Существуют тысячи математических веб-сайтов , которые можно использовать как часть игрового подхода к обучению или стратегии дифференциации. Интернет-ресурсы вызывают у учащихся интерес к изучению математики, и их часто можно масштабировать в зависимости от знаний и уровня обучения.

Популярные ресурсы включают:

• TeacherVision:  Ищете междисциплинарные мероприятия? Не смотрите дальше. TeacherVision предоставляет учителям доступ к ресурсам, которые связывают математику с такими предметами, как искусство, история и география.
• SuperKids:  SuperKids — это универсальный ресурс для создания рабочих листов. Выберите навык и диапазон номеров и создайте индивидуальное задание.
• Prodigy Math:  Учащиеся отправляются в приключения, собирают питомцев и сражаются с друзьями, одновременно отвечая на развивающие навыки математические вопросы.

Математика в уме является важной частью беглой математики. Когда учащиеся быстро запоминают математические факты и могут быстро решать простые уравнения, они уверенно решают более сложные задачи.

Ассоциация учителей математики Манитобы определяет ментальную математику следующим образом:

«Комбинация когнитивных стратегий, которая улучшает гибкость мышления и чувство числа. Он вычисляет в уме без использования внешних вспомогательных средств памяти. Это улучшает вычислительную беглость за счет повышения эффективности, точности и гибкости». Есть много ресурсов, доступных для улучшения навыков ментальной математики, в том числе:

• Мнемотехника
• Мировые проблемы
• Игры на беглость фактов

Чтобы узнать больше о способах отработки математических навыков в уме, прочтите 12 практических упражнений для улучшения умственного счета учащихся + список для загрузки.

Common Core math — это новая структура, направленная на улучшение концептуального понимания математики учащимися путем поощрения навыков решения задач, критического мышления и обсуждения.

Поскольку это так ново, инструкторы изо всех сил пытались подготовить материалы, соответствующие стандартам. Если это вы, вот несколько приемов для начала:

• Используйте модульные инструменты:  Младшие школьники могут моделировать свои задачи с помощью числовых блоков, а старшие школьники могут использовать предметы повседневного обихода, чтобы «разыграть» концепции, которые они изучают. .
• Поощряйте обсуждение со сверстниками: Стандарты Common Core уделяют большое внимание критическому мышлению и решению проблем — двум вещам, которым учащиеся могут научиться, обсуждая проблемы со своими сверстниками.
• Журналы по математике:  Написание шагов, которые они предприняли для решения задачи, помогает учащимся понять, где они застряли. Кроме того, это отличный инструмент для учителей, которые хотят отслеживать понимание учениками.

Подробное объяснение восьми стандартов и способов их преподавания см. в статье 8 основных базовых математических стандартов с объяснением [+ примеры].

Обучение учащихся быстрому решению математических задач и без посторонней помощи может улучшить уверенность и беглость математики.

При условии, что ваши ученики имеют четкое представление о концепциях, лежащих в основе того, что они уже освоили, математические «уловки» могут придать им больше уверенности и вдохновить их на решение новых задач. Практически для каждой основной функции есть приемы, в том числе:

• Двухэтапное сложение и вычитание
• Умножение на степень 2
• Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 1

Показать студентов.

Умножение — это большой и часто пугающий шаг для учащихся, которые чувствуют, что только что освоили сложение и внезапно получают что-то новое. Учителя также часто пытаются эффективно донести новые концепции до учащихся.

Что, если мы скажем вам, что умножение может быть одним из самых полезных уроков, которые вы когда-либо преподавали?

Наше шестишаговое руководство по обучению умножению предназначено для того, чтобы вовлечь учащихся в процесс обучения с четким и логичным развитием идей. Есть много забавных способов научить умножению и уменьшить беспокойство учащихся, в том числе:

• Математические игры в классе
• Увлекательные книги по математике
• Веб-сайты по математике

Умножение не должно вызывать стресса — начните с основных понятий и продвигайтесь вперед, и ваши ученики станут мастерами умножения в кратчайшие сроки. !

Многим учащимся сложно понять принцип умножения. Запоминание и понимание основных фактов умножения является ключевым элементом свободного владения математикой и обеспечивает необходимую основу для дальнейшего изучения.

Обучение на основе игр может быть успешным способом помочь учащимся развить это понимание и может привлечь их к проблемной теме. Некоторые игры на умножение включают:

• Правда или ложь?: Напишите на доске предложение с умножением, которое является либо истинным, либо ложным. В группах у класса есть минута, чтобы обсудить и ответить «верными» или «ложными» карточками.
• Бросание надувного мяча:  Напишите вопросы на умножение на надувном мяче и бросьте его. Попросите учащихся ответить на вопрос, который ближе всего к их мизинцу.
• Опасность!:  Это классика не просто так — найдите интерактивный шаблон и заполните его вопросами. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество очков в конце игры!

Чтобы узнать больше об увлекательных играх на умножение, прочитайте «15 игр на умножение, которые сделают уроки математики увлекательными».

Итак, ваш раздел о дробях закончен, и пора двигаться дальше — к умножению дробей .

Некоторых учащихся этот скачок пугает даже больше, чем переход от сложения к умножению. Но не беспокойтесь! Существуют стратегии обучения, которые заставят ваших учеников умножать дроби в кратчайшие сроки. Некоторые рекомендации по обучению вашего класса умножению дробей:

• Убедитесь, что ваши учащиеся понимают основу и взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами, а также способы их преобразования
• Используйте модульные инструменты и наглядные пособия
• Попросите учащихся принести любимый рецепт и умножить его, чтобы он мог накормить весь класс

Подробный обзор того, как научить умножать дроби, см. в статье «Как умножать дроби» (+ 7 занимательных заданий).

Что может быть страшнее для школьников, чем умножение дробей? Разделив их .К счастью для них, мы провели исследование. Разделить дробь можно в три простых шага:

• Превратить делитель в обратное
• Заменить знак деления на знак умножения и умножить убедиться, что учащиеся понимают, как решить проблему, значит убедиться, что они понимают, что именно происходит. Вместо того, чтобы просто учить ответ, научите студентов, что такое ответ означает . Подробнее о делении дробей читайте в статье «Как разделить дроби за 3 простых шага».
  21. Математические головоломки

  Математические головоломки существуют почти столько же, сколько и математика, и не без причины. Одно исследование показало, что математические головоломки «развивают логическое мышление, комбинаторные способности, укрепляют способность к абстрактному мышлению и работе с пространственными образами, прививают критическое мышление и развивают математическую память». учебные программы и развитие навыков решения проблем. Некоторые популярные математические головоломки включают в себя:

  • Судоку
  • Волшебный квадрат
  • Ханойская башня
  • KenKen

  Убедитесь, что головоломки подходят для ваших учеников и используются по назначению. Для получения дополнительных идей о том, как использовать математические головоломки в классе, прочитайте 20 математических головоломок, чтобы заинтересовать ваших учеников.

  Стратегии обучения, ориентированные на учащихся

  22. Геймификация

  Геймификация в классе — это эффективный способ превратить любовь ребенка к игре в любовь к учебе. Преимущества огромны: геймификация может помочь учащимся сосредоточиться и развить необходимые навыки. Исследование, проведенное в Южной Корее в 2011 году, также показало, что геймификация поддерживает мотивацию и вовлеченность учащихся в учебу.

  Чтобы эффективно использовать методы геймификации в классе, начните со своих учеников: что им нравится? Каковы их потребности в обучении? Есть ли заметные проблемы с поведением? Другие советы включают в себя:

  • Эффективно структурируйте проблемы : Геймификация работает лучше всего, когда она окружена четкими правилами и ожиданиями.
  • Убедитесь, что прогресс виден: Если учащиеся не видят, как далеко они продвинулись, они могут расстроиться.
  • Создайте руководство:  Создайте ресурс для учащихся, объясняющий игры, правила и систему подсчета очков.

  Если вам нужны другие примеры и методы геймификации вашего класса, прочтите «Как сделать ваш класс геймифицированным за 5 простых шагов».

  23. Конвергентное и дивергентное мышление

  Конвергентное и дивергентное мышление — два термина, введенные американским психологом Дж. П. Гилфордом в 1950-х годах.

  Конвергентное мышление означает понимание того, как можно использовать отдельные фрагменты информации для достижения одного решения. Обычно он зарезервирован для первого или второго уровня глубины знаний (DOK) и может использоваться для ответов на вопросы, требующие ограниченного набора навыков и знаний (например, вопросы с несколькими вариантами ответов).

  Конвергентное и дивергентное мышление — два термина, введенных американским психологом Дж. П. Гилфордом в 1950-х годах.

  Конвергентное мышление означает понимание того, как можно использовать отдельные фрагменты информации для достижения одного решения. Обычно он зарезервирован для первого или второго уровня DOK и может использоваться для ответов на вопросы, требующие ограниченного набора навыков и знаний (например, вопросы с несколькими вариантами ответов).

  Дивергентное мышление требует, чтобы учащиеся начали с одной подсказки, а затем критически обдумали ее, чтобы перейти к разным ответам (подумайте о написании эссе, мозговом штурме и творческом анализе). Это происходит на третьем или четвертом уровне DOK.

  В то время как конвергентное мышление является важной частью построения беглой математики, дивергентное мышление позволяет учащимся понять основные понятия, лежащие в основе их работы. Конвергентное и дивергентное мышление являются важными навыками в любом предмете. Когда вы поймете разницу, вы будете лучше подготовлены к тому, чтобы внедрить и то, и другое в свой класс.

  Чтобы узнать больше о каждом из них и о том, как их преподавать, прочитайте «Как обучать конвергентному и дивергентному мышлению: определения, примеры, шаблоны и многое другое».

  24. Проектное обучение

  Учащиеся должны играть активную роль в собственном обучении, но часто не участвуют в учебном процессе. Проектное обучение позволяет учащимся полностью погрузиться в решение подлинной и тонкой проблемы, имеющей практическое значение.

  Обучение на основе проектов является открытым и позволяет учащимся, работающим в группе, найти свой собственный путь к решению. Это не выглядит одинаково в каждом классе — размер класса, способности учащихся и стиль обучения играют большую роль в формировании процесса.

  В то время как сторонники указывают на более активное участие, сохранение знаний и улучшение критического мышления, есть и серьезные критические замечания: обучение на основе проектов может быть слишком сосредоточено на создании продукта, а не на обучении, а оценка часто субъективна.

  Чтобы узнать, как эффективно внедрить методы проектного обучения в свой класс, прочтите Полное руководство по проектному обучению: определение, дебаты, идеи и примеры.

  25. Экспериментальное обучение

  Каждый класс имеет широкий спектр уровней и стилей обучения, с которыми любому учителю может быть трудно эффективно справиться. Используйте экспериментальное обучение , чтобы противодействовать отчуждению учащихся и вовлекать их в учебный процесс.

  Традиционная учебная деятельность

  • Ориентация на учителя
  • Фиксированная рубрика или система подсчета очков
  • Объяснение знаний или навыков посредством передачи Информация
  • Фиксированная структура, высокая степень облегчения

  Опытные мероприятия по обучению

  • Студентов, ориентированные/фокусированные
  • Гибкие и открытые обучения
  • . , минимальное содействие

  Предоставьте учащимся новые способы обучения, которые помогут им оставаться сосредоточенными, учиться динамично и учиться быстрее.

  Вовлеките учащихся в процесс поиска и размышлений! Попросите их составить от трех до пяти вопросов (с ответами) по последнему уроку. В парах попросите учащихся опросить своих партнеров по вопросам, которые они написали, и посмотрите, какие концепции учащиеся считают наиболее важными в своем уроке.

  Чтобы узнать больше об экспериментальных учебных мероприятиях, прочтите 7 практических учебных мероприятий для вовлечения учащихся.

  26. Обучение сверстников

  Сторонники указывали на преимущества обучения сверстников с 18 века. Это одна из многих стратегий обучения, которая помогает развить навыки рассуждения и критического мышления, а также новаторская 1988 исследований показали, что это улучшает самооценку и навыки межличностного общения.

  Однако принести его в класс может быть сложно — у учащихся может быть разный уровень владения языком или они не решаются обучать своих сверстников, и это может привести к проблемам с конфиденциальностью, с которыми учащиеся борются.

  Некоторые передовые методы обучения по принципу «равный-равному» включают:

  • Объяснение учащимся того, как оставлять отзывы
  • Предоставление письменных подсказок для направления обсуждения
  • Проведение сеансов взаимного редактирования в классе

  Дополнительные идеи о том, как успешно внедрить взаимное обучение в свой класс, см. в статье 15 простых стратегий взаимного обучения в помощь учащимся.

  27. Обучение на основе запросов

  Обучение на основе запросов существует с 1960-х годов, но до сих пор может быть сложной стратегией обучения для реализации в классе.

  В классе исследовательского обучения учителя несут ответственность за то, чтобы помочь учащимся ответить на их вопросы — от прошлого любопытства к критическому мышлению и пониманию.

  Существует 4 основных типа обучения на основе запросов:

  • Подтверждающий запрос : Учащимся дается вопрос и способ ответа на него
  • Структурированный запрос:  Учащимся предлагается открытый вопрос и метод исследования
  • Управляемый опрос: Учащиеся работают от открытого вопроса до разработки методов исследования
  • Открытый опрос: Учащиеся разрабатывают оригинальные вопросы, на которые они отвечают, используя свои собственные методы

  Исследование, проведенное Ассоциацией психологических наук, показало, что учащиеся, использующие обучение на основе запросов, с большей вероятностью запоминают информацию из деятельности и содержания учебной программы в целом.

  Чтобы узнать больше о преимуществах и примерах обучения на основе запросов, а также о том, как эффективно использовать его в классе, прочтите «Все об обучении на основе запросов: определение, преимущества и стратегии».

  28. Проблемное обучение

  Проблемное обучение — это педагогика, ориентированная на учащихся, которая объединяет учащихся в группы для совместного решения открытых задач. Эта стратегия преподавания имеет свои преимущества и недостатки:

  Преимущества

  • Разработка долгосрочных знаний
  • Использование различных типов обучения
  • Студенты постоянно занимаются
  • .
    • Потенциально плохие результаты теста
    • Неподготовленность учащихся
    • Неподготовленность учителей
    • Оценка занимает много времени
    • Может быть неактуальной/неприменимой

    контроль над собственным образованием.

    Дополнительные идеи о проблемно-ориентированном обучении и советы по разработке проектов см. в статье 5 преимуществ и недостатков проблемно-ориентированного обучения [+ Этапы разработки деятельности].

    30. Взаимное обучение

    Чтение не является любимым предметом каждого ученика. С помощью методов взаимного обучения вы можете превратить даже самого неохотного читателя в книжного червя.

    Взаимное обучение вовлекает учащихся в чтение и побуждает их учиться. Учащихся просят предсказать о чем текст, задать вопросы о том, что они не понимают, перечитать для уточнения и обобщить , что говорит текст, вместо того, чтобы просто впитывать материал как можно быстрее.

    Эту технику можно даже адаптировать для уроков математики: одно исследование показало, что взаимное обучение математике может улучшить понимание словесных задач и помочь учащимся лучше понимать вопросы.

    Дополнительные идеи о взаимном обучении см. в статье «4 стратегии взаимного обучения».

    31. Смешанное обучение

    Смешанное обучение сочетает онлайн-обучение с традиционным обучением в классе. Это ценный инструмент для использования в стратегиях дифференцированного обучения, который может помочь учащимся изучать адаптированный контент в своем собственном темпе.

    Существует несколько различных способов внедрить смешанное обучение в ваш класс, но некоторые распространенные методы включают внедрение учебных станций и частичное или полное размещение определенных уроков в Интернете.

    Благодаря тому, что за последние два года многие классы поддерживают гибридную среду обучения, смешанное обучение стало более распространенной стратегией обучения в классах.

    Для получения дополнительной информации о шести моделях смешанного обучения и о том, как их использовать со своими учащимися, прочитайте «Как применить шесть моделей смешанного обучения на практике» [+ примеры и загрузка].

    32. Преподавание с учетом культурных особенностей

    Разнообразные классы — это прекрасная возможность для учителей, но также может быть трудно охватить учеников с совершенно разным опытом или стилями обучения.

    Обучение с учетом культурных особенностей направлено на то, чтобы связать содержание с современной культурой учащихся и культурой предков.

    Исследование Женевы Гей, профессора педагогики Вашингтонского университета в Сиэтле и автора книги «Обучение с учетом культурных особенностей» , показывает, что, когда преподавание связано с жизненным опытом учащихся, этот опыт становится более личностно значимым, привлекательным и усваивается легче и глубже.

    Доктор Кристи Берд, психолог и адъюнкт-профессор Университета штата Северная Каролина, также опубликовала исследование, в котором было обнаружено, что «элементы культурно значимого обучения в значительной степени связаны с академическими результатами и развитием этнической и расовой идентичности».

    Начните со знакомства со своими учениками — откуда они? Что делают их родители или опекуны? Какое их любимое занятие после школы?

    Затем возьмите эту информацию и подключите ее к своим урокам. Объясните, какое отношение тема имеет к разным культурам, и убедитесь, что класс является местом, где все учащиеся чувствуют себя увереннее. Поощряйте учащихся задавать вопросы и делиться уникальными ответами.

    Другие варианты преподавания с учетом культурных особенностей включают:

    • Создание соответствующих текстовых задач
    • Продвижение позитивного изображения в СМИ
    • Вовлечение родителей

    Полный список см.

    33. Междисциплинарное обучение

    Используйте стратегии междисциплинарного обучения , чтобы поощрять учащихся развивать навыки творческого и критического мышления — и извлекать информацию из ряда различных академических дисциплин — при решении реальных задач.

    В вашем классе междисциплинарное обучение может включать сотрудничество с другими учителями или просьбу учащихся установить связи между различными предметами. Попробуйте эти задания, чтобы начать свой класс:

    • Анализ новостей:  Воспроизведите новостной ролик или раздайте статью, в которой обсуждается местная, национальная или международная тема. Попросите учащихся решить связанный вопрос, используя навыки, которые они получили на других занятиях.
    • Все о погоде:  Посмотрите на влияние погоды и климата на труд, сельское хозяйство и обычаи других обществ. Это дает учащимся возможность узнать о различных культурах с научной и социальной точек зрения.
    • Исторические друзья по переписке:  Сочетайте творческое письмо и историю, предложив учащимся взять на себя роль исторической личности и написать одноклассникам о проблемах, с которыми она или она столкнулись. Предоставьте учащимся различные источники для одновременного улучшения их исследовательских навыков.

    Для получения дополнительных междисциплинарных учебных мероприятий и советов о том, как начать работу, прочитайте 10 междисциплинарных учебных мероприятий и примеров [+ Этапы проектирования модуля].

    34. Обучение служению

    По данным Национального совета молодежных лидеров, сервисное обучение — это «философия, педагогика и модель развития сообщества, которая используется в качестве учебной стратегии для достижения целей обучения и/или стандартов содержания».

    Обучение служению объединяет класс в более крупном сообществе и учит учащихся тому, как важно быть активным гражданином. Студенты получают практический опыт в междисциплинарных исследованиях и часто улучшают свои академические результаты и уменьшают поведенческие проблемы.

    Обучение обслуживанию состоит из пяти шагов: Подготовка, действие, размышление, демонстрация, празднование

    Выберите вопрос, которым увлечен ваш класс, и устройте мозговой штурм. Чтобы узнать больше об идеях проектов сервисного обучения и о том, как начать, прочитайте «Руководство учителя по сервисному обучению» [+5 примеров].

    35. Медиаграмотность

    Учащиеся знакомятся с бесконечным количеством различных медиа-влияний, от телевидения до социальных сетей и комиксов. Студенты должны быть обучены тому, как интерпретировать и понимать то, что они потребляют.

    Медиаграмотность позволяет учащимся распознавать предвзятость и развивать навыки критического мышления в контексте их существующих интересов. Вот некоторые задания, которые вы можете попробовать в своем классе:

    • Разбор логотипа: Предложите учащимся принести несколько разных логотипов популярных брендов и попросите их объяснить, что, по их мнению, это означает. Какой тип клиента ищет компания? Что они ценят? Почему они выбрали этот цвет или форму?
    • Создание бренда хлопьев:  В этом задании учащимся предлагается использовать свои навыки математики, рисования и медиаграмотности. Предоставьте лист вопросов, чтобы помочь учащимся и улучшить результаты обучения
    • Деконструкция языка рекламы:  Исследуйте и критикуйте рекламные заявления, которые делают компании. Раздайте учащимся журналы и интернет-рекламу для изучения и анализа.

    Существует множество других способов преподать учащимся ценные уроки медиаграмотности — ознакомьтесь с нашей записью в блоге Преподавание медиаграмотности: ее важность и 10 увлекательных мероприятий [+ список для загрузки] для получения дополнительных идей.

    36. Мышление роста

    Несмотря на то, что это больше похоже на корпоративное модное слово, философия мышления роста проникла в класс. Он направлен на то, чтобы помочь учащимся увидеть ценность усилий, настойчивости и риска в их учебной среде, и побуждает их пробовать новые вещи и изучать новые концепции.

    Поскольку установка на рост является относительно новой стратегией обучения, некоторым учителям может быть сложно ее эффективно использовать. Вот несколько рекомендаций:

    • Дайте положительный отзыв:  Вместо поощрения интеллекта хвалите учащихся, когда они пробуют новые методы и строят планы.
    • Стимулирование разнообразия в классе:  Когда разнообразие моделируется для учащихся, они с большей вероятностью будут использовать разные точки зрения в своих будущих учебных целях.
    • Поощряйте ведение дневника на основе целей:  Попросите учащихся ставить цели и размышлять о своем прогрессе. Ставьте цели по методу SMART ( S специфический,  M измеримое, A достижимое, R реалистичное и T временное) для максимального эффекта.

    Чтобы узнать больше о способах поощрения мышления роста в вашем классе, прочитайте 10 способов, которыми учителя могут привить ученикам мышление роста. Ваши ученики получат пользу на всю оставшуюся жизнь.

    Ресурсы для эффективного использования стратегий обучения

    Google

    Книги, научные статьи, карты, новости — если вам что-то нужно сделать, возможно, для этого есть приложение Google. Используйте Google Forms для сбора отзывов учащихся о новых стратегиях обучения, Google Drive для хранения и координации студенческих работ и Google Arts & Culture для посещения музея Ван Гога в Амстердаме, не выходя из класса.

    Prodigy

    С двумя играми — Prodigy Math и Prodigy English — приложения безграничны!

    Используйте Задания и Планы , чтобы дифференцировать обучение, отслеживать рост учащихся с помощью комплексных инструментов отчетности, вовлекать учащихся в игровое обучение или использовать его как часть смешанного подхода к обучению.

    В этих бесплатных играх школьникам понравится практиковать свои математические навыки и навыки английского языка.

    В Prodigy Math они отправляются в приключения, собирают питомцев и получают награды; в Prodigy English они будут собирать припасы, получать энергию и создавать свою личную деревню — , отвечая на вопросы, связанные с учебной программой, с учетом их индивидуального уровня навыков.

    Зарегистрируйтесь сейчас
    Отзывы учащихся

    Чтобы узнать, какие стратегии обучения будут наиболее эффективными, попросите своих учеников оставить вам отзыв: Что им нравится? Как, по их мнению, они учатся лучше всего? О чем они хотят узнать больше? Студенты с большей вероятностью будут вовлечены в процесс обучения, когда у них есть право голоса.

    Есть несколько способов собрать отзыв:

    • Старт-стоп-продолжение: Раздайте чистые листы бумаги и попросите учащихся ответить: 1) что-то, что они хотели бы, чтобы вы начали делать в классе, 2) что-то, чего они не хотели бы видеть в классе больше, и 3) предложение для деятельности или процесса, который, по их мнению, сделает класс лучше.
    • Google Forms:  Отправьте форму своим учащимся по электронной почте и попросите их заполнить ее (вы можете выбрать, хотите ли вы, чтобы ответы были анонимными). Задайте им конкретные вопросы, чтобы помочь им получить обратную связь и сделать ваши стратегии обучения более эффективными.
    • Отзыв в середине урока : Вырежьте круги из красной, зеленой и желтой бумаги и раздайте по одному учащимся. Во время урока спросите, насколько хорошо понимает класс: зеленый цвет означает «хорошо», желтый означает, что им скоро может понадобиться помощь, а красный означает, что им нужна помощь прямо сейчас.

    Повышение квалификации

    Чтобы быть эффективным учителем, вам необходимо иметь доступ к ресурсам, позволяющим постоянно развивать свои навыки. Согласно исследованию учителей из восьми разных стран, учителя, имевшие доступ к профессиональному развитию, с большей вероятностью эффективно использовали различные стратегии обучения в своих классах:

    «Это говорит о том, что обмен идеями и опытом преподавания с другими учителями в школе, наблюдение за занятиями друг друга и оказание взаимной поддержки повышают вероятность реализации хороших стратегий обучения».

    Профессиональное развитие не всегда должно быть большим — начните с беседы с коллегой или наставником за чашкой кофе или прочтите сообщение в блоге для преподавателей о новых методах обучения.

    Журнал учителя

    После того, как вы соберете всю эту замечательную информацию из отзывов студентов и усилий по профессиональному развитию, вам понадобится где-то, чтобы отслеживать все это.

    Подумайте о том, чтобы вести учебный журнал, чтобы отслеживать прогресс учащихся, новые идеи, области, в которых, по вашему мнению, вашему классу может потребоваться дополнительная помощь, и ваши успехи. Создайте его как справочник для класса этого года и храните его как напоминание обо всем, чего вы достигли. Бонус: у вас будет готовый ресурс для написания звездных комментариев в табеле успеваемости.

    Родители

    Участие родителей в обучении учащихся является ключевым показателем их успехов и успеваемости. Ежемесячно информируйте родителей с помощью краткого бумажного или электронного бюллетеня и сообщайте им о новых вещах, происходящих в классе. Сообщайте об отдельных проблемах быстро и эффективно, чтобы избежать сюрпризов в табеле успеваемости, но не просто упоминайте проблемы — найдите время, чтобы похвалить или поделиться новостями о достижениях.

    Заключительные мысли о методах и методиках преподавания

    Существует так много различных стратегий обучения, доступных для вашего класса, что варианты могут быть ошеломляющими.

    Но это хорошая новость! Ваш стиль преподавания, ученики и класс уникальны — почему бы и вашим стратегиям преподавания не быть такими же?

    Начните с малого и продвигайтесь вверх. Не бойтесь пробовать новые стратегии и смотреть, что лучше всего работает в вашем классе. Не все будет хорошо, и это нормально — продолжайте взаимодействовать со своими учениками, и вы воспитаете в них страсть к знаниям на всю жизнь.

    Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — бесплатной игровой платформе для обучения математике и английскому языку, ориентированной на учебную программу, которую легко использовать как преподавателям, так и учащимся.

    Создайте свой бесплатный аккаунт!

    Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и обучения действием

    На этой странице

    РезюмеВведениеЗаключениеДоступность данныхКонфликты интересовСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

    Это основанный на практике концептуальный документ, описывающий избранные средства обучения действием и мотивации понятий на всех уровнях математического образования. В нем подробно описан подход, использованный авторами для разработки идей для практиков в области преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на обучении действием в сочетании с естественной мотивацией, вытекающей из здравого смысла, эффективен. Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и известные классические задачи — важные инструменты мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках обучения действием. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под одной крышей осуществима, когда во всем этом широком спектре используются методы концептуальной мотивации и обучения действием. Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны из практики школьных учителей и преподавателей вузов. Авторы нашли практическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически в любой момент академической жизни учащихся.

    1. Введение

    В настоящее время учащимся требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего обучения математике, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Генезис этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, включающей «развитие художественных способностей любого рода, специальных научных способностей, активной гражданской позиции, а также профессиональных и деловых качеств». занятия» ([1], с. 307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции учебного опыта студентов высших учебных заведений в дисциплины, связанные с сестринским делом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «может быть возможно полностью интегрировать основанный на практике опыт в совокупность опыта высшего образования, который способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний» (стр. 840). Основной аргумент настоящей статьи заключается в том, что в контексте математического образования обучение действием (концепция, введенная в разделе 3) представляет собой сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концепцией мотивации (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20. С этой целью в этом практическом концептуальном документе, подробно описывающем подход, используемый авторами для разработки идей для практиков в области преподавания математики, предлагается обзор избранных средств обучения действием в континууме формального математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения через практику [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы в поддержку ценности обучения действием для всех вовлеченных лиц (на уровне колледжа добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского специалиста, не являющегося математиком) (разделы 2–4). Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровых технологий, а также эффективных вопросов с обучением действием (разделы 5 и 6).

    Учащиеся могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду в обширных учебных программах по математике. Обучение действием в математическом образовании в сочетании с заучиванием теории переносит математические темы в реальный мир. Естественно, случаи первичного уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется обучением действием вторичного уровня (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начального, среднего и высшего образования (раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только учащихся, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, обучение в действии следует рекламировать на всех уровнях математического образования, зная, что среди нынешних учащихся есть будущие преподаватели. Безусловно, возможность быть причастным к открытиям очень мотивирует всех, включая, по крайней мере, студентов и учителей математики.

    2. Любознательность и мотивация

    Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, остается спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия возникают из-за неоднородности программ подготовки учителей, разногласий между формализмом и смыслом среди математических факультетов и различных взглядов на использование технологий. Мы считаем, что правильный способ преподавания математики на всех уровнях состоит в том, чтобы делать это с помощью приложений, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математической машины. Реальные приложения мотивируют заинтересованных людей при изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на третичном уровне. Независимо от возраста учащихся любопытство можно рассматривать как мотивацию «к получению или преобразованию информации в обстоятельствах, которые не представляют непосредственной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любознательность и мотивация являются тесно связанными психологическими чертами.

    Большинство исследований по развитию любознательности касаются начального образования. Тем не менее, эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] различал эпистемическую и перцептивную любознательность, которые проявляются, соответственно, «вопрошанием о знании и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-нибудь научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенным вниманием». дается предметам ближайшего окружения ребенка, как, например, когда ребенок дольше смотрит на несимметричную, а не симметричную фигуру на экране» (с. 18). Точно так же взрослые учащиеся высших учебных заведений могут стать мотивированными призывом преподавателя математики задавать вопросы, касающиеся информации, которой они поделились, или своим опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира… [используя] какую-либо причину максимум и минимум» (Эйлер, цит. по [13], с. 121).

    Что касается третичного уровня, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоего внутреннего стандарта совершенства» (стр. 67). Есть также взрослые учащиеся, которые «заинтересованы в превосходстве само по себе, а не в вознаграждении, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] признает, что внутренняя мотивация при изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения задач независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть связаны с этим… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение гипотезы Пуанкаре (вековой давности) геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетнего «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса (математический Нобелевская премия») и Премия тысячелетия Клэя (1 миллион долларов США) (https://www. claymath.org/).

    Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из довузовских педагогов-математиков, как ориентироваться на любопытство, когда преподавание математики: «Мотивируйте учащихся тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий в результате энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы подтолкнуть их к тому, что не весело, но необходимо» (стр. 86). Именно такой вид мотивации авторы описывают как концептуальную мотивацию. В частности, в данной статье термин мотивация понятия означает стратегию обучения, посредством которой, используя любознательность учащихся в качестве стержня, обосновывается введение нового понятия путем использования его в качестве инструмента в приложениях для решения реальных задач. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью записи увеличения большого количества объектов на другую такую ​​же величину, понятие иррационального числа может быть мотивировано необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геобордом на начальном уровне), или понятие интеграла может быть мотивировано необходимостью нахождения площадей криволинейных плоских фигур.

    Другим математически значимым инструментом мотивации является конкретность. Согласно Давиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказанных миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации применительно к математическому образованию. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты собираются и синтезируются. Целью изучения математики является конкретизация понятий, как теоретических, так и прикладных. Полезно иметь точное представление о чем-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полные» знания об определенных вещах. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем тревогу, связанную с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, вовлеченные в математическое образование. Даже на административном уровне существует понимание того, что «базовая учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить различные жизненно важные области обучения, делая вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, с которыми сталкиваются наши глобальный реалии требуют» ([18], курсив добавлен), где акцент делается на «реалиях». Это мотивация для всех, поскольку мы все хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация пропорционально выше у взрослых учащихся по сравнению с детьми, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды инструкторов некоторых курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные программы.

    До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании. Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему доминирует в большинстве классов. Однако в изучении математической теории часто присутствует некоторая «индустрия» или «методика», так что эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно определить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает либо теорию, либо возможное практическое применение. Кроме того, теория имплицитно включена в STEM-образование из-за его научной составляющей.

    В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям одну очень важную способность иллюстрировать математические идеи удобными для использования способами. Затем эту способность можно передать своим ученикам. На довузовском уровне можно признать, что знание математики проистекает из необходимости решения реальных жизненных ситуаций разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает идею о том, что всем учащимся на этом уровне должен быть предложен опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15). -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки довузовского уровня. Действительно, математика бурно развивается и проникает во все сферы жизни, что делает университетское математическое образование необходимым, но противоречивым элементом современной культуры.

    3. Обучение действием

    Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, приходится задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся выполнением действия и размышлением о результатах, как образовательную педагогику для развития бизнеса и решения проблем [20, 21]. С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых оно может наблюдаться. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью обучения действием является обучение отдельного преподавателя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной эффективности Дилворт [23] утверждает, что обучение действием начинается с исследования реальной проблемы, так что независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр. 36). ). Обучение действием в математическом образовании можно определить как обучение посредством индивидуальной работы учащегося над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий другой».

    В математическом образовании обучение действием, зародившееся в опыте раннего детства, имеет естественные уровни зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными со взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть обучение действием в игровой форме. Наша любовь к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к обучению действием в математическом образовании постепенно меняется от победы в играх к успеху в реальных предприятиях. Ключ к успеху — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24]. Кроме того, «то, что детям будет любопытно, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], стр. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретике, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами обучения действием, особенно когда они неоднократно используют его в обучении математике. В частности, в учебной программе по математике после окончания средней школы для нематематических специальностей задачи должны быть применимы к реальности. Интересно, что мы, похоже, возвращаемся к «игре», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку можем искать абстрактное решение ради самого решения.

    Макс Вертгеймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли вообще смысл в постановке задачи» ([25], с. 273). Он привел в пример 9-летнюю девочку, которая не успевала в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали задачу, выросшую из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось обстановкой, она не встречала необычных затруднений, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с. 273-273). 274). Иными словами, лучшая стратегия для развития интереса учащихся к предмету состоит в том, чтобы сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в пределах их интереса. Как выразился Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил ее к педагогическому образованию, «любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, ассоциировавшись с объектом, к которому уже существует интерес». [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к моделям выбора среди альтернатив — схемам, демонстрирующим некоторую стабильность во времени и не являющимся результатом внешнего давления» ([27], с. 132).

    Размышления так же важны, как и действия. Способность размышлять о совершенном действии представляет собой так называемый внутренний контроль, когда люди думают о себе как о ответственных за свое поведение, что отличается от внешнего контроля, когда другие или обстоятельства видятся основной мотивацией индивидуального поведения [28]. ]. Процесс обучения действием при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что мешает нам это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

    Обучение действием (часто называемое в научных кругах исследованием действия [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 30]. 34–36]. В математическом образовании [4, 37] обучение действием как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующим размышлением. Обучение является основной целью, хотя решение проблем реально и важно. Обучение облегчается путем разрушения устоявшихся взглядов, тем самым представляя несколько незнакомую обстановку для решения проблемы. Теперь у нас есть технологическая педагогика обучения в действии для обучения математике с помощью реальных задач, управляемая преподавателями STEM и профессионалами сообщества, с использованием проектного компонента [4]. Цифровые технологии просматриваются, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие обучение (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и понятный подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые широко распространены среди преподавателей математики в различных конструктивистско-ориентированных, ориентированных на студента учебных контекстах [38–41]. ].

    4. Обучение действием в практике математического образования

    Наша группа USF-SUNY [4] установила, что обучение действием является положительной педагогической характеристикой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся всю жизнь, некоторые из нас могут использовать обучение действием (возможно, в качестве преподавателей математики) после K-20. Наша мотивация к изучению математики в действии может дать учащимся вкус к интересным вещам, известным из математики. Лежащие в основе концепции могут быть довольно сложными, и учащиеся могут вернуться к идеям и развить их по мере накопления опыта. Примеры обучения действием представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с упором на конкретность, что, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает зонтичную математическую модель «один + два» доступной на третичном уровне (раздел 4.2.2).

    4.1. Мотивация и обучение действием на начальном и среднем уровнях

    На уровне начальной школы математические понятия можно мотивировать с помощью правильно разработанных практических занятий, поддерживаемых манипулятивными материалами. Такие действия должны интегрировать богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как уже упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте обучения математике с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок смотрит дольше на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (с. 18), интуитивно распознавая через перцептивное любопытство, что устойчивость фигуры зависит от его положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за пределы деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддержать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, позволяя с помощью вычислений открыть окно. к понятию золотого сечения, а также связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением специальных числовых соотношений между их периметрами и площадями. В обоих случаях переход с начального уровня на средний может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте обучения действием с помощью физических инструментов, могут быть расширены до более высокого уровня с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

    4.1.1. От двусторонних фишек к золотому сечению через обучение действием

    Рассмотрим следующий сценарий обучения действием:

    Определите количество различных расположений одной, двух, трех, четырех и т. д. двусторонних (красных/желтых) фишек в котором никакие два красных счетчика не появляются последовательно.

    Экспериментально можно заключить, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью способами, а четыре счетчика — восемью способами (рис. 1). В частности, на рис. 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками можно посчитать с помощью рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно поместить в две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (с мощностью пять) крайний правый счетчик желтый. Применяя эту идею на практике под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков – 13 способов, как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рис. последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор фишек имеет только одно расположение) позволяет описать завершение описанного выше сценария обучения действием (т. материалов по определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, …, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начиная с третьего, есть сумма два предыдущих числа) — одна из самых знаменитых числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени. В рамках размышлений над сценарием юным ученикам можно сказать, что какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, скорее всего, столкнутся с ними снова.

    Действительно, на среднем уровне числа Фибоначчи можно исследовать с точки зрения отношений двух последовательных членов, . С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 при увеличении n , независимо от первых двух членов последовательности и . Точное значение числа, известного как золотое сечение. Это пример того, как использование компьютера может предоставить как ученикам, так и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления отношений двух последовательных чисел Фибоначчи, предоставляемой электронной таблицей, было бы гораздо труднее связать простое действие по обучению определенному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости чисел. отношения к числу, известному с древности как золотое сечение. Золотое сечение, мотивированное компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действием, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер естественным образом может открыть окно для будущего обучения учащихся действием (см. примечание об исследовании болезни Альцгеймера в разделе 6 ниже).

    В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на начальном уровне, а за его пределами они бесполезны. Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут быть использованы для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности к изучению абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее. Есть два однозначных числа, в которых нет единиц, стоящих подряд (красные фишки не стоят подряд), три двузначных числа, в которых нет единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых нет единиц, стоящих подряд, и восемь четырехзначных чисел без единиц, стоящих подряд. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы учащимися в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством обучения действием. Дополнительные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. в [43].

    Очевидно, мотивация становится связанной с ожидаемым будущим успехом вследствие подросткового возраста. Студенты теперь стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к обучению в действии, они могут и делают проекты на уровне бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. Существует постепенное ощущение «серьезности», которое сопровождает «зрелую» работу над проектом. Прекрасные примеры обучения в действии учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте доставки Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v. 3, 2(8)), проекте квантовых вычислений Бо Муна «The Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2(2)), ракетный проект Логана Уайта «Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения» ([44], т. 6, 1(5)) и проект Рошана Уормана по спиновым вычислениям «Спинтронные схемы: строительные блоки спиновых вычислений» ([44], т. 7, 1(1)).

    4.1.2. Креативность и обучение действием

    Люди проявляют творческий подход, когда они мотивированы, и можно быть более творческим, следуя общей формирующей конкретизации идей. Важно рано распознать творческие способности учащихся. Педагоги считают креативность «одним из важнейших навыков 21 века… жизненно важным для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творчество своих учеников, которое может быть скрыто за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытая креативность учащихся не признается и не поддерживается учителем, она, скорее всего, останется бездействующей, если не исчезнет [46]. Следующая история, рассказанная в классе второго класса, подтверждает мнение о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

    Кандидат в учителя начальных классов, работая индивидуально с учеником второго класса (под наблюдением классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая задача для второго класса), ожидая, что ученик построить два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет факт умножения числа 10, что-то, что будет изучено позже (в третьем классе). Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рис. 2. Большое количество педагогических идей для обучения действием может быть связано с принятием прямоугольника с отверстием, которое проявляет скрытую креативность ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со средней математикой. Чтобы уточнить, рассмотрите возможность изучения взаимосвязи между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях учащегося с использованием конкретных материалов). Видно, что площадь равна 10 квадратных единиц, а периметр 20 линейных единиц. То есть численно периметр вдвое больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно со времен Пифагора [47]. В методе обучения действием ситуация, которую необходимо исследовать, может быть следующей: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? Для этого на среднем уровне можно ввести четыре переменные, a , b , c и d , как длины и ширины большего и меньшего прямоугольников. Отсюда следует соотношение ab  −  cd  =  a  +  b  +  c  +  d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную машину знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить приведенное выше уравнение над положительными целыми числами. Будет получен следующий результат:

    Настройка a  =  b  = 3, можно выбрать c  = 1, откуда d  = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рис. 3). Этот пример показывает, как знание алгебры и возможностей технологий может помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми, способствуя критическому мышлению и творчеству. То есть, опять же, технология служит неформальным мостом, мотивирующим связь между двумя разными уровнями школьной программы по математике. В то время как учитель может не обязательно видеть богатую учебную среду за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и одобрен, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить «нестандартно».

    В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальных классов, классного руководителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте обучения действием с тройкой студента бакалавриата, факультета математики и консультанта по предметной области. как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном контроле над учащимся, изучающим математику, дуэтом «более знающих других».

    4.2. Бакалавриат по математике и практическому обучению

    4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

    Математический язык является абстрактным с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается в отрыве от реальности, без привязки к профессиональным интересам студентов. В этих условиях многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Кроме того, абстрактность в обучении часто приводит к проблеме общения. Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики возможны расхождения между терминологией и идеями, используемыми преподавателем-математиком, и их интерпретацией студентами. Излишне теоретическое математическое образование на университетском уровне становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматическом понятии «обучение действием» (например, [50–54]), которое делает возможным осмысленное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход обладает большим потенциалом для того, чтобы привнести экспериментальное обучение в исчисление — базовую последовательность курсов в учебной программе по математике высших учебных заведений.

    4.2.2. Mathematics Umbrella Model

    Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь пользу из обучения действием. Обнаружено, что, особенно на коллегиальном уровне, должна быть «средняя» позиция в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению. Такую «позицию» занимает Математическая зонтичная группа (MUG) Университета Южной Флориды (USF), инициированная Аркадием Гриншпаном в 1999 г. [55]. Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, а также вдохновляет студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели Mathematics Umbrella в STEM-образовании, включающей сотни междисциплинарных (математических приложений) студенческих проектов. За десять лет после того, как стало известно, что программа MUG стала первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, консультируемым одновременно советниками как по математике, так и по предметным областям, для обучения студентов, не специализирующихся в области математики, STEM [56], MUG осталась уникальной в этом отличии. Каждый проект выполняется под двойным наблюдением: консультантом по математике (факультет математики) и консультантом по предметной области (специалист из университета или сообщества), который обычно предлагает задачу [4, 48, 55, 57–59]. ].

    Отличительной чертой MUG является хитрость объединения одного студента бакалавриата как минимум с двумя профессионалами. Ситуация показана на рисунке 4. В результате учащиеся получают доступ к более широкому спектру знаний, чем тот, который обычно доступен только учителю математики.

    Еще одной сильной чертой являются возможные связи с сообществом или междисциплинарная связь, которая, по крайней мере, имеет место за пределами математического факультета учебного заведения. Обучение действием привносит «реальность» в математические абстракции. Даже когда преподаватели математики пытаются снабдить задачи приложениями, их полезность неизвестна из первых рук, пока ученики не начнут их использовать. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позднее учащиеся могут принять решение о проведении исследований в связи с их проектным опытом. Кроме того, они, скорее всего, сохранят задействованные концепции дольше, чем в подходе «чистой лекции».

    4.

    2.3. Обучение действием на курсах математического анализа верхнего уровня

    Обучение действием является сильным мотивирующим фактором для всех участников Mathematics Umbrella Group. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре обучения действиям K-20. Интерес участников к обучению действием может быть пропорционален индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую выгоду, но ожидается, что студенты будут достаточно знать теорию, чтобы быть мотивированными. Для курсов математики бакалавриата, таких как исчисление II и III, считается достаточным, чтобы студенты преуспели в нескольких небольших тестах и ​​домашних заданиях, а затем направили свою энергию на обучение в действии, а не требовали от них успеха на выпускном экзамене. В частности, эта педагогика обучения действием помогает учащимся, которые «незначительно успешны», позволяя включать в свои итоговые оценки компонент обучения действием, которому обоснованно придается значительный вес в общей оценке курса.

    Чаще встречаются «стандартные ученики», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действием. Существует потенциал для публикации студенческих работ или, возможно, даже для награждения [4, 57], как это было со многими студентами за последние два десятилетия. Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в процессе обучения действием. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно признать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

    Примечательно, что учащиеся естественно мотивированы успехами в изучении математики. Влияние обучения действием было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного исчисления с участием тысяч студентов, прошедших эти и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59]. Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на рис. 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, разделов параллельного обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. Эта часть расследования включала 1589студентов, обучающихся действием, и 1405 учащихся курсов, не использующих элемент обучения действием. Наконец, 2316 других были отмечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 года (т. е. до того, как было сделано такое различие в отношении использования или неиспользования обучения действием в своих курсах). Исследователи были осторожны, чтобы включить доверительные интервалы для своих результатов. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы/этнической принадлежности предпочитают участвовать в обучении действием. Много информации из [59] для рассмотрения. В любом случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство обучения в действии над обучением без действия. Прагматический вывод состоит в том, чтобы обеспечить обучение действием, так как это работает.

    4.2.4. Обучение действием как универсальная образовательная концепция

    Мотивация для преподавателей математики проистекает из знакомства с новым опытом обучения действием. В настоящее время известно о многих сотнях обучающих проектов, посвященных широкому кругу тем. Кроме того, всегда происходит прекрасное практическое обучение, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в студенческом журнале математического моделирования: One + Two (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать обучение действием. Есть проекты, связанные с очень специфическими отраслями техники, такими как биомедицинские нанотехнологии. Есть также много других проектов за пределами «собственно инженерного дела», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие представляют собой межполевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов довольно часто представляют особый интерес. Это побуждает преподавателей видеть, что получается в сочетании и какие области могут быть связаны посредством обучения действием. Это междисциплинарные черты, желательные во всех учебных программах (во «универсуме учебных программ», которым является образование). Некоторые подробности доступны на основном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 г. Указание на разнообразный характер тем проектов и участников, внесенных студентами, очевидно из разнообразия тем, представленных в последних изданиях UJMM ([44], т. 8). , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования удара» Кая Рэймонда, «Силы, воздействующие на парусник» Келли Штукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Хинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности флуктуирующих липидных листков с использованием взвешенной мозаики сетки», Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс», Наша Риос-Гузман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общих практик», Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофном, устойчивом потоке процесса» Саванны Гриффин, «Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени» Энни Оллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнила Пателя, «Оптимизация реакции конверсии водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

    В дополнение ко многим опубликованным проектам бакалавриата существуют «сценарии обучения действием», которые можно рассматривать как смесь различных способов обучения действием. Несколько идеалистических проблем имеют этот смешанный опыт. Проблемы могут рассматриваться как типичные для проекта, а не как реальные примеры. Эти сценарии побуждают преподавателей математики включать обучение в действии в обычное, в основном теоретическое содержание курса. Опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в сфере математического образования. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением реальных задач в реальном мире.

    5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики

    5.1. Вопросы как инструмент обучения действием

    Задаваемые вопросы обычно усложняются по мере взросления учащихся. Преподаватели всех уровней математического образования используют знания и опыт, чтобы отвечать на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы с возможностью (обычно на более высоких уровнях) того, что вопросы могут потребовать дополнительного размышления перед их изложением. В контексте постановки и решения проблем важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие получения информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60]. Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символизму второго порядка [61] — вопросы, требующие информации, можно отнести к вопросам первого порядка, а вопросы, требующие объяснения, — к вопросам второго порядка [46]. Если на вопросы первого порядка можно ответить разными методами, то оказывается, что не все методы можно использовать для объяснения того, что было получено при поиске информации, т. е. для ответа на вопрос второго порядка. Часто запрос на объяснение является разумным размышлением о методе, который предоставил информацию.

    Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им такое понимание? Есть несколько причин, по которым будущие учителя должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы оказать положительное влияние на успеваемость молодых людей, изучающих математику. Во-первых, на современном уроке математики от учащихся всех возрастов ожидают и даже поощряют задавать вопросы. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов pre-K-2 предполагают, что «необходимо развивать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не очевидны сразу» ([19].], п. 109). Поддержку этому предложению можно найти в следующем комментарии кандидата в учителя начальных классов: «Хорошо не знать ответа на вопрос, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «преподавателя, который всегда будет поощрять моих учеников задавать себе некоторые из тех же вопросов, которые позволят им участвовать в глубоких размышлениях».

    5.2. Международный характер обучения через задавание вопросов

    Сразу за границей с Соединенными Штатами Министерство образования Онтарио в Канаде в своей учебной программе по математике для начальных классов предъявляет требования к учителям, чтобы они могли «задавать учащимся открытые вопросы… поощрять учащихся задавать себе подобные вопросы». вопросов… [и] образцовых способов ответов на различные виды вопросов» ([62], стр. 17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, манипулятивных материалов и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], стр. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предшествующие знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждения среди учащихся» ([64], стр. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросать вызов мышлению учащихся, договариваться о математическом значении и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], стр. 4). Репертуар возможностей обучения, которые учителя предлагают своим ученикам, включает непрерывный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь учащимся в лучшем изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «упражнения со все более сложными задачами с течением времени… [и] могут решать задачи… с возрастающей сложностью» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественное стремление к исследованию приводит учащихся к этой изощренности и усложнению математических идей. Необходимость такой подготовки учителя подтверждает кандидат в учителя, который выразился следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю».

    На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, преподаватели математики должны безукоризненно понимать математику, с которой сталкиваются в начальной и средней школе, и что учащиеся могут быть «уверены» в том, чему их учат. Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной/трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что учащиеся могут найти привлекательными. Безусловно, преподавателю математики хорошо иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному воображению. В некоторых редких случаях ответ даже не доступен. Ожидается, что зрелость учащихся позволит им смириться с тем, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается. На более ранних этапах математического образования учащиеся считают, что математика совершенна. Однако математика столь же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

    6. Педагогика подписи с помощью компьютера и модель обучения и преподавания 3P

    Любознательность и мотивация также могут быть поддержаны использованием цифровых инструментов в качестве инструментов обучения действием. Как было показано на примерах довузовского математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного когнитивного уровня на другой (более высокий). Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты вытекают из вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двусторонние счетчики были предложены в качестве средства рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, по счастливой случайности, определенная закономерность в поведении отношений можно обнаружить два последовательных термина. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом. Точно так же переход от числового описания прямоугольников через периметр и площадь приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен мышлением «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символьному с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

    Возможности вычислительного моделирования могут служить мотивацией для разработки и последующего изучения более сложных рекуррентных соотношений, чем числа Фибоначчи. Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с акцентом на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самцов и самок) и выращивания популяции мышей определенного типа. размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования с помощью электронных таблиц, можно затем использовать для проверки теоретических результатов. Подробнее об этом проекте см. [55].

    Все это приводит к понятию компьютерной педагогики подписи (CASP), когда поощрение размышлений и поддерживающий анализ действий, предпринимаемых учащимся в контексте обучения действием, обеспечивает CASP глубокую (а не поверхностную) структуру обучения [67], нанятый учителем в качестве «более знающего другого». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] провел различие между поверхностной и глубинной структурами студенческих подходов к обучению .0033, описывая первый подход с точки зрения учащегося, «затрачивающего минимальное время и усилия, соответствующие требованиям… [тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задания; стратегия максимизации понимания» (стр. 6). Адаптировав Данкина и Биддла [68] модель преподавания в классе «предвестник-контекст-процесс-продукт», Биггс [15] представил теперь известную 3P-модель обучения учащихся, основанную на представлениях учащихся об обучении в целом и их текущей учебной среде (предвестнике). подход учащегося к обучению (процесс) и результат обучения учащегося (продукт). Исследование того, как первое Р модели влияет на ее второе Р и, как следствие, на третье Р, было проведено Лиззио, Уилсоном и Саймонсом [69].], который выступил с семью теоретическими положениями. Одно из этих предположений было основано на аргументе, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут углубленный подход к обучению. Авторы обнаружили, что этот аргумент верен не только в случае курсов по математике для высших учебных заведений, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном обучении математике надлежащее использование технологий является важной характеристикой среды обучения. В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубинной структуре под эгидой CASP можно расширить использование одного цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех уровнях образования с вычислительной надежностью обучения учащихся.

    7. Проблемы и гипотезы, которые вдохновляют и мотивируют

    Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), может столкнуться с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко формулируемые вопросы (гипотезы), которые не поддаются ответам (доказательствам). Похоже, что он аналогичен принципу неопределенности Гейзенберга, где существуют «пределы точности» при определении положения и импульса, например. Важно отметить, что не всегда существуют «стандартные» решения математических задач. Зная это, учащиеся могут развить дальнейшую математику для решения некоторых задач. В этих случаях работает «нестандартное» обучение действием. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге потребуется применение. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, при попытке ее можно узнать многому. Этот процесс является мотивационным. Кроме того, рефлексия придает конкретность концепциям проблемы и связана с общей «природой» проблем и их решения.

    Реальные приложения математики стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты различных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится полностью оценить математику как фундаментальную науку. Некоторые из этих задач (иногда называемые гипотезами) могут быть рекомендованы для включения в учебные программы по математике для нематематических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и догадки, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут стимулировать воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для испытаний.

    Например, формулировки и исторические детали таких интересных задач, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. также [73]), могут быть включены в некоторые курсы базовой математики. для нематематических специальностей. Доказательства этих теорем не только требуют более элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

    Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда . В частности, эта теорема может быть представлена ​​разным группам студентов-математиков как способ ответа на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию пифагорейских троек как разбиение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для высших степеней ? Как подробно описано в другом месте [75], использование электронной таблицы с кандидатами во второстепенные учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений приведенного выше уравнения для почти так же, как и для . Точно так же вполне возможно, что будущим студентам-математикам с помощью технологий или других средств станет доступен естественный мост между формулировкой Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модулярных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса.

    Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, выполняется неравенство. Один только этот легендарный результат с его ошеломляющей записью (см., например, [76]) может заинтересовать студентов в изучении таких важных математических понятий, как взаимно-однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, целесообразно обсуждать с инженерами. Здесь также стоит упомянуть глубокие геометрические корни гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении площади плоского множества в виде контурного интеграла, и поэтому оно доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс математического анализа верхнего уровня.

    Существует также знаменитая гипотеза Гольдбаха [77], утверждающая, что каждое четное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы догадка оказалась ложной. Пока контрпример не найден. Хотя поиск контрпримера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел, больших двух и меньших некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

    Другой известной, но простой для понимания проблемой является гипотеза о палиндроме [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются одинаково как в прямом, так и в обратном порядке) притягивать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начните с любого целого числа, поменяйте местами его цифры и сложите два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому. Примечательно, что эта «игра чисел» недавно упоминалась как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79].]. Именно эта проблема и, как отмечается в «Принципах и стандартах школьной математики» [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних классов «оценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудили кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов разработки компьютерных обучающих сред для учебного представления и экспериментирования с большим классом рекреационных задач, как решенных, так и нерешенных [80]. Как выразился Гаусс, «в арифметике самые изящные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданного везения, в то время как их доказательства так глубоко погружены во тьму, что не дают результатов даже самым острым исследованиям» (цит. по [81]. ], стр. 112).

    Похоже, что использование технологий для осмысленных экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать учащихся уже на уровне предуниверситетского образования к новым открытиям в элементарной теории чисел. Любым образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация обучения действием. Предполагается, что вся математика обеспечивает приложения. Нам нужна только мотивация для разработки этих приложений.

    8. Заключение

    В этой статье, используя опыт авторов в области преподавания математики и наблюдения за применением предмета в практике государственных школ и промышленности, была представлена ​​структура совместного использования обучения действием и концептуальной мотивации в контексте математического образования К-20. Были приведены различные примеры обучения действием — индивидуальной работы над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более осведомленного другого». Такой надзор может включать «дуэт других» — классного руководителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предмету в университете. В документе продемонстрировано, что обучение математике действием идет рука об руку с мотивацией понятий — методологией обучения, при которой введение математических понятий мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать действия учащихся над объектами, ведущие к формальному описанию этого. действие через символику математики. Этот подход основан на известных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогов-психологов [1, 25, 26, 61].

    Основной заключительный вывод статьи заключается в том, что многократное использование концептуальной мотивации и обучения действием на всех уровнях математического образования позволяет повысить общую успеваемость учащихся. Это сообщение подтверждается примерами творческого мышления младших школьников на занятиях, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе группы Холмса [82]). Кроме того, сообщение было подкреплено примерами заинтересованности учащихся в изучении исчисления посредством обучения действием в реальных условиях. Представляется, что растущий интерес учащихся к математике связан с тем, что обучение действием и концептуальная мотивация использовались для исправления широко распространенного формализма в обучении математике, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8]. . Когда учащиеся имеют опыт изучения математики действием в школьные годы, они, скорее всего, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избегая многих неровностей перехода от среднего к высшему образованию. Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследования по внедрению обучения инженерным расчетам в действии, в которых приняли участие тысячи студентов Университета Южной Флориды [4, 59] указывает на то, что, хотя интерес учащихся к обучению действием может быть пропорционален индивидуальному опыту такого рода, результаты их обучения демонстрируют академическое превосходство обучения действием над другими педагогическими средствами обучения исчислению.

    В начале формального математического образования школьники должны начать испытывать обучение действием и педагогику концептуальной мотивации, усиленную, по мере необходимости, задавая вопросы и отвечая на них, а также учась использовать технологии. Как было показано в статье, не только учебные программы K-12 по математике во многих странах поддерживают обучение учащихся посредством задавания вопросов, но и их будущие учителя ценят такое математическое обучение. Точно так же компьютерная педагогика подписи [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. Студенты университетов имеют большую мотивацию, чем школьники, чтобы справиться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы своим естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством. В связи с этим стимулирующие вопросы, близость к использованию компьютеров и классические известные задачи являются важными мотивирующими инструментами в изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 под одной крышей возможно, когда во всем этом образовательном спектре используются методы концептуальной мотивации и обучения действием. Наконец, есть явная прагматическая причина для того, чтобы познакомить учащихся с радугой обучения в действии, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя. Процесс должен продолжаться.

    Доступность данных

    Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

    Конфликт интересов

    Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

    Ссылки

    1. J. Dewey, Democracy and Education , Free Press, New York, NY, USA, 1916.

    2. S. Billett, Исследования в области высшего образования , том. 34, нет. 7, стр. 827–843, 2009 г.

       Посмотреть по адресу:

       Сайт издателя | Google Scholar

    3. С. Биллетт, «Обучение в условиях практики», International Journal of Lifelong Education , vol. 34, нет. 7, pp. 827–843, 2014.

       Просмотр по адресу:

       Google Scholar

    4. Абрамович С., Бернс Дж., Кэмпбелл С., Гриншпан А.З. STEM-образование: обучение действием в начальной, средней, и послесредняя математика» IMVI Open Mathematical Education Notes , vol. 6, стр. 65–106, 2016.

       Посмотреть по адресу:

       Google Scholar

    5. Х. Басс, «Математики как преподаватели», Уведомления Американского математического общества , том. 44, нет. 1, стр. 18–21, 1997.

       Просмотр по адресу:

       Google Scholar

    6. Дж. Баумерт, М. Кунтер, В. Блюм и др., «Математические знания учителей, когнитивная активация в классе, успеваемость учащихся» Американский журнал исследований в области образования , том. 47, нет. 1, стр. 133–180, 2010.

       Посмотреть по адресу:

       Сайт издателя | Google Scholar

    7. Администрация президента, Engage to Excel: подготовка еще одного миллиона выпускников колледжей со степенями в области естественных наук, технологий, инженерии и математики , Президентский совет консультантов по науке и технологиям, Вашингтон, округ Колумбия, США , 2012.

    8. Э. М. Фридлендер, Т. С. Холм, Дж. Юинг и др., «Центральная роль математиков в обучении специалистов STEM», 2012 г., http://www.ams.org/policy/govnews/pcast- утверждение.

       Просмотр по адресу:

       Google Scholar

    9. Д. Гуин и Л. Труш, «Сложный процесс преобразования инструментов в математические инструменты: случай калькуляторов», Международный журнал компьютеров для математического обучения , том. 3, нет. 3, pp. 195–227, 1999.

       Посмотреть по адресу:

       Google Scholar

    10. П. В. Томпсон, М. Артиг, Г. Тонер и Э. де Шалит, «Сотрудничество между математикой и математическим образованием», в Математика и математическое образование: поиск точек соприкосновения , М. Фрид и Т. Дрейфус, ред., стр. 313–333, 2014 г. К дифференцированной конструкции любопытства», The Journal of Genetic Psychology , vol. 111, нет. 1, стр. 73–84, 1967.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    11. Д. К. Видлер, «Любопытство», в Мотивация в образовании , S. Ball, Ed., стр. 17–43, Academic Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1977. , том. 1, Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси, США, 1954.

    12. Д. К. Видлер, «Мотивация достижения», в Мотивация в образовании , С. Болл, изд., стр. 67–89, Academic Press, New York, NY, USA, 1977.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    13. Дж. Биггс, «Что на самом деле измеряют инвентаризации учебных процессов учащихся? Теоретический обзор и разъяснения», British Journal of Educational Psychology , vol. 63, нет. 1, стр. 3–19, 1993.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    14. Б. Б. Мандельброт, «Фракталы, компьютер и математическое образование», в Proceedings of the 7th International Congress on Mathematical Education (пленарные лекции) , C. Gaulin, B. R. Hodson, DH Wheeler, and JC Egsgard , ред., стр. 77–9.8, Les Presses de L’université Laval, Sainte-Foy, Québec, Canada, August 1994.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    15. Д. Гильберт, «Математические проблемы», Бюллетень Американского математического общества , том. 8, нет. 10, стр. 437–480, 1902.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    16. USF, «Основная учебная программа FKL для студентов», 2018 г., https://www.usf.edu/undergrad/fkl/.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    17. Национальный совет учителей математики, Принципы и стандарты школьной математики , Национальный совет учителей математики, Вашингтон, округ Колумбия, США, 2000.

    18. Р. Реванс, Management , Blond & Briggs, London, UK, 1980.

    19. R. Revans, The Origin and Growth of Action Learning , Chartwell-Bratt, Brickley, UK, 1982.

    20. J. Biggs, J. Biggs.0032 Преподавание для качественного обучения в университете: что делает студент , Общество исследований в области высшего образования и издательство Открытого университета, Филадельфия, Пенсильвания, США, 2003 г.

    21. Р. Дилворт, «Обучение действием в двух словах», Ежеквартальное повышение производительности , vol. 11, нет. 1, pp. 28–43, 1988.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    22. Д. Бесвик, «Теория и измерение человеческого любопытства», Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, США, 1965, неопубликованная докторская диссертация.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    23. M. Wertheimer, Productive Thinking , Harper & Brothers, New York, NY, USA, 1959. , Harvard University Press, Cambridge, MA, USA, 1983.

    24. Л. В. Раст, «Интересы», в Motivation in Education , S. Ball, Ed., стр. 131–146, Academic Press, New York, Нью-Йорк, США, 1977.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    25. Г. К. Фанелли, «Локус контроля», в Motivation in Education , S. Ball, Ed., стр. 45–66, Academic Press, New York, NY, USA, 1977.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    26. J. Elliott, Action Research for Educational Change , Open University Press, Buckingham, UK, 1991.

    6

    6 Обучение действием и исследование действием: повышение качества преподавания и обучения , Коган Пейдж, Лондон, Великобритания, 2000.

    27. А. Лиззио и К. Уилсон, «Обучение действием в высшем образовании: исследование его потенциала для развития профессиональных способностей», Исследования в области высшего образования , том. 29, нет. 4, стр. 469–488, 2007 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    28. И. Нафталин, «Обучение действием в высшем образовании», Управление и управление образованием , том. 24, нет. 2, стр. 193–205, 1996.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    29. Д. Гринвуд и М. Левин, Introduction to Action Research , Sage Publications, Thousand Oaks, CA, США, 2-е издание, 2007 г.

        .

    30. Л. Нортон, Исследование действием в преподавании и обучении: практическое руководство по проведению педагогических исследований в университетах , Рутледж, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2009.

    31. Л. Филлипс, Поддержка развития математических знаний учителей начальных классов , The National Teacher Research Panel, Coventry, UK, 2010.

    32. G.J. Pine, Исследования действий учителей: построение демократии знаний , SAGE Publications, Thousand Oaks, CA, USA, 2008.

    33. S. , Дж. Истон и В. О. Хейс, «Параллельные структуры компьютерной педагогики подписи: случай интегрированных электронных таблиц», Компьютеры в школах , том. 29, нет. 1–2, стр. 174–190, 2012 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Академия Google

    34. К. Кирлаку, «Активное обучение математике в средней школе», British Educational Research Journal , vol. 18, нет. 3, стр. 309–318, 1992.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    35. Дж. С. Розенталь, «Стратегии активного обучения на уроках высшей математики», Studies in Higher Education , vol. 20, нет. 2, стр. 223–228, 1995.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Академия Google

    36. Н. Ф. Эллертон, «Привлечение будущих учителей средних школ к постановке математических задач: разработка системы активного обучения», Educational Studies in Mathematics , vol. 83, нет. 1, стр. 87–101, 2013 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    37. М. Коган и С. Л. Лаурсен, «Оценка долгосрочных эффектов обучения на основе запросов: пример из математики колледжа», Инновационное высшее образование , том. 39, нет. 3, стр. 183–199, 2014.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    38. С. Абрамович и Г. А. Леонов, «Новый взгляд на числа Фибоначчи: основанное на технологиях исследование двухпараметрического разностного уравнения», International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , vol. 39, нет. 6, стр. 749–766, 2008 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    39. С. Абрамович и Г. А. Леонов, Возвращение к числам Фибоначчи с помощью вычислительного эксперимента , Nova Science Publishers, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2019 г.

    40. Журнал математического моделирования для студентов бакалавриата: One + Two, 2019 г., http://scholarcommons.usf.edu/ уймм/.

    41. А. Бегетто, Дж. Кауфман и Дж. Баер, Обучение творчеству в классе Common Core Classroom , Колумбийский университет, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2015 г.

    42. С. Абрамович, Интеграция Компьютеры и постановка задач в педагогическом образовании по математике , World Scientific, Singapore, 2018.

    43. B. L. Van der Waerden, Science Awakening , Oxford University Press, New York, NY, USA, 1961.

    44. Математика С. Абрамович и А.З. для нематематических специальностей через приложения», Primus , vol. 18, нет. 5, стр. 411–428, 2008 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    45. У. Молл и Дж. Берри, «Опросник для выявления образов математических понятий у студентов инженерных специальностей», Международный журнал математического образования в области науки и техники , том. 31, нет. 6, стр. 899–917, 2000.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    46. J. Dewey, How we Think: A Restatement of Reflective Thinking to the Educative Process , Heath, Boston, MA, USA, 1933.

    47. Л. В. Альфорс, «О математике учебная программа средней школы», American Mathematical Monthly , vol. 69, нет. 3, pp. 189–193, 1962.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    48. Р. Носс и К. Хойлс, «Видимость значения: моделирование математики банковского дела», Международный журнал компьютеров для Математическое обучение , том. 1, нет. 1, стр. 3–31, 1996.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    49. C. R. Hadlock, Mathematical Modeling in the Environment , The Mathematical Association of America, Washington, DC, USA, 1998.

    50. А. Э. Келли, Р. А. Леш и Дж. Ю. Бэк, Справочник по методам исследования дизайна в образовании: инновации в науке, технологиях, инженерии и математике, обучение и преподавание , Routledge, New York, NY, USA, 2008

    51. А. З. Гриншпан, «Математический зонтик: моделирование и образование», Математика на службе общества: концепции и модели для обучения служению в математических науках , MAA Notes # 66, стр. 59–68, Вашингтон, округ Колумбия, США, 2005 г.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    52. Д. Миллиган, «Влияние необязательных реальных прикладных проектов на математические достижения студентов», Дипломные диссертации, 2007 г., http://scholarcommons.usf.edu/etd/2290.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    53. А. З. Гриншпан, «Междисциплинарная математика в STEM-образовании: удержание студентов и исследования», в Встреча грантополучателей NSF STEP: определение передового опыта, Вашингтон, округ Колумбия, США , 2014 г. , http://stem-central.net/groups/posts/936/, http://ciim.usf.edu/docs/NSF_STEP_2014_- _Междисциплинарная_Математика_в_STEM_Education.pdf.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    54. С. Абрамович и А. З. Гриншпан, «Соединяя K-12 и университетскую математику: построение лестницы сверху», IMVI Open Mathematical Education Notes , vol. 2, стр. 1–21, 2012.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    55. Г. Фокс, С. Кэмпбелл, А. З. Гриншпан и др., «Реализация крупномасштабных проектов по исчислению в университете Южной Флориды», Journal of STEM Education , том. 18, нет. 3, стр. 30–38, 2017.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    56. Н. Айзекс, «Детские вопросы почему», в Интеллектуальный рост маленьких детей , С. Айзекс, изд., стр. 291–349, Рутледж и Кеган Пол, Лондон, Англия, 1930.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    57. Л. С. Выготский, Mind in Society , MIT Press, Cambridge, MA, USA, 1978.

    58. 1–8, математика (пересмотренная) (онлайн-материалы), 2005 г., http://www.edu.gov.on.ca.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    59. Совет математических наук, Математическое образование учителей II , The Mathematical Association of America, Washington, DC, USA, 2012.

    60. P. Felmer, R. Lewin, S. Martinez et al., Начальные стандарты математики для будущих учителей в Чили , World Scientific , Сингапур, 2014 г.

    61. Австралийская ассоциация учителей математики, «Стандарты качества преподавания математики в австралийских школах (он-лайн материалы)», 2006 г. , https://www.aamt.edu.au.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    62. Департамент образования, «Национальная учебная программа в Англии: программы обучения математике», Crown Copyright, 2013 г., https://www.gov.uk/government/publications/national-curriculum-in-england-mathematics-programmes -исследования.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    63. Л. С. Шульман, «Педагогика подписи в профессиях», Daedalus , vol. 134, нет. 3, стр. 52–59, 2005 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Академия Google

    64. M. J. Dunkin and B. J. Biddle, The Study of Teaching , Holt, Rinehart & Winston, New York, NY, USA, 1974.

    65. A. Lizzio, K. Wilson, and R. Simons, “ Восприятие студентами университетов учебной среды и академических результатов: значение для теории и практики», Studies in Higher Education , vol. 27, нет. 1, стр. 27–52, 2002 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Академия Google

    66. С. Абрамович, Изучение математики с помощью интегрированных электронных таблиц в педагогическом образовании , World Scientific, Сингапур, 2016 г.

    67. Г. Фальтингс, «Доказательство последней теоремы Ферма Р. Тейлором и А. Уайлсом», Уведомления Американского математического общества , том. 42, нет. 7, стр. 743–746, 1995.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    68. Л. Де Бранж, «Доказательство гипотезы Бибербаха», Acta Mathematica , vol. 154, нет. 1-2, стр. 137–152, 19.85.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    69. А. З. Гриншпан, «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», The American Mathematical Monthly , vol. 106, нет. 3, стр. 203–214, 1999.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    70. И. Стюарт, «Change», в On the Shoulders of Giants: New Approaches to Numeracy , L. A. Steen, Ed., стр. 183–217, The National Academies Press, Вашингтон, округ Колумбия, США , 1990.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    71. С. Абрамович, «Пересмотр древней проблемы через современный дискурс», School Science and Mathematics , vol. 99, нет. 3, стр. 148–155, 1999.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    72. А. З. Гриншпан, «Логарифмическая геометрия, возведение в степень и оценки коэффициентов в теории однолистных функций и непересекающихся областей», в Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory , R. K’uhnau, Ed., vol. 1, стр. 273–332, Северная Голландия, Амстердам, Нидерланды, 2002.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    73. Э. В. Вайсштейн, «Гольдбах Гипотеза», в CRC Concise Encyclopedia of Mathematics 3, p.9003 742, Chapman & Hall/CRC, Вашингтон, округ Колумбия, США, 1999.

        Посмотреть по адресу:

        Google Scholar

    74. Э. В. Вайсштейн, «Гипотеза о числах-палиндромах», в CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , стр. 1301-1302, Chapman & Hall/CRC, Washington, DC, USA, 1999. , том. 24, нет. 3, стр. 17–20, 2002 г.

        Посмотреть по адресу:

        Сайт издателя | Google Scholar

    75. С. Абрамович и Т. Строк, «Модель измерения для деления как инструмент в вычислительных приложениях», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , том.