что это остроугольный треугольник.

2. Треугольник с тупым углом: Треугольник, один угол которого тупой (больше 90 ^o ), называется треугольником с тупым углом.На данном рисунке ∠Y равно 120 ^o (больше 90 ^o ) ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — это треугольник с тупым углом.

3. Прямоугольный треугольник: Треугольник, у которого один угол прямой (90 ^o ), называется прямоугольным треугольником. В \ (\ треугольник \) ABC, ∠B = 90 ^o , поэтому \ (\ треугольник \) ABC является прямоугольным треугольником.

Свойства треугольников

• Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам или 180.
• Внешний угол, образованный стороной треугольника, равен сумме двух несмежных внутренних углов.
• Сумма любых двух сторон большего угла треугольника длиннее противоположной стороны меньшего угла.
• Углы основания равнобедренного треугольника равны
• Все углы равностороннего треугольника равны.

Треугольники — это трехсторонние замкнутые фигуры, которые имеют три прямые стороны, соединенные в трех вершинах, и три угла, заключенные внутри фигуры в вершинах.Существует несколько типов треугольников в зависимости от длины его сторон и углов, которые они содержат. Многие не знают, что треугольник — это многоугольник с тремя сторонами.

Аксиомы и постулаты

Axoims

Аксиома — это самоочевидная истина, которая хорошо установлена, принята без споров или вопросов. Некоторые из аксиом представлены в следующей таблице с их условиями:

Постулаты

Утверждение, которое считается истинным без доказательства, называется постулатом. Постулаты — это основная структура, из которой выводятся леммы и теоремы.Некоторые из постулатов, которые нам нужны в нашей геометрии, перечислены ниже.

1. Есть только одна прямая линия, которую вы можете провести между любыми двумя точками.

2. Через точку можно провести бесконечное количество прямых.

3. В строке ровно не менее двух точек.

4. Через любые три неколлинеарные точки существует ровно одна плоскость.

5. Биссектрисой данного угла может быть только одна линия.

6. Прямая линия может быть построена с любой стороны до бесконечности.

7. Через одну точку проходит только линия, параллельная первой линии.

8. Длина перпендикуляра означает расстояние между точкой и линией.

Свойства углов, когда две параллельные прямые пересекаются поперечной линией:

Нарисуем хотя бы две параллельные прямые AB и XY. Трансверсальная линия CD пересекает AB в точке E и XY в точке F. Мы можем установить следующие соотношения между образованными углами:

a) Альтернативные углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то образованные таким образом альтернативные углы равны.∴ ∠AEF = ∠EFY и ∠BEF = ∠EFX

b) Соответствующие углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то соответствующие углы, образованные таким образом, равны.

∴ ∠AED = ∠EFX, ∠AEF = ∠XFC

∠DEB = ∠EFY, ∠BEF = ∠YFC

c) Сумма совпадающих внутренних углов составляет 180 ^o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма образованных таким образом совместных внутренних углов составляет 180 ^o .

∴ AEF + ∠EFX = 180 ^o

∠BEF + ∠EFY = 180 ^o

d) Сумма со-внешних углов равна 180 ^o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма сонаправленных углов, образованных таким образом, составляет 180 ^o .

∴ AED + ∠XEC = 180 ^o и ∠DEB + ∠YEC = 180 ^o

Теорема 1: Сумма углов любого треугольника равна двум прямым углам.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разной ориентации.И назовите их \ (\ треугольник \) ABC каждый. (Нарисуйте треугольники таким образом, чтобы каждый угол можно было измерить с помощью транспортира.)

Шаг 2: Измерьте каждый угол этих трех треугольников с помощью транспортира и заполните следующую таблицу.

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ∠ABC, ∠BCA и ∠BAC — три угла треугольника ABC.

Для доказательства: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180 ^o

Построение: проведем прямую линию, параллельную BC, через A.

Проба:

Доказано

Теорема 2: Внешний угол, образованный продолжением стороны треугольника, равен сумме двух других несмежных углов.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разного размера в разной ориентации. Произведите от BC до D на каждой фигуре. На каждом рисунке ∠ACD — это внешний угол, а ∠A и ∠B — два несмежных угла внутри треугольника.

Шаг 2: Измерьте размер внешнего угла и двух других несмежных углов на каждом рисунке и заполните таблицу.

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ABC — это треугольник, сторона BC которого продолжается до D, так что ∠ACD — внешний угол.

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Проба:

Доказано
Альтернативный метод:

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Строительство: Проведем CE параллельно BA.

Проба:

Доказано

Проверка свойств равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны. Треугольник симметричен, так как две стороны равны, следовательно, он обладает разными свойствами. Например, углы основания равнобедренного треугольника равны. Этот вид свойств доказывается здесь как теоретическое доказательство, которое требует соблюдения условий конгруэнтности треугольников.Перед этим мы кратко обсудим различные условия конгруэнтности треугольников.

Конгруэнтность треугольников

У треугольника 3 стороны и 3 угла. Два треугольника равны, если 3 части (из 6 частей) одного треугольника равны 3 соответствующим частям другого треугольника

согласно следующим условиям. Мы принимаем эти условия за аксиомы.

i) S.S.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если три стороны треугольника равны трем соответствующим сторонам другого треугольника под S.Аксиома С.С.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) AB = MN (S)

б) BC = NO (S)

c) AC = MO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [S.S.S. аксиома]

Соответствующие части конгруэнтных треугольников также равны. т.е. A = ∠M, ∠B = ∠N и ∠C = ∠O.

ii) S.A.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если две стороны и угол, образованный ими треугольника, соответственно равны соответствующим сторонам и углу другого треугольника при S.В КАЧЕСТВЕ. аксиома.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) PQR,

а) AB = PQ (S)

б) ∠B = ∠Q (A)

c) BC = QR (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC = \ (\ треугольник \) PQR [S.A.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠R и ∠A = ∠P [соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AC = PR [Соответствующие стороны равных треугольников]

iii) A.S.A. аксиома:

Два из называются конгруэнтными, если два угла и их смежная сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника под A.Аксиома С.А.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

а) ∠B = ∠E (A)

б) BC = EF (S)

в) ∠C = ∠F (A)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [А. аксиома]

Теперь, AC = DF и AB = DE

[Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

∠A = ∠D [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

iv) R.H.S. аксиома:

Два прямоугольных треугольника считаются конгруэнтными, если гипотенуза и одна из оставшихся сторон обоих треугольников соответственно равны относительно R.H.S. аксиома.

Прямоугольный \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) B = ∠N (R)

б) AC = MO (H)

c) BC = NO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [R.H.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠O и ∠A = ∠M [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AB = MN [Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

v) S.A.A. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если два угла и сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника согласно S.А.А. аксиома. Эта аксиома может быть проверена с помощью A.S.A. аксиома.

Здесь,

а) ∠A = ∠D [дано]

б) ∠B = ∠E [дано]

c) ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F [Сумма углов любого треугольника равна 180 ^o ]

d) ∠C = ∠F [Из (a), (b) и (c)]

Теперь в \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

e) ∠B = ∠F (A) [Учитывая]

f) BC = EF (S) [Учитывая]

г) ∠C = ∠F (A) [Из (d)]

ч) \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [A.Аксиома S.A.]

Итак, AB = DE и AC = DF [Соответствующие стороны равных треугольников]

Равнобедренный треугольник

Теорема 3:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC разной формы и размера в разной ориентации, где AB = AC.

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Доказать: ∠ABC = ∠ACB

Построение: проведем AD⊥BC из вершины A.

Проба:

Доказано

Теорема 4: преобразование теоремы 3

Экспериментальная проверка:

Шаг 1. Нарисуйте три отрезка BC разной длины в разных положениях.

Шаг 2: Рисуются равные размеры углов в точках B и C на каждом отрезке линии. Отметьте точки как A, где пересекаются стороны этих углов. Теперь сформированы три \ (\ треугольник \) ABC.

рисунок

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Дано: В \ (\ треугольнике \) ABC базовые углы равны i.е. ∠B = ∠C.

Чтобы доказать: AB = AC, \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

Построение: Из вершины A проведем AD⊥BC.

Проба:

Доказано

Теорема 5:

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC с разными положениями и размерами так, чтобы AB = AC в каждом треугольнике.

Шаг 2: Проведите биссектрису угла при вершине ∠A в каждом треугольнике. Биссектриса пересекает BC в D.

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.AD — биссектриса ∠BAC.

Доказать: AD⊥BC и BD = DC.

Проба:

Доказано

Теорема 6: Обратное к теореме 5

Экспериментальная проверка:

Шаг 2: Отметьте середину BC в D. Соедините A и D в каждом треугольнике.

Шаг 3: Измерьте ∠ADB, ∠ADC, ∠BAD и ∠CAD и сверьте их в таблицу ниже:

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.

AD соединяет вершину A и середину D основания BC.

Доказать: AD⊥BC и ∠BAD = ∠CAD.

Доказано

Соотношение сторон и углов треугольника:

Эксперимент № 1: Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три треугольника ABC с разными положениями и размерами в разной ориентации.

Вывод: сумма двух сторон треугольника больше, чем третья сторона.

Эксперимент № 2: В любом треугольнике угол, противоположный длинной стороне, больше, чем угол, противоположный более короткой стороне.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Три треугольника ABC с разным положением и разным размером и разной ориентацией нарисованы таким образом, что BC — самый длинный, а CA — самая короткая сторона в каждом треугольнике.

Шаг 2: Угол, противоположный большей стороне BC (т.е. B), измеряется и заносится в таблицу:

Заключение: В любом треугольнике сторона, противоположная большему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу.

Эксперимент № 4: Среди всех отрезков прямой до данной линии от точки за ее пределами перпендикуляр является самой короткой линией.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три отрезка прямой линии XY разной длины в разной ориентации. За пределами каждого отрезка берется точка P. Три линейных сегмента PA, PB, PC и перпендикулярная линия PM проведены от P до XY.

Шаг 2: Измерьте длину каждого линейного сегмента PA, PB, PC и PM.Затем сведите их в таблицу:

Заключение: Среди всех отрезков прямой линии до данной линии, образующих точку за ее пределами, перпендикуляр является самой короткой линией.

Эксперимент № 5: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Шаг 1: Нарисуйте три прямоугольных треугольника разных размеров.

Шаг 2: Заполните данную таблицу.

Вывод: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Эксперимент № 5 известен как теорема Пифагора. Около 2500 лет назад Пифагор был греческим математиком. Он изобрел факт о прямоугольном треугольнике, который получил название теоремы Пифагора. Эта теорема используется во всех других областях математики, а не только в геометрии.